R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances

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1 Nombres complexes R.O.C. Pondichéry 22. Enseignement spécifique. Exercice 4 Prtie A Restitution orgnisée de connissnces Soit z uombre complexe. On rppelle que z est le conjugué de z et que z est le module de z. On dmet l églité z 2 zz. Montrer que, si z et z 2 sont deux nombres complexes, lors z z 2 z z 2. Soient z et z 2 deux nombres complexes. On sit que z z 2 z z 2 et donc z z 2 2 z z 2 (z z 2 ) z z z 2 z 2 z 2 z 2 2 ( z z 2 ) 2. En résumé, z z 2 2 ( z z 2 ) 2. Puisqu un module est un réel positif, en prennt l rcine crrée des deux membres de l églité précédente, on obtient z z 2 z z 2. On montré que pour tous nombres complexes z et z 2, z z 2 z z 2. Polynésie 2. Enseignement spécifique. Exercice Le pln complexe est rpporté à un repère orthonorml direct ( O, u, v ). Prtie A - Restitution orgnisée de connissnces Prérequis Soit z uombre complexe tel que z + bi où et b sont deux nombres réels. Oote z, le nombre complexe défini pr z bi. Questions. ) Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z, z z z z. 2) Démontrer que, pour tout entier nturel oul et tout nombre complexe z, z n (z) n. ) Soient, b, et b qutre nombres réels puis z +ib et z +ib. z z ( ib)( ib ) ( bb ) i(b +b ) (( bb )+i(b +b )) (+ib)( +ib ) z z. Pour tous nombres complexes z et z, z z z z. 2) Soit z uombre complexe. Montrons pr récurrence que pour tout entier nturel noul n, z n (z) n. C est vri pour n cr z z (z). Soit n. Supposons que z n (z) n. Alors z n+ z n z z n z (d près )) (z) n z (pr hypothèse de récurrence) (z) n+. Le résultt est démontré pr récurrence. Pour tout nombre complexe z et tout entier nturel noul n, z n (z) n. http :// c Jen-Louis Rouget, 24. Tous droits réservés.

2 Probbilités Nouvelle Clédonie 24. Enseignement spécifique. Exercice 2 Prtie A Restitution orgnisée des connissnces L objectif de cette prtie est de démontrer le théorème suivnt : Si X est une vrible létoire suivnt l loi normle centrée réduite, lors pour tout réel α pprtennt à l intervlle ] ;, il existe un unique réel strictement positif χ α tel que P( χ α X χ α ) α. Soit f l fonction définie sur l ensemble des nombres réels R pr Soit H l fonction définie et dérivble sur ; + pr f(t) 2π e t2 2. H(x) P( X x) ) Que représente l fonction f pour l loi normle centrée réduite? 2) Préciser H() et l limite de H(x) qund x tend vers +. 3) A l ide de considértions grphiques, montrer que pour tout nombre réel positif x, H(x) 2 4) En déduire que l dérivée H de l fonction H sur ; + est l fonction 2f et dresser le tbleu de vritions de H sur ; +. 5) Démontrer lors le théorème énoncé. Prtie A Restitution orgnisée des connissnces ) L fonction f est l fonction densité de probbilité ssociée à l loi normle centrée réduite. 2) H() et lim H(x). x + 3) Soit x un réel positif. Puisque l fonction f est continue et positive sur R, d ire, du domine june ci-dessous et f(t) dt est l ire, exprimée en unités f(t) dt est l ire, exprimée en unités d ire, du domine bleu ci-dessous. 3 2 x 2 3 L courbe représenttive de f est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées et donc ces deux ires sont égles. Comme H(x) est l ire, exprimée en unités d ire, de l réunion des deux domines, on en déduit que H(x) 2 4) L fonction f est continue sur,+. On sit lors que l fonction x s dérivée est f. On en déduit que pour tout réel positif x, H (x) 2f(x). f(t) dt est dérivble sur,+ et que http :// 2 c Jen-Louis Rouget, 24. Tous droits réservés.

3 L fonction f est strictement positive sur,+ et donc l fonction H est strictement croissnte sur,+. On en déduit le tbleu de vritions de l fonction H. x + H (x) + H 5) Soit α un réel élément de ],. Alors α est un réel élément de ],. L ] fonction H est continue continue et strictement croissnte sur ],+. On sit lors que pour tout réel k de lim H(x), lim H(x) ],, l équtionh(x) k une unique solution dns],+. Puisque le réel α pprtient x x + à ],, on montré qu il existe un unique réel strictement positif χ α tel que H(χ α ) α ou encore tel que P( χ α X χ α ) α. Antilles Guyne 23. Enseignement spécifique. Exercice 2 Prtie A Soient n un entier nturel noul, p uombre réel compris entre et, et X n une vrible létoire suivnt une loi binomile de prmètres n et p. Oote F n X n n et f une vleur prise pr F n. On rppelle que, pour n ssez grnd, l intervlle p,p+ ] contient l fréquence f vec une probbilité u moins égle à,95. En déduire que l intervlle Prtie A f f,f+ ] contient p vec une probbilité u moins égle à,95. p,p+ ] p f p+ p f et f p+ p f+ et f p f p f+ n p f,f+ ]. Ainsi, les événements f p,p+ ] et p f,f+ ] se produisent simultnément. Ils ont donc l n n même probbilité et en prticulier, pour n grnd, l intervlle f,f+ ] contient p vec une probbilité u moins égle à,95. n Centres étrngers 29. Enseignement spécifique. Exercice ) Restitution orgnisée de connissnces. Prérequis : on rppelle que deux événements A et B sont indépendnts pour l probbilité p si et seulement si p(a B) p(a) p(b). ) Démontrer que p(b) p(b A)+p ( B A ). b) Démontrer que si les événements A et B sont indépendnts, lors les événements A et B sont indépendnts. ) Les événements B A et B A constituent une prtition de l événement B. L formule des probbilités totles fournit lors p(b) p(b A)+p(B A). http :// 3 c Jen-Louis Rouget, 24. Tous droits réservés.

4 b) Supposons mintennt les événements A et B indépendnts. p ( B A ) p(b) p(b A) (d près )) p(b) p(b) p(a) (cr les événements A et B sont indépendnts) p(b)( p(a)) p(b) p ( A ). Ceci montre que les événements A et B sont indépendnts. Asie 2. Enseignement spécifique. Exercice 4 Frnce métropolitine 28. Enseignement spécifique. Exercice 3 On dmet que l durée de vie (exprimée enées) d un certin type de cpteur de lumière peut être modélisée pr une vrible létoire X qui suit une loi exponentielle de prmètre λ (λ strictement positif), c est-à-dire que l probbilité que ce cpteur tombe en pnne vnt l nnée t (t positif) s exprime pr : ) Restitution orgnisée de connissnces. Pré-requis : ) p B (A) p(a B) p(b) F(t) p(x t) p(;t]) λe λx dx. (où A et B sont deux événements tels que p(b) ); b) p ( A ) p(a) (où A est un événement); c) p(;b]) F(b) F() (où et b sont des nombres réels positifs tels que b). Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on : p t;+ (t;t+s]) F(t+s) F(t) F(t) et que p t;+ (t;t+s]) est indépendnt du nombre réel t. Soient s et t deux réels positifs. Vérifions tout d bord que p(t,+ ). p(t,+ ) p(,t) p(,t]) On montré u pssge que F(t) sur R, p(t,+ ) e λt puis λe λx dx e λx] t ( e λt ) e λt. λe λx dx e λt. Ensuite, comme l fonction exponentielle ne s nnule ps p((t X t+s) (X t)) p t,+ (t,t+s]) p(x t) F(t+s) F(t) F(t) ( ) e λ(t+s) ( e λt) ( e λt ) e λt λs+λt e λs F(s). En prticulier, p t,+ (t,t+s]) est indépendnt de t. p(t X t+s) p(x < t) e λt e λ(t+s) e λt p(t X t+s) p(x t) e λt e λ(t+s) e λt e λt (cr p(x t) ) Anlyse Libn 28. Enseignement spécifique. Exercice 3 Prtie A Démonstrtion de cours. http :// 4 c Jen-Louis Rouget, 24. Tous droits réservés.

5 Prérequis : définition d une suite tendnt vers +. «une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de l suite sont, à prtir d un certin rng, supérieurs à A» Démontrer le théorème suivnt : une suite croissnte non mjorée tend vers +. Soit (u n ) une suite croissnte non mjorée. Soit A un réel. Puisque l suite (u n ) n est ps mjorée, le réel A n est ps un mjornt de l suite (u n ). Il existe donc un entier n tel que u n > A. Puisque l suite (u n ) est croissnte, si n est un entier supérieur ou égl à n, on u n u n > A. On montré que, pour tout réel A, tous les termes de l suite (u n ) sont, à prtir d un certin rng, supérieurs à A et donc que lim u n +. n + Restitution orgnisée de connissnces Rochmbeu 22. Enseignement spécifique. Exercice 2 Centres étrngers 28. Enseignement spécifique. Exercice 4 Asie 28. Enseignement spécifique. Exercice 4 e t On rppelle que lim t + t +. ln(x) Démontrer que lim. x + x Pour x >, on pose t ln(x) ou encore x e t de sorte que x tend vers + si et seulement si t tend vers +. On obtient e t cr lim t + t +. ln(x) ln(e t ) lim lim x + x t + e t lim t + t e t lim t + e t /t, Pondichéry 2. Enseignement spécifique. Exercice Rochmbeu 29. Enseignement spécifique. Exercice 2 Polynésie 28. Enseignement spécifique. Exercice 4 Prtie A - Restitution orgnisée de connissnces : Soient et b deux réels tels que < b et f et g deux fonctions continues sur l intervlle,b] vec < b. On suppose connus les résultts suivnts : Pour tous réels α et β, Si pour tout t,b], f(t) lors (αf(t)+βg(t)) dt α f(t) dt. Montrer que : si pour tout t,b], f(t) g(t) lors f(t) dt+β f(t) dt Soient f et g deux fonctions continues sur l intervlle,b] telles que pour tout t,b], f(t) g(t). Alors, pour tout réel t de,b], g(t) f(t). Pr positivité de l intégrle, on en déduit que de l intégrle, on en déduit que g(t) dt f(t) dt et donc que f(t) dt (g(t) f(t)) dt puis pr linérité http :// 5 c Jen-Louis Rouget, 24. Tous droits réservés.