Seconde Module : EXPRESSIONS ALGEBRIQUES (a + b)² = a² + 2ab + b². - d = n d. B = (x 3)² - 4x(x 1) B =

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1 1. Développement et factorisation. Développement ❶ Ne pas oublier le double produit dans le développement d un carré. (a + b)² = a² + 2ab + b² ❷ Lorsqu on a un signe «-» devant une parenthèse, il faut changer tous les signes. - (a + b c) = - a b + c ❸ Un signe «-» devant un trait de fraction, c est comme un signe «-» devant une parenthèse au numérateur. - n d = - n d, mais n - d = n d 1. Développer chacune des expressions suivantes. (x 1)(- x + 2) + (2x + 1)² (x 3)² - 4x(x 1) (2x + 5)² - (5x + 2)(5x 2) (1 x)(3 + x) 2. Vérifier à l'aide de la commande developper du logiciel Xcas le développement de l'expression C. Indications : il faut indiquer les multiplications par le signe * et les exposants par le signe ^. Il faut donc saisir la commande : developper((2*x + 5)^2 (5*x + 2)*(5*x 2) (1 x)*(3 + x)) 1

2 3. Déterminer à l'aide de Xcas la forme développée de (a + b) 4 Formes proposées pour (a + b) 4 : a ab + b 4 a a²b² + b 4 a 4 + 4a 3 b + 6a²b² + 4ab 3 + b 4 a 4 + 2a 3 b + 3a²b² + 2ab 3 + b 4 4. Ecrire sous forme d un quotient les expressions suivantes. 2 - x 3 x x 1 + x x² x + 3 x x + 1 x + 2 x 3 x 3 x Vérifier à l'aide de la commande simplifier du logiciel Xcas le développement des expressions F et G. Indications : Ne pas oublier les parenthèses et utiliser le signe / pour les fractions. Par exemple, pour l'expression F on doit saisir : simplifier((x + 3)/x (x + 1)/(x + 2)) Factorisation ❹ Ne pas oublier le facteur 1 dans une factorisation. ab + a = a(b + 1) ❺ Reconnaître la différence de deux carrés ou bien les faire apparaître. a² - b² = (a + b)(a b) ❻ Pour simplifier un quotient, s assurer que le numérateur et le dénominateur sont sous forme de produit. 2

3 a c b c = a b ❼ La somme de deux carrés ne se transforme pas en forme factorisée. 4. Ecrire sous forme d un quotient factorisé et simplifier éventuellement. 9 x 2(x 2) x + 1 x 1 (x + 3)(x 2) 4 x 2x 3 x x + 1 x + 3 x x Factoriser chacune des expressions suivantes. a² + b² reste telle quelle (x + 2)² + x + 2 4x² - (x 2)² (3x 1)² - 3x + 1-9(x + 1)² Vérifier à l'aide de la commande factoriser du logiciel Xcas les factorisations des expressions C et D. 8. Déterminer à l'aide de Xcas la forme factorisée de a 3 b 3 Formes proposées pour a 3 b 3 : (a b)(a + b)² (a + b)(a b)² (a b)(a² + b²) (a b)(a² + ab +b²) 9. Factoriser chacune des expressions suivantes. x² - 2x 49 25x² (- 2x + 2)² - 4x² x² - 6x + 9 (2x 3)² - (2x 3)(x + 1) - (x + 1)(x 1) + 3x(x 1) 3

4 (x 3)(x + 4) (x 3)(2x 1) H = 9x² (x 3)(3x 1) H = 2. Les questions à se poser pour factoriser. Une expression est factorisée lorsqu elle est constituée d un produit de facteurs (sans addition ni soustraction à l extérieur des parenthèses). Voici les questions qu il faut se poser (dans l ordre) pour factoriser une expression : ❶ Est-elle déjà factorisée? Si oui, on vérifie que la factorisation est optimale, c'est-à-dire on vérifie que chaque parenthèse est elle-même factorisée. Exemple à factoriser : (5x 1)(- 3x² - x) ; réponse : - x(5x 1)(3x + 1). ❷ Reconnaît-on une identité remarquable, une différence de deux carrés en particulier? Exemple à factoriser : (5x 2)² - 4(x 3)² ; réponse : (7x 8)(3x + 4). ❸ Compter le nombre de termes de l expression, en regroupant éventuellement les termes isolés. Dans tous les termes, a-t-on de la somme le même facteur commun? Souligner le facteur commun, le mettre en facteur, puis écrire entre crochets ce qui n est pas souligné : il doit y avoir autant de termes dans les crochets que dans la somme initiale. Ensuite, réduire l expression entre crochets. Exemple à factoriser : (x 2)(2x + 1) (x 2)² ; réponse : (x 2)(x + 3). Exemple résolu : (2x 1)(x + 4) + (x + 4)² - 2(x + 4)(x + 3) = (2x 1)(x + 4) + (x + 4)(x + 4) 2(x + 4)(x + 3) = (x + 4)[(2x 1) + (x + 4) 2(x + 3)] = (x + 4)(2x 1 + x + 4 2x 6) = (x + 4)(x 3) ❹ Peut-on faire apparaître dans tous les termes de la somme le même facteur commun? Dans ce cas, procéder comme dans la question ❸. Exemple à factoriser : (3 x)(2x 7) (x 3)(x + 2) ; réponse : (3 x)(3x 5). 4

5 On remarquera que (3 x) est l opposé de (x 3), donc (x 3) = + (3 x) ; Ne pas confondre (- x + 1)² et - (x 1)² ou (x 1)². Un nombre et son opposé ont le même carré, donc (- x + 1)² = (x 1)², mais (x 1)² (- x + 1)². ❺ Si la réponse à chaque question est non, alors développer : le polynôme obtenu après développement peut être du premier degré ou facilement factorisable. Exemple à factoriser : (4x 1)² - (4x 2)(4x + 1) ; réponse : - 4x Factoriser les expressions suivantes. (2x + 1)(2x + 3) (2x + 1)(x 3) (2x 5)(x + 6) 2x 12 (3x + 8)(x + 2) (x + 4)² (x 2)(x + 3) + x² - 4x Même exercice. 3 x + (3 - x)² 12. Factoriser. (Essayez de faire apparaitre des facteurs communs, sinon développer.) (x 1)(2x 3) (1 x)² + x 1 (2x + 3)(x 1) + (x + 1)(4 5x) (x 3)(x + 2) (x + 2)² + 2x² + 4x (x + 3)(x + 1) (x 3)(x 1) 2(4x 5)² - 5x(5 4x) (6x 3)(x + 1) (2x 1)(x + 1) + (1 2x)² (x 5)(2x + 3) + (4x 5)(5 x) 4x² - 1 (3x + 5)(2x 1) H = (4 5x)(x + 1) (4 5x)² Réponses «en vrac» : (2x 1)(- x 4) ; (2x + 1)(x + 6) ; (x 2)(2x + 1) ; (4 5x)(6x 3) ; 2x(x + 3) ; (3 x)(4 x) ; (x 5)(- 2x + 8) ; (x + 6)(2x 7) ; (2x 1)(4x + 1) ; (x 1)² ; 8x ; (1 + x 3)(1 - x 3) ; (x + 2)(2x 5) ; (4x 5)(13x 10). 5