Estimation Bayésienne via une méthode de Monte Carlo par Chaine de. Foguen Tchuendom Rinel

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1 Estimation Bayésienne via une méthode de Monte Carlo par Chaine de Markov(MCMC). Foguen Tchuendom Rinel Université de Nice-Sophia Antipolis MathMods Programme Inria-Grand Est Equipe TOSCA Juin 05, 2014

2 Outline 1 L Estimation Bayésienne 2 3 4

3 Notations Y = (Y 1,..., Y n ), le processus aléatoire que nous observons aux temps discrets, t = 1,.., n. X = (X 1,..., X n ), le processus aléatoire caché dont dépends Y et que nous n observons pas. Θ = (θ 1,..., θ m ) l ensemble des paramètres des modèles que nous considérons pour les processus X et Y.

4 Hypothèses Nous faisons les suppositions suivantes : Nous connaissons la loi conditionnelle de Y X, Θ. Nous connaissons la loi conditionnelle de X Θ. Pour chaque i = 1,..., m, θ i est une variable de loi a priori connue et indépendante des autres paramètres.

5 l estimation Bayésienne Objectif: Soit Z = (Θ, X) et une réalisation y = (y 1,..., y n ) de Y, nous souhaitons estimer le loi a posteriori de Z (i.e la loi de Z y) Une fois la loi a posteriori estimée, nous pourrons utiliser l estimateur ponctuel qui convient le mieux au contexte du processus observé pour obtenir une estimation ẑ de Z. La loi a posteriori de Z peut être, dans certain cas, calculée explicitement(ou à une constante près) avec l aide du calcul de Bayes. Bien souvent, c est une tâche soit impossible, soit pénible.

6 Definitions Loi a priori: La loi a priori d un paramètre est une loi informative ou non-informative qui résume les informations que nous avons sur le paramètre considéré.. Loi a posteriori: La loi a posteriori d un paramètre est une mise à jour de la loi a priori lorsque les observations du processus sont prises en compte.. La vraisemblance:la vraisemblance est la loi des observations conditionnellement aux paramètres.. Calcul de Bayes: Le calcul de Bayes est donnée par :. loi a posteriori = vraisemblance loi a priori loi marginale des observations (1)

7 Définitions Chaine de Markov: Une chaine de Markov sur un espace D est une processus aléatoire où l état actuel de la chaine étant donné l état précédent est indépendant de tous les états passés.. Noyau de transition: Le noyau de transition,p, d une chaine de markov est un outil qui détermine la probabilité P (a, b) que la chaine aille de l état a à l état b, a, b, D. Loi stationnaire d une chaine de Markov: La loi stationnaire d une chaine de Markov est une loi π telle que π = πp..

8 L idée du MCMC(1) Les méthodes MCMC proposent de construire une Chaine de Markov sur l espace D des réalisations de Z, dont la loi stationnaire est la loi a posteriori de Z et qui converge vers cette dernière pour tous les états d origine de la chaine (qui nous supposons suivent une loi λ). La convergence ici est au sens de variation totale. i.e lim n λ(a)p n (a,.) p y (.) V T = 0 a D (2) où p y est la loi a posteriori de Z.

9 L idée du MCMC(2) Si une telle chaine est construite alors on peut déduire de (2) qu il existe un entier N suffisamment grand d états de la chaine tel que les états suivant ont pour distribution la loi a posteriori de Z. Bien que les réalisations de la loi a posteriori que nous générons ne sont pas indépendantes, grâce à un théorème ergodique, nous pouvons utiliser un Monte Carlo pour estimer les statistiques de la loi a posteriori ( moyenne, variance...).

10 Peut on construire une telle chaine.? Meyn and Tweedie (1993) donnent les conditions pour obtenir le type de chaine de Markov que nous cherchons. Théorème: Soit une chaine de Markov dont la loi stationnaire est π, la chaine converge vers sa stationnaire dans le sens de (2), si et seulement si, elle est apériodique et satisfait la condition de Doeblin. Condition de Doeblin: Supposons qu il existe une mésure de probabilité φ sur D telle que pour certains l entier, ɛ < 1, δ > 0 nous avons : φ(b) > ɛ P l (a, B) δ a D (3)

11 est une example de chaine de Markov qui a pour loi invariante la loi a posteriori de Z et satisfait (2). Il permet d échantillonner de la loi a posteriori de Z. Afin de simplifier la notation, posons Z = (Z 1,..., Z r ) où r = m + n l échantillonneur de Gibbs effectue une mise à jour systématique des de chaque coordonnée de l état précédent afain d obtenir le nouvel état de la chaine.

12 L algorithme Tirer z 0 = (z 0 1,..., z0 r ) λ (le point initial de la chaine). Pour g = 1,..., G (la taille souhaitée de la chaine). Pour i = 1,..., r (mise à jour de chaque coordonnée). Tirer z g+1 i Z i z g+1 j<i, zg j>i, y.

13 Noyau de transition du Gibbs Le noyau de transition de la chaine de Markov construite est donnée par : P (w, z) = r p i (z i z j<i, w j>i, y) w, z D (4) i=1 où i = 1,..., r, p i (z i z j<i, w j>i, y) est la densité de la loi conditionnelle Z i Z i, y

14 Notes Les densités des lois conditionnelles Z i Z i, y peuvent être calculer à une constante près grâce au calcul de Bayes. Les densités des lois conditionnelles peuvent ne pas être non-standard, auquel cas nous tirer un échantillon de ces lois peut ce faire par un autre MCMC ou si possible un algorithme d acceptation-rejet classique. La taille de la chaine, G n est pas connue à l avance et le convergence est observée manuellement.

15 Convergence de l échantillonneur de Gibbs(1) Proposition: est réversible. i.e p(z y)p (z, w) = P (w, z)p(w y) z, w D (5) ou p(. y) est la densité de la loi a posteriori de Z. La preuve de (5) ce fait par un calcul de Bayes. Ceci implique que la loi a posteriori p y de Z est une loi stationnaire pour l échantillonneur de Gibbs car : (p y P )(dz) = p y (dw)p (dw, dz) = p y (dz)p (dz, dw) = p y (dz). D D (6)

16 Convergence de l échantillonneur de Gibbs(2) Proposition: Supposons que pour tous z, w D, i = 1,..., r p i (z i z j<i, w j>i ) > 0, alors on a; B D mesurable P (a, B) > 0 a D. Ce résultat est implique que la chaine est apériodique et que la condition de Doeblin est satisfaite par l échantillonneur de Gibbs. Nous obtenons donc la convergence désirée. l hypothèse de la propostion plus haut peut sembler forte mais elle est réaliste. Il est possible d obtenir la condition de Doeblin avec des hypothèses plus faibles (voir: Simple conditions for the convergence of the Gibbs sampler,roberts and Smith,1993)

17 Un modèle à volatilité stochastique Soit le modèle discret suivant : Y t = V t δ Z 1 V t = α + β log(v t 1 ) + σ 2 δ Z 2 t = 1,..., n et δ est l écart temporel des observations. Y t = log(s t /S t 1 ) et S 0 = 1 V = (V 1,..., V n ), Y = (Y 1,..., Y n ), Θ = (α, β, σ 2 ) Z 1, Z 2 sont des gaussiennes standard et indépendantes. V 0 est le point initial de la volatilité.

18 Obtenir les observations Pour obtenir des observation Y : On assigne des valeurs vraies à Θ i.e : Θ = (0.3δ, 1 3δ, 0.4). On simule le modèle proposé en sauvegardant le vecteur d observations y.

19 Les lois a priori:. α N (0.3δ, 3) β N (1 3δ, 3) sigma 2 IG(1, 1) La loi a priori de V est donnée par le modèle. Les lois a posteriori: α β, σ 2, V, y N β α, σ 2, V, y N σ 2 α, β, V, y IG V t Θ, V t, y une loi non standard. Pour les lois non-standard j utilise un algorithme d acceptation-rejet pour faire mes tirages.

20 Implémentation: J ai fait tourner l algorithme de Gibbs avec les données suivantes Les observations y. n = 2 et δ = 0.5. Un état initial suivant les lois a priori. Taille de la chaine G = Une loi de proposition Gamma pour l acceptation-rejet. Les coordonnées de chaque état a été mis à jour suivant l ordre des lois a posteriori. Je garde les derniers états de la chaine et considère les premiers états comme burn in.

21 Figure: Estimation de la loi a posteriori de α

22 Figure: Estimation de la loi a posteriori de β

23 Figure: Estimation de la loi a posteriori de σ 2

24 Figure: Estimation de la loi a posteriori de V 2

25 Figure: Estimation de la loi a posteriori de V 3

26 Merci.

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