Triangle : milieux et parallèles

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1 10 riangle : milieux et parallèles ÉUV ans un triangle : la propriété d une droite passant par les milieux de deux de ses côtés ; la propriété d un segment d extrémités les milieux de deux de ses côtés ; la propriété d une droite passant par le milieu d un de ses côtés et parallèle à un autre. L U 1 Utiliser la propriété d une droite passant par les milieux de deux côtés d un triangle. Utiliser la propriété d un segment d extrémités les milieux de deux côtés d un triangle. Le ransamerica est le plus haut gratte-ciel de an rancisco. La pyramide ransamerica, conçue par l architecte américain William ereira et construite en 197, est l un des symboles an rancisco de an rancisco avec le olden ate ridge. ette pyramide de 60 m de hauteur répond aux normes parasismiques : elle a d ailleurs résisté au séisme de ) a) oser un papier-calque sur la photographie et tracer le triangle. b) ans le triangle, tracer la hauteur issue du point et la mesurer. arte des États-Unis d mérique ) a) esurer la longueur. b) À quelle hauteur, la largeur de la pyramide est-elle égale à la moitié de la longueur? 151

2 VÉ 1 e conjecture la propriété de la droite passant par les milieux de deux côtés d un triangle our cette activité, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple eoebra (voir page 10). 1 a) racer un triangle. b) lacer le milieu du segment []. lacer le milieu du segment []. c) racer la droite (). d) Que peut-on remarquer concernant les droites () et ()? a) nterroger le logiciel concernant les droites () et (). Quelle conjecture fait le logiciel concernant les droites () et ()? b) ette conjecture reste-t-elle vraie lorsque l on déplace (1) un des sommets du triangle? c) ecopier et compléter : «La droite qui passe par les milieux de deux côtés d un triangle semble.» e démontre le théorème de la droite des milieux Le but de cette activité est de démontrer la conjecture établie lors de l activité 1. 1 a) après la figure ci-contre, quelles sont les données? b) Que s agit-il de démontrer? our faire cette démonstration, on utilise un autre point : le point, symétrique du point par rapport au point. efaire la figure ci-contre et construire le point. 3 Les trois propriétés suivantes ont été étudiées en classe de inquième : ropriété 1 i un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. 0 our le point, j ai cliqué sur le segment [] lorsqu il est apparu en gras. ropriété i un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. ropriété 3 i un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme. armi les trois propriétés ci-dessus, laquelle permet de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme? 4 Laquelle de ces trois propriétés permet alors de démontrer que : () // () et =? 5 xpliquer pourquoi : () // () et =. 6 a) armi les trois propriétés ci-dessus, laquelle permet de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme? b) n déduire que : () // (). ai montré que : () // () 3 4 e démontre une propriété sur des longueurs onjecture 1 racer un triangle. lacer les milieux respectifs et des côtés [] et []. a) esurer les longueurs et. b) alculer le double de la longueur. Que remarque-t-on? c) aire une conjecture concernant la longueur d un segment qui a pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle. émonstration 1 racer un triangle. lacer les milieux respectifs, et des côtés [], [] et []. a) émontrer que la droite () est parallèle à la droite (). b) émontrer que la droite () est parallèle à la droite (). c) Quelle est la nature du quadrilatère? ustifier la réponse. d) n déduire que : = 1. 3 ecopier et compléter : «i un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle, alors sa longueur est égale à.» établis une propriété sur une parallèle à un côté d un triangle onjecture our cette partie, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple eoebra (voir page 10). 1 a) racer un triangle. lacer le milieu du côté []. b) racer la droite parallèle au côté [] passant par le point. c) ommer le point d intersection de cette parallèle et du côté []. a) esurer la longueur du segment [], puis celle du segment []. Que remarque-t-on? b) ette conjecture reste-t-elle vraie lorsque l on déplace (1) un des sommets du triangle? émonstration 1 a) racer un triangle. lacer le milieu du côté []. racer la parallèle à la droite () passant par le point. lle coupe le segment [] au point. b) onstruire le point tel que le quadrilatère soit un parallélogramme. a) émontrer que les droites () et () sont parallèles, puis que les longueurs et sont égales. b) n déduire que le quadrilatère est un parallélogramme. 3 émontrer que le point est le milieu du segment []. 4 ecopier et compléter : «ans un triangle, si une droite passe par le d un côté et si elle est à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en....» L : LUX LLÈL 153

3 À L L 1 riangle et milieux de deux de ses côtés i une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. ÉÉ XL : alcul d une longueur 1 Le quadrilatère est un parallélogramme de centre. 4 ans chaque cas, calculer la longueur. xpliquer la réponse. a) Z [] b) Z [] et Z [L]. et Z []. L 9c m n sait que : n en déduit que : dans le triangle, arallélogrammes le point est le milieu du côté [] ; la droite () est parallèle à la droite (). 3 cm ans chaque cas, démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. a) b) le point est le milieu du côté []. 6 cm i un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. ÉÉ XL : ans le triangle : le point est le milieu du côté [] ; le point est le milieu du côté [] ; = 5 cm. onc = c) 1 1 = 5 cm =,5 cm. d) emarque : ette propriété permet de calculer une longueur. roite des milieux ans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. ÉÉ XL : (d ) (d) le point est le milieu du côté [] ; les droites (d) et () sont parallèles. la droite (d ) coupe le segment [ ] au point, milieu du côté [ ]. emarque : ette propriété permet de démontrer qu un point est le milieu d un segment. n en déduit que : 1) eut-on démontrer que : () // ()? ustifier la réponse. ) eut-on démontrer que : () // ()? ustifier la réponse. 3) eut-on démontrer que : = 3 cm? ustifier la réponse. ilieu d un côté n sait que : ur chaque figure, le point appartient à la droite () et le point à la droite (). ans chaque cas, justifier que la droite ( ) est parallèle à la droite (). a) b) 5 1 ans le triangle ci-dessous, on a : Z [] ; Z [] ; Z [] ; = 5 cm ; = 6 cm ; = 7 cm. riangle et droite parallèle à un de ses côtés 5 cm c) Les points,, et sont alignés. Les points,, et sont alignés. 6 emarque : ette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles. 5 cm iter la propriété permettant de prouver que : b) = ; a) = ; d) = ; c) () // () ; l = l; l + l = 180. f) e) cm U c) est un parallélogramme de centre. 6 ur chaque figure, le point appartient au segment [] et le point au segment []. ans chaque cas, démontrer que le point est le milieu du segment []. a) b) ( ) // () 10 L : LUX LLÈL

4 V 'apprends à... ÉÉ LU 'applique 7 1 Z [] Z [] Z [] 1) émontrer que : () // (). ) émontrer que : () // (). 8 Le triangle est tel que : Z [] ; Z [] ; = 4 cm ; = 5 cm ; = 6 cm. alculer la longueur. ustifier la réponse ) a) racer un triangle U. b) onstruire le point, symétrique du point par rapport au point. onstruire le point, symétrique du point par rapport au point U. ) émontrer que les droites (U) et () sont parallèles. hoisir et utiliser une propriété pour démontrer ans le triangle, les points, et sont les milieux respectifs des côtés [], [] et []. alculer la longueur. ans le triangle, on sait que : le point est le milieu du côté [] ; le point est le milieu du côté []. r, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. onc = 1 = 1 3 cm = 1,5 cm. ci, le troisième côté est le côté [ ]. es trois propriétés du cours, j utilise celle qui permet de calculer une longueur. 10 Le point est le milieu du segment []. La droite (d) est parallèle à la droite () et coupe le côté [] au point. émontrer que le point est le milieu du segment []. (d),5 cm ) a) onstruire un triangle L tel que L = 6 cm, = 5 cm et L = 8 cm. b) lacer le milieu du segment [L] et le milieu du segment [L]. ) a) émontrer que la droite () est parallèle à la droite (). b) alculer la longueur. ustifier la réponse. 1 1) onstruire un triangle U tel que : U = 7 cm, U = 6 cm et = 3,5 cm. lacer le milieu du côté [U]. La parallèle à la droite () passant par le point coupe le côté [U] au point. ) alculer la longueur U. ustifier la réponse. 4 cm 3 cm Î arallélogrammes 13 1) onstruire un triangle tel que : = 7 cm, = 4 cm et l = 58. lacer le point, milieu du segment []. onstruire le point, symétrique du point par rapport au point. ) émontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. 3) éterminer la longueur. ustifier la réponse. 14 1) onstruire un parallélogramme ZU. onstruire le point, symétrique du point par rapport au point U. ) émontrer que le quadrilatère ZU est un parallélogramme L : LUX LLÈL 157 roite des milieux 15 1 ans un triangle, les points, et sont les milieux respectifs des côtés [], [] et []. 1) émontrer que : () // (). ) émontrer que : () // (). 3) Quelle est la nature du quadrilatère? ustifier la réponse Les points et sont les milieux respectifs des segments [] et []. émontrer que les droites () et () sont perpendiculaires. 17 Les points,,, et sont alignés. Les points,,, et sont alignés. émontrer que la droite () est parallèle à la droite () ) a) racer un cercle de centre. racer un diamètre [] de ce cercle. b) lacer sur ce cercle un point, distinct des points et. onstruire le point, symétrique du point par rapport au point. ) Que peut-on dire des droites () et ()? ustifier la réponse. 19 Les cercles ( ) ( ) et ( ) de centre ont ( ) pour rayons respectifs 3 cm et 6 cm. Les points, et sont alignés ainsi que les points, et. émontrer que les droites () et () sont parallèles. alcul d une longueur 0 ur la figure ci-dessous, on a : = 3,4 cm, = 6, cm et = 5 cm. Z [] Z [] alculer la longueur. ustifier la réponse. 1 1) a) onstruire un triangle tel que = 8,4 cm, = 7, cm et = 5 cm. b) lacer les points, et, milieux respectifs des côtés [], [] et []. ) alculer le périmètre du triangle. ustifier la réponse. 1) a) racer un segment [] de longueur 6 cm. b) racer le cercle ( ) de centre et de rayon 3 cm, et le cercle ( ) de centre et de rayon 4 cm. ls se coupent en deux points. ommer l un de ces points. c) racer le diamètre [] du cercle ( ) et le diamètre [] du cercle ( ). ) alculer la longueur. ustifier la réponse. e n écris la propriété utilisée qu une seule fois. 10

5 ilieu d un côté 3 1) onstruire un parallélogramme de centre. racer la parallèle à la droite ( ) passant par le point. lle coupe le segment [] au point. ) émontrer que le point est le milieu du segment []. 4 1) a) onstruire un triangle rectangle en. lacer le milieu du segment []. b) racer la perpendiculaire à la droite () passant par le point. lle coupe le segment [] au point. ) émontrer que le point est le milieu du segment [ ]. 5 ur la figure ci-dessous : le point est le milieu du segment [U] ; les droites () et () sont parallèles ; les droites (L) et (U) sont parallèles ; Z [U] ; L Z []. L 7 Le parallélogramme de centre est tel que = 4 cm et = 3 cm. Le point est le milieu du côté []. alculer la longueur. ustifier la réponse. 8 1) a) racer un triangle U. La médiane issue de coupe le côté [U] au point. b) ans le triangle, la médiane issue de coupe le côté [] au point. ) Que peut-on dire des droites () et (U)? ustifier la réponse. 9 ur la figure ci-dessous : les points, et sont alignés ; la droite (d) coupe les segments [], [] et [] respectivement aux points, et. hoix de la propriété qui convient Voir avoir faire, p Les points, et sont les milieux respectifs des côtés [ ], [] et [] du triangle. (d ) U émontrer que le triangle est rectangle. 3 ur la figure ci-dessous, le point est le milieu du segment []. La parallèle à la droite () passant par le point coupe le segment [] au point. La parallèle à la droite () passant par le point coupe le segment [] au point. émontrer que le point est le milieu du segment []. 33 émontrer que le point est le milieu du segment []. 36 alcul littéral Z [ ] et Z [ ]. x désigne la longueur en centimètres. xprimer le périmètre du triangle en fonction de x. onner le résultat sous la forme d une expression développée et réduite. x 5 37 éométrie dans l espace Le meuble ci-dessous comporte quatre tablettes régulièrement espacées. lles sont toutes de forme rectangulaire et de longueur 1 m. La tablette la plus basse a une largeur de 50 cm. 1m Z [] Z [] émontrer que le point L est le milieu du segment []. 10 cm Î 6 1) a) eproduire le triangle ci-dessous sur une feuille à petits carreaux. 1 cm 30 1) a) eproduire la figure ci-dessous. U 158 b) lacer le milieu du côté []. n utilisant le quadrillage, tracer la parallèle à la droite ( ) passant par le point, elle coupe le côté [] en. c) émontrer que le point est le milieu du segment []. ) eproduire le triangle. n utilisant uniquement une règle non graduée, placer les milieux des côtés du triangle. Laisser apparents les traits de construction. b) racer la droite (), puis sa parallèle passant par le point. ette parallèle coupe le segment [] au point. ) émontrer que les droites () et () sont parallèles. 僆 [] émontrer que le point est le milieu du segment []. es trois propriétés du cours, j en ai utilisé deux. Quelle est la largeur de la tablette du haut? ustifier la réponse. 38 éométrie dans l espace Échelle triple chéma d une échelle 1) n note le milieu du segment []. ustifier que la droite () est perpendiculaire à la droite (). ) émontrer que la droite () est perpendiculaire à la droite (). 35 1) a) racer un triangle U. La médiane issue du point coupe le segment [U] au point. b) lacer les points et, milieux respectifs des segments [] et [U]. ) a) rouver que le quadrilatère est un parallélogramme. b) n déduire que la droite () est une médiane du triangle. = 5 cm = 4 cm = 6 cm est un prisme droit de hauteur 1 cm et dont les bases sont des triangles. Les points,, et sont les milieux respectifs des arêtes [], [ ], [] et []. n admet que le quadrilatère est un rectangle. alculer l aire du rectangle. ai justifié que =. 10 L : LUX LLÈL

6 L Les points et appartiennent au segment []. Les points et appartiennent au segment []. Le point appartient aux droites () et (). 1) émontrer que : = 4. ) n déduire que : = Le but de cet exercice est de démontrer que les trois médianes d un triangle sont concourantes. 1) a) racer un triangle. La médiane issue du point coupe le segment [] en. La médiane issue du point coupe le segment [] en. ommer le point d intersection de ces deux médianes. La droite () coupe le segment [] au point. b) onstruire le point, symétrique du point par rapport au point. ) a) ans le triangle, démontrer que () // (). b) ans le triangle, démontrer que () // (). c) n déduire que le quadrilatère est un parallélogramme. d) émontrer que le point est le milieu du segment []. e) onclure. 43 n double les longueurs et du triangle ci-dessous. n obtient alors le triangle. Z [) Z [) émontrer que l aire du triangle est égale au quadruple de celle du triangle. e cherche 41 éométrie dans l espace ur le cube ci-dessus, le point est le centre de la face et le point celui de la face. émontrer que la droite () est parallèle à la droite (). 4 éométrie dans l espace est un parallélépipède rectangle tel que = 7 cm, = 5 cm et = 3 cm. Les points,, et L sont les milieux respectifs des segments [], [], [] et []. L 1) alculer le périmètre et l aire du quadrilatère. ) n admet que le quadrilatère L est un rectangle. a) alculer le périmètre du rectangle L. b) alculer l aire du rectangle L. 44 1) lacer trois points, et non alignés. ) onstruire un triangle tel que le point soit le milieu du segment [], le point celui du segment [] et le point celui du segment []. 'ai appris à... ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. our les exercices 45 à 54, on utilise les figures ci-dessous. Z [] Z [] Z [] igure 1 igure 45 ur la figure 1, une droite des milieux est 46 ur la figure 1, on peut démontrer que : 47 ur la figure 1, on peut démontrer que : 48 ur la figure, dans le triangle, la droite () est 49 ur la figure, deux droites parallèles sont : 50 ur la figure, un parallélogramme est : 51 ur la figure, le point est 5 ur la figure, la longueur est égale à : 53 ur la figure, la longueur est égale à : 54 ur la figure, le périmètre du triangle est égal ans un triangle : émontrer que deux droites sont parallèles en utilisant une droite des milieux. alculer la longueur d un segment d extrémités les milieux de deux de ses côtés. émontrer qu un point est le milieu d un de ses côtés. i échec, revoir :,,,, sont alignés.,,,, sont alignés. () // () la droite () la droite () la droite () p. 154 () // () () // () () // () p. 154 = 1 = = p. 154 une droite des milieux une médiane une hauteur p. 154 () et () () et () () et () p. 154 p. 154 le milieu du segment [] le symétrique du point par rapport au point le symétrique du point par rapport au point p. 154 : p. 154 à la moitié du périmètre du triangle 1 p. 154 au double du périmètre du triangle au périmètre du triangle p. 154 corrigés : voir page L : LUX LLÈL 161

7 VLL U UL U LL our débuter 55 1 émontrer que les droites () et () sont parallèles. Z [] Z [] 56 1) a) onstruire un triangle tel que : = 8 cm, = 6,4 cm et = 3,8 cm. lacer le milieu du segment []. b) racer la parallèle à la droite () passant par le point. lle coupe le côté [] au point. ) émontrer que le point est le milieu du segment []. 3) éterminer la longueur. ustifier la réponse. 57 ur la figure ci-dessous : Z []; Z []. alculer le périmètre du triangle. ustifier la réponse. 6 cm 3 cm evoir à la maison our les exercices 60 et 61, on utilise la figure ci-contre. Z [], Z [] et Z [] ; () // (); = 3 cm ; = 4,5 cm ; = 5 cm. 60 1) émontrer que les droites () et () sont parallèles. ) alculer la longueur. ustifier la réponse. 61 émontrer que le point est le milieu du segment []. 4 cm voir indications, page 88 our se perfectionner 58 É ur la figure ci-contre, Z [], Z [] et Z []. La droite () coupe le segment [] au point. n donne : = 7 cm, = 5 cm et = 6 cm. alculer la longueur. ustifier la réponse. 6 1) émontrer que le point L est le milieu du segment []. n a : Z [] et L Z []. L ) Les droites () et (L) se coupent au point. Que représentent les droites () et (L) pour le triangle? n déduire que la droite () coupe le segment [] en son milieu. olution rédigée : voir ite élève 59 alcul littéral x désigne la longueur (en cm) et y désigne la longueur (en cm). Le point est le milieu du segment [] et le point celui du segment []. 1) xprimer en fonction de x et de y le périmètre du quadrilatère quand le triangle est isocèle en. ustifier la réponse. ) xprimer en fonction de x et de y le périmètre du quadrilatère quand le triangle est isocèle en. ustifier la réponse. ai utilisé une propriété vue en inquième (voir page ). our ces exercices, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple eoebra (voir page 10). 63 1) racer un triangle. lacer un point (1). ) a) onstruire le point, symétrique () du point par rapport au point. b) n veut renommer ce point. our cela : avec le clic droit de la souris, cliquer sur le point ; choisir «enommer» ; taper ; cliquer sur. c) onstruire le point, symétrique du point par rapport au point. onstruire le point, symétrique du point par rapport au point. racer le triangle. 3) a) n veut afficher le périmètre du triangle. our cela : dans la huitième série d icônes, choisir ; cliquer à l intérieur du triangle. b) fficher le périmètre du triangle. c) éplacer (1) le point, puis déplacer un sommet du triangle. d) Quelle conjecture peut-on faire concernant le périmètre du triangle par rapport à celui du triangle? 4) émontrer cette conjecture. 64 Quadrilatère de Varignon ai factorisé par. ierre Varignon ( ) est un des mathématiciens français les plus célèbres de son époque. l se destine d abord à une carrière religieuse et est ordonné prêtre en ais en lisant par hasard un exemplaire des Éléments d uclide, il découvre son goût pour les mathématiques. 1) a) racer un polygone non croisé. lacer les points,, et, milieux respectifs des côtés [], [], [] et []. racer le polygone. b) éplacer (1) un ou plusieurs sommets du quadrilatère. Quelle semble être la nature du quadrilatère? ) émontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. 3) a) racer les diagonales [] et []. b) éplacer un sommet du quadrilatère pour que le parallélogramme semble être un rectangle. c) Que peut-on alors remarquer sur les diagonales [] et [] du quadrilatère? 4) émontrer que si () (), alors le quadrilatère est un rectangle. 0 ai commencé par démontrer que : () // () et () // (). 10 L : LUX LLÈL 163

8 ÉUV ustave iffel ustave iffel ( ) est un ingénieur et industriel français connu pour sess constructions métalliques en tout genre : ponts, charpentes, installations industrielles... es œuvres les plus connues sont les deux viaducs quasi-jumeaux de orto et de arabitit ûr dans le antal, ainsi que la structure de la statue de la Liberté à ew York, et bien sûr la tour iffel. L ingénieur ustave iffel. La tour iffel a été construite pour l xposition universelle de aris de e monument parisien est le symbole de la capitale française. l est l un des monuments payants le plus visité au monde. une hauteur de 35 m, la tour iffel sert aujourd hui d émetteur de programmes radiophoniques et télévisés. 115 m 57,5 m 65 ur le schéma, les points et matérialisent deux pieds de la tour iffel et le point est un point du deuxième étage. Le segment [] symbolise le premier étage. alculer la longueur. ustifier la réponse. 15 m Les charpentes n architecture, la structure qui soutient un toit est la charpente. Un des éléments d une charpente s appelle la ferme. our un toit à deux pentes, cet assemblage a une forme triangulaire. Une ferme est généralement composée de l entrait, l arbalétrier, le poinçon et les fiches. oinçon iche rbalétrier chéma d une ferme. ntrait 66 ur la ferme schématisée ci-contre, le point est le milieu du segment [] et le quadrilatère est un carré. 1) émontrer que le point est le milieu du segment []. ) émontrer que la longueur du poinçon est la moitié de celle de l entrait. 164

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