Rappels de statistique mathématique. Guillaume Lacôte vbureau E03 B Enoncé de l exercice 1
|
|
- Tristan Albert
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Cursus Intégré Rappels de statistique mathématique Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Guillaume Lacôte vbureau E03 B Guillaume.Lacote@ensae.fr Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercic Enoncé de l exercice Soit f la densité de la loi exponentielle de paramètre translatée de α fx [ exp x α ] [α,+ [x Q Donner les e.m.v. ˆα et ˆ de α et. Q Calculer la loi à distance finie de nˆα α. Q3 Déterminer la loi limite de nˆ. Q4 Rappeler l expression de la loi de la statistique d ordre X,..., X N en fonction de f. déduire la loi du n-uplet nx, n X X,..., X n X n, X n X n En déduire que ˆ et ˆα sont indépendants à distance finie. Corrigé de l exercice Q On obtient : α min x i, x min x i. Q On a : Pn α α t Pmin x i α + t/n exp t/n n exp t/ n α α E. Q3 On ne peut pas appliquer le théorème de la normalité asymptotique à, car n est que l u des des deux composantes de l estimateur du maximum de vraisemblance α, dont les co posantes ne sont pas indépendantes, et qui dans ce cas particulier ne vérifie pas les conditio de régularité habituelles notamment dérivabilité de la log-vraisemblance. Il faut retrouver la loi limite d une autre façon. Ici : n n x + α + nα α Comme E X + α, V X, il vient d après le théorème central limite : L n x + α N 0, De plus, nα α n n α α P 0
2 Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercice puisque n α α E. Rappelons que : X n si a est une constante. Donc : L X, Y n a:x n + Y n X + a P L L n N 0, Q4 La densité de l échantillon ordonné Y X,..., X n s écrit En d autres termes, Soit alors f Y y,..., y n n!fy...fy n y<...<y n f X,...,X n y,...,y n n! y <...<y n n φ : Alors φ est de clasee C et en outre n! n Π n ie y i α e P n y i α α y<...<yn i min iy i α R n R n y,..., y n ny, n y y,..., y n y n f φy z,..., z n Jacφ f Y φ z,..., z n Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercic de sorte qu en définitive n n n Jacφ 0 n n En conséquence, Jacφ Jacφ Jacφ n! D autre part, y α φy nα, puis pour i, y i<y i+ φyi>0. Enfin, une récurrence immédiate montre que i, n, φ z i i j définitive f Z z,..., z n n exp P z i nα/ z nα z >0... z n>0 z j n j+, de sorte qu Autrement dit, les Z i sont indépendants, avec Z nα + E, et Zi E pour i Finalement, constatant que α Z n et n n i Z i, on conclut que α et sont indép dants. Enoncé de l exercice ceci se montre en effectuant le changement de variable z φy dans l intégrale A f Y y, pour toute partie mesurable A de R n. Or φy ny, donc puis φy n Y Y, φ Y n φ Y i 0, i φ Y n φ Y n, i φ Y i 0, i 3 Cet exercice présente les bases de l estimation bayésienne. Q Soit Ω, A, P un espace probabilisé, A un événement non-vide et H,..., H n un systè complet d hypothèses incompatibles non-vides c est-à-dire une partition de Ω. Exprimer P H i A en fonction des probabilités de H,..., H n, de celles de A conditionnelleme à H i et inversement, mais pas de PA. Q Soit X,..., X n iid L, de paramètre inconnu. On suppose que suit une loi a priori de densité π 0 sur. Donner la densité π x de la loi a posteriori de conditionnellement à l observation de X x. Q3 Définissons pour tout estimateur x de la fonction de risque quadratique R ν E X dν où ν désigne une loi quelconque sur par exemple dν π 0 dλ. On appelle estimateur bayésien de l estimateur qui minimise le risque associé. Montrer que l estimateur bayésien de associé au risque R π0 est x E π x π x d
3 Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercice Q4 Donner l estimateur bayésien de [a, b] lorsque π 0 U [a,b] en fonction de la densité de la loi L de X. Expliciter cet estimateur lorsque L est la loi exponentielle E de paramètre inconnu > 0. Corrigé de l exercice Q On a par définition de la probabilité conditionnelle i, n, P A H i P A H i P H i PA P A Ω P A n ih i car H,..., H n est complet n P A H i car H,..., H n est disjoint i n P A H i P H i i car chaque H i est non-vide cette formule est dite des probabilités totales. Par ailleurs on a P A H i P H i P A H i P H i A P A P H i A P H i P A H i P A PH ipa H i P n i PHiPA Hi Cette relation exprime la probabilité d un événement H i, une fois connue la réalisation de A, en fonction de sa probabilité a priori. Q Dans le cas où { i / i N} est dénombrable il suffit d appliquer le résultat précédent à A {x,..., x n } et i N, H i { i }. Dans le cas général le calcul est similaire : la formule des probabilités totales s écrit pour toute A R n mesurable PX A P X A 0 P 0 d 0 Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercic et par suite pour toute B mesurable, à supposer que PX A 0 P B P X A B P B X A P X A π x X x f L n x,...,x n π 0 R f L n x,...,x n π 0d Q3 Attention aux notations : E... X désigne l espérance sur la variable X, espéran qui dépend de, et non pas une espérance sur la variable. En outre l énoncé suppose ici q est de dimension sans quoi il faudrait noter E x. Soit X R n. Première méthode : On cherche l élément T : X qui est une fonction qui minimise R π0 T T x f L xπ 0 dxd X T x f L xπ 0 d dx d après Fubini X Or la fonction X φ : x, t t f L xπ 0 d est positive, donc il suffit de minimiser point-par-point : X argmin T :X φ T x dx x argmin t φx, t X Soit donc x X fixé, et calculons le nombre x argmin t φx, t. On a φx, t t f L xφ 0 d f L xφ 0 d t + f L xφ 0 d t + f L xφ 0 d } {{ } } {{ } } {{ } a>0 b c Donc φx, t at + bt + c est une parabole en t à x fixé, et est donc extrêmale en comme a > 0 elle est minimale en b a argmin t φx, t b a f L xφ 0 d f L xφ 0 d f L xφ 0 f L xφ 0 d d 4
4 Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercice 3 Par conséquent, x X, x π xd Q4 Dans le cas d une loi a priori uniforme on a simplement x π x d [a,b] f L x,..., x n b a [a,b] f L x,..., x n d d b a f [a,b] L xd f [a,b] L xd Dans le cas où L E la densité de l échantillon indépendant X,..., X n est f E n X x,..., X n x n Π n i e x i x i 0 pour x,..., x n R + n il vient x [a,b] n+ e x+ +xn d [a,b] n e x+ +xn d [ P ni x n+ e i P n Ainsi x P n n + i xi n e x+ +xn P ni x e i n + n min i x i 0 ] b i xi [a,b] P n d a i xi par parties [a,b] n e x+ +xn d n i x n + bn+ e b P n i xi a n+ e a P n i xi i [a,b] n e x+ +xn d n+ e P ni x i R [0,] n e x + +xn d lorsque [0, ] par exemple. L estimateur du maximum de vraisemblance de, par comparaison, est emv x Enoncé de l exercice 3 P n. n i xi Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercic Un des premiers exemples d utilisation de la Statistique Bayésienne remonte à Laplace, 786. Celui-ci décida de répondre à la question suivante : au regard du nombre observé n g naissances masculines parmi n naissances à Paris, peut-on dire si la probabilité p qu un enfa qui naisse soit un garçon est supérieure à? Q Laplace munit le paramètre p d une loi a priori uniforme sur l intervalle [0, ]. Ce choix vo semble-t-il naturel? Q Exprimer alors la loi a posteriori de p, puis exprimer la probabilité P p > N g n g so forme d un rapport d intégrales. Remarque : Laplace, obtint, pour n et n g 557, une probabilité P p > N g n et en conclut que p était très vraisemblablement plus grand que. Q3 Donner l espérance et la variance de la loi a posteriori en fonction de la vrai valeur p 0 paramètre p. Quelles sont leurs limites lorsque n +? Rappel : la loi Beta Bα, β de paramètres α > 0, β > 0 admet pour densité : f α,β x xα x β Bα, β où Bα, β 0 xα x β dx. αβ Son espérance est E X et sa variance V X α α+β [0,]x α+β α+β+. Q4 Ces limites sont-elles modifiées si on choisit pour loi a priori sur p une loi Bα, β quelconqu Pourquoi est-il judicieux malgré tout de se restreindre au moins à la classe des lois a priori tel que α β? Corrigé de l exercice 3 Q Laplace considère en fait de ne pas détenir d information sur p autre que celle apportée par observations : en d autres termes, il n a pas d a priori sur p, ce qu il modélise par une lo priori uniforme. Cela revient intuitivement à donner une probabilité égale à toutes les valeu possibles de p. Mais cette intuition est en fait trompeuse : si on change la paramétrisati du modèle en remplaçant p par q p par exemple, on se rend compte alors que la lo priori sur q n est plus uniforme! Cette reparamétrisation ne nous a pourtant apporté aucu information supplémentaire. Ce paradoxe illustre la difficulté de bien choisir une loi a prio surtout dans un cadre non-informatif c est à dire lorsqu aucune information n est disponibl priori. Cependant, nous verrons en 4 qu il est assez simple de se restreindre au moins à choix limité de lois a priori raisonnables. Q La densité de la loi a posteriori π x,..., x n du paramètre s écrit sous la forme v exercice : π x,..., x n πpx,..., x n πpx,..., x n d 6
5 Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercice 3 Il vient Par conséquent πp N g n g Pp > N g n g πppn g n g p πppn 0 g n g pdp p ng p n ng [0,] 0 png p n ng dp πppn g n g p πppn 0 g n g pdp p> dp p ng p n ng dp 0 png p n ng dp Q3 Notons π p la densité de la loi a posteriori : π p est la densité de la loi Bn g +, n n g +. Son espérance et sa variance sont donc : E πp [p] n g + n + V πp [p] n g + n n g + n + n + 3 Or n g n i g i où g i l enfant i est un garçon iid B, p 0. Donc en vertu de la loi forte des grands nombres ng n n n i g i p 0 Ensae SE Enoncé et corrigé des travaux dirigés n 4 Exercic Cependant, la Statistique Bayésienne ne repose pas sur des justifications asymptotiques. distance finie c est à dire pour un nombre fini d observations, une loi a priori mal choi peut sérieusement déformer la loi a posteriori, et mener à une inférence complètement érron Ainsi, au vu du probème posé situer p dans l un des deux intervalles [0, ] ou [, ], on aucune raison de favoriser a priori l une de ces deux régions, seules les observations pouva nous permettre de les départager. Il est donc naturel de se restreindre au moins aux lois a pri symétriques α β. Parmi celles-ci, on peut aussi écarter les lois de très faible variance telles que α prend de fortes valeurs, ex : B0, 0, qui privilégient inutilement un voisina trop restreint du point. Finalement, la loi a priori uniforme proposée par Laplace semble donc un choix raisonna parmi d autres, au moins pour le problème posé. Il est en fait possible de proposer une plus satisfaisante dite loi a priori de Jeffreys, ici B/, / qui permette de s affranchir paradoxe de la reparamétrisation présenté en. E πp [p] V πp [p] p 0 p 0 p 0 n En d autres termes, lorsque n + la loi a posteriori se rétrécie sa variance tend vers 0 et se concentre autour de la vraie valeur p 0. Ce résultat est intuitif : plus on dispose d observations, plus faible est l incertidude sur la valeur du paramètre p. Q4 Si on change la loi a priori uniforme qui correspond d ailleurs à une loi B, pour une loi a priori plus générale Bα, β, on obtient une loi a posteriori : πp N g n g p α p β p ng p n ng [0,] p p α+ng p β+n ng [0,] p où signifie proportionnel à La loi a posteriori est donc une loi Bn g + α, n n g + β. On vérifie alors facilement que E πp [p] et V πp [p] conservent le même comportement asymptotique que dans le cas précédent. En effet, plus grand est le nombre d observations, plus le poids de l a priori est faible, et ce poids devient nul asymptotiquement. 8
Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailMéthodes de Simulation
Méthodes de Simulation JEAN-YVES TOURNERET Institut de recherche en informatique de Toulouse (IRIT) ENSEEIHT, Toulouse, France Peyresq06 p. 1/41 Remerciements Christian Robert : pour ses excellents transparents
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE
ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers
Plus en détailENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N
ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailAnalyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailQue faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?
Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites
Plus en détailProduits d espaces mesurés
Chapitre 7 Produits d espaces mesurés 7.1 Motivation Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R (notée B(R)), ce qui nous a permis d exprimer la notion de longueur
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailI3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300
I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCours de Tests paramétriques
Cours de Tests paramétriques F. Muri-Majoube et P. Cénac 2006-2007 Licence Ce document est sous licence ALC TYPE 2. Le texte de cette licence est également consultable en ligne à l adresse http://www.librecours.org/cgi-bin/main?callback=licencetype2.
Plus en détailIntroduction à la Statistique Inférentielle
UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013 0 INTRODUCTION La statistique
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détail4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailMaster IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1
Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailModèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.
Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailEconomie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de
Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de l espérance d utilité Olivier Bos olivier.bos@u-paris2.fr
Plus en détailMA6.06 : Mesure et Probabilités
Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailLA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»
LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers
Plus en détailP1 : Corrigés des exercices
P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à
Plus en détailDUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées
DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Francois.Kauffmann@unicaen.fr Université de Caen Basse-Normandie 3 novembre 2014 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détailMaster Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.
Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailLEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailCours d introduction à la théorie de la détection
Olivier J.J. MICHEL Département EEA, UNSA v1.mars 06 olivier.michel@unice.fr Laboratoire LUAN UMR6525-CNRS Cours d introduction à la théorie de la détection L ensemble du document s appuie très largement
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailEI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES
EI 1 EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES Notations 1 Les coefficients du binôme sont notés ( n p 2 Un arrangement de n objets pris p à p est noté A p n 3 Si A est un ensemble fini, on notera A ou card
Plus en détailVariables Aléatoires. Chapitre 2
Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,
Plus en détailProcessus aléatoires avec application en finance
Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailIntroduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr
Introduction à la théorie des files d'attente Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr La théorie des files d'attente... Principe: modélisation mathématique de l accès à une ressource partagée Exemples réseaux
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailLoi d une variable discrète
MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détail