Les corrélations et la fonction cor()

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1 Les corrélatios et la foctio cor() Fabrice Dessait Ira, UMR147 Agroécologie, Dijo Javier 21 Cette ote présete la foctio cor() et les différets coefficiets de corrélatio proposés par la foctio. La corrélatio : mesure de la liaiso etre 2 variables O cosidère u échatillo de observatios de deux variables X et Y et o veut mesurer l itesité de la liaiso etre les 2 variables. Les 2 variables sot quatitatives (discrètes ou cotiues) ou qualitatives ordiales. Corrélatio de Pearso Ue mesure de cette liaiso est doée par le coefficiet de corrélatio r de Pearso. Cet idice mesure la liaiso liéaire etre 2 variables. Il est idépedat de la variabilité de X et de la variabilité de Y (et doc des écartstypes). Il varie etre -1 et 1. r = (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 avec x et ȳ, les moyees des variables X et Y. (y i ȳ) 2 Représetée graphiquemet, cette liaiso se traduit sous la forme d u uage de poits dot la directio et la forme dépedet o seulemet de la liaiso etre les variables mais aussi de la variace des 2 variables (Figure 1). Si r 1 alors les poits de coordoées (x i, y i ) sot presque aligés sur ue droite de pete positive, si r 1 alors ils sot presque aligés sur ue droite de pete égative et si r alors les poits e présetet pas de liaiso liéaire. Corrélatio de Spearma Le coefficiet de corrélatio de Spearma, ρ, mesure la liaiso mootoe etre 2 variables. Il est calculé sur les rags des variables. Si o ote, (r i, s i ) les rags 1 de (x i, y i ), alors o a ρ = [ r i s i C ] r 2 i C [ s 2i C ] 1. S il y a des ex æquo, o predra les rags moyes avec C = ( + 1) 2 /4.

2 les corrélatios et la foctio cor() 2 ec x=.5 ec y= 4 ec x= 2 ec y= 2 ec x= 4 ec y=.5 Figure 1: Forme du uage de poits e foctio de la valeur du coefficiet de corrélatio, r, et des écart-types de X (ec x) et de Y (ec y) r=.2 r=.75 r= r=.5 r= S il y a pas d ex æquo, la formule se simplifie et o a ρ = 1 T ( 2 1) avec T = (r i s i ) 2. Le coefficiet ρ varie etre 1 et 1. Si ρ 1 alors X et Y sot corrélées positivemet, si ρ 1 alors X et Y sot corrélées égativemet et si ρ alors X et Y sot idépedates. Corrélatio de Kedall Ce coefficiet, τ b, est basé sur ue mesure de la cocordace etre les variables. Ue paire d observatios (x i, y i ) et (x j, y j ) est cocordate si le rapport (y j y i )/(x j x i ) est positif et discordate das le cas cotraire. À partir du ombre de paires cocordates, c, et du ombre de paires discordates, d, et e absece d ex æquos, o a : avec T = ( 1)/2 τ b = c d T

3 les corrélatios et la foctio cor() Lorsqu il y a des ex æquos e X et/ou e Y, o applique ue correctio qui déped du ombre de valeurs idetiques das l ue ou l autre des variables. Le coefficiet τ b varie etre 1 et 1. Si τ b 1 alors X et Y sot corrélées positivemet, si τ b 1 alors X et Y sot corrélées égativemet et si τ b alors X et Y sot idépedates. La foctio cor() Les différetes mesures de corrélatio peuvet être obteues avec la foctio cor(). Cette foctio calcule la corrélatio etre 2 vecteurs. Pour illustrer l utilisatio de cette foctio, ous allos utiliser ue partie du jeu de doées iris pour produire le tableau Exemple. Exemple <- iris[1:15, 1:4] # Simplifie les oms des variables (ames(exemple) <- abbreviate(ames(exemple))) Sepal.Legth Sepal.Width Petal.Legth Petal.Width "Sp.L" "Sp.W" "Pt.L" "Pt.W" La sythaxe pour cette foctio est la suivate : cor(x, y = NULL, use = "everythig", method = c("pearso", "kedall", "spearma")) Elle possède 4 argumets. Le premier, x=, peut être u vecteur, ue matrice (matrix) ou u tableau (data.frame). De même pour le deuxième argumet, y=null. La forme du résultat retouré par la foctio déped des objets fouris e etrée. Si l o fourit des vecteurs aux argumets x= et y=, le résultat est u ombre. with(exemple, cor(x=sp.l, y=pt.l) ) [1] Si c est ue matrice ou u tableau qui est fouri pour x= et/ou y=, le résultat est ue matrice cor(x=exemple) Sp.L Sp.W Pt.L Pt.W class(cor(x=exemple)) [1] "matrix" O e souhaite que certaies corrélatios!!

4 les corrélatios et la foctio cor() 4 cor(x=exemple[, c("sp.l", "Sp.W")], y=exemple[, c("pt.l", "Pt.W")]) Pt.L Pt.W Sp.L Sp.W Le troisième argumet, use= cotrôle la faço dot sot traitées les valeurs maquates. Il est décrit das la sectio suivate. Efi, le derier argumet method= permet de spécifier le coefficiet de corrélatio qui doit être calculé. Il peut predre l ue des valeurs suivates : "pearso", "kedall" et "spearma" et permet le calcul du coefficiet de corrélatio spécifié. Par défaut, c est le coefficiet de Pearso qui est calculé. with(exemple, cor(x=sp.l, y=pt.l, method="spearma") ) [1] # équivalet à with(exemple, cor(x=rak(sp.l), y=rak(pt.l)) ) [1] Le traitemet des doées maquates : use Cet argumet permet de cotôler la faço dot sot traitées les doées maquates. O modifie le tableau Exemple pour iclure des valeurs maquates (NA). Exemple[1:5, 1] <- NA Exemple[5:1, ] <- NA Les variables Sp.L et Pt.L cotieet maiteat des valeurs maquates. La première optio, use="everythig" est celle par défaut. Elle impose l absece de valeurs maquates das les 2 variables sur lesquelles se fait le calcul. La présece de valeurs maquate das l ue ou l autre des variables, se traduit par ue valeur NA. cor(x=exemple) Sp.L 1 NA NA NA Sp.W NA 1. NA Pt.L NA NA 1 NA Pt.W NA NA 1. Exemple 1 NA NA NA NA NA. NA NA NA NA NA NA Tableau Exemple Das cet exemple, o voit que les corrélatios calculées sur ue paire coteat Sp.L ou Pt.L se traduiset par ue valeur NA. La deuxième optio, use="all.obs", impose l absece totale de valeur maquate das le tableau. La présece de valeurs maquates etraie u message d erreur.

5 les corrélatios et la foctio cor() 5 cor(exemple, use="all.obs") Error i cor(exemple, use = "all.obs"): observatios maquates das cov / cor La troisème optio, use="complete.obs", supprime les liges coteat des valeurs maquates. Elle produit le même résultat que l applicatio de la foctio a.omit(). cor(exemple, use="complete.obs") Sp.L Sp.W Pt.L Pt.W cor(a.omit(exemple)) Sp.L Sp.W Pt.L Pt.W E absece de lige complète, la foctio retoure u message d erreur et effectue pas le calcul. cor(exemple[1:1,], use="complete.obs") Error i cor(exemple[1:1, ], use = "complete.obs"): paires d élémets icomplètes La quatrième optio, use="a.or.complete", supprime les liges coteat des valeurs maquates, comme l optio précédete. cor(exemple, use="a.or.complete") Sp.L Sp.W Pt.L Pt.W So comportemet est cepedat différet e absece de lige complète. Das ce cas, elle retoure ue valeur NA et produit ue matrice avec des NA. cor(exemple[1:5,], use="a.or.complete") Sp.L NA NA NA NA Sp.W NA NA NA NA Pt.L NA NA NA NA Pt.W NA NA NA NA C est 2 optios calculet la corrélatio sur le même ombre d observatios quelque soit la paire de variables utilisée.

6 les corrélatios et la foctio cor() La derière optio, use="pairwise.complete", supprime les liges coteat des valeurs maquates, mais uiquemet pour la paire de variables sur laquelle se fait le calcul. cor(exemple, use="pairwise.complete") Sp.L Sp.W Pt.L Pt.W Elle produit le même résultat que la foctio a.omit() appliquée à chaque paire de variables. tmp <- a.omit(exemple[,c("sp.l", "Pt.L")]) cor(tmp) Sp.L Pt.L Sp.L Pt.L Les corrélatios sot aisi calculées sur des ombres d observatios qui peuvet être très différets d ue paire de variables à l autre. Par exemple, le calcul de la corrélatio de la variable Sp.L avec la variable Sp.W se fait sur 1 observatios, alors qu avec la variable Pt.L il se fait sur 5 observatios.