Examen d algèbre. L1S2. Licences PSI.

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1 VERSION A Examen d algèbre. LS2. Licences PSI. Nom, prénom, groupe : Consignes (à lire absolument). Tout document et appareil électronique (notamment votre téléphone portable) doivent rester dans votre sac. Il y a une horloge disponible en face de vous. Répondez sur l énoncé. Tous les cadres sont à remplir : ils ont tous une taille suffisante. Les petits cadres,,... sont destinés à des petites réponses oui, faux, 3... Il est inutile de mettre des justifications quand elles ne sont pas demandées. Il est inutile d écrire les étapes de calcul. Si vous voulez changer votre réponse, barrez clairement et réécrire dans le même cadre ou à côté de ce cadre. Vous pouvez aussi redemander un nouvel énoncé. Lisez attentivement chaque exercice jusqu au bout : une aide est parfois proposée. Il n y a peu de calculs difficiles. N hésitez pas à sauter un exercice qui vous parait trop dur ou trop long. Le barème est indiqué sur chaque exo (ex : signifie que l exercice comporte 3 cadres et que chaque cadre peut rapporter 3 points). Pour les QCM, c est point par bonne réponse, - par mauvaise, et 0 si on ne se prononce pas. Les QCM peuvent comporter plusieurs bonnes réponses et plusieurs mauvaises réponses. Le barème est sur XX points. Vous n avez pas le même sujet que votre voisin. Bon courage. 2 Début Exercice 2. Dans tout cet excercie, nous travaillons dans R 3. On peut dire que x (a). L ensembles des vecteurs y tel que x y + y = est un s.e.v. z (b). est dans vect( 0 0, (c). est dans le plan d équation x y = 0. 0 (d). La somme de deux différentes droites vectorielles est un s.e.v de dimension 2. (e). L intersection de deux plans vectoriels est une droite vectorielle. (f). Si w est un vecteur non nul orthogonal à un plan P = vect(v, v 2 ), alors (w, v, v 2 ) forme une base de R 3. (g). La seule base du s.e.v. {0} est constituée du vecteur nul. (h). L intersection de 2 s.e.v. de dimension 2 ne peut pas être R 3.

2 VERSION A 2 Exercice 2.2 On pose v =, v 2 = 0, v 3 =, w = 0. Quel est nombre de solutions du système linéaire 2 xv + yv 2 = w (les deux inconnues sont x et y)? Ce système n a aucune solutions Le vecteur w appartient-il à vect(v, v 2 )? Justifiez brièvement. (on ne demande pas le détail des calculs). Non. Si le vecteurs w appartennait à vect(v, v 2 ), il serait combinaison linéaire de (v, v 2 ), donc il existerait x, y tel que w = xv + yv 2, donc le système aurait une solution. Combien de solutions à le système linéaire xv + yv 2 + zv 3 = w (les trois inconnues sont x, y et z).? Ce système a une unique solutions Donnez les coordonnées de w dans la base (v, v 2, v 3 ). Les coordonnées sont (, 0, 2). (on ne demande pas le détail des calculs). Exercice 2.3 Soient S et T deux s.e.v. de R d. On peut dire que: (a). S + T est l ensemble des vecteurs qui s écrivent comme la somme d un vecteur de S et d un vecteur de T. (b). Si S = {0} alors S + T = T. (c). Si S = R d alors S + T = S. (d). S + T est toujours inclus dans S T. (e). S + T est toujours inclus dans S T. (f). Si S T alors S + T = T. (g). Si S T alors S + T T. Exercice 2.4 Considérons la matrice A = Notons S l ensemble des solutions du système linéaire AX = 0. L ensemble S est un sous-espace-vectoriel de R d avec d = 6. Donnez la base standard de S.

3 VERSION A Exercice 2.5 Considérons les deux s.e.v. de R 3 suivants : ou faux : S = vect( 0, 0 ) S 2 = vect( 0 2 2, 0 ) (a). On a S = S 2. (b). S et S 2 sont des droites. ( 0 (c). La base standard de S est donnée par 0, ). 2 (d). L équation standard de S sont donnée par x 2y + z = 0. Donnez les équations standards de S S 2. [ ] x 2y +z 0 y z = [ ] 0 0 Exercice 2.6 (2+3) On rappelle qu une matrice antisymétrique est une matrice A telle que A = A. Que valent les coefficients diagonaux d une matrice anti-symétrique? Justifiez. Ils valent 0. En effet, puisque A = A on a A ii = (A ) ii = A ii. il n y a qu un seul scalaire qui est égal à son opposé, c est zéro. Ecrire la matrice antisymétrique A M 3 (R) telle que A i,j = 2i j pour j > i.

4 VERSION A Barème : - points par erreur. Exercice 2.7 Donnez la définition d une base orthonormale de R d. Considérons (e,..., e d ) une telle base. Considérons v = (e,..., e d ). Démontrez que d i= v2 i = d propriétés du produit scalaire que l on utilise. i= λ2 i v. Notons ṽ =.. v d λ d. On soignera bien la présentation; en indiquant en particulier les λ l écriture de v dans la base

5 VERSION A 5 Aide : on rappelle que, par définition des coordonnées, on a v = λ e e d. Calculez alors v, v de deux manière différentes. Exercice 2.8 Soit A m la matrice réelle A m = m m m (m étant un paramètre). Les questions suivantes peuvent être traîtées de manière indépendante. ) Calculer det(a m ). Pour quelles valeurs de m, la matrice A m est inversible? (on ne demande pas ici de calculer l inverse). det m m = m det 0 m = (m ) 0 m 0 Ainsi: A m est inversible det A m 0 m.

6 VERSION A 6 2) Résoudre le système linéaire réel: A m x 3 y = 2 z 3 3 m m 2 0 m 2 3m m 0 m 0 2 si m = alors la dernière équation est 0 = 2, donc le système n a aucune solution. 2 m Si m, la solution unique est 3m m 3m 3) Quelle est la matrice inverse de A m quand m? (donnez uniquement le résultat). m m) m 2 m ( m 0 m (m + ) 4) Pour m, et a, b, c des nombres réels quelconques fixés, résoudre x a A m y = b z c La solution unique est A m ( m a b soit: c m)a +b +m 2 m a + (m + )a b c m c m c

7 VERSION A 7 a Exercice 2.9 Soit a R. On définit la matrice M a = a. a Calculer le déterminant de M a. det M a = a a a a = a a Factoriser det M a sous la forme: det M a = (a ) 2 (a + 2) a On définit les vecteurs v =, v 2 = a et v 3 =. Et on note V = vect(v, v 2, v 3 ). a Pour quelle(s) valeur(s) de a, a-t-on dim V = 3? a, 2 Pour quelle(s) valeur(s) de a a-t-on dim V =? a = En déduire la/les valeur(s) de a telle(s) que dim V = 2. a = 2 Exercice 2.0 On définit les vecteurs suivants dans R v = 2, v 2 = 2, v 3 =, v 4 = (a). Quelle est la dimension de E = vect(v, v 2, v 3 )? Justifier. dim E = 3 car la matrice son déterminant est. (b). Quelle est la dimension de E 2 = vect(v 2, v 3, v 4 )? Justifier est inversible, dim E 2 = 2. En effet, 2v 3 v 2 = v 4, et v et v 2 ne sont pas colinéaires. (c). Donner une (ou des) équation(s) linéaires définissant le sous-espace E 2. x E 2 = { y x y z = 0} z

8 VERSION A 8 Exercice 2. Soit n 2 un entier. On définit la matrice A n de taille n par A ii = pour tout i n A i,i+ = pour tout i n A n, = A i,j = 0 sinon (a). Ecrire A 4 et calculer son déterminant. A 4 = det A 4= (b). Ecrire le développement de 5 selon la premiŕre colonne et en déduire la valeur de det A 5 = ( ) = = ( ) (c). Déduire l expression de det A n en fonction de n. det A n = + ( ) n+. Exercice 2.2 On note e, e 2, e 3 et e 4 les vecteurs de la base canonique de R 4. On définit les sous-espaces vectoriels de R 4 suivants. x S = vect(e ), S 2 = vect(e + e 2, e 3 ), S 3 = { y z R4 y = 0 et z = 0} t Donner les dimensions des sous-espaces vectoriels suivants: (a). dim S = (b). dim S 2 = 2

9 VERSION A 9 (c). dim S 3 = 2 (d). dim S S 2 = 0 (e). dim(s + S 3 ) = 2 (f). dim(s 2 + S 3 ) = 4 (g). dim((s 2 + S 3 ) S )= (h). dim(s 2 + (S 3 S )) = dim S 2 + S = 3