Probabilités exercices corrigés

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1 Termiale S Probabilités Exercices corrigés Combiatoire avec démostratio Ragemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets 6 Dés pipés 7 Pièces d or 8 Agriculteur pas écolo 9 Boules Jeux 6 Coformité 6 Fumeurs 6 Coformité 7 Chies chats 7 Maladie 7 6 QCM, Am du Nord 6 7 Fesic : Exercice Fesic : Exercice Fesic : Exercice Fesic : Exercice 6 Fesic : Exercice Fesic : Exercice Arbre+Va, N Calédoie 6/8 Lacer + VA, Liba 6/8, poits Loterie+biomiale, Polyésie Lacer dés+biomiale, Am du Nord 7 7 Tirages simult+va+biomiale, Frace 8 8 Ures et dés, Podichery 9 Etropie, Frace Loi expoetielle, Frace Boules, Amérique du sud Club photo Cartes 6 Boules et ures 7 Boules, Atilles Guyae Ures 9 7 Ures, Amérique du Sud 8 Boules et suite 9 Exercice de base : Efficacité d u test Exercice de base : temps d attete Exercice de base : attete Exercice de base : ABS Cubes pour efats Ure 6 Tulipes 8 6 Jetos 9 7 Vie et mort de bactéries, cocours Geipi 8 Cotrôle de qualité, Polyésie 9 Erreurs d impressio, Am du Sud 999 Cotrôle de chaudières, Atilles Clefs et portes, Podicherry 6 7 Boules, Cetres étragers 8 Ciéma, Atilles Boules et foctio, Liba 8 Jetos+VA, Polyésie 6 Promeades familliales, Liba 7 Retard au travail, Polyésie 6 8 VA+Markov, Am du Nord 7 9 Fourmis markoviees, Atilles 6 Chasse aux fraudeurs, N Caledoie 7 6 Durée de vie, Frace 6/8 8 6 Tri de productio, Atilles Durée de vie+biom, Liba Composats électroiques, N Cal ov Visite de musée, Cetres étragers 6 66 Tirs successifs+adéquatio, Frace Adéquatio à ue loi équirépartie 6 Combiatoire avec démostratio Démostratio de cours Démotrer que, pour tous etiers aturels et k tels que k<, o a : Termiale S F Laroche + = k k k E déduire que pour tous etiers aturels et k tels que k<, o a : k + + = k k k O cosidère deux etiers aturels et k tels que k< O dispose d ue ure coteat boules idiscerables au toucher Deux des boules sot rouges, les autres sot blaches O tire au hasard et simultaémet k boules de l ure O appelle A l évèemet «au mois ue boule rouge a été tirée» a Exprimer e foctio de et de k la probabilité de l évèemet A, cotraire de A E déduire la probabilité de A

2 b Exprimer d ue autre maière la probabilité de l évèemet A et motrer, à l aide de la formule obteue à la questio, que l o retrouve le même résultat ( )( k+ ) Démostratio : il est plus simple d utiliser = que k k( k ) même déomiateur état plus visible Termiale S F Laroche! =, la mise au k k!( k)! ( )( k+ + ) ( )( k+ ) ( k+ ) k + k = k + = ; ( k ) k( k ) k( k ) le déomiateur commu apparaît alors : k! Il suffit doc de multiplier la première fractio par k e haut et e bas, ce qui doe k( )( k+ ) + ( )( k) ( k+ ) = k! k! O peut mettre ( )( k+ ) e facteur du umérateur de la fractio de gauche : et c est fii ( )( k+ ) k+ k ( )( k+ ) = k! k! Réécrivos + = k k k u rag plus bas pour et pour k : + = k k k ; réécrivos + = k k k u rag plus bas pour mais pas pour k : + = k k k ; ajoutos les deux liges : + + = + = k k k k k k Das l ure o a boules rouges et boules blaches ; il y a tirages simultaés possibles de k k boules de l ure a A = «au mois ue boule rouge a été tirée»; A = «aucue boule rouge a été tirée» = «les k boules k tirées sot blaches»: il y a k maières de faire et P(A) = k O a doc k k k P(A) = = k k b A peut se produire si o tire rouge et k blaches, ombre de maières : ou rouges et k blaches : ombre de maières : k = k O a alors k = k, + k k P(A) = L égalité etre les deux est alors l égalité des umérateurs : k

3 soit l égalité du Ragemets = + = + + k k k k k k k k, O costitue ue file d attete e attribuat au hasard des uméros d ordre à persoes ( ) Deux amis A et B se trouvet das cette file d attete Quelle est la probabilité que les deux amis soiet situés l u derrière l autre? Quelle est la probabilité que les deux amis soiet distats de r places (ie séparés par r persoes)? Le ombre total de possibilités de ragemet est! Supposos que A est e premier, B est derrière, il reste ( )! répartitios possibles Comme A peut être placé importe où das la file avec B derrière lui, il y a ( ) places possibles pour A et doc la probabilité ( )! = d avoir A suivi de B ; c est pareil pour B suivi de A, soit la probabilité fiale! Même raisoemet ; au pire B est e derier et A r places devat ; o peut placer A de r maières, ( r)( )! ( r) la probabilité fiale est alors =! Calcul d évéemets ( ) Soiet A et B deux évéemets tels que P( A ) = et P( A B) Supposos que A et B soiet icompatibles Calculer P( B ) Supposos que A et B soiet idépedats Calculer P( B ) = Calculer P( B ) e supposat que l évéemet A e peut être réalisé que si l évéemet B est réalisé A et B icompatibles doc A B = + = = = d où P( A B) P( A) P( B) P( B) = = + = = 8 A et B idépedats : P( A B) P( A) P( B) P( B) P( B) P( B) P( B) A e peut être réalisé que si B est réalisé : tous les évéemets de A sot das B, P( A B) = P( A) = + P( B) P( B) = Calcul d évéemets Motrer que, pour évéemets quelcoques A, B, C, o a : P( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( B C) P( C A) + P( A B C) Gééraliser das le cas de évéemets A, A,, A O pred par exemple B C E P( E) = P( B) + P( C) P( B C) et =, soit P( A E) P( A) P( E) P( A E) = +, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A E= A B A C P A E = P A B + P A C P A B A C = P A B + P A C P A B C doc e remplaçat o obtiet la formule Termiale S F Laroche

4 Même chose, par récurrece (bof et très péible) Calcul d évéemets Soiet A, B et C des évéemets O pose E A B C Motrer que E et E sot icompatibles Détermier l esemble E E = et E A ( B C) = O sait que P( A ) =,6, P( B ) =,, P( C ) =,, P( B C) =,, P( A C), P( A B) =, et P( A B C) =, Calculer P( E ) et P( E ) E E A B C A ( B C) ( A B C B) ( A B C C) = = = = A B C A ( B C) = doc e appelat K B C = + =, P( B C), O calcule P( B C),,,,6 E utilisat la formule de l exo 9, o a E E = A K A K = A =, o a ( ) ( ) = ; P( E ) P( E ) P( A) ( ) P( A B C),6,,,,,,,9 + = =,6 P A K = = = ; par ailleurs ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A K = P A + P K P A K,9=,6+,6 P E P E =, et efi P( E ) =,6,=, 6 Dés pipés =, O lace deux fois u dé pipé tel que P()=P()=P()=/ et P()=P(6)=/ Quelle est la probabilité que la somme des poits obteus soit supérieure à (strictemet) sachat que : u des résultats est 6 le premier résultat est 6 Il maque ( ) P = = 8 8 Il faut avoir des résultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x = ou 6 ; o a doc la probabilité + = = (o elève / pour e pas compter (6, 6) deux fois) 8 Là c est simplemet (6, x), soit + = Pièces d or Trois coffres otés C, C, C ot chacu deux tiroirs, et das chaque tiroir, il y a ue pièce Le coffre C cotiet pièces d or, C pièces d arget et C ue pièce d or et ue d arget O ouvre au hasard l u des 6 tiroirs et o trouve ue pièce d arget Quelle est la probabilité pour que l o ait ouvert u tiroir du coffre C? O ouvre à ouveau et idépedammet de la première fois l u des 6 tiroirs et o trouve ecore ue pièce d arget Quelle est la probabilité pour que l o ait ouvert deux fois le même coffre? = C + C + C = + + = ; P( A) P ( A) P( C ) P ( A) P( C ) P ( A) P( C ) A ( ) P C ( ) P( A) ( A) P( C ) P( A) P A C PC / = = = = (ce qui était totalemet évidet ) / Termiale S F Laroche

5 Puisqu o a déjà pris ue pièce d arget, il faut retomber sur C, doc l idépedace, sio o aurait quelque chose plus compliqué) 8 Agriculteur pas écolo = (attetio à 9 U agriculteur a etreposé das u local humide doses d herbicides et 8 doses de fogicide Après plusieurs mois de séjour, les étiquettes e sot pas différetiables (parce qu illisibles) E vue d u traitemet, l agriculteur pred 6 doses au hasard (écologiquemet totalemet icorrect ) a Quelle est la probabilité qu il pree 6 doses d herbicide? b Quelle est la probabilité qu il pree au mois doses d herbicide? 6 6 a L uivers comporte tirages simultaés de 6 objets parmi, il y a maières de tires les doses, soit ue probabilité de : = 6!,, eviro,% ! b O cherche [Probabilité ( dose herbicide) + ( dose herbicide)], soit P = = =,7=,7% 6 6 6! ( ) P( )! = = =,7,7% 6 6 6! Probabilité recherchée = (,7+,7) = 99,76 % 9 Boules Ue boîte cotiet boules rouges, boules vertes et 7 boules jaues O tire simultaémet boules de la boîte et o suppose que tous les tirages sot équiprobables Calculez la probabilité d obteir : a Deux boules de la même couleur b Deux boules de couleurs différetes a Il y a = 9 maières de tirer boules simultaémet parmi les boules de la boîte, = 6 maières de tirer rouges parmi les rouges, = maières de tirer vertes parmi les vertes et = maières de tirer jaues parmi les 7 jaues 7 Termiale S F Laroche

6 Probabilité recherchée = =,97 soit,97% 9 b Comme o tire deux boules, l évéemet cotraire de «boules de même couleur» est «boules de couleurs différetes» La probabilité est doc,97=,67 Jeux Ue equête effectuée auprès de persoes adultes (habitats d ue ville) portat sur les jeux d arget idique que - 8 jouet à la loterie (A) - vot au casio (B) - 9 jouet autat à la loterie qu au casio a Si ue persoe adulte (de la ville) est choisie au hasard, quelle est la probabilité qu elle joue à la loterie ou au casio? b Quelle est la probabilité qu elle joue uiquemet au casio? a 8 P( A ) = =,788, Termiale S 6 F Laroche P( B ) = =,67, P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) =,868 9 P( A B) = =,67 b Il y a 9 joueurs qui jouet uiquemet au casio, soit Coformité P( C ) = =,8 D après les doées recueillies jusqu à ce jour, % de la productio d ue uité d ue etreprise est o coforme et e peut être commercialisée a Quelle est la probabilité que pièces choisies au hasard de la productio de cette uité soiet o coformes? b Quelle est la probabilité que la première pièce soit o coforme et que la secode soit coforme? a O peut toujours utiliser ue loi biomiale : p=, et = La probabilité que l o ait les deux pièces o coformes est ( ),, p p = = b Evéemets successifs : P( C C) ( ) Fumeurs, = P C p( C) =,,98=,96 Ue réuio rassemble persoes : femmes et 8 hommes O sait que % des femmes fumet aisi que % des hommes a Ue persoe quitte la réuio Quelle est la probabilité que cette persoe soit occupée à fumer? b Ue persoe quitte la réuio e fumat Quelle est la probabilité qu il s agisse d ue femme? a Formule des probabilités totales :

7 8 P( f ) = P( [ H f ] [ F f ]) = P( H) PH ( f ) + P( F) PF ( f ) = + =,8 b Probabilité recherchée = Coformité,6, =,,6,+,, O suppose que etreprises X, Y et Z fabriquet trois types de microprocesseurs utilisés das les ordiateurs se partaget le marché à raiso de % pour X, % pour Y, % pour Z Les pourcetages de commades o coformes sot : % pour les microprocesseurs de X, % pour ceux de Y et % pour ceux de Z Das u lot costitué de microprocesseurs das les proportios idiquées pour X, Y et Z, o prélève u microprocesseur a Quelle est la probabilité qu il soit o coforme? b Sachat que le microprocesseur présete u défaut de fabricatio, quelle est la probabilité qu il soit du type X? a A l aide d u arbre de probabilités à ouveau ous obteos,, +,, +,, =, b,, =,6,,+,,+,, Chies chats O sait que 6 % des foyers ot u chie et que das % des foyers où l o a u chie o trouve aussi u chat O sait par ailleurs que % des foyers ot u chat a Quelle est la proportio de foyers das lesquels o trouve u chie et u chat? b Quelle est la probabilité qu u foyer possède u chie sachat qu il possède u chat? P chie = doc P chie chat P chat P( chie) a ( ),6 b P( chat ) =,, Maladie ( ) = ( ) =,,6=,79 chie P( chie chat),79 Pchat( chie) = = =,6 P( chat), Das ue populatio, u sujet a ue probabilité de, d'être atteit d'ue maladie M O sait que si u sujet 'est pas atteit de M, il a 9 chaces sur de répodre égativemet à u test T et que s'il est atteit de M, il a 8 chaces sur de répodre positivemet à T O fait le test a Si le résultat est positif, quelle est la probabilité pour que le sujet soit malade? b Quelle est cette probabilité si le test est égatif? a J ai résolu cet exercice à l aide d u arbre de probabilités Termiale S 7 F Laroche

8 Probabilité recherchée=,,8 = 77,%,,8+,7,,, b Probabilité recherchée= = 8,7%,,+,7,9 6 QCM, Am du Nord 6 poits Pour chaque questio, ue seule des trois réposes proposées est exacte Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie Aucue justificatio est demadée Ue répose exacte rapporte poit, ue répose fausse elève, poit ; l absece de répose est comptée poit Si le total est égatif, la ote est rameée à zéro Ue ure cotiet bulletis idiscerables au toucher de trois sortes : sot marqués «oui», sot marqués «o» et sot marqués «blac» Lors d u premier jeu, le joueur commece par miser cetimes d euro Il tire esuite u bulleti de l ure et l y remet après l avoir lu Si le bulleti est marqué «oui», le joueur reçoit 6 cetimes d euro, s il est marqué «o», il e reçoit rie Si le bulleti est marqué «blac», il reçoit cetimes d euro Questio : Le jeu est A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable Questio : le joueur joue quatre parties idépedammet les ues des autres La probabilité qu il tire au mois ue fois u bulleti marqué «oui» est égale à A : 6 6 B : 6 C : Lors d u secod jeu le joueur tire simultaémet deux bulletis de l ure Questio : la probabilité qu il obtiee u tirage de deux bulletis de sortes différetes est égale à : A : B : C : = doc le Questio : L espérace mathématique du jeu est ( ) ( ) ( ) jeu est C : équitable Questio : Loi biomiale =, doc répose B 8 aumoisuoui = oui = = =, 6 6 p=, P( ) P( ) 9 Questio : Le joueur tire simultaémet deux bulletis de l ure : il y a = = tirages possibles ; la probabilité qu il obtiee u tirage de deux bulletis de sortes différetes est égale à la + + probabilité de tirer oui et o ou oui et blac ou o et blac, soit = =, répose C 7 Fesic : Exercice 7 O cosidère ue successio de sacs qu o désige par S, S,, S Au départ le sac S cotiet jetos oirs et jeto blac ; tous les autres sacs cotieet chacu jeto oir et jeto blac O tire au hasard u jeto du sac S que l o place das le sac S Puis, o tire au hasard u jeto du sac S, que l o place das le sac S, et aisi de suite O ote B k l évéemet :«le jeto tiré du sac S k est blac», et P( B ) p = sa probabilité k k Termiale S 8 F Laroche

9 = = a O a : P( B /B ) et P( B /B ) b O a, pour tout etier : p+ = p+ Pour tout * N, o pose q = p c Alors la suite ( q ) N * est arithmétique d La suite ( p ) N * coverge vers a Vrai : Si o tire u jeto blac de S, o e a das S pour u total de jetos das S, doc P( B / B ) = Si o tire u jeto oir de S, o a jeto blac das S, et jetos das S, doc P( B / B ) = + = et b Faux : Le raisoemet fait e a reste le même si o est au tirage : P( B / B ) P( B / B ) p+ = p+ ( p ) d où p+ = p+ + = d autre part p P( B ) + + p = P B / B P( B ) + P B / B P( B ) soit = doc + ( + ) ( + ) c Faux : O remplace das la relatio de récurrece qui défiit p : p+ = p +, q+ + = q + + q+ = q doc q est géométrique 6 Comme p =, o a q = = d où 6 justifie la répose d) d Vrai : La suite ( p ) N * coverge vers 8 Fesic : Exercice 8 = = et fialemet 6 q p = ce qui Ue ure cotiet trois dés équilibrés Deux d etre eux sot ormaux : ils possèdet six faces umérotées de à 6 Le troisième est truqué : il possède deux faces umérotées et quatre faces portat le uméro 6 O pred u dé au hasard das l ure et o effectue de maière idépedate des lacers successifs de celui-ci O ote : a O a : ( ) * N l évéemet : «le dé tiré est ormal» ; * U l évéemet : «o obtiet au premier lacer» ; * pour etier o ul, S l évéemet : «o obtiet 6 à chacu des premiers lacers» P U = 9 b Pour tout etier o ul, o a : ( ) P S = + 6 Pour etier o ul, o ote p la probabilité d avoir tiré le dé truqué, sachat qu o a obteu le uméro 6 à chacu des premiers lacers Termiale S 9 F Laroche

10 c Pour tout etier o ul, o a : d O a : lim p = + p = + a Vrai : O trouve facilemet P( N ) =, P( U/ N ) = et P( U/ N ) = Repreos les probabilités 6 6 totales : P( U) = P( U/ N) P( N) + P( U/ N) P( N) = + = b Vrai : épreuves idépedates répétées doc loi biomiale : les paramètres sot pour le ombre de tirages et p : * si o choisit u dé ormal * si o choisit le dé truqué p=, o a alors 6 p= =, o a alors 6 E refaisat le même raisoemet qu au a o obtiet : c Vrai : P(tirer 6 fois)= p ( p) = 6 P(tirer 6 fois)= P(tirer 6 fois)= + 6 P( N S ) 6 p = P( N/ S) = = = = = P( S ) d Faux : p ted vers quad ted vers l ifii, ce qui semble logique 9 Fesic : Exercice Soit u etier supérieur ou égal à Ue ure cotiet : ue boule umérotée, ue boule umérotée, boules umérotées, boules umérotées, k boules umérotées k (k etier compris etre et ), boules umérotées Les boules sot idiscerables au toucher O extrait au hasard ue boule de l ure et o ote X la variable aléatoire égale au uméro de la boule tirée a L ure cotiet boules b Pour tout etier aturel k tel que k, o a : c O a pour : d O a : E( X) = ( ) + k k = ( ) + k= ( ) P X k k + = = ; Termiale S F Laroche

11 a Faux : L ure cotiet suite géométrique) k = + = k k b Faux : Si k>, P( X = k) = = ; si k=, k forcémet fausse puisque + > ) boules (somme des termes d ue P( X = ) = = (la répose proposée était k c Vrai : O teste la formule pour = : k = + = ;( ) + = Récurrece : + k= k k + k = k + ( + ) = ( ) + + ( + ) = + = + ; k= k= remplaços maiteat par + das la formule : + k k + + k = ( ) + k = ( + ) + = + ; ok k= k= d Faux : E( X) = k + + = k k= ( ) E( X) = ( ) + = ( ) k + k Fesic : Exercice 6 Soit u etier supérieur ou égal à O dispose de deux ures U et V L ure U cotiet boules blaches et boules oires ; l ure V cotiet boules blaches et boules oires O choisit au hasard l ue des deux ures, puis o tire deux boules de cette ure, successivemet et sas remise O désige par U l évéemet : «o choisit l ure U», par V l évéemet : «o choisit l ure V» et par B l évéemet : «les deux boules tirées sot blaches» a O a : P( B U) b O a : c = ( + )( + ) + P( B) = ( + )( + ) P( U/ B) = + d Pour que P( U/ B),, il suffit que P B U = P( U et blaches) = P( B/ U) P( U) = = = + ( + )( + ) ( + )( + ) a Faux : ( ) b Faux : Utilisos les probabilités totales : P( B) = P( B U) + P( B V) = P( B/ U) P( U) + P( B/ V) P( V) Or ( ) P( B/ V) = =, + ( + )( + ) ( ) P( B) = +, soit ( + )( + ) ( + )( + ) + P( B) = ( + )( + ) d où Termiale S F Laroche

12 c Vrai : P( B U) ( + )( + ) P( U/ B) = = = P( B) + + ( + )( + ) d Faux : P( U/ B),, + 8 ; =+7, soit 8, d où +,7;,7 ; le triôme est positif si, il faut doc que De toutes maières o pouvait tester qui doe P( U/ B ) = = qui est trop gros 7 Fesic : Exercice Ue ure cotiet boules : ue bleue, ue verte et ue rouge Soit u etier supérieur ou égal à O effectue tirages successifs d ue boule avec remise itermédiaire O suppose les tirages équiprobables et idépedats et o appelle p la probabilité associée à cette expériece O défiit de plus les évéemets suivats : * O appelle A l évéemet : «Les tirages ot doé la même boule et la ième boule tirée est différete des précédetes» ; * Lorsque k est u etier compris etre et, o appelle B k, V k et R k les évéemets respectivemet associés au tirage d ue boule bleue, verte ou rouge lors du k ième tirage a p B B p V V p R R ( ) = ( ) ( ) b p( A ) = c Pour tout etier, o a : = d lim [ p( A ) p( A ) p( A )] p( A ) = Questio a b c d Répose F V V F a B B se traduit par : «tirer ue blache e et tirer ue rouge ou ue verte e» Comme les tirages sot idépedats le mieux est ecore de faire le calcul : p( B k) =, p( B k) =, et la même chose pour les autres couleurs : 9 p( B B) = =, p( V V) p( R R) = = = b A est l évéemet «tirer ue boule d ue couleur e et d ue couleur différete e», soit 6 p( A) = p( B B) + p( V V) + p( R R) = + + = = c Pour A il faut tirer fois la même couleur, soit pour chaque couleur puis tirer ue couleur différete, soit ; comme il y a couleurs, ça ous fait p ( A ) = = d La somme p( A) + p( A) + + p( A ) est la somme des termes d ue suite géométrique de premier terme p( A ) = et de raiso doc elle vaut = (de à il y a termes) qui ted vers à Termiale S F Laroche

13 l ifii O pouvait s e douter das la mesure où o est sûr de fiir par tirer ue boule de couleur différete Fesic : Exercice La durée de vie d u moteur est de as et suit ue loi expoetielle de paramètre λ O utilisera pour les calculs l,7 f( t) = si t [;] a La desité de probabilité associée à cette loi est la foctio f défiie sur R par t f( t) = e si t [;] b O suppose que % des cliets ot été dépaés durat la garatie La durée de cette garatie est de as et demi eviro c O cosidère u lot de moteurs foctioat de maière idépedate et o appelle X le ombre de moteurs qui ot pas de pae pedat les deux premières aées La probabilité d avoir X est Termiale S F Laroche e p( X ) = d O est das les mêmes coditios qu au c L espérace de la variable aléatoire X est e E( X) = Questio a b c d Répose F V F V a La desité de probabilité d ue loi expoetielle de paramètre λ est f( t) = e λt pour t et f( t ) = pour t< Si o suit le texte alors pour t > la desité est ulle, soit Par cotre il faut alors que impossible λ f( t) = si t [;] t f( t) λe λ = si t [;] + f ( t ) dt= e dt= e = e = ce qui est λt λt λ λ E fait l éocé est moyeemet clair : il faut e fait lire «La durée de vie moyee d u moteur est de as» auquel cas o a immédiatemet λ, λ = = La desité est alors f( t) = sit<,t f( t) =,e sit b La traductio de l éocé est la suivate : o a % des moteurs qui vivet plus que T (T est la durée de la garatie) ; si t est la durée de vie d u moteur, la probabilité qu il dure après T est T,t,T p( t T) p( t T),e > = = dt= e ; o sait que cette probabilité est de, = / et o cherche doc T Il ous faut résoudre,t l() e =,T = l( ) T =,, c La probabilité qu u moteur e tombe pas e pae avat deux as est,,,, p( t> ) = p( t ) = e = e doc X suit ue loi biomiale de paramètres = et p= e = e O a alors p( X ) = p( X = ) = ( e ) ( e ) = ( e ) (iterpréter ) d Cours :, E( X) = p= e = e Arbre+Va, N Calédoie 6/8 poits,,, soit eviro,99998 Deux éleveurs produiset ue race de poissos d oremet qui e preet leur couleur défiitive qu à l âge de trois mois :

14 - pour les alevis du premier élevage, etre l âge de deux mois et l âge de trois mois, % ot pas survécu, 7 % devieet rouges et les % restat devieet gris ; - pour les alevis du deuxième élevage, etre l âge de deux mois et l âge de trois mois, % ot pas survécu, 6 % devieet rouges et les % restat devieet gris Ue aimalerie achète les alevis à l âge de deux mois : 6 % au premier éleveur, % au secod U efat achète u poisso le ledemai de so arrivée à l aimalerie, c est-à-dire à l âge de deux mois a Motrer que la probabilité que le poisso soit toujours vivat u mois plus tard est de,9 b Détermier la probabilité qu u mois plus tard le poisso soit rouge c Sachat que le poisso est gris à l âge de trois mois, quelle est la probabilité qu il proviee du premier élevage? Ue persoe choisit au hasard et de faço idépedate alevis de deux mois Quelle est la probabilité qu u mois plus tard, seulemet trois soiet e vie? O doera ue valeur approchée à près L aimalerie décide de garder les alevis jusqu à l âge de trois mois, afi qu ils soiet vedus avec leur couleur défiitive Elle gage euro si le poisso est rouge,, euro s il est gris et perd, euro s il e survit pas Soit X la variable aléatoire égale au gai algébrique de l aimalerie par poisso acheté Détermier la loi de probabilité de X et so espérace mathématique, arrodie au cetime a Pour que le poisso soit toujours vivat il faut qu il soit ecore vivat sachat qu il proviet du er élevage ou qu il soit vivat sachat qu il proviet du ème élevage : avec u arbre o a alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p V = p V p E + p V p E =,9,6+,9,=,9 E E b Même type de calcul : p( R) p ( R) p( E ) p ( R) p( E ) c p( G) pe ( G) p( E ) p ( ) ( ) E G p E p( E G) pe ( G) p( E ) pg( E ) p( G) p( G) = + =,7,6+,6,=,7 E E = + =,,6+,,=, ;,,6 = = =,, O remarquera qu u poisso peut mourir, deveir Rouge ou deveir Gris :,8+,7+, = Schéma de Beroulli/Loi biomiale : =, p=,9, p( X = ) =,7, p( X =, ) =,, ( ) E ( ) X =,7 +,,,,8=,7cet Lacer + VA, Liba 6/8, poits p X =, =,8 = =,9,8, k= ; P( k ) Ue ure A cotiet quatre boules rouges et six boules oires Ue ure B cotiet ue boule rouge et euf boules oires Les boules sot idiscerables au toucher Partie A U joueur dispose d'u dé à six faces, parfaitemet équilibré, uméroté de à 6 Il le lace ue fois : s'il obtiet, il tire au hasard ue boule de l'ure A, sio il tire au hasard ue boule de l'ure B Soit R l'évéemet «le joueur obtiet ue boule rouge» Motrer que p(r) =, Si le joueur obtiet ue boule rouge, la probabilité qu'elle proviee de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle proviee de B? Partie B Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite das la partie A, das des coditios idetiques et idépedates (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les ures retrouvet leur compositio iitiale) Termiale S F Laroche

15 Soit x u etier aturel o ul Lors de chacue des deux épreuves, le joueur gage x euros s'il obtiet ue boule rouge et perd deux euros s'il obtiet ue boule oire O désige par G la variable aléatoire correspodat au gai algébrique du joueur e euros au terme des deux épreuves La variable aléatoire G pred doc les valeurs x, x et Détermier la loi de probabilité de G Exprimer l'espérace E(G) de la variable aléatoire G e foctio de x Pour quelles valeurs de x a-t-o E(G) >? Partie A A et B formet ue partitio de l uivers Ω ; d après la formule des probabilités totales, o a 9 p( R) = p( A R) + p( B R) = pa( R) p( A) + pb( R) p( B) = + = Par coséquet, p( R ) =, p( A R) Calculos pr( A) et pr( B ) : ( ) 6 p( B R) pr A = = = et p ( ) 6 R B = = = Doc, si p( R) 9 9 p( R) le joueur obtiet ue boule rouge, la probabilité qu elle proviee de A est iférieure à celle qu elle proviee de B Partie B L épreuve décrite das la partie A est ue épreuve de Beroulli dot le succès est «obteir ue boule k rouge» O a p=, et = : ( ) (,) (,) k p X = k = k p G= x = p X = =, =, ; ( ) ( ) ( ) p( G= x ) = p( X = ) = (,) (,8) =, ; Termiale S F Laroche

16 p( G= ) = p( X = ) = (,8) =,7 ( ) ( ) ( ) ( ) E G =, x +, x +,7 =, x,, E G,x,,x, x x, Or x est u etier aturel, doc, ( ) E( G) lorsque x est supérieur ou égal à Loterie+biomiale, Polyésie 7 poits Pour réaliser ue loterie, u orgaisateur dispose d u sac coteat exactemet u jeto blac et 9 jetos oirs idiscerables au toucher et d autre part d u dé cubique équilibré dot les faces sot umérotées de à 6 Il décide des règles suivates pour le déroulemet d ue partie Le joueur doit tirer u jeto puis jeter le dé : * si le jeto est blac, le joueur perd lorsque le jet du dé doe 6 ; * si le jeto est oir, le joueur gage lorsque le jet du dé doe 6 A la fi de la partie, le jeto est remis das le sac O ote B l évéemet «le jeto tiré est blac» et G l évéemet «le joueur gage le jeu» L évéemet cotraire d u évéemet E est oté E La probabilité d u évéemet est otée p(e) Partie A Motrer que p ( G) 7 = O pourra s aider d u arbre podéré Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeto blac sachat qu il a perdu? U joueur fait quatre partie de faço idépedate Calculer la probabilité qu il e gage exactemet deux et e doer ue valeur approchée à près Quel ombre miimal de parties u joueur doit-il faire pour que la probabilité d e gager au mois ue soit supérieure à,99? Partie B L orgaisateur décide de faire de sa loterie u jeu d arget : * chaque joueur paye euro par partie ; * si le joueur gage la partie il reçoit euros ; * si le joueur perd la partie il e reçoit rie O ote X la variable aléatoire égale au gai algébrique (positif ou égatif) du joueur à l issue d ue partie a Doer la loi de probabilité de X et so espérace mathématique b O dit que le jeu est favorable à l orgaisateur si E(X) < Le jeu est-il favorable à l orgaisateur? L orgaisateur décide de modifier le ombre de jetos oirs ( etier aturel o ul) tout e gardat u seul jeto blac Pour quelles valeurs de l etier le jeu est-il défavorable à l orgaisateur? Partie A 9 7 = < + = = + = 6 6 p( G) p( B) p( dé 6) p( N) p( dé 6) p ( B) P p( Blac et Perdu ) 6 = = = = p( P) Termiale S 6 F Laroche

17 Loi biomiale : =, Loi biomiale : quelcoque, 7 p= ; il e gage avec la probabilité 7 p= ; p X = p( X ) 7 ( ) = = ( ),9 ; o a alors l, p( X ),99,99 l l(,) = 7, l d où = 8 Partie B a X pred les valeurs et ; p( X = ) = p( P) =, p( X ) p( G) 7 E( X ) = + = = 6 b L orgaisateur e semble pas très matheux Il faut recalculer p( G) p( B) p( dé 6) p( N) p( dé 6) ( ) E X 9 7 = = = + = < + = = + = ( 6 6 ) ( ) ( ) = + = = 6( + ) 6( + ) Lacer dés+biomiale, Am du Nord poits ( ) d où qui sera positif lorsque O dispose d u dé cubique équilibré dot ue face porte le uméro, deux faces portet le uméro et trois faces portet le uméro O dispose égalemet d ue ure coteat dix boules idiscerables au toucher, portat les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six cosoes) U joueur fait ue partie e deux étapes : Première étape : il jette le dé et ote le uméro obteu Deuxième étape : si le dé idique, il tire au hasardue boule de l ure Il gage la partie si cette boule porte ue voyelle et il perd das le cas cotraire si le dé idique, il tire au hasard et simultaémet deux boules de l ure Il gage la partie si chacue de ces deux boules porte ue voyelle et il perd das le cas cotraire si le dé idique, il tire au hasard et simultaémet trois boules de l ure Il gage la partie si chacue de ces trois boules porte ue voyelle et il perd das le cas cotraire À la fi de chaque partie, il remet das l ure la ou les boules tirée(s) O défiit les évèemets suivats : D : «le dé idique», D : «le dé idique», D : «le dé idique», G : «la partie est gagée» A et B état deux évèemets tels que p( A), o ote p A (B) la probabilité de B sachat que A est réalisé a Détermier les probabilités b Motrer alors que p( G ) = 8 pd ( G ), pd ( G ) et pd ( G ) U joueur a gagé la partie Calculer la probabilité qu il ait obteu le uméro avec le dé Termiale S 7 F Laroche

18 U joueur fait six parties Calculer la probabilité qu il e gage exactemet deux et e doer ue valeur arrodie à près Quel ombre miimal de parties u joueur doit-il faire pour que la probabilité d e gager au mois ue soit supérieure à,9? a pd ( G ) : s il tire u, il gage s il tire ue voyelle, soit chaces sur, pd ( G ) : s il tire u, il gage s il tire voyelles, soit 6 pd ( G ) = = ; pd ( G ) : s il tire u, il gage s il tire voyelles, soit pd ( G ) = = b O applique les probabilités totales : Termiale S 8 F Laroche ( ) ( ) ( ) = = 6 pd ( G ) = chaces sur = = chaces sur p( G) = p D G + p D G + p D G = pd ( G) p( D ) + pd ( G) p( D ) + pd ( G) p( D ) = + + = Ce coup-ci o cherche p( G D ( ) ( ) pd G p D ) 6 8 pg( D) = = = = = p( G) p( G) 6 8 U joueur fait six parties : loi biomiale avec = 6 et O remplace 6 par et k par : p= O cherche 8 6 p( k= ) =, = =, 98 = =, 7 p( k ) = p( k= ) = = l(,) doc résoudre, 9, 6, 8 soit 7 parties miimum 8 8 l(7/ 8) 7 Tirages simult+va+biomiale, Frace poits ; il faut Pour les questios et, o doera les résultats sous forme de fractio et sous forme décimale approchée par défaut à près U efat joue avec billes : rouges et 7 vertes Il met rouges et vertes das ue boîte cubique et rouges et vertes das ue boîte cylidrique Das u premier jeu, il choisit simultaémet trois billes au hasard das la boîte cubique et il regarde combie de billes rouges il a choisies O appelle X la variable aléatoire correspodat au ombre de billes rouges choisies a Détermier la loi de probabilité de X b Calculer l'espérace mathématique de X U deuxième jeu est orgaisé de telle sorte que l'efat choisisse d'abord au hasard ue des deux boîtes, puis qu'il pree alors ue bille, toujours au hasard, das la boîte choisie O cosidère les évéemets suivats : * C : "L'efat choisit la boîte cubique",

19 * C : "L'efat choisit la boîte cylidrique", * R : "L'efat pred ue bille rouge", * V : "L 'efat pred ue bille verte" a Représeter par u arbre podéré la situatio correspodat à ce deuxième jeu b Calculer la probabilité de l'évéemet R c Sachat que l'efat a choisi ue bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle proviee de la boîte cubique? L'efat reproduit fois de suite so deuxième jeu, e remettat à chaque fois la bille tirée à sa place a Exprimer, e foctio de, la probabilité p que l'efat ait pris au mois ue bille rouge au cours de ses choix b Calculer la plus petite valeur de pour laquelle p,99 U efat joue avec billes : rouges et 7 vertes Il met rouges et vertes das ue boîte cubique et rouges et vertes das ue boîte cylidrique Il choisit simultaémet trois billes au hasard : il y a billes das cette boîte, il y a doc = = 86 choix possibles Comme il y a rouges, il peut predre,, ou billes rouges : ce sot les valeurs que peut predre X a Si o tire k rouges, o tire k vertes : o a valeurs de k : k k p( X = k) = O calcule pour les différetes 86 X p X =, =, =,7 =, b E( X ) = =, Ce type de loi est assez peu utilisée sous cette forme car les coefficiets biomiaux devieet igérables dès que le ombre d objets présets est trop importat a C / R / / V / C /7 R /7 V (R) = (R C ) + (R C ) = (R) (C ) + (R) (C ) = + = =, b p p p pc p pc p Probabilités totales Termiale S 9 F Laroche

20 c p(c R) / 7 7 pr(c ) = = = =,6 p(r) 9/ Loi biomiale : icou, p = probabilité de tirer ue rouge a p( X ) = p( X = ) = = l, b p,99,99, l l,, ; il faut l 8 doc que 6 Questios ultra classiques, attetio aux chagemets de ses das les iégalités (l(7/8) < car ) 8 Ures et dés, Podichery U joueur dispose d u dé cubique bie équilibré dot les faces sot umérotées de à 6, et de trois ures, U, U et U coteat chacue k boules, où k désige u etier aturel supérieur ou égal à Il y a trois boules oires das U, deux boules oires das U et ue boule oire das U Toutes les autres boules das les ures sot blaches Les boules sot idiscerables au toucher Ue partie se déroule de la maière suivate : le joueur lace le dé, * s il obtiet le uméro, il pred au hasard ue boule das l ure U, ote sa couleur et la remet das U ; * s il obtiet u multiple de, il pred au hasard ue boule das U, ote sa couleur et la remet das U ; * si le uméro ameé par le dé est i i u multiple de, il pred au hasard ue boule das U, ote sa couleur et la remet das U O désige par A, B, C et N les évéemets suivats : A : «Le dé amèe le uméro» B : «Le dé amèe u multiple de» C : «Le dé amèe u uméro qui est i i u multiple de» N : «La boule tirée est oire» Le joueur joue ue partie a Motrer que la probabilité qu il obtiee ue boule oire est égale à k b Calculer la probabilité que le dé ait ameé le sachat que la boule tirée est oire c Détermier k pour que la probabilité d obteir ue boule oire soit supérieure à d Détermier k pour que la probabilité d obteir ue boule oire soit égale à Das cette questio, k est choisi pour que la probabilité d obteir ue boule oire e jouat ue partie soit égale à Le joueur fait parties, idépedates les ues des autres Calculer, sous forme exacte puis arrodie à près la probabilité qu il obtiee au mois ue fois ue boule oire O fait u arbre qui doe toutes les réposes immédiatemet : Termiale S F Laroche

21 dé = /6 U p(n) = /k dé = ou 6 /6 U p(n) = /k dé =,, /6 U p(n) = /k a Pour avoir ue boule oire il faut calculer la probabilité d avoir tiré avec le dé et ue oire das U, etc, soit sous forme de probabilité coditioelle : p( N) = p[( A N) ( B N) ( C N)] = p( A) p ( N) + p( B) p ( N) + p( C) p ( N) Ceci doe évidemmet p( N) = 6 k + 6 k + 6 k = 6k = k p( A N) /k b O cherche ici PN( dé= ) = = = p( N) /k c d U U U > k< k< ; comme k est etier et supérieur ou égal à, il reste k = k k k k = = = Le ombre de fois où o tire ue boule oire sur les parties suit ue Loi biomiale de paramètres = et p= La probabilité qu il obtiee au mois ue fois ue boule oire est doc 9 Etropie, Frace poits 9 9 p( X ) = p( X = ) =,9 = U récipiet cotiet u gaz costitué de deux sortes de particules : 7 % de particules A et % de particules B Les particules sot projetées sur ue cible formée de deux compartimets K et K L expériece est modélisée de la maière suivate : - Ue particule au hasard parmi les particules de type A etre das K avec la probabilité et das K avec la probabilité - Ue particule au hasard parmi les particules de type B etre das chacu des compartimets avec la probabilité Partie A Termiale S F Laroche

22 Soit ue particule au hasard Détermier la probabilité de chacu des évéemets suivats : A : «la particule isolée est de type A et elle etre das K» ; A : «la particule isolée est de type A et elle etre das K» ; B : «la particule isolée est de type B et elle etre das K» ; B : «la particule isolée est de type B et elle etre das K» ; C : «la particule etre das K» ; C : «la particule etre das K» O procède fois de suite et de faço idépedate à l épreuve décrite e itroductio Le ombre de particules état très grad, o admettra que les proportios 7 % et % restet costates Calculer la probabilité de l évéemet E suivat : «il y a exactemet deux particules das K» Partie B U récipiet cotiet le gaz décrit précédemmet Les particules A sot radioactives et se trasformet spotaémet e particules B O ote p( t ) la proportio de particules A das le gaz Aisi, à l istat t=, o a p () =,7 Plus gééralemet, si t est exprimé e aées, o a p( t) =,7e λt où λ est ue costate réelle La demivie des particules de type A est égale à 7 as Calculer λ ; o predra ue valeur approchée à près par défaut Au bout de combie d aées, % des particules de type A se serot-elles trasformées e particules de type B? Détermier la valeur de t pour laquelle il y aura autat de particules de type A que de particules de type B (o arrodira à l uité) Partie A Iterprétos les doées e termes de probabilités : 7 % de particules A, soit p (A) =,7, et % de particules B, soit p (B) =, - A etre das K avec la probabilité : p A(K) =, das K avec la probabilité : p A(K) = - B etre das K ou K avec la probabilité : p B(K) =, p B(K) = p(a) = p(a K) = pa(k) p(a) =,7= ; p(a) = p(a K) = pa(k) p(a) =,7= ; p(b) p(b K) p (K) p(b), 8 = = B = = ; B p(c) = p((a K) (B K)) = p(a K)+ p(b K) = + = ; 8 8 p(c) = p((a K) (B K)) = p(a K)+ p(b K) = + = 8 8 Le total doit évidemmet faire Loi biomiale, B (,/8) ; Partie B p(b) = p(b K) = p (K) p(b) =,= ; 8 p(dask) =,6 8 8 p( t) =,7e λt où λ est ue costate réelle La demi-vie des particules de type A est égale à 7 as A t = 7, o a Temps au bout duquel le ombre de particules restates est la moitié du ombre iitial Termiale S F Laroche

23 λt λ(7),7 λ(7) l, 7 e = p(), 7 e = e = λ(7) = l λ =, 97, 7 soit, à près par défaut 9 O cherche t pour qu il reste 9 % des particules de type A, soit p( t) = p(), ce qui doe l équatio λt λt l(, 9) l(, 9) d icoue t :,7e =,9,7 e =,9 λt= l(,9) t= = 87as λ, Il y aura autat de particules de type A que de particules de type B lorsque les pourcetages de types A et B serot de % chacu E l occurrece il faut que p( t ) =,, ce qui doe λt λt, l(/),7e =, e = λt= l(/) t= as,7 λ Loi expoetielle, Frace O s itéresse à la durée de vie, exprimée e semaies, d u composat électroique O modélise cette situatio par ue loi de probabilité p de durée de vie sas vieillissemet défiie sur l itervalle [ ; + [ : la probabilité que le composat e soit plus e état de marche au bout de t semaies est t x λ λ p([; t[) = e dx Ue étude statistique, motrat qu eviro % d u lot importat de ces composats sot ecore e état de marche au bout de semaies, permet de poser p ([;[) =, Motrer que l λ = Quelle est la probabilité qu u de ces composats pris au hasard ait ue durée de vie supérieure à semaies? O doera la valeur exacte et ue valeur approchée décimale au cetième près O admet que la durée de vie moyee d m de ces composats est la limite quad A ted vers + de xe dx A x λ λ a Motrer que A λa λa λx λae e + λxe dx= λ b E déduire d m ; o doera la valeur exacte et ue valeur approchée décimale à la semaie près p ([;[) = e dx= e = e + ; il faut doc résoudre λx λx λ λ λ λ l e =, e = λ = l = l λ = l ([; + [) = = ( + ) = = = = = =, 8 l λx λ l p λe dx e e e ( e ) O itègre par parties e posat u= λx, v' = e λx d où u' = λ et A x e λ v= : λ A λa λa λ λ λ λ λ λ λ λ A x x A x A x A A Ae e + λxe dx= xe e dx= Ae + + e = Ae e + = λ λ λ λ Termiale S F Laroche

24 Ae λa L expoetielle l emporte sur toute foctio polyôme d où ted vers lorsque A ted vers + La limite d m est alors qui est la moyee de la loi expoetielle Das l exemple o a doc λ d m = 89semaies l Boules, Amérique du sud poits, éocé légèremet modifié Ue ure cotiet boules rouges et boules oires idiscerables au toucher O effectue au hasard u tirage de deux boules simultaémet de l ure O ote A l évéemet «o a obteu aucue boule oire» ; o ote A l évéemet «o a obteu ue seule boule oire» ; o ote A l évéemet «o a obteu deux boules oires» 6 8 Motrer que p (A ) = et p (A ) = ; e déduire p (A ) Après ce premier tirage, il reste boules das l ure O effectue à ouveau u tirage sas remise de deux boules de l ure O ote B l évéemet «o a obteu aucue boule oire au tirage» ; o ote B l évéemet «o a obteu ue seule boule oire au tirage» ; o ote B l évéemet «o a obteu deux boules oires au tirage» a Calculer p A (B ), p A (B ), p A (B ) b Calculer p (B ) c Calculer p (B ) et p (B ) d O a obteu ue seule boule oire lors de ce secod tirage Quelle est la probabilité d avoir obteu ue seule boule oire lors du premier tirage? O cosidère l évéemet R : «il a fallu exactemet les deux tirages pour que les deux boules oires soiet tirées de l ure» Motrer que p (R) = 6 6 O effectue au hasard u tirage de deux boules simultaémet de l ure : il y a = = tirages possibles «O a obteu aucue boule oire» reviet à dire que l o a tiré deux rouges parmi, il y a 6 = = 6 et la probabilité est p (A ) = ; de même «o a obteu ue seule boule oire» reviet à dire qu o a tiré ue oire parmi et ue rouge 8 parmi, il y a = 8 maières de procéder, ce qui doe p (A ) = ; comme la seule possibilité 6 8 restate est de tirer oires, o a p(a ) = p( A) = + = a Lors de ce deuxième tirage o a = 6 tirages possibles Termiale S F Laroche

25 Si o a tiré oire au er tirage, o a tiré rouges ; il reste doc rouges et oires das la boite et la probabilité de tirer oire est celle de tirer rouges parmi, soit pa (B ) = = ; 6 6 si o a tiré oire au er tirage, o a tiré égalemet rouge ; il reste doc rouges et oire das la boite et la probabilité de tirer oire est celle de tirer rouges parmi, soit pa (B ) = = ; 6 6 si o a tiré oires au er tirage, o a tiré rouge ; il reste doc rouges et oire das la boite et la 6 probabilité de tirer oire est celle de tirer rouges parmi, soit pa (B ) = = = (e fait c était 6 6 évidet puisqu il y a plus que des rouges) b avec les probabilités totales o a p(b ) p( B A ) p( B A ) p( B A ) Termiale S F Laroche = + +, soit p(b ) = pa (B ) p( A ) + pa (B ) p(a ) + pa (B ) p( A ) = + + = c De la même maière o a p (B ) = =, pa (B ) = =, A p (B ) = ; A p(b ) = pa (B ) p( A ) + pa (B ) p(a ) + pa (B ) p( A ) = + + = ; 6 6 p (B ) = =, A 6 6 p (B ) =, p A (B ) = ; A p(b ) = pa (B ) p( A ) + pa (B ) p(a ) + pa (B ) p( A ) = + + = = 6 9 d O a obteu ue seule boule oire lors de ce secod tirage, o coaît doc B Nous cherchos alors 8 p( A B ) pa (B ) p(a ) p B (A ) = = = = p(b 8 ) p(b ) p p p p pa p pa (R) = (A B ) + (A B ) = (A ) (B ) + (A ) (B ), soit Club photo 6 8 p (R) = + = = 6 6 Das ue classe de trete élèves sot formés u club photo et u club de théâtre Le club photo est composé de membres, le club théâtre de 6 membres Il y a deux élèves qui sot membres des deux clubs à la fois O iterroge u élève de la classe pris au hasard O appelle P l évéemet : «l élève fait partie du club photo» et T l évéemet : «l élève fait partie du club théâtre» Motrer que les évéemets P et T sot idépedats Lors d ue séace du club photo, les membres sot tous présets U premier élève est tiré au sort Il doit predre la photo d u autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort a O appelle T l évéemet :«Le premier élève appartiet au club théâtre» Calculer P( T ) b O appelle T l évéemet «L élève pris e photo appartiet au club théâtre» Calculer PT ( T ) puis PT ( T ) E déduire P( T T) et P( T T)

26 c Démostratio de cours : Démotrer que P ( T ) PT ( T ) P ( T ) P ( T ) P( T ) = + Calculer P( T ) T Toutes les semaies o recommece de faço idépedate la séace de photographie avec tirage au sort du photographe et du photographié Le même élève peut être photographié plusieurs semaies de suite Calculer la probabilité qu au bout de semaies aucu membre du club théâtre ait été photographié Avec des patates le résultat est immédiat (e fait o e a pas besoi, c est juste pour motrer que je suis super fortiche avec Word ) P(P) = / = / et P(T) = 6/ = / O a alors P(P T) = = et P(P) P(T) = = doc les évéemets sot idépedats Ceci est u pur hasard de calcul, si vous chagez par exemple le ombre d élèves das la classe ça e marche plus Lors d ue séace du club photo, les membres sot tous présets U premier élève est tiré au sort Il doit predre la photo d u autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort a P( T ) = = b PT ( T ) = : il reste à tirer u membre du club théâtre parmi les euf restats 9 P ( T ) = : si T T est réalisé le premier élève e fait pas de théaâre, il reste deux choix parmi 9 restats 9 8 P( T T ) = PT ( T ) P( T ) = = ; P( T T ) = P ( T) P( T ) = = T 9 9 b Avec les probabilités totales, o a ( ) ( ) ( ) P ( T ) = P ( T T ) ( T T ) = P T T + P T T = P ( T ) P ( T ) + P ( T ) P ( T ) T T 8 9 Doc P( T ) = + = = Le calcul aurait pu se faire directemet avec u arbre Loi biomiale : =, p= P( T) = ; la probabilité cherchée est, e posat X = ombre de fois où 6 l élève photographié appartiet pas au club théâtre : P( X = ) = p ( p) = = 6 Cartes O tire 8 cartes das u jeu de cartes Quelle est la probabilité de : Tirer tous les coeurs? Tirer les as? Tirer coeurs et trèfles? Tirer coeurs i plus i mois et rois i plus i mois? Nombre total de tirages : 8 = 8, soit /N 6 = = N 8 Proba de tous les cœurs : o tire les 8 cartes parmi 8 (cœurs), soit = 8 Termiale S 6 F Laroche

27 O tire cartes parmi les as, soit ecore et autres cartes parmi 8 restates, soit 8 proba est N 8 8 O tire cœurs parmi 8 cœurs et trèfles parmi 8 trèfles, soit / N 8, au fial la 8 Attetio au roi de cœur cœurs parmi 8 cœurs et rois parmi, soit auxquelles o ajoute 7 les combiaisos coteat le roi de cœur, soit (R de cœur, cœurs parmi 7, cartes i Roi i cœur) Boules et ures O dispose de deux ures U et U coteat des boules idiscerables au toucher U cotiet boules blaches et boules oires ( est u ombre etier supérieur ou égal à ) U cotiet deux boules blaches et ue boule oire O tire ue boule au hasard de U et o la met das U, puis o tire au hasard ue boule de U et o la met das U ; l'esemble des ces opératios costitue ue épreuve Costruire l'arbre podéré de cette expériece aléatoire O cosidère l'évéemet A : "Après l'épreuve, les ures se retrouvet chacue das leur cofiguratio de départ" a Démotrer que la probabilité p(a) de l'évéemet A peut s'écrire : b Détermier la limite de p(a) lorsque ted vers + + p(a) = + O cosidère l'évéemet B : "Après l'épreuve, l'ure U cotiet ue seule boule blache" Calculer p(b) U joueur mise fracs et effectue ue épreuve A l'issue de cette épreuve, o compte les boules blaches das U - Si U cotiet seule boule blache, le joueur reçoit fracs ; - Si U cotiet boules blaches, le joueur reçoit fracs ; - Si U cotiet boules blaches, le joueur e reçoit rie a Expliquer pourquoi le joueur 'a aucu itérêt à jouer tat que e dépasse pas Das la suite, o cosidère >, et o itroduit la variable aléatoire X qui pred pour valeur les gais algébriques du joueur (par exemple, si, après l'épreuve, l'ure U cotiet ue seule boule blache, X = ) b Détermier la loi de probabilité de X c Calculer l'espérace mathématique de X d O dit que le jeu est favorable au joueur si et seulemet si l'espérace mathématique est strictemet positive Motrer qu'il e est aisi dès que l'ure U cotiet au mois boules blaches a Arbre podéré : Evéemet A : chemi Evéemet B : chemi Evéemet C : chemi Termiale S 7 F Laroche

28 B P(B) N P(N) B P(B/B) N P(N/B) B P(B/N) N P(N/N) p(b) = ; + p(n) = + U : B,N U : B,N U : -B,N U : B,N U : +B,N U : B,N p(b/b) = ; p(n/b) = ; p(b/n) = ; p(n/b) = U : B,N U : B,N a La probabilité p(a) se calcule e parcourat l'arbre : b lim p(a) = + La probabilité p(b) se calcule e parcourat l'arbre : Termiale S 8 F Laroche p(a) = +, soit + + p( B) =, + p( B) = ( + ) + p( A) = + a Le joueur doit être certai de pouvoir, das le meilleur des cas, récupérer au mois sa mise d'où >, soit > b Le derier évéemet o ecore cosidéré (C) est : "Après l'épreuve, l'ure U cotiet boules blaches" La probabilité p(c) se calcule e parcourat l'arbre : p(c) =, p(c) = + ( + ) La variable aléatoire X peut predre valeurs : (évéemet A) ; (évéemet B) ; (évéemet C) Loi de probabilité de la variable aléatoire X : x i p(x = x i ) ( + ) + + ( + ) ( ) c Espérace mathématique : E(x) = E(X) ( ) + = +, soit ( + ) + ( + ) 6 E(X) = ( + ) d E(X) > doe 6 >, soit ( + )( ) > et [ ; [ Boules, Atilles Guyae 999, poits + puisque est etier Das tout l exercice o cosidère boules idiscerables au toucher ( oires et blaches) et deux ures A et B das chacue desquelles o placera boules suivat u mode qui sera précisé das chaque questio

29 O choisit dix boules au hasard et o les met das l ure A O place les dix autres boules das l ure B a Quelle est la probabilité pour que les deux ures e cotieet chacue que des boules de même couleur? b Quelle est la probabilité pour que les deux ures cotieet chacue boules blaches et boules oires? Soit x u etier tel que x O place maiteat x boules blaches et x boules oires das l ure A et les x boules blaches et x boules oires restates das l ure B O procède à l expériece E : o tire au hasard ue boule de A et o la met das B, puis o tire au hasard ue boule de B et o la met das A O désige par M l évèemet «chacue des deux ures a la même compositio avat et après l expériece» a Pour cette questio o pred x = 6 Quelle est la probabilité de l évèemet M? b Motrer que la probabilité de l évèemet M est égale à : ( x x ) Termiale S 9 F Laroche + + c Pour quelles valeurs de x l évèemet M est-il plus probable que l évéemet cotraire M? a Pour avoir dix boules de même couleur das chaque ure il faut avoir oires das A et Blaches das B ou le cotraire Le ombre de répartitios est de, le ombre de choix permettat oires das A et blaches 9876 das B est = ; la probabilité est doc = 9876 b boules blaches et boules oires das A :, soit ue probabilité d eviro, a x=6 : il faut tirer ue blache de A et la mettre das B puis tirer ue blache de B et la mettre das A, soit 6 ou bie tirer ue oire de A et la mettre das B puis tirer ue oire de B et la mettre das A, soit 7 ; au total cela fait b Même raisoemet : = x ( ) x+ x x+ M ( 9 ) ( ) P = + = x x + x x + = x + x+ c O veut savoir quad P( ) P( ) p( ) d où après résolutio :, x 6,8 6 Ures M M M, soit x + x+ x + x Il faut doc qu il y ait, ou 6 boules blaches das l ure A Les questios et sot idépedates O doera les résultats sous forme de fractio irréductible Ue ure U cotiet jetos blacs et oirs et ue ure U cotiet 7 jetos blacs et 8 oirs O jette u dé cubique dot chaque face a la même probabilité d'apparaître Si le 6 apparaît, o tire u jeto de l'ure U sio o tire u jeto de l'ure U a Détermier la probabilité de tirer u jeto blac (o cosidérera les évéemets A : "O a obteu 6 e jetat le dé" et B : "O obtiet u jeto blac") b O a tiré u jeto blac ; calculer la probabilité pour qu'il proviee de U c O a tiré u jeto oir ; calculer la probabilité pour qu'il proviee de U O tire successivemet et sas remise les 7 jetos de l'ure U

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