Fonctions exponentielles

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonctions exponentielles"

Transcription

1 Fonctions exponentielles Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Fonctions x q x, avec q > Fonction exponentielle de base q Sens de variation Conséquences de la relation fonctionnelle La fonction exponentielle x e x Définition premières propriétés Dérivée Courbe représentative Fonctions x exp (u (x)) Table des figures 1 Exemples de fonctions x q x Courbe représentative de x e x Liste des tableaux 1 Tableau de variations de x e x Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 FONCTIONS X Q X, AVEC Q > 0 En préliminaire au cours : Activités : 1 1 page 74 [TransMath] 1 Fonctions x q x, avec q > Fonction exponentielle de base q Théorème-Définition : (admis) Soit q un nombre strictement positif. On considère le nuage de points représentatif de la suite géométrique (q n ) (voir figure ). Il existe une unique fonction f définie sur R qui satisfait aux conditions suivantes : la courbe représentative de f est un prolongement continu de ce nuage de points ; f est dérivable sur R pour tous nombres réels x et y, f (x + y) = f (x) f (y) (cette dernière relation est appelé relation fonctionnelle) Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base q. Pour tout nombre réel x, on note f (x) = q x. (a) Fonction x 1, 2 x (b) Fonction x 0, 85 x Figure 1: Exemples de fonctions x q x Remarque : On utilise la calculatrice pour calculer des images par cette fonction. Par exemple, 1, 21 2,3 1, Sens de variation Comme la fonction exponentielle de base q est un prolongement continu de la suite géométrique (q n ), son sens de variation est le même que celui de cette suite : Propriété : Si 0 < q < 1, la fonction x q x est strictement décroissante sur R. Si q = 1, la fonction x q x est la fonction constante x 1 sur R. Si q > 1, la fonction x q x est strictement croissante sur R. Remarque : Pour des exemples de tracé, voir la figure. Exercices : 1, 2 page 79 2 [TransMath] 1. Approche de la notion d équation différentielle. 2. Représentation graphique de q x. 2

3 2 LA FONCTION EXPONENTIELLE X E X 1.3 Conséquences de la relation fonctionnelle 1.3 Conséquences de la relation fonctionnelle Rappel : Soient q > 0 et x, y deux réels. Alors : Propriété 1 : Pour tout nombre réel x, on a q x > 0. Démonstration : On a : x = x 2 + x 2. Par suite : q x+y = q x q y q x = q x 2 + x 2 x x ( x = q 2 q 2 = q 2 ) 2 On a donc q x > 0. Théorème 2 : Soient q > 0, x et y deux réels. 1. q x = 1 q x 2. q x y = qx q y 3. q 1 2 = q 4. Si n est un entier relatif, (q x ) n = q nx Démonstration (partielle) : 1. D après la relation fonctionnelle : q x x = q x q x. De plus, q x x = q 0 = 1 donc q x q x = 1 et comme q x 0, q x = 1 q x. Remarques : 2. D après la relation fonctionnelle : q x y = q x q y = q x 1 q y = qx q y. 3. On a déjà vu que q x > 0 et ( q x 2 ) 2 = q x donc q x 2 = q x et, en particulier, pour x = 1, q 1 2 = q. 4. Admis 1. On retrouve des propriétés similaires à celles des puissances. 2. Le point 3. se généralise : pour q > 0 et n entier naturel non nul, on peut vérifier que q 1 n est le nombre positif qui, élevé à la puissance n donne q. On dit que c est la racine n-ième de q et on note : q 1 n = n q. Exercices : 6, 7, 8, 10, 11, 13 page 81 et 28, 29, 30 page , 41, 42, 43 page , 49 page 87 5 [TransMath] 2 La fonction exponentielle x e x 2.1 Définition premières propriétés Activité : Activité 2 page 74 6 [TransMath] Théorème-Définition : (admis) Parmi les fonctions x q x, il en existe une seule dont le nombre dérivé en x = 0 est égal à 1. On note e la valeur de q correspondante. La fonction x e x est appelé fonction exponentielle et est notée exp. On a donc exp (0) = Transformation d expressions. 4. Résolution d équations. 5. Résolution d inéquations. 6. À la recherche d une courbe. 3

4 2.2 Dérivée Courbe représentative 2 LA FONCTION EXPONENTIELLE X E X Remarque : à la calculatrice, on obtient e 2, 72. Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Remarque : Il suffit d appliquer la propriété du 1.2 avec q = e 2, 72. On en déduit le résultat suivant : Propriété : Pour tous réels a et b, on a : e a = e b équivaut à a = b. e a < e b équivaut à a < b. e a > e b équivaut à a > b. Remarque : En particulier, comme e 0 = 1 : e x > 1 x > 0 Exercices : 31, 32 page 86 et 33 page , 37, 39 page , 45, 47 page , 53, 54 page [TransMath] 2.2 Dérivée Courbe représentative Propriété : (admise) La fonction exponentielle est dérivable sur R et sa dérivée est égale à elle-même. On a donc : (e x ) = e x Remarques : 1. Pour une idée de la démonstration, voir page 77 [TransMath]. 2. On a déjà vu que e x > 0. La dérivée de la fonction exponentielle est donc strictement positive. On retrouve le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. 3. On peut alors donner le tableau de variations de la fonction exponentielle. on se référera au tableau 1. x (exp) (x) e + exp (x) 1 e Table 1: Tableau de variations de x e x 4. On peut alors construire la courbe représentative de la fonction exponentielle à l aide d un tableau de valeurs en remarquant que chaque résultat trouvé correspond non seulement à l ordonnée du point de la courbe mais aussi au coefficient directeur de la tangente (car (exp) = exp). On se référera à la courbe de la figure Transformation d écritures. 8. Utilisation de la croissance stricte. 9. Résolution d équations. 10. Résolution d inéquations. 4

5 RÉFÉRENCES 2.3 Fonctions x exp (u (x)) Figure 2: Courbe représentative de x e x Exercices : 3, 4, 5 page 80 et 59, 60, 62, 63, 65, 66 page page page page , 84 page 90 et 88 page [TransMath] 2.3 Fonctions x exp (u (x)) Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f (x) = e u(x) est dérivable sur I et : f (x) = u (x) e u(x) Remarque : En particulier, comme l exponentielle est strictement positive, f est du même signe que u. Exercices : 14, 15 page 82 et 71, 73, 74 page , 77 page 89 ; 81, 82, 85, 89 page 91 et 92 page page page 91 et 91 page , 105 page [TransMath] Références [TransMath] TransMATH Term ES Spécifique / L Spécialité, édition 2012 (Nathan) 11. Calcul de dérivées. 12. Théorème des valeurs intermédiaires. 13. Tangente commune. 14. Identification. 15. Étude de fonctions. 16. Dérivée de exp (u) 17. Étude de fonctions. 18. Identification. 19. Exponentielle d une fonction. 20. Type BAC. 5

6 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES 2, 3, 4, 5 6

Fonctions Exponentielles

Fonctions Exponentielles Fonctions Exponentielles Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2011/2012 Table des matières 1 Définition Premières propriétés 2 1.1 Définition................................................. 2 1.2 Premières

Plus en détail

Terminale ES. Les fonctions exponentielles

Terminale ES. Les fonctions exponentielles Terminale ES 1 x q x avec q > 0 I Fonction exponentielle de base q Propriété - Définition q désigne un nombre réel strictement positif. On considère le nuage de points représentatif de la suite (q n ).

Plus en détail

Fonctions puissances Croissances comparées

Fonctions puissances Croissances comparées Fonctions puissances Croissances comparées Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 200/20 Table des matières Puissances réelles 2. Définition Premières propriétés.................................... 2.2 Propriétés

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Continuité : une approche graphique 2 2 Théorème des valeurs intermédiaires 3 2.1 Cas des fonctions continues.......................................

Plus en détail

Fonctions convexes. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013

Fonctions convexes. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013 Fonctions convexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Convexité Point d inflexion 2 1.1 Notion de convexité, de concavité.................................... 2 1.2 Point

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

Chapitre 4 : Fonctions exponentielles

Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Chapitre 4 : Fonctions exponentielles I. Activité : Construction de la fonction : avec > 0 Soit > 0 un réel strictement positif, ( ) est la suite géométrique définie pour tout entier par =. Comme ( ) est

Plus en détail

Fonctions Affines Problèmes du premier degré

Fonctions Affines Problèmes du premier degré Fonctions Affines Problèmes du premier degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2016/2017 Table des matières 1 Fonctions Affines 2 1.1 Définition Représentation graphique.................................

Plus en détail

Continuité Compléments de dérivation

Continuité Compléments de dérivation Continuité Compléments de dérivation Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Notion de continuité 1.1 Limite finie en un réel a......................................... 1. Définitions

Plus en détail

Équations de droites

Équations de droites Équations de droites Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Équations de droites 2 1.1 Rappels sur les fonctions affines..................................... 2 1.2 Équations

Plus en détail

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013 Suites numériques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 01/013 Table des matières 1 Suites géométriques : Rappels et compléments 1.1 Définition, exemples........................................... 1. Expression

Plus en détail

Représentations graphiques

Représentations graphiques Représentations graphiques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2010/2011 Table des matières 1 Courbe représentative d une fonction 2 1.1 Lecture d image.............................................. 2

Plus en détail

Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 04/05 Table des matières Rappels de trigonométrie. Définitions, premières propriétés..................................... Formules de trigonométrie.......................................

Plus en détail

Fonctions dérivées Applications

Fonctions dérivées Applications Fonctions dériées Applications Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 04/05 Table des matières Quelques rappels. Nombre dérié Tangente......................................... Notion de fonction dériée.........................................3

Plus en détail

Dérivées et applications

Dérivées et applications Dérivées et applications I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de la tangente

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE Ph DEPRESLE 29 juin 205 Table des matières Propriétés algébriques 2 2 Nouvelle notation 2 3 Étude de la fonction exponentielle 2 3. Variations et ites........................................

Plus en détail

Terminale ES. La fonction logarithme népérien

Terminale ES. La fonction logarithme népérien Terminale ES La fonction logarithme népérien 1 I Liens avec la fonction exponentielle Définition On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et à valeurs dans ]0;+ [. Ainsi, pour

Plus en détail

Chap 3 Fonctions exponentielles (1)

Chap 3 Fonctions exponentielles (1) Chap 3 Fonctions exponentielles () Terminale ES Chap 3 - Fonctions exponentielles I. Les fonctions exponentielles de base q...4 ) Introduction...4 2) Définition...5 3) Propriété de la fonction exponentielle

Plus en détail

Chapitre 2 : Fonctions QCM Pour bien commencer (cf. p. 58 du manuel)

Chapitre 2 : Fonctions QCM Pour bien commencer (cf. p. 58 du manuel) Chapitre 2 : Fonctions QCM Pour bien commencer (cf. p. 58 du manuel) Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Exercice n 1 On considère la figure ci-dessous où cinq droites sont tracées.

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle 1 et définition La fonction exponentielle Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :.................. Définition Cette fonction est appelée............................ On note : Ainsi

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

Fonctions exponentielles. 1. Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles. 1. Des suites géométriques aux fonctions exponentielles Chapitre 02 Terminale ES Fonctions exponentielles Ce que dit le programme CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions exponentielles Fonction xaq x avec q > 0. Relation fonctionnelle. Fonction

Plus en détail

Chapitre 5 : Compléments sur la dérivation La fonction exponentielle

Chapitre 5 : Compléments sur la dérivation La fonction exponentielle Chapitre 5 : Compléments sur la dérivation La fonction exponentielle I. Compléments sur la dérivation 1 Activité Activité A traiter sur feuille annexe Soient f la fonction définie sur R par f(x) = 3x 2

Plus en détail

Variations des fonctions associées

Variations des fonctions associées Variations des fonctions associées Année scolaire 2014/2015 Table des matières 1 Quelques rappels 3 1.1 Sens de variation d une fonction..................................... 3 1.2 Fonctions affines.............................................

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle

Plus en détail

T le ES. Mathématiques. Pascal CHAUVIN. 8 janvier 2017

T le ES. Mathématiques. Pascal CHAUVIN. 8 janvier 2017 Mathématiques Pascal CHAUVIN T le ES 8 janvier 2017 cbed Paternité Pas d utilisation commerciale Partage des conditions initiales à l identique Licence Creative Commons 2.0 France 2 Table des matières

Plus en détail

Fonctions exponentielles. 1. Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles. 1. Des suites géométriques aux fonctions exponentielles Chapitre 05 Terminale S Fonctions exponentielles Ce que dit le programme CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction exponentielle x a exp(x) Relation fonctionnelle, notation e x. Démontrer l unicité

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Généralités 1.1 Définitions................................................. 1. Règles de calcul dans C.........................................

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail

4 Déterminer les limites suivantes. 1) lim x e1 2x. e x x+ 1 e 2x + 1 3) lim x 5 Montrer que l équation e 3x 6 = 0 admet une.

4 Déterminer les limites suivantes. 1) lim x e1 2x. e x x+ 1 e 2x + 1 3) lim x 5 Montrer que l équation e 3x 6 = 0 admet une. ANALYSE Logarithme népérien 5 Connaissances nécessaires à ce chapitre Connaître l allure de la courbe de la fonction exponentielle Connaître les propriétés algébriques de la fonction exponentielle Résoudre

Plus en détail

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 3 Exponentielles Table des matières I Exercices I-................................................ I- 2................................................

Plus en détail

Second degré Équations et inéquations

Second degré Équations et inéquations Second degré Équations et inéquations Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Fonction trinôme du second degré 1.1 Définition et rappels sur le sens de variation..............................

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Droites des réels Intervalles de R 2 1.1 Définitions................................................. 2

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0 Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe représentative de f et x un élément de I. Si f est croissante sur un intervalle, alors f (x )> sur cet intervalle. Si f est décroissante

Plus en détail

Fonction exponentielle. Définition Pour tout réel a, on appelle exponentielle de a et on note exp(a), l'unique réel b tel que ln b=a.

Fonction exponentielle. Définition Pour tout réel a, on appelle exponentielle de a et on note exp(a), l'unique réel b tel que ln b=a. Chapitre 6 Fonction exponentielle I. DEFINITION Définition Pour tout réel a, on appelle exponentielle de a et on note exp(a), l'unique réel b tel que ln b=a. Remarques On a donc ln(exp( a))=a. ln(1)=0

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. ln = a.

FONCTION LOGARITHME. ln = a. FONCTION LOGARITHME I. DEFINITION DU LOGARITHME a) Définition Problème : Soit a un réel strictement positif. Démontrer que l équation e x = a admet une solution unique α dans IR. (théorème des valeurs

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle I) Définition de la fonction exponentielle 1) Théorème 1: Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que : Pour tout nombre x, f (x) = f(x), et f(0) = 1 Cette fonction

Plus en détail

Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien

Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien I La fonction logarithme népérien TD1 : Fonction exponentielle et réciproque 1. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e x. On note C f sa courbe représentative.

Plus en détail

Sachant que pour tout réel ( q>0 ) et. Pour tous entiers relatifs m et p, f(m) f(p)=q m q p = q m+p = f(m+ p)

Sachant que pour tout réel ( q>0 ) et. Pour tous entiers relatifs m et p, f(m) f(p)=q m q p = q m+p = f(m+ p) Lcée JANSON DE SAILLY 7 novembre 06 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES CONSTRUCTION EXPÉRIMENTALE DE LA FONCTION f : x q x, AVEC q>0 Soit q>0 un réel strictement positif. (u n ) est la suite géométrique définie

Plus en détail

Chapitre 6 : La fonction exponentielle

Chapitre 6 : La fonction exponentielle I Définition Chapitre 6 : La fonction exponentielle Propriété (admise) I J Soient u : une fonction affine, et v une fonction dérivable sur l intervalle x ax+b J. Alors la fonction f définie sur I par f(x)

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

La fonction puissance

La fonction puissance La fonction puissance Table des matières Fonction puissance. Définition.................................. Propriétés.................................. Eercices.................................. Etude de

Plus en détail

Fonctions de référence 1

Fonctions de référence 1 Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus. Définitions Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir

Plus en détail

Inégalités Valeur absolue

Inégalités Valeur absolue Inégalités Valeur absolue Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Intervalles de R 2 2 Comparaison de deux réels. 3 2.1 Inégalités.................................................

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Table des matières I Introduction de la fonction exponentielle Théorème.................................................. Démonstration...............................................

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

Sujets de bac : Intégration

Sujets de bac : Intégration Sujets de bac : Intégration Sujet n 1 : Liban juin 2006 Partie A : étude d une fonction Soit la fonction définie sur l intervalle 0; par ln 1 Sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; est

Plus en détail

Exercices supplémentaires : ln

Exercices supplémentaires : ln Exercices supplémentaires : ln Partie A : Propriétés algébriques Exprimer en fonction de ln2 : Exercice 2 Simplifier les expressions suivantes ln 1 2 ; ln8 ; ln64 ; ln2 ; ln64 ; ln 32 ; ln 2 ; ln 32 ln

Plus en détail

Continuité d une fonction et équation

Continuité d une fonction et équation Continuité d une fonction et équation I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l intervalle I se fait

Plus en détail

Chapitre 5 : Fonctions de référence et fonctions associées

Chapitre 5 : Fonctions de référence et fonctions associées Chapitre 5 : Fonctions de référence et fonctions associées I) Sens de variation d une fonction Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle I. Dire que : est croissante sur I signifie que pour

Plus en détail

Colinéarité de vecteurs Équation cartésienne d une droite

Colinéarité de vecteurs Équation cartésienne d une droite Colinéarité de vecteurs Équation cartésienne d une droite Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur les vecteurs 3. Égalité de deux vecteurs.........................................

Plus en détail

Première STMG. Dérivation. sguhel

Première STMG. Dérivation. sguhel Première STMG Dérivation sguhel ... 0 Chapitre 7 : Dérivation... 2 1 Introduction... 2 1.1 Equation de droite, coefficient directeur... 2 1.2 Vers la notion de tangente... 3 1.3 Approche du nombre dérivé

Plus en détail

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2.

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2. Chapitre III : Dérivées de fonctions composées et primitives I. Dérivées de fonctions composées a) Formule Propriété : g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 24 novembre 205 à :22 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Fonction exponentielle.

Fonction exponentielle. Chapitre 5 Fonction exponentielle. L introduction indique l existence de fonctions qui sont proportionnelles à leur dérivée, nous allons étudier la plus simple d entre elle, qui est égale à sa fonction

Plus en détail

CONTINUITE ET CONVEXITE

CONTINUITE ET CONVEXITE CONTINUITE ET CONVEXITE I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite

Plus en détail

Information chiffrée

Information chiffrée Information chiffrée Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Différents types de pourcentages 2 1.1 Proportion, part en pourcentage.................................... 2 1.2

Plus en détail

Fonction carrée Problèmes du second degré

Fonction carrée Problèmes du second degré Fonction carrée Problèmes du second degré Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Quelques rappels 2 1.1 Les identités remarquables........................................ 2 1.2 Développement..............................................

Plus en détail

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx.

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx. EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le résultat suivant : Démontrer que lim x + xe x =. e x lim x + x = +. Partie B. Restitution

Plus en détail

FONCTIONS EXPONENTIELLES

FONCTIONS EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES I. Fonction eponentielle de base q 1) Définition On considère la suite géométrique de raison q définie par u n = q n. Elle est définie pour tout entier naturel n. En prolongeant

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

Chapitre M3 Algèbre 10 FONCTION DERIVEE

Chapitre M3 Algèbre 10 FONCTION DERIVEE TBP Chapitre M3 (A10) Page 1/7 Chapitre M3 Algèbre 10 FONCTION DERIVEE ET ETUDE DES VARIATIONS D UNE FONCTION Capacités Utiliser les formules et règles de variation pour déterminer la dérivée d une fonction.

Plus en détail

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions Année 2016-2017 PCSI ( Baggio ) REVISIONS POUR LES VACANCES Vous devez connaître parfaitement tous les résultats donnés ici sur les généralités de fonctions, sur les fonctions exponentielles et logarithmes

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

FONCTIONS EXPONENTIELLES

FONCTIONS EXPONENTIELLES FONCTIONS EXPONENTIELLES I. Fonction eponentielle de base ) Définition On considère la suite géométriue de raison n définie par u. n Elle est définie pour tout entier naturel n. En prolongeant son ensemble

Plus en détail

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54 Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments () Fonctions réelles : 1 / 54 1 Fonctions logarithmes et exponentielles Le logarithme népérien L exponentielle Logarithmes et exponentielles de base

Plus en détail

Chapitre 9. La fonction exponentielle

Chapitre 9. La fonction exponentielle Chapitre 9. La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien. I. Définition de la fonction exponentielle

Plus en détail

TERMINALE ES Fonctions 2/2 La convexité

TERMINALE ES Fonctions 2/2 La convexité * 1. Rappels sur la dérivation 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel de I. Soit h un nombre très petit et non nul. Alors Dire que f est dérivable en a de I signifie

Plus en détail

Résumés de cours et Méthodes Maths Terminale S

Résumés de cours et Méthodes Maths Terminale S Stages intensifs Résumés de cours et Méthodes Maths Terminale S www.groupe-reussite.fr contact@groupe-reussite.fr 1 2 Chapitre 1 Fonction exponentielle, logarithme népérien, logarithme décimal 1.1 Fonction

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

EXPONENTIELLES. I Fonction exponentielle de base q. Exercice 01. Exercice 02

EXPONENTIELLES. I Fonction exponentielle de base q. Exercice 01. Exercice 02 EXPONENTIELLES I Fonction exponentielle de base q Exercice 0 Les lois de Moore sont des conjectures énoncées par Gordon Moore (un des trois fondateurs d Intel). En 965, Moore postulait que la complexité

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj DÉRIVATION I. Rappels Vidéos ttps://www.youtube.com/playlist?listplvudmbpupcaoy7qiladhc9-rbgvrgwj ) Fonction dérivable Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel

Plus en détail

Chapitre 3 FONCTION EXPONENTIELLE TES

Chapitre 3 FONCTION EXPONENTIELLE TES Chapitre 3 FONCTION EXPONENTIELLE TES «La plus grande faiblesse de la race humaine vient de son incapacité à comprendre la fonction exponentielle.» Albert Bartlett 1 I Fonctions exponentielles de base

Plus en détail

Exercices supplémentaires Dérivation

Exercices supplémentaires Dérivation Exercices supplémentaires Dérivation Partie A : Lecture graphique et tracé de tangente Exercice Lire graphiquement le coefficient directeur s il existe de chacune des droites représentées ci-dessous. -

Plus en détail

Seconde Fiche d objectifs du chapitre

Seconde Fiche d objectifs du chapitre Chapitre 7 : Fonctions affines Seconde Fiche d objectifs du chapitre 7 2016-2017 SAVOIR Variations d une fonction affine Représenter graphiquement une fonction affine Coefficient directeur Ordonnée à l

Plus en détail

Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme

Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme Fiche d exercices 6 : Fonction logarithme Exercice 1 Propriétés des fonctions logarithmes 1. Donner la définition, l ensemble de définition et la dérivée de ln ( x) 2. a. Quelle est la qualification de

Plus en détail

Fonctions logarithmes

Fonctions logarithmes La fonction logarithme népérien. Définition et propriétés Fonctions logarithmes La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Plus en détail

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE I/ Fonctions polynômes et rationnelles a- Fonctions polynômes Une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) est une fonction définie sur R par: f (x) = a n

Plus en détail

La fonction exponentielle Équations différentielles

La fonction exponentielle Équations différentielles La fonction exponentielle Équations différentielles Table des matières Existence et unicité de la fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Propriétés de la fonction

Plus en détail

Lycée de la Plaine de l Ain Bac. blanc Mathématiques Terminale S. Mars 2005

Lycée de la Plaine de l Ain Bac. blanc Mathématiques Terminale S. Mars 2005 Lycée de la Plaine de l Ain Bac. blanc Mathématiques Terminale S Mars 2005 1 Exercice 1 (4 points). A ne traiter que par les élèves ne suivant pas l enseignement de spécialité. 1. Résoudre dans C l équation

Plus en détail

. Calculer l image par la fonction de : a. 1 b. 0,1 c. d. e. avec nombre réel,

. Calculer l image par la fonction de : a. 1 b. 0,1 c. d. e. avec nombre réel, CHAPITRE 3 Dérivation 1 Calculer une image est une fonction définie par une formule qui exprime en fonction de x Pour calculer l image d un nombre par la fonction, on remplace par dans la formule qui définit

Plus en détail

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015 Produit scalaire Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Différentes expressions du produit scalaire 1.1 Norme d un vecteur........................................... 1. Définition

Plus en détail

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Intégrale et aire On considère la fonction affine f dont la courbe ci-contre passe par les points A et B. ) Déterminer l epression de f(). ) En déduire une primitive F de f. ) a) Déterminer l intégrale

Plus en détail

Suites et récurrence

Suites et récurrence Suites et récurrence 1 Suites arithmétiques et géométriques 1.1 Définitions * On dit que la suite (u n ) est arithmétique s il existe un réel r appelé raison tel que, pour tout n dans N, on ait : u n+1

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle On rencontre la fonction exponentielle dans de nombreux domaines scientifiques (physique, mécanique, chimie, médecine, sciences humaines... ); en mathématiques, elle joue un rôle essentiel dans la résolution

Plus en détail

Chapitre I Les fonctions exponentielles et logarithmes

Chapitre I Les fonctions exponentielles et logarithmes Chapitre I Les fonctions exponentielles et logarithmes Table des matières 1 La fonction exponentielle 2 1.1 Existence et unicité........................................ 2 1.2 Relation fonctionnelle.......................................

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. 2 exemple 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f 5

FONCTION LOGARITHME. 2 exemple 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f 5 FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE La fonction carrée La fonction carrée est dérivable et strictement monotone sur [ 0 ; 2 ] D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire pour tout

Plus en détail

2 cos x =. 0 ;2π l équation sin x =. Corrigés des exercices de trigonométrie

2 cos x =. 0 ;2π l équation sin x =. Corrigés des exercices de trigonométrie Corrigés des eercices de trigonométrie I. Résoudre algébriquement des équations, des inéquations Pour les eercices suivants, on utilisera le cercle trigonométrique Eercice 1 Résoudre dans l intervalle

Plus en détail

mod 11 ou encore mod 11 car 3 5 = 243 = = 1 [11].

mod 11 ou encore mod 11 car 3 5 = 243 = = 1 [11]. Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février Exercice 5 points Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques. (a) Quel est le reste de la division euclidienne de 6 0 par? Justifier. On a

Plus en détail

Compléments à la fonction ln. Fonctions exponentielles. Fonctions puissances.

Compléments à la fonction ln. Fonctions exponentielles. Fonctions puissances. Compléments à la fonction ln. Fonctions exponentielles. Fonctions puissances.. Fonctions composées avec ln... p2 4. Fonctions puissances... p8 2. Exposants réels... p4 5. Croissances comparées... p0 3.

Plus en détail

Suites arithmétiques Suites géométriques

Suites arithmétiques Suites géométriques Suites arithmétiques Suites géométriques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Suites arithmétiques 2 1.1 Définition, exemples........................................... 2

Plus en détail

On notera α cette solution. b. A l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10 2

On notera α cette solution. b. A l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10 2 Liban Juin 010 Série S Exercice Partie A Soit u la fonction définie sur 0; + par : ux ( ) = x + lnx 1 Etudier les variations de u sur 0; + et préciser ses limites en 0 et en + a Montrer que l équation

Plus en détail

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- Comparaison de deux nombres réels Exemple On veut comparer les nombres a et a 2 pour a nombre réel positif on nul quelconque. Si a = 0, 5, alors a 2 = 0, 25 et on

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

Fonction exponentielle 1

Fonction exponentielle 1 Fonction eponentielle 1 Unicité de la solution de l équation différentielle Conséquences 1. Si f est une solution de l équation différentielle y = y, y(0) = 1, alors, pour tout réel, f( )f() = 1 et f()

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail