Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 25 février 2014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. correction SÉRIE S

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1 Lycé Municipal d Adults d la vill d Paris Mardi 5 févrir 04 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Duré d l épruv : 4 HEURES Ls calculatrics sont AUTORISÉES corrction obligatoir t spé L candidat doit traitr trois xrcics plus un xrcic suivant sa spécialité. La clarté ds raisonnmnts t la qualité d la rédaction intrvindront pour un part important dans l appréciation ds copis. Sur l n-têt d votr copi, précisz clairmnt t distinctmnt : l nom d l épruv : épruv d mathématiqus. votr spécialité : mathématiqu, physiqu ou SVT. tournz la pag s.v.p.

2 bac blanc d mathématiqus Trminal S Exrcic (5 points) ) a) En faisant fonctionnr l programm, on trouv : u 3, La valur xact vaut : u 3 b) Ct algorithm prmt d calulr un valur approché du trm, n étant donné. c) D après l tablau, on put conjcturr qu la suit ( ) st décroissant t convrg vrs (u 0,999 9) ) a) Soit la proposition P n : pour tout ntir naturl n, 0<. Démontrons qu la propostion st vrai par récurrnc. Initialisation : pour n0, on a u 0 donc 0<u 0. La proposition P 0 st vrai. Hérédité : On suppos qu 0< montrons alors qu 0<+. On rappll qu la fonction racin st croissant surr + 0< 0< 4 0< 4 0<+ La propostion P n st héréditair. Conclusion : Par initialisation t hérédité la proposition P n st vrai pour tout ntir naturl n. b) On calcul l rapport d dux trms consécutifs : + un u n Comm st strictmnt positif t, comm la fonction invrs st décroissant, on a ls équivalncs suivants : Comm ls trms sont strictmnt positifs t l rapport d dux trms consécutifs st supériur ou égal à, la suit ( ) st croissant. c) La suit ( ) st croissant t majoré par, ll st donc convrgnt vrs un itl 3) a) Montrons qu la suit (v n ) st géomériqu : v n+ ln + ln ln ln ln ln ln + ln ln (ln ln ) v n On a donc : n N, v n+ v n q t d prmir trm v 0 ln ln ln ( ) n b) On a alors : v n v 0 q n ln, on n déduit alors :, la suit (v n) st donc un suit géométriqu d raison ln ln v n + ln v n+ln v n ln ( ) n ( ) n c) 0 car < < d plus n + n 0 n donc par produit t composition. La suit ( ) convrg donc vrs. n + d) On fait un boucl avc un "tant qu", on incrémnt n à chaqu boucl puis on affich l résultat. On trouv alors n. La suit convrg rapidmnt vrs. Paul Milan tournz la pag s.v.p.

3 bac blanc d mathématiqus Trminal S Variabls : n ntir, u rél Entrés t initialisation 0 n u Traitmnt tant qu u, 999 fair u u fin n+ n Sortis : Affichr n Exrcic (3 points) ) f st dérivabl surrcar composition d fonctions dérivabls surr. On a alors : ) a) on a : x++ t Par produit, on a : f (x) x + (x+) x x (+ x+) (x+4) x f (x)+ x+ x + b) On a : f (x)(x+) x x x + x ( ) x x + x Par composition x + On pos X x, donc x alors X donc : x x x X XX 0 t x x X X 0 Par produit t somm on a : f (x)0 x 3) f (x)0 x+40 x 4 car x R, x > 0 D mêm l sign d f (x) st l sign d (x+4) car x R, x > 0 On obtint alors l tablau d variation suivant : x f (x) f (x) Exrcic 3 (7 points) ) a) x 0 +ln x + x 0 x 0 + b) On a : Par quotint f (x) x 0 + ln x x 0 or f (x) x + x ln x x x 0 par somm t produit x f (x)0 Paul Milan 3 tournz la pag s.v.p.

4 bac blanc d mathématiqus Trminal S c) Ls axs d coordonnés sont alors asymptots à la courb C. ) a) f st dérivabl sur ]0;+ [ car somm t quotint d fonction dérivabl sur ]0;+ [, on a : f (x) x x x(+ln x) x 4 x x(+ln x) x 4 x( ln x) x 4 ln x x 3 b) On a : ln x>0 ln x< ln x<ln Comm la fonction ln st croissant surr +, an a : x< x< Comm x>0, l sign d f (x) st clui d ln x, on a alors : Si x<, f (x)>0 t si x>, f (x)<0 c) On obtint l tablau d variation suivant : x f (x) f (x) ( ) f ( ) 3) a) Résolvons l équation f (x) 0, comm x > 0, on a : +ln x0 ln x ln xln x ( ) Donc C possèd un uniqu point d intrsction A avc l ax ds abscisss A ; 0. b) D après l tablau d variation, on a : Si x< f (x)<0, t si x>, f (x)>0 [ ] 4) a) D après l tablau d variation, x ;, 0 f (x) D après l inégalité d la moynn, on a : 0 f (x) dx ( ) 0 I b) Comm on connaît l xprssion d la primitiv, on a : I n n f (x) dx ln n n [ ] n F(x) F(n) F + ln n n n c) On a : ln n n + n 0, par somm n + n ( ) ln n +ln + n I n n + Graphiqumnt, cla signifi qu l air du domain déité par l ax ds abscisss, la courb C t ls droits d équations rspctivs x t xn tnd vrs quand n tnd vrs+. La fonction f étant positiv sur ct intrvall. Paul Milan 4 tournz la pag s.v.p.

5 bac blanc d mathématiqus Trminal S Exrcic 4 (5 points) Pour ls candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité ) Pour détrminr ls points invariants, in faut résoudr z z avc z z z+ z z z + z z zi ou z i Il xist dux points invariants C(i) t D( i). ) a) On a avc z : z z z+ z (z+)z z (z+) (z+) (z+)(z ) b) Si on traduit ctt rlation avc ls moduls t ls argumnts, n rmarquant qu z z z A t z+z z B, on obtint : ((z )(z+) z z+ AM BM arg [ (z )(z+) ] ( arg( ) arg(z )+arg(z+)π u; AM ( )+ u; ) BM π 3) Si M appartint au crcl C d cntr B t d rayon alors BM. D après la rlation du b), on a alors : AM BM. Donc M appartint au crcl C d cntr A t d rayon. 4) a) p+ +i 3 donc p+ +3 t : cosθ 3 sinθ θ π 3 donc p+ i π 3 b) On a : p+ p z B BP Donc P appartint au crcl C d cntr B t d rayon. ( c) A, P, Q sont alignés dans ct ordr si, t sulmnt si AP, AQ )0 D après l a), on a : (p )(p+) p i π 3 on a : q p (p+) (p+) i π 3 ( donc AP, ( ) q AQ )arg p arg i π 3 arg()0 i π 3 Ls point A, P t Q sont alignés dans ct ordr. i π 3 d) Pour placr P On trac l crcl C d cntr B t d rayon. On trac l crcl C d cntr A t d rayon. P st sur l crcl C d absciss. Pour placr Q, il faut fair, avc l point P, un symétri d ax (Ox) (affix p) puis un symétri d cntr O (affix p). L point P st alors l intrsction d la dmi droit (OQ] t du crcl C Paul Milan 5 tournz la pag s.v.p.

6 bac blanc d mathématiqus Trminal S 3 P Q C P 3 B O A 3 D Exrcic 4 (5 points) Pour ls candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité ) a) On a 3 8 t 8 mod 7 donc 3 mod 7 Comm la congrunc st compatibl avc ls puissancs, an a : 3n mod 7 ( 3 ) n n mod 7 b) On a : t , on a donc : ( 3) 67 mod 7 L rst d la division par 7 d 0 04 st. ) a) Si un ntir naturl n n st pas prmir, alors il admt un divisur prmir p tl qu : p n b) Si 57 n st pas prmir, alors il doit admttr un divisur prmir p tl qu : p 57 p 6 On tst alors ls divisions d 57 par un nombr prmir infériur à 6 soit :, 3, 5, 7,, 3. D après ls critèrs d divisibilité, 57 n st pas divisibl par, 3, 5,. 57 n st divisibl ni par 7, ni par 3 car : t Donc 57 st un nombr prmir. Paul Milan 6 tournz la pag s.v.p.

7 bac blanc d mathématiqus Trminal S 3) a) La lttr U s cod D. On obtint ls étaps suivants : U mod 6 D b) On obtint l algorithm suivant : c) Si x3 alors 9x7 mod 6 Variabls : m t p ntirs naturls Entrés t initialisation Lir m 0 p Traitmnt 9m+5 p tant qu p 6 fair p 6 p fin Sortis : Affichr m d) Il faut montrr l équivalnc dans ls dux sns. Si 9x+5 p mod 6 comm la congrunc st compatibl avc la multiplication, n multipliant par 3, 7x+5 3p mod 6 donc x 3p 5 mod 6 Réciproqumnt, si x 3p + 5 mod 6 n multipliant par 9, 9x 7p 35 mod 6 or 35 5 mod 6 donc 9x+5 p mod 6 ) Pour décodr un lttr, il faut lui appliqur la fonction affin f tll qu : f (x)3x 5. Pour la lttr B, on a alors : B mod 6 O La lttr B s décod n O. Paul Milan 7 fin