Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal

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1 Cours de Terminle S /Intégrtion E. Dostl Février 26

2 Tble des mtières 9 Intégrtion 2 9. Intégrles Aire sous une courbe Aire et intégrle Vleur moyenne Propriétés de l intégrle Primitives d une fonction Définition et existence Lien entre deux primitives Primitive d une fonction continue Condition initile Clculs d intégrles et de primitives Tbleu des primitives usuelles Opértions sur les primitives Clcul d intégrle à prtir d une primitive Intégrtion pr prties (Complément) Applictions Aire entre deux courbes Clcul de volumes

3 Chpitre 9 Intégrtion 9. Intégrles 9.. Aire sous une courbe Définition Soit C f l courbe représenttive d une fonction f dns un repère orthogonl (O; ı, j)et 2 réels et b tels que b. L unité d ire, notée u.., est l ire du rectngle de côtés ı et j. Si f est de signe constnt sur [;b], l ire sous l courbe C f entre et b est l ire du domine : D = {M(x;y)/ x b ; y f(x)} qund f est positive. D = {M(x;y)/ x b ;f(x) y } qund f est négtive. j u.. i b 2

4 E. Dostl - 26 CHAPITRE 9. INTÉGRATION 9..2 Aire et intégrle On dmet que toute fonction continue sur [;b] dmet une ire sous l courbe, propriété qui semble toutefois très intuitive. Définition 2 Soit f une fonction continue (pr morceux) sur I et b dns I.. Si f est positive sur I, on ppelle intégrle de f entre et b, l ire sous l courbe de C f entre et b. 2. Si f est négtive sur I lors l intégrle de f entre et b est l opposée de l ire définie ci-dessus. 3. Si f chnge de signes sur I lors on découpe l intervlle I où f grde un signe constnt et on pplique les résultts ci-dessus. Nottion : Cette intégrle se note vrible x est muette c est à dire que : Proposition f(x)dx où et b sont ppelées les bornes de l intégrle et l f(x)dx = f(t)dt = f(u)du =. f sur [;b] f(x)dx. 2. f sur [;b] f(x)dx. Exemple.. Soit f : x x 2. Clculer : I = 4 2 f(x)dx J = 2 f(x)dx et K = 4 f(x)dx. 2 x 8 2. Déterminer le signe de M = x 3 + dx. 3. Clculer x 2 dx Vleur moyenne Définition 3 Soient < b deux réels. Pour toute fonction f continue pr morceux sur [;b] l vleur moyenne de f sur [;b] est le réel m définit pr : m = f(x)dx. b Remrque : Dns le cs d une fonction positive, l vleur moyenne de f sur [;b] est le réel m tel que le rectngle de dimensions m et b est l même ire que l ire sous l courbe de C f entre et b. 5 4m 3 2 C f b Exemple 2. Clculer l vleur moyenne de l fonction E (prtie entière) sur [-;3[. 3

5 E. Dostl - 26 CHAPITRE 9. INTÉGRATION 9..4 Propriétés de l intégrle Définition 4 précédent). Si > b, on pose f(x)dx = b f(x)dx (pour se rmener u cdre Proposition 2 Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I,b et c trois réels de I et α un réel quelconque.. f(x)dx = 3. Linérité de l intégrle. 2. Chsles. (αf(x)+g(x))dx = α 4. Conservtion de l ordre. Si f g sur [;b] lors f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx f(x)dx+ 5. Inéglité de l moyenne. Si m f M sur [;b] lors m(b ) g(x)dx. g(x)dx c f(x)dx. f(x)dx M(b ) Exemple 3.. Soit u n = n+ 2. Soit F l fonction définie sur ];+ [ pr : F(x) = () Justifier que F est bien définie et clculer F(). n (b) Déterminer le sens de vrition de F sur ]; + [. (c) Dresser le tbleu de signes de F sur ];+ [. 9.2 Primitives d une fonction 9.2. Définition et existence e x dx. Déterminer pr encdrement l limite de l suite (u n ). x du u. Définition 5 Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivble sur I telle que : F = f sur I. C est donc le problème inverse de l dérivtion. Exemple 4. Soit f l fonction définie sur R pr f(x) = 3x 2 2x+cosx. Donner une primitive de f sur R. En donner une utre Lien entre deux primitives Théorème 3 Deux primitives d une fonction f sur un intervlle I, notée F et G diffèrent d une constnte. Il existe c R tel que G(x) = F(x)+c pour tout x I 4

6 E. Dostl - 26 CHAPITRE 9. INTÉGRATION Primitive d une fonction continue Théorème 4 Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I = [;b]. L fonction définie sur I pr F : x x f(u)du est dérivble sur [;b] et F = f. Preuve dns le cs où f est une fonction strictement croissnte sur [;b] : f(x+h) f(x) O x F(x + h) F(x) h x+h b Tout d bord, F existe cr c est une intégrle d une fonction continue sur l intervlle [; x] inclus dns l intervlle [; b] Etudions le cs prticulier où f est une fonction positive et strictement croissnte sur [;b]. Montrons lors que F dmet un nombre dérivé en x. Quel est ce nombre dérivé? Conclure Proposition 5 Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives. Preuve dns le cs où I = [;b] et f dmet un minimum m sur [;b] : Soit l fonction g définie sur I pr g(x) = f(x)+m Alors, g est continue et positive sur I, donc d près le théorème précédent, g dmet une primitive G. Soit F l fonction définie sur I pr F(x) = G(x) mx F est dérivble sur I et pour x I on F (x) = G (x) m = g(x) m = f(x) Condition initile Théorème 6 Soit f une fonction possédnt des primitives sur un intervlle I. Soient x I et y R. Il existe une unique primitive F de f sur I stisfisnt l condition initile F(x ) = y. Exemple 5. Donner l primitive F de l fonction f défine sur R pr f(x) = e x 3, vérifint F() = Théorème 7 Théorème fondmentl de l intégrtion : Soit f une fonction continue sur un intervlle I = [;b]. L fonction définie sur I pr F : x x f(u)du est l unique primitive de f sur [;b] s nnulnt en. 5

7 E. Dostl - 26 CHAPITRE 9. INTÉGRATION Histoire : Avnt l découverte du théorème fondmentl de l nlyse, l reltion entre intégrtion et dérivtion n étit ps soupçonnée. Les mthémticiens grecs svient déjà clculer des ires et des volumes à l ide d infinitésimux, une opértion qui serit ctuellement ppelée une intégrtion. L notion de différentition fut introduite elle ussi dès le Moyen ge; insi, les notions de continuité de fonctions et de vitesse de déplcement furent étudiées pr les Clculteurs d Oxford u 4ème siècle. L importnce historique du théorème ne fut ps tnt de fciliter le clcul des intégrles que de fire prendre conscience que ces deux opértions ppremment sns rpport (le clcul d ires, et le clcul de vitesses) sont en fit étroitement reliées. Newton est considéré, vec Leibniz, comme le cofondteur du clcul infinitésiml (clcul différentiel et intégrl) qu il expose dns son trité intitulé Methodus fluxionum et serierum infinitrum soit Méthode des fluxions et des séries infinies en 67. Remrque : On peut donc exprimer une primitive de toute fonction continue sur I, u minimum à l ide du symbole intégrle. Pour certines fonctions, c est le seul moyen. Ainsi, on ne pourr noter utrement que x x e u2 du les primitives de l fonction x e x Clculs d intégrles et de primitives 9.3. Tbleu des primitives usuelles f(x) = F(x) = intervlle de vlidité R x+c R R si n x n pour n Z x et n n+ n+ +c ] ;[ ou ];+ [ si n 2 x 2 x+c ];+ [ x ln(x)+c ];+ [ expx exp(x)+c R cosx sinx+c R sinx cosx+c R Opértions sur les primitives f(x) = F(x) = remrques u +v u+v λu, λ R λu u v +uv uv u u n pour n Z et n u n+ n+ si n x u(x+b) ( ) x U(x+b) U primitive de u 2 u u u u e u Exemple 6. Déterminer les primitives des fonctions suivntes :. f : x x e x 2. f 2 : x x 4 +e x 3. f 3 : x x 3 +xcos(6x2 ) 4. f 4 : x 3e 2x x f 5 : x Clcul d intégrle à prtir d une primitive e u x (x 2 +2) 2 6. f 6 : x 3x 5x 2 +2 Théorème 8 Soit f une fonction continue sur un intervlle I et b deux nombres de I, lors : f(x)dx = [F(x)] b = F(b) F(), où F est une primitive quelconque de f sur I. 6

8 E. Dostl - 26 CHAPITRE 9. INTÉGRATION Exemple 7. Clculer I = 2 3x 2 dx, I 2 = π Intégrtion pr prties (Complément) sin(x)dx, I 3 = 2π cos 2 (ωt)dt,ω R Théorème 9 Soient u et v deux fonctions dérivbles et dont les dérivées sont continues sur [;b] lors : u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)] b u(x)v (x)dx Remrque :Onutilisel intégrtion prprtiespourclculeruneintégrle delforme: u (x)v(x)dx et qund le clcul de u(x)v (x)dx est plus fcile. C est un outil fondmentl pour tous ceux qui feront de l intégrtion en post-bc. Exemple 8.. Clculer I = (2t )et dt et I 2 = 2. A l ide de deux intégrtions pr prtie successives, clculer I 3 = π e2x cos(x)dx 9.4 Applictions 9.4. Aire entre deux courbes ( t 2 t+ ) cos(t)dt Théorème Soient f et g deux fonctions continues sur l intervlle [ ; b] (donc b) telles que sur cet intervlle on it : g f. L ire du pln limitée pr les courbes de f et de g insi que les droites d équtions x = et x = b est donnée en unités d ires pr : f(x) g(x)dx. Exemple 9. Clculer l ire entre les courbes représenttives des fonctions x x 2 et x x 4 entre et Clcul de volumes Définition 6 L espce est muni d un repère orthogonl ( O, ı, j, ) k. On ppelle unité de volume, notée u.v., l quntité ı j k k ı j ( Théorème L espce est muni d un repère orthomormé O, ı, j, ) k. Soit et b deux réels tels que b. On considère un solide de l espce compris entre deux plns, P et P b, prllèles u pln (xoy) d équtions respectives z = et z = b. Soit S(h) l ire de l section du solide pr le pln, P h, prllèle à (xoy) d éqution z = h tel que z b lors le volume du solide (en unités de volume) est donné pr : V = S(h)dh. 7

9 E. Dostl - 26 CHAPITRE 9. INTÉGRATION S(h) P b : z = b P h : z = h k O P : z = Exemple.. Retrouver l formule du volume du cône de ryon R et de huteur H. 2. Clculer le volume engendré pr l rottion utour de l xe des bscisses de l courbe d éqution y = 2+sin(x) entre les bscisses et 4π 8

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