Statique des fluides (Corrigés).

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1 Statiqu ds fluids (Corrigés). 1. Evolution d la prssion dans un fluid : 1 ) La loi fondamntal d la statiqu ds fluids amèn : dp/dz = ρg. Attntion, z st dans l sns d la profondur, donc dp/dz > 0. Il faut intégrr ctt équation n tnant compt du fait qu ρ dépnd d P (mass volumiqu non uniform). dp dp/dz = ρ o g[1+a(p P )] donn n séparant ls variabls : = ρogdz 1 + a ( P P ) 1 Ln[ 1 + a( P P )] = ρogz compt tnu d la condition limit : à z = 0, P = P. a qui s intègr n : D où : P = P + 1/a (xp(aρogz)-1) 2 ) Pour z faibl, on put f un D.L. à l ordr 1 sur l xponntill : xp(aρ o gz) 1+ aρ o gz donc P = P + ρ o gz, c qui rvint à considérr ρ = ρ o = cst ; 3 ) Application numériqu : P/P = 0,05 %. 2. Modèls d atmosphèr. a) La Loi fondamntal d la statiqu ds fluids donn dp/dz = -ρg où ρ st la mass volumiqu du fluid. Ici, l fluid st comprssibl. Par l modèl du Gaz Parfait : ρ = PM/RT où T = T o = cst. Par intégration : P = P o.xp(-z/h) où H = RT o /(Mg) = 8, m ; b) A partir d la LFSF, dp/dz = -ρg où ρ = PM/RT mais avc T = T(z) variabl. l équation différntill sur P st ctt fois, n séparant ls variabls : dp P = T λh dln(1 λz T ) Par intégration on trouv n fft : ()= 1 Conditions sommitals sur l Evrst : P s = 0,34 bar t T s = 255 K = -18 C. c) Par un D.L. au prmir ordr n z/h (cas (a)) ou n λz/t o (cas (b) : P P o.(1 z/h) Conditions sommitals sur l Mont Affriqu : P s = 0,94 bar t T s = 304 K = 31 C.

2 3. Equilibr dans un tub n U : 1 ) En ls points A t A situés rspctivmnt aux intrfacs /huil t /, on aura mêm prssion, P atm la prssion atmosphériqu. En B, intrfac huil/ : P B = P atm + ρ h.gh 1 où h 1 st la hautur d la colonn d huil. Considérons l point C, situé à la mêm cot qu B mais dans l autr branch du tub n U. C étant situé à un dénivllation h 2 sous la surfac d l : P C = P atm + ρ.g.δh 1, où Δh 1 st la dénivllation ntr la surfac libr d l (point A ) t l intrfac huil / (point B). Il vint : ρ h.h 1 = ρ Δh 1 h 1 = V/s st connu. Donc on tir : Δh 1 = (ρ h / ρ ) V/s. La dénivllation Δh ntr ls dux surfacs librs sra Δh = h 1 Δh 1 soit Δh = h 1 (1 (ρ h /ρ )). 2 ) F un schéma du problèm (indispnsabl!). On not h 3 la hautur d colonn d acéton ajouté sur l. Δh 2 st la dénivllation ntr l intrfac huil/ t l intrfac acéton/. Δh 3 étant l écart d niv ntr ls dux surfacs librs, sur ls dux branchs du tub n U : h 1 + Δh 3 = h 3 + Δh 2 En écrivant l évolution liné d la prssion dans ls fluids incomprssibls : P B = P atm + ρ h.g.h 1 t P C = P B = P atm + ρ ac.g.h 3 + ρ.g.δh 2 On tir donc : ρ h.h 1 = ρ ac.h 3 + ρ.δh 2 avc h 1 = V/s t h 3 = V /s 1 V V ' D où : h2 = ρh ρac ρ s s V ' s V s t h3 = + h2 AN : h 1 = 5,4 cm ; h 2 = 2,5 cm ; h 3 = 1,5 cm. 4. Baromètr différntil à dux liquids : vid 1 ) Dans ls fluids incomprssibls (comm la glycérin t l mrcur), la prssion va augmntr linémnt avc la profondur. tub T2 tub T1 glycérin h2 En A, placé à l intrfac glycérin/vid P A = P sat (glyc.) 0. En B, à l intrfac glycérin/mrcur : P B = P A + ρ 2 gh 2. En C, d mêm cot qu D, situé à l intrfac mrcur/, P D = P C avc P C = P B + ρ 1 gh 1 t P D = P. mrcur h1 On tir : P = g(ρ1 h1 + ρ2 h2 ) 2 ) On aura un déplacmnt z d l intrfac glycérin/vid. L tracé d un schéma cl st indispnsabl pour comprndr la suit La consrvation du volum d la glycérin impliqu d avoir un déplacmnt Δz 1 d l intrfac glycérin/mrcur, avc z.s 2 = Δz 1.S 1. La consrvation du volum du mrcur impliqu d avoir un déplacmnt Δz o d l intrfac mrcur/ (vrs l haut!), avc Δz 1.S 1 = Δz o.s o.

3 Exprimons ls prssions par la mêm démarch qu n 1 ) : P A = P sat (glyc.) 0. En B, à l intrfac glycérin/mrcur : P B = P A + ρ 2 g(h 2 +z Δz 1 ). En C, d mêm cot qu D, situé à l intrfac mrcur/, P D = P C avc P C = P B + ρ 1 g(h 1 + Δz 1 + Δz o ) t P D = P + ΔP. On déduit alors : P = gz[ρ1 ((S2/S1)(S1/So) + S2/S1) + ρ2(1 - S2/S1)] AN : P = 5,27 mbar ; 3 ) σ = 5,68 mm/mbar pour l baromètr différntil t σ = 0,75 mm/mbar pour l baromètr d Torriclli, donc B = σ/σ = 7,6. Il y a un fft amplificatur. 5. Mass d l atmosphèr trrstr. Plusiurs possibilités pour formulr la répons. 1 èr méthod : En utilisant l modèl d l atmosphèr isothrm, vu n cours : on considèr l atmosphèr comm n équilibr statiqu, avc un tmpératur uniform T = 288 K, t un champ d psantur uniform g = 9,8m.s -2 La Loi fondamntal d la statiqu ds fluids donn dp/dz = -ρg où ρ st la mass volumiqu du fluid. Ici, l fluid st comprssibl. Par l modèl du Gaz Parfait : ρ = PM/RT où T = T o = cst. Par intégration : P = P o.xp(-z/h) où H = R.T o /(M g) = 8, m avc R = 8,314 J.K -1.mol -1 ; Dans un couch situé ntr ls altituds z t z + dz, d rayon R T + z, d épaissur dz t donc d volum dv = 4π.(R T + z)².dz, on aura un mass d dm = M.P(z).dV/(R.T o ). Comm z va n fait varir sur un intrvall [0, z max ] avc z max << R T on pourra considérr qu R T + z R T. En sommant cs masss dm, il vint : M 1 M.4π. / C qui conduit à : = 4 ² 2 èm méthod : En xploitant la LFSF : dp/dz = -ρg où ρ st la mass volumiqu du fluid. Ici, l fluid st comprssibl, donc ρ évolu avc ls conditions d prssion t tmpératur, lls-mêms dépndant d l altitud.

4 Pour un colonn vrtical d sction S partant du sol, on put écrir pour chaqu tranch d épaissur dz t situé à l altitud z : S.dP = -ρgs.dz La quantité ρgs.dz = dm rprésnt l poids d la mass d atmosphèr situé dans ctt tranch. Chaqu colonn d atmosphèr d sction S apport un mass = La surfac total d la Trr étant S tot = 4πR T ² on accèd à = = 4 ² M At 5, kg ; M At st nviron 1 million d fois plus faibl qu M T. 6. théorèm d'archimèd. Corps partillmnt immrgé : 1 ) La poussé d Archimèd st la résultant ds forcs prssants agissant sur l solid immrgé. La surfac latéral du cylindr étant vrtical, ls forcs prssants qui s y appliqunt sront d dirction horizontal. La prssion étant idntiqu n tout point d mêm profondur dans l fluid, ls forcs prssants xrcés sur la surfac latéral vont s compnsr. a z h Suls ls composants vrticals corrspondant aux forcs prssants s xrçant sur la fac supériur t la fac infériur du solid sont à prndr n compt : uuur uur uur Π = π R² P( z = a) π R² P( z = h a) A z z pour z = -a, P = P (dans l ) pour z = h a, dans l P(z) = P + ρ gz uuur uur ur D où : Π = π R² ρ g( h a) = m g A z déplacé car la mass d fluid déplacé (on néglig la mass d ) vaut : ρ. πr²(h-a), l volum d glac immrgé étant πr²(h-a). 2 ) Equilibr du glaçon quand la poussé d Archimèd compns son poids : uuur ur uur ur Π + m g = π R² ρ g( h a) + ρ π R² hg d où : a/h = 1 - ρg/ρ = 0,08 ; A glac z gl 3 ) La forc supplémnt à imposr pour nfoncr l glaçon complètmnt dans l corrspond au ur uur poids du fluid supplémnt à déplacr F = ρ π R² a ; ll n chang pas si l on vut nfoncr l glaçon plus profondémnt, si l'on néglig l'évolution d ρ avc la profondur. En fft, qulqu soit sa position dans l, la poussé d Archimèd rstra idntiqu. Néanmoins l déplacmnt du glaçon vrs un plus fort profondur nécssitra d f travaillr ctt forc, c'st-à-dir qu cla dmandra un dépns énrgétiqu d la part d l opératur. z

5 7. Cloch à : 1. La cloch, d mass m st n équilibr ; la somm ds forcs qui lui st appliqué st null ; n projction sur la vrtical dscndant (Oz) : mg + P o.s P 1.S = 0 d où P 1 = P o + mg/s ; Transformation isothrm : PV = Cst donc pour l dans la cloch P 1.V 1 = P o H o.s avc P 1 donné par la qustion précédnt d où V 1 = P o H o S²/(P o S +mg) ; D après la LFSF écrit pour un fluid incomprssibl d mass volumiqu µ : P(z) = P o + µgz à la profondur z dans l. Soit au niv d la surfac d l à l intériur d la cloch : P 1 = P o + µg(h o h) H o h D où finalmnt : h = mgh o /(P o S + mg) + m/(µs). 2. L équilibr d la cloch impliqu n projction sur la vrtical dscndant (Oz) : mg + P o.s P 2.S = 0 avc ctt fois P 2 prssion régnant dans la cloch dans cs conditions. Soit P 2 = P o + mg/s ; L volum d st alors V 2 = S.z 2 où P(z 2 ) = P o + µg.z 2 soit donc P 2 = = P o + µg.v 2 /S. D où finalmnt V 2 = m/µ 3. La poussé d Archimèd (d modul égal au poids du fluid déplacé) doit compnsr l poids d la cloch. Donc : mg + µ o.v M g- µ.h o S.g = 0 ; d où V M = (1/µ o ).(µh o S m). ai H o h 8. Oscillations d un bouchon cylindriqu : 1 ) l poids doit êtr compnsé par la poussé d Archimèd : µ m.v.g - µ.g.v/2 = 0 d où µ m = µ /2 ; 2 ) Pour un nfoncmnt d z, l volum d déplacé s accroît d 2Rh.z ; Pour un nfoncmnt z, l volum d fluid déplacé st : (V/2) + 2Rh.z L étud mécaniqu, par la RFD amèn un équation d oscillatur harmoniqu : µ m.v.d²z/dt² = µ m.v.g - µ.g.( (V/2) + 2Rh.z ) donc : + 2h.μ =0 μ. avc V = π.r²h La pulsation propr vaut : La périod st T = 2π/ω. AN : T = 0,18 s. ω= 2μ g πrμ

6 9. Plafond d altitud pour un ballon sond : 1 ) La poussé d Archimèd doit compnsr l poids d l nsmbl du ballon. La RFD s écrit : + =. où m tot st la mass ds partis solids du ballon (nvlopp, accssoirs,...) t du gaz qu il contint (d l hélium). La valur V o st la valur d V minimal pour avoir >0 ; d où V o = (RT o /P o )m/(m -M H ). AN : Vo = 9,4 m 3 ; 2 ) V(z) = V d.(1 αz) 1 β ; V(z = 10 km) = 27 m 3 ; 3 ) L altitud plafond corrspond à l annulation d la forc ascnsionnll pour V = V max soit donc z solution d : + () () () () =0 avc P(z)/T(z) = (1 αz) β-1.(p o /T o ). Après calculs : = 1 1 ( AN : z max = 11,2 km. 10. Hémisphèrs d Magdbourg. Chaqu élémnt d surfac ds d un hémisphèr subit un forc prssant radial d intnsité P o.ds. On va procédr par un intégration vctorill ds participations d chaqu surfac élémnt, n faisant lur projction sur la dirction qui portra la résultant ds forcs, l ax d symétri (Oz) ds dux hémisphèrs. L xprssion n coordonnés sphériqus donn : df z = P o. R²sin(θ).dθ.dφ.cos(θ) avc sinθ.cosθ = sin(2θ)/2 L 6 mai 1654, Otto von Gurick, bourgmstr d Magdbourg, présnt l xpérinc dvant En intégrant pour φ variant sur [0 ; 2π] t θ sur [0 ; π/2] on tir F z = πr².p o C résultat put êtr rtrouvé d façon plus intuitiv : F z = P o.s o où S o st la surfac projté d la dmisphèr sur un plan orthogonal à son ax (Oz). AN : F z = 2, N.

7 11. Effort supporté par un barrag-voût : On va procédr par un intégration vctorill ds participations d chaqu surfac élémnt. Chaqu élémnt d surfac ds d la paroi uuur uur du barrag va subir un forc prssant df = P( z) ds qui lui st normal. df θ y x La prssion dans l vari slon : P(z) = P + μgz surfac d l t n orintant l ax (Oz) vrs l bas. (fluid incomprssibl) n considérant z = 0 à la La prssion dans l st P n tout point. Ls forcs prssants imposés sur ds par l t par l sont d sns opposé. uuur uur Donc chaqu élémnt d surfac va subir : df = µ gzds La sommation ds élémnts d forc doit êtr vctorill. On va donc projtr cs élémnts sur un bas afin d sommr séparémnt ls différnts composants. uuur uur uur Pour chaqu élémnt : df = µ gzds cos θ + ( µ gzds sin θ ) où ds st l élémnt d surfac cylindriqu : ds = Rdθ.dz La sommation s fra ntr θ = -π/2 t θ = +π/2, t sur z ntr 0 t h. x Ls composants slon (Oy) vont s compnsr t mnr à un somm null, c qui était prévisibl vu la symétri du problèm. L calcul donn après intégration sur θ t z : uuur h + π /2 uur h + π /2 uur uur df = R. µ gzdz. cos θdθ. + R. µ gzdz. sin θdθ. = µ grh² x y x 0 π /2 0 π /2 y