Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière
|
|
- Éloïse Lévesque
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Exercices - Les ombres réels : corrigé Exercice 1 - Ordre et R - L1/Math Sup - 1. Supposos que a 0 et posos ε = a /2 > 0. Alors o a a < ε = a /2, soit e simplifiat par a qui est positif, 1 < 1/2. Ceci est absurde, et doc a = O raisoe là aussi par l absurde, et o suppose que a > b. Mais alors, o peut trouver u réel x ]b, a[. Ce réel x satisfait b < x et pourtat x < a, ce qui cotredit ce que l o sait sur a et b. C est doc que a b. Valeur absolue - Partie etière Exercice 2 - Partie etière et somme - L1/Math Sup - Des iégalités E(a) a < E(a) + 1 et E(b) b < E(b) + 1, o e déduit E(a) + E(b) a + b < E(a) + E(b) + 2. Or, E(a + b) est le plus grad etier tel que a + b. Puisque E(a) + E(b) a + b, o e déduit qu E(a) + E(b) E(a + b). De même, E(a + b) + 1 est le plus petit etier m tel que m > a + b. Puisque E(a) + E(b) + 2 > a + b, o e déduit E(a) + E(b) + 2 E(a + b) + 1, ce qui est l autre iégalité demadée. Exercice 3 - Produit et divisio - L1/Math Sup - D ue part o a E(x) x doc E(x) x et puisque la foctio partie etière est croissate : ( ) E(x) E E(x). D autre part, o a E(x) x doc E(x) x ou ecore E ( E(x) ) E(x). Maiteat, puisque E(x) est u etier, E ( E(x) ) = E(x) et doc E(x) E(x). E repreat la partie etière de cette iégalité, o trouve ( ) E(x) E(x) E ce qui est l autre iégalité désirée. Exercice 4 - Somme de parties etières - L1/Math Sup - O sait que E(x) x < E(x) + 1. Plus précisémet, soit p {0,..., } l uique etier tel que E(x) + p (p + 1) x < E(x)
2 Exercices - Les ombres réels : corrigé Pour 0 k p 1, o a E(x) x + k < E(x) + p p 1 = E(x) + 1. E particulier, pour ces valeurs de k, E(x + k/) = E(x). D autre part, pour k [ p, ], o a E(x) + 1 = E(x) + p + p E(x) + k x + k < E(x) k E(x) + 2. Aisi, pour ces valeurs de k, o a E(x + k/) = E(x) + 1. O e déduit que 1 k=0 E(x + k/) = ( p)e(x) + p(e(x) + 1) = E(x) + p. Or, de l iégalité E(x) + p/ x < E(x) + (p + 1)/, o déduit E(x) + p x < E(x) + p + 1. Autremet dit, o a E(x) = E(x) + p, ce qui achève la preuve. Exercice 5 - Ue somme - L1/Math Sup - L idée est très simple. Etre deux carrés parfaits cosécutifs, la valeur de E( k) est coue. Plus précisémet, si 2 k < ( + 1) 2, alors E( k) =. De plus, etre deux carrés parfaits cosécutifs, il y a exactemet ( + 1) 2 2 = etiers. O a doc 2010 k=1 E( k) = = 4 =1 4 =1 (+1) E( k) + E( k) k= 2 k=1936 3(2 = 1) + ( ) 44. O calcule ces sommes, sachat que p =1 2 = p(p+1)(2p+1) 6 et o trouve fialemet que la somme fait Exercice 6 - Egalités et iégalités avec des valeurs absolues - L1/Math Sup - 1. O cherche les réels qui sot à ue distace exactemet égale à 5 de 3. O trouve S = {2, 8}. 2. O cherche les réels qui sot à ue distace iférieure ou égale à 5 de 3. O trouve S = [ 2, 8]. 3. O cherche les réels qui sot à ue distace strictemet supérieure à 7 de 2. O trouve S =], 9[ ]5, + [. 4. 2x 4 chage de sige e 2, et x + 2 chage de sige e -2. O distigue alors 3 cas : Si x 2, alors x + 2 = x 2 et 2x 4 = 2x + 4. L équatio est alors équivalete à 2x + 4 x 2 x 6 ce qui est icompatible avec x
3 Exercices - Les ombres réels : corrigé Si x [ 2, 2], alors x+2 = x+2 et 2x 4 = 2x+4. L équatio est alors équivalete à 2x + 4 x + 2 3x 2 x 2/3. L itervalle qui ous itéresse ici est doc [2/3, 2]. Si x 2, alors x + 2 = x + 2 et 2x 4 = 2x 4, et doc l équatio est équivalete à 2x 4 x + 2 x 6. L itervalle qui ous itéresse ici est doc [2, 6]. Fialemet, l esemble des solutios est S = [2/3, 6]. 5. O factorise x 2 8 e (x 2 2)(x + 2 2). O discute alors comme das la questio précédete, mais suivat 4 cas, si x < 12, si x [ 12, 2 2], si x [ 2 2, 2 2] et si x [2 2, + [. O trouve que l esemble des solutios est S = { 4, 5}. 6. O applique exactemet le même raisoemet, et o trouve que l esemble des solutios est S =], 4[ ]5, + [. Exercice 7 - Avec des racies carrées - L1/Math Sup - Calculos S = (2+ 3) +(2 3) à l aide de la formule du biôme de Newto. O trouve S = = 2 k 3 k + 2 k ( 1) k 3 k k=0 k=0 k=0 2 k (1 + ( 1) k ) 3 k. Maiteat, si k = 2p est pair, alors (1+( 1) k ) 3 k = 2.3 p est u etier pair, et si k est impair, (1 + ( 1) k ) 3 k = 0. O e déduit que S est bie u etier pair, comme somme d etiers pairs. De plus, o a 0 < 2 3 < 1 et doc 0 < (2 3) < 1. O e déduit que S 1 (2 + 3) < S ce qui prouve que la partie etière de (2 + 3) est S 1. C est doc u etier impair. Exercice 8 - Iégalités avec des valeurs absolues - L1/Math Sup - 1. O écrit 2x = (x + y) + (x y) et 2y = (x + y) (x y). Par l iégalité triagulaire, o obtiet 2 x x + y + x y et 2 y x + y + x y. Il suffit de sommer ces deux iégalités pour trouver le résultat voulu. 2. Posos u = x 1 et v = y 1. Alors 1+ xy 1 = 1+ uv+u+v 1+ u + v + uv = (1+ u )(1+ v ) = (1+ x 1 )(1+ y 1 ). 3
4 Exercices - Les ombres réels : corrigé 3. Ue rapide étude motre que la foctio u u x + y x + y, o e déduit que 1+u est croissate sur [0, + [. Puisque x + y 1 + x + y x + y 1 + x + y x 1 + x + y + y 1 + x + y x 1 + x + y 1 + y Bore iférieure - Bore supérieure Exercice 9 - E pratique - L1/Math Sup - Das la suite, o otera A l esemble cosidéré. 1. Les élémets de A sot a, a + b, a + 2b,.... O a alors que A est mioré par a, et puisque a A, c est la bore iférieure de A. A est pas majoré : o e peut avoir a + b M pour tout N, sio o aurait (M a)/b et N serait majoré. 2. Si est pair, a+( 1) b = a+b et si est impair, a+( 1) b = a b. L esemble est doc costitué des deux élemets a + b et a b. Il est doc majoré, mioré, avec sup(a) = a + b et if(a) = a b. 3. Les élémets successifs de A sot a + b, a + b/2, a + b/3,... O voit facilemet que A est majoré par a + b et que A est mioré par a (o a bie a a + b/ a + b pour tout N ). De plus, a + b est élémet de A, et doc sup(a) = a + b. Efi, prouvos que a est la bore iférieure de A. Si c est u miorat de A strictemet supérieur à a, alors pour tout N, o a a + b c b c a. Comme N est pas majoré, c est pas u miorat de A. a est doc le plus grad des miorats de A, c est sa bore iférieure. 4. Les élémets successifs de A sot a + b, a + b/2, a + b/3, a + b/4,.... O remarque que a est u miorat de A, et e utilisat le raisoemet précédet (mais e se limitat aux etiers impairs), o prouve que a = if(a). De plus, o a a + b a + b/ pour tout etier impair et a + b/2 a + b/ pour tout etier pair. max( a + b, a + b/2) est doc u majorat de A. C est aussi u élémet de A, doc c est sa bore supérieure. 5. Les élémets successifs de A sot a b, a + b/2, a b/3,.... O prouve alors que a b est u miorat de A et que a + b/2 est u majorat de A. Comme ils sot tous les deux élemets de A, ce sot respectivemet la bore iférieure et la bore supérieure de A. Exercice 10 - Atteit ou o? - L1/Math Sup - Commeços par A. O a, pour tout, m N, 0 m + 1 m 1 m
5 Exercices - Les ombres réels : corrigé A est doc miorée par 0 et majorée par 1. Motros que if(a) = 0. Si c > 0 est u miorat de A, alors pour tout couple (m, ) N 2, o a c m + 1. Preos = 1, o obtiet c 1 m + 1 m 1 c 1. Comme ceci doit être vrai pour tout etier m 1, c est ue cotradictio car N est pas majoré. Aisi, 0 est le plus grad des miorats de A, et if(a) = 0. Démotros de même que 1 = sup(a). Si d < 1 est u majorat de A, alors pour tout couple (m, ) N 2, o a d m + 1. Pour m = 1, o obtiet d + 1 d (1 d) d 1 d. Cette iégalité est impossible à réaliser pour tout etier, et doc sup(a) = 1. De plus, 0 est pas u élémet de A -c est trivial, et 1 o plus car o a toujours m + 1 > pour, m 1. Étudios désormais B. 0 est toujours u miorat de B, mais cette fois il est aussi élémet de B. O a doc if(b) = mi(b) = 0. De plus, o a N B (choisir m = 0). Aisi, B est pas majoré. Exercice 11 - Bore sup o atteite - L1/Math Sup - O raisoe par l absurde, et o suppose que ]M ε, M[ A est fii. Soit {a 1,..., a p } = ]M ε, M[. Posos a = max(a 1,..., a p ). Alors a < M. O pose δ = M a. O a δ > 0, doc il existe a p+1 A tel que M δ < a p+1 M. O a même a p+1 < M car M / A. De plus, a p+1 > M δ = a M ε. O e déduit que a p+1 ]M ε, M[ et que a p+1 a i, i = 1,..., p. Ceci cotredit l hypothèse iitiale. Exercice 12 - Diverses opératios - L1/Math Sup - 1. Soit m = if(a) et otos M = m. Alors, pour tout a A, o a m a ce qui implique a M. Aisi, M majore A. De plus, soit ε > 0. Alors il existe a A tel que m a m + ε. Multipliat cette iégalité par -1, o trouve que C est bie que M = sup( A). M ε a M. 2. Notos M = sup(a) + sup(b). Soit x A + B, x s écrit x = a + b avec a A et b B. Alors a sup(a), b sup(b) et doc e effectuat la somme, o trouve a + b M. M est doc u majorat de A + B. De plus, soit ε > 0. Alors il existe a A tel que sup(a) ε/2 a sup(a), et il existe b A tel que sup(b) ε/2 b sup(b). Faisat la somme de ces deux iégalités, o trouve Ceci achève la preuve que M = sup(a + B). M ε a + b M. 5
6 Exercices - Les ombres réels : corrigé 3. O peut repredre le raisoemet précédet, ou tout simplemet appliquer le résultat précédet avec B = {x}. 4. Le raisoemet utilisé aux questios précédetes e marche pas ici, car le produit de deux ombres égatifs est u ombre positif. Preos par exemple A = { 1, 0} et B = { 2}. Alors AB = {0, 2} et sup(ab) = 2 sup(a) sup(b) = 0. Le résultat est cepedat vrai si A R + et B R +. La preuve est tout à fait similaire à celle produite u peu plus haut. Exercice 13 - Applicatio à l existece d u poit fixe d ue applicatio croissate de [0, 1] das [0, 1] - L1/Math Sup - 1. E est ue partie o-vide (car elle cotiet 0), et majorée (par 1) de R. Elle admet doc ue bore supérieure que l o ote b. 2. O va raisoer par l absurde pour démotrer que f(b) = b. Si f(b) < b, comme b est le plus petit des majorats de E, f(b) e majore pas E. Il existe doc u élémet c de E tel que f(b) < c b. Mais alors f(c) c > f(b) alors que c b. Ceci cotredit que f est croissate. Si f(b) > b, comme f est croissate, o a f(f(b)) f(b), et doc f(b) E, ce qui est impossible puisque f(b) est strictemet supérieur à la bore supérieure de E. Exercice 14 - Plus petit et plus grad - L1/Math Sup - Fixos a 0 A et b 0 B. Alors, pour tout b B, o a a 0 b et doc a 0 est u miorat de B. De même, b 0 est u majorat de A. Aisi, B admet ue bore iférieure et A admet ue bore supérieure. Supposos par l absurde que sup(a) > if(b), et posos u = sup(a)+if(b) 2. Alors o a if(b) < u < sup(a). E particulier, il existe a A et b B tels que a > u et b < u. O obtiet a > b, ue cotradictio avec les hypothèses. Exercice 15 - Écart - L1/Math Sup - 1. Soiet (x, y) A 2 et soit M R tel que x A = x M. Alors o a ce qui prouve que B est majoré. x y x + y 2M, 2. Posos m = if(a) et M = sup(a). Soiet (x, y) R 2. Alors o a m x M et M y m = (M m) x y M m d où o tire x y M m. O e déduit doc que M m est u majorat de B et que δ(a) M m. Pour prouver l autre iégalité, o fixe ε > 0, et o costruit u élemet b B tel que b > M m ε. Pour cela, o sait qu il existe (x, y) A 2 tels que x M ε/2 et y m + ε/2. Alors x y M m ε, ce qui est le résultat voulu. O a doc bie δ(a) = sup(a) if(a). Exercice 16 - Avec termes - L1/Math Sup - 6
7 Exercices - Les ombres réels : corrigé 1. La première égalité est claire. Pour la secode, o remarque que (x i x j ) 2 0 x 2 i + x 2 j 2x i x j 0 x2 i + x2 j x i x j Preos x 1,..., x das R +. Alors, e développat le produit, o obtiet : ( 1 (x x ) ) = + ( xi + x ) j. x1 x x i<j j x i Chaque terme de la somme est miorée par 2 d après la questio précédete, et il y a ( 2) = ( 1) 2 élémets das la somme. O e déduit que ( 1 (x x ) ) ( ) + 2 = + 2 x1 x 2 ( 1) 2 = 2. Aisi, 2 est u miorat de l esemble. Mais c est aussi u élémet de l esemble. Il est atteit e choisissat x 1 = x 2 = = x = 1. Aisi, 2 est la bore iférieure (et même le miimum) de l esemble cosidéré. Ratioels et irratioels Exercice 17 - Irratioels! - L1/Math Sup - 1. Imagios que x + y soit u ratioel (o ul). Alors, o a x y = x y x + y et doc x y est aussi u ratioel. Écrivat 2 x = ( x + y) + ( x y), o trouve que x est ratioel, ue cotradictio. 2. Imagios que soit u ratioel r > 0. Alors o a = r 5 = = r r 5 et doc r est u ratioel. O raisoe alors comme à la questio précédete pour prouver que la quatité cojuguée r 5 6 = 5r2 6 r est aussi ratioel et doc que 6 l est aussi. C est la cotradictio que l o recherchait! 7
8 Exercices - Les ombres réels : corrigé Exercice 18 - Itervalles et ratioels - L1/Math Sup - Supposos qu il existe a das I J. Puisque a I, itervalle ouvert, il existe r 1 > 0 tel que ]a r 1, a + r 1 [ I. De même, puisque a J, itervalle ouvert, il existe r 2 > 0 tel que ]a r 2, a + r 2 [ J. Posos r = mi(r 1, r 2 ). Alors : ]a r, a + r[ I J. Mais das l itervalle ouvert ]a r, a + r[, il existe toujours u autre ratioel. Ue autre faço de rédiger les choses est de dire que l itersectio de deux itervalles ouverts est ou bie vide, ou bie u itervalle ouvert (questio : quelles sot ses bores?). Das u itervalle ouvert o réduit à u poit, il y a toujours u ratioel. Exercice 19 - Homographie - L1/Math Sup - Supposos que ax+b cx+d soit u ratioel q. Alors o obtiet ax + b = qcx + dq (a qc)x = dq b. Si a qc 0, o obtiet que x = (dq b)/(a qc) est u ratioel comme quotiet de ratioels, ce qui est ue cotradictio. Si a qc = 0, puisque x 0, o a dq b = 0 et doc ad bc = 0, ce qui est là-aussi ue cotradictio. Exercice 20 - Suite de ratioels - L1/Math Sup - 1. Notos M = max(q q m ;, m 0) et posos ε = 1 2M. Si o applique la défiitio d ue suite covergete à (u ) pour cette valeur de ε, alors o trouve qu il existe 0 1 tel que, pour 0, o a u l < ε. E particulier, pour, p 0, o a Or, Aisi, si u u m, o a u u m u l + u m l < ε + ε 1 M. u u m = p q m p m q q q m. u u m 1 q q m 1 M. Ceci cotredit ce que l o a obteu plus tôt, et doc, pour, m p, o a u = u m : la suite est bie statioaire. 2. Si (q ) e ted pas vers +, la suite est statioaire, et a est égal à u des termes de la suite : c est doc u ratioel. Par cotraposée, si a / Q, c est que (q ) ted vers +. Divers Exercice 21 - Sous-groupes additifs de R - L1/Math Sup - 8
9 Exercices - Les ombres réels : corrigé 1. Puisque H est u sous-groupe de (R, +) o réduit à {0}, il possède u élémet h 0. Puisque h est aussi élémet de H, H possède toujours u élémet strictemet positif. Autremet dit, G est ue partie de R o-vide et miorée : G admet ue bore iférieure. 2. Si α / H, alors, par défiitio de la bore iférieure, pour tout ε > 0, il existe u élémet β ]α, α + ε[. Preos ε = α. Alors β α H, car (H, +) est u groupe. De plus, β α > 0. O a doc β α G. Mais o a aussi β α α, puisque α est la bore iférieure de G, ce qui cotredit que β est das l itervalle ]α, 2α[. O a doc α H, et puisque (H, +) est u groupe, o a automatiquemet αz H. Si l iclusio était stricte, o pourrait trouver x H\αZ. Soit k Z tel que O a alors cotredisat à ouveau la défiitio de α. kα < x < (k + 1)α. x kα H et 0 < x kα < α, 3. Il s agit de prouver que, pour tout a R et tout ε > 0, il existe h H ]a ε, a + ε[. Si 0 ]a ε, a + ε[, alors puisque α = 0, il existe h H das ]0, a + ε[, doc das ]a ε, a + ε[. Sio, puisque (H, +) est u groupe et est doc symétrique par rapport à 0, o peut supposer que ]a ε, a + ε[ ]0, + [. Soit β H tel que 0 < β < ε. O itroduit A = { N; β a ε}. Alors A est ue partie de N o-vide (elle cotiet 0) et majorée. Soit N so plus grad élémet, et posos h = (N + 1)β. Puisque N + 1 est pas élémet de A, o a h > a ε. De plus, h Nβ + β a ε + ε a < a + ε. Aisi, h ]a ε, a + ε[, achevat la preuve de la desité de H das R. 9
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailRESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
LO 4 : SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY MTHO OTO. toductio Le théoème de oto va ous pemette de éduie u cicuit complexe e gééateu de couat éel. e gééateu possède ue souce
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailPetit recueil d'énigmes
Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate.
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailSommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9
Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailLa tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison
ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 58 2000 La tarificatio hospitalière : de l eveloppe globale à la cocurrece par comparaiso Michel MOUGEOT * RÉSUMÉ. Cet article cosidère différetes politiques de
Plus en détailRECHERCHE DE CLIENTS simplifiée
RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détailMESURE DE L'INFORMATION
MESURE DE L'INFORMATION Marc URO TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION... 3 INCERTITUDE D'UN ÉVÉNEMENT (OU SELF-INFORMATION)... 7 INFORMATION MUTUELLE DE DEUX ÉVÉNEMENTS... 9 ENTROPIE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailEtude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?
Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailTARIFS BANCAIRES. Opérations bancaires avec l étranger Extrait des conditions bancaires au 1 er juillet 2014. Opérations à destination de l étranger
Opératios bacaires avec l étrager Extrait des coditios bacaires au 1 er juillet Opératios à destiatio de l étrager Viremets émis vers l étrager : Frais d émissio de viremets e euros (3) vers l Espace écoomique
Plus en détailGuide des logiciels de l ordinateur HP Media Center
Guide des logiciels de l ordiateur HP Media Ceter Les garaties des produits et services HP sot exclusivemet présetées das les déclaratios expresses de garatie accompagat ces produits et services. Aucu
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailDonnez de la liberté à vos données. BiBOARD. www.biboard.fr
Doez de la liberté à vos doées BiBOARD www.biboard.fr Le décisioel pour tous Le décisioel évolue. L etreprise quelle que soit sa taille, a besoi de piloter so activité à l aide d outils simples, fiables,
Plus en détailGérer les applications
Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces
Plus en détailRésolution numérique des équations aux dérivées partielles (PDE)
Résolutio umérique des équatios au dérivées partielles (PDE Sébastie Charoz & Adria Daerr iversité Paris 7 Deis Diderot CEA Saclay Référeces : Numerical Recipes i Fortra, Press. Et al. Cambridge iversity
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailOpérations bancaires avec l étranger *
Opératios bacaires avec l étrager * Coditios bacaires au 1 er juillet 2011 Etreprises et orgaismes d itérêt gééral Opératios à destiatio de l étrager Viremets émis vers l étrager : viremet e euros iférieur
Plus en détailLa fibre optique arrive chez vous Devenez acteur de la révolution numérique
2 e éditio Edité par l Autorité de régulatio des commuicatios électroiques et des postes RÉPUBLIQUE FRANÇAISE DÉCEMBRE 2010 La fibre optique arrive chez vous Deveez acteur de la révolutio umérique Petit
Plus en détailLa spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».
Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détail