Modélisation de la dépendance et simulation de processus en finance. Mohamed Sbai. 25 novembre Université Paris-Est, CERMICS

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1 Modélisation de la dépendance et simulation de processus en finance Mohamed Sbai Université Paris-Est, CERMICS 25 novembre 2009 Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

2 Plan de la thèse I) Simulation de processus en finance Méthodes de Monte Carlo exactes et pricing d options asiatiques Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Erreur faible uniforme en temps pour le schéma d Euler. II) Modélisation de la dépendance en finance Un modèle d indice boursier couplant indice et stocks Un modèle de frailty dynamique pour la gestion des risques dans un portefeuille de crédit Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

3 Plan 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

4 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

5 Modélisation de la dépendance dans le marché actions Options portant sur un seul actif : modélisation de plus en plus fine depuis Black & Scholes (smile de volatilité, modèles à volatilité stochastique, à volatilité locale, à sauts,...). Autre enjeu majeur : la modélisation de la dépendance Produits portant sur plusieurs actifs sous-jacents : Options sur panier : pay-off portant sur une combinaison linéaire des cours Options Best-of, Worst-of : pay-off portant sur le meilleure/pire cours Options plus exotiques (Everest, Altiplano, Atlas,...) Indices boursiers : regroupement de plusieurs actions relevant d un même marché/secteur ind. (S&P, Dow Jones, DAX, CAC40,...) Principale difficulté : la dimension (options sur panier d une centaine d actions, 500 titres présents dans l indice S&P500, 40 pour le CAC40,...) Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

6 Un modèle cohérent pour traiter un indice et les stocks qui le composent : c est encore un défi. Approche standard : un modèle pour chaque stock (smilé) + une matrice de corrélation on reconstruit la vol. locale/implicite de l indice. (Avellaneda, Boyer-Olson, Busca et Friz [2002], Lee, Wang et Kerim [2003],...) Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

7 Un modèle cohérent pour traiter un indice et les stocks qui le composent : c est encore un défi. Approche standard : un modèle pour chaque stock (smilé) + une matrice de corrélation on reconstruit la vol. locale/implicite de l indice. (Avellaneda, Boyer-Olson, Busca et Friz [2002], Lee, Wang et Kerim [2003],...) Difficulté de retrouver le smile de l indice (plus pentu que celui d un stock) par une matrice de corrélation constante estimée historiquement. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

8 Un modèle cohérent pour traiter un indice et les stocks qui le composent : c est encore un défi. Approche standard : un modèle pour chaque stock (smilé) + une matrice de corrélation on reconstruit la vol. locale/implicite de l indice. (Avellaneda, Boyer-Olson, Busca et Friz [2002], Lee, Wang et Kerim [2003],...) Difficulté de retrouver le smile de l indice (plus pentu que celui d un stock) par une matrice de corrélation constante estimée historiquement. Ajuster la matrice de corrélation est compliqué (la garder définie positive? matrice de corrélation implicite?). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

9 Un modèle cohérent pour traiter un indice et les stocks qui le composent : c est encore un défi. Approche standard : un modèle pour chaque stock (smilé) + une matrice de corrélation on reconstruit la vol. locale/implicite de l indice. (Avellaneda, Boyer-Olson, Busca et Friz [2002], Lee, Wang et Kerim [2003],...) Difficulté de retrouver le smile de l indice (plus pentu que celui d un stock) par une matrice de corrélation constante estimée historiquement. Ajuster la matrice de corrélation est compliqué (la garder définie positive? matrice de corrélation implicite?). Objectif : un nouveau cadre de modélisation permettant de gérer à la fois l indice et les stocks. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

10 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

11 Considérons un indice boursier composé de M stocks (S j,m ) 1 j M : I M t = M j=1 w j S j,m t où les poids w j sont positifs et supposés constants. Sous une proba. risque neutre, on spécifie le modèle suivant pour les stocks : j {1,...,M}, dsj,m t St j,m = (r δ j )dt + β j σ(t, I M t )db t + η j (t, S j,m t )dw j t (1) r est le taux d intérêt sans risque. δ j [0, [ est le taux de dividende du stock j. β j est le coefficient beta usuel du stock j. (B t ) t [0,T], (Wt 1 ) t [0,T],...,(Wt M ) t [0,T] sont des mouvements Browniens indépendants. Les fonctions (s 1,...,s M ) (s j σ(t, M j=1 w js j ), s j η j (t, s j )) 1 j M sont Lipschitz et à croissance linéaire uniformément en t. Existence et unicité trajectorielle pour l EDS (1). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

12 j {1,...,M}, dsj,m t St j,m = (r δ j )dt + β j σ(t, It M )db t + η j (t, St j,m )dwt j Une EDS M-dimensionnelle dirigée par M + 1 sources de bruit B, W 1,...,W M : marché incomplet. La dynamique d un stock dépend de tous les autres stocks qui composent l indice à travers le terme de volatilité σ(t, I M t ). Les corrélations entre stocks ne sont pas constantes mais stochastiques : ρ ij (t) = β i β j σ 2 (t, It M ) βi 2σ2 (t, It M ) + ηi 2 (t, Si,M t ) βj 2σ2 (t, It M ) + ηj 2 (t, Sj,M t ) Elles dépendent non seulement des stocks mais aussi de l indice. Propriété importante : quand la vol. systémique σ(t, I M t ) augmente, les corrélations deux à deux ρ ij (t) augmentent. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

13 L indice I M t di M t = M j=1 w jst j,m satisfait l EDS suivante ( M ) j=1 δ jw j St j,m dt = rit M dt M + j=1 β j w j S j,m t } {{ } σ(t, It M )db t + M j=1 w j S j,m t η j (t, St j,m )dwt j } {{ } Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

14 L indice I M t di M t = M j=1 w jst j,m satisfait l EDS suivante ( M ) j=1 δ jw j St j,m dt = rit M dt M + j=1 β j w j S j,m t } {{ } It M σ(t, It M )db t + M j=1 w j S j,m t η j (t, St j,m )dwt j } {{ } Notre modèle est en ligne avec Cizeau, Potters et Bouchaud [2001] : Les coefficients beta sont étroitement distribués autour de 1 M j=1 β jw j St j,m It M. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

15 L indice I M t di M t = M j=1 w jst j,m satisfait l EDS suivante ( M ) j=1 δ jw j St j,m dt = rit M dt M + j=1 β j w j S j,m t } {{ } It M σ(t, It M )db t + M j=1 w j S j,m t η j (t, St j,m )dwt j } {{ } 0 Notre modèle est en ligne avec Cizeau, Potters et Bouchaud [2001] : Les coefficients beta sont étroitement distribués autour de 1 M j=1 β jw j St j,m It M. Pour de grandes valeurs de M, on montre que le terme M j=1 w jst j,m η j (t, St)dW j t j peut être négligé. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

16 L indice I M t di M t = M j=1 w jst j,m satisfait l EDS suivante ( M ) j=1 δ jw j St j,m dt = rit M dt M + j=1 β j w j S j,m t } {{ } It M σ(t, It M )db t + M j=1 w j S j,m t η j (t, St j,m )dwt j } {{ } 0 Notre modèle est en ligne avec Cizeau, Potters et Bouchaud [2001] : Les coefficients beta sont étroitement distribués autour de 1 M j=1 β jw j St j,m It M. Pour de grandes valeurs de M, on montre que le terme M j=1 w jst j,m η j (t, St)dW j t j peut être négligé. r j = β j r I M + η j W j + drift où r j (resp. r I M) est le log-rendement du stock j (resp. de l indice). Le rendement d un stock est composé d une partie systémique dirigée par l indice, qui représente le marché, et d une partie résiduelle Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

17 Un modèle simplifié On regarde l asymptotique nombre de stocks sous-jacents M grand. Soit le candidat limite (I t ) t [0,T] solution de di t I t = (r δ)dt + βσ(t, I t )db t ; I 0 = I M 0 (2) Théorème 1 Soit p Æ. Si (H1) K b tel que (t, s), σ(t, s) + η j (t, s) K b K σ tel que (t, s 1, s 2 ), s 1 σ(t, s 1 ) s 2 σ(t, s 2 ) K σ s 1 s 2 alors, il existe C T > 0 qui dépend de β, δ, K b, K σ mais pas de M tel que ( ) sup It M I t 2p 0 t T (( C T max 1 j M S j,m M ) p 0 2p j=1 w2 j ( M 2p ( + j=1 w M ) ) 2p j β j β ) + j=1 w j δ j δ Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

18 En remplaçant I M par I dans la dynamique du j-ème stock, on obtient ds j t S j t = (r δ j )dt + β j σ(t, I t )db t + η j (t, S j t)dw j t Théorème 2 Sous les hypothèses du Théorème 1 et si (H2) K η t.q. j M, (t, s 1, s 2 ), s 1 η j (t, s 1 ) s 2 η j (t, s 2 ) K η s 1 s 2 K Lip t.q. (t, s 1, s 2 ), σ(t, s 1 ) σ(t, s 2 ) K Lip s 1 s 2 alors, j {1,...,M}, il existe C j T > 0 qui dépend de β, δ, β j, δ j, K b, K σ, K η, K Lip et max 1 j M S j,m 0 mais pas de M tel que ( ) ( ( M ) p ( sup St j,m St j 2p C j M ) 2p T j=1 w2 j + j=1 w j β j β 0 t T ( M ) ) 2p + j=1 w j δ j δ. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

19 Trois indices différents Indice original : I M t = M j=1 w js j,m t où (S j,m ) 1 j M est solution de (1). Indice limite : I t solution de dit I t = (r δ)dt + βσ(t, I t )db t Attention! en général I t M j=1 wj St j où ds j t S j t Indice reconstruit : I M t = (r δ j )dt + β j σ(t, I t )db t + η j (t, S j t)dw j t def = M j=1 wj S j t Théorème 3 Sous les hypothèses du Théorème 2, ( ) ( sup It M I M t 2p max 1 j M C j M ) 2p T j=1 w j 0 t T ( ( M ) p ( M 2p ( j=1 w2 j + j=1 w M ) ) 2p j β j β ) + j=1 w j δ j δ Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

20 Dans les Théorèmes 1, 2 et 3, la distance L 2 est petite si M j=1 w2 j, M j=1 w j β j β et M j=1 w j δ j δ sont petits. Pour des poids uniformes, M j=1 w2 j = 1 M est petit dès que M est grand. M j=1 w j δ j δ est minimale pour la médiane δ de la v.a.d D : j {1,...,M}, È(D = δ j ) = w j M k=1 w. k Idem pour M j=1 w j β j β mais, pour rester cohérent avec l interprétation des β j comme des coef. de regression, il faut que β = 1. M j=1 w2 j ( M j=1 w j β j 1 ) 2 inf β ( M j=1 w j β j β ) 2 β TABLE: Exemple de l indice Eurostoxx à la date du 21 décembre 2007 (M=50). Estimation historique des β j sur deux ans. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

21 Pour résumer, quand le nombre de stocks sous-jacents est grand, notre modèle original peut être approché par j {1,...,M}, di t I t dst j St j = (r δ I )dt + σ(t, I t )db t = (r δ j )dt + β j σ(t, I t )db t + η j (t, S j t)dw j t (3) On aboutit à Un modèle à volatilité locale pour l indice Un modèle à volatilité stochastique pour chaque stock, composé d une partie systémique dirigée par l indice et d une partie intrinsèque. Attention! Le modèle simplifié n est pas valide pour des options écrites sur l indice et les stocks puisque l indice limite n est plus la somme pondérée exacte mais approchée des stocks. Auquel cas, considérer l indice reconstruit I M t = M j=1 w jst j ou alors utiliser le modèle original. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

22 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

23 Calibration du modèle simplifié di t I t = (r δ I )dt + σ(t, I t )db t ds t S t = (r δ)dt + β σ(t, I t )db t + η(t, S t )dw t. (4) On se cale d abord sur le smile de l indice : calibration d un modèle à volatilité locale (standard, par ex. forme paramétrique) σ(t, x). Se caler sur le smile d un stock est plus compliqué. Le coefficient de régression β peut être estimé historiquement (estimation d un β implicite difficile à priori). Notre modèle favorise la calibration de l indice (les options sur indices sont généralement plus liquides que les options sur un stock individuel). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

24 Comment estimer η? Soit v loc (t, K) le carré de la volatilité locale qui permet de se caler sur le smile du stock, donné par la formule de Dupire [3] : v loc (t, K) = 2 tc(t, K) + (r δ)k K C(t, K) + δc(t, K) K 2 KK 2 C(t, K) où C(t, K) : prix de marché d un Call de maturité t et strike K écrit sur S. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

25 Comment estimer η? Soit v loc (t, K) le carré de la volatilité locale qui permet de se caler sur le smile du stock, donné par la formule de Dupire [3] : v loc (t, K) = 2 tc(t, K) + (r δ)k K C(t, K) + δc(t, K) K 2 KK 2 C(t, K) où C(t, K) : prix de marché d un Call de maturité t et strike K écrit sur S. D après Gyöngy [1986], si (β 2 σ 2 (t, I t ) + η 2 (t, S t ) S t = K) = v loc (t, K), alors T, K > 0, ( e rt (S T K) +) = C(T, K). Donc, on veut calculer η(t, K) = v loc (t, K) β 2 (σ 2 (t, I t ) S t = K) (5) Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

26 Comment estimer η? Soit v loc (t, K) le carré de la volatilité locale qui permet de se caler sur le smile du stock, donné par la formule de Dupire [3] : v loc (t, K) = 2 tc(t, K) + (r δ)k K C(t, K) + δc(t, K) K 2 KK 2 C(t, K) où C(t, K) : prix de marché d un Call de maturité t et strike K écrit sur S. D après Gyöngy [1986], si (β 2 σ 2 (t, I t ) + η 2 (t, S t ) S t = K) = v loc (t, K), alors T, K > 0, ( e rt (S T K) +) = C(T, K). Donc, on veut calculer η(t, K) = v loc (t, K) β 2 (σ 2 (t, I t ) S t = K) (5) En pratique, v loc peut être calibré par l ajustement d une forme paramétrique au smile de marché du stock. Estimer l espérance conditionnelle est plus compliqué (elle dépend implicitement de η puisque la loi de (S t, I t ) dépend de η) Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

27 Estimation non-paramétrique de η Si on remplace η par l expression (5) dans la dynamique du stock, on obtient ds t = (r δ)dt + β σ(t, I t )db t + S t di t = (r δ I )dt + σ(t, I t )db t I t EDS non-linéaire au sens de McKean v loc (t, S t ) β 2 (σ 2 (t, I t ) S t )dw t On approche l espérance conditionnelle par un estimateur à noyau du type Nadaraya-Watson système de particules K (σ 2 (t, I t ) S t = K) peut être calculé par interpolation spatiale de (σ 2 (t, St i,n )) 1 i N approximation de η(t, K) Le système de particules peut être directement utilisé pour le pricing dans le modèle calibré : estimation Monte Carlo du prix de l option de payoff h écrite sur S e rt N N i=1 h(si,n ) Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

28 Calibration du modèle original ds j,m t S j,m t = (r δ j )dt + β j σ(t, I M t )db t + η j (t, S j,m t )dw j t avec I M t = M j=1 w j S j,m t Une calibration parfaite est compliquée... mais on peut prendre pour σ la vol. locale calibrée de l indice puis calibrer les coefficients η j calibration imparfaite de l indice mais erreur petite (Théorème 1) prendre pour σ et ηj les coefficients calibrés dans le modèle simplifié calibration imparfaite de l indice et des stocks mais erreur petite (Théorèmes 1 et 2) On se permet une légère erreur de calibration mais la contrainte d additivité de l indice est respectée (on évite des arbitrages) De manière similaire, l indice reconstruit I M t = M j=1 w jst j dans le modèle simplifié calibré n est pas parfaitement calibré Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

29 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

30 Données de marché au 21 décembre 2007 de l EUROSTOXX 50. T = 1 an Exact Implied Vol N=10000 N= Moneyness FIGURE: Estimation non-paramétrique de la vol. implicite de Carrefour. Moneyness ( K S 0 ) Error : σ simul σ exact TABLE: Erreur (en bp) sur la vol. implicite de Carrefour avec N = particules. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

31 Illustration des Théorèmes 1, 2 et 3 1 Le modèle original j {1,...,M}, dst j,m St j,m It M = rdt + σ(t, It M )db t + η(t, St j,m )dwt j = M j=1 w js j,m t. 2 Le modèle simplifié j {1,...,M}, dst j St j = rdt + σ(t, I t )db t + η(t, S j t)dw j t di t I t = rdt + σ(t, I t )db t. L indice reconstruit I M t = M i=1 w is i t. 3 Le modèle de marché (matrice de corrélation constante) j {1,...,M}, = rdt + v loc (t, St)d j W t j ds j t S j t i j, d < W i, W j > t = ρdt. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

32 M, I 0, et w 1,...,w M valeurs pour l Eurostoxx au 21 décembre S 1 0 =... = SM 0 = 53. r = σ(t, i) vol. locale calibrée pour l Eurostoxx. Forme paramétrique arbitraire pour le coeff. de volatilité intrinsèque η. On évalue v loc tel que le modèle de marché donne les mêmes prix d options sur les stocks que le modèle simplifié v loc (t, s) = η 2 (t, s) + (σ 2 (t, I t ) S 1 t = s). On fixe le coefficient de corrél. ρ tel que le modèle de marché et le modèle simplifié donnent la même volatilité implicite ATM pour l indice. Nombre de trajectoires simulées : Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

33 Simplified Market Simplified Market 0.38 Original 0.35 Original Simplified Reconstructed Moneyness Moneyness FIGURE: Vol. implicite pour un stock. FIGURE: Vol. implicite pour l indice. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

34 Plan 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

35 Modèle à volatilité stochastique L actif sous-jacent (S t ) t [0,T] est solution de l EDS { ds t = rs t dt + f(y t )S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ); S 0 = s 0 > 0 dy t = b(y t )dt + σ(y t )dw t ; Y 0 = y 0 (6) où r est le taux d intérêt sans risque, (B t ) t [0,T] et (W t ) t [0,T] deux Browniens scalaires indépendants, ρ [ 1, 1] le coefficient de correlation, f, b, σ : Ê Ê réguliers (on ne traite pas le modèle de Heston) Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

36 Exemples Scott 1987 ds t = rs t dt + e Yt S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ) dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t f(y) = e y, b(y) = κ(θ y) and σ(y) = ν. Stein & Stein 1991 ds t = rs t dt + Y t S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ) dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t f(y) = y, b(y) = κ(θ y) and σ(y) = ν. Modèle quadratique gaussien ds t = rs t dt + Yt 2 S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ) dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t f(y) = y 2, b(y) = κ(θ y) and σ(y) = ν. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

37 Schémas spécifiques? Comparativement au modèle de Heston, il y a peu de schémas spécifiques aux modèles à vol. sto. quand Y est solution d une EDS à coefficients réguliers σ, b : Ê Ê : { ds t = rs t dt + f(y t )S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ) dy t = σ(y t )dw t + b(y t )dt Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

38 Schémas spécifiques? Comparativement au modèle de Heston, il y a peu de schémas spécifiques aux modèles à vol. sto. quand Y est solution d une EDS à coefficients réguliers σ, b : Ê Ê : { ds t = rs t dt + f(y t )S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ) dy t = σ(y t )dw t + b(y t )dt Kahl & Jäckel 2006 proposent un schéma avec discrétisation de Milstein de l intégrale p/p à dw t et discrétisation par des trapèzes de l intégrale p/p à db t ordre de convergence forte 1/2 et, d après les résultats numériques, une plus petite constante multiplicative que pour Euler. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

39 Schémas spécifiques? Comparativement au modèle de Heston, il y a peu de schémas spécifiques aux modèles à vol. sto. quand Y est solution d une EDS à coefficients réguliers σ, b : Ê Ê : { ds t = rs t dt + f(y t )S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ) dy t = σ(y t )dw t + b(y t )dt Kahl & Jäckel 2006 proposent un schéma avec discrétisation de Milstein de l intégrale p/p à dw t et discrétisation par des trapèzes de l intégrale p/p à db t ordre de convergence forte 1/2 et, d après les résultats numériques, une plus petite constante multiplicative que pour Euler. Objectifs : Tirer profit de la structure particulière de l EDS 2D pour construire des schémas performants pour le pricing d options vanilla et path-dependent. Garder la possibilité de remplacer le schéma sur Y par la simulation exacte dans le cas Ornstein-Uhlenbeck. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

40 Transformation de l EDS (6) déf Changement de variables logarithmique pour l actif : X t = log(s t ) résout ( dx t = r 1 ) 2 f 2 (Y t ) dt + f(y t )(ρdw t + 1 ρ 2 db t ). Traitement du terme ρf(y t )dw t : si f, σ sont C 1 et σ ne s annule pas alors, pour F(y) déf = y f y 0 σ (z)dz, [ bf df(y t ) = f(y t )dw t + σ + 1 ] 2 (σf fσ ) (Y t )dt. Ainsi { dx t = ρdf(y t ) + h(y t )dt + 1 ρ 2 f(y t )db t dy t = σ(y t )dw t + b(y t )dt (7) où h(y) déf = r 1 2 f 2 (y) ρ( bf σ (σf fσ ))(y). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

41 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

42 Options Vanilla On veut calculer le prix (e rt g(s T )) = (e rt g(e X T )) de l option de maturité T et de payoff g : Ê + Ê +. Schémas avec ordre de convergence élevé. Familles de moments : Kusuoka 01 04, Ninomiya 03 03,... Cubatures : Lyons & Victoir 04,... Splitting et intégration d EDOs : Ninomiya & Victoir 08, Ninomiya & Ninomiya 09, Tanaka & Kohatsu-Higa 09, Alfonsi 09,... Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

43 Splitting pour (7) Si Z t déf = X t ρf(y t ), alors Splitting naturel de l opérateur associé { dy t = σ(y t )dw t + b(y t )dt dz t = h(y t )dt + 1 ρ 2 f(y t )db t. L = σ2 (y) 2 yy + b(y) y + (1 ρ2 )f 2 (y) zz + h(y) z. } {{ } } 2 {{ } L Y L Z à y fixé, simulation exacte de l EDS associée possible Si à chaque pas de temps T/N, on résout l EDS sur Z à Y fixé sur un intervalle de longueur T/2N, intègre l EDS de Y avec un schéma d ordre faible 2 sur un intervalle de longueur T/N, résout l EDS sur Z à Y fixé sur un intervalle de longueur T/2N, alors on obtient un schéma d ordre faible 2 pour (Y, Z) (Ninomiya & Victoir 08, Alfonsi 09, Tanaka & Kohatsu-Higa 09). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

44 Schéma Weak 2 Pour 0 k N, t k def = kt N. On considère le schéma de Ninomiya-Victoir {ȲN 0 = y 0 0 k N 1, Ȳ N t k+1 = e T 2N eb e (Wt k+1 Wt k )σ e T 2N eb (Ȳ N t k+1 ) def b(y) = b(y) 1 2 σσ (y), pour v : Ê Ê, e tv (y) dénote la solution ξ(t) de l EDO ξ (t) = v(ξ(t)) qui part de y en 0. Si η(z) déf = z 1 0 v(x) dx, alors etv (y) = η 1 (t + η(y)). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

45 Schéma Weak 2 Pour 0 k N, t k def = kt N. On considère le schéma de Ninomiya-Victoir {ȲN 0 = y 0 0 k N 1, Ȳ N t k+1 = e T 2N eb e (Wt k+1 Wt k )σ e T 2N eb (Ȳ N t k+1 ) def b(y) = b(y) 1 2 σσ (y), pour v : Ê Ê, e tv (y) dénote la solution ξ(t) de l EDO ξ (t) = v(ξ(t)) qui part de y en 0. Si η(z) déf = z 1 0 v(x) dx, alors etv (y) = η 1 (t + η(y)). Alors N 1 X T N = log(s 0 ) + ρf(ȳt N ) + (h(ȳt N k ) + h(ȳt N k+1 )) T 2N k=0 + (1 ρ2 N 1 )T (f 2N 2 (Ȳt N k ) + f 2 (Ȳt N k+1 )) G k=0 avec G N 1 (0, 1) indépendante de (W t ) t 0. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

46 Résultat de convergence Théorème 4 Supposons que F C 6 b, f C4 b, h C4 b, σ C 5, b C 4, avec des dérivées bornées, σ ne s annule pas, inf Ê f 2 > 0, ρ 1, g est mesurable vérifiant c 0, µ [0, 2), y > 0, g(y) ce log(y) µ. Alors, il existe C indépendant de N tel que N Æ, (g(s T )) (g(e X N T )) C N 2. Convergence pour tout payoff g mesurable à croissance polynômiale. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

47 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

48 Critère de convergence faible trajectorielle Soit g : C([0, T], Ê) Ê une fonction Lipschitz (payoff asiatique ou lookback par exemple) : (g((s t ) t T )) (g(( S t N ) t T )) g((s t ) t T ) g(( S t N ) t T )) ( ) g Lip sup S t S t N t T. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

49 Critère de convergence faible trajectorielle Soit g : C([0, T], Ê) Ê une fonction Lipschitz (payoff asiatique ou lookback par exemple) : (g((s t ) t T )) (g(( S t N ) t T )) g((s t ) t T ) g(( S t N ) t T )) ( ) g Lip sup S t S t N t T : estimation grossière. Considérer plutôt la distance de Wasserstein W 1, (g((s t ) t T )) (g(( S N t ) t T )) g Lip sup γ Lip 1 (γ((s t ) t T )) (γ(( S N t ) t T )) } {{ } W 1 (L(S),L(eS N )) ) Formulation duale : W 1 (L(S), L( S N )) = inf e (sup S=S L t T S t S t N.. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

50 Schémas existants d ordre 1 Schéma de Milstein : schéma d ordre fort 1. la condition de commutativité s écrit σf = 0 donc il faut une volatilité déterministe le schéma de Milstein implique la simulation de l aire de Levy (simulation possible mais difficile à mettre en oeuvre en dimension deux par Gaines & Lyons 1994). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

51 Schémas existants d ordre 1 Schéma de Milstein : schéma d ordre fort 1. la condition de commutativité s écrit σf = 0 donc il faut une volatilité déterministe le schéma de Milstein implique la simulation de l aire de Levy (simulation possible mais difficile à mettre en oeuvre en dimension deux par Gaines & Lyons 1994). Schéma de Cruzeiro Malliavin & Thalmaier 2004 : schéma d ordre 1 pour W 1 (rotation astucieuse du Brownien sous condition d ellipticité). si Y est OU, la simulation exacte casse l ordre de convergence pour W1 perte d indépendance entre le schéma sur Y et B (pas de conditionnement), dans la perspective d appliquer la méthode de Romberg statistique (Kebaier 05) ou multi-level Monte Carlo (Giles & al ) MLMC, pas de couplage avec ordre fort 1 entre les schémas avec N et 2N pas. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

52 Schéma Weak Traj 1 Schéma de Milstein pour Y : Ỹt N 0 = y 0 et pour 0 k N 1 Ỹt N k+1 = Ỹt N k + b(ỹt N k ) T N + σ(ỹn t k ) W k ( 2 σσ (Ỹt N k ) Wk+1 2 T ) N ( ) hrt. X t N k+1 = X t N k + ρ F(Ỹt N k+1 ) F(Ỹt N k ) + h(ỹt N k ) T N + ( 1 ρ 2 f 2 (Ỹt N k ) + Nσ f 2 (Ỹt N ) k ) tk+1 (W s W tk )ds f T 2 B k+1 Théorème 5 Supposons que N, Ê 2(N+1) est équipé de la norme sup et que b C 3 b et σ C4 b avec inf y Ê σ(y) > 0, f Cb 4 avec f 2 déf = inf y Ê f 2 (y) > 0 ) alors C > 0, N Æ, W 1 (L((X tk, Y tk ) k N ), L(( X t N k, Ỹt N k ) k N ) C N. t k Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

53 Utile dans la perspective du multi-level Monte Carlo. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55 Couplage entre schémas avec N et 2N pas (pour le MLMC) Soit δ = T 2N le pas de temps ( du schéma avec 2N ) pas. X (j+1)δ 2N = X jδ 2N + ρ F(Ỹ(j+1)δ 2N ) F(Ỹ2N jδ ) + h(ỹjδ 2N )δ + 1 ρ 2 ( f 2 (Ỹjδ 2N ) + σ f 2 (Ỹ 2N ) jδ ) jδ+δ (W s W jδ )ds f 2 (B δ (j+1)δ B jδ ) jδ } {{ } } {{ } B 2N v 2N j j X N X N : on remplace B N k par 2 Proposition q v 2N 2k B 2N 2k + v 2N 2k+1 B2N 2k+1 q v 2N 2k +v2n 2k+1 N Æ, ( X N t k ) k N L = (X N tk ) k N. De plus, sous les hypothèses du Théorème 5, p 1, C 0, N Æ, ( ) max 0 k N XN t k X t 2N k 2p. C N 2p.

54 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

55 Schéma OU Improved dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t Simulation exacte pour Y. Ordres de convergence préservés sous des hypothèses plus faibles. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

56 Schéma OU Improved dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t Simulation exacte pour Y. Ordres de convergence préservés sous des hypothèses plus faibles. En s inspirant du schéma d ordre fort 3/2 proposé par Lapeyre & Temam 01 pour les options asiatiques dans le modèle de Black-Scholes : X t N k+1 = X t N k + ρ ( F(Y tk+1 ) F(Y tk ) ) + ĥk + (1 ρ 2 )( v k f 2 ) B k+1 tk+1 v k = f 2 (Y tk ) + Nνf 2 (Y tk ) (W s W tk )ds + (κ(θ.)f 2 ν 2 + T t k 2 f 2 )(Y tk ) T 2N ĥ k = h(y tk ) T N + νh (Y tk ) tk+1 t k (W s W tk )ds + (κ(θ.)h + ν2 2 h )(Y tk ) T2 2N 2 Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

57 Schéma OU Improved dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t Simulation exacte pour Y. Ordres de convergence préservés sous des hypothèses plus faibles. En s inspirant du schéma d ordre fort 3/2 proposé par Lapeyre & Temam 01 pour les options asiatiques dans le modèle de Black-Scholes : X t N k+1 = X t N k + ρ ( F(Y tk+1 ) F(Y tk ) ) + ĥk + (1 ρ 2 )( v k f 2 ) B k+1 tk+1 v k = f 2 (Y tk ) + Nνf 2 (Y tk ) (W s W tk )ds + (κ(θ.)f 2 ν 2 + T t k 2 f 2 )(Y tk ) T 2N ĥ k = h(y tk ) T N + νh (Y tk ) tk+1 t k max0 k N W 1 (L(X tk, Y tk ), L( X N t k, Y tk )) (W s W tk )ds + (κ(θ.)h + ν2 2 h )(Y tk ) T2 2N 2 C (couplage dép. de k). N 3/2 Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

58 Schéma OU Improved dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t Simulation exacte pour Y. Ordres de convergence préservés sous des hypothèses plus faibles. En s inspirant du schéma d ordre fort 3/2 proposé par Lapeyre & Temam 01 pour les options asiatiques dans le modèle de Black-Scholes : X t N k+1 = X t N k + ρ ( F(Y tk+1 ) F(Y tk ) ) + ĥk + (1 ρ 2 )( v k f 2 ) B k+1 tk+1 v k = f 2 (Y tk ) + Nνf 2 (Y tk ) (W s W tk )ds + (κ(θ.)f 2 ν 2 + T t k 2 f 2 )(Y tk ) T 2N ĥ k = h(y tk ) T N + νh (Y tk ) tk+1 t k max0 k N W 1 (L(X tk, Y tk ), L( X N t k, Y tk )) Ordre fort 3/2 entre X N T et X 2N T. (W s W tk )ds + (κ(θ.)h + ν2 2 h )(Y tk ) T2 2N 2 C (couplage dép. de k). N 3/2 Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

59 Schéma OU Improved dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t Simulation exacte pour Y. Ordres de convergence préservés sous des hypothèses plus faibles. En s inspirant du schéma d ordre fort 3/2 proposé par Lapeyre & Temam 01 pour les options asiatiques dans le modèle de Black-Scholes : X t N k+1 = X t N k + ρ ( F(Y tk+1 ) F(Y tk ) ) + ĥk + (1 ρ 2 )( v k f 2 ) B k+1 tk+1 v k = f 2 (Y tk ) + Nνf 2 (Y tk ) (W s W tk )ds + (κ(θ.)f 2 ν 2 + T t k 2 f 2 )(Y tk ) T 2N. ĥ k = h(y tk ) T N + νh (Y tk ) tk+1 t k max0 k N W 1 (L(X tk, Y tk ), L( X N t k, Y tk )) Ordre fort 3/2 entre X N T et X 2N T. Ordre faible 2 : (g(st )) (g(e b X N T )) C N 2. (W s W tk )ds + (κ(θ.)h + ν2 2 h )(Y tk ) T2 2N 2 C (couplage dép. de k). N 3/2 Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

60 1 Modélisation jointe entre indice et stocks Introduction Spécification du modèle Calibration Expériences numériques 2 Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique Introduction Options Vanilla Options Path-dependent Cas où Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck Résultats numériques Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

61 Expériences numériques dans le cadre du modèle de Scott (f(y) = e y, Y OU) ds t = rs t dt + e Yt S t (ρdw t + 1 ρ 2 db t ) dy t = κ(θ Y t )dt + νdw t f(y) = e y, b(y) = κ(θ y) and σ(y) = ν avec les paramètres de l article de Kahl & Jäckel 2006 : s 0 = 100, y 0 = log(0.25), r = 0.05 κ = 1, θ = 0, ν = , ρ = 0.2, T = 1. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

62 Call à la monnaie (K = 100) WeakTraj_1 Weak_2 OU_Improved IJK Euler CMT FIGURE: Convergence du prix du Call p/p à N. Prix calculé avec technique de conditionnement excepté pour CMT. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

63 Couplage à l horizon T WeakTraj_1 (C) Weak_2 (C) OU_Improved (C) IJK (C) Euler (C) CMT ( ( ( FIGURE: log e XN T ) )) 2 e X 2N T en fonction de log(n). Excepté pour CMT, XT N et X 2N T sont générés en utilisant la même gaussienne pour l intégrale p/p à B. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

64 Multi-level Monte Carlo pour le pricing d un Call ATM WeakTraj_1 Weak_2 OU_Improved IJK Euler Computation time Epsilon FIGURE: Temps de calcul en fonction de la précision ε Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

65 Option asiatique à strike fixe (K = 100) WeakTraj_1 Weak_2 OU_Improved CMT IJK Euler FIGURE: Convergence du prix de l option asiatique en fonction de N. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

66 Convergence forte... ( ( ) )) 2 log (max 0 k N e XN t k e X2N t k en fonction de log(n) WeakTraj_1 Weak_2 1 OU_Improved IJK 2 Euler CMT WeakTraj_1 (C) Weak_2 (C) OU_Improved (C) IJK (C) Euler (C) FIGURE: Sans couplage. FIGURE: Avec couplage.... Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

67 Multi-level Monte Carlo pour le pricing de l option asiatique Computation time x Epsilon² WeakTraj_1 Weak_2 OU_Improved IJK Euler CMT Epsilon 1 10 FIGURE: Temps de calcul multiplié par le carré de la précision ε Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

68 Perspectives 1 Calibration implicite du Beta dans le modèle d indice? Méthode de calibration plus rapide? 2 Etude de la couverture tant sur le plan théorique que pratique? 3 Relaxer l hypothèse f 2 > 0 dans les résultats de convergence sur les schémas? 4 Hypothèses moins fortes pour passer à l exponentielle dans les schémas Weak Traj 1 et OU Improved? Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

69 References I M. Avellaneda, D. Boyer-Olson, J. Busca, and P. Friz. Reconstructing volatility. Risk, pages 87 91, October P. Cizeau, M. Potters, and J-P. Bouchaud. Correlation structure of extreme stock returns. Quantitative Finance, 1(2) : , February B. Dupire. Pricing with a smile. Risk, pages 18 20, January I. Gyöngy. Mimicking the one-dimensional marginal distributions of processes having an Itô differential. Probab. Theory Relat. Fields, 71(4) : , P. Lee, L. Wang, and A. Karim. Index volatility surface via moment-matching techniques. Risk, pages 85 89, December Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

70 Volatilité Implicite Carrefour Eurostoxx Moneyness FIGURE: Effet de levier? Pression d achat de certains puts OTM sur l indice (assurance contre les crashs)? Stocks plus corrélés durant les crashs?... Le smile de l indice est plus pentu que celui des stocks. Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

71 P une fonctionnelle de la solution d une EDS et P L son approximation par un schéma de discrétisation de pas 2 L T. ) ) ( P L = ( P 0 + ) L l=1 ( P l P l 1 1 N 0 P (k) 0 + ( L 1 N l ) l=1 ( P ) (k) l P (k) l 1 N 0 Théorème (Giles 06) k=1 } {{ } by 0 N l k=1 } {{ } by l Si le schéma ) a ( un ordre de convergence faible α 1 2 et si Var (Ŷl = O N 1 ( T ) ) β l (par ex. si ordre de convergence forte égal à β 2 l 2 ), alors il existe c > 0 tel que pour tout ǫ > 0 il existe des valeurs de L et de (N l ) 0,...,L pour lesquels l estimateur Ŷ = L l=0 Ŷl vérifie [(Ŷ (P)) 2 ] < ǫ 2 cǫ 2 si β > 1 avec une complexité de calcul C cǫ 2 (ln(ǫ)) 2 si β = 1 α si 0 < β < 1 1 β 2 cǫ Pour Euler par ex., on passe d une complexité en O(ǫ 3 ) à O(ǫ 2 (ln(ǫ)) 2 ). Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

72 Arguments heuristiques pour Weak Traj 1 dx t = ρdf(y t ) + h(y t )dt + 1 ρ 2 f(y t )db t L (X tk ) k N = ( X tk ) k N où X 0 = log(s 0 ) et tk+1 X tk+1 = X tk + ρ(f(y tk+1 ) F(Y tk )) + h(y s )ds.. + ( tk+1 ) Var f(y s )db s W t k (1 ρ 2 )N tk+1 f T 2 (Y s )ds B k+1. t k = tk+1 t k f 2 (Y tk )T N f 2 (Y s )ds t k tk+1 + σ f 2 (Y tk ) W s W tk ds t k Mohamed Sbai (UPE-CERMICS) Modèle d indice & schémas 25 novembre / 55

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