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2 Formulaire d'aide à la résolution des problèmes de calcul topométrique Sommaire 1 - Triangle quelconque 2 - Triangles semblables 3 - Triangle rectangle 4 - Trapèze 5 - Polgone de n côtés 6 - Raccordements circulaires 7 - Secteur circulaire 8 - Transformations de coordonnées 9 - Intersection de deu droites 10- Intersection de deu cercles Intersection droite - cercle 12- ivellement indirect 13- orrections des distances 14- orrection de niveau apparent 15- oenne arithmétique, moenne pondérée 16- Relèvement sur 3 points - méthode du barcentre- 17- Relèvement sur 3 points - méthode de Delambre- 18- hangement de base 19- Le G0 (ou V0) accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 1 sur 12 onventions relatives au travau topographiques Unités en vigueur : - distance en mètre (m) - angle en grades (gon) Sstèmes de coordonnées géographiques longitude λ, latitude f, hauteur sur l ellipsoïde h Sstèmes de coordonnées planimétriques - oordonnées locales :, - oordonnées Lambert 93 : e, n - oordonnées RGF 93 (9 zones) : E, Sstèmes de coordonnées géocentriques X, Y, Z Sstèmes de coordonnées altimétriques : altitude normale - GF-IG 69 (GF-IG78 pour la orse) H Raon de la terre : 6370 km Longitude λ Terminologie usitée : - ht ou hi = hauteur des tourillons ou hauteur de l appareil - hp = hauteur de prisme = hv (voant) ou hr (réflecteur) ase ationale des Sujets d'eamens de l'enseignement professionnel Réseau anopé Latitude f accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 2 sur 12 Z X Y

3 c n 1-Triangle quelconque h a 2-Triangles semblables b m Relation des sinus sin = b sin = c sin Relation des cosinus a 2 = b 2 + c 2-2 b. c. cos b 2 = a 2 + c 2-2 a. c. cos c 2 = a 2 + b 2-2 a. b. cos Superficie S = (a. b. sin )/2 S = (a. c. sin ) /2 S = (b. c. sin ) /2 S= a.sin.sin 2.sin avec p = ½ périmètre =... tan. = 2. Théorème de Thalès = = =k S = S. k 2 accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 3 sur 12 3-Triangle rectangle c 4-Trapèze J b a 5-Polgone de n cotés G S 1 F P K Q E D sin = côté opposé /hpoténuse = b/a cos = côté adjacent/hpoténuse = c/a tan = côté opposé /côté adjacent = b/c = 2 Superficie S 1 = superficie JKQ S = ½. ( b. c) $% =&' 2 (.) 1 tan' 1 tan& + 2 ( '%= &'+$%.sin' 2 ( $&= &'+$%.sin& Somme des angles intérieurs Σ = (n 2). 200 Somme des angles etérieurs Σ = (n + 2). 200 Superficie /0( 2S = /01. /.2 /3( 2 /4( /0( 2S = /01 2 /.. /3(. /4( ase ationale des Sujets d'eamens de l'enseignement professionnel Réseau anopé accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 4 sur 12

4 6-Raccordements circulaires S T 1 7-Secteur circulaire Segment T 1 Triangle H 0 0 r r T 2 T 2 Périmètre du cercle= 2.π. r Superficie du disque = π.r 2 Longueur de la corde T 1 T 2 = 2.r. sin 5 Longueur de l arc = T 1 T 2 = accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 5 sur 12 9:: Longueur de la flèche H = r [r. cos 5 ] Longueur du segment de la tangente ST 1 = ST 2 = r.tan 5 Triangle: S = ½. r 2. sin Secteur: S = 6.7<.8 9:: Segment: S Secteur S triangle 8-Transformations de coordonnées 9-Intersection de deu droites G G G = D.sin G = D.cos G D = [( ) 2 + ( ) 2 ] Gisement tan G = ( )/ ( ) tan= > =. 2 on obtient G avec son signe si 0 et 0 G = G si 0 et 0 G = G si 0 et 0 G = G si 0 et 0 G = G ère méthode : G et D par (,) résolution du triangle angle = G G angle = G - G D et D alcul des (,) de depuis ontrôle : (,) de depuis 2 ème méthode : (formule de Delambre) depuis ( ) ( ). tan G = tan G - tan G = ( ). tan G ontrôle: idem depuis ase ationale des Sujets d'eamens de l'enseignement professionnel Réseau anopé accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 6 sur 12

5 10-Intersection de deu cercles 1 11-Intersection droite - cercle G r r 2 2 r 2 calcul de G 1-2 et D 1-02 par (,) résolution du triangle 1 2 calcul de G 1- puis et par rapport à 1 ontrôle : calcul de G 2- puis calcul de et par rapport à 2 G et D par (,) résolution du triangle 1 1 = r = raon alcul de l angle, angle 1, angle Distance 1 alcul des (,) de 1 depuis ontrôle : alcul des (,) de 1 depuis idem pour le triangle 2 accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 7 sur 12 ht 12-ivellement indirect S 13- orrections des distances Pour obtenir une distance, il conviendra d apporter au mesures de longueurs les corrections suivantes : 1- constante de prisme (donnée constructeur) 2- correction atmosphérique - a- obtenue par lecture sur un abaque (saisie sur le terrain au moment des mesures) 3- correction de pente - p- Dh= Di.sin V 4- correction de réduction à l ellipsoïde - o- ou D+ 5- correction de représentation plane ou de projection - r ou l cette correction varie en fonction de la situation géographique du chantier, elle est obtenue sur «IRE». V Di Dh P hp Δhi Dh = (Di² - Δhi²) Dénivelée instrumentale Δhi Δhi = Di. cos V Δhi = Dh / tan V Dh= Di. sin V H P = H S + ht + Δhi - hp alcul du module :F= G n fie pour une zone de travail un module m tenant compte de la hauteur moenne au dessus de l ellipsoïde (hm) et de la position planimétrique d'un point central du canevas pour déterminer les coefficients k ellipsoïde et kr, en m/km. oefficient de réduction à l ellipsoïde H IJJKLKIF/HF = PQQQ D F + F oefficient d altération linéaire : accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 8 sur 12 F kr lu à l aide du logiciel IRE n déduit un module m par lequel sont multipliées toutes les distances "terrain" préalablement réduites à l'horizontale. F=P+ H IJJKLKI+HG PQQQ Distance réduite à la projection ase ationale des Sujets d'eamens de l'enseignement professionnel Réseau anopé Dr m = Dh m. m

6 14- orrection de niveau apparent Pour des portées supérieures à 300m, il est nécessaire de prendre en compte deu erreurs sstématiques : l erreur due à la sphéricité de la terrestre et l erreur due à la réfraction atmosphérique. es erreurs de sphéricité et de réfraction sont généralement associées en une seule erreur nommée erreur de niveau apparent. La correction globale est appelée correction de niveau apparent na. 15- alcul d une moenne de plusieurs valeurs ette correction est à ajouter à la dénivelée. n utilise généralement l epression simplifiée suivante T PU,T vec na en mètre, et Dh en km oenne arithmétique : valeur 1+ valeur valeur n oenne des valeurs = n avec : n = nombre de valeurs prises en compte oenne pondérée : Σ Vi. pi oenne des valeurs = Σ pi avec : V = valeur (longueur, angle, etc.) pi = poids attribué à la valeur i accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 9 sur Relèvement sur 3 points: méthode du barcentre 17-Relèvement sur 3 points: méthode de Delambre G c γ G S b a G S est inconnu et stationné, et sont trois points connus + + γ = 400 gon et + + = 200 gon 1 W= tan 4( tan 4( 1 W= tan 4( tan 4( 1 W= tan 4( tan 4( γ ma. + mb. + mc. S = ma + mb + mc ma. + mb. + mc. S = ma + mb + mc est inconnu et stationné, et sont trois points connus tan= [\ = ]^_`a_ b cde g4^_`a_ h cdei g3j b4j h k G = G + ]^l`al b cde g4^l`al h cdei g4m b4m h k 2 \ =2 [ + m`4m b 4j`4j b.nopq br nopq br 4nopq`r. \ =. [ +2 \ 2 [.st= [\ ase ationale des Sujets d'eamens de l'enseignement professionnel Réseau anopé accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 10 sur 12

7 18- hangement de base : passer d un sstème particulier (ou sstème local) à un sstème général o E D Eo vec sur le schéma : Go E = sstème général = sstème local et = coordonnées dans le sstème local E E et = coordonnées dans le sstème général G = gisement dans le sstème général gab = gisement dans le sstème local E E Eléments connus : - Les coordonnées et des points et sont connues dans le sstème local - Les coordonnées E et des points o et sont connues dans le sstème général. vec le gisement de l ae connu dans le sstème général : G' = G - g Eléments cherchés : E = E + Δ. sin Go' Δ. cos Go' = + Δ. cos Go' + Δ. sin Go' Soit pour un cas général En = E(n-1) + Δ. sin Go' Δ. cos Go' n = (n-1) + Δ. cos Go' + Δ. sin Go' avec Δ = n (n-1) et Δ = n (n-1) vec le gisement de l ae connu dans le sstème général : G' = G - g En = E(n-1) + Δ. cos Go' + Δ. sin Go' n = (n-1) + Δ. cos Go' - Δ. sin Go' accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 11 sur le G0 (ou V0): 300,000gon 200,000gon oenne arithmétique : GoSt200-Ref1 + GoSt200-Ref2 + GoSt200-Ref3 Go St200 = oenne pondérée : G0 100,000gon (G0St-Ref1. L1) + (G0St-Ref2. L2) + (G0St-Ref3. L3) Go moen St200 = L1 + L2 + L3 0,000 du limbe Lecture sur Ref1 Gis St-Ref1 Ref 1 Le G0 (ou V0) d une station est le gisement du zéro du limbe de l appareil : gisement de la droite passant par le centre du limbe et la graduation «zéro» de ce limbe. G0 station = Gis St-Ref1 lecture sur Ref1 Le Go moen Pour obtenir une précision satisfaisante de l'orientation de la station (et la contrôler!) plusieurs références connues en coordonnées sont visées. Il faut alors calculer un G0 moen à partir des différents G0 obtenus. Deu méthodes sont alors possibles: a - Go moen par moenne arithmétique : si les visées sont sensiblement d égales longueurs. avec n = nb de visées Σ Go St-Ref i Go moen St = n b - Go moen par moenne pondérée : si les visées sont d'inégales longueurs La pondération est alors proportionnelle à la longueur de chaque visée. Remarque: plus une visée est longue plus son orientation angulaire est précise. Σ ( G0 St-i. Li ) Go moen St = Σ Li ase ationale des Sujets d'eamens de l'enseignement professionnel Réseau anopé Ref3 L3 Ref2 L2 St 200 G0 L1 0 du limbe Ref1 avec : G0 St-i = différents G0 calculés depuis la station Li = longueur de chaque visée accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 12 sur 12