Méthodes numériques TD 3

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1 Université de Savoie L MASS Méthodes numériques TD Exercice : On veut approcher l intégrale I = / exp x ) dx. Donner une valeur approchée de I en utilisant la méthode rectangle à gauche rectangle à droite point milieu trapèze Simpson. Utiliser les méthodes des rectangles à gauche, des trapèzes et de Simpson composites avec sousintervalles pour approcher I.. Donner dans les trois cas un majorant de l erreur.. En combien de sous-intervalles faut-il découper [, /] dans les méthodes des rectangles à gauche composite et des trapèzes composite pour avoir un majorant du même ordre de grandeur que celui obtenu avec la méthode de Simpson pour trois sous-intervalles. Exercice : On considère l intégrale. Calculer la valeur exacte de I I = logx) dx. Donner une valeur approchée de I en utilisant la méthode des trapèzes composite avec sousintervalles. Comparer avec la valeur exacte.. Combien faut-il prendre de sous-intervalles pour assurer une erreur inférieure à? Exercice : Soit f une fonction C R, R).. On considère l approximation fx) dx f ) f) Donner le degré de précision de cette formule de quadrature. ))

2 . On subdivise l intervalle [a, b] en J sous-intervalles [a j, a j+ ] avec a j = a + jh et h = b a J. À l aide d un changement de variable en déduire une formule de quadrature pour approcher l intégrale aj+ a j fx) dx puis une formule de quadrature composite pour l intégrale b a fx) dx. Exercice :. Soit f : [, ] R de classe C, on pose I [,] f) = ft) dt et Ĩf) = α f ) )) + β ) )) f f Déterminer α et β pour que l approximation de I par possible et préciser alors le degré. Ĩ soit de degré de précision le plus élevé. On pose Ĩf) = α f ) ) ) + βfc) Déterminer α, β et c [, ] pour que l approximation de I par Ĩ soit de degré de précision le plus élevé possible et préciser alors le degré.. Déterminer des constantes α, β telles que l approximation xfx) dx αf) + βf) soit exacte pour f polynôme de degré aussi élevé que possible.

3 Corrigés Exercice :. On pose fx) = e x rectangle à gauche rectangle à droite point milieu trapèze Simpson Ĩ = Ĩ = f) Ĩ = f/) Ĩ = f/) Ĩ = f) 6 f) =, 89, 6977 ) )), 7 )), 67. On prend J = sous-intervalles sur [, /], ce qui revient à poser h = 6 et les points a =, a = 6, a =, a = rectangles à gauche Ĩ = h = 6 fa j ) j= f), 7797 ) 6 )) trapèzes fa j ) a j ) Ĩ = h j= = h fa ) a ) a ) ) a ), 597

4 Simpson composite Ĩ = h f) /), 68 ) 6. Grâce un logiciel de calcul formel ou la calculatrice) on a fx) = e x f x) = xe x ) [ ) + f f x) = x )e x f ) x) = 8x x ) e x f ) x) = 6x x + )e x ) )]) 5 et les majorants M = f ) ) =, M = f ) ) =, M = ) f, 7788 Ceci nous permet de majorer l erreur commise avec les trois méthodes composites rectangles à gauche trapèzes Simpson composite E f) E f) E f) b a) M, 5 J b a) J M, b a)5 88J M, Soit J R le nombre nécessaire de sous-intervalles nécessaire pour obtenir une précision de 6 avec la méthode des rectangles, J T pour la méthode des trapèzes. pour la méthode des rectangles on doit assurer b a) M 6 J R on trouve J R 975. pour la méthode des trapèzes = J R b a) M 6 J T 5 Exercice :

5 . Une intégration par parties donne I = logx) dx = [x log x] dx = log, 958. la fonction x log x est concave donc au-dessus de toutes ses cordes. On en déduit que la valeur approchée de l intégrale par la méthode des trapèzes sera toujours inférieure, quelque soit le nombre de sous-intervalles, à la valeur exacte de I calculée à la question précédente. Si on divise l intervalle [, ] en J = sous-intervalles cela revient à prendre h = / et La méthode des trapèzes composite donne a =, a = /, a =, a = 5/, a = f) ) Ĩf) = h + h f ) ) )) 5, 8.. Pour obtenir un précision de on doit diviser l intervalle en J T sous-intervalles avec où on a calculé M =. b a) J M < = J 6 Exercice :. La méthode est d ordre de précision égal à.. On introduit le changement de variable ϕ j qui envoie [, ] sur [a j, a j+ ] ϕ j t) = a j + a j+ + t a j+ a j En faisant ce changement de variable sous l intégrale on obtient aj+ a j fx) dx = a j+ a j a j+ a j f ϕ j t) dt fφ /)) fφ)) φ/))) On en déduit la formule de quadrature pour l intervalle [a j, a j+ ] aj+ fx) dx a ) j+ a j aj+ + a j aj+ + a j f f a j = a j+ a j f a j + h ) f a j + h Enfin en sommant on revient à l intégrale sur l intervalle [a, b] b a fx) dx h ) ) a j + h J [ f a j + h ) f a j + h ) a j + h )] j= )) aj+ + a j )) 5

6 Exercice :. Pour déterminer quel ordre de précision maximal on peut atteindre avec cette méthode de quadrature, on teste la méthode sur les monômes x i pour en déduire des conditions sur les coefficients α, β on teste la méthode contre fx) =, la méthode est exacte pour f et donc par linéarité pour les constantes) ssi = α α = la méthode est donc au moins d ordre si α = /. Dans la suite on suppose que α = / on teste le monôme fx) = x = α + ) + β ) cette égalité n introduit pas de condition supplémentaire sur les coefficients, la méthode est donc au moins d ordre on teste fx) = x, la méthode est d ordre au moins si la relation suivante est satisfaite = 9 + ) + β 9 ) β = avec α = / et β = / on vérifie que la méthode est exacte pour le monôme x et donc que la méthode est d ordre au moins on teste maintenant fx) = x ) ) = 7 6 = si α / alors la méthode n est même pas d ordre, si α = / et β / alors la méthode est d ordre, enfin si α = /, β = / alors la méthode est d ordre.. on reprend la même démarche pour trouver des relations entre α, β et c de degré au moins ssi α + β = de degré au moins ssi de degré au moins ssi α + βc = βc = la résolution de ce système attention non-linéaire!) donne c = β = α = 6

7 On en déduit donc que c est pour ces valeurs de α, β, c que l ordre de la méthode est maximal. Il est de plus exactement égale à car en testant fx) = x, on a x dx = 6 = + ) + ). idem, on trouve que la méthode est d ordre de précision maximal pour α = /6, β = /. L ordre est alors exactement égal à. 7