Partie 1. Corrigé de CCIP 2000 par Pierre Veuillez

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1 Corrgé de CCIP 2000 par Perre Veullez Das tout le problème, désge u eter aturel o ul. O cosdère ue ure U coteat boules umérotées de à. O tre ue boule au hasard das U. O ote k le uméro de cette boule. S k est égal à, o arrête les trages. S k est supéreur ou égal à 2, o elève de l ure U les boules umérotées de k à l reste doc les boules umérotées de à k, et o effectue à ouveau u trage das l ure. O répète ces trages jusqu à l obteto de la boule uméro. O ote X la varable aléatore égale au ombre de trages écessares pour l obteto de la boule uméro. O ote Y la varable aléatore égale à la somme des uméros des boules trées. O ote EX et V X respectvemet EY et V Y l espérace et la varace de X respectvemet Y. Parte.. O pose : h k a O peut utlser l égalté des accrossemets fs : l x et pour x [k, k + ] o a x k+ l x doc comme k k + o a k k + k + k + k lk + l k k + k k k ou de faço plus élémetare prouver séparémet les deux égaltés e étudat les varatos de la dfférece. b O a doc e sommat les égalté : k lk + l k somme qu se smplfe e cascade : rédexat + l k k2 lk + l k l k l + l d où falemet : k l k + lk + l k et e O réutlse k + lk + l k pour tout k e substtuat k à k O a doc pour tout k 2 : l k l k que l o e peut utlser que pour k k 2 k + k2 + l k + lk l k k2 D où le résultat recherché : l + h + l Corrgé CCIP 2000 Page / 2

2 c E factorsat par le prépodérat o trouve : et e dvsat par l : doc par ecadremet 2. O pose : k l + l + / l + l + / l + l + / h + l l + / h + l l + l h l et h l quad ted vers l f. k a Pour tout k 2, o calcule la dfférece que l o factorse : doc k 2 k k b O somme les égaltés pour k 2 : k 2 k + k k 2 k 0 k 2 + k2 k + 2 k k k la somme se smplfe e cascade comme précédemmet, o a détallé le calcul ue fos, l est utle de le refare chaque fos Doc k 2 c E factorsat par le prépodérat, l, o trouve h k l k l 2 k Et comme 0 k 2 o a alors 0 et par ecadremet l la parethèse tede vers et h k l quad ted vers l f. h l k l 0 doc l Parte 2 : Etude de la varable aléatore X O ote I la varable aléatore égale au uméro de la premère boule trée das l ure U.. a I est le uméro de la premère boule trée. Comme elles sot toutes équprobables, I sut ue lo uforme sur [[, ]]. Pour tout k [[, ]], P I k / b Quad I, o obtet la boule au premer trage, doc X ; et la lo codtoelle de X est : P X /I Corrgé CCIP 2000 Page 2/ 2

3 c Quad I k 2, o obtet k au premer trage et o retre toutes les boules de uméros supéreur à k. O cotue doc à partr du 2 trage avec k boules. Pour obter au jème trage, l reste doc j trages à effectuer à partr du 2 avec k boules. Doc j N, k {2,..., }, PI k X j P X k j 2. a Pour la lo de X, o a qu ue seule boule : la uméro. Doc o l obtet dès le premer trage, et la lo dex est : X Ω {} et P X b Pour X 2 o dspose au départ des boules et 2. X 2 est l évéemet obter au premer trage. Doc X 2 I 2 et P X 2 /2 S o a pas au premer trage, o aura 2 et l e restera que la das l ure. O obtedra alors au secod trage. Doc P X 2 2 P I 2 2 /2 et falemet : k 2 P X 2 k /2 /2 d où V X k P X 2 k /2 3/2 E X k 2 P X 2 k /2 2 5/2 E X2 2 c Quad I 3, o a la boule dès le premer trage et doc X 3. Doc PX 3 2/I 3 0 Quad I 3 2 o a la boule 2 au premer trage, doc pour le secod l e reste das l ure que la boule ; o est doc sûr de l obter au secod. Doc PX 3 2/I 3 2. Quad I 3 3, l reste les boules et 2 das l ure pour le secod trage. La probablté d obter au secod trage est doc /2 et PX 3 2/I 3 3 /2 O utlse alors la formule des probabltés totales : I 3, 2 ou 3 est u système complet d évéemets doc P X 3 2 PI 3 X 3 2 P I 3 + PI 3 2 X 3 2 P I PI 3 3 X 3 2 P I O sat déjà que P X 3 /3 doc lo d ue varable aléatore P X 3 3 P X 3 P X 3 2 /6 o pouvat auss décomposer X 3 3 : o dot avor au 3ème et 3 au premer so o e fat que 2 trages doc 2 au 2 k 2 3 P X 3 k /3 /2 /6 k P X 3 k /3 /2 /6 E X 3 k 2 P X 3 k /3 2 3/2 23/6 E X3 2 d où V X a X pred ses valeurs das {, 2,..., } peut être comprs comme ce sot toutes les valeurs de X ou be comme X pred des valeurs parm celles là plutôt cette deuxème forme Comme o retre au mos ue boule à chaque trage, o e fat au maxmum et au maxmum, X Corrgé CCIP 2000 Page 3/ 2

4 Et au mmum, o obtet la boule au premer. Doc X pred ses valeurs das {, 2,..., } b Comme X I o a PX / X e peut surver que s l o retre ue seule boule à chaque trage. Doc s pour tout k, o tre au k ème trage la plus grade des boules restates. Doc X k 2 e codat j l évéemet obter au jème trage O a doc P X k P P 2... P 2 le codtoemet doe les boules restates das l ure qu sot équprobables : P X P P boules 2... P boule...! c O coaît déjà P X doc o e s téresse à P X j que pour j 2. Pour avor X j, o réutlse PI k X j P X k j va la formule des probabltés totales : I k k [[,]] est u système complet d évéemets. Doc P X j PI k X j P I k PI k X j P I k + PI X j P I k2 S I alors X, et comme j 2 o a P X j/i 0. N.B. s k < j et que I k l reste k boules après le premer trage doc o les aura épusées e k trages au plus tard doc au k ème. O e peut doc pas avor X j et P X j/i k 0. O aurat doc pu extrare de la somme tous les termes de à j. Doc P X j k2 P X k j rédexé h k : P X k j j 2, P X j P X k j d S est supéreur ou égal à 3 doc est supéreur à 2 et o peut réutlser le précédet et j supéreur ou égal à 2, o a : P X j P X j 2 P X k j P X k j 2 P X k j P X k j P X j Corrgé CCIP 2000 Page 4/ 2

5 Doc pour 3 et j 2 o a P X j P X j + P X j doc P X j P X j + P X j Pour j o a pour tout eter : P X doc P X + P X P X et la proprété est ecore vrae pour j Ef pour 2, le seul cas o prouvé est j 2 j est déjà traté et j 3 doe des probablté ulles Doc s a Comme X Ω [[, ]], o a P X P X P X 2 2 j, P X j P X j + P X j E X j P X j j j [ P X j + ] P X j j P X j + j j P X j O elève de la premère somme le terme pour j : P X 0 et o rédexe la secode par k j E X j j P X j k + P X k j E X + k P X k + P X k + 0 E X + E X + E X + b Comme E X, o a E X Et E X h l quad ted vers l f. k0 k Corrgé CCIP 2000 Page 5/ 2

6 5. a O réutlse la méthode précédete : E X 2 j 2 P X j j [ j 2 P X j + ] P X j j 2 P X j j j 2 P X j + 0 j2 E X 2 + k 2 + 2k + P X k E X 2 + k 2 P X k + 2 k P X k + P X k E X + E X E X + E X E X + b Comme V X E X 2 E X 2 o a V X E X E X + E X + 2 E X E X + E X E X + 2 V X + 2 Et comme V X 0 o a alors V X k k 2 k2 h k k2 k k 2 c Doc V X l quad ted vers l f. 6. Sot T ue sute de varables aléatores dépedates telle que, pour tout eter aturel o ul, T sut la lo de Beroull de paramètre. O pose : S T T T Corrgé CCIP 2000 Page 6/ 2

7 a T sut ue lo de Beroull de paramètre doc P T P X et P T 0 0 P X 0 Doc X et T ot même lo. b O a pour tout eter j même s j 0 auquel cas tous les évéemets sot mpossbles S j T j et comme les valeurs possbles de T e sot que 0 et, T j [ ] T j T 0 [ ] T j T [S j T 0] [S j T ] Les deux état compatbles et S qu e déped que de T..., T état dépedat de T P S j P [S j T 0] + P [S j T ] P S j P T 0 + P S j P T P S j + P S j C.Q.F.D O a alors par récurrece sur que pour tout eter j, et o devra trater à part le cas j qu fat terver S 0 s o a pas clus la valeur 0 au dessus que P S j P X j doc que X et S ot même lo. c Comme X et S ot la même lo, elles ot la même varace et la même espérace. Or E S E T h et comme les T sot dépedates, V S V T h k Et o retrouve doc be E X h et V X h k 2 Parte 3 : Etude de la varable aléatore Y.. Pour Y, comme la seule boule das l ure est 0, Y et la varable certae égale à. 2. a Pour Y 2 o a das l ure les boules et 2. Les sommes possbles sot doc : tré e premer et 2+ 2 tré e premer pus Doc Y 2 Ω {, 3} b Comme Y 2 o tre e premer o a P Y /2 et P Y 2 3 P 2 2 P 2 P /2 /2 /2 Corrgé CCIP 2000 Page 7/ 2

8 a S o tre la boule k e premer, l reste les boules jusqu à k. Doc pour fare u total de j, l reste à fare u total de j k avec les k boules restates. Doc s est supéreur ou égal à 2, pour tout eter j o ul et tout eter k supéreur ou égal à 2 PI k Y j P Y k j k O a beso de k 2 pour que la varable Y k sot be défe. s j < k, o e pourra pas obter u total plus pett que le premer trage, ce que l o retrouve be das cette formule où toutes les probabltés serot ulles b O a alors par la formule des probabltés totales : I k k [[,]] est u système complet d évéemets doc P Y j PI k Y j P I k PI k Y j P I k + PI Y j P I k2 o dot trater à part le cas où k et la probablté sera ulle pour j > Pour j o a P Y l faut obter dès le premer trage P Y + P Y + 0 doc la formule est vrae pour j O trate à préset uquemet pour j > : o a P Y j P Y k j k k2 Comme tervet plus que comme bore supéreure de la somme et das le /, o a doc P Y j P Y k j k Doc k2 P Y j + P Y j P Y k j k + P Y j k2 P Y k j k k2 P Y j c O calcule l espérace de Y e réutlsat la relato précédete : E Y j P Y j j Y Ω j Y Ω j P Y j + j Y Ω j P Y j Corrgé CCIP 2000 Page 8/ 2

9 Les valeur possbles de Y sot d ue part les mêmes que celles de Y s o e commece pas par et d autre part celles Y auguemetées de s o tre e premer Doc quad j parcours Y Ω, l pred toutes les valeurs de Y Ω et j predra égalemet toutes les valeurs de Y Ω s j / Y Ω alors P Y j 0 et s j / Y Ω alors P Y j 0 Falemet e rédexat la deuxème somme par j k E Y j Y Ω j P Y j EY + EY + E Y + Y Ω Y Ω + P Y + 0 P Y Comme E Y et que l o a ue sute arthmétque de raso o a E Y + E Y Parte 4. Smulato formatque. Das la procédure Truc, récursve, a et b sot des accumulateurs qu calculet X et Y raso pour laquelle elles sot déclarées var et alea représete la boule trée au hasard. E effet : o tre u ombre boule au hasard etre et alea : radom + o aff che le uméro obteu wrtel alea o compte u trage de plus a : a+l o accumule le uméro b : b + alea pus o recommece avec les boules restates uméros alea.... Truc alea- l, a, b Il s arrète quad le uméro est obteu et e totalse pas ce uméro le programme demade le ombre total de boules talse les compteurs à et pas à 0...? car le trage avec la boule est pas comptablsé les compteurs état après la codto f alea > the. fat les trages Truc, a, b ; pus aff che les résultats wrtel a, a, b, b Avec u programme tératf : Corrgé CCIP 2000 Page 9/ 2

10 var, a, b : teger ; Beg a : 0 ; b : 0;. wrte : ; readl ; repeat : radom + ; wrtel ; a : a+l; b : b + ; utl wrtel a, a, b, b, Ed. ce qu est beaucoup plus smple et aturel. Parte 5. O cosdère l ure U coteat boules umérotées etre et. A partr de l ure U o effectue la sute de trages décrte das l etête du problème. Pour eter de {,..., }, o déft Z la varable aléatore égal à s, lors d u quelcoque de ces trages, o a obteu la boule uméro, égale à 0 so.. La boule e peut être obteue que lors du premer trage. Doc Z et P Z et P Z 0 Beroull de paramètre / doc Z sut ue lo de La varable Z vaut s le uméro est obteu lors des trages. Or l expérece s arrête justemet au trage de. Doc Z est la varable costate qu vaut. 2. a Comme précédemmet o dstgue suvat la valeur de I : S I k et que k <, o retre toutes les boules k - doc la boule - et o e peut plus l obter Doc P Z /I k 0 S I j o a eu j dès le premer trage doc P Z /I j S I k et que k, o cotue l expérece avec les boules k. Doc P Z /I k P Z k E utlsat la formule des probabltés totales, o trouve alors : I k k [[,]] système complet d évéemet et u eter de {,..., } P Z PI k 0 + PI + k+ Z P I k Z /I P I + P Z k k+ PI k Z /I k P I Corrgé CCIP 2000 Page 0/ 2

11 b Pour calculer P Z o a beso de P Z k pour tous les k de + à. O pred doc comme hypothèse de récurrece et o démoter que pour tout, o a pour tout k et pour tout de {,..., k}, Z k sut la lo de Beroull de paramètre.: C est vra pour et {}, Z Z est certae égale à doc sut ue lo de Beroull de paramètre / Sot tel que pour tout, o a et pour tout de {,..., } et pour tout k, Z k sut la lo de Beroull de paramètre. Alors pour + l y a à démotrer la proprété pour k + les autres cas sot das l hypothèse : o peut utlser la proprété du 2a pour {..., }, la valeur + devra être tratée à part. Pour {..., } o a P Z k+ et comme + k + alors k et Z k sut ue lo de Beroull de paramètre. Doc + P Z k par hypothèse de récurrece P Z [ k+ + + P Z k ] + k Doc pour tout {..., } la varable aléatore Z + sut be ue lo de Beroull de paramètre et pour + o a d après Z + + qu sut ue lo de Beroull de paramètre + C.Q.F.D. Doc pour tout eter, o a pour tout {,..., } Z qu sut ue lo de Beroull de paramètre 3. Z est le ombre de boules obteue lors des trages o e a eu ou 0 Doc est le ombre total de boules obteues, tous uméros cofodus. Doc Z Z X et EX E Z suvat ue lo de Beroull de paramètre est. Et o retrouve be le résultat vu précédemmet. h car l espérace d ue varable Corrgé CCIP 2000 Page / 2

12 4. O a Y Z E effet s la boule est trée, alors Z total so. Doc EY E Z et o rajoute et o e rajoute re au E Z Corrgé CCIP 2000 Page 2/ 2

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