BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S

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1 Lycée Fraçais d Agadir Termiales SA SB BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S DUREE DE L EPREUVE : 4 HEURES Utilisatio de la calculatrice autorisée Ce sujet comporte 7 pages umérotées de 1 à 7La page aexe 7 est à redre obligatoiremet avec la copie Le cadidat doit traiter quatre exercices Le cadidat est ivité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o fructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies 1

2 Exercice 1 (commu à tous les cadidats) 6 poits Soit f la foctio défiie et dérivable sur l itervalle ; + telle que : Partie A f ( x) = x e x x Partie B Démotrer que la foctio f est positive sur ; + O ote Cf la courbe représetative de la foctio f das u repère orthogoal du pla La courbe Cf est représetée e aexe, à redre avec la copie Soit la suite I ( ) défiie pour tout etier aturel par I = f x ( )dx O e cherchera pas à calculer la valeur exacte de I e foctio de 1) O admet que pour tout réel x de l itervalle ; +, e x x ex 2 Motrer que, pour tout etier aturel, I 2xe x dx 2) Doer ue iterprétatio graphique de I 2 e hachurat la partie qui coviet sur la figure 1 de l aexe à redre avec la copie O doe : 1 cm =,5 uité sur Ox ( ) et 1 cm =,1 uité sur ( Oy) Justifier que I 2 24 (e cm 2 ) Partie C O cosidère l algorithme suivat das lequel les variables sot : " K et i des etiers aturels, K état o ul ; " A, x et h des réels 1) Reproduire et compléter le tableau suivat, e faisat foctioer cet algorithme pour K = 4 Les valeurs successives de A serot arrodies au millième 2) E l illustrat sur la figure 2 de l aexe à redre avec la copie, doer ue iterprétatio graphique du résultat affiché par cet algorithme pour K = 8 3) Que doe l algorithme lorsque K deviet grad? 2

3 Exercice 2 (cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité) 5 poits O cosidère deux suites de ombres ( d ) et ( a ) défiies par d = 3, a = 45 et, pour tout etier aturel 1) Calculer d 1 et a 1 d +1 = 1 2 d +1 a +1 = 1 2 d a + 7 2) O souhaite écrire u algorithme qui permet d afficher e sortie les valeurs de d et a pour ue valeur etière de etrée par l utilisateur L algorithme suivat est proposé : a / Quels ombres obtiet-o e sortie de l algorithme pour = 1? Ces résultats sot-ils cohérets avec ceux obteus à la questio 1)? b / Expliquer commet corriger cet algorithme pour qu il affiche les résultats souhaités 3) a / Pour tout etier aturel, o pose : e = d 2 Motrer que la suite ( e ) est géométrique b / E déduire l expressio de d e foctio de c / La suite ( d ) est-elle covergete? Justifier 4) O admet que pour tout etier aturel : a = a / Motrer que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 3, o a 2 2 ( +1) 2 b / Motrer par récurrece que pour tout etier supérieur ou égal à 4, 2 2 c / E déduire que pour tout etier supérieur ou égale à 4, d / Étudier la covergece de la suite ( a ) 1 3

4 Exercice 2 (cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité) Les parties A et B sot idépedates Partie A O cosidère l équatio suivates d icoues x et y etiers relatifs : 7x 3y = 1 ( E) 5 poits 1) U algorithme icomplet est doé ci-dessous Le recopier et le compléter de maière à ce qu il doe les solutios etières x ; y ( ) de l équatio ( E) vérifiat : 5 x 1 et 5 y 1 2) a/ Détermier ue solutio particulière de l équatio ( E) b/ Détermier l esemble des couples d etiers relatifs solutios de l équatio ( E) c/ Détermier l esemble des couples ( x ; y) d etiers relatifs solutios de l équatio ( E) tels que 5 x 1 Partie B et 5 y 1 Le pla est rapporté à u repère orthoormé ( O ; i! ;! j ) O cosidère la droite ( Δ) d équatio : 7x 3y 1= O défiit la suite ( A ) de poits du pla de coordoées ( x ; y ) vérifiat pour tout etier aturel : x = 1 y = 2 1) O ote M la matrice et x +1 = 13 2 x + 3y y +1 = 35 2 x + 8y 3 Pour tout etier aturel, o pose X = 8 a/ Motrer que, pour tout etier aturel, X +1 = MX b/ Sas justifier, exprimer pour tout etier aturel, X e foctio de M et X x y 2 3 2) a/ O cosidère la matrice P = 5 7 Motrer que la matrice iverse de P, otée P 1, est défiie par : P 1 = b/ Vérifier que P 1 MP est ue matrice diagoale D que l o précisera c/ Pour tout etier aturel, doer D sas justificatio

5 d/ Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, M = PD P 1 3) O admet que pour tout etier aturel, M = E déduire que, pour tout etier aturel, ue expressio de x et y e foctio de 4) Motrer que, pour tout etier aturel, le poit A appartiet à la droite ( Δ) Exercice 3 (commu à tous les cadidats) Partie A 4 poits Soit g la foctio umérique de la variable de la variable réelle x défiie sur ; + par : g( x) = l x x 2 1) Sa courbe représetative Cg, costruite das u repère orthogoal est doée ci-dessous : Étudier les variatios de la foctio g, ses limites aux bores de so esemble de défiitio, et détermier la valeur de so extrémum 2) Existe-t-il des tagetes à la courbe Cg qui cotieet le poit O, origie du repère? Si oui, doer leur équatio Exercice 4 (commu à tous les cadidats) 5 poits Pour chaque affirmatio, dire si elle est vraie ou fausse e justifiat votre répose Ue répose o justifiée e sera pas prise e compte 1) O cosidère l équatio E Affirmatio 1 : E ( ) : z 2 2cos π 5 z +1 = ( ) admet deux solutios complexes cojuguées de modules égaux à 1 5

6 2) O doe les représetatios paramétriques de deux droites d ( d) x = 1 t y = 1+ t z = 2 3t Affirmatio 2 : les droites d ( ) ( t! ) d x = t y = t z = 1+ 6 t ( ) et ( d ) so cofodues ( ) et ( d ) de l espace : ( t! ) 3) Soit f ue foctio défiie et cotiue sur ; 3 Affirmatio 3 : si 3 f ( t)dt g( t)dt alors pour tout x ; 3, o a : f x 3 ( ) g( x) 4) U sac cotiet 7 boules oires et 3 boules blaches O effectue u tirage de 25 boules avec remise Affirmatio 4 : Si o réalise u arbre de probabilité représetat la situatio, o trouvera exactemet 3 chemis comportat 2 boules blaches 5) Affirmatio 5 : l uique solutio du système ( ) = 1+ 3i α 1+ i 4 + 3i iα 2 = i est égale à 2 + i 6

7 NOM : Préom : Aexe de l exercice 1 Figure 1 Figure 2 1 cm 2 7

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