Outils Mathématiques 3. 1 Préliminaires: fonctions et parties bornées du plan

Transcription

1 niversité de Rennes1 Année 011/01 Outils Mthémtiques 3 Chpitre 5: Intégrles doubles résumé 1 Préliminires: fontions et prties bornées du pln éfinition 1.1 ne prtie A de R est bornée si elle est ontenue dns un disque de l forme R = x + y < R } pour R suffismment grnd. ne fontion f : B R est dite bornée (sur B R ) s il existe M > 0 tel que pour tout (x, y) B, f(x, y) < M. Intégrles doubles.1 Intégrle double sur un retngle éfinition.1 Soit R = [, b] [, d] un retngle et f : R R ontinue. On définit l intégrle de f sur R omme étnt ( b ) d f(x, y)dxdy := f(x, y)dy dx R. Intégrle double sur un domine générl éfinition. On dir qu un domine A du pln est une union dénombrble de retngles qusi-disjoints s il existe une fmille de retngles ( = [ n, b n ] [ n, d n ]), n N ne s intersetnt que sur leur bord et telle que A = n Théorème.3 Tout ouvert du pln est une union dénombrble de retngles qusi-disjoint: = n N. e plus, si est borné et f : R est ontinue, l série numérique f(x, y)dxdy n 0 est bsolument onvergente et on pose 1

2 f(x, y)dxdy := + n=0 f(x, y)dxdy. On peut montrer pr illeurs que l vleur de f(x, y)dxdy ne dépend ps de l fmille ( ) onsidérée. Plus générlement, lorsque f : R est ontinue et bornée sur une prtie de R de l forme = C 1... C n, où est un ouvert borné et les C i sont des ourbes, on pose f(x, y)dxdy := f(x, y)dxdy Remrque.4 Clul d ire L ire de est l intégrle double sur de l fontion onstnte 1 : Aire de = dxdy (1) 3 Propriétés et luls prtiques Propriétés des intégrles doubles: 1. f(x, y)dxdy pour tout réel.. [f(x, y) + g(x, y)] dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy 3. Si = 1 et l ire de 1 est nulle, lors 1 f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy 4. Si f(x, y) 0 pour tout (x, y) lors f(x, y)dxdy 0. éfinition 3.1 n ompt élémentire est un domine du pln de l une des formes suivntes: } 1. x = (x, y) R ; x b ϕ 1 (x) y ϕ (x) où ϕ 1 et ϕ sont des fontions ontinues. }. y = (x, y) R ; y d ψ 1 (y) x ψ (y) où ψ 1 et ψ sont des fontions ontinues.

3 3.1 Clul d intégrles doubles à l ide d intégrles simples Théorème 3. (Théorème de FBINI) Soit un ompt élémentire du pln et f(x, y) une fontion ontinue sur. 1. si est du type x lors. si est du type y lors b d ϕ(x) f(x, y)dy dx ϕ 1 (x) ψ(y) f(x, y)dx dy ψ 1(y) Remrque 3.3 Lorsque = [, b] [, d], on peut déduire des formules prdentes que b d f(x, y)dy dx = d b f(x, y)dx dy () 3. Clul d intégrles doubles à l ide d un hngement de vribles Supposons que x et y soient des fontions des deux vribles u et v telles que les formules: x = x(u, v) y = y(u, v) définissent un hngement de vribles est à dire une trnsformtion qui à un point m de oordonnées u et v ssoie le point M de oordonnées x et y. Nous ppellerons Jobien du hngement de vribles le déterminnt: (x, y) (u, v) = x x v v = x v x v Alors, si le domine est trnsformé pr e hngement de vribles en on obtient l formule suivnte: f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv 3

4 3.3 Applitions: 1. Msse d une plque: L msse d une plque homogène, de msse surfique ρ et d ire A est M = Aρ. ns le s non homogène, ρ est une fontion de x et y définie sur le domine qui orrespond à l plque. Alors l msse M est donnée pr: M = ρ(x, y)dxdy. Centre de grvité d une plque: le entre de grvité G de l plque à le point de oordonnées x G = 1 M xρ(x, y)dxdy et yg = 1 M yρ(x, y)dxdy 3. Le moment d inertie d une plque pr rpport à un point: le moment d inertie I 0 de l plque pr rpport à l origine 0 est l intégrle: I 0 = (x + y )ρ(x, y)dxdy 4 Formule de Green-Riemnn On vu que si ω est une forme différentielle exte lors, pour toute ourbe fermée Γ, ω = 0. Γ En générl, l intégrle d une forme différentielle le long d une ourbe fermée qui borde un domine s érit omme une intégrle double sur le domine. éfinition 4.1 Si est un domine borné du pln ontenu dns un ouvert onvexe et tel que ne renontre ps le bord de (= R générlement) et dont le bord est formé d un nombre k de ourbes fermées simples C 1,..., C k, on oriente son bord suivnt l onvention de l mtière à guhe: lorsque l on prourt n importe qu elle ourbe C i du bord on doit voir le domine sur s guhe. On dit que le bord est orienté dns le sens diret. Théorème 4. Soit ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy une forme différentielle de lsse C 1 définie sur. Alors k ( Q ω = C i x P ) dxdy i=1 4

5 (Formule de Green-Riemnn) Applition u lul d ires: On peut ppliquer l formule de Green-Riemnn dns le s où ω = ydx + xdy on obtient lors C ydx + xdy = dxdy d où Aire() = 1 ydx + xdy (3) C Exemple 4.3 L ellipse d éqution x x = os(t), y = b sin(t) ve t [0, π] Alors, l ire A de l ellipse est égle à: + y b = 1 pour éqution prmétrique A = 1 C ydx + xdy = 1 π 0 ( b os (t) + b sin (t) ) dt = b π 0 dt = bπ. 5