Causalité au Sens de Wiener Granger, J Paul K., Tsasa

Transcription

1 Causalité au Sens de Wiener Granger, J Paul K., Tsasa One pager Avril 2013 Vol. 6 Num. 002 Copyright Laréq Causalité au Sens de Wiener Granger Test, Théorèmes et Précautions face aux Fausses Relations Causales «Il est vrai que la définition d'une relation causale au sens de Granger, ne coïncide pas, en général, avec la définition habituelle donnée par les économistes, à savoir : une relation qui est invariante par rapport aux interventions sous la forme de changements imposés dans les processus qui régissent les variables qui causent.» Thomas J. Sargent (1977), Prix Nobel d économie en 2011 «Ce n'est pas vraiment si clair que l'utilisation du mot "cause" par les économistes coïncide généralement avec "invariance par une intervention", c'est plutôt "une relation à sens unique avec une variable strictement exogène sur le côté droit." Certes, dans les mathématiques et la littérature d'ingénierie, le concept d'une relation causale coïncide avec celle ci.» Propos de C.A. Sims (Prix Nobel d économie en 2011), repris par T.J. Sargent (1977) «Il est douteux que les philosophes acceptent complètement cette définition, et "causalité" est un terme trop fort pour être utilisé. Un meilleur terme serait peut être un lien temporel, mais étant donné que la cause est un terme simple, nous continuerons à l'utiliser.» Sir Clive W.J. Granger (Prix Nobel d économie en 2003) et Paul Newbold (1977) Résumé Ce papier s intéresse à la notion de causalité introduite par Wiener (1956) et Granger (1969). Il aborde les questions liées au test de causalité au sens de Granger, fournit la démonstration de deux théorèmes qui y sont associés et présente quelques précautions à prendre face aux fausses relations causales. Mots clé : Causalité, stationnarité et autocorrélation des erreurs. Abstract This paper discusses the concept of causality introduced by Wiener (1956) and Granger (1969), focusing on testing Granger causality, proof of two theorems associated therewith and the precautions to take against the false causal. Introduction La notion de causalité introduite par Wiener (1956) et Granger (1969) apparait comme le soubassement de l analyse de relations dynamiques entre les séries chronologiques. Bien que formellement défini, elle demeure un sujet à plusieurs controverses parmi les économistes [Sargent (1977) ; Zellner (1978, 1988)]. Et donc, son étude doit être abordée avec précaution. Notons que la définition conceptuelle de la notion de causalité trouve ses origines dans les discours philosophiques des savants tels qu Aristote le stagirite ou David Hume qui, pour le premier, considère qu un événement cause un autre s il en constitue une condition nécessaire et suffisante. Parallèlement, Hume développe une intuition plus proche de celle des empiristes et considère la causalité au sens d Aristote comme une illusion. En effet, Hume, en rapprochant le lien causal à une association habituelle ou à une liaison corrélative, réduit la causalité à une relation de prévisibilité. Au delà de ces considérations philosophiques, Granger (1969) considère une approche basée sur la dynamique entre variables pour extraire une version rigoureuse de la notion «ambiguë» de la causalité 7

2 en économie. En effet, au sens de Wiener Granger, une chronique cause une autre chronique lorsque la connaissance de la série temporelle n est pas neutre pour la prévision de A la suite de cette contribution, plusieurs travaux, par la suite, se sont proposé à relayer, à dépasser et/ou à appliquer le développement initié par Granger (1969), parmi lesquels on note particulièrement les analyses sémantiques de Sims (1972), Sargent (1976), Pierce (1976), Haugh (1977), Haugh Pierce (1977). Et ces recherches ont donné lieu à plusieurs tests de causalité. Ainsi, en plus du test de causalité de Granger, on note notamment le test de causalité de Sims et celui de Haugh Pierce. Le test de causalité de Sims a été traité dans Tsasa (2013d), et celui de Haugh Pierce fera l objet d une publication ultérieure. Toutefois, il sied de remarquer que l avantage de l approche développée par Granger sur les autres réside en ce qu elle est facilement applicable dans le cas multivarié. Nous organisons ce papier comme suit. Dans la section première, nous présentons le test de causalité au sens de Granger. Nous énonçons et prouvons deux théorèmes, généralement, associés aux test de causalité de Granger tout au long de la section deuxième. Et, in fine, à la section troisième, nous discutons de quelques précautions de l art lors de l application pratique de l analyse de la causalité. Test de Causalité au sens de Granger L idée fondamentale de la causalité au sens de Granger stipule qu une série temporelle cause une autre série lorsque la connaissance du passé de la première conduit à une prévision de différente de celle fondée uniquement sur le passé de Formalisons cette définition : - soit un espace de Hilbert des variables aléatoires carré intégrables sur l espace probabiliste dans lequel on considère un processus stochastique multivarié ; - soit un sous espace linéaire fermé de engendré par tel que ; - soit le passé de ; - Admettons une décomposition de en avec et ; - Soit un sous ensemble linéaire fermé de représentant toute l information pertinente disponible au début du processus considéré. Alors, au sens de Wiener Granger : pour tout la chronique ne cause pas linéairement si et seulement si la projection de sur l espace linéaire est comprise dans l espace linéaire i.e. le résidu de la projection de sur l espace linéaire est orthogonal à Il vient donc que : Parallèlement à cette formulation, la définition de la causalité au sens de Wiener Granger peut également être formulée en considérant l information de Kullback Leiber (1951). Cette démarche a été proposée, notamment, par Gouriéroux Monfort Renault (1987). 8

3 Soit un couple des processus aléatoires, et notons par : la loi conditionnelle de au temps conditionnellement aux observations passées. Alors, si l on se proposait d interroger la relation pouvant exister entre les chroniques et il y a lieu de distinguer deux cas possibles : (i) l un où les processus et seraient indépendants ; (ii) l autre où ils seront dépendants. Si et étaient indépendants l un à l autre, il vient que : et donc : En prenant la log espérance de la relation on obtient : Dès lors, on peut introduire la notion de dépendance, en se servant de la définition de l information de Kullback Leibler (1951) : L information de Kullback Leibler est généralement utilisée pour mesurer un écart en deux fonctions de densité. Cependant, elle n est pas une distance au sens topologique car ne vérifiant les propriétés de symétrie et d inégalité triangulaire. Par ailleurs, elle est définie positive, soit : avec égalité si et seulement si presque partout. Par ailleurs : Sachant qu il y a équivalence entre indépendance et covariance dans le cas d une distribution gaussienne (Tsasa, 2012) et considérant que : 9

4 on peut donc écrire : où et avec et En prenant le logarithme de la relation rapport contenu dans la loi de Kullback Leibler : on définit, après réaménagements des termes, la loi du In fine, en multipliant la relation par deux, on obtient quatre composantes principales telles que : (i) ; (ii) ; (iii) et (iv) Plus formellement, on a : Considérons, à présent, une suite et correspondant au passé des processus et tel que : il vient qu au sens de Granger (1969) : et cause au temps si et seulement si : Parallèlement, cause instantanément au temps si et seulement si : 10

5 Démonstration des théorèmes sur la Causalité de Wiener Granger Cette section se propose de fournir la preuve de deux théorèmes qui sont intimement liés à la notion de causalité de Wiener Granger. Pour bien appréhender les différents théorèmes, rappelons la définition de la causalité en considérant les espaces de Hilbert. - Soit un espace probabilisé ; - soit une partie non vide quelconque de l espace ; - soit l opérateur de projection orthogonale sur l adhérence 1 du sous espace vectoriel de engendré par les combinaisons affines des éléments de ; - soit un processus stochastique défini sur à valeurs dans de carré intégrable ; - soit le vecteur aléatoire ; - soit l adhérence dans du sous espace vectoriel engendré par les combinaisons affines des ; - soit l adhérence dans du sous espace vectoriel engendré par les combinaisons affines des Alors, il vient que ne cause pas au sens de Granger si et seulement si, pour tout on a : Pour procéder à ce test, la méthodologie développée par Granger (1969, 1980) s appuie sur les techniques usuelles de l économétrie linéaire, notamment la modélisation et les test de significativité de Fisher. - Soient un processus et et ses composantes ; - soit tel que admet une représentation paramétrique d un processus ; - soit un opérateur de retard sur l ensemble des processus stationnaires à valeurs dans tel que : Il vient que admet une représentation quelconque s il existe : - une famille des matrices ; 1 La définition de l adhérence est explicitement fournie dans Mbikayi Tombola Tsasa (2013, p. 107). 11

6 - un bruit blanc défini sur l espace à valeurs dans tel que : ou plus explicitement : où le polynôme matricielle de est défini par : avec : En admettant que peut correctement être représenté par un processus il suit que le test de causalité entre les composantes et du processus est équivalent à un test de nullité de paramètres (régression linéaire). D où, le théorème 1 qui permet d établir une procédure de test d existence d une relation de causalité entre les chroniques et Théorème 1. Sous les hypothèses énumérées précédemment, les assertions (i) et (ii) sont équivalentes : Démonstration. Condition suffisante. Soit pour Il vient que pour tout : Le terme étant l innovation de (bruit blanc), il vient que la projection est donnée par : Et par ailleurs : 12

7 Condition nécessaire. Réciproquement, Soient un espace et l hypothèse telle que ne cause pas au sens de Granger. D après le théorème de décomposition de Wold (Tsasa, 2013d, p. 2), il suit que pour tout on a une série de matrices de absolument convergente, avec tel que : où la convergence de la série du terme de gauche a lieu dans Et en considérant une composante particulière de on a : En conséquence, pour tout les termes et sont dans l adhérence du sous espace vectoriel fermé de engendré par le passé strict de et de En plus, puisque est l innovation de et que et sont orthogonales, on a : avec l innovation de à l instant telle que : où Soit de Wold, on a : une série absolument convergente telle qu après application du théorème de décomposition où la convergence du terme de droite a lieu dans Partant des et il vient que : où sont auto - décorrélés Considérons, à présent, une valeur spécifique pour et la covariance de avec comme variable aléatoire. 13

8 On obtient : Puisque : on conclut que la variable aléatoire en cause est nulle Et donc : La matrice de variances covariances de étant inversible, il suit que les composantes et de sont indépendante et que pour tout et Soit : un opérateur sur l ensemble des processus stationnaires de carré intégrable. Connaissant que : il vient Et donc : où définit un opérateur tel que : avec Puisqu il a été établi que il suit que : Et par ailleurs, pour on : avec comme particularité : Puisque est triangulaire inférieure inversible, il vient que est également inversible. Et en conséquence, d après : 14

9 Théorème 2. - Soit l hypothèse nulle telle que : ne cause pas au sens de Granger ; - soit l hypothèse de soutien telle que : cause au sens de Granger. Alors un test convergent de contre est défini par le test de nullité globale des coefficients dans une régression par les moindres carrés ordinaires telle que : - Soit un paramètre tel que ; - soit le vecteur des estimateurs par les moindres carrés ordinaires des paramètres ; - soit l estimateur de la matrice de variance Alors, le test associé à la statistique de région de rejet, noté est convergent et asymptotiquement de niveau, où et le quantile d ordre de la loi Démonstration. Le résidu étant la première composante de il vient que n est pas corrélé aux variables explicatives pour tout Pour achever la preuve, il suffit de faire prévaloir le théorème 1 et les résultats de convergence de modèles de régression linéaire par la méthode des moindres carrés ordinaires. Quelques précautions face aux fausses relations causales L application de la notion de causalité dans la pratique n est pas toujours aisée. Plusieurs problèmes et interrogations surgissent généralement. Dans ce papier nous traiterons deux cas qui nous semblent délicats, à noter le problème associé à la stationnarité et celui lié à l autocorrélation. Soit un ensemble de trois variables supposées stationnaires. Plus pratiquement, le test de non causalité de vers étant donné revient : (i) à estimer l équation suivante : 15

10 (ii) à tester l hypothèse ci après : Si l hypothèse nulle était rejetée, il y a lieu de conclure que cause Théoriquement l application de l analyse de la causalité peut paraître assez intuitive. Cependant, dans sa mise en œuvre, il y a différents problèmes qui surgissent dont deux d entre eux seront évoqués. Le premier problème concerne la stationnarité des séries. En effet, d après Geweke (1978), l hypothèse de stationnarité des processus stochastiques n est pas nécessaire dans la définition du concept de causalité lorsqu on utilise le modèle à équations simultanées dynamiques. Bien qu il montre, pour ce faire, que la stationnarité n influe pas les directions et implications causales, il convient de noter que le test de nullité des coefficients nécessite une hypothèse markovienne et une hypothèse d homogénéité du processus de Markov, ce qui est en réalité une hypothèse légèrement plus faible que la stationnarité. Parallèlement, Bessler et Kling (1984) établissent que le test original de Granger ne peut être utilisé sans stationnariser préalablement les chroniques! Un second problème est celui d autocorrélation des résidus de la régression. En effet, la persistance d autocorrélation des résidus dans le test de Granger entraîne un biais sur l estimateur des coefficients, à cause notamment de la présence de variables dépendantes retardées. Puisque dans les applications, par parcimonie, on retient un nombre limité de lags, de ce fait, les autres retards se retrouvent dans le terme d erreur. D où le risque d autocorrélation. Pour prévenir ce risque, il est en conséquence important de préciser la structure de retards qui éliminerait l autocorrélation des résidus. In fine, nous notons que ce papier, d une part, s inscrit dans la continuité de différentes publications antérieures du Laboratoire, notamment celles portant sur la notion de corrélation et d autre part, complète le texte sur le test de causalité de Sims tel que présenté dans Tsasa (2013d). Aussi, remarquons qu avant de s atteler sur l élaboration d un guide qui doit illustrer les applications de ces différentes notions sur logiciel économétrique, nous serons conduit à traiter préalablement vraisemblablement tout au long de nos prochaines publications les différentes notions concernant les espaces de Hilbert, les polynômes matriciels, les théorèmes de décomposition de Wold et de représentation de Granger et les approches et. Car nous estimons qu une bonne connaissance de ce paquet de matières facilite l appréhension et nourrit l intuition lors de différentes analyses et pratiques économétriques sur les chroniques. 16

11 Bibliographie BESSLER David. A et John L. KLING, 1984, A Note on Test of Granger Causality, Applied Economics, Vol. 16, Num. 3, CURRIE David, 1981, Some Long Run Features of Dynamic Time Series Models, The Economic Journal, Vol. 91, No (Sep., 1981), pp DUFOUR Jean Marie et David TESSIER, 1997, «La Causalité entre la Monnaie et le Revenu : Une Analyse Fondée sur un Modèle VARMA échelon», L Actualité économique (URI: Vol. 73, Num , ENGLE Robert F. et Clive W. J. Granger, 1987, Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing, Econometrica, Vol. 55, No. 2. (Mar., 1987), pp ENGLE Robert F., David F. HENDRY et Jean-Francois RICHARD, 1983, Exogeneity, Econometrica, Vol. 51, Num. 2. (Mar., 1983), pp GEWEKE John, 1978, Testing the Exogeneity Specification in the Complete Dynamic Simultaneous Equation Model, Journal of Econometrics, Elsevier, vol. 7(2), issue 2, GOURIEROUX Christian S., Alain MONFORT, and Eric M. RENAULT, 1987, "Kullback causality measures", Annales d'economie et de Statistique, 6/7, GRANGER Clive W. J. et Paul NEWBOLD, 1977, Forecasting Economic Time Series, Academic Press, New York, 333p. GRANGER Clive W. J., 1969, Investigating causal relations by econometric models and cross spectral methods, Econometrica, Vol. 37, Num. 3, GRANGER Clive W. J., 1980, Testing for causality: A Personal Viewpoint, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 2, Num. 4, HAMILTON James D., 1994, Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jesey, 799p. HAUGH Larry D., 1977, Relationships and the Lack Thereof between Economic Time Series, with Special Reference to Money and Interest Rates, Journal of the American Statistical Association, Vol. 72, Num. 357, Comments and Rejoinder, KULLBACK Solomon et Richard A. LEIBLER, 1951, On information and sufficiency, Ann. Math. Statist., 22, MBIKAYI Moïse, TOMBOLA Cédrick et Jean Paul TSASA, 2013, «Espaces topologiques (Présentation des Notions Préliminaires). Série Topologie pour Économistes (2P 1)», One Pager Laréq (mars), vol. 5, num. 16, PIERCE David A. et Larry D. HAUGH, 1977, Causality in Temporal Systems: Characterizations and Survey, Journal of Econometrics, Vol. 5, Num. 3, PIERCE David A. et Larry D. HAUGH, 1979, The Characterization of Instantaneous Causality, a Comment, Journal of Econometrics, Vol. 10, Num. 2, PIERCE David A., 1976, Checking the independence of two covariance-stationary time series : A univariate residual cross-correlation approach, Journal of the American Statistical Association, Vol. 71, Num. 354, SARGENT Thomas J., 1976, A classical Macroeconometric Model of the United States, Journal of Political Economy, vol. 84, num. 2, SARGENT Thomas J., 1977, Response to Gordon and Ando. New Methods in Business Cycle Research : Proceedings from a Conference. Minneapolis : Federal Reserve Bank of Minneapolis. SIMS Christopher A., 1972, Money, Income and Causality, American Economic Review, vol. 62, num. 4,

12 SIMS Christopher A., 1980, Macroeconomics and Reality, Econometrica, vol. 48, num. 1, SIMS Christopher A., 1982, Policy Analysis with Econometric Model, Brooking Papers on Economic Activity, 1. SIMS Christopher A., 1996, Macroeconomics and Methodology, The journal of Economic Perspectives, vol. 10, No. 1, TSASA Jean Paul, 2012, «Indépendance et Covariance Dans le Cas Gaussien», One Pager Laréq (décembre), vol. 4, num. 015, TSASA Jean Paul, 2013a, «Produit Scalaire, Métrique et Orthogonalité : Préalables à la Résolution du Problème des Moindres Carrés», One Pager Laréq (mars), vol. 5, num. 017, TSASA Jean Paul, 2013b, «Projection Orthogonale : Décomposition Orthogonale et Meilleure Approximation», One Pager Laréq (mars), vol. 5, num. 018, TSASA Jean Paul, 2013c, «Théorème de Décomposition de Cholesky», One Pager Laréq (mars), vol. 5, num. 020, TSASA Jean Paul, 2013d, «Critique de C.A. Sims», One Pager Laréq (avril), vol. 6, num. 001, 1 6. WIENER, N., 1956, «The Theory of Prediction», dans E. F. BECKENBACK (éd.), Modem Mathematics for Engineers (Series 1), Chapitre 8 McGraw Hill, New York. WOLD Herman O.A., 1954, Causality and Econometrics, Econometrica», 62(2), ZELLNER Arnold, 1978, Causality and econometrics, in K. Brunner - A.H. Meltzer (a cura di), Three Aspects of Policy Making: Knowledge, Data and Institutions, Carnegie Rochester Conference Series on Public Policy, vol.10, Amsterdam: North-Holland, ZELLNER Arnold, 1988, Causality and Causal Laws in Economics, Journal of Econometrics, 39,