Calcul différentiel I 201-NYA-05 [3-2-3]

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1 2505, rue Saint-Hubert Jonquière, Québec G7X 7W2 Tél : (418) Fax : (418) Département de mathématiques et statistiques Collège 1 Sciences de la nature Calcul différentiel I [3-2-3] Session Hiver 2004 Professeur : François Bégin Bureau : Téléphone : poste : 376 Durée : 75 périodes, Site web : Courriel : fbegin@cjonquiere.qc.ca

2 Lien avec le programme : Situé normalement en première session de la première année du programme sciences de la nature. Le cours de mathématiques, calcul différentiel a pour objet l étude de la variabilité et l optimisation des fonctions à une seule variable. Ces connaissances pourront être étendues aux fonctions à plusieurs variables à l intérieur d un troisième cours d analyse. L objet de l analyse mathématique vise à explorer des changements à l aide de modèles permettant de les décrire et les évaluer. Ainsi, les concepts de taux de variation instantané sont les outils de base permettant d étudier les fonctions et leurs interrelations dans la description d un objet, d un phénomène, d un comportement. On retrouve donc ces concepts dans les différents aspects du programme. À titre d exemples, il suffit de mentionner l étude du mouvement d un corps en physique mécanique, de la réfraction de lumière selon le principe de Fermat du temps le plus court, en optique, de vitesse de réaction dans une réaction chimique, de la croissance d une population tant humaine qu animale, bactérienne ou virale ou encore de l étude de la dilution d une substance quelconque dans le sang. L étudiant devra développer à l aide de ces cours d analyse l organisation de son travail face à un problème donné, c est à dire, son habilité : À identifier le domaine et les repaires de la question Lecture exacte et connaissance du vocabulaire technique À sélectionner les bons outils associés aux conditions spécifiques du problème Connaissances des règles, théorèmes, prépositions et de leurs contraintes À exécuter correctement les procédures de calcul Maîtrise de l écriture mathématique, des règles d algèbre et des règles spécifiques au cours À analyser la cohérence interne et externe de sa solution. (erreur de calcul ou de raisonnement) (la solution présentée répond-elle à la question demandée). Énoncé de la compétence : Appliquer les méthodes du calcul différentiel à l étude de fonctions et à la résolution de problèmes. Éléments de la compétence I. Reconnaître les caractéristiques d une fonction représentée sous forme d expression symbolique ou sous forme graphique. II. Déterminer si une fonction : a une limite, est continue, est dérivable; en un point et sur un intervalle. III. Appliquer les règles et les techniques de dérivation. 2

3 IV. Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d une fonction et tracer son graphique. V. Résoudre des problèmes d optimisation et de taux de variation. Critères de performance I. Utilisation d une terminologie appropriée. II. Utilisation appropriée des concepts. III. Manipulations algébriques conformes aux règles. IV. Représentation d une situation sous forme de fonction. V. Représentation graphique exacte d une fonction. VI. Choix et application correcte des techniques de dérivation. VII. Justification des étapes de la résolution de problèmes. VIII. Exactitude des calculs. IX. Interprétation juste des résultats. Contenu Étape 1 : Limites et continuité (Chapitres 1-2-3) (Nombre de périodes: 18) A. Rappels : -nombres naturels, entiers relatifs, nombres rationnels, nombres réels, valeur absolue, intervalles -fonctions. B. Limites : -notion de limite. -limite à gauche, limite à droite. -propriétés et calcul de limites. -limites infinies et limites à l infini. -formes indéterminées 0/0, /, -. -asymptotes. C. Continuité : -définition de la continuité. -discontinuités. -théorèmes sur les fonctions continues. 3

4 Étape 2 Dérivées (Chapitre 4) (Nombre de périodes: 20) -taux de variation moyen. -nombre dérivé -vitesse et taux de variation. -fonction dérivée -formules de dérivation. -dérivation des fonctions composées. -dérivation des fonctions inverses. -dérivation des fonctions implicites. -dérivée d ordre supérieur. -dérivée et continuité. Étape 3 Applications de la dérivée (Chapitre 5) (Nombre de périodes: 20) -tangentes et normales. -angle d intersection de deux courbes. -croissance et décroissance. -maximums et minimums relatifs et absolus. -concavité et points d inflexion. -dérivée seconde et extremums relatifs. -construction de courbes. -taux liés. -optimisation. Étape 4 Fonctions transcendantes (Chapitre 6) (Nombre de périodes: 12) -principaux éléments de trigonométrie. -dérivées des fonctions trigonométriques. -fonctions trigonométriques inverses. -dérivées des fonctions trigonométriques inverses. -fonctions exponentielles et logarithmiques. -dérivée des fonctions trigonométriques et exponentielles. -règle de l Hospital. Étape 5 Différentielles (Chapitre 7) (Nombre de périodes: 5) -définition et calcul. -calcul d erreur. -calculs approximatifs. 4

5 Stratégies d apprentissage -prise de notes lors d exposés théoriques. -utilisation d un volume obligatoire. -illustration de la théorie en utilisant les exemples dans le domaine des sciences de la nature. -ateliers de travail en classe en interaction avec le professeur. -travaux personnels à l extérieur des périodes régulières de cours. -utilisation de l ordinateur, principalement par la professeure ou le professeur, pour l illustration des concepts. -utilisation de l ordinateur, principalement par l élève, pour l évaluation et la représentation graphique de valeurs associées à l analyse d une fonction à savoir : o Construction de tableaux de valeurs associées à une fonction o Graphique d une fonction o Taux de variation moyen et instantané o Limite pour des valeurs finies et infinies o Les zéros d une fonction o Analyse de la différentielle d une fonction (dy) versus la variation d une fonction ( y) o Élaboration d un tableau d analyse de la fonction Méthode et évaluation Le cours sera dispensé de façon magistrale à raison de cinq périodes par semaine. La pondération de ce cours est 3-2-3, ce qui signifie qu il y aura environ trois périodes théoriques, deux périodes d exercices en classe et trois périodes de travail personnel à l extérieur des périodes de cours. Examen 1 22,5 % Examen 2 22,5 % Examen 3 22,5 % Examen 4 22,5 % Travaux à l aide du logiciel Maple 5 % Examen sur le logiciel Maple 5 % Au cours de la session, les élèves se sensibiliseront à l utilisation du logiciel Maple. Présence aux examens Il n y aura aucune possibilité de reprise d un examen en cours de session. Si une étudiante ou un étudiant s absente lors d un examen, elle ou il devra contacter la professeure ou le professeur ou le responsable de la coordination départementale de mathématiques pour compléter une fiche justificative dans les cinq jours scolaires qui 5

6 suivent la date prévue de cet examen, sinon la note alloué sera zéro (0). L élève qui aura justifié son absence pourra alors reprendre cet examen à la fin de la session si sa raison est jugée satisfaisante. Cette possibilité de reprise n est possible que pour un examen au cours de la session et à la condition que la moyenne des examens passés soit supérieure à 60%. Note de passage La note de passage minimale pour le cours est de 60%; de plus, une étudiante ou un étudiant devra conserver une moyenne d au moins 60% dans ses examens pour réussir son cours. Plagiat Tout plagiat, toute tentative de plagiat ou toute collaboration à un plagiat entraînera automatiquement la note zéro (0) pour chacune des personnes impliquées. De plus, celles-ci seront expulsées temporairement du cours et devront rencontrer individuellement la professeure ou le professeur afin de discuter de la possibilité d être réintégrées. Révision de note Si une étudiante ou un étudiant désire faire réviser sa note pour un examen, elle ou il devra le faire le plus rapidement possible après la remise, par la professeure ou le professeur, de sa copie corrigée. L élève qui désire obtenir une révision de sa note finale peut en faire la demande auprès de son A.P.I après rencontre avec sa professeure ou son professeur et ce conformément à la politique départementale. Il est de la responsabilité de l élève de fournir les documents à sa demande, sauf l examen final qui demeure la propriété de l enseignante ou de l enseignant. Discipline dans les cours En accord avec la politique d évaluation des apprentissages du Collège de Jonquière, le département de mathématiques considère qu il est du ressort de l enseignante ou de l enseignant de maintenir un climat de travail convenable à l intérieur des cours et par conséquent de prendre, le cas échéant, les moyens pour y parvenir auprès des élèves. Présence aux cours La présence aux cours est obligatoire. Tout étudiant qui accumule plus de 7 périodes (10%) d absence pourra se voir refuser la correction de ses travaux et examens. 6

7 Présence aux cours Lorsque je ne suis pas en cours je suis généralement à mon bureau. Il est évidemment possible de prendre rendez-vous pour que je sois tout à vous pour une période déterminée. François Bégin HORAIRE hiver 2004 Plage Horaire Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi 8:20-9:10 1 local :15-10:05 2 local :15-11:05 local:961.2 local local: :10-12: :05-12: :00-13: :55-14: :55-15:45 Gr: local :50-16:40 Gr: local local Gr: 1500 local local:100.2 local:100.2 Gr: 1500 local Gr: 1500 local local local:216.1 Groupe Cours JQ Titre Calcul Différentiel Calcul Différentiel Modèle Mathématique Médiagraphie Matériel obligatoire : Ouellet Gilles, Calcul I Introduction au calcul différentiel 4 e édition, Le Griffon d argile, Sainte-Foy, L élève doit posséder une calculatrice scientifique. NB : Toute calculatrice graphique est interdite aux examens. Autres références : Charron Gilles et Pierre Parent, Mathématiques 103, Calcul différentiel et intégral I ( 4 e édition), Édition Études vivantes, Laval, Ouellet Gilles, Mathématiques au collégial, Tome I, Calcul différentiel, Les éditions Le griffon d'argile, Sainte-Foy, Guindon, Isabelle et France B.Maggi. Calcul différentiel & intégral I. Les Éditions Pointcarré, Montréal, Beaudet Fernand et Yvon Lavoie, Introduction au calcul différentiel et intégral. Éditions Chenelière/McGRAW-Hill, Montréal, Anton H, Calcul différentiel et intégral, Les éditions Reynald Goulet, Repentigny, Fradette Jean, Calcul différentiel, Les éditions CEC Inc. Thomas, Finney, Weir, Giordano, Adaptation de Vincent Godbout (Dixième édition), Calcul différentiel, Groupe Beauchemin, éditeurs. Bradley Gérald, L., Smith Karl J., Franco Ariel, Marcheterre Bernard, Calcul Différentiel, Éditions ERPI. Franco Ariel, Marcheterre Bernard, MAPLE et le Calcul différentiel, Éditions ERPI. 7