Exercice N 1 : (5.5 points)

Transcription

1 Le sujet est composé de quatre exercices indépendants sur trois pages dont une annexe à rendre avec la copie. La présentation, la qualité de la rédaction, la rigueur et la clarté des résultats entreront pour une part importante dans l évaluation de la copie. La machine à calculer est autorisée. L annexe page 5 est à rendre complétée avec la copie. Exercice N 1 : (5.5 points) L annexe 1 est à compléter avec l exercice. On considère le polynôme P défini par P(z) = z ) 2) a) Calculer P(i ). b) On admet que s il existe un nombre complexe u tel que P(u) = 0 alors P( )= 0. En déduire que l équation P(z) = 0 admet deux solutions imaginaires pures que l on donnera. a) Vérifier que pour tout nombre complexe z, P(z) = ( + 3) ( -6z +21). b) Résoudre dans C, l équation z + 63 = 0. 3) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; ; ) a) Placer sur la figure donnée en annexe 1 les points A, B, C et D d affixes respectives = i ; = - i ; = i et =. On prendra une valeur approchée de pour la réalisation de la figure. b) On note E le symétrique du point D par rapport à O. Calculer l affixe du point E et placer ce point E sur la figure. c) Conjecturer la nature du triangle BEC puis démontrer cette conjecture. Lycée Jay de Beaufort Page 1

2 Exercice N 2 : QCM d après BAC S (4.5 points) Pour chaque question, une seule proposition est exacte. Indiquer laquelle en justifiant à chaque fois avec soin. Les réponses exactes seront recopiées sur la copie. Une bonne réponse rapporte 0.75 point, une réponse incorrecte enlève 0.75 point. En cas de total négatif, la note est ramenée à 0. Pour les questions 1 à 3, on considère la fonction f définie sur IR par et on note sa courbe représentative dans un repère. 1. a) b) c) d) 2. La courbe C admet comme asymptote la droite d équation : a) b) c) d) 3. Sur l intervalle, la courbe : a) est au-dessus de son asymptote horizontale. b) est en dessous de son asymptote horizontale. c) coupe son asymptote horizontale. 4. L équation z =, d inconnue complexe z, admet : a) Une solution b) Deux solutions c) Une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite. d) Une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle. 5. L ensemble des solutions dans C de l équation = z est : a) b) L ensemble vide c). 6. Le conjugué de est égal à a) Son opposé b) Son inverse c) L opposé de son inverse. Lycée Jay de Beaufort Page 2

3 Exercice 3 : Recherche d ensembles de points (4.5 points) Pour tout nombre complexe,, on pose. L objectif de l exercice est de déterminer et de représenter dans le plan complexe l ensemble des nombres complexes tels que soit réel puis tels que soit imaginaire pur. L annexe 2 est à compléter avec l exercice. On pose, avec et réels tels que (x ; y) (0 ; 2). 1 ) Montrer que a pour forme algébrique :. 2 ) On note l ensemble des points M du plan complexe d affixes z tels que soit imaginaire pur. Déterminer avec précision la nature de l ensemble annexe 2.. Représenter cet ensemble en vert en 3 ) On note l ensemble des points M du plan complexe d affixes z tels que soit réel. Déterminer la nature de l ensemble et représenter cet ensemble en rouge en annexe 2. Lycée Jay de Beaufort Page 3

4 Exercice N 4 : Centre etranger : 12 Juin 2013 (5.5 points) 1. Montrer que la suite ( ) est géométrique de raison et exprimer en fonction de n pour tout entier naturel n. Partie C : Retour à l algorithme Dans cette question toute trace de recherche sera prise en compte lors de l évaluation. En s inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d afficher le plus petit entier naturel n tel que < Lycée Jay de Beaufort Page 4

5 Nom : Annexe (A rendre avec la copie) Prénom : Annexe 1 : Annexe 2 : Lycée Jay de Beaufort Page 5

6 Correction : Exercice N 1 : 1) a) P(i ) =0 b) On en déduit que P(-i ) = 0 ; Ainsi, et sont deux solutions complexes imaginaires pures de l équation P(z)=0. 2) a) On développe. On obtient l expression L égalité est donc vérifiée. qui est égale à P(z). b) Dans C, La première équation admet et comme solutions. Pour la seconde : Le discriminant est = - 48 < 0, il y a donc deux solutions complexes conjuguées : et Par conséquent, les solutions de P(z) = 0 sont ; ;. 3) a) cf schéma ci-dessous. b) L affixe du point, symétrique de par rapport à l origine du repère est tel que, (car O est le milieu du segment [DE]). On en déduit que c) On peut conjecturer que le triangle BEC est équilatéral. Lycée Jay de Beaufort Page 6

7 Pour le prouver, montrons que = = : = 3 3i = 6 ; = 3 + 3i ; Et, = = = 6 Donc le triangle BEC est bien équilatéral. Exercice N 2 : f est la fonction définie sur IR par 1. Réponse b) ; En effet, = = = car = 3 et = Réponse b) : La courbe C admet comme asymptote la droite d équation : car 3. Réponse b) Etudions le signe de( f(x) - )sur l intervalle : Pour tout réel x, f(x) - =. Or sur l intervalle, < 0 car > 0 pour tout réel x de l intervalle. On en déduit que f(x) - < 0 soit f(x) < asymptote. et donc (C) se situe strictement au dessous de son 4. Réponse c) : L équation admet donc une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur la droite d équation x = 0 (axe des imaginaires purs). On pose z = x +iy, avec x et y des réels. L équation z = 2x = 0 x = 0. Les solutions de cette équation sont donc les nombres complexes imaginairs purs. Lycée Jay de Beaufort Page 7

8 5. Réponse c) : S = Pour tout nombre complexe z 1, = z z 2 = z(z-1) -2z +2 = 0. -2z +2 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels dans C, de discriminant Δ = - 4. Δ < 0, donc l équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont 1 i et 1 + i. 6. Réponse b) : Son inverse. = = car = z. Or, = =. Exercice N 3 : 1 ) z, = = = = =. Ainsi,. 2 ) z, Z est imaginaire pur Re(Z) = 0 = 0 = 0 = Conclusion : L ensemble (C) des points M du plan complexe d affixe z tels que Z soit imaginaire pur est le cercle de centre Ω(1 ;-3/2), et de rayon R = d affixe -2i. 3 ) z,, privé du point A Z est réel Im(Z) = 0 = 0 = 0 y = x -2 Conclusion : L ensemble (D) des points M du plan complexe d affixe z tels que Z soit réel est la droite d équation réduite y = x -2 privé du point d affixe -2i. Lycée Jay de Beaufort Page 8

9 On obtient la figure suivante : Exercice N 4 : 3. On peut conjecturer que la suite est décroissante et qu elle converge vers 0. Lycée Jay de Beaufort Page 9

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