Repérage dans le plan, cours pour la classe de seconde

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1 F.Gaudon 15 juillet 2009 Table des matières 1 Coordonnées dans un repère du plan 2 2 Coordonnées de vecteurs 3 3 Milieu d un segment et distance dans un repère orthonormé 4 1

2 1 Coordonnées dans un repère du plan Soit O, I et J trois points du plan non alignés. Pour tout point M du plan, il existe un unique couple (x; y) de nombres réels tels que le trajet pour aller de O à M soit égal à x fois le trajet de O à I suivi de y fois le trajet de O à J. Un repère du plan est défini par la donnée de trois points non alignés O, I et J ou par la donnée d un point O et de deux droites (OI) et (OJ) non parallèles. On note alors (O; I; J) ou (O; i; j) le repère ainsi défini avec i = OI et j = OJ. Le couple de nombres (x; y) ci-dessus associé au point M est appelé couple de coordonnées du point M dans le repère (O; I; J) défini par les points O, I et J. Plus précisément, x est appelé abscisse du point M et y est appelé ordonnée du point M. Soit (O; I; J) un repère du plan. (O; I; J) est dit orthogonal si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires ; (O; I; J) est dit orthonormal si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si les longueurs OI et OJ sont égales. http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 Repère orthogonal Repère orthonormal 2 Coordonnées de vecteurs Soient A et B deux points de coordonnées (x A ; y A () et (x B ; y B ) dans un repère (O; i; j). Alors les coordonnées de AB xb x sont A. y B y A ) Soit (O; i; j) un repère et soit u un vecteur. Alors pour tous les points A, B tels que u = AB, les coordonnées des vecteurs u et AB sont égales. Algorithme de calcul des coordonnées (xab; yab) du vecteur coordonnées (xa; ya) et (xb; yb) : Demander xa,ya Demander xb,yb xb-xa -> xab yb-ya -> yab Afficher xab, yab AB dont les points A et B ont pour Propriétés : Soit (O; i; j) un repère du plan. On considère deux vecteurs u et v de coordonnées (x; y) et (x ; y ). u = v si et seulement si ( x = x ) et y = y ; x u a pour coordonnées ( y x + x u + v a pour coordonnées y + y ) ; http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 Conséquence de la propriété précédente ; ( ) soient A et B sont deux points tels que u = AB. xb x Les coordonnées de u sont donc A. ( ) y B y A Or BA xa x = u et a pour coordonnées B qui sont opposées à celles de u ; y A y B Soient A, B et C trois points tels que u = AB et v = BC. D après la relation de Chasles on peut écrire que u + v = AB + BC = AC. Or les alscisses de AB et BC sont respectivement xb x A et x C x B. Leur somme est x B x A + x C x B = x C x A qui est l abscisse de AC. De même pour les ordonnées. Algorithme de test de l égalité de deux vecteurs u 1 et u 2 dont les coordonnées (x1, y1) et (x2; y2) sont données : Demander x1, y1 Demander x2, y2 Si (x1=x2) et (y1=y2) alors Afficher "Les deux vecteurs sont égaux" sinon Afficher "Les deux vecteurs ne sont pas égaux" 3 Milieu d un segment et distance dans un repère orthonormé Soient A et B deux points de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) d un repère (O; I; J). Alors le milieu I du segment [AB] a pour abscisse la moyenne des deux abscisses et pour ordonnée la moyenne des ordonnées, c est à dire, a pour coordonnées : et x I = x A + x B 2 y I = y A + y B 2 I est le milieu de [AB] donc AI = IB. On a donc x I x A = x B x I et y I y A = y B y I donc 2x I = x A + x B et 2y I = y A + y B d où le résultat. Exemple : Soient A(3; 2) et I(4; 1). Le point B(x; y) tel que I est le milieu de [AB] vérifie 4 = 3+x et 1 = 2+y donc x = 8 et 2 + y = 2 d où x = 5 et y = 0. http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 On considère deux points A et B de coordonnées ( A ; y A ) et (x B ; y B ) dans un repère (O; I; J) orthonormal. Alors la distance AB est donnée par : ce qui s écrit aussi : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 AB = y B y A ) 2 + (x B x A ) 2 On supposera afin d alléger les écritures que x A < x B et y A < y B, les autres cas se démontrant de la même manière. Soit H le point de coordonnées (x B ; y A ). Le repère est orthonormal donc les droites (AH) et (BH) sont perpendiculaires en H et l unité est la même sur les deux axes. La distance AH vaut x B x A et la distance BH est y B y A. Dans le triangle ABH rectangle en H, le théorème de PYTHAGORE permet donc d écrire que AB 2 = AH 2 +BH 2 c est à dire AB 2 = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 d où la formule. Algorithme de calcul de la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (xa; ya) et (xb; yb) : Demander xa, ya Demander xb, yb racine carrée((xb-xa)^2+(yb-ya)^2) -> d Afficher "La distance est ",d http: // mathsfg. net. free. fr 5

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