Fonctions exponentielles

Transcription

1 Fonctions eponentielles Terminale ES 22 septembre 2013 Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

2 Fonctions du type q On admet la propriété suivante : Propriété 1 Soit q > 0, un réel. Il eiste une fonction définie sur R, à valeurs dans ]0 ;+ [, qui réalise un prolongement continu de la suite géométrique (q n ). La fonction q est appelée fonction eponentielle de base q. Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

3 Eemple avec q = 2 : f () = Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

4 Eemple avec q = 0,7 : g() = 0, Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

5 Construction d une fonction eponentielle Prenons l eemple de q = 2. Appelons f la fonction qui réalise le prolongement cherché. On peut donc dire : pour n N, f (n) = 2 n. Autrement dit, chaque fois que augmente de 1, f () est multiplié par etc. f () etc Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

6 Si on représente graphiquement cette suite, on obtient ceci : Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

7 De même, on peut supposer que chaque fois que augmente de 0,5, f () est multiplié par un nombre constant a. On passe de f (0) à f (0,5) puis de f (0,5) à f (1), et ainsi de suite en multipliant à chaque fois par a. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 etc. f () etc. a a a a a a Ainsi, multiplier deu fois par a revient à multiplier par 2, ce qui donne : a 2 = 2. On pose donc a = 2. On obtient le tableau suivant. Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 etc. f () etc Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

9 On obtient la représentation graphique suivante : Il y a deu fois plus de points... Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

10 On répète l opération. Chaque fois que augmente de 0,25, f () est multiplié par un nombre constant b. On voit que, cette fois, multiplier 4 fois par b revient à multiplier par 2. On pose donc b = 4 2. On obtient le tableau suivant. 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 f () Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

11 On obtient la représentation graphique suivante : Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

12 En répétant un grand nombre de fois l opération précédente, on construit une liste de plus en plus dense de valeurs de dont on peut définir l image. Autrement dit, on obtient une suite de points de plus en plus "serrés". "À la limite", on obtient une courbe continue. Remarque : Les nombres sont de la forme : n 1 où n et p sont des nombres 2p entiers. Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

13 Propriétés des fonctions eponentielles On admet que ces fonctions sont dérivables sur R et transforment les sommes en produit. Autrement dit : Propriété 2 q a+b = q a q b q a b = qa q b q ab = (q a ) b On retrouve les propriétés classiques des puissances, sauf qu ici, les eposants sont des réels quelconques. On admet aussi que les variations de la fonction q sont les mêmes que celles de la suite (q n ) : Propriété 3 Pour tout réel q > 1, la fonction q est strictement croissante. Pour tout réel q tel que 0 < q < 1, la fonction q est strictement décroissante. Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

14 La fonction eponentielle On admet : Propriété 4 Parmi les fonctions eponentielles, il en eiste une et une seule qui admet 1 pour nombre dérivé en 0. On la note ep, et la base est le nombre noté e. Autrement dit : ep() = e. En particulier, ep(1) = e. Lorsqu on parle de "la" fonction eponentielle sans autre précision, il est sous-entendu que c est la fonction eponentielle de base e. Remarque : bien noter que e est un nombre, pas une fonction. On montre que e 2, Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

15 Étude de la fonction eponentielle Propriété 5 La fonction eponentielle a pour dérivée elle-même. Autrement dit, pour tout R, ep () = ep(). Démonstration. On a : e a+h e a e a e h e a e a ( e h 1 ) ( e lim = lim = lim = e a h 1 ) lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h Or, le nombre dérivé en 0 de la fonction eponentielle est 1, ce qui signifie : lim h 0 ( e h 1 ) h = 1 Par conséquent : e a+h e a lim = e a h 0 h Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

16 Propriété 6 (signe) Pour tout R, ep() > 0. Propriété 7 (variations) Pour tout, ep () = ep() et ep() > 0. Donc ep est strictement croissante sur R. Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

17 En résumé : f () 0 1 e + Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

18 La courbe : 50 e Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19

19 Dérivée de e u() Soit u une fonction dérivable. Soit f la fonction définie par : f () = e u(). Propriété 8 La fonction f est dérivable et on a : f () = u () e u(). Eemple : Dérivée de f définie par f () = e 52. On pose u() = 5 2. Alors u () = 5 2 = 10. D après la formule, f () = 10e 52. Terminale ES () Fonctions eponentielles 22 septembre / 19