Exercice 1.sur 10 points Commun à tous les candidats

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1 Trminal S Bac Blanc d mathématiqus : duré 4 h Mardi 3 mars 205 Ls calculatrics sont autorisés (mais aucun formulair prsonnl). La qualité d la rédaction, la clarté d la copi,la précision ds raisonnmnts t l rspct scrupulu ds consigns ntrront pour un part important dans l appréciation ds copis. Chaqu rcic sra rédigé t rndu sur un copi différnt sur laqull vous écrirz votr nom. Ercic.sur 0 points Commun à tous ls candidats Parti I : Sur l graphiqu ci-contr, on a rprésnté dans un rpèr orthonormal, ls courbs C t C 2 rprésntativs d du fonctions f t f2 définis sur l intrvall 0; On sait qu : L a ds ordonnés st asymptot au courbs C t C 2 L a ds abscisss st asymptot à la courb C 2 La fonction f2 st continu t strictmnt décroissant sur l intrvall 0; La fonction f st continu t strictmnt croissant sur l intrvall 0; La limit quand tnd vrs d f ( ) st Pour chacun ds trois qustions d ctt parti, un sul ds trois propositions st act. L candidat indiqura sur la copi la répons choisi. Aucun justification n st dmandé. Chaqu qustion just rapport 0.5 point. Un répons fauss ou l absnc d répons n st pas sanctionné.. La limit quand tnd vrs 0 d f ( ) st : 2 0 on n put pas conclur 2. La limit quand tnd vrs d f ( ) st : 2 0 0,2 on n put pas conclur 3. L tablau d signs d f2( ) f( ) st : Parti II : On considèr la fonction f défini sur l intrvall 0; par : f ( ) ln( ). Détrminr ls limits d la fonction f au borns d son nsmbl d définition 2. Etudir ls variations d la fonction f sur l intrvall 0; 3. En déduir l sign d f( ) lorsqu décrit l intrvall 0; Lycé Jay d Baufort Pag sur 0

2 4. Montrr qu la fonction F défini sur l intrvall la fonction f sur ct intrvall 0; par F( ) ln( ) ln( ) st un primitiv d 5. Démontrr qu la fonction F st strictmnt croissant sur l intrvall ;. 6. Montrr qu l équation F ( ) 7. Donnr un ncadrmnt d d amplitud 0. Parti III : Soint g t h ls fonctions définis sur l intrvall 0; par : admt un uniqu solution dans l intrvall g ( ) t h( ) ln( ) ; qu on not. Sur l graphiqu ci-contr, on a rprésnté dans un rpèr orthonormal, ls courbs C g t C h rprésntativs ds fonctions g t h.. A st l point d intrsction d la courb C h t d l a ds abscisss. Détrminr ls coordonnés d A 2. P st l point d intrsction ds courbs C g t C h. Justifir qu ls coordonnés du point P sont ( ; ). 3. On not A l air du domain délimité par ls courbs C g, C h t ls droits d équations rspctivs t ( domain grisé foncé sur l graphiqu) a. Eprimr l air A à l aid d la fonction f défini dans la parti II b. Montrr qu A = 4. Soit t un nombr rél d l intrvall ;. On not B t l air du domain délimité par ls courbs C g, C h t ls droits d équations rspctivs t t ( domain hachuré sur l graphiqu). On souhait détrminr un valur d t tll qu B t = A. a. Montrr qu B t = t ln( t) ln( t) b. Conclur. Lycé Jay d Baufort Pag 2 sur 0

3 Ercic 2. Sur 5 points Commun à tous ls candidats On not C l nsmbl ds nombrs compls. L plan compl st muni d un rpèr orthonormé (O ; ; ). On prndra comm unité 2 cm sur chaqu a. L graphiqu sra fait n ann t complété au fur t à msur ds qustions. On considèr la fonction f qui à tout nombr compl z associ f(z)= + 2z + 9. ) Calculr l imag d - + i par la fonction f. 2 ) Résoudr dans C l équation f(z)= 5. Ecrir sous form ponntill ls solutions d ctt équation. Construir alors sur l graphiqu, à la règl t au compas, ls points A t B dont l affi st solution d l équation (A étant l point dont l affi a un parti imaginair positiv). On laissra ls traits d construction apparnts. 3 ) Soit λ un nombr rél. On considèr l équation f(z) = λ d inconnu z. Détrminr l nsmbl ds valurs d λ pour lsqulls l équation f(z) = λ admt du solutions compls conjugués. 4 ) Soit (F) l nsmbl ds points du plan compl dont l affi z vérifi f(z) - 8 = 3. a) Montrr qu f(z) - 8 = 3 z + =. b) En déduir qu l nsmbl (F) st un crcl dont on précisra l cntr t l rayon. Tracr (F) sur l graphiqu n ann. 5 ) Soit z un nombr compl, tl qu z = + iy où t y sont ds nombrs réls. a) Montrr qu la form algébriqu d f(z) st i(2y + 2y). b) On not (E) l nsmbl ds points du plan compl dont l affi z st tll qu f(z) soit un nombr rél. Montrr qu (E) st la réunion d du droits t dont on précisra ls équations. Complétr l graphiqu d l ann n traçant cs droits. 6 ) Détrminr ls coordonnés ds points d intrsction ds nsmbls (E) t (F). Ercic 3.sur 5 points Candidats n'ayant pas suivi l'nsignmnt d spécialité mathématiqus Pour chacun ds cinq propositions suivants, indiqur si ll st vrai ou fauss n justifiant la répons. Il st attribué point par répons act corrctmnt justifié. Un répons non justifié n'st pas pris n compt. Un absnc d répons n'st pas pénalisé. Pour ls propositions ; 2 t 3, l'spac st muni d'un rpèr orthonomé (O ; ; ; ) Proposition : Ls points A(;2;5), B( ;6;4) t C(7; 0;8) définissnt un plan. Lycé Jay d Baufort Pag 3 sur 0

4 Proposition 2 : La droit d vctur dirctur u(2; ;) passant par l point D ( ; ; ) a pour rprésntation paramétriqu 54t y 3 2t z 2t ( t ) Proposition 3 : Ls droits D t D2 d rprésntations paramétriqus rspctivs t y 2 t ( t ) t, (t ϵ R). z 3 2t sont non coplanairs. Proposition 4 : L'équation (E) : ln(2 )+ln(2+)=ln(+2) admt du solutions dans. Proposition 5 : d. ( )² Ercic 4.sur 5 points Pour ls candidats ayant suivi l'nsignmnt d spécialité mathématiqus On étudi l évolution dans l tmps du nombr d juns t d adults dans un population d animau. Pour tout ntir naturl n, on not j n l nombr d animau juns après n annés d obsrvation t a n l nombr d animau adults après n annés d obsrvation. Il y a au début d la prmièr anné d l étud, 200 animau juns t 500 animau adults. Ainsi, j 0 = 200 t a 0 = 500. On admt qu, pour tout ntir naturl n, on a : j n+ = 0,25 j n + 0,525 a n t a n+ = 0,625 j n + 0,625 a n On introduit ls matrics suivants : A = t, pour tout ntir naturl n, U n = ) a) Montrr qu, pour tout ntir naturl n, U n+ = A U n b) Calculr l nombr d animau juns t d animau adults après un an d obsrvation puis après du ans d obsrvation (on donnra ls résultats arrondis à l unité près par défaut ). c) Justifir qu, pour tout ntir naturl n non nul, on a U n = A n U 0 2) On introduit ls matrics : Q = t D = a) On admt qu Q st invrsibl t qu Q - =. Vérifir qu Q D Q - = A b) Démontrr par récurrnc qu, pour tout ntir n non nul, A n = Q D n Q - c) Démontrr qu, pour tout ntir n non nul, D n = 3) On admt qu, pour tout ntir naturl non nul, A n = a) En déduir ls prssions d j n t a n n fonction d n t détrminr ls limits d cs du suits. b) Qu put-on n conclur pour la population d animau étudié? Lycé Jay d Baufort Pag 4 sur 0

5 Nom : Prénom : Ann (à rndr avc la copi) Figur d l rcic 2 à réalisr ci-dssous : Lycé Jay d Baufort Pag 5 sur 0

6 Corrigé : rcic n : 3. Lycé Jay d Baufort Pag 6 sur 0

7 6. On put drssr l tablau d variations d F sur [; + [, l complétr avc F()=0 t la limit d F n + t "Placr" sur la flèch 0,63. Justification d la limit d F n + On a F( ) ln ln ln( )( ) lim ln( ) t lim ( ) d ' où par produit lim F( ) + variations d + F 0 D'après l tablau d variations précédnt l théorèm ds valurs intrmédiairs prmt d déduir qu l'équation F()= admt un solution uniqu dans ];+ ]. 7.A l'aid d la calculatric on trouv qu,9 < < 2,0 3. On rmarqu qu f()= h() g(). On a vu ( Parti II, qustion 3) qu sur [/;] f() 0 c'st à dir qu sur [/;], g() h() donc la courb Cg st au dssus d la courb Ch. On put donc dir qu rcic n 2 : Lycé Jay d Baufort Pag 7 sur 0

8 4. a). f ( z) 8 3 z² 2z 98 3 z² 2z 3 ( z )² 3 z ² 3 z 3 b. Lycé Jay d Baufort Pag 8 sur 0

9 rcic n 3 Proposition : Ls points A(;2;5), B( ;6;4) t C(7; 0;8) définissnt un plan. Proposition fauss Justification 2 6 AB 4 t AC 2. Ls coordonnés d cs vcturs sont proportionnlls ( on put rmarqur qu 3 AC 3AB ) donc ls vcturs sont colinéairs t ls trois points A, B t C sont alignés t par conséqunt n définissnt pas un plan. Proposition 2 : La droit d vctur dirctur u(2; ;) passant par l point D ( ; ; ) a pour rprésntation paramétriqu 54t y 3 2t z 2t ( t ) Proposition 2 vrai Justification : Soit ' la droit d rprésntation paramétriqu donné ci-dssus. L vctur v (4;-2;2) n st un vctur dirctur. Or v =2 u donc v st aussi un vctur d dirctur d. 5 4t 3 2t D'autr part, l point D(;-;-) ' car la valur t=- st solution du systèm 2t Donc la rprésntation paramétriqu donné st un rprésntation paramétriqu d Proposition 3 : Ls droits D t D2 d rprésntations paramétriqus rspctivs t 3' t y 2 t ( t ) t y 2 t' ( t' ) sont non coplanairs. Proposition3 fauss z 3 2t z 2 t' Justification: 3 u st un vctur dirctur d D t u2 2 un vctur dirctur d D2. Cs vcturs n sont pas colinéairs 2 donc D t D2 n sont pas parallèls. Lycé Jay d Baufort Pag 9 sur 0

10 Chrchons si D t D2 sont sécants t 3 t' L M(;y;z) D t D 2 il ist du réls t t t' tls qu 2 t 2 t ' L 2 3 2t 2 t' L3 t 3 t' Considérons l systèm ds du prmièrs équations 2 t 2 t' Par soustraction : L L2 donn -=t'- d'où t'=0 t n rportant dans L, on a t=. Or, cs valurs n vérifint pas L3 ( car 3+2t=5 t 2-t'=2 ) donc D t D2 n sont pas sécants ; on a vau qu'lls n'étaint pas parallèls donc lls n sont pas coplanairs Proposition 4 : L'équation (E) : ln(2 )+ln(2+)=ln(+2) admt du solutions dans. Proposition fauss L'équation (E) st défini si 2->0 t 2+ >0 t +2 >0 donc sur D= ]/2 ; + [ Pour tout d D, (E) ln(2-)(2+)=ln(+2) 4²-=+2 = ou = -3/4. Or -3/4 D donc l'équation (E) n'a qu'un sul solution ( =). Proposition 5 : d. proposition fauss ( )² Justification : La fonction st dérivabl donc continu sur [ ;] t donc admt ds primitivs. ( )² u ' Avc u( ), ll st du typ u² t admt donc un primitiv d la form.d'où u ( )² d ( ) Autr méthod : La fonction st continu t positiv strictmnt sur t donc aussi sur [ ; ]. ( )² Or on sait qu l'intégral d'un fonction continu t positiv sur un intrvall st positiv donc d 0. ( )² Or 0car 2,7 donc l'affirmation 5 st fauss. Lycé Jay d Baufort Pag 0 sur 0

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