r i h l opérateur qui représente la rotation d angle α autour du vecteur

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1 MOMENTS CINETIQUES ET ROTATION Les transformatons par rotaton, la conservaton du moment cnétque et les technques d addton des moments cnétques ouent un rôle très mportant en spectroscope atomque et nucléare, en phsque des partcules et dans de nombreux autres domanes de la phsque et de la chme. Des tables (épasses) rassemblent les valeurs numérques et les proprétés des coeffcents d addton. On se bornera c à présenter les proprétés générales des rotatons en mécanque quantque et les prncpes de l addton des moments cnétques. On a vu précédemment que pour un sstème de ponts matérels décrts par une foncton d onde ψclq r h l opérateur qu représente la rotaton d angle α autour du vecteur α nl. untare où L = L est le moment orbtal total, somme des moments orbtaux n est e L = r p des dfférents ponts matérels. Comme dans le cas des translatons, nous allons c suvre le chemn nverse. Postulant l exstence d opérateurs untares qu décrvent les rotatons d un sstème dans l espace de Hlbert de ses états, nous allons montrer qu l est possble de défnr le moment cnétque même dans le cas de sstème qu n ont pas d analogues classques.

2 . Quelques proprétés des rotatons Une rotaton dan l espace à tros dmensons est une transformaton qu lasse nvarant un pont et conserve les longueurs, les angles et l orentaton des trèdres. Elle est représentée par une matrce 3x3, orthogonale crr + = h et de détermnant qu agt sur les coordonnées d un vecteur FV ' xi F R R R I xx x x FVxI R V V' V ' Rx R R V G J = V G R R R J G J ' V H K H x Les rotatons forment un groupe ; contrarement aux translatons ce groupe n est pas commutatf (non Abélen). Il est clar sur la fgure suvante que F I HG K J F H G I K J F H G I K J F H G I K J π π π π Rx R R Rx La rotaton R bg θ de l angle θ autour de l axe O s écrt : R θ b g = F G H I J K cosθ snθ 0 snθ cosθ K H K

3 π x π π x x π x x

4 et O se dédusent de la précédente par permutaton Les matrces de rotaton autour de Ox crculare des lgnes et des colonnes. Pour précser les proprétés de commutaton, nous allons utlser des rotatons nfntésmales. La rotaton d un angle nfntésmal ε autour du vecteur untare n s écrt, au premer ordre : V' = V + ε n V Au deuxème ordre on a : F I G J F I b g b g bεg ε ε 0 ε ε R ε = 0 0 ε R ε ε R G = J ε G J ε H G 0 K J x H K F 0 ε 0I b g b g b g b g J G c h On a donc : R ε R ε R ε R ε R I x x = ε 0 0 ε H KJ = dédusent par permutaton crculare des ndces. = F HG ε 0 ε 0 0 ε ε 0 et les deux relatons qu s en I KJ

5 . Rotatons en mécanque quantque Comme pour les translatons, postulons qu l exste une famlle d opérateurs untares b g = D R qu représentent (le terme peut être prs au sens mathématque de la théore des Dn, ε représentatons des groupes) les rotatons de l espace à 3 dmensons dans l espace de Hlbert des états d un sstème. C est-à-dre que s ψ est l état d un obet, ψ = D ψ R R est l état du même obet aant sub la rotaton R et que ces opérateurs possèdent les mêmes règles de multplcaton que les rotatons : D D D RR = R R. La rotaton nfntésmale autour du vecteur nn d x, n, n est représentée par :, Dn b εg= I ε G = I nj nj nj x x + + (La tradton veut que l on note D, de l allemand Drehung, les opérateurs de rotaton) + + DD I n J J, J J+ J J+ = x = x = =. A partr des opérateurs de rotatons on défnt ans 3 observables ndépendantes qu sont les générateurs nfntésmaux des rotatons autour des tros axes. En décomposant une rotaton fne en produt de rotatons nfntésmales on exprme l opérateur de rotaton à l ade des générateurs c est-à-dre : D b φ g = e φ J b g F =,. N. Dn I N nj α e α nj α N H G I K J lm = etc.

6 Voons mantenant les conséquences de la proprété de commutaton sur les observables J. En développant au deuxème ordre en ε, l opérateur de rotaton autour de Ox s écrt D I J ε J xbg= ε ε x x avec les expressons analogues pour D D et. On a postulé que les opérateurs de rotaton dans l espace de Hlbert ont les mêmes règles de multplcaton que les rotatons de l espace à tros dmensons d où :, D ε D ε D ε D ε = D D = D ε I b g b g b g b g c h x x x ce qu s écrt : F ε I J J IF I ε J J I F I J ε J IF I J ε J I I J I x x x x = ε HG KJ HG KJ HG KJ HG KJ où les termes en ε dsparassent et les termes en ε donnent On montre de même que J, J = J x J, J = J x et J, J = J x

7 Les opérateurs J défns comme générateurs nfntésmaux des rotatons vérfent les ˆ ˆ règles de commutaton des moments cnétques ( J, J = J ). Ce sont, par défnton, les proectons du moment cnétque du sstème, qu l at ou non un analogue classque. 3. Rappels des proprétés des moments cnétques On rappelle c les conséquences, étudées en cours, des relatons de commutaton. L opérateur carré du moment cnétque J J J J = + + commute avec J, J et J. Les x x valeurs propres de J sont m. Les nombres et m sont enters ou dem enters. On utlse habtuellement des E.C.O.C. qu contennent les deux opérateurs J et J ; cec permet de défnr des bases de vecteurs propres de ces E.C.O.C. dont les vecteurs sont notés α, m,, α smbolsant les valeurs propres de toutes les observables autres que J et J qu font parte de l E.C.O.C. J α,, m = + α,, m J α,, m = mα,, m b g Le sous-espace qu correspond à des valeurs données de et m est de dmenson +, m prenant toutes les valeurs comprses entre et +. On peut construre les vecteurs de base de ce sous-espace à partr de l un d entre eux à l ade des opérateurs J = J ± J ± x b g b g J ± α,, m = + m m± α,, m±

8 Une telle base est appelée base standard. 4. Transformaton des observables, conservaton du moment cnétque Une rotaton des apparels de mesure est représentée par une transformaton de l observable assocée O. Sot R(rotaton de α autour de n ) la rotaton de l apparel. La transformaton de O s écrt : R α nj O O D OD + = = e Oe R R R. α nj. Une observable est nvarante par rotaton (on dt auss scalare) s : O O R Cec mplque qu elle commute avec les tros composantes du moment cnétque : OJ, = 0 = x,, R = S le Hamltonen est nvarant par rotaton, les J commutent avec lu et par conséquent avec l opérateur d évoluton. total L nvarance du Hamltonen par rotaton mplque la conservaton du moment cnétque J. 4.. Observables scalares, observables vectorelles Les termes scalares et vecteur n ont pas la même sgnfcaton en Mathématques et en Phsque. Pour un phscen, une grandeur scalare est une grandeur nvarante par

9 rotaton, l énerge par exemple. Une grandeur vectorelle V est un trplet de grandeurs dvx, V, V qu se transforment dans une rotaton suvant la règle donnée en. ; par exemple l mpulson, le champ électrque... (On classfe, sous le nom de tenseurs, les grandeurs phsques par leurs proprétés de transformaton sous les rotatons. Les vecteurs sont les plus smples, après les scalares). En mécanque quantque, l est possble de caractérser les grandeurs vectorelles par les règles de commutaton, avec le moment cnétque total, des observables qu leur sont assocées. Consdérons un sstème décrt par un ket ψ sur lequel on effectue la mesure d une composante d une observable vectorelle : V. La valeur moenne de cette mesure est V = ψ V ψ Sur le même sstème aant sub une rotaton R la valeur moenne est : ' + V = ψ D VD R R D après la défnton d une grandeur vectorelle on dot avor également la relaton vue en. V ' = R V Prenons l exemple d une rotaton nfntésmale de ε autour de O : premer ordre en ε b g b g ψ + D ε V D ε = V + ε J, V b g =. Au D ε I ε J

10 D autre part, touours au premer ordre en ε l dentfcaton de relatons entre opérateurs : R bεg = F H G ε 0 ε I K J ' + V = ψ D VD ψ et V ' R V =, valable pour tout ψ, donne les R R R S T = x V x + ε J, V x = V x ε V = V + ε J, V = ε V + V = x V + ε J, V = V x On vot donc que les observables vectorelles sont caractérsées par les relatons de commutaton : J, V = V J, V = V J, V = 0 x x x et les relatons analogues pour J J x et qu se dédusent des précédentes par permutaton crculare des ndces. On peut vérfer que ces règles de commutaton entraînent la bonne

11 lo de transformaton de, r p, L, J... sont des observables vectorelles. On peut auss obtenr à partr des relatons de commutaton précédentes, un résultat ntutf : le produt scalare VU. = VU VU VU x x + + de deux observables vectorelles est une observable scalare. Cec permet d dentfer smplement certans Hamltonens nvarants par rotaton comme par exemple LS. ou S. S. V dans des rotatons fnes et que 4.. Opérateurs tensorels, théorème de Wgner-Eckart On peut caractérser, de façon analogue, par leurs los de transformaton sous les rotatons des ensembles d observables appelées observables tensorelles. Un des ntérêts de cette classfcaton est que les éléments de matrce de ces opérateurs dans une base standard peuvent se calculer en foncton d un pett nombre de paramètres grâce au théorème de Wgner-Eckart. Dans le cas partculer des opérateurs vectorels, on peut énoncer ce théorème de la façon suvante : Dans un sous-espace propre de dmenson b + g ( et α fxés) d une base standard mα, m, r, les matrces qu représentent les composantes d un opérateurs vectorel sont proportonnelles aux matrces qu représentent les composantes de J ~ ~ V = v α, J b Le coeffcent v étant le même ~ pour les tros composantes. Nous utlsons la notaton V (et non V ) pour nsster sur le fat qu l s agt d une relaton entre matrces + + b g b g et non entre opérateurs. g

12 C est l orgne de la relaton µ = γ J entre moment magnétque et moment cnétque. 5. LE SPIN Tros phscens dscutent de la manère optmale de mettre en évdence des effets de spn dans les collsons de protons à l accélérateur d Argonne (USA) Uhlenbeck (à gauche) et Goudsmt (à drote)

13 L EXPERIENCE DE STERN (9) ET GERLACH (9-9) O.Stern : Zetschrft für Phsk 7,49,(9). W.Gerlach and O.Stern : Zetschrft für Phsk 9,34,(9) Un et atomque d atomes d argent est éms d un four (température 000K ) collmaté par une ouverture de 0,mm. Ce et passe ensute dans l entrefer d un électro-amant présentant un fort gradent de champ et les atomes se drgent vers un écran où ls sont détectés (fg.). Le fat que la traectore des atomes sot dévée par le champ magnétque lasse supposer qu ls sont porteurs d un moment magnétque permanent M. Sot un atome de moment magnétque M soums à un champ magnétque B nhomogène. Il est par conséquent soums à un couple Γ= M B bg qu le fat précesser rapdement autour du champ et à une force F = dm.. B bg qu tend à le déplacer. La composante de cette force suvant un axe s écrt : F = M B = Mx + M + M x B B B (. ) ( 3) Fgure

14 bg bg Supposons que B B u 4. M est alors constante et S l on prend l orgne des axes et l orgne des temps à Mx et M subssent une varaton snusoïdale très rapde et l entrée de l atome dans l entrefer, son mouvement s écrt : leur valeur moenne au cours du temps e Rx = vt Mx et Mest nulle. Dans ces condtons l équaton bg S F 3 montre que : F M B m t = T = b5g l L atome sort de l entrefer à l nstant t = ; l contnue alors v L observaton du déplacement d un atome sous l acton d un son mouvement en lgne drote, mas l a été dévé de l angle champ magnétque nhomogène peut donc fournr une d F t F l mesure de la composante longtudnale M (parallèle au α tel que : tanα = = =. La tangente à la parabole dx mv mv champ magnétque) de son moment magnétque. au pont d abscsse l coupe la tangente à l orgne au pont La condton (4) est respectée au meux (l équaton de Maxwell. B d abscsse l. S on appelle D la dstance entre le mleu de = 0 devant être satsfate!) de la façon suvante : les pèces polares de l amant ont une forme clndrque l entrefer et l écran sur lequel on recuelle les atomes, leur dont les génératrces sont parallèles à la drecton Ox du et et pont d mpact se trouve déplacé de la dstance : de ce fat : B 0, d autre part, le gradent du champ Z = F ld x mv suvant est très mportant et enfn, s le et est ben dans le S T est la température de la vapeur et k plan de smétre xo, B la constante de B 0. La force résultante moenne Boltmann, la vtesse v est la vtesse quadratque moenne : kt B v = s exerçant sur les atomes du et se rédut alors à (5) et dans 3. On en dédut le déplacement le plus probable au m ces condtons le et atomque est dévé dans le plan xo. pont d mpact des atomes (maxmum de densté de la tache à Un atome du et, anmé ntalement de la vtesse v parallèle à Ox et soums à l acton de la force constante (5) (on peut F donnée) : Z F ld M B ld = = 3kT kt montrer que la force de pesanteur est c néglgeable) sut à B 3 bg 6 B l ntéreur de l entrefer une traectore parabolque. Toutes les quanttés qu fgurent dans cette expresson sont

15 Ce qu condut à la concluson qu l n exste que deux valeurs possbles pour M. M est quantfée. En 9 et en 9 les conclusons de l expérence se lmtaent là, pusqu l faudra attendre 95 que Uhlenbeck et Goudsmt ntrodusent le spn pour pouvor exploter la M proportonnalté du moment magnétque M et du spn S : = γ S où γ est le rapport gromagnétque et comprendre le fat que deux taches seulement sont observées dans cette expérence (très dffcle à réalser à l époque). (S le moment cnétque orbtal avat été la grandeur pertnente, les expérmentateurs auraent dû observer un nombre mpar de taches).

16 L EXPERIENCE DE STERN (9) ET GERLACH (9-9)

17 Détal des pèces polares produsant Otto Stern (9) Gerlach (9) le gradent de champ magnétque Sgnal expérmental obtenu par Otto Stern A gauche, en l absence de gradent de champ A drote, en présence d un gradent de champ Drecton de l axe O

18 b g qu est l équvalent Dans le cas d un pont matérel décrt par une foncton d onde ψ r α nl. d un sstème classque, l opérateur de rotaton est e où L = r p est le moment cnétque orbtal. On vot donc que, comme en mécanque classque, un pont matérel au repos est nvarant par rotaton. La défnton plus générale du moment cnétque que nous venons de donner permet d magner que l état d une partcule au repos pusse ne pas être nvarant par rotaton, que la partcule au repos pusse posséder un moment cnétque ntrnsèque (cec revent à dre que les proprétés de transformaton par rotaton ne sont pas détermnées par les proprétés de transformaton par translaton). Cette possblté de la mécanque quantque est largement utlsée par la Nature et la plupart des partcules élémentares connues possèdent un moment cnétque ntrnsèque, leur spn. L état d une telle partcule ne peut pas être décrt dans un espace de fonctons d onde de la poston ; l faut utlser le produt tensorel de l espace des fonctons d onde ψbr g par un espace de spn. La dmenson s + g(avec s enter ou dem enter) de cet espace défnt le spn de la partcule. b α nj α nl α ns... Un opérateur de rotaton s écrt alors e = e e. Les opérateurs L sont les opérateurs du moment cnétque orbtal, agssant dans l espace des fonctons d onde, qu «font tourner» les caractérstques spatales de la partcule. Les opérateurs S agssent dans l espace à bs + gdmensons qu décrt le moment cnétque ntrnsèque ; ls «font tourner» ce moment cnétque et, éventuellement le moment magnétque ntrnsèque qu lu est assocé. Le moment cnétque total de la partcule est J = L+ S.

19 L EXEMPLE DU SPIN L espace de spn le plus smple est de dmenson ; l décrt les états d une partcule de spn. En prenant pour base les états propres de. des opérateurs S et S sur ces vecteurs de base montre que : + S F = S H G 0 I K J F = H G 0 0I et K J Les opérateurs de moment cnétque sont donc S F σ x = σ σ H G 0 I 0 K J = 0 0 F HG R F S : + = H G I K J F = H G 0 S T I K J U V 0 W et. L acton = σ où les σ sont les matrces de Paul I F = KJ HG 0 I KJ 0 Les opérateurs de rotaton sont eux auss des matrces x. S étant dagonal la matrce de rotaton autour de O est dagonale : b g φ σ = = = φ S D φ e e F GG H e φ 0 e 0 φ I JJ K

20 L opérateur de rotaton autour de O s obtent en développant l exponentelle en sére et en remarquant que σ p p I σ I σ + = = et = σ F θ θ θ n cos sn D σ F I θ n θ θ I bg= θ e = σ cos I sn σ n n! HG K J = = G J θ θ sn cos HG KJ θ matrce de rotaton s écrt : φ φ F θ θ e e x DbφgDbθg cos sn φ = φ φ θ θ e e HG sn cos φ F θi F e cos e Les deux états propres transformés de + et sont donc e e HG φ et θ KJ HG sn Rotaton Rotaton A ttre d exemple nous pouvons utlser ces matrces pour construre les états propres de Sn. ( n vecteur untare de coordonnées polares θ et φ ) en remarquant (cf. fgure c-contre) qu ls se dédusent des états propres de S par une rotaton de l angle θ autour de O suve d une rotaton d angle φ autour de O. La I KJ φ φ θ sn θ cos I KJ

21 On peut vérfer qu ls sont ben vecteurs propres de cosθ snθ e σ. n = cos θ σ + sn θ sn φ σ + sn θ cos φ σ x = HG φ snθ e cosθ 6. Addton des moments cnétques La noton d addton des moments cnétques est une noton habtuelle en mécanque classque. Le moment cnétque total du sstème solare, par exemple, est la somme des moments cnétques orbtaux du mouvement des planètes autour du Solel est des moments cnétques propres dus à la rotaton des planètes (et du solel lu-même) autour de leurs centres. La même noton s applque à un sstème atomque, nucléare ou de partcules élémentares. Le moment cnétque total est la somme des moments cnétques orbtaux et des spns (moments cnétques ntrnsèques) des composants. En mécanque quantque les moments cnétques sont des trplets d opérateurs J, J, J x qu agssent sur l espace de Hlbert des états du sstème. Leur défnton comme générateurs nfntésmaux des rotatons peut ader à comprendre la façon dont ls opèrent. Sot Σ= ε r s fonctons d ondes ψ r ε l espace des états d un ensemble de partcules, où ε r est l espace des b g de la partcule et ε s l espace de ses états de spn. Les opérateurs L et l opérateur de rotaton e α nl. de moment orbtal agssent dans l espace ε r. L opérateur de rotaton «fat tourner» les caractérstques spatales de la partcule. Les F φ I KJ

22 opérateurs de spn S et l opérateur de rotaton e α ns. agssent dans ε s. L opérateur de rotaton «fat tourner» le spn de la partcule. L opérateur L qu agt dans ε r peut être consdéré comme un opérateur agssant dans Σ sous la forme : L I I. L opérateur qu représente une rotaton de l ensemble du sstème est : nl ns α. α. α nj. e e e avec J L S = = F H + J sont quantfées et prennent les valeurs + On sat que les valeurs propres de g Le problème de l addton des moments cnétques en mécanque quantque consste à détermner, connassant les valeurs propres de J et J, les valeurs propres possbles de J, F H J = J + JI K et à construre une base d états propres de J et J à partr du produt tensorel des bases d états propres de J J J J et et de et. Consdérons deux sstèmes ndépendants de moment cnétque J et J. Pour alléger les notatons nous supposerons que J J et forment un E.C.O.C. pour le premer sstème et que J et forment un E.C.O.C. pour le second. Les vecteurs, m forment donc une J base pour l espace ε des états du premer sstème ; les vecteurs, m une base de ε. L espace de Hlbert des états du sstème total est Σ = ε ε dont les vecteurs, m, m =, ; m, m I K b

23 forment une base. J = J + J est le moment cnétque total. Les opérateurs J et J commutent pusqu ls agssent dans des espaces dfférents ; ls commutent avec J et J pusqu ls sont scalares. Les quatre opérateurs J J,, J et J commutent donc entre eux. Nous allons montrer qu ls forment un E.C.O.C. en construsant leur base propre : n,, ; m, ms. Plaçons nous dans le sous espace propre de dmenson b + gb + g qu correspond aux valeurs propres et. Sot m la valeur propre de J. Tout élément de la base factorsée, m, m =, ; m, m est vecteur propre de J avec la valeur propre m = m + m. On vot sur la fgure c-dessous que le valeur maxmum de m est + qu correspond au vecteur,,. Ce vecteur est vecteur propre de J avec la valeur propre = +. En effet J,, = J,, +, J, = d d ce qu mplque (d après la relaton J ±, m = + m m±, m± propre de J avec = m = +,, =, ; +, + En applquant l opérateur J on obtent les, ;, m pour = + b g b g ) que c est un vecteur b + g vecteurs de base

24 Le sous espace propre de J assocé à la valeur propre m = + est de dmenson (vor fgure). Sot χ le vecteur de ce sous espace orthogonal à, ; +, + et normalsé à. Le vecteur J + χ appartent à ε ε ; ce ne peut pas être le vecteur,, pusque,, J + χ =, ; +, + χ = 0. On a donc J + χ = 0. C est-à-dre (touours d après la relaton J, m m m, m, ;,. b g b g ) χ = + + ± = + ± ± m En applquant l opérateur J on obtent les + vecteurs de base, ;, m pour = +. On peut ans, de proche en proche, construre la base, ;, m. m Comme la dmenson du sous espace propre de J assocé à m (nombre de cercles sur la fgure) augmente de quand m dmnue de et que m +, le processus peut contnuer usqu à =. En remarquant que + b + gb + g = b + g = on vot que la base obtenue est alors complète. On obtent ans le théorème fondamental :

25 Théorème fondamental b gb g dmensons sous tendu par les vecteurs Dans l espace à + +, ; m, m =, m, m (, fxes : m, m varables), l exste une base de vecteurs m propres,,, mrdu moment cnétque total. Les valeurs possbles de sont telles que + A chacune d elle correspond une et une seule sére de b + g vecteurs propres,,, m m b g En terme mathématque, on peut écrre ce résultat sous la forme compacte = + ε ε = ε = En terme plus phsque on peut remarquer que la premère parte du théorème n est ren d autre que l négalté trangulare qu assure qu un vecteur de longueur peut être la somme d un vecteur de longueur et d un vecteur de longueur

26 Les éléments de la matrce de passage de la base, ; m, m appelés coeffcents de Clebsch-Gordan. m r à la base, ;, m, ;, m =, ; m, m, ;, m, ; m, m m = m = m r sont On chost les conventons de phase dans la défnton des bases standard de façon à ce que ces coeffcents soent réels. Nous donnons c-dessous leurs valeurs dans le cas où l un des deux moments cnétques vaut. Rappelons, pour ader la lecture de la table, que l on a touours m= m + m., ; m, m,,, m = m = m = = + = + m+ + m+ + m+ + + m+ +

27 Exemple : Addton de deux spn Notons S = S + S le spn total, s sa valeur propre. Les valeurs possbles sont s = R S T En utlsant la table de coeffcents on construt les états propres sm, R S T, 0, = + + +, = 00, = + + = + + où l on a noté ± les deux états d un spn. L état trplet s = est smétrque dans l échange des deux spns, l état sngulet s = 0 est antsmétrque. 7. Applcaton : Clvage par une perturbaton d un nveau dégénéré Lorsqu on aoute au Hamltonen H 0 d un sstème un Hamltonen de perturbaton h qu représente une correcton à l énerge, un nveau d énerge dégénéré de H 0 peut être décomposé en sous nveaux non dégénérés par l effet de la perturbaton. 0.

28 Au premer ordre en h, les correctons aux énerges propres sont les valeurs propres de la matrce qu représente h dans le sous espace propre de H 0. Les états propres sont les vecteurs propres de cette matrce. Lorsque H et h 0 sont nvarants par rotaton, on peut écrre, pratquement sans calcul, le résultat de la méthode des perturbatons en remarquant que les états propres de H = H + h 0 peuvent être cherchés parm les états propres de J et J. Interacton. LS Cette nteracton entre le moment cnétque orbtal et le spn est responsable de la structure fne des atomes monovalents ; elle oue auss un rôle mportant en phsque nucléare et subnucléare. h = α L. S LS. est un opérateur scalare. Les états α,,;, valeurs propres s obtennent en utlsant l dentté : J = F L+ S L S L. S H I = + + K Ce sont ε ls,,= α + l l + s s+ lsm sont donc états propres de h. Les b g b g b g où peut prendre les valeurs l s l s +.

29 Interacton S. S cette nteracton est responsable de la structure hperfne des spectres atomques et en partculer de la célèbre rae de cm de l hdrogène. h = α S. S est nvarant par rotaton. Il est même nvarant dans des rotatons qu n agraent que sur les espaces de spn pusque les moments orbtaux n ntervennent pas. Il est donc dagonal dans la base des états propres de S et S F S = S + S H I K, comme on peut le vérfer en écrvant S. S = LS S SO Dans le cas de deux spns, les valeurs propres sont ε s= α ss+ ε= α 4 pour l état trplet α bs = g et ε= 3 pour l état sngulet bs = 0g. 4 NM QP L NM 3 b g O, c est-à-dre QP Wgner A. Clebsch P. Gordan

30 Tables de coeffcents de CLEBSCH-GORDAN Notaton J J... M M... m m m m coeffcent sans... Note : la racne carrée s'applque à chaque coeffcent dans ces tables. Par exemple - dot être lu. On démontre la proprété suvante pour ces coeffcents : J ( ), m,, m, ; J, M =, m,, m, ; J, M Correspondance avec les smboles 3 de Wgner ( ),,,, ;, + M J m m J M = m m M smbole 3 de Wgner Correspondance avec les coeffcents de Racah J+ M, m,, m, ; J, M = ( ) V(,, J; m, m, M) coeffcent de Racah

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