Complexité des algorithmes
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- Marin Fleury
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1 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 1/29 Complexité des algorithmes Stéphane Grandcolas
2 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 2/29 Algorithmes et structures de données P : un problème M : une méthode pour résoudre le problème P Algorithme : description de la méthode M dans un langage algorithmique du nom du mathématicien perse Al Khuwarizmi ( )
3 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 3/29 Algorithmes et structures de données P : un problème M : une méthode pour résoudre le problème P Algorithme : description de la méthode M dans un langage algorithmique du nom du mathématicien perse Al Khuwarizmi ( ) Structure de données : manière d organiser et de stocker les données (supposée rendre efficace certaines opérations)
4 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 4/29 Structures algorithmiques Structures de contrôle séquence embranchement (ou sélection) boucle (ou itération) Supports pour les structures de données constantes, variables tableaux structures récursives (listes, arbres, graphes)
5 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 5/29 Complexité des algorithmes On veut Evaluer l efficacité de la méthode M Comparer M avec une autre méthode M indépendamment de l environnement (machine, système, compilateur,...)
6 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 6/29 Complexité des algorithmes Evaluation du nombre d opérations élémentaires en fonction de la taille des données (par exemple le nombre d éléments à trier) de la nature des données (provoquant par exemple la sortie d une boucle) Notations : n : taille des données, T(n) : nombre d opérations élémentaires Configurations caractéristiques meilleur cas, pire des cas, cas moyen.
7 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 7/29 Evaluation de T(n) (séquence) Somme des coûts. Traitement1 Traitement2 T 1 (n) T 2 (n) T(n) = T 1 (n) + T 2 (n)
8 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 8/29 Evaluation de T(n) (embranchement) Max des coûts. si < condition > alors Traitement1 sinon Traitement2 T c (n) T 1 (n) T 2 (n) T c (n) + max(t 1 (n),t 2 (n))
9 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 9/29 Evaluation de T(n) (boucle) Somme des coûts des passages successifs tant que < condition > faire C i (n) Traitement T i (n) fin faire k (C i (n) + T i (n)) + C k+1 (n) i=1 T i (n) : coût de la ième itération souvent défini par une équation récursive
10 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 10/29 Evaluation de T(n) (fonctions récursives) fonction FUNCTIONRECURSIVE (n) 1 si (n > 1) alors 2 FUNCTIONRECURSIVE(n/2), coût T(n/2) 3 Traitement(n), coût C(n) 4 FUNCTIONRECURSIVE(n/2), coût T(n/2) Equation récursive T(n) = T(n/2) + C(n) Exemple : si C(n) = 1 alors T(n) = K n si C(n) = n alors T(n) = K n log n
11 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 11/29 Notation de Landau O(f(n)) c x f(n) T(n) = O(f(n)) n0 n Caractérise le comportement asymptotique (i.e. quand n ). T(n) = O(f(n)) si c n 0 tels que n > n 0, T(n) c f(n)
12 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 12/29 Notation Θ(f(n)) c 2 x f(n) T(n) c 1 x f(n) n 0 n T(n) = Θ(f(n)) si c 1,c 2,n 0 tels que n > n 0, c 1 f(n) T(n) c 2 f(n)
13 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 13/29 Exemples T(n) = n n n + 2 = O(n 3 ) (si n 1 alors T(n) 9 n 3 )
14 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 13/29 Exemples T(n) = n n n + 2 = O(n 3 ) (si n 1 alors T(n) 9 n 3 ) T(n) = n log n + 12 n + 2 = O(n log n)
15 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 13/29 Exemples T(n) = n n n + 2 = O(n 3 ) (si n 1 alors T(n) 9 n 3 ) T(n) = n log n + 12 n + 2 = O(n log n) T(n) = 2 n 10 + n n 4 + 2n 100 = O(2n )
16 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 14/29 Les principales classes de complexité O(1) temps constant O(log n) logarithmique O(n) linéaire O(n log n) tris (par comparaisons) O(n 2 ) quadratique, polynomial O(2 n ) exponentiel (problèmes très difficiles)
17 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 15/29 Exemple : permutation fonction PERMUTATION (S, i, j) 1 tmp := S[i], coût c 1 2 S[i] := S[j], coût c 2 3 S[j] := tmp, coût c 3 4 renvoyer S coût c 4 Coût total T(n) = c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = O(1)
18 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 16/29 Exemple : recherche séquentielle fonction RECHERCHE_SEQUENTIELLE(x, S[1,..., n]) 1 i := 1, (c 1 ) 2 tant que ((i < n) et (S[i] x)) faire (c 2 ) 3 i := i + 1, (c 3 ) 4 renvoyer (S[i] = x) (c 4 ) Pire des cas : n fois la boucle T(n) = c 1 + c 2 + n i=1 (c 3 + c 2 ) + c 4 = O(n)
19 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 17/29 Exemple : tri à bulle fonction TRI_A_BULLES (S[1,...,n]) 1 pour i := n à 2 faire 2 pour j := 1 à i 1 faire 3 si (S[j] > S[j + 1]) alors i 1 fois 4 PERMUTER(S,j,j + 1), C perm T(n) = C perm n 1 i=1 i = C perm n (n 1) 2 = O(n 2 )
20 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 18/29 Equations récursives Boucles itératives, fonctions récursives (approches de type diviser pour régner notamment) Cas général T(n) = a T(n/b) + f(n) méthode par substitution, méthode par développement itératif, méthode générale.
21 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 19/29 Méthode par substitution Principe : on vérifie une intuition T(n) = a T(n/b) + f(n) et T(1) = c Hypothèse T(n) = g(n) (intuition) Conclusion a g(n/b) + f(n) = g(n) et g(1) = c à démontrer en fixant les constantes
22 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 20/29 Méthode par substitution [recherche dichotomique] fonction RECHERCHE_DICHOTOMIQUE (x, S[1,..., n]) 1 g := 0, d := n + 1, g < position d 2 tant que (g < d 1) faire termine quand g = d 1 3 si (x > S[(g + d)/2]) alors g < (g + d)/2 < d 4 g := (g + d)/2, et donc g < position d 5 sinon 6 d := (g + d)/2, et donc g < position d 7 renvoyer d, g < position d et g = d 1 Nombre d itérations T(n) = 1 + T(n/2)
23 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 21/29 Méthode par substitution [recherche dichotomique] T(n) = 1 + T(n/2) et T(1) = 1 Intuition T(n) = O(log 2 n) Hypothèse T(n) = a log 2 n + c donc T(n/2) = a log 2 n a + c en substituant on a T(n) = 1 + a log 2 n a + c = a log 2 n + c donc 1 a = 0 et a = 1, et puisque T(1) = 1 donc c = 1 Conclusion T(n) = log 2 n + 1 = O(log 2 n) s il y a un élément on fera une itération
24 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 22/29 Méthode itérative : rappel sommations n 1 i=1 i = n (n 1) 2 = O(n 2 ) n i=0 xi = xn+1 1 x 1 en particulier quand x vaut 2 n i=0 2i = 2 n+1 1
25 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 23/29 Méthode itérative [tri par fusion] fonction TRI_PAR_FUSION (S) 1 si ( S 1) alors 2 renvoyer S 3 décomposer S en S 1 et S 2, (n) 3 S 1 := TRI_PAR_FUSION(S 1 ), (T( n/2 )) 4 S 2 := TRI_PAR_FUSION(S 2 ), (T( n/2 )) 5 S := FUSIONNER(S 1,S 2 ), (n) 6 renvoyer S T(n) = 1 + n + 2 T(n/2) + n et T(1) = 1
26 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2)
27 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2) donc T(n/2) = n T(n/4)
28 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2) donc T(n/2) = n T(n/4) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + 4 T(n/4)
29 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2) donc T(n/2) = n T(n/4) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + 4 T(n/4) or T(n/4) = n/ T(n/8)
30 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2) donc T(n/2) = n T(n/4) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + 4 T(n/4) or T(n/4) = n/ T(n/8) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + (2 n + 4) + 8 T(n/8)...
31 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2) donc T(n/2) = n T(n/4) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + 4 T(n/4) or T(n/4) = n/ T(n/8) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + (2 n + 4) + 8 T(n/8)... T(n) = log n 1 i=0 (2 n + 2 i ) + 2 log n T(1)
32 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2) donc T(n/2) = n T(n/4) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + 4 T(n/4) or T(n/4) = n/ T(n/8) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + (2 n + 4) + 8 T(n/8)... T(n) = log n 1 i=0 (2 n + 2 i ) + 2 log n T(1) T(n) = 2n log n + log n 1 i=0 2 i + n
33 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 24/29 Méthode itérative [tri par fusion] T(1) = 1 T(n) = 2 n T(n/2) donc T(n/2) = n T(n/4) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + 4 T(n/4) or T(n/4) = n/ T(n/8) T(n) = (2 n + 1) + (2 n + 2) + (2 n + 4) + 8 T(n/8)... T(n) = log n 1 i=0 (2 n + 2 i ) + 2 log n T(1) T(n) = 2n log n + log n 1 i=0 2 i + n et comme P n i=0 2 i = 2 n+1 1, on a P log n 1 i=0 2 i = 2 log n 1 T(n) = 2n log n + 2n 1 = O(n log n)
34 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 25/29 Méthode itérative [tri par fusion] n 2x n n/2 n/2 2x n hauteur log 2 n log n n/4 n/4 n/4 n/4 2x n n/8 n/8 n/8 n/8 n/8 n/8 n/8 n/ O(k) traitements pour décomposer et fusionner une suite de longueur k T(n) = 2 n log 2 n
35 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 26/29 Méthode générale [Equations récursives] T(n) = a T(n/b) + f(n) avec a 1, b > 1 et f(n) est positive asymptotiquement. si ǫ > 0, f(n) = O(n log b a ǫ ) alors T(n) = Θ(n log b a ), si f(n) = Θ(n log b a ) alors T(n) = Θ(n log b a lg n), si ǫ > 0, f(n) = Ω(n log b a+ǫ ) et si c < 1, n 0, n > n 0, a f(n/b) c f(n) alors T(n) = Θ(f(n))
36 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 26/29 Méthode générale [Equations récursives] T(n) = a T(n/b) + f(n) avec a 1, b > 1 et f(n) est positive asymptotiquement. si ǫ > 0, f(n) = O(n log b a ǫ ) alors T(n) = Θ(n log b a ), si f(n) = Θ(n log b a ) alors T(n) = Θ(n log b a lg n), si ǫ > 0, f(n) = Ω(n log b a+ǫ ) et si c < 1, n 0, n > n 0, a f(n/b) c f(n) alors T(n) = Θ(f(n)) Le tri par fusion (T(n) = 2n T(n/2)) est dans le cas 2 : a = b = 2 et f(n) = 2n + 1 = Θ(n) et T(n) = Θ(n log n)
37 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 27/29 Méthode par substitution [tri par fusion] T(n) = 2n T(n/2) et T(1) = 1 Hypothèse : T(n) = O(n log n) = an log n + bn + c et donc T(n/2) = a/2 n log n + (b a)n/2 + c T(n) = 2n T(n/2) = 2n an log n + (b a)n + 2c = an log n + (b a + 2)n + 2c + 1 (1) b = b a + 2 et a = 2 (2) c = 2c + 1 et c = 1 (3) T(1) = b + c = 1 et donc b = 2 et finalement T(n) = 2n log n + 2n 1 = O(n log n)
38 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 28/29 Temps de calcul Taille log 2 n n n log 2 n n 2 2 n ms 0.01 ms 0.03 ms 0.1 ms 1 ms ms 0.1ms 0.6ms 10ms siecles ms 1ms 10ms 1s ms 10ms 0.1s 100s ms 100ms 1.6s 3heures ms 1s 20s 10jours pour un processeur qui effectue 10 6 traitements par seconde
39 Cours complexité Stéphane Grandcolas p. 29/29 Temps de calcul [simulation] nts 2 n n 2 n log 2 n n log 2 n nt s = nombre d instructions par seconde
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