Formulaire mathématique pour les sciences physiques

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1 Formulire mthémtique pour les sciences physiques PSI* Lycée Chptl

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3 3 Tble des mtières Tble des mtières 1. Trigonométrie Nombres complexes Tringle de Pscl Exponentielles et logrithmes Équtions lgébriques Développements limités Dérivtion et intégrtion Équtions différentielles Suites et séries Grphes Géométrie Vecteurs Courbes et surfces

4 1. Trigonométrie 4 1. Trigonométrie Fonctions trigonométriques : r = 1 sinθ θ cos θ tnθ h θ c s cos θ = c h sin θ = s h = côté djcent hypoténuse = côté opposé hypoténuse tn θ = sin θ cos θ = s c = côté opposé côté djcent cos(ωt + φ), sin(ωt + φ) sont des fonctions périodiques de période T = π ω. tn(ωt + φ) est une fonction périodique de période T = T = π ω. Vleurs prticulières : θ 0 π/6 π/4 π/3 π/ π sin θ 0 cos θ 1 tn θ π rd = 180 soit 1 rd = (180/π) (degré) = 60 (minutes) = 3600 (secondes). Somme des ngles d un tringle = π. Orienttion des ngles : z y y + Dns l espce θ = ( x, u ) (souvent noté θ x,u ) Reltions trigonométriques : cos θ + sin θ = 1 ; 1 + tn θ = 1 cos θ ; cos( θ) = cos θ : cos est pire ; x θ θ = +30 z sens + Dns le pln u x θ θ = 30 z sort de l feuille vers le hut x u x

5 5 1. Trigonométrie sin( θ) = sin θ et tn( θ) = tn θ : sin et tn sont impires. π/+θ π/ θ π+θ π θ θ θ θ Reltions dns le cercle trigonométrique : sin(θ + π) = sin θ cos(θ + π) = cos θ tn(θ + π) = tn θ sin(θ + π) = sin θ cos(θ + π) = cos θ tn(θ + π) = tn θ sin(π θ) = sin θ cos(π θ) = cos θ tn(π θ) = tn θ sin(θ + π/) = cos θ cos(θ + π/) = sin θ tn(θ + π/) = 1 tn θ sin(π/ θ) = cos θ cos(π/ θ) = sin θ tn(π/ θ) = 1 tn θ Formules d ddition et de différence : cos( + b) = cos cos b sin sin b sin( + b) = sin cos b + cos sin b tn + tn b tn( + b) = 1 tn tn b Formules de dupliction : cos( b) = cos cos b + sin sin b sin( b) = sin cos b cos sin b tn( b) = tn tn b 1 + tn tn b cos() = cos 1 = 1 sin tn() = tn 1 tn Formules de linéristion : cos () = 1 + cos() sin() = sin cos sin () = 1 cos()

6 . Nombres complexes 6 Formules de fctoristion : ( ) ( ) + b b cos + cos b = cos cos ( ) ( ) + b b sin + sin b = sin cos Formules de développement : ( ) ( ) + b b cos cos b = sin sin ( ) ( ) b + b sin sin b = sin cos cos cos b = 1 [cos( + b) + cos( b)] sin cos b = 1 [sin( + b) + sin( b)] sin sin b = 1 [cos( + b) cos( b)] Vleurs moyennes : cos(ωt + φ) = sin(ωt + φ) = 0 cos(ωt + φ) sin(ωt + φ) = 0 cos (ωt + φ) = 1 sin (ωt + φ) = 1. Nombres complexes i = 1. Affixe du point M : y y r M O θ x x M* L ffixe du point M est le nombre complexe z = x + iy = re iθ = r(cos θ + i sin θ). x = Re (z) est l bscisse de M, y = Im (z) est son ordonnée. Le module r = z = x + y R +. L rgument θ [0, π[.

7 7. Nombres complexes Complexe conjugué : z est l ffixe de M. e iπ = 1 et e iπ/ = i. Formules d Euler : Rcines crrées de i : cos θ = eiθ + e iθ z = re iθ = x iy. et sin θ = eiθ e iθ i (i) 1/ = ±e iπ/4 (1 + i) = ±.. Formule de Moivre : Produit de deux nombres complexes : Ainsi : et cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ + i sin θ) n. ( + ib)( + ib ) = ( bb ) + i (b + b ). Re [( + ib)( + ib )] = bb Re ( + ib)re ( + ib ), Im [( + ib)( + ib )] = b + b Im ( + ib)im ( + ib ). Si z 1 = r 1 e iθ 1 et z = r e iθ lors utrement dit : z 1 z = r 1 r e i(θ 1+θ ), z 1 z = z 1 z et rg(z 1 z ) = rg(z 1 ) + rg(z ). Inverse d un nombre complexe z = re iθ : Pr conséquent : 1 z = 1 z et 1 z = 1 r e iθ. rg ( ) 1 = rg(z). z Vleur moyenne du produit de deux grndeurs sinusoïdles de même pulstion. On considère deux grndeurs sinusoïdles de même pulstion ω : (t) = α cos(ωt) et b(t) = β cos(ωt + φ), où α et β sont des constntes réelles. On note (t) et b(t) les grndeurs complexes ssociées : (t) = αe jωt et b(t) = βe j(ωt+φ).

8 3. Tringle de Pscl 8 Clculons le vleur moyenne du produit (t)b(t) : (t)b(t) = αβ cos(ωt) cos(ωt + φ) = αβ En remrqunt que cos(ωt + φ) = 0, il vient : Pr illeurs, on, en nottion complexe : (t)b(t) = αβ cos(φ). b = αe jωt βe j(ωt+φ) = αβe jφ. [cos(ωt + φ) + cos(φ)]. On donc 1 Re ( b ) = αβ cos(φ). Ainsi, on peut clculer l vleur moyenne temporelle du produit (t)b(t) en utilisnt directement les grndeurs complexes : (t)b(t) = 1 Re ( b ), 3. Tringle de Pscl Pr exemple : ( + b) 4 = b + 6 b + 4b 3 + b 4.

9 9 5. Équtions lgébriques 4. Exponentielles et logrithmes Pour x > 0, on e ln x = x. Pour x C, on ln(e x ) = x. x du Pour x > 0, on ln x = 1 u. Propriétés des fonctions logrithme et exponentielle : ln(b) = ln + ln b ln( x ) = x ln ( ) 1 ( ) ln = ln ln = ln ln b b e 0 = 1 e ln x = x e 1 = e e ln x = x Logrithme déciml (de bse 10) : log x = Trigonométrie hyperbolique. Définitions : cosh x = ex + e x ln x ln(10). ; sinh x = ex e x ; tnh x = sinh x cosh x. cosh( x) = cosh x : cosh est pire. sinh( x) = sinh x, tnh( x) = tnh x : sinh et tnh sont impires. cosh x sinh x = 1. 1 tnh 1 x = cosh x. 5. Équtions lgébriques Éqution du second degré à coefficients réels Considérons l éqution du second degré à coefficients réels : x + bx + c = 0 vec (, b, c) R 3. L forme des rcines dépend du signe du discriminnt = b 4c. Si > 0, les deux rcines sont réelles : x ± = b ±.

10 5. Équtions lgébriques 10 Si = 0, l éqution une seule rcine réelle double : x = b. Si < 0, les rcines sont complexes conjuguées : Propriétés. Considérons le polynôme : x ± = b ± i. Si 0 : P (x) = x + bx + c vec (, b, c) R 3. P (x) = (x x + )(x x ). P (x) est lors du signe de à l extérieur des rcines et du signe de à l intérieur des rcines. Si < 0, P (x) est du signe de, x. - L somme des rcines est s = b. - Le produit des rcines est p = c Ainsi : x + bx + c = 0 x sx + p = 0. Système de Crmer On cherche à résoudre le système de deux équtions à deux inconnues : { x + by = c (1) x + b y = c () Le déterminnt du système est D = b b = b b. Si D = 0 les équtions (1) et () sont liées : Il y une infinité de solutions si c = c. Il n y ps de solution si c c. Si D 0 le système une solution unique ; il est dit de Crmer. L solution est : c b c b c c x = ; y = D D

11 11 7. Dérivtion et intégrtion 6. Développements limités Formule de Tylor pour une fonction d une seule vrible : f(x 0 + u) = f(x 0 ) + uf (x 0 ) + u! f (x 0 ) + o(u ). Développement limité pour une fonction de deux vribles : f(x 0 + u, y 0 + v) f(x 0, y 0 ) + u f x (x 0, y 0 ) + v f y (x 0, y 0 ). Développements limités u voisinge de 0 : cos u = 1 u + o(u3 ) sin u = u u3 6 + o(u4 ) tn u = u + u3 3 + o(u4 ) e u = 1 + u + u! + o(u ) α(α 1) u + o(u )! ln(1 + u) = u u + o(u ) (1 + u) α = 1 + αu u = 1 u + u + o(u 1 ) 1 + u = 1 + u 1 8 u + o(u ) Si on cherche un développement limité de ( + u) α vec u, l églité ( ( + u) α = α 1 + u ) α permet de se rmener à un DL de (1 + ε) α u voisinge de ε = u/ = 0. Limites usuelles : sin x lim x 0 x = 1 lim x ex = 0 lim x xn e x = 0 lim x ln x = 0 x 0 7. Dérivtion et intégrtion Règles de dérivtion : Dérivtion (f + bg) = f + bg (fg) = f g + fg ( ) 1 (f n ) = nf n 1 f = f f f ( ) f = f g fg (f g) = g (f g) g g (f 1 ) 1 = f f 1

12 7. Dérivtion et intégrtion 1 Dérivée des fonctions usuelles : d(sin x) = cos x d(tn x) = 1 + tn x = 1 cos x d ln x = 1 x d(cosh x) = sinh x Intégrtion pr prties : b Intégrtion Intégrtion de fonctions usuelles : = ln x + C x cos x = sin x + C x = rcsin x + C ( x + = ln x + ) x + + C Pour f fonction des vribles x et y, on d(cos x) = sin x d(e αx ) = αe αx d(sinh x) = cosh x d(tnh x) = 1 tnh x = b f(x)g (x) = [f(x)g(x)] b f (x)g(x). 1 cosh x x n = xn+1 + C si n 1 n + 1 sin x = cos x + C Fonctions de plusieurs vribles df = f f + x y dy. Pour f fonction des vribles x et y, l éqution x = ln x + x + C x + = 1 rctn x + C s intègre en Théorème de Schwrz : f x f(x) = = F (x, y) F (x, y) + g(y). f x y = f y x.

13 13 8. Équtions différentielles Commuttion entre dérivtion et intégrtion : d dt b f(x, t) = b f(x, t) t à condition que et b ne soient ps des fonctions de t., 8. Équtions différentielles L éqution différentielle pour solution : L éqution différentielle pour solution Équtions différentielles du premier ordre où y 1 (t) est une solution prticulière. ẏ + y = 0 vec C y(t) = y 0 e t où y 0 C. ẏ + y = Y (t) y(t) = y 0 e t + y 1 (t) Équtions différentielles du deuxième ordre Afin de résoudre l éqution différentielle du second ordre à coefficients constnts ÿ + bẏ + cy = 0 vec (, b, c) R 3, on considère l éqution crctéristique ssociée : r + br + c = 0. L forme des solutions dépend du signe du discriminnt = b 4c. Si > 0, les rcines sont réelles : Solution de l éqution différentielle : r ± = b ±. y(t) = α + e r +t + α e r t. Si = 0, l éqution crctéristique possède une rcine réelle double : Solution de l éqution différentielle : r = b. y(t) = (αt + β)e rt.

14 9. Suites et séries 14 Si < 0, les rcines sont complexes conjuguées : Solution de l éqution différentielle : r ± = b ± i = r 1 ± ir. L solution de l éqution différentielle s écrit y(t) = e r 1t ( αe ir t + βe ir t ). ÿ + bẏ + cy = Y (t) y(t) = y 0 (t) + y 1 (t) où : y 0 (t) est solution de l éqution différentielle sns second membre (éqution homogène) : ÿ 0 + by 0 + cy 0 = 0 ; y 1 (t) est une solution prticulière de l éqution différentielle vec second membre. Oscillteur hrmonique : ÿ + ω y = 0 vec ω R. Les solutions peuvent s exprimer sous trois formes équivlentes : Les solutions de l éqution différentielle y(t) = α + e iωt + α e iωt = β 1 cos(ωt) + β sin(ωt) = λ cos(ωt + φ) ÿ α y = 0 vec α R, peuvent s écrire sous trois formes équivlentes : y(t) = α + e αt + α e αt = β 1 cosh(αt) + β sinh(αt) = λ cosh(αt + φ) Éqution à vribles séprbles Si les conditions de vlidité des clculs sont vérifiées : dt = f(x)g(t) f(x) = g(t) dt = x x 1 f(x) = t t 1 g(t) dt.

15 Grphes 9. Suites et séries Suites géométriques : u n+1 = u n ou encore u n = n u 0. Somme des termes : n u p = u 0 p=0 Si < 1, l série est convergente : n p=0 p = u 0 1 n+1 1. p=0 u p = u 0 1. Suites rithmétiques : Somme des termes : u n+1 = u n + ou encore u n = u 0 + n. n u p = u 0 p=0 n n(n + 1) (u 0 + p) = (n + 1)u 0 + p= Grphes En x 0, l pente de l tngente est f (x 0 ) : f(x) pente f (x 0 ) x x 0

16 11. Géométrie 16 Fonction + be t/τ : τ t Le temps crctéristique τ est obtenu grphiquement comme intersection de l symptote et de l tngente à l origine. Définition grphique de l lrgeur à mi-huteur d un pic (notée ici ) : h h/ f (x 0 ) = 0 f est extrémle en x 0. f est minimle en x 0 ssi : f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) > 0. f est mximle en x 0 ssi : f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) < Géométrie Surfce d une sphère de ryon R : 4πR. Volume d une sphère de ryon R : 4 3 πr3. Périmètre d un cercle de ryon R : πr. Longueur d un rc d ouverture θ de ce cercle : θr. Aire d un disque de ryon R : S = πr. Aire d un rectngle de côtés, b : S = b.

17 Géométrie Quelques résultts utiles : h Tringle S = bh b b Trpèze rectngle ( ) b + b S = h b Prllélogrmme S = bh b Tringle équiltérl h b h = 3 ; b = 3 h   = π 3 α () (1) Si (1) et (1 ) sont orthogonles, et () et ( ) sont orthogonles, lors α = ( 1, ) = ( 1, ) (1 ) α ( ) Théorème de Thlès A O A B B (AB)//(A B ) Alors OA OA = OB OB = A B AB.

18 1. Vecteurs 18 Reltions dns un tringle Formule d Al-Kshi : C A b A^ C^ c B^ B = BC = ( BA + AC) = b + c + BA AC = b + c bc cos( AB, AC) = b + c bc cos  Formule des sinus : sin  = b sin ˆB = c sin Ĉ. 1. Vecteurs Définitions v θ notons θ = (, ) Produit sclire : = cos θ. Produit vectoriel : = sin θ v vec (,, v ) trièdre direct, v étnt un vecteur unitire. Propriétés est l surfce du prllélogrmme construit sur les deux vecteurs. =. =. = 0 = 0 ou = 0 ou et colinéires. = 0 = 0 ou = 0 ou et orthogonux. Double produit vectoriel : Produit mixte : ( b c ) = ( c ) b ( b ) c. ( b c ) = b ( c ) = c ( b ). Notons (u, v, w) et (u, v, w ) les composntes respectives de et. Produit sclire : = uu + vv + ww.

19 Courbes et surfces Produit vectoriel : = u v w u v w = v v w w u u w w u u v v = vw wv wu uw uv vu. 13. Courbes et surfces Dns le pln x + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur ( b, ). (x ) + (y b) = R est un cercle de centre (, b) et de ryon R (R 0). (x ) (y b) + = 1 est une ellipse de centre (, b) et de demi-xes α et β (α, β > 0). α β (x ) (y b) = 1 est une hyperbole. α β xy = α est une hyperbole. y b = α(x ) est une prbole. Ellipse : M Coniques dns le pln : définition pr les lieux F 1 F Hyperbole : c est le lieu des points M tels que F 1 M + F M =. M F 1 F Prbole : M c est le lieu des points M tels que F 1 M F M =. F H c est le lieu des points M tels que F M = MH.

20 13. Courbes et surfces 0 Dns l espce L ensemble des points M(x, y, z) tel que f(m) = f(x, y, z) = cste définit une surfce. grd (f) est un vecteur norml à l surfce d éqution f(x, y, z) = Cste. Dns l espce, x + by + cz + d = 0 est un pln de normle u (, b, c). - - FIN - -