Simulation de trajectoires de processus continus

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1 Simulaio de rajecoires de processus coius F. Plache 1 ad P.-E. Thérod Résumé. Les processus sochasiques coius so des ouils largeme employés e fiace e e assurace, oamme pour modéliser aux d iérês e cours d acios. De ombreuses problémaiques amèe à la simulaio des rajecoires de els processus. La mise e œuvre praique de ces simulaios écessie de discréiser ces processus, d esimer les paramères e de géérer des ombres aléaoires e vue de géérer les rajecoires voulues. Nous abordos successiveme ces rois pois que ous illusros das quelques siuaios simples. Mos-clés: Simulaio, discréisaio de processus coius, schémas d Euler e de Milsei, esimaio par iférece idirece, gééraeur du ore mélagé. 1 Absrac. Coiuous ime sochasic processes are useful models especially for fiacial ad isurace purposes. The umerical simulaio of such models is depeda of he ime discree discreizaio, of he parameric esimaio ad of he choice of a radom umber geeraor. The aim of his paper is o provide he ools for he pracical implemeaio of diffusio processes simulaio, paricularly for isurace coexs. Keywords: Simulaio, Time discree approximaio, Euler ad Milsei Schemes, Idirec iferece esimaio, mixed orus radom umber geeraor. 1 Iroducio La fréquece des variaios de coaio des acifs fiaciers sur les marchés orgaisés a codui les fiaciers à cosidérer des processus sochasiques coius pour modéliser les évoluios de aux d iérê comme de cours d acios. Si les ouils mahémaiques sous-jaces peuve, de prime abord, sembler plus complexes que leurs équivales discres, leur usage a oamme permis d obeir des formules explicies pour l évaluaio d acifs coiges (cf. les formules fermées de prix d opios européees obeues par BLACK e SCHOLES [1973] lorsque l acif sous-jace sui u mouveme browie géomérique. Ces modèles so aujourd hui uilisés das de ombreux domaies, oamme e assurace. Leur mise e œuvre praique écessie de les discréiser, que ce soi 1 Professeur associé de Fiace e d Assurace à l ISFA e acuaire associé chez Wier & Associés, fplache@wier-associes.fr. Chargé de cours e assurace e éudia e docora à l ISFA e acuaire chez Wier & Associés, pherod@wier-associes.fr. Isiu de Sciece Fiacière e d Assuraces (ISFA Uiversié Lyo 1-50, aveue Toy Garier Lyo Cedex 07 - Frace. Wier & Associés - 9, rue Beaujo Paris e 18, aveue Félix Faure Lyo - Frace. pour l esimaio des paramères ou pour la simulaio des rajecoires. E effe les doées dispoibles éa discrèes, l esimaio des paramères des modèles e emps coiu es pas immédiae. De ombreux processus, els que le modèle de aux proposé par COX, INGERSOLL e ROSS [1985], admea pas de discréisaio exace, l esimaio des paramères écessie souve ue approximaio discréisée. Les esimaios direces à parir du modèle discréisé s avéra, e gééral, biaisées lorsque le processus e dispose pas d ue versio discrèe exace, o es alors codui à uiliser des méhodes idireces comme la méhode par iférece idirece (cf. GIET [003] ou ecore la méhode des momes efficies pour esimer le modèle. De plus, de ombreuses problémaiques implique que l o soi capable de simuler l évoluio de cours ou de aux modélisés par des processus coius ; la réalisaio praique de elles simulaios écessiera là ecore la discréisaio de ces processus. C es oamme le cas des problémaiques de ype DFA (Dyamic Fiacial Aalysis, cf. KAUFMANN, GADMER e KLETT [001] e HAMI [003] qui cosise e la modélisaio de ous les faceurs aya u impac sur les compes d ue sociéé d assurace das le bu d éudier sa solvabilié ou de déermier ue allocaio d acif opimale par exemple. Le ombre de variables à modéliser es alors rès impora: acifs fiaciers, siisralié de chaque brache assurée, iflaio, réassurace, cocurrece e dépedaces ere ces variables. Ceraies de ces variables sero modélisées par des processus à diffusio ; lorsque l équaio différeielle sochasique (EDS cocerée dispose d ue soluio explicie, comme c es le cas pour le modèle de VASICEK [1977], la discréisaio s impose à l uilisaeur. Lorsqu ue elle expressio es pas dispoible, l uilisaeur pourra se ourer oamme vers les schémas d Euler ou de Milsei qui so des développemes d Iô-Taylor à des ordres plus ou mois imporas de l EDS cosidérée. L approximaio sera d aua plus saisfaisae, au ses du crière de covergece fore (cf. KLOEDEN e PLATEN [1995], que l ordre du développeme es élevé. Par ailleurs, la performace des simulaios éa codiioée par le gééraeur de ombres aléaoires uilisé, ue aeio pariculière doi êre porée à so choix. Nous comparos ici deux gééraeurs: le gééraeur pseudo-aléaoire Rd d Excel / Visual Basic e le gééraeur quasi-aléaoire obeu à parir de l algorihme de la raslaio irraioelle du ore préseé par PLANCHET e JACQUEMIN [003]. L algorihme du ore s avère eeme plus performa que Rd mais souffre de la dépedace erme à erme des valeurs géérées qui idui u BELGIAN ACTUARIAL BULLETIN, Vol. 5, No. 1, 005

2 biais das la cosrucio de rajecoires. Pour remédier à ce problème, ous proposos u gééraeur du ore mélagé qui coserve les boes propriéés de répariio de l algorihme du ore e peu êre uilisé pour cosruire des rajecoires de maière efficace. L objecif du prése aricle es de proposer au praicie quelques guides méhodologiques lui permea d effecuer de maière efficace des simulaios de processus coius, plus pariculièreme das le coexe des problémaiques d assurace. Nous abordos doc les rois éapes clé que so l esimaio des paramères, la discréisaio du processus e la gééraio de ombres aléaoires. Discréisaio de processus coius Preos le cas d u processus défii par l EDS suivae: dx = µ ( X, d + σ( X, db X0 = x où B es u mouveme browie sadard. La mise e oeuvre praique de ce processus va écessier la discréisaio de celui-ci. Pour cela o me l équaio (1 sous sa forme iégrale: X = x + µ ( X s s ds + σ( Xs, s 0 0 dbs (1,. ( Si le processus cosidéré e dispose pas d ue discréisaio exace, u développeme d Iô-Taylor de l équaio ( ous perme de disposer d ue versio discréisée approximaive (voir le paragraphe.. Cee approximaio es d aua plus précise que le développeme iervie à u ordre élevé..1 Discréisaio exace La simulaio d u processus d Iô pourra êre effecuée direceme (sas erreur de discréisaio dès lors que celui-ci adme ue discréisaio exace. Rappelos la défiiio d ue discréisaio exace. Défiiio: U processus ( X k δ k [ 1; T / δ] es ue discréisaio δ > 0, k 1; T / δ, X k = X. exace du processus X si [ ] δ loi kδ U processus X adme ue discréisaio exace dès lors que l o peu résoudre explicieme l EDS qui lui es associée. C es oamme le cas du mouveme browie géomérique reeu par BLACK e SCHOLES [1973] pour modéliser le cours d ue acio ou ecore celui du processus d Orsei- Ulhebeck reeu par VASICEK [1977] pour modéliser le aux d iérê isaaé r: dr ( b r d + σ db = a. (3 O rappelle que l équaio (3 exprimée das l uivers hisorique e suffi pas à défiir le prix des zéro-coupos, e doi êre compléée par la forme de la prime de risque. Celle-ci es choisie cosae das le modèle de VASICEK, ce qui perme de coserver la même forme de la dyamique das l uivers corrigé du risque. L équaio ( s écri das ici: a a ( e + e a r = r0 e + b σ as e dbs 0 1. (4 Les propriéés de l iégrale d ue focio déermiise par rappor à u mouveme browie coduise à la discréisaio exace: aδ aδ 1 e ( 1 e + σ ε aδ r + δ = r e + b, (5 a où ε es ue variable aléaoire de loi ormale cerée réduie e δ es le pas de discréisaio reeu.. Discréisaio approximaive Lorsque la discréisaio exace exise pas, il covie de se ourer vers des approximaios discrèes du processus coiu sous-jace. Les schémas d Euler e de Milsei so les procédés de discréisaio les plus répadus. Tous deux so des développemes d Iô-Taylor de l équaio ( à des ordres différes (ordre 1 pour Euler, ordre pour Milsei. Das la suie, ous feros référece au crière de covergece fore pour classer les procédés de discréisaio. Ue discréisaio approximaive X coverge foreme vers le processus coiu X lorsque l erreur commise sur la valeur fiale (à la dae T de la rajecoire obeue par le processus discréisé es e moyee asympoiqueme égligeable, i. e. lorsque 0 δ T >, lim E X = 0 δ 0 T X T (6 La viesse de covergece de l équaio (6 ous perme d iroduire u ordre ere les procédés de discréisaio. Aisi le processus discréisé X coverge foreme à l ordre γ vers le processus X si: δ γ K 0 δ0 0 δ ] 0δ0 ] >, >,, E XT X T Kδ. (7 O oera que ce crière e fai pas référece à la covergece uiforme...1 Schéma d Euler Le procédé de discréisaio d Euler cosise e l approximaio du processus coiu X par le processus discre X défii, avec les mêmes oaios que précédemme, par: X + δ = X + µ ( X, δ + σ( X, δε. (8 KLOEDEN e PLATEN [1995] prouve que sous ceraies codiios de régularié, le schéma d Euler présee u ordre de covergece fore de 0,5. Par exemple das le modèle de Cox, Igersoll e Ross (CIR, le aux d iérê isaaé es soluio de l EDS: ( b r d + σ r db dr = a. (9

3 Aussi le processus discre r déermié par le schéma d Euler peu s écrire: ( b r δ σ r δε r δ = r + a + *.. Schéma de Milsei +. (10 Le schéma de Milsei es obeu e alla plus ava das le développeme d Iô-Taylor. Le processus discre X es alors défii par: ( X, δ + σ( X, X+ δ = X + σ ( µ σ ( δε X X ( (11 + x,, δε 1 σ X x, désige la dérivée par rappor au premier argume. où ( de la focio σ(.,. évaluée e ( X, Ce procédé de discréisaio présee, e gééral, u ordre de covergece fore de 1. Remarquos que si la volailié σ es ue cosae, les procédés de discréisaio d Euler e de Milsei coduiro à la même discréisaio, c es le cas pour les modèles de Vasicek e de Hull e Whie (cf. HULL [1999]. E revache pour le modèle de CIR, il vie: σ ( b r δ + σ r δε + δ ( ε 1 r + δ = r + a *. (1 4 E développa à des degrés supérieurs l équaio (, il es possible d obeir des processus discréisés d ordre de covergece plus élevé. Touefois ils écessiero des calculs plus ombreux e peuve faire ierveir plus d ue variable aléaoire ce qui sigifie des emps de simulaio plus imporas. E oure, le schéma de Milsei pose des problèmes praiques de mise e œuvre dès lors que l o s iéresse à des phéomèes de dimesio supérieure ou égale à, i. e. dès que l o cherche à simuler des veceurs aléaoires. Le graphique suiva perme de comparer les évoluios moyees de la diffusio défiie par (3 selo le schéma de discréisaio reeu pour les paramères: r 4% b = 5% a = 0, 5 σ = 10% 0 = Ce graphique a éé obeu e faisa la moyee de simulaios du aux d iérê géérées. 5,5% 5,00% 4,75% 4,50% Schéma d'euler 4,5% Discréisaio exace Espérace 4,00% Fig. 1. Evoluio moyee du aux modélisé par Vasicek selo le procédé de discréisaio reeu Les discréisaios exace e selo le schéma d Euler so relaiveme proches graphiqueme. L écar es e pariculier égligeable lorsqu o s iéresse aux évoluios moyees d u bo de capialisaio de prix BC à l isa, qui évolue selo la dyamique BC + δ = BC e. A parir des aux simulés pour effecuer le graphique 1, o obie le graphique. δ r 3

4 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 Schéma d'euler Discréisaio exace Espérace,5,0 1,5 1, Fig.. Evoluio moyee d u bo de capialisaio do le aux évolue selo le modèle de Vasicek selo le procédé de discréisaio reeu 3 Esimaio des paramères L esimaio des paramères es ue éape délicae das la simulaio de rajecoires d u processus coiu car elle peu êre l origie d u biais. E effe, le praicie peu se voir cofroé à deux problèmes: le processus adme pas forcéme de discréisaio exace, la variable modélisée es pas oujours direceme observable. E effe si le processus cosidéré adme pas de discréisaio exace, il sera impossible d esimer les paramères du modèle par la méhode du maximum de vraisemblace. Par ailleurs il es souve impossible d exprimer de maière exace les desiés rasioires ere deux observaios. Il faudra alors se ourer vers des méhodes simulées elles que l iférece idirece pour esimer les paramères. 3.1 Le biais associé à la procédure d esimaio O repred ici la cas simple de la modélisaio du aux à cour erme par u processus d Orsei-Ulhebeck, comme das l équaio (3 ; la discréisaio exace (5 codui à u processus auo-régressif d ordre 1, AR(1. L esimaio des paramères du modèle s effecue classiqueme e régressa la série des aux cours sur la série décalée d ue période, que l o écri sous la forme usuelle: avec Y = α + β X + σ1ε, (13 α lβ a = lβ, b = e σ = σ1. 1 β (14 β 1 L esimaeur du maximum de vraisemblace (EMV coïcide avec l esimaeur des moidres carrés ; o obie aisi les esimaeurs suivas des paramères du modèle d origie: a ˆ exac = lβˆ, ˆ αˆ lβˆ b exac = e σˆ σ 1 βˆ exac = ˆ. (15 βˆ 1 O cosae e pariculier que ces esimaeurs, s ils so EMV, so biaisés. Ceci peu êre gêa, oamme das le cas où les paramères du modèle o ue ierpréaio das le modèle, comme par exemple b das le cas prése, valeur limie du aux cour. O voi sur ce exemple qu o sera doc codui à mere e œuvre des procédés de réducio du biais. 3. Pricipe de l esimaio par iférece idirece Cee méhode es uilisée lorsque le processus adme pas de discréisaio exace ou que sa vraisemblace, rop complexe, e perme pas d implémeer la méhode du maximum de vraisemblace. Elle cosise à choisir le paramère θˆ qui miimise (das ue mérique à défiir la disace ere l esimaio d u modèle auxiliaire sur les observaios e l esimaio de ce même modèle auxiliaire sur les doées simulées à parir du modèle de base pour θ = θˆ. Le modèle auxiliaire éa ue discréisaio approximaive de (1, le schéma d Euler es souve uilisé pour servir de modèle auxiliaire. Cee méhode codui à des esimaios bie plus précises que celles obeues à parir d esimaios «aïves» des paramères du modèle auxiliaire sur les doées observées. GIET [003] éudie l impac du choix du procédé de discréisaio uilisé pour fourir le modèle auxiliaire sur l esimaio par iférece idirece e more qu uiliser u procédé d ordre de covergece plus élevé (comme la schéma de Milsei par rappor au schéma d Euler perme de réduire cosidérableme le biais sur l esimaio des paramères. 4

5 Touefois, que ce soi das le cas d ue esimaio par maximum de vraisemblace ou par iférece idirece, o doi observer que das le cas d u modèle de aux el que celui de Vasicek, l esimaio des paramères de la dyamique d évoluio du aux cour das l uivers hisorique e suffi pas e doi êre compléée par l esimaio de la prime de risque, qui cosiue u poi délica (cf. LAMBERTON e LAPEYRE [1997] sur ce suje. 3.3 Les méhodes d esimaio ad hoc E praique, das les problèmes assuraiels, la gradeur modélisée par u processus coiu es, le plus souve, pas la gradeur d iérê: ypiqueme, o modélise le aux cour, par exemple par u processus de diffusio, mais das le cadre d ue problémaique d allocaio d acif pour u régime de reiers, il sera déermia que le modèle représee correceme les prix des obligaios d échéaces logues. De maière équivalee, o es ameé à esimer les paramères du modèle pour représeer correceme la courbes des aux zérocoupo, qui es das ue relaio bijecive avec la courbe du prix des obligaios zéro-coupo: ( 0, T exp{ T R( 0 T } P =,. (16 L idée es alors d esimer les paramères pour miimiser ue disace (par exemple la disace quadraique ere les prix prédis par le modèle e les prix observés sur le marché. Cee méhode es oamme uilisée das FARGEON e NISSAN [003]. De plus, e praique o pourra s ierroger sur les paramères que l o esime e les paramères que l o fixe arbiraireme compe eu de la coaissace que l o peu avoir du coexe par ailleurs. Aisi, das l exemple évoqué, l esimaio simulaée des paramères a, b e σ codui à ue courbe des aux quasi déermiise (σ es pei, ce qui peu apparaîre irréalise. O es aisi codui à fixer arbiraireme σ, puis à esimer les deux paramères resas. Das cee approche il covie égaleme d êre aeif au choix effecué quad à la paramérisaio du modèle: courbe des aux zéro-coupo ou courbe des prix des zéro-coupo ; e effe, la focio de correspodace ere ces deux gradeurs acceue les écars de courbure e le choix de l ue ou l aure des paramérisaios peu coduire à des résulas sesibleme différes. Ce poi es développé sur le pla héorique par RONCALLI [1998] e es illusré sur u exemple das la secio suivae. Au surplus, o oera que l exploiaio direce de doées elles que le prix des zéro-coupo (ou les aux zéro-coupo évie l esimaio de la prime de risque ; celle-ci es e effe icluse das ces prix de marché e codui aisi à ravailler aurelleme das l uivers corrigé du risque. L esimaio direce des paramères sur des hisoriques de aux cour écessie, o l a vu, l esimaio (délicae de la prime de risque. Ce poi es illusré par exemple das LAMBERTON e LAPEYRE [1997]. Das les illusraio préseées ci-après, l exploiaio de doées iclua les primes de risque es privilégiée. 3.4 Illusraio das le cas du modèle de Vasicek A parir de la courbe des aux publiée par l Isiu des Acuaires, ous avos esimé les paramères du modèle de Vasicek selo l approche ad hoc décrie supra. L esimaio es meée d ue par direceme à parir des valeurs des aux zérocoupo de la courbe e d aure par à parir des prix des obligaios qui s e déduise. Cee courbe des aux es cosruie à parir des prix de marché e elle iclu les primes de risque. Esimaio ad hoc sur le prix des zéro-coupos: cee procédure cosise à déermier par ue méhode de ype «moidres carrés» les paramères du modèle de Vasicek qui permee de représeer au mieux les prix des zéro-coupos. Cee méhode a éé mise e œuvre e esima les rois paramères a, b e σ puis e fixa σ e e esima plus que le deux aures paramères. Comme o peu le voir das le ableau 1, l esimaio des paramères du modèle de Vasicek doe des résulas rès différes selo l approche reeue: EMC sur le prix des zéro-coupo EMC sur les aux zéro-coupo Paramères esimés a, b e σ a e b a e b a, b e σ a e b a e b a = 0,93 0,353 0,503 0,3951 0,353 0,43 b = 0,057 0,0760 0,0701 0,064 0,0745 0,0869 r0 = 0,007 0,007 0,007 0,007 0,007 0,007 σ = 0,0000 0,0500 0,1000 0,0000 0,0500 0,1000 Tab. 1. Paramères du modèle de Vasicek esimés selo les echiques d esimaio des paramères 5

6 Le prix P( e 0 d u zéro-coupo d échéace es doé par la formule classique: P( = exp σ 1 σ * b b r 0 a a a σ 4a a ( 1 e a ( 1 e (17 La figure 3, qui idique le prix des zéro-coupos, e focio de leur échéace, selo les différees méhodes d esimaio des paramères, ous perme d observer que l esimaio des paramères par le crière des moidres carrés sur les aux zérocoupo s avère mois performa que la méhode ad hoc si la variable d iérê es le prix des obligaios zéro-coupo. 1,0 Observaio 0,8 Esimaio MCO sur les prix Esimaio MCO sur les aux 0,6 0,4 0, 0, Fig. 3. Prix des zéro-coupos e focio de leur échéace e de la méhode d esimaio des paramères E revache, cee echique d esimaio des paramères perme de géérer des aux zéro-coupo eeme plus proches e espérace de la courbe des aux origielle que ceux obeus par la méhode ad hoc: 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 Observaio Esimaio MCO sur les aux Esimaio MCO sur les prix 0, Fig. 4. Taux isaaés espérés e focio de leur échéace e de la echique d esimaio des paramères Si les aux obeus par la méhode ad hoc sur le prix des zérocoupos so, e espérace, éloigés des aux observés, ils permee éamois d approcher le prix des zéro-coupos avec ue boe précisio. Aisi, e praique, o sera codui à privilégier pour ue problémaique d allocaio d acifs d u régime de rees l approche ad hoc sur le prix des zéro-coupos. 6

7 4 Gééraio des rajecoires La gééraio des rajecoires passe écessaireme par la gééraio de ombres aléaoires. De maière praique, il s agi de géérer des réalisaios de variable aléaoire de loi uiforme sur le segme [0, 1]. E effe, si u es ue elle réalisaio, F 1 (u peu s appareer à ue réalisaio d ue variable aléaoire de focio de répariio F. La echique d iversio de la focio de répariio perme aisi à parir de réalisaios de variables uiformes, d obeir de simuler des réalisaios d aures variables aléaoires. Lorsqu o e dispose pas de formule explicie pour F -1, o uilisera des algorihmes d approximaio de cee focio ou des algorihmes spécifiques à la loi que l o souhaie raier Par exemple, pour simuler ue réalisaio d ue loi de Poisso de paramère λ, o géérera ue suie ( V i de réalisaios de variable aléaoire expoeielle de paramère 1. E effe = + 1 N If V i > λ sui ue loi de Poisso de paramère λ. i= 1 Les modélisaios reeues e fiace e e assurace faisa souve ierveir des mouvemes browies, il es écessaire de simuler des réalisaios de variables aléaoires N(0,1. O e dispose pas de formule exace de l iverse de la focio de répariio iverse de la loi ormale cerée réduie, mais l algorihme de Box-Muller perme à parir de deux variables uiformes idépedaes sur [0,1] de géérer deux variables idépedaes N(0,1. E effe, si U 1 e U so des v.a. U[0,1] idépedaes alors e posa: X1 = lu1 cos ( πu (18 X = lu1 si ( πu Les variables aléaoires X 1 e X so idépedaes e suive ue loi gaussiee cerée réduie. Cee echique (exace es ouefois relaiveme logue à mere e œuvre e écessie l idépedace des réalisaios uiformes géérées. AUGROS e MORÉNO [00] présee divers algorihmes pour approximer l iverse de la focio de répariio de la loi ormale cerée réduie. Das la suie, ous uiliseros l algorihme de Moro (cf. PLANCHET e JACQUEMIN [003] qui allie rapidié e précisio. 4.1 Deux gééraeurs de ombres aléaoires: Rd e l algorihme du ore Le gééraeur implémeé das Excel / Visual Basic Le gééraeur implémeé das Excel (Rd es u gééraeur cogrueiel, c es à dire u gééraeur périodique issu d ue valeur iiiale (o parle égaleme de «graie» du gééraeur. Chager de valeur iiiale perme de chager de suie de ombres. Le leceur se réfèrera à PLANCHET e JACQUEMIN [003] pour plus d iformaios sur l implémeaio iformaique de els gééraeurs La raslaio irraioelle du ore Ce gééraeur mulidimesioel doe à la -ème réalisaio de la d-ème variable aléaoire uiforme à simuler la valeur u : u [ p ] = pd d, (19 où p d es le d-ème ombre premier e [.] désige l opéraeur parie eière Quelques élémes de comparaiso Les ess saisiques élémeaires (es d adéquaio du χ, de Kolmogorov-Smirov e d Aderso-Darlig rappelés e aexe permee d apprécier la supériorié de répariio de la suie géérée par le ore par rappor à celle géérée par Rd. Fig. 5. Répariio e ess saisiques du gééraeur Rd 7

8 Fig. 6. Répariio e ess saisiques du gééraeur du ore* Par ailleurs, pour comparer les performaces des deux gééraeurs, ous avos éudié la précisio de l esimaio empirique du prix d u call europée sur ue acio modélisée par u mouveme browie géomérique sous la probabilié risque-eure: ds = rs d +σs db, (0 où r es le aux sas risque e B u mouveme browie sous la mesure risque-eure. Rappelos que, sous les hypohèses du modèle de Black e Scholes, la probabilié risque-eure es l uique probabilié sous lesquels les prix acualisés so des marigales. La desié de Rado-Nikodym de cee probabilié par rappor à la probabilié hisorique es doée par le héorème de Girsaov (cf. AUGROS e MORÉNO [00]. Ce processus dispose d ue discréisaio exace: σ S + δ = S exp r δ + σ δε, (1 où ε es ue variable aléaoire de loi N(0,1. Par ailleurs, ous disposos d ue formule fermée pour le prix e d u Call europée de prix d exercice K e d échéace T sur ce ire: r( T C( S, K, T = S N( d1 K e N( d, ( où: S σ l + r + K d = 1 σ T ( T d = d1 σ T, N désige la focio de répariio de la loi ormale cerée réduie. Nous pouvos doc mesurer la performace des gééraeurs par le biais de l erreur d esimaio du prix de l opio cosidérée. E effe, si s es la prix du ire cosidéré à la dae T das la i T i-ème simulaio, l esimaeur aurel du prix de l opio e es: r ( T e i + C ˆ ( S, K, T, = [ st K ]. (3 i = 1 L erreur relaive d esimaio peu doc s écrire: Cˆ ( S, K, T, C ( S, K, T ρ =. (4 C S, K, T ( Le graphique suiva présee l évoluio de ρ selo le ombre de simulaios effecuées pour ue acio de volailié 0% e u Call d échéace 6 mois., 8

9 1% 0% % Algorihme du ore (p = 5 Gééraeur Rd -% -3% Fig. 7. Erreur d esimaio e focio du ombre de simulaios L esimaio à parir des valeurs géérées par Rd es biaisée de maière sysémaique de prés de 0,% alors celle effecuée à l aide du ore coverge rapideme vers la valeur héorique: à parir de simulaios, l erreur relaive es iférieure à 0,1%. Il ressor des ces différees comparaisos que le gééraeur du ore semble plus performa que Rd. So uilisaio coaî ouefois u cerai ombre de limies. 4. Limies de l algorihme du ore Les valeurs géérées par le ore e so pas idépedaes erme à erme, ceci peu géérer des erreurs o égligeables. Par exemple ous avos gééré rajecoires, avec u pas de discréisaio de 1, sur 0 as d u mouveme browie géomérique de volailié 0% e avos comparé l évoluio moyee du cours esimée à parir des simulaios e i l évoluio moyee héorique. E effe,si s es le cours du ire à la dae das la i-ème simulaio, l esimaeur empirique du cours moye à la dae, s es doé par: 1 i s = s i = 1. (5 Le graphique suiva présee les deux rajecoires obeues Espérace Moyee empirique à parir des rajecoires géérées par le ore (p= Fig. 8. Trajecoires espérée e moyee des rajecoires simulées par le ore d u mouveme browie géomérique 9

10 A parir de =, les rajecoires géérées à parir de l algorihme du ore so e moyee rès e dessous de la rajecoire moyee. Ce algorihme es doc pas uilisable e l éa pour géérer des rajecoires. Ce biais s explique par la dépedace erme à erme des valeurs géérées par le ore que ous perme d observer le corrélogramme de la suie géérée par ce gééraeur. 100% 75% 50% 5% 0% % -50% Fig. 9. Corrélogramme de la suie géérée par le ore (p = 5 Rappelos que le h-ème erme du corrélogramme ρ h s écri: ( uk u ( uk + h u = k = 1 h ρ, (6 ( uk u k = 1 où u désige la moyee empirique de la suie u. Le «es du poker» perme égaleme de mere e évidece cee faille de l algorihme du ore. L idée de ce es es de comparer les fréqueces héoriques des mais au poker avec les fréqueces observées sur les simulaios effecuées. De maière praique, ce es cosise à predre des lises de quare chiffres irés aléaoireme, de maière à observer les «combiaisos de valeurs» puis à effecuer u es d adéquaio du χ pour voir si les fréqueces observées correspode aux fréqueces héoriques. O disigue aisi ciq cas: les quare chiffres so ous différes, la lise coie ue e ue seule paire, la lise coie deux paires, la lise coie u brela (rois chiffres ideiques, la lise coie u carré (quare chiffres ideiques. E cosiua les lises e prea les chiffres das l ordre où ils so simulés, le ableau résume les fréqueces suivaes. Tab.. Tes du poker sur réalisaios géérées par l algorihme du ore Les p-valeurs des ess d adéquaio du χ so proches de 1, ouefois quel que soi p, le ore e codui jamais à l obeio d u carré, i d u brela, i d ue double paire alors que ces rois siuaios représee 6,4% des cas. 10

11 4.3 Gééraeur du ore mélagé Pour coourer le problème posé par la dépedace erme à erme des valeurs géérées par l algorihme du ore, ous proposos ue adapaio qui cosise à «mélager» ces valeurs ava de les uiliser Descripif de l algorihme Noos ( u la suie géérée par le ombre premier p. Au lieu d uiliser la ombre u lors du -ème irage de la loi uiforme sur [0, 1], ous proposos d uiliser u m où m es choisi de maière aléaoire das N. Le gééraeur aisi obeu présee les mêmes boes caracérisiques globales que l algorihme du ore sas la dépedace erme à erme. Il écessie ouefois davaage de emps de simulaio du fai du irage de l idice m. Nous proposos l algorihme suiva lorsque l o souhaie géérer N réalisaio de variables uiformes: um =, (7 uφ( où: [ α * N * 1] φ ( = u +, (8 où: [.] désige l opéraeur parie eière, α 1, u es la réalisaio d ue variable aléaoire de loi uiforme. Le faceur α de l équaio (8 a pour vocaio de réduire le ombre de irages qui doeraie lieu au même idice e doc au même ombre aléaoire. E effe, plus α es grad plus la probabilié de irer deux fois le même ombre aléaoire es faible. Das la praique, α = 10 es saisfaisa Choix de la procédure de mélage Pour la gééraio de u, ous avos reeu le gééraeur Rd ou ou aure gééraeur cogrueiel aya ue période imporae. E effe, uiliser l algorihme du ore pour effecuer le mélage e rédui pas la corrélaio observée comme le more le corrélogramme suiva. 100% 75% 50% 5% 0% % -50% Fig. 10. Corrélogramme de la suie géérée par le ore (p 1 = 5 mélagé par le ore (p = % 75% 50% 5% 0% % -50% Fig. 11. Corrélogramme de la suie géérée par le ore (p 1 = 5 mélagé par Rd 11

12 E revache l uilisaio de Rd perme de réduire cosidérableme les corrélaios. La figure 11 ous perme de cosaer que le mélage a praiqueme fai disparaîre la corrélaio erme à erme, le gééraeur du ore mélagé coserva éamois les propriéés de boe répariio globale e de rapidié de covergece du ore. De plus, comme le more le ableau 3, le ore mélagé par Rd saisfai de maière saisfaisae le es du poker puisque oues les «mais» so représeées das des proporios proches des fréqueces héoriques. Tab. 3. Tes du poker sur réalisaios géérées par le ore mélagé par Rd Espérace Moyee empirique à parir des rajecoires géérées par le ore mélagé (p= Fig. 1. Trajecoires espérée e moyee des rajecoires simulées par le ore mélagé d u mouveme browie géomérique La figure 1 ous perme de vérifier que les rajecoires géérées à parir du ore mélagé so saisfaisaes. 5 Coclusio Das ce aricle ous avos préseé les rois éapes idispesables à la gééraio praique de rajecoires de variables modélisées par des processus coius: l esimaio des paramères, la discréisaio du processus e la gééraio de ombres aléaoires. L éape de discréisaio codui à arbirer ere précisio e emps de calcul à mois qu ue discréisaio exace peu coûeuse e calculs soi dispoible. Lorsque ce es pas le cas, o préfèrera le schéma de Milsei au schéma d Euler car il demade le même ombre de irages de ombres aléaoires pour ue meilleure précisio. L esimaio des paramères doi faire l obje d ue aeio pariculière du fai des biais auxquels coduirai ue esimaio «aïve». Il covie de préférer la méhode d esimaio par iférece idirece à ue esimaio direce souve poreuse de biais. Le pricipe de l esimaio ad hoc permera égaleme d esimer des paramères saisfaisas lorsque la variable d iérê es pas direceme la variable simulée, ce qui es le plus souve le cas das les problémaiques d assurace. Efi ous recommados l uilisaio du ore mélagé pour oue cosrucio pas-à-pas de rajecoires. Ce gééraeur, simple à mere e place, doe des résulas rès saisfaisas, oamme comparé au Rd d Excel. 1

13 REFERENCES [1] Augros J.C., Moreo M. [00] Les dérivés fiaciers e d assurace. Paris: Ecoomica. [] Black F., Scholes M. [1973] «The pricig of opios ad corporae liabiliies». Joural of Poliical Ecoomy, vol. 81, 3, [3] Cox J.C., Igersoll J.E., Ross S.A. [1985] «A heory of he erm srucure of ieres raes». Ecoomerica, vol. 53, [4] Fargeo L., Nissa K. [003] Recherche d u modèle acuariel d aalyse dyamique de la solvabilié d u porefeuille de rees viagères. Mémoire d acuaria, ENSAE. [5] Gie L. [003] «Esimaio par iférece idirece des équaios de diffusio: l impac du choix du procédé de discréisaio». Docume de ravail 03A15 du GREQAM. [6] Hami S. [003] Les modèles DFA: préseaio, uilié e applicaio. Mémoire d acuaria, ISFA. [7] Hull J. [1999] Opios, fuures ad oher derivaives, 4 h ediio. Preice-Hall. [8] Kaufma R., Gadmer A., Kle R. [001] «Iroducio o Dyamic Fiacial Aalysis». ASTIN Bullei, vol. 31, 1, [9] Kloede P., Plae E. [1995] Numerical Soluio of Sochasic Differeial Equaios, d Ediio. Spriger-Verlag. [10] Lambero D., Lapeyre B. [1997] Iroducio au calcul sochasique appliqué à la fiace, e édiio, Paris: Ellipses. [11] Parra Ch., Besso J.L. [004] Assurace o-vie. Modélisaio, simulaio. Paris: Ecoomica. [1] Plache F., Jacquemi J. [003] «L uilisaio de méhodes de simulaio e assuraces». Bullei Fraçais d Acuaria, vol. 6, 11, [13] Rocalli T. [1998] La srucure par erme des aux zéro: modélisaio e implémeaio umérique. Thèse de l uiversié Moesquieu-Bordeaux IV. [14] Sapora G. [1990] Probabiliés, aalyse des doées e saisique. Paris: Ediios Techip. [15] Vasicek O. [1977] «A equilibrium characerizaio f he erm srucure». Joural of fiacial Ecoomics, vol. 5, Aexe: Tess d adéquaio à ue loi Le leceur rouvera u descripif plus déaillé de ces ess das SAPORTA [1990] pour les deux premiers e das PARTRAT e BESSON [004] pour le derier. Tes du χ Soi X ue variable aléaoire à valeurs das E de loi P X icoue e P 0 ue loi coue sur E. Soi A 1,,A d ue pariio de E elle que π k = P 0 [ Ak ] > 0 pour ou k. Nous disposos d u -échaillo idépeda e ideiqueme disribué (X 1,,X de X. Soi N k le ombre de variables aléaoires X i das A k. Si P X = P 0 (H 0 cosidéros la saisique D défiie comme sui: D χ d 1 D = k = 1 d ( Nk πk πk. (9 es asympoiqueme disribuée comme ue variable de. La p-valeur de ce es es doc doée par: [ χ D ] ˆ. (30 α = P d 1 > Tes de Kolmogorov-Smirov * Si F es la focio de répariio empirique d u - échaillo d ue variable aléaoire de focio de répariio F, alors la saisique D = Sup F * ( F( es asympoiqueme disribuée comme sui: k [ D < y] ( 1 exp{ k y } P. (31 La saisique D es idépedae de F e le résula (31 ous perme de eser: Tes d Aderso-Darlig H0 : F( = F0( H1 : F( F0( α Ce es repose sur l écar d Aderso-Darlig sui: A = F( 0 * ( F ( F( ( 1 F( df0 ( (3 A défii comme. (33 Ce écar perme de eser (3, l expressio opéraioelle de A éa: { l F( x + l[ 1 F( x ]} 1 A = i i i + ( 1 ( 1 i = 1 ( (34 où x (i désige la i-ème plus peie réalisaio de X das l échaillo. O rejeera H 0 si { l F ( x + l[ F ( ]} 1 i i x i + ( ( 1 i = 1 ( (35 es supérieur à ue valeur que la variable aléaoire probabilié α de dépasser. ACKNOWLEDGEMENTS A a ue Les aueurs iee à remercier Pierre Devolder pour ses remarques qui ous o aidées das la fialisaio de ce aricle. 13