Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes

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Léonie Fradette
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1 Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Fonctions intégrbles à vleurs complexes Dns ce prgrphe, est un intervlle de R, et K désigne R ou lc..1 Nottions préliminires Applictions f, Re f et m Soit f une ppliction définie sur l intervlle, à vleurs dns K. On définit les pplictions f, Re f et m f de l mnière suivnte : x, f (x) = f(x), (Re f)(x) = Re f(x), (m f)(x) = m f(x). Si f est continue pr morceux sur, lors f, Re (f) et m (f) le sont ussi. Applictions f + et f. Soit f une ppliction définie sur l intervlle, à vleurs réelles. On définit les pplictions f + et f de l mnière suivnte : x, f + (x) = mx (f(x), 0) et f (x) = mx ( f(x), 0). On vérifie lors les églités f = f + f et f = f + + f. L ppliction f est continue pr morceux sur f + et f le sont..2 ntégrbilité d une fonction à vleurs réelles ou complexes Définition Soit f une ppliction de dns K, continue pr morceux. On dit que f est intégrble sur si l ppliction f est intégrble. Nottion On note L 1 (, K) l ensemble des pplictions intégrbles sur et à vleurs dns K. Proposition L ensemble L 1 (, K) est muni d une structure d espce vectoriel sur K. Proposition (ntégrbilité pr domintion) Soit f : K une ppliction continue pr morceux. Soit ϕ : R + une ppliction intégrble. On suppose que f ϕ sur. Alors l ppliction f est intégrble sur. Pge 1 en-michel Ferrrd c EduKlub S.A. Tous droits de l uteur des œuvres réservés. Suf utoristion, l reproduction insi que toute utilistion des œuvres utre que l consulttion

2 Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Conséquences Soient f et g deux pplictions de = [, b[ dns K, continues pr morceux. Si g est intégrble sur [, b[, et si f = O b (g), lors f est intégrble sur [, b[. On suppose que les pplictions f et g sont équivlentes u voisinge de b. Alors f est intégrble sur [, b[ g est intégrble sur [, b[..3 Utilistion des intégrles de Riemnn ntégrbilité sur ], b] Soient et b deux nombres réels, vec < b. Soit f une ppliction de ], b] dns K, continue pr morceux (le problème est en.) Si (x ) α f(x) reste borné u voisinge de vec α < 1, lors f est intégrble sur ], b]. C est le cs en prticulier si lim x +(x )α f(x) = 0 (toujours vec α < 1). Exemple : l ppliction x ln x est intégrble sur ]0, 1] cr lim x 0 + x ln x = 0. Si (x )f(x) M > 0 u voisinge de, lors f n est ps intégrble sur ], b]. C est le cs en prticulier si lim x +(x )f(x) = λ 0. Exemple : l ppliction f : x ln x n est ps intégrble sur ]0, 1] cr lim xf(x) =. x x 0 + ntégrbilité sur [, + [ Soient un nombre réel, et f une ppliction de [, + [ dns K, continue pr morceux. Si x α f(x) reste borné u voisinge de + vec α > 1, lors f est intégrble sur [, + [. C est le cs en prticulier si lim xα f(x) = 0 (toujours vec α > 1). Exemple : l ppliction x e x est intégrble sur R + cr lim x2 e x = 0. Si xf(x) M > 0 u voisinge de +, lors f n est ps intégrble sur [, + [. C est le cs en prticulier si lim xf(x) = λ 0. Exemple : l ppliction x tnh x x ntégrles de Bertrnd n est ps intégrble sur [1, + [ cr Soient α et β deux réels, et soit f l ppliction définie sur R + {1} pr f(x) = f est intégrble sur ]0, 1 ] (α < 1) ou (α = 1, β > 1). 2 f est intégrble sur [2, + [ (α > 1) ou (α = 1, β > 1). lim xf(x) = 1. 1 x α ln β x. Pge 2 en-michel Ferrrd c EduKlub S.A. Tous droits de l uteur des œuvres réservés. Suf utoristion, l reproduction insi que toute utilistion des œuvres utre que l consulttion

3 Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes.4 ntégrle des fonctions à vleurs réelles ou complexes On défini ce qu est une fonction intégrble sur un intervlle de R et à vleurs dns K, mis on n ps encore défini ce qu on ppelle l intégrle sur d une telle fonction. Proposition et définition (fonctions à vleurs réelles) Soit f une ppliction définie sur à vleurs dns R, continue pr morceux. L ppliction f est intégrble sur f + et f sont intégrbles sur. On pose lors f = f + f. Dns ces conditions, on l églité : f = f + + f. Proposition et définition (fonctions à vleurs complexes) Soit f une ppliction définie sur à vleurs dns lc, continue pr morceux. L ppliction f est intégrble sur Re (f) et m (f) sont intégrbles sur. On pose lors f = Re f + i m Remrques Si = {}, toute ppliction définie en est intégrble sur = {} et d intégrle nulle... Si f est continue pr morceux de [, b] dns K, elle est intégrble sur [, b] et son intégrle coïncide vec l vleur obtenue dns le chpitre intégrtion et dérivtion..5 Propriétés de l intégrle Proposition (Linérité de l intégrle) Soient f et g deux pplictions intégrbles de dns K. Soient α et β deux sclires. On sit déjà que αf + βg est intégrble sur. De plus on l églité : (αf + βg) = α f + β g. Proposition (néglité de l vleur bsolue) Soit f une ppliction intégrble de dns K. Alors on l inéglité : Proposition (Utilistion d une suite exhustive de sous-segments) Soit f une ppliction intégrble de dns K. Soit ( n ) une suite croissnte de segments telle que = n. Alors n 0 f f = f. lim n + n Pge 3 en-michel Ferrrd c EduKlub S.A. Tous droits de l uteur des œuvres réservés. Suf utoristion, l reproduction insi que toute utilistion des œuvres utre que l consulttion

4 Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Exemple On définit f : x f(x) = ln x 1 + x sur 2 R+. L ppliction f est continue sur R +. Elle est intégrble sur ]0, 1] cr lim xf(x) = 0, et sur [1, + [ cr lim x 0 + x3/2 f(x) = 0. On vérifie que pour tout n de N, on f = 0 (chngement de vrible t = 1.) n [1/n,n] L suite des n = [ 1, n] est exhustive dns n R+. On en déduit le résultt : f = 0. R Proposition (Utilistion d une prtition de l intervlle) Soit f une ppliction de dns K, continue pr morceux. Soit c un élément de. Notons g = ], c] et d = [c, + [. f est intégrble sur elle l est sur g et sur d. On lors : f = f + g d Propriétés diverses ntégrle de l conjuguée d une ppliction Soit f : lc une ppliction intégrble. Soit f : lc définie pr f(x) = f(x). Alors f est intégrble sur et on l églité : f = ntégrle sur un sous-intervlle Soit f une ppliction intégrble de dns K, et un sous-intervlle { de. 1 si x On note χ l fonction crctéristique de, définie pr : χ (x) = 0 si x /. Alors f est intégrble sur et f = (χ f). Applictions nulles presque prtout Soit f une ppliction de dns K. On suppose que f est nulle sur suf éventuellement en un nombre fini de points. Alors f est intégrble sur et son intégrle sur cet intervlle est nulle. Applictions égles presque prtout Soient f et g deux pplictions de dns K, l ppliction f étnt intégrble. Si g ne diffère de f qu en un nombre fini de points, lors g est intégrble sur et g =.6 Nottion définitive de l intégrle Nottion Soit f une ppliction intégrble de =], b[ dns K, vec < b. b On note f = De même on pose f = ],b[ b ],b[ Pge 4 en-michel Ferrrd c EduKlub S.A. Tous droits de l uteur des œuvres réservés. Suf utoristion, l reproduction insi que toute utilistion des œuvres utre que l consulttion

5 Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Remrques Pour tout c où f est définie, on convient que On note fréquemment b c c f = 0. f(x) dx (x ou toute vrible muette ) plutôt que Cette nottion est bien dptée ux différentes méthodes de clcul des intégrles (en prticulier le clcul pr chngement de vrible.) Proposition (reltion de Chsles) Si f est intégrble sur ], b[ et si < c < b, lors Plus générlement, si f est intégrble sur un intervlle, cette reltion reste vrie pour trois points quelconques, b, c de (deux d entre eux pouvnt être les extrémités de ). b f = c f + Proposition (Clcul d une intégrle pr chngement de vrible) Soient et deux intervlles ouverts, et ϕ un C 1 -difféomorphisme de sur. Soit f une ppliction de dns K, continue pr morceux. L ppliction f est intégrble sur l ppliction ϕ f ϕ est intégrble sur. Dns ce cs, on l églité : f = ϕ f ϕ. Pour tous éléments et b de, on peut lors écrire : ϕ(b) ϕ() Exemple Soit ϕ le C -difféomorphisme de R + défini pr ϕ(t) = 1 t. Le chngement de vrible x = ϕ(t) permet de constter que b c f(x) dx = + 0 b b ϕ (t)f(ϕ(t)) dt. ln x dx = x2.7 Extension de l notion d intégrle Soit f une ppliction de [, b[ dns K, continue pr morceux. Soit F l ppliction définie sur [, b[ pr : x, F (x) = x f(t) dt. l se peut que f ne soit ps intégrble sur [, b[, mis que F possède une limite finie en b. Dns ce cs cette limite est encore notée (mis de fçon impropre) Exemple On vérifie que l ppliction f : x sin x x n est ps intégrble sur R+. x sin t Pourtnt on montre que lim dt = π 0 t 2. + sin t On noter donc dt = π (mis on prle d intégrle impropre.) t 2 0 b f(t) dt. Pge 5 en-michel Ferrrd c EduKlub S.A. Tous droits de l uteur des œuvres réservés. Suf utoristion, l reproduction insi que toute utilistion des œuvres utre que l consulttion

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