La Martinière Monplaisir. Cours de MPSI. 2 septembre 2017

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1 L Mrtinière Monplisir Cours de MPSI 2 septembre 2017

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3 Tble des mtières I Nombres complexes 7 1 Corps des nombres complexes. 8 2 Groupe U des nombres complexes de module Équtions du second degré L exponentielle complexe Nombres complexes et géométrie plne II Quelques fondmentux 23 1 Propositions Connecteurs logiques Quntificteurs universel et existentiel Risonnement pr récurrence.. 28 III Un peu de clcul 37 1 Le symbole somme : Σ Le symbole produit : Π Quelques formules à connître Clcul mtriciel élémentire Systèmes linéires et pivot de Guss IV Théorie des ensembles 51 1 Un peu d histoire Définitions Interpréttion logique V Notion d ppliction 59 1 Vocbulire Restriction, prolongement Composition d pplictions Injectivité, surjectivité, bijectivité 62 5 Imge directe, imge reciproque 65 VI Fonctions usuelles 67 1 Vocbulire usuel des fonctions de R dns R Théorèmes d nlyse dmis Fonction vleur bsolue Fonctions puissnces entières, polynomiles et rtionnelles Fonctions exponentielles, logrithmes et puissnces quelconques 73 6 Fonctions circulires Fonctions hyperboliques VII Équtions différentielles linéires 81 1 Résultts d nlyse Générlités Équtions linéires du premier ordre Équtions différentielles du second ordre à coefficients constnts 89 5 Un peu de physique : circuits RL et RLC Méthode d Euler VIII Reltions d ordre 95 1 Reltions binires Reltions d équivlence Reltions d ordre Mjornts, minornts et compgnie Reltion d ordre nturelle sur N Reltion d ordre nturelle sur R 101 IX Entiers reltifs et rithmétique de Z Divisibilité

4 TABLES DES MATIÈRES 2 PGCD, PPCM Nombres premiers X Suites réelles et complexes Vocbulire Limite d une suite réelle Résultts de convergence Trduction séquentielle de certines propriétés Suites prticulières Suites définies pr une reltion de récurrence d ordre Suites à vleurs complexes Premiers exemples de séries numériques XI Groupes, nneux, corps Lois de composition internes Structure de groupe Structure d nneu Structure de corps XII Limite d une fonction Préliminires Définitions de l limite d une fonction Propriétés des limites de fonctions154 4 Théorèmes d existence Cs des fonctions à vleurs complexes XIII Continuité Définitions et premières propriétés160 2 Les grnds théorèmes Extension u cs des fonctions à vleurs complexes XIV Polynômes K[X] : définitions et résultts lgébriques Décomposition Dérivtion des polynômes PGCD, PPCM et polynômes irréductibles Formule d interpoltion de Lgrnge Annexe : construction de K[X] 192 XV Dérivbilité Définitions et premières propriétés196 2 Les grnds théorèmes Extension u cs des fonctions complexes XVI Frctions rtionnelles Corps des frctions rtionnelles K(X) Étude locle d une frction rtionnelle Appliction u clcul intégrl. 220 XVII Anlyse symptotique Comprison symptotique de suites Comprison de fonctions Développements limités Théorèmes de comprison pour les séries XVIII Espces vectoriels Espces vectoriels et combinisons linéires Sous-espces vectoriels Trnsltions, sous-espces ffines Applictions linéires Fmilles de vecteurs Endomorphismes prticuliers XIX Intégrtion Continuité uniforme Construction de l intégrle Le théorème fondmentl de l nlyse Méthodes de clcul Formules de Tylor Cs des fonctions à vleurs complexes Approximtion d intégrles Comprison série-intégrle Annexes XX Dénombrement Crdinl d un ensemble fini Dénombrement

5 TABLES DES MATIÈRES XXI Espces vectoriels de dimension finie Notion de dimension Sous-espces vectoriels en dimension finie Applictions linéires en dimension finie Formes linéires et hyperplns. 301 XXII Probbilités sur un univers fini Événements, probbilités Vribles létoires XXIII Clcul mtriciel Structure de M n,p (K) Mtrices, fmilles de vecteurs et pplictions linéires Mtrices remrqubles Opértions élémentires sur les mtrices Rng d une mtrice Systèmes d équtions linéires Mtrices semblbles et trce Mtrices pr blocs XXIV Déterminnts Groupe symétrique Applictions multilinéires Déterminnt d une fmille de vecteurs Déterminnt d un endomorphisme368 5 Déterminnt d une mtrice crrée369 XXV Espces préhilbertiens réels Produit sclire, norme et distnce376 2 Orthogonlité Automorphismes orthogonux. 386 XXVI Séries numériques Prolégomènes Séries à termes positifs Comprison série-intégrle Séries bsolument convergentes Représenttion décimle des réels400 6 Compléments

6 TABLES DES MATIÈRES 6

7 Chpitre I Nombres complexes 1 Corps des nombres complexes Construction à prtir de R Propriétés des lois + et Commuttivité b Associtivité c Distributivité de sur d Éléments neutres e Inverses Interpréttion géométrique Conjugué et module d un nombre complexe Groupe U des nombres complexes de module Définition et crctéristion Forme trigonométrique d un nombre complexe Rcines n ièmes Équtions du second degré Clcul des rcines crrées d un complexe sous forme lgébrique Résolution des équtions du second degré 16 4 L exponentielle complexe Définitions et premiers résultts Un peu de technique Formules trigonométriques b Technique de l ngle moitié c Fctoristion d Linéristion Nombres complexes et géométrie plne Colinérité et orthogonlité Interpréttion géométrique du rpport Trnsformtions usuelles Similitudes et isométries

8 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES 1 Corps des nombres complexes 1.1 Construction à prtir de R Définition Soit E un ensemble. On ppelle loi de composition interne sur E, ou plus simplement loi (interne) sur E, toute ppliction de E E dns E. Remrque Une loi de composition interne est ce que vous ppeliez uprvnt une «opértion» : l ddition des réels, l multipliction, l ddition des vecteurs... Nous llons mintennt donner une construction de C, insi que des opértions usuelles sur C : ddition et multipliction. 1. On suppose connu R muni de ses deux lois : l ddition + et l multipliction. 2. Nous llons construire C comme l ensemble des couples (x, y) R 2, que nous munirons ensuite de deux lois. Le choix de R 2 pour cette construction n est ps essentiel (d utres fçons équivlentes de construire C existent). On ne considérer ps pr l suite que R 2 et C sont égux, même s il est prfois nturel de les identifier. 3. Construire C comme l ensemble R 2 n est ps nécessirement très intuitif cr on l impression que, pour construire C, il fut chercher un sur ensemble de R, or R 2 n en est ps un. L idée est que l ensemble C que nous llons construire contiendr une «copie» de R. Pr l suite, on identifier cette copie et R lui-même. 4. Nous définissons donc deux lois de composition interne sur R 2, notées provisoirement et. Ce sont les lois telles que pour tout (x, y) C et tout (x, y ) C, on : (x, y) (x, y ) = (x + x, y + y ), (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + yx ). 5. R 2 muni de ces deux lois est ppellé C. 6. Nous identifions à présent, pour tout réel x, le réel x et l élément de C (x, 0). Cel signifie que, pour x R, nous noterons mintennt x à l plce de (x, 0). Vi cette identifiction, R peut être vu comme une prtie de C. En prticulier 1 désigne le couple (1, 0). 7. On peut remrquer qu on lors, pour tous réels x et x : x x = (x, 0) (x, 0)= (x + x, 0) = x + x, x x = (x, 0) (x, 0) = (xx, 0) = xx. Autrement dit, sur R, se confond vec l ddition usuelle et vec l multipliction usuelle. et sont donc des prolongements à C des lois usuelles de R. On reprendr donc les nottions + et, le symbole étnt souvent omis, comme dns R. 8. Nous vons décidé plus hut de noter 1 le complexe (1, 0), nous décidons mintennt de noter i le complexe (0, 1). Notons lors que pour tous réels x et y, on x + i y = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) Pr illeurs, = (x, 0) + (0, y) = (x, y). i 2 = ( , ) = ( 1, 0) = 1. Définition (Prties réelle et imginire). Soit z C. Alors il existe un unique couple (x, y) C vérifint z = x + iy. Le réel x est ppelé prtie réelle de z et est noté Re(z), et le réel y est ppelé prtie imginire de z et est noté Im(z). Soit (x, y) R 2. D près ce qui précède x + iy = (x, y), donc z = x + iy z = (x, y). Il existe donc bien un unique couple (x, y) vérifint z = x + iy. 8

9 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES Remrque Pour tous z et z dns C, on z = z Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ). C est une conséquence directe de l définition précédente. Définition (Réels et imginires purs). Un complexe est dit réel si s prtie imginire est nulle. Il est dit imginire pur si s prtie réelle est nulle. 1.2 Propriétés des lois + et Commuttivité Proposition et sont commuttives. Soit z = x + iy et z = x + iy deux nombres complexes, vec x, x, y, y des réels. Alors, et z + z = (x + x ) + i(y + y ) = (x + x) + i(y + y) = z + z et (z z ) z = [(xx yy ) + i(x y + xy )] z = [(xx yy ) + i(x y + xy )](x + iy ) = (xx x yy x yx y xy y ) + i(yx x + xy x + xx y yy y ) = [x(x x y y ) y(y x + x y )] + i[x(y x + x y ) + y(x x y y )] = (x + iy) [(x x y y ) + i(y x + x y )] = z (z z ). c Distributivité de sur + Proposition L multipliction est distributive pr rpport à l ddition. Soit z = x+iy, z = x +iy et z = x +iy trois nombres complexes, vec x, x, x, y, y, y des réels. Alors, z (z + z ) = (x + iy) [(x + x ) + i(y + y )] = xx + xx yy yy + i(yx + yx + xy + xy ) = [xx yy + i(yx + xy )] = (z z ) + (z z ). + [xx yy + i(yx + xy )] z z = (xx yy ) + i(x y + xy ) = (x x y y) + i(xy + x y) = z z. d Éléments neutres b Associtivité Définition Soit # une loi de composition interne sur un ensemble E. On dit que e est un élément neutre pour # si pour tout x E, e#x = x#e = x. Proposition et sont ssocitives. Soit z = x+iy, z = x +iy et z = x +iy trois nombres complexes, vec x, x, x, y, y, y des réels. Alors, (z + z ) + z = [(x + x ) + i(y + y )] + [x + iy ] = (x + x + x ) + i(y + y + y ) = (x + iy) + [(x + x ) + i(y + y )] = z + (z + z ) Proposition Soit E un ensemble muni d une loi de composition interne #. Si # dmet un élément neutre, lors celui-ci est unique. Soient e et e deux neutres. Alors, e étnt neutre, on e#e = e et e étnt neutre, on e#e = e. On donc e = e. 9

10 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES Exemple L ddition sur l ensemble des entiers nturels (resp. reltifs) dmet un unique neutre : 0. L ddition sur l ensemble des entiers nturels non nuls n dmet ucun neutre. Proposition Dns C, 0 est un élément neutre pour +, 1 est un élément neutre pour. Soit z = x + iy C, vec (x, y) R 2. Alors, z + 0 = (x + iy) + (0 + i0) = (x + 0) + i(y + 0) = x + iy = z et e Inverses z 1 = (x + iy) (1 + i0) = (1x 0y) + i(1y + 0x) = x + iy = z. Définition Soient (E, #) un ensemble muni d une loi interne, ynt un neutre e. On dit que x E est inversible s il existe un x E tel que x#x = e et x #x = e. Remrque Attention de bien vérifier les deux églités, comme le montre l exercice suivnt. Exercice On note F l ensemble des pplictions de N dns N, et on le munit de l lci, qui dénote l composition de deux pplictions. 1. (F, ) -t-il un élément neutre? 2. Soient{ f : N N, n n + 1 et g : N N, 0 si n = 0 n. Étudier g f et n 1 si n 0 f g. Que peut-on dire? Proposition Soit E un ensemble muni d une lci ssocitive # dmettnt un neutre e. Pour tout élément x de E, si x est inversible pour #, lors son inverse est unique. Soient y et y deux inverses de x. Alors y#x = e donc y#x#y = e#y = y. D utre prt, x#y = e donc y#x#y = y#e = y. Proposition Soit z C. z est inversible pour +, d inverse z. Si z = 0, z est ussi inversible pour, d inverse z 1 = 1 z = x iy x 2, où x = Re(z) et y = Im(z). + y2 0 n est ps inversible pour dns C. C est simple pour l ddition. Comme l multipliction complexe est commuttive, on n besoin de vérifier qu une églité. Soit z = x + iy C, vec (x, y) R 2 \ {(0, 0)}. Alors x 2 + y 2 0 et [ ] x x 2 + y i y (x + iy) 2 x 2 + y 2 = 1 [ x 2 + y 2 + i(xy yx) ] x 2 + y 2 = x2 + y 2 x 2 + y 2 = 1. Enfin, on vérifie isément que 0 est bsorbnt : pour tout complexe z, 0z = 0. Si 0 étit inversible, son inverse z ne pourrit donc vérifier 0z = 1, cr 1 0! Remrque Si z et z sont deux nombres complexes, vec z 0, on note z z = z (z ) 1. Définition On ppelle monoïde tout couple (G, ) où G est un ensemble et 1. est une loi de composition interne sur G ; 2. est ssocitive ; 3. et possède un élément neutre. 10

11 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES On ppelle groupe tout monoïde (G, ) dont tous les éléments sont inversibles. On dit qu un monoïde ou un groupe est commuttif si s loi de composition interne l est. On ppelle nneu tout triplet (G,, #) tel que 1. (G, ) est un groupe commuttif ; 2. (G, #) est un monoïde ; 3. et # est distributive pr rpport à. On dit qu un nneu est commuttif si # est commuttive. Enfin, on ppelle corps tout nneu commuttif (G,, #) tel que tout élément de G différent du neutre de est inversible pour #. Exercice Chcun des ensembles N, N, Z, R, Q et C, muni des lois usuelles, est-il un monoïde, un groupe, un nneu, un corps? 1.3 Interpréttion géométrique Définition (Affixe et imge). Soit M un point du pln de coordonnées (x, y). On ppelle ffixe de M le complexe x + iy. Soit z un complexe de prtie réelle x et de prtie imginire y. On ppelle imge de z le point du pln de coordonnées (x, y). Remrque On peut identifier C et R 2 u pln euclidien (l ensemble des points du pln) muni d un repère orthonorml direct (O, i, j ), c est-à-dire qu un point du pln euclidien est identifié à ses coordonnées 1 dns (O, i, j ). On peut églement identifier C et R 2 à l ensemble des vecteurs du pln, le vecteur OM étnt identifié u point M, et donc à son ffixe. 1. Notez l différence entre «identifié pr» et «identifié à». Théorème (Règles de clcul). On les propriétés suivntes : (i) Soient u et u deux vecteurs d ffixes respectifs z et z, et soit λ R. Alors le vecteur u + λ u pour ffixe z + λz. En prticulier, pour tout couple de vecteurs, l ffixe de l somme de ces vecteurs est l somme des ffixes et pour tout sclire λ et tout vecteur u d ffixe z, l ffixe de λ u est λz. (ii) Soient A et B deux points d ffixes respectifs et b. Alors le vecteur AB pour ffixe b. (i) Notons x et y respectivement les prties réelle et imginire de z, et x et y celles de z. Alors u (resp. u ) pour coordonnées (x, y) (resp. (x, y )). u + λ u lors pour coordonnées (x+λx, y+λy ), donc pour ffixe (x+λx )+i(y+λy ). Or on z + λz = (x + iy) + λ(x + iy ) = (x + λx ) + i(y + λy ) Donc u + λ u bien pour ffixe z + λz. Il suffit lors d étudier les cs prticuliers où λ = 1, où u = 0 et où u = 0 et λ = 1 pour conclure. (ii) Il suffit d utiliser l reltion fondmentle AB = OB OA et le point précédent pour conclure. Remrque Soit b C. L ppliction C C z z + b s interprète géométriquement comme l trnsltion de vecteur d ffixe b. 1.4 Conjugué et module d un nombre complexe Définition On ppelle conjugué d un complexe z le complexe z = Re(z) i Im(z). On ppelle module d un complexe z le réel positif z = Re(z) 2 + Im(z) 2. 11

12 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES Im(z) I(i) z = OM M(z) Corollire Soit z C, on z R z = z et z ir z = z. O(0) A(1) Re(z) Proposition (Comprisons usuelles). Soit z C, on z = 0 z = 0, Re(z) z et Im(z) z. Im(z) N( z) Figure I.1 Interpréttion géométrique du module et du conjugué de z C. Remrque Sur R, le module coïncide vec l vleur bsolue. Proposition (Règles de clcul). Soit (z, z ) C 2, on les identités suivntes. Si z 0, Re(z) = z + z Im(z) = z z 2 2i z + z = z + z z z = z z z = z zz = z 2 z = z zz = z z z z = z z et z z = z z. Ces identités sont élémentires et se vérifient directement en posnt z = x + iy, vec (x, y) R 2. L églité z z = z 2 déjà été vue lors du clcul de l inver d un nombre complexe. Remrquons ussi que, fcilement, zz 2 = zz zz = zz zz = zzz z = z 2 z 2. Soit z C, soit x, y R tels que z = x + iy. On 0 x 2 x 2 + y 2, ce qui prouve bien que si z = 0, lors z = 0 (l utre impliction est évidente). Cel prouve ussi que Re(z) 2 z 2, donc que Re(z) z (idem pour Im(z)). Corollire Soit, b C, si b = 0, lors = 0 ou b = 0. Théorème (Inéglité tringulire). Soit z, z C, on z z z ± z z + z. De plus, z + z = z + z si et seulement s il existe (λ, λ ) (R + ) 2 tel que (λ, λ ) (0, 0) et λz = λ z. On montre l encdrement pour z + z. Pour z z il suffit de remplcer z pr z. Pour montrer z + z z + z, il suffit de montrer z + z 2 ( z + z ) 2. Posons d = ( z + z ) 2 z + z 2 et clculons d. On obtient successivement d = z 2 + z z z ( z + z )( z + z ) = 2 z z zz z z ( = 2 z ) z zz + z z 2 ( = 2 z ) z zz + zz 2 = 2 ( ( zz )) Re zz 0 12

13 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES On donc z + z z + z. Pour l seconde inéglité : z = (z + z ) + ( z ) z + z + z, d où z z z + z. On permute les rôles de z et z et on z z z + z, ce qui permet de conclure, cr z z = mx ( z z ; z z ). Montrons mintennt le cs d églité. Dns le cs où z = z = 0, le résultt est immédit. Sinon, d près l démonstrtion de l inéglité tringulire, l églité est vérifiée si et seulement si zz = Re ( zz ), i.e. si et seulement si zz est un réel positif. Dns le cs où z 0, on remrque que z = zz z z, 2 z donc l églité est vérifiée si et seulement si R+ si et z seulement si il existe λ R + tel que z = λz. En inversnt les rôles de z et z dns le cs où z = 0 on obtient le résultt voulu. Remrque En prtique : on se sert de zz = z 2 pour clculer l forme lgébrique de l inverse d un complexe : 1 z = x iy x 2 + y 2 Le module d un complexe est l norme du vecteur ynt ce complexe pour ffixe. En prticulier, soit et z deux complexes et R 0. Notons M et A les points du plns d ffixes respectives z et. Alors z est l distnce AM. Et M pprtient u cercle (resp. disque ouvert, resp. disque fermé) de centre A et de ryon R si et seulement si z = R (resp. z < R, resp. z R). Géométriquement, il y églité dns l inéglité tringulire survient donc qund les imges de z et z sont sur une même demi-droite d origine O. Le bloc «il existe (λ, λ ) (R + ) 2 tel que (λ, λ ) (0, 0)» s écrit ussi «(λ, λ ) (R + ) 2 \ {(0, 0)}» et se lit «il existe deux complexes λ et λ non tous nuls». 2 Groupe U des nombres complexes de module Rppels de collège Commençons pr une première définition de trigonométrie. Définition (Fonction tngente). Notons A l ensemble des réels congrus à π 2 modulo π : { A = x R k Z x = π } 2 + kπ. On ppelle lors fonction tngente, notée tn, l fonction : tn : R\A R t sin t cos t Cette fonction ser étudiée plus en détil dns le chpitre sur les fonctions usuelles, mis il est utile de retenir les vleurs de tn en 0, ± π 6, ±π 4 et ± π, l llure de son grphe et le fit qu elle est 3 impire. Remrque On peut définir de l même mnière l fonction cotngente : Posons B = {x R, k Z x = kπ} = kz. On ppelle lors fonction cotngente, notée cotn, l fonction : cotn : R\B R t cos t sin t Attention : l fonction cotngente n est ps égle à 1 tn. Pourquoi? 2.2 Définition et crctéristion Définition On note U l ensemble des nombres complexes de module 1 : U = {z C z = 1}. Muni de l multipliction usuelle entre complexes, c est un groupe de neutre

14 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES Remrque U est l ensemble des ffixes des points du cercle trigonométrique Définition Soit θ R. On ppelle exponentielle complexe de iθ le complexe e iθ = cos θ + i sin θ. L écriture e iθ n est qu une nottion : en ucun cs il ne s git du réel e élevé à l puissnce iθ, ce qui n ucun sens. Théorème Soient θ, θ R et n N. On : (i) Les formules d Euler : (ii) e i(θ+θ ) = e iθ e iθ ; cos θ = e iθ + e iθ 2 sin θ = e iθ e iθ 2i (iii) e iθ 0 ; et e iθ = e iθ = 1 e iθ, donc e iθ U. (iv) les formules de De Moivre : (v) Si tn θ 2 e inθ = (e iθ) n cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ + i sin θ) n tn θ 2, on e iθ = est bien défini, lors en posnt t = (1 + it)2 1 + t 2. On donne ici l démonstrtion utilisnt les formules de trigonométrie, dmises jusqu ici. Ces formules peuvent se démontrer géométriquement. Consulter pr exemple l pge Wolfrm http ://preview.tinyurl.com/pzkqg5q Une utre pproche possible serit d dmettre l troisième propriété et d en déduire toutes les utres, insi que les formules de trigonométrie. (i) Fcile. (ii) Simple développement. (iii) e iθ e iθ = e i0 = 1, donc e iθ et e iθ sont inverses l un de l utre. En prticulier e iθ 0. Pr illeurs, e iθ = cos ( θ) + i sin ( θ) = cos θ i sin θ = e iθ Donc 1 = e iθ.e iθ = e iθ 2, donc e iθ U. On urit ussi pu utiliser que cos 2 θ + sin 2 θ = 1. (iv) Se démontre pr une récurrence immédite sur n. (v) Ce point se déduit isément des églités cos θ = 1 t 2 2t et sin θ = 1 + t2 1 + t. 2 On peut ussi voir que, pr l formule de De Moivre, ( ) 2 e iθ = e i θ 2 ( ( ( θ θ 2 = cos + i sin 2) 2)) ( )( ( = cos 2 θ θ i tn 2 2)) = (1 + it)2 1 + t 2 cr, pour tout x pour lequel cos x 0, 1 + tn 2 (x) = 1 cos 2 (x). Théorème (Prmétristion de U). L ppliction R C θ e iθ est un prmétrge de U, utrement dit, pour tout nombre complexe z on z U θ R z = e iθ (I.1) De plus, pour tout complexe z U donné, le prmètre correspondnt est unique à 2π près, utrement dit, on (θ, θ ) R 2 e iθ = e iθ θ = θ [2π] (I.2) 14

15 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES Remrque Ce résultt une interpréttion géométrique intuitive. Soit z C. Montrons l équivlence (I.1). L impliction de droite à guche est évidente : s il existe θ tel que z s écrive sin θ + i cos θ, lors z 2 = sin 2 θ + cos 2 θ = 1, donc z U. Réciproquement, soit z U, lors (Re z) 2 + (Im z) 2 = 1 donc il existe θ R vérifint Re z = cos θ et Im z = sin θ. Pour l équivlence (I.2), il suffit de remrquer que pour tout couple (θ, θ ) de réels, l églité e iθ = e iθ implique l églité des cosinus insi que des sinus de θ et θ, donc l églité de θ et θ à 2π près. L utre sens découle de l proposition Technique de l ngle moitié L fctoristion suivnte est indispensble. Pour tout (x, y) R 2, on ( e ix + e iy = e i (x+y) 2 e i (x y) 2 + e ( x y = 2e i (x+y) 2 cos 2 ) (x y) i 2 Cette technique permet en prticulier de montrer Proposition Soit t R, lors ) ) ( 1 + e it = 2e i t t 2 cos 2 ( ) 1 e it = 2e i t t 2 i sin 2 Il suffit de remrquer que 1 = e i0 et d ppliquer l technique. 2.4 Forme trigonométrique d un nombre complexe Définition Soit z 0. Alors z/ z U, donc il existe θ R vérifint z/ z = e iθ, c est-à-dire z = z e iθ. Im(z) I(i) O(0) z = OM M(z) ( ) rg(z) = OA; OM [2π] A(1) Re(z) Figure I.2 Interpréttion géométrique du module et de l rgument de z C. Le réel θ est lors ppelé un rgument de z. Il existe à 2π près. Il existe lors un unique θ ] π, π] vérifint z = z e iθ. Ce réel est ppelé l rgument principl de z, et noté rg z. L écriture «z = z e iθ» est ppelée écriture trigonométrique de z. Remrque Attention à l non unicité de l rgument. 2. Le complexe 0 n ps d rgument. 3. Pour tout z non nul, ( z, rg z) est un couple de coordonnées polires du point d ffixe z. Proposition Soient z, z C. On : rg z = rg z[2π] rg zz = rg z + rg z [2π] et rg(1/z) = rg z[2π]. Utiliser l écriture trigonométrique. 15

16 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES 2.5 Rcines n ièmes Définition Soient z C et n N. On ppelle rcine n-ième de z tout complexe t tel que t n = z. Les rcines de 1 sont ppelées rcines n-ièmes de l unité. L ensemble des rcines n-ièmes de l unité est noté U n. Remrque L nottion n. est interdite sur les complexes quelconques. En effet, elle désigne l ppliction réciproque de l fonction x x n qui n est bijective que considérée comme ppliction de R + dns R + si n est pir et de R dns R si n est impir. Théorème zéro est zéro. (i) L seule rcine n-ième de (ii) Soit z C non nul, donné sous une forme trigonométrique z = re iθ, vec r > 0. Alors z possède exctement n rcines n-ièmes, qui sont les nombres complexes n r e ( iθ n + 2ikπ n ) pour k décrivnt l ensemble 0, n 1 (ou 1, n ). (iii) En prticulier U n = { e 2ikπ n } k [[0, n 1] (i) Soit t C. Alors t 0 t n 0 donc t n = 0 t = 0. On vérifie enfin que t = 0 t n = 0, pour n > 0. (ii) Soit (z, t) C 2, z 0. 1er cs : z = 1 : on note ρ = t et ϕ R un rgument de t. On : t n = 1 si et seulement si ρ n.e inϕ = 1.e i0 si et seulement si ρ n = 1 et nϕ = 0[2π] si et seulement si ρ = 1 et ϕ = 2kπ n. 2nd cs : z est quelconque non nul donc s écrit sous l forme re iθ où r > 0. On pose α = n r e iθ/n, donc α n ( = z. ) Alors, si t = ρ.e iϕ, t n = z si t n et seulement si = 1 et on utilise le premier α cs. Remrque (Interpréttion géométrique). Soit n 3. Posons z i = 2ikπ n et notons A i le point d ffixe z i pour i [[0, n 1]]. Alors A 0 A 1... A n est un polygones réguliers à n côtés. Les rcines 2-ièmes de 1 sont 1 et 1 (rcines crrées de 1). En posnt j = e 2iπ/3, les rcines 3-ièmes de l unité sont 1, j et j 2 (et on j 2 = j). Cs n = 4, 5, 6. Proposition Soit n N, n 2. Pour tout z C on les églités suivntes : ω U n (z ω) = ω U n\{1} (z ω) = n 1 k=0 n 1 k=1 (z e 2ikπ n ) = z n 1 ) n 1 (z e 2ikπ n = k=0 z k. L somme des rcines n-ièmes de l unité est nulle, i.e. : n 1 ω = e 2ikπ n = 0. ω U n k=0 En prticulier 1 + j + j = 0. Pour démontrer ce résultt on dmettr provisoirement le résultt suivnt : Pour tout entier n et tout polynôme P un polynôme de degré n dmettnt n rcines distinctes z 1,..., z n, de coefficient dominnt α, on z C P (z) = α(z z 1)... (z z n). On dmettr ussi l formule de sommtion géométrique : pour tout z C et n N, z n 1 = (z 1)(1 + z + + z n 1 ). L première églité est une ppliction directe du résultt dmis, en posnt P : z z n 1 ; P est lors un polynôme de degré n et de coefficient dominnt 1. L seconde est une ppliction directe du même résultt en considérnt P : z n 1 k=0 zk. De plus n 1 donc e 2iπ n 1 donc n 1 n 1 ( e 2ikπ n = k=0 k=0 e 2iπ n ( ) k 1 = e 2iπ n 1 e 2iπ n ) n = 0 16

17 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES 3 Équtions du second degré 3.1 Clcul des rcines crrées d un complexe sous forme lgébrique Soit z et t deux complexes. On veut résoudre explicitement l éqution t 2 = z, d inconnue z, que nous noterons (E). On peut écrire z sous l forme x + iy vec (x, y) R 2 et t sous l forme +ib, où (, b) R 2. Pour résoudre (E), il y une stuce très utile Astuce. Soit t et z deux complexes. Alors (E) t 2 = z { t 2 = z et t 2 = z On en déduit successivement : 2 b 2 + i2b = x + iy (E) et 2 + b 2 = x 2 + y 2 2 b 2 = x (E) et 2b = y et 2 + b 2 = x 2 + y 2 2 = x + x 2 + y 2 2 et b 2 = x + x 2 + y 2 2 et 2b = y Exercice Trouver les rcines crrées de z = 3 4i. 3.2 Résolution des équtions du second degré Théorème Soient, b, c C vec 0. Les solutions de l éqution z 2 + bz + c = 0 d inconnue z C sont b ± δ, où δ est l une quelconque des deux 2 rcines crrées du discriminnt = b 2 4c. L somme de ces solutions vut b et leur produit c. Pour tout z C, on ( z 2 + bz + c = z 2 + b z + c ) [ ( = z + b ) 2 ] b c 2 [ ( = z + b ) 2 ] b2 4c [ ( = z + b ) 2 ( ) δ 2 ] 2 2 [ = z + b 2 δ ] [ z + b δ ] 2 ( = z b δ )( z b + δ ) 2 2 On clcule finlement : b δ + b + δ = b 2 2, b δ 2 b + δ 2 = b2 δ = c. Remrque Avec α, β C, on l reltion suivnte : (X α)(x β) = X 2 (α + β)x + αβ. On peut donc connître l somme et le produit des deux rcines sns connître les rcines. Réciproquement, si l on connît l somme et le produit de deux nombres complexes, lors on connît une éqution polynomile du second degré dont ils sont exctement les rcines. Exercice Trouver et b tels que b = 2 et + b = i. 4 Techniques de clcul 4.1 Formules trigonométriques Nous vons utilisé les formules de trigonométrie (cf. formulire de trigonométrie) dns l démons- 17

18 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES trtion de Nénmoins, les propriétés de l exponentielle «de iθ» permettent de retrouver ces formules, dns le cs inenvisgeble où vous les uriez oubliées. Pr exemple : développer e i(+b) de deux mnières différentes, identifier les expressions obtenues et retrouver les formules donnnt sin( + b) et cos( + b). 4.2 Technique de l ngle moitié Déjà vu. Elles permet ussi de retrouver les formules de fctoristion du type cos() + cos(b). 4.3 Fctoristion Utilise l technique de l ngle moitié, souvent près voir identifié l somme en question comme l prtie réelle ou imginire d un type de somme bien connue. On dmet temporirement les formules suivntes. Sommtion géométrique : Pour tout z C et n N, n + 1 si z = 1, z k = z n+1 1 si z 1. k=0 z 1 Binôme de Newton : Pour tout (, b) C 2 et n N, ( ) n ( + b) n = k b n k. k k=0 On peut clculer les coefficients binomiux ( n ) k vec le tringle de Pscl. Exemple cos(4kx) = n + 1 k=0 4.4 Linéristion sin(2(n+1)x) cos(2nx) sin(2x) si x / π 2 Z si x π 2 Z Méthode pour supprimer les produits et puissnces dns une expression en cosinus et sinus : 1- Utiliser l formule d Euler et développer. 2- Regrouper les puissnces pour réutiliser les formules d Euler, mis dns l utre sens. Exemple cos 3 x = 1 4 cos(3x) cos x sin 3 (x) cos 2 (x) = 1 16 sin(5x) sin(x) sin(3x) 4.5 L exponentielle complexe Définition Soit z C, donné sous forme lgébrique z = x+iy. On ppelle exponentielle de z notée e z le nombre complexe e z = e x e iy. Remrque e z n est toujours ps une puissnce qu une nottion. Exemple e 2+iπ/2 = ie 2. : ce n est Théorème (i) l exponentielle complexe est 2iπ-périodique. (ii) pour tous z, z C, e z+z = e z.e z : on dit que l exponentielle trnsforme les sommes en produits. (iii) l exponentielle complexe ne s nnule ps. (iv) pour tous z C et t C, on e z = t k Z z = ln t +i rg t+2ikπ (i) fcile. (ii) Séprer prties réelle et imginire. (iii) L exponentielle ne s nnule ps sur R, et e iθ non plus (déjà vu). (iv) e z = t si et seulement si e Re z = t et Im z = rg t[2π]. Remrque L exponentielle n est ni surjective, ni injective, et il n existe ps de «logrithme complexe». 18

19 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES 5 Nombres complexes et géométrie plne 5.1 Colinérité et orthogonlité Interpréttion géométrique du rpport Théorème Soit z et z deux complexes non nuls. On note u et u les vecteurs d ffixes respectives z et z. Alors z z = u u ( z ) rg = ( u, u ) [2π] z 5.2 Trnsformtions usuelles Définition (Trnsformtions usuelles du pln). Soit M et M deux points du pln, u un vecteur, Ω un point du pln, θ R et λ R. 1. L trnsltion de vecteur u est l ppliction qui envoie M sur M, vérifint MM = u. 2. L rottion de centre Ω et d ngle θ est l ppliction qui fixe Ω et qui envoie tout point M différent de Ω, sur M vérifint ΩM = ΩM et ( ΩM, ΩM ) = θ[2π]. 3. L homothétie de centre Ω et de rpport λ est l ppliction qui envoie M sur M, vérifint ΩM = λ ΩM. Le premier point est immédit, le second découle de l interpréttion géométrique de l rgument. En notnt i le vecteur d ffixe 1, et en posnt θ = rg z, on z = z (cos θ + i sin θ), donc ( i, u ) = rg z [2π]. De même ( i, u ) = rg z [2π]. D où ( u, u ) = ( i, u ) ( i, u ) [2π] = rg z rg z [2π] ( ) z = rg [2π] z Corollire Soit A, B et M trois points deux à deux distincts d ffixes respectives, b et z. Alors (i) A, B et M sont lignés si et seulement si z z b R ; (ii) (AM) (BM) si et seulement si z z b ir. Exemple i, 1 et 2 i sont lignés, et 1 + i, 2 et 2i forment un ngle droit en 2. Théorème Soit M un point d ffixe z, et Ω un point d ffixe ω. (i) Soit u un vecteur d ffixe u. L imge de M pr l trnsltion de vecteur u pour ffixe le nombre complexe z + u ; (ii) Soit λ R. L imge de M pr l homothétie de centre Ω et de rpport λ pour ffixe le nombre complexe ω + λ(z ω) ; (iii) Soit θ R. L imge de M pr l rottion de centre Ω et d ngle de mesure θ pour ffixe le nombre complexe ω + e iθ (z ω). En prticulier, iz est l ffixe de l imge de M pr l rottion de centre O et d ngle de mesure π 2 ; (iv) L imge de M pr l symétrie centrle de centre O pour ffixe le nombre complexe z ; (v) L imge de M pr l symétrie pr rpport à l xe des bscisses (Ox) pour ffixe le nombre complexe z ; (vi) L imge de M pr l symétrie pr rpport à l xe des ordonnées (Oy) pour ffixe le nombre complexe z. 19

20 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES (i) L imge M de M est telle que OM = OM + u. On trduit cel en termes d ffixes. (ii) ΩM = λ ΩM, donc z ω = λ(z ω). (iii) ΩM = ΩM et ( ΩM, ΩM) = θ[2π], donc z ω = z ω et rg(z ω) rg(z ω) = θ[2π], d où z ω = e iθ (z ω). (iv) C est une homothétie de centre O et de rpport 1. (v) Déjà vu. (vi) On compose. Exemple L homothétie de centre (2 i) et de rpport 3 s écrit : z 3(z 2 + i) + 2 i = 3z 4 + 2i. 2. L rottion de centre 0 et d ngle π 2 s écrit z iz. 3. L rottion de centre (1 + i) et d ngle 2π 3 s écrit z j(z 1 i) + 1 i. 5.3 Similitudes et isométries Définition Soit λ > 0. On ppelle similitude (plne) de rpport λ toute ppliction f du pln dns lui-même telle que pour tous points M, N on it : f(m)f(n) = λmn On ppelle isométrie (plne) toute ppliction f du pln dns lui-même telle que pour tous points M, N on it : f(m)f(n) = MN Remrque Comme le nom l indique (rcines grecques), les isométries préservent les distnces. 2. Les isométries sont les similitudes de rpport L composée de deux isométries est une isométrie. 4. L composée de deux similitudes est une similitude de rpport le produit des rpports de celles-ci. 5. Il est clir que toute similitude est injective. On verr ci-dessous que toute similitude est en fit bijective. Exemple Les trnsltions, les rottions, les symétries et les homothéties sont des similitudes. Dns l suite de ce chpitre, on identifier le pln complexe et C, c est-à-dire qu on identifier un point vec son ffixe. Les pplictions du pln dns lui-même sont donc les pplictions de C dns lui-même. En ce qui concerne les similitudes, on lors le résultt suivnt : Théorème (i) Les similitudes plnes sont exctement toutes les pplictions de l forme z z + b ou z z + b, où (, b) C 2 vec 0 ; (ii) Les isométries plnes sont exctement toutes les pplictions de l forme z z + b ou z z + b, où (, b) C 2, et = 1. Soit f une ppliction de l forme z z+b, où (, b) C 2 vec non nul. Alors, soit (z, z ) C 2. On f(z ) f(z) = z z = z z. Donc f est une similitude de rpport. De même, toute ppliction f de l forme z z + b, où (, b) C 2 et 0 est églement une similitude de rpport. Donc les ppliction de l forme données dns l énoncé du théorème sont bien des similitudes dns le cs générl et des isométries dns le cs où = 1. Il reste à montrer que toutes les similitudes et les isométries sont de l forme donnée dns l énoncé. 1. Remrquons tout d bord qu il existe une unique isométrie plne fixnt 0, 1 et i. En effet, soit f une telle isométrie, c est-à-dire vérifint f(0) = 0, f(1) = 1 et f(i) = i. Alors, soit z C. z s écrit sous l forme x + iy et f(z) sous l forme x + iy où (x, y, x, y ) R 4. On f(z) f(0) = z 0, donc x 2 +y 2 = x 2 +y 2. De plus f(z) f(1) = z 1, donc (x 1) 2 +y 2 = (x 1) 2 + y 2. Pr soustrction de ces deux églités, on déduit x = x. En outre, f(z) f(i) = z i, donc x 2 +(y 1) 2 = x 2 + (y 1) 2. 20

21 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES Pr soustrction de cette églité à l première, on déduit y = y. On donc f(z) = z. Donc f est nécessirement l identité. Réciproquement l identité est bien une isométrie fixnt 0, 1 et i. 2. Montrons mintennt qu il existe deux isométries plnes et deux seulement fixnt 0 et 1. Soit f une telle isométrie. f(i) s écrit sous l forme x + iy où (x, y) R 2. On f(i) f(0) = i 0 = 1, donc x 2 +y 2 = 1. De plus f(i) f(1) = i 1, donc (x 1) 2 + y 2 = 2. Pr soustrction de ces deux églités, on donc 2x 1 = 1, donc x = 0. On en déduit y 2 = 1, donc y = 1 ou y = 1. Si y = 1, lors f(i) = i et d près ce qui précède, f est nécessirement l identité. Sinon, y = 1 et f(i) = i. Notons s : z z. s est bien une isométrie donc s f est une isométrie. Or s f fixe 0, 1 et i. Donc c est l identité : s f = Id, donc s s f = s Id, donc f = s. On donc f = Id ou f = s. Réciproquement s et Id sont bien des isométries fixnt 0 et Montrons mintennt que toute similitude fixnt 0 est de l forme z z ou de l forme z z vec 0. Soit f une telle similitude. Alors posons = f(1). On f(0) = 0 et f est injective donc 0. Notons lors g l similitude z z/. g f est une similitude fixnt 0 et 1. Donc son rpport est 1 : c est une isométrie. On donc g f = Id ou g f = s (où s : z z). En composnt à guche pr z z, on en déduit que f est l ppliction z z ou z z. 4. Montrons mintennt le résultt. Soit f une similitude. Alors posons b = f(0) et g : z z b. g f est une similitude fixnt 0, donc est de l forme z z ou z z. En composnt à guche pr z z + b, on en déduit que f est de l forme z z + b ou de l forme z z + b vec 0. Dns les deux cs, le rpport de l similitude est. Si f est de plus une isométrie, on donc de plus = 1. Définition (Similitude directe/indirecte). On distingue les similitudes directes et indirectes : (i) Toute similitude plne de l forme z z + b, vec, b C et 0 préserve les ngles orientés de vecteurs, et est dite directe. (ii) Toute similitude plne de l forme z z + b, vec, b C et 0 renverse les ngles orientés de vecteurs, et est dite indirecte. (i) Soient, b C tels que 0 et soit f l similitude z z + b. Soient en outre u, v et w trois points distincts. Leurs imges respectives pr f sont notées u, v et w. Alors u w (u + b) (w + b) (u w) = = u v (u + b) (v + b) (u v) = u w u v d où églité des rguments de ces expressions, et l églité des ngles recherchée. (ii) On obtient, de l même fçon, d où le résultt. u w u v = ( ) u w u v Exemple Trnsltions, rottions et homothéties vs. symétries xiles. Théorème (Crctéristion géométrique). Toute similitude plne directe est soit une trnsltion, soit l composée d une homothétie de rpport strictement positif et d une rottion de même centre. Dns ce second cs, si f est l composée d une homothétie de centre ω et de rpport λ > 0, et d une rottion de centre ω et d ngle de mesure θ, lors on dit que f est l similitude (directe) de centre ω, de rpport λ et d ngle de mesure θ. Toute isométrie plne directe est soit une trnsltion, soit une rottion. Soient (, b) C tels que 0 et soit f l similitude z z + b. Si = 1, lors f est une trnsltion de vecteur d ffixe b. Supposons donc que 1. Alors f possède un 21

22 CHAPITRE I. NOMBRES COMPLEXES unique point fixe, ω = f(z) ω = f(z) f(ω) = (z + b) (ω + b) b. On lors : 1 = (z ω) ( = e i rg (z ω) ) }{{} rottion de centre ω et d ngle de mesure rg }{{} homothétie de centre ω et de rpport > 0 = e i rg ( (z ω)) }{{} homothétie de centre ω et de rpport > 0 }{{} rottion de centre ω et d ngle de mesure rg Le résultt sur les isométries découle imméditement de celui sur les similitudes. Exemple L ppliction f z (1 + i)z + 2 est l similitude directe de centre 2i, de rpport 2 et d ngle de mesure π 4. 22

23 Chpitre II Quelques fondmentux 1 Propositions Connecteurs logiques Négtion Conjonction et et disjonction ou Impliction Équivlence Quntificteurs universel et existentiel Définition Permuttion de quntificteurs Négtion Le pseudo-quntificteur! Quntificteurs et inéglités Risonnement pr récurrence Principe du minimum Principe de récurrence simple Principe utilisé Erreurs clssiques Bonne définition d une suite Récurrence double Énoncé b Pr récurrence double c Pr récurrence simple Récurrence triple, etc Récurrence forte Énoncé b Pr le principe de récurrence forte 33 c Pr récurrence simple Récurrence à prtir d un certin rng Quelques récurrences fusses Suite négtive minorée pr un réel positif b n vleurs sont égles c Toutes les puissnces vlent

24 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX 1 Propositions Définition Une proposition est un énoncé qui peut prendre deux vleurs de vérité : «vri» (V) ou «fux» (F). Exemple > 7 Pour tout nombre réel x, il existe un entier n tel que n x < n Connecteurs logiques Définition Un connecteur logique est un outil mthémtique permettnt de construire une proposition à prtir d une ou plusieurs propositions. p p V F F V Théorème (Loi de l double négtion). Soit p une proposition, p et «non (non p)» sont deux propositions équivlentes, ce qui s écrit : Avec une tble de vérité : p ( p). p p ( p) V F V F V F Définition L tble de vérité d une proposition construite à prtir de connecteurs logiques est l donnée de l vleur de vérité de cette proposition pour chque jeu de vleur de vérité des propositions prises en rgument des connecteurs. Définition Deux propositions sont dites équivlentes si elles ont l même tble de vérité. On utilise lors le connecteur. Les prgrphes suivnts présentent les connecteurs logiques les plus utilisés en mthémtiques. 2.1 Négtion Définition Soit p une proposition. L proposition «non p», notée p, est l proposition qui est vrie qund p est fusse, et fusse qund p est vrie. S tble de vérité est : 2.2 Conjonction «et» et disjonction «ou» Définition Soient p et q deux propositions. L conjonction de p et q est une proposition dite «p et q» et notée p q, qui est vrie si p et q sont vries, et qui est fusse sinon. L disjonction de p et q est une proposition dite «p ou q» et notée p q, qui est fusse si p et q sont fusses, et qui est vrie sinon. Les tbles de vérités de ces connecteurs sont donc : p q p q p q V V V V F V F V F F F F V F F V Remrque Il existe un utre «ou», le «ou exclusif» : si p et q sont deux propositions, l proposition «p ou 24

25 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX exclusif q» est vrie si et seulement si p est vrie ou q est vrie, mis ps les deux. Autrement dit, cette proposition est fusse si et seulement si p et q ont même vleur de vérité. Dns l vie cournte, on utilise intuitivement le ou exclusif. Ex : fromge ou dessert. Très clssique : un logicienne, enceinte, croise un mi. L mi : «c est un grçon ou une fille?» L logicienne : «Oui.» Proposition (Tiers exclu). Pour toute proposition p, p p est vrie. Proposition (Non contrdiction). Pour toute proposition p, p p est fusse. Écrire les tbles de vérités de p p et p p. Théorème (Lois de De Morgn). Soit p et q deux propositions. 1. (p q) ( p) ( q). 2. (p q) ( p) ( q). 1. Construire les tbles de vérité de ces deux propositions et constter que ce sont les mêmes. 2. Pr le premier point et l loi de double négtion, (p q) ([ p] [ q]) ( [( p) ( q)]) ( p) ( q). Exemple Nier «je n ime ni le chocolt ni l vnille». Dns R 2, dessiner l ensemble {(x, y) R 2 x < 2 et y 3}, dessiner et décrire son complémentire. Exercice Soit p, q et r trois propositions. À quoi sont logiquement équivlentes p (q r) et p (q r)? 2.3 Impliction Définition Soient p et q deux propositions. On ppelle p q, qui se dit «p implique q», ou «si p lors q», l proposition ( p) q. Dns l impliction p q, p est l ntécédent, q le conséquent. Exercice Construire l tble de vérité de p q. Remrque En prtique, pour démontrer une impliction, on commence toujours, bêtement, pr «supposons p vrie». Il fut lors montrer que sous cette hypothèse q est vrie. p q peut être vrie même si p et q n ont rien à voir. Pr exemple : si 1 0 lors l eu mouille. p q est toujours vrie si p est fusse (le fux implique n importe quoi) ou q est vrie. Ainsi, si «0 0» lors «0 = 0»(cel peut prître étonnnt, on reviendr dessus à l fin du prgrphe «équivlence»). p q n implique ni que p est vrie ni que q est vrie. Pr exemple : Si les pommes étient des citrouilles, Newton serit mort ssommé. Ou bien : si je mesuris 2 m 20, je seris entrîneur de bsket. Proposition (Modus Ponens). Soit p et q deux proposition. Si p q est vrie et si p est vrie, lors q est vrie. Autrement dit, [p (p q)] q est toujours vrie. Consulter l tble de vérité de p q ou de [p (p q)] q. Théorème (Négtion d une impliction). Soit p et q deux propositions, lors (p q) (p ( q)). 25

26 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX C est une conséquence simple de l loi de De Morgn. Exemple En prtique, pour montrer p q est fusse on peut trouver un exemple où p est vrie mis où q est fusse. Ainsi, voir 18 ns n implique ps d voir droit de vote (ex : si on csier judiciire). De même, mesurer 2 m 20 n implique ps d être un joueur de bsket. Théorème (Contrposition). Soit p et q deux propositions, lors (p q) ( q p). C est une conséquence simple de l loi de double négtion. Remrque On peut formliser insi le principe de «démonstrtion pr l bsurde» : on veut montrer que p est vrie, schnt qu une certine proposition q est fusse. On suppose lors que p est fusse et si l on rrive à montrer que q est vrie : on obtenu une contrdiction! En fit on montré p q, et donc q p. Comme q est vrie, on p qui est vrie. Exemple Un entier ne peut ps être pir et impir. Soit n pir et impir. Alors il existe k, k Z tels que n = 2k = 2k + 1, donc k k = 1/2 est un entier, ce qui est bsurde. 2.4 Équivlence Définition Soient p et q deux propositions. L proposition p q, qui se lit «p équivut à q», est l proposition qui est vrie si et seulement si p et q ont l même vleur de vérité. Exercice Construire l tble de vérité de p q. Théorème (Équivlence et double impliction). Soit p et q deux propositions, lors (p q) ([p q] [q p]) Il suffit d écrire les tbles de vérités de ces propostions. Définition q p est ppelée l réciproque de p q. En prtique : pour montrer p q, il y 3 méthodes : 1. Montrer p p 1 p 2... q où les p i sont des propositions intermédiires ; 2. Montrer q p puis p q ; 3. Montrer p q puis l contrposée de s réciproque, i.e. p q Définition Soient p et q deux propositions. On dit que l proposition p est nécessire pour voir l proposition q si q p est vrie. On dit que l proposition p est suffisnte pour voir l proposition q si p q est vrie. On dit que l proposition p est nécessire et suffisnte pour voir l proposition q si q p est vrie. Remrque Revenons sur l tble de vérité de l impliction. Intuitivement, si p est vrie et q fusse, p q est fusse. De même, si p et q sont vries, on conçoit que p q le soit. Dns les deux utres cs, l intuition se perd. Consttons que si p q étit vrie si p étit fusse et q vrie, ou si p q étit fusse si p et q étient fusses, l tble de l impliction serit l même que celle d une utre connecteur logique déjà connu (construire et identifier les tbles de tous les connecteurs possibles de deux propositions pour s en convincre). 26

27 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX Exemple Montrons que 2 / Q. On montre d bord que, si n est un entier, lors «n est pir» si et seulement si «n 2 est pir». Si n est pir, son reste dns l division euclidienne pr 2 est nul : il existe k Z tel que n = 2k. Donc n 2 = 2 2k 2 est pir. Si n est impir, son reste dns l division euclidienne pr 2 n est ps nul, donc vut 1 : il existe k Z tel que n = 2k + 1. Donc n 2 = 2 (2k 2 + 2k) + 1 est impir. On vient bien de montrer l équivlence nnoncée. Puis, on suppose que 2 Q et l on écrit 2 sous forme frctionnelle irréductible : il existe p Z et q N sns diviseurs communs utres que 1 ou 1, tels que 2 = p q. On élève u crré : p 2 = 2q 2, donc p 2 est pir, donc p ussi. Il existe donc p Z tel que p = 2p, et l on lors q 2 = 2p 2, donc q 2 est pir et q est pir ussi. Ainsi, p et q ont bien un diviseur non trivil, 2, c est bsurde, donc 2 / Q. Remrque Vous remrquerez que les symboles et n ont ps été utilisés dns l démonstrtion précédente. C est norml : ils servent à construire des phrses formelles, ps à les démontrer. On ne les utilise donc jmis dns une démonstrtion : à l plce, on rédige en frnçis, en utilisnt pr exemple l conjonction de coordintion «donc». 3 Quntificteurs universel et existentiel 3.1 Définition Définition On ppelle prédict toute proposition dépendnt d une ou plusieurs vribles, et qui, pour chque jeu de vleurs de ces vribles, prend l vleur V ou F. Exemple P (x, y) x + y = 2. Définition Si P est un prédict qui dépend de l vrible x et éventuellement d utres vribles, lors x, P (x) et x, P (x) sont deux prédicts qui ne dépendent ps de x et : x, P (x) est vri si, pour toutes les vleurs de x, P (x) est vri ; x, P (x) est vri s il existe une vleur de x pour lquelle P (x) est vri. est ppelé quntificteur universel et est le quntificteur existentiel. Remrque On spécifier tout le temps dns les quntificteurs les ensembles sur lesquels sont considérées les vribles. On écrir pr exemple et x R, x 2 0 R, n Z, n. Remrque Si P est un prédict d une vrible, x, P (x) est un prédict de zéro vribles, c est-à-dire une proposition. Exemple Soit P (x, y) xy = 0. Alors x R, y R, P (x, y) est fusse, mis x R, y R, P (x, y) est vrie. Soit P (x) x.0 = 0 : lors x C, P (x) est vrie. Les quntificteurs sont des symboles mthémtiques utilisés pour construire des phrses mthémtiques. Ils ne sont en ucun cs à utiliser u cours d une démonstrtion. En prtique : Pour montrer que x E, P (x) est vrie, on commencer (presque) toujours pr écrire «Soit x un élément de E» : x est mintennt fixé (et pris quelconque), on peut mintennt montrer P (x). Pour montrer que x E, P (x) est vrie, il «suffir» d exhiber une vleur de x dns E telle que P (x) soit vrie. 27

28 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX Remrque Dns les propositions x, P (x) et x, P (x), l vrible x est muette. On peut donc remplcer l lettre x pr n importe quelle utre lettre. Pr exemple, x R, x 2 = 1 est l même proposition que ξ R, ξ 2 = 1 et que R, 2 = Permuttion de quntificteurs Proposition On peut permuter les entre eux et les entre eux. Admis. Remrque On bréger prfois x E, y E, P (x, y) en x, y E, P (x, y). C est ussi équivlent à (x, y) E 2, P (x, y). Exemple x N, y N, x.y 0 y N, x N, x.y 0 x R, y R, x + y 0 y R, x R, x + y 0 On ne peut en générl ps permuter un et un. Exemple Comprer les propositions : «pour toute poule il existe un oeuf d où est sortie l poule» et «il existe un oeuf d où sont sorties toutes les poules». Exercice Donner un exemple formel du dernier point. 3.3 Négtion Proposition Soit P un prédict. 1. L négtion de xp (x) est x, P (x). 2. L négtion de x, P (x) est x, P (x). Admis. En prtique, il fut svoir nier une phrse vec des et. Exemple x R, y Z tq x y se nie en x R tq y Z, x > y. 3.4 Le pseudo-quntificteur! Pour simplifier l rédction, il existe le pseudoquntificteur!. L proposition!x, P (x) signifie : il existe un unique x tel que P (x). Pour démontrer une telle proposition, il fut montrer d un côté l prtie existence, et d un utre côté l prtie unicité. Exercice Écrire!x, P (x) en n utilisnt que les symboles et. 3.5 Quntificteurs et inéglités. On commet souvent un bus d écriture, notmment en nlyse, en rccourciçnt l phrse en x R, [x M P (x)] x M, P (x). Dns l deuxième écriture, l quntifiction porte implicitement sur x et non sur M (qui doit voir été fixé ou quntifié uprvnt). De plus, le domine de P n est plus explicitement défini. Exemple Soit (u n ) n N une suite de nombres réels, l proposition «u n +» (qui se lit «(u n) tend n + vers +») s écrit formellement A R, n 0 N, n N, n n 0 u n A, mis on l écrir plutôt A R, n 0 N, n n 0, u n A. 28

29 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX 4 Risonnement pr récurrence L objectif de cette prtie est de montrer comment rédiger une récurrence, à prtir d exemples, en présentnt en prticulier quelques erreurs courntes, mis ussi de présenter une utre technique de démonstrtion, extrêmement puissnte, ppelée principe du minimum. Il y plusieurs fçons possibles de rédiger une récurrence. Némmoins l expérience montre que les étudints qui essient de l écrire de fçon originle l écrivent rrement correctement. En d utres termes : nous vous conseillons très fortement de suivre les modèles donnés ici, mis vous êtes bsolument libres de ne ps suivre les conseils ci-dessous. Pour mémoire, dns 9 cs sur dix, ceux qui n ont ps suivi le modèle donné ici rédigent ml leurs risonnements pr récurrence et perdent en conséquence les points correspondnts dns leurs DS. Pour fixer les idées, nous trvillerons essentiellement sur des exemples, et prfois sur des exemples très simples. 4.1 Principe du minimum Définition Soit E un ensemble de réels. On ppelle minimum de E, tout réel x vérifint x E et y E x y. Remrque Certins ensembles de réels n dmettent ps de minimum. Exemples : ]0, 1], ]0, 1], R, R +, R. 2. Tout ensemble de réels dmet u plus un minimum. Lorsqu il existe, le minimum d un ensemble E est noté min(e). L ensemble des entiers nturels possède l propriété fondmentle suivnte qu on dmettr : Proposition Tout ensemble E d entiers nturels non vide dmet un minimum. Remrque Pour tout ensemble d entiers nturels E, on x [[0, min(e)[[ x / E. Corollire Tout sous-ensemble de Z minoré (resp. mjoré) non vide dmet un minimum (resp. mximum). Proposition (Principe du minimum). Soit P un prédict sur les entiers nturels. Supposons qu il existe u moins un entier rendnt fux le prédict P. Alors l ensemble des entiers nturels sur lesquels P est fux dmet un plus petit élément n 0 et on 1. non (P (n 0 )), 2. et n [[0, n 0 [[ P (n). Exercice Soit N un entier non-nul et 0, 1,..., N des réels. On pose f : R R. x N k x k k=0 On suppose x R f(x) = 0. Montrer que les coefficients 0, 1,..., N sont tous nuls. Indiction : si ces coefficients ne sont ps tous nuls, on pourr s intéresser u plus grnd coefficient k non-nul et regrder l limite de f en Principe de récurrence simple Principe utilisé 29

30 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX Définition Soit P un prédict sur les entiers nturels. Pour n N, on dit que P est héréditire u rng n si et seulement si on P (n) P (n+1) (utrement dit, P n est ps héréditire u rng n si et seulement si on P (n) et P (n + 1)) On dit que P est héréditire sur N si et seulement si P est héréditire à tout rng, c est-à-dire si et seulement si on : Montrons n N P (n) pr récurrence. Montrons P (0). On 0 0(0 + 1) k = 0 =, 2 k=0 donc on P (0). Soit n N. Supposons P (n) et montrons P (n + 1). Alors, on n N (P (n) P (n + 1)) k = k=0 n(n + 1) 2 Exemple Le prédict : P (n) : k = n 2 est-il héréditire? Et le prédict Q(n) : Et le prédict R(n) : k=0 k = k=0 k=0 k = 2 + n(n + 1) 2? n(n + 1) 2 Théorème (Principe de récurrence simple). Soit P un prédict sur les entiers nturels. Supposons qu on P (0) et que P est héréditire. Alors P est vrie pour tout entier nturel n. Il suffit d ppliquer le principe du minimum à P : s il existe un entier nturel n tel que P (n) est fusse, on peut lors considérer le plus petit de ces entiers, noté n 0. Comme P (0) est vrie, n 0 > 0 et donc n 0 1 N. Ainsi, P (n 0 1) est vrie et, comme P est héréditire, P (n 0) est ussi vrie, ce qui est bsurde. On obtient donc bien que n N, P (n). Exemple Soit n un entier nturel. Montrons que? k = k=0 n(n + 1). 2 Pour tout n N, notons P (n) l ssertion «k = k=0 n(n + 1)». 2 Ainsi, n+1 k=0 ( n ) k = k + n + 1 k=0 n(n + 1) = + n n(n + 1) + 2(n + 1) = 2 (n + 2)(n + 1) =, 2 donc on P (n + 1). On donc n N P (n). 4.3 Erreurs clssiques Nous listons ici des erreurs fréquemment trouvées dns les copies. Muvise définition de l ssertion clssique de cette erreur : Notons P (n) l ssertion n(n + 1) «n N k =» 2 k=0 Forme Explictions : cette définition, mthémtiquement, signifie exctement l même chose que : Notons P (n) l ssertion p p(p + 1) «p N k =» 2 k=0 30

31 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX Autrement dit, P (n) ne dépend ps de n. Inutile lors de tenter une démonstrtion pr récurrence... Vrinte 1 : Notons P (n) l ssertion p «pour tout n N, k = Vrinte 2 : k=0 Notons P (n) l ssertion «n(n + 1)». 2 k = k=0 n(n + 1) pour tout n N». 2 En revnche, l formultion suivnte est cceptble, bien qu à éviter : Notons P (n) l ssertion «k = n(n + 1)» pour tout n N. 2 k=0 Muvise énoncition de l objectif clssique de cette erreur : Pour n N, notons P (n) l ssertion n(n + 1) «k =». 2 k=0 Montrons P (n) pr récurrence. Forme Explictions : on ne précise ps ici ce qu est n. De plus, le principe de récurrence ne montre ps P (n) pour un n donné mis pour tout n. Il convient donc d écrire Montrons n N P (n) pr récurrence ou une vrinte, comme Montrons pr récurrence que pour tout entier nturel n on P (n). Muvise démonstrtion de l hérédité Forme clssique de cette erreur : Supposons n N P (n). Montrons n N P (n + 1). Explictions : une fois que l on supposé n N P (n), il n y ps beucoup de trvil à fournir pour montrer n N P (n)... Vrinte 1 : Supposons n N P (n). Montrons P (n + 1). Vrinte 2 : Supposons, pour tout entier nturel n, P (n) et montrons P (n + 1) Vrinte 3 : Supposons, pour tout entier nturel n, P (n) et montrons pour tout entier nturel n, P (n + 1). 4.4 Bonne définition d une suite Notons (u n ) n N l suite définie pr { u 0 = 5 et n N u n+1 = 2 + u n 1 Montrer que l suite u est bien définie. Ici, le terme «bien définie» signifie non seulement que pour tout n, on bien donné une expression pour définir u n mis ussi que cette expression est définie, c est-à-dire qu elle mthémtiquement un sens. Pour n donné, montrer que u n est bien définie est un prélble à l démonstrtion de toute propriété de u n. Ici, il s git de montrer que pour tout n l expression 2 + u n 1 est bien définie, c est-à-dire que u n 1 est positif ou nul, utrement dit u n 1. Pour n donné, on voit lors que d une prt, pour montrer que u n+1 est bien défini, il v flloir montrer tout d bord u n 1 et d utre prt, pour montrer u n 1, on v voir besoin u prélble de s ssurer que u n est bien défini. Autrement dit : on v voir besoin de démontrer simultnément ces deux propriétés. Pour n N, notons P (n) l ssertion «u n est bien défini et u n 1» Montrons n N P (n) pr récurrence : 31

32 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX On clirement P (0). Soit n N. Supposons P (n) et montrons P (n + 1). u n est bien défini et u n 1. Donc u n 1 0. Donc u n 1 est bien défini. Donc u n+1 est bien défini, et de plus u n u n Donc on P (n + 1). On donc n N P (n) L suite u est donc bien définie (et de plus pour tout entier nturel n, u n 1). Problème de définition non étudié On trouve prfois l réponse erronée suivnte : Pour tout entier nturel n, n = 0 ou n est de l forme k + 1. On donné une définition à u n dns chcun de ces deux cs, donc u est bien définie. Mnifestement, l uteur du texte ci-dessus n ps compris que l définition u n+1 = 2 + u n 1 pouvit poser problème. 4.5 Récurrence double Énoncé Notons u l suite définie pr : u 0 = 2 u 1 = 3 n N, u n+2 = 1 + u n + u n+1 2 Montrer que u est bien définie. On s perçoit vite qu il v flloir montrer simultnément que u n est bien défini et qu on u n 1. On v donc, pour tout n N, définir P (n) comme l ssertion «u n est bien défini et u n 1» De plus, pour montrer cette P à un rng donné, il v flloir supposer qu elle est vérifiée u deux rngs précédents. Il ne suffit donc ps de chercher à démontrer P pr récurrence. Pour répondre à cette question on v utiliser un principe de récurrence double, dns lequel l initilistion consiste à montrer P (0) et P (1) et l démonstrtion de l hérédité consiste à montrer ( (P ) ) n N (n) et P (n + 1) P (n + 2) b c Pr récurrence double Pour tout n N, notons P (n) l propriété «u n est bien défini et u n 1» Montrons n N P (n) pr récurrence double. On clirement P (0). On clirement P (1). Soit n N. Supposons P (n) et P (n + 1) et montrons P (n + 2). u n et u n+1 sont bien définis et de plus u n 1 et u n+1 1. Donc u n + u n Donc u n+2 est bien défini et de plus, u n+2 = 1 + u n + u n Donc on P (n + 2). On donc n N P (n) En prticulier l suite u est bien définie. Énoncé du principe Théorème (Principe de récurrence double). Soit P un prédict portnt sur N. Si : P (0) et P (1) sont vris, pour tout n N, si P (n) et P (n + 1) sont vris lors P (n + 2) est vri, lors n N, P (n). On peut montrer pr récurrence simple que pour tout n N, Q(n) : «P (n) et P (n + 1)». Ou bien on peut utiliser le principe du minimum : si P n est ps toujours vri, on considère le plus petit entier pour lequel P est fux etc. 32

33 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX 4.6 Récurrence triple, etc. On peut, de l même fçon, voir besoin de principes de récurrence triple, qudruple,... Si cel s vère nécessire, on pourr les utiliser sns démonstrtion. Ainsi, ppliquer le principe de récurrence triple pour démontrer n N P (n) consister à démontrer d une prt P (0), P (1) et P (2), et d utre prt à démontrer que pour tout n N, si on P (n) et P (n + 1) et P (n + 2) lors on P (n + 3). Là encore, si l on préfère, on pourr se psser d une récurrence triple et utiliser simplement l récurrence ordinire. Il suffir pour cel de définir, pour tout n N, Q(n) comme «P (n) et P (n + 1) et P (n + 2)» et de montrer n N Q(n) pr récurrence simple. Enfin, on peut évidemment là ussi se psser de tout principe de récurrence en utilisnt le principe du minimum. 4.7 Récurrence forte Enfin, il existe des cs où ni une récurrence simple, ni une récurrence double, ni une récurrence triple ne semblent suffire. Dns ces cs, on pourr utiliser le principe de récurrence forte. Énoncé Notons u l suite définie pr u 0 = 1/2 1 et n N u n+1 = 1/2 + n u k 1 k=0 Montrez que u est bien définie. On s perçoit ssez vite qu on peut espérer montrer que pour tout n N, on u n 1. Mis pour montrer l propriété pour n donné, il v flloir supposer qu elle est vrie pour toutes les entiers nturels strictement inférieurs. On v donc utiliser le principe de récurrence forte. Celui-ci peut s énoncer comme suit : 1. Étnt donné un entier nturel n, on dit qu une propriété P est fortement héréditire u rng n si ( ) m [[0, n] P (m) P (n + 1) (ou de fçon équivlente, si P (0) et P (1) et... et P (n) implique P (n + 1)) 2. On dit qu une propriété P est fortement héréditire si pour tout entier nturel n, P est fortement héréditire u rng n. 3. Le principe de récurrence forte dit simplement qu une propriété P vrie en 0 et fortement héréditire est vrie pour tout entier nturel. Remrque Dire que P est fortement héréditire u rng n est équivlent à dire que n ne peut ps être l entier minimum pour lequel P est fux. Exemple On peut montrer que tout prédict héréditire est fortement héréditire. L réciproque est fusse comme le montre le prédict P défini comme suit : pour n N, P (n) est l ssertion «n(n 2) 0». b Pr le principe de récurrence forte Pour tout n N, notons P (n) l propriété «u n est bien défini et u n 1» Montrons pr récurrence forte que pour tout n N, on P (n). On clirement P (0). Soit n N. Supposons que pour tout m N vérifint m n, on P (m). Montrons P (n + 1). Pour tout k {0,..., n}, u k est bien défini, donc l somme u k est bien définie. k=0 33

34 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX c En outre, pour tout k {0,..., n}, u k 1, donc Donc u k k=0 1 = n 1 k=0 1/2 + n u k 0 k=0 Donc u n+1 est bien défini, et de plus, on u n+1 = 1/2 + n u k 1 1 k=0 Donc on P (n + 1) Pr le principe de récurrence forte, on donc n N P (n) Donc u est bien définie. Énoncé du principe Théorème (Principe de récurrence forte). Soit P un prédict portnt sur N. Si : P (0) est vri, pour tout n N, si P (0), P (1),..., P (n) sont vris, lors P (n + 1) est vri, lors n N, P (n). On peut montrer pr récurrence simple que pour tout n N, R(n) : «P (0) et P (1) et... et P (n)». Ou bien on peut utiliser le principe du minimum : si P n est ps toujours vri, on considère le plus petit entier pour lequel P est fux etc. 4.8 Récurrence à prtir d un certin rng Il s git mintennt de fire démrrer l récurrence à un utre rng que le rng 0. Énoncé Soit u une suite, n 0 un entier et α un réel strictement positif. On suppose que pour tout n n 0, on Montrer u n+1 α u n n n 0 u n α n n 0 u n0 Modèle proposé Pour tout n n 0, notons P (n) l propriété u n α n n 0. Montrons pr récurrence que pour tout n n 0, P (n) est vrie. On u n0 = α n 0 n 0 u n0. Donc on P (n 0 ). Soit n n 0. Supposons P (n). Montrons P (n + 1). On u n+1 α u n cr n n 0. Pr illeurs u n α n n 0 u n0. Donc α u n α n+1 n 0 u n0. Donc u n+1 α n+1 n 0 u n0. On donc P (n + 1) On donc n n 0 P (n) 4.9 Quelques récurrences fusses Exercice : chercher l erreur dns les pseudodémonstrtions ci-dessous. Suite négtive minorée pr un réel positif... Notons u l suite définie pr u 0 = π 4 n N u n+1 = 6u n 4 (il est clir que u est bien définie) Montrons que pour tout n N, u n 4 5. Pour tout n N, notons P (n) l propriété «u n 4 5» Montrons n N P (n) pr récurrence. On P (0). 34

35 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX Soit n N. Supposons P (n). Montrons P (n + 1). On : u n 4 5 donc 6u n 24 5 donc 6u n donc u n Ainsi, on P (n + 1). Donc on n N P (n) Clculons les vleurs pprochées des premiers termes de l suite vec Python : def f(x) : """Clcule 6*x-4, précondition return 6 * x - 4 : x réel""" from mth import pi x = pi / 4 # u_0 u = [x] # Contient u_0 for i in rnge(5) : x = f(x) # Clcule le terme suivnt de u u.ppend(x) # Ajoute le nouveu terme print(u) # Affiche les vleurs clculées On obtient les vleurs suivntes : u u u u 3 2, u u Autrement dit, u 5 est négtif et devrit être supérieur à b n vleurs sont égles Montrons que pour tout entier n non nul, et tout n-uplet (x 1,..., x n ), on x 1 = x 2 =... = x n Autrement dit : toutes les composntes d un n-uplet sont égles. Pour tout n 1, notons P (n) l propriété «pour tout n-uplet (x 1,..., x n ), on x 1 = x 2 =... = x n.» Montrons n 1 P (n) pr récurrence. On clirement P (1). Soit n 1. Supposons P (n) et montrons P (n + 1). Soit (x 1,..., x n+1 ) un n + 1-uplet. (x 1,..., x n ) est un n-uplet donc on x 1 = x 2 =... = x n (x 2,..., x n+1 ) est un n-uplet donc on Donc on x 2 =... = x n+1 x 1 = x 2 =... = x n+1 Donc on P (n + 1). On donc n 1 P (n). c Toutes les puissnces vlent 1 Soit R. Montrons que pour tout entier nturel non-nul n, on n 1 = 1. Notons P (n) l propriété «n 1 = 1». Montrons n 1 P (n) pr récurrence forte. On clirement P (1). Soit n 1. Supposons m [[1, n] P (m). Montrons P (n + 1). On n+1 1 = n = n 1 n 1 (n 1) 1 Or pr hypothèse de récurrence, P (m) est vrie pour tout m n, donc P (n) et P (n 1) sont vries. Donc n 1 = 1 et (n 1) 1 = 1. D où : n+1 1 = Donc on P (n + 1). 35

36 CHAPITRE II. QUELQUES FONDAMENTAUX On donc n 1 P (n) 36

37 Chpitre III Un peu de clcul 1 Le symbole somme : Σ Le symbole produit : Π Quelques formules à connître Clcul mtriciel élémentire Définitions élémentires Opértions sur les mtrices Mtrices crrées Systèmes linéires et pivot de Guss Définitions Interpréttion géométrique Dns le pln b Dns l espce Structure des solutions Opértions sur les lignes d un système Algorithme du pivot Cs d un système digonl b Cs d un système tringulire inversible c Cs d un système tringulire non inversible d Cs générl

38 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL 1 Le symbole somme : Σ Définition Soient I un ensemble fini et (z i ) i I une fmille de nombres complexes indexée pr I (c est-à-dire il existe une ppliction z : I C et on note z i = z(i)). L somme des z i, i prcournt l ensemble I, est notée z i. i I Dns le cs où I = m, n, où m, n Z sont tels que m n, on l note plus courmment ou m k n z k k=m z k. Elle vut z m + z m+1 + z m z n. Dns le cs où I = m, n p, q où m, n, p et q Z sont tels que m n et p q, on l note plus courmment z kl. m k n, p l q Remrque On pourrit formellement définir ces symboles pr récurrence sur le nombre d objets sommés. Remrque Dns une expression du type f(k), on dit que k=m l vrible k est muette. En effet, on peut remplcer l lettre k pr un utre nom de vrible non encore utilisé, sns chnger le sens de l expression. Ainsi f(k), f(i) et f(brndon) k=m i=m Brndon=m m=m n=m f=m sont synonymes. Pr contre on ne peut ps écrire f(m), f(n) ou f(f), qui n ont ucun sens. On essier bien entendu de grder des nottions cohérentes vec le contexte... et risonnbles. Remrque On peut donner le même sens à ce symbole dns un groupe commuttif, dont l loi est notée +. Proposition (Chngements d indice). Soit n, m Z, tels que m n. 1. Si f est une ppliction, et I = m, n + 1, n+1 lors f(k + 1) = f(k). 2. k=m f(k) = k=0 n 1 k=0 f(n k). k=m+1 f(n k) et k=0 f(k) = k=1 1. On le montre pr récurrence sur n, en ynt fixé un entier m. Si n = m, lors f(k + 1) = f(m + 1) = k=m n+1 k=m+1 f(k). Soit un entier n m, supposons que l identité soit vrie u rng n. Alors, n+1 f(k + 1) = k=m = = f(k + 1) + f(n ) k=m n+1 k=m+1 n+2 k=m+1 f(k) + f(n + 2) f(k). Ainsi, l propriété est vrie u rng n + 1 et l on peut conclure pr récurrence. 2. On montre l première pr récurrence sur n. Si n = 0, lors f(k) = f(0) = f(n 0) = k=0 f(n k). k=0 Soit un entier nturel n, supposons que l identité soit vrie u rng n. Alors, n+1 f(k) = k=0 = f(k) + f(n + 1) k=0 f(n k) + f(n + 1) k=0 n+1 = f(n + 1 k) + f(n + 1 0) k=1 n+1 = f(n + 1 k). k=0 38

39 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL Ainsi, l propriété est vrie u rng n + 1 et l on peut conclure pr récurrence. L seconde identité se déduit imméditement de cellelà vec un déclge d indice. Exemple i 2 = (i + 1) 2 i=3 i=2 3 3 = (i + 3) 2 = (6 i) 2. i=0 i=0 Le résultt suivnt est fondmentl. Svoir repérer une somme télescopique et l simplifier (ou, réciproquement, fire pprître une somme télescopique à l plce de l différence de deux termes) est un svoir fire importnt. Théorème (Simplifiction téléscopique). Soit (z k ) m k n+1 une fmille de nombres complexes. Alors : (z k+1 z k ) = z n+1 z m. k=m Remrque Ceci est l nlogue discret du résultt d intégrtion b f éligibles. f (t) dt = f(b) f(), pour les fonctions Commencer pr écrire l somme «à l min»vec des «petits points» pour voir. Ensuite, pr chngement d indice : (z k+1 z k ) = k=m = z k+1 k=m n+1 k=m+1 z k = z n+1 z m. k=m k=m Remrque L dernière églité se comprend intuitivement, on peut l montrer formellement pr récurrence sur n. z k z k Exemple Clculer l somme k=1 1 k(k + 1). Théorème (Sommes doubles et permuttion des Σ). Soit (z ij ) m i,j n une fmille de nombres complexes. Alors : 1. z ij = z ij = z ij. m i,j n i=m j=m j=m i=m j 2. z ij = z ij = z ij. m i j n i=m j=i j=m i=m 3. m i<j n z ij = n 1 i=m j=i+1 z ij = On se contenter de dessiner un tbleu. j 1 j=m+1 i=m 2 Le symbole produit : Π z ij. Le symbole Π est u produit ce que le symbole Σ est à l somme. Définition Soient I un ensemble fini et (z i ) i I une fmille de nombres complexes indexée pr I. Le produit des z i, i prcournt l ensemble I, est noté i I z i. Définition (Fctorielle). Pour tout n N\{0} (noté ussi N ), on ppelle fctorielle n, notée n! le nombre n! = n k = n. k=1 Pr convention, 0! = 1. Exemple Il est bon de connître les 5 ou 6 premières fctorielles : 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 et 6! =

40 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL Les nombres fctoriels vérifient l reltion de récurrence suivnte. Proposition Pour tout n N, (n + 1)! = (n + 1) n!. Immédit. Théorème (Simplifiction téléscopique). Soit (z k ) m k n+1 une fmille de nombres complexes non nuls. Alors : = z n+1 n z k+1. z k z m k=m Il y pour les produits l exct nlogue du théorème pour les sommes, et l démonstrtion est elle ussi nlogue. En générl on ne peut ps permuter 3 2 les Σ et les Π. Pr exemple, clculer 1 et j=1 i=1 i=1 j=1 Remrque Dns le cs d un produit de nombres réels strictement positifs, on penser souvent à ppliquer le logrithme pour se rmmener à une somme. 3 Quelques formules à connître Théorème Soit n un entier nturel. Alors n(n + 1) (i) k = ; 2 (ii) k=0 k=0 k 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 Les deux se démontrent fcilement pr récurrence. Pr curiosité et pour s entrîner, voici deux utres démonstrtions : (i) On note S n = k. On fit un chngement d indice : S n = n k=0 k=0 (n k) et on développe : S n = k=0 k = n(n + 1) S n, d où 2S n = n(n + 1). k=0 (ii) On note S n = k 2. Pour tout k 0, n, on : k=0 (k +1) 3 k 3 = 3k 2 +3k +1. On somme tout ç de 0 à n, et on obtient, près simplifiction téléscopique du membre de guche : (n + 1) 3 = 3S n n(n + 1) n + 1. Ç se simplifie pour donner le résultt voulu. Définition (Coefficients binomiux). Soit (n, k) N 2 tels que k n. On ppelle coefficient ( ) binomil, ussi lu «k prmi n», le réel noté n n! vlnt k k!(n k)!. On étend( cette ) définition à tout (n, k) N Z n en posnt = 0 pour k > n ou k < 0. k Remrque On utiliser souvent : ( ) n = k n i=n k+1 k j=1 j i = n n 1 n k + 1. k k 1 1 Théorème (Formule du tringle de Pscl). Soit (n, k) N Z. Alors ( ) n = k ( ) n 1 + k 1 ( ) n 1. k 40

41 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL Se fit pr un clcul direct. Remrque Cette formule permet de clculer pr récurrence tous les coefficients binomiux, en les représentnt pr exemple dns le tringle de Pscl. Corollire Soit (n, k) N Z, ( ) n est un entier. k L démonstrtion se fit ( pr ) récurrence sur n, vec l hypothèse : «k 0, n, est un entier», en utilisnt l n k formule de Pscl pour l hérédité. Théorème Sur un rbre représentnt les répétitions d une même expérience létoire, le coefficient binomil k prmi n compte le nombre de chemins rélisnt k succès pour n répétitions. En prticulier, c est un entier. L figure 1 illustre le clcul de ces coefficients pour 4 répétitions. Pour n N, notons ( ) H n l proposition : «pour tout n k [[0, n]], il y chemins rélisnt k succès pour k n répétitions.» H 1 est évidente ; Soit n N vérifint H n. Montrons H n+1. ( ) n + 1 Soit k [[0, n + 1]]. Montrons qu il y k chemins rélisnt k succès pour n + 1 répétitions. Il est immédit qu il n y qu un chemin ( rélisnt ) 0 n + 1 succès pour n + 1 répétitions. Or = 1. 0 De même, il n y qu un chemin( rélisnt ) n + 1 n + 1 succès pour n + 1 répétitions. Or = 1. n + 1 Le résultt est donc démontré si k = 0 ou k = n + 1. Supposons donc mintennt k [[1, n]]. Comptons le nombre de chemins rélisnt k succès pour n + 1 répétitions : pour un tel chemin, regrdons le résultt de l dernière répétition. Si c est un succès, cel signifie que prmi les n premières répétitions, k 1 succès ont été rélisés ; si c est un échec, cel signifie que prmi les n premières répétitions, k succès ont été rélisés. Réciproquement, pour tout chemin rélisnt k 1 succès pour les n premières répétitions il y un chemin rélisnt k succès pour n + 1 répétitions dont l dernière répétition est un succès et pour tout chemin rélisnt k succès pour les n premières répétitions, il y un chemin rélisnt k succès pour n + 1 répétitions dont l dernière répétition est un échec. Pr conséquent, le nombre de chemins rélisnt k succès pour n + 1 répétitions est égl u nombre de chemins rélisnt k succès pour n répétitions plus le nombre de chemins rélisnt k 1 succès pour n répétitions. D près l hypothèse de récurrence, le nombre de chemins rélisnt k succès pour n + 1 répétitions vut donc ( n k 1 d près l formule de Pscl, vut bien Donc on H n+1. On donc, pour tout n N, H n. ) ( ) n +, ce qui, k ( ) n + 1. k Remrque ( ) n est ussi égl u nombre de possibilités k de choisir k éléments dns un ensemble de n éléments. Considérons un gobn de tille n + 1 fois n + 1. On le coupe le long d une digonle, et on n en conserve que l moitié. On pose cette moitié sur une tble, le long de s digonle, verticlement. On numérote lors de 0 à n les intersections de cette digonle, de guche à droite. Une fourmi ce trouvnt en hut, sur le coin opposé à l digonle, décide de descendre sur l tble en suivnt les lignes du gobn, mis en se dirigent toujours vers le bs. À chque intersection de lignes, deux choix s offrent donc à elle. On peut lors montrer que le nombre de chemins pr lesquels l fourmi peut tteindre l kème ( ) intersection de l digonle est exctement. n k Proposition Soit n N et k 0, n. On ( ) ( ) n n =. k n k 41

42 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL E E S E S E S E S E S E S E S 0 succès et 4 échecs 1 succès et 3 échecs 1 succès et 3 échecs 2 succès et 2 échecs 1 succès et 3 échecs 2 succès et 2 échecs 2 succès et 2 échecs 3 succès et 1 échec S E S E S E S E S E S E S E S 1 succès et 3 échecs 2 succès et 2 échecs 2 succès et 2 échecs 3 succès et 1 échec 2 succès et 2 échecs 3 succès et 1 échec 3 succès et 1 échec 4 succès et 0 échec Figure III.1 Chemins des succès et échecs pour 4 répétitions d une expérience Remrquer que k = n (n k)! L formule suivnt n est ps exigible mis est fort utile. Proposition Soit n N ( ) n n 1. k k 1 Fcile et lissée en exercice. et 0 < k n, lors ( ) n k Théorème (Formule du binôme de Newton). Soient n N et, b C. On : ( ) ( + b) n n = k b n k. k k=0 = Pr récurrence. Corollire ( ) n Soit n > 0. = 2 n et k k=0 Théorème Soient n N et, b C. Alors : ( ) ( 1) k n = 0. k k=0 n 1 n b n = ( b) k b n k 1. k=0 Développement et simplifiction téléscopique. Corollire Soient n N et, b C. Alors, 2n+1 + b 2n+1 = ( + b) 2 k=0 ( 1) k k b 2n k. 42

43 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL 2n+1 +b 2n+1 = 2n+1 ( b) 2n+1 et on utilise le théorème précédent. Corollire (Formule de sommtion géométrique). Soient n N et z C. Alors, n 1 z n 1 z k si z 1 = z 1. k=0 n si z = 1 étnt notés ( ij ) 1 i n,1 j p, et présentés sous l forme d un tbleu de l mnière suivnte : 1,1... 1,p A =... n,1... n,p On note A = ( ij ) 1 i n,1 j p, les ( i,j ) étnt les coefficients de l mtrice A, i,j étnt le coefficient de l i e ligne et de l j e colonne. L mtrice ( i,j ) 1 j n est l i e ligne de A, prfois notée i,. L mtrice ( i,j ) 1 i n est l j e colonne de A, prfois notée,j. Si z = 1 : on somme n fois 1. n 1 Sinon, z n 1 = z n 1 n = (z 1) z k 1 n 1 k = n 1 z k. k=0 k=0 4 Clcul mtriciel élémentire Même si quelques définitions et démonstrtions théoriques sont données ici, le seul but de cette section et de svoir effectuer des opértions élémentires sur des mtrices simples. Le chpitre sur les mtrices reprendr tout cel de mnière plus poussée, u second semestre, et fer ensuite le lien entre les mtrices et les pplictions linéires. n, m, p, q et r désignent des entiers nturels non nuls, et K désigne R ou C. 4.1 Définitions élémentires Définition On ppelle mtrice de tille n p (ou à n lignes et p colonnes), à vleurs (ou coefficients) dns K, toute fmille de np éléments de K, ces éléments Remrque Le premier indice indique toujours l ligne et le second indice indique toujours l colonne. En générl (mis ttention qund même), on les note respectivement i et j. Exemple Donner l mtrice (i j) 1 i 3,1 j 5. Définition L ensemble des mtrices de tille n p est noté M n,p (K). On ppelle mtrice crrée d ordre n toute mtrice de tille n n. L ensemble des mtrices crrées d ordre n est noté M n (K). On ppelle mtrice nulle d ordre n l mtrice crrée d ordre n dont tous les coefficients sont nuls. On l note simplement 0 n, ou 0 sns référence à s tille s il n y ps d mbiguïté. On ppelle mtrice identité d ordre n l mtrice (δ i,j ) 1 i,j n. On l note I n, ou Id n. On ppelle mtrice digonle toute mtrice crrée ( ij ) 1 i,j n telle que pour tous i, j 1, n, i j i,j = 0. On ppelle mtrice tringulire supérieure (resp. inférieure) toute mtrice crrée ( ij ) 1 i,j n telle que pour tous i, j 1, n tells que i > j (resp. i < j), ij = 0. 43

44 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL Remrque On note générlement les mtrices pr des lettres mjuscules, et l fmille des coefficients pr l lettre minuscule correspondnte. 2. On identifie les mtrices colonnes de M n,1 (K) vec les éléments de K n. 3. On se grder d identifier les mtrices lignes vec les éléments de K n cr on préfère les identifier vec d utres objets mthémtiques (on verr cel plus trd). 4.2 Opértions sur les mtrices Définition Soient A = ( ij ) 1 i n,1 j p et B = (b ij ) 1 i n,1 j p deux mtrices de même tille, et λ K un sclire. Addition On ppelle somme de A et B l mtrice ( ij + b ij ) 1 i n,1 j p, notée A + B. Produit pr un sclire On note λa l mtrice (λ ij ) 1 i n,1 j p. Attention ux tilles des mtrices : on ne peut dditionner n importe quoi vec n importe quoi. Exemple ( ) ( ) = ( ) Définition (Produit mtriciel). Soient A M n,p (K) et B M p,q (K). On ppelle produit de A pr B( noté AB l mtrice de p M n,q (K) de coefficients ik b kj ). k=1 Gre ux dimensions, on ne peut ps multiplier n importe quelle mtrices. Exemple On tâcher d orgniser les produits comme suit : Dim. OK }{{} A Le produit impossible : ( ) B {( }} ){ }{{} =AB ( ) Ce produit comporte plein de pièges : ( Il ) n est ( ps) commuttif, ( ) ( pr ) exemple : Et même pire, AB peut exister mis ps BA. Le produit de deux mtrices non nulles ( peut ) 0 1 vloir l mtrice nulle. Exemple : A =, 0 0 ( ) 1 0 B =, lors AA = 0, AB = 0 et BA On ne peut ps «simplifier» dns un produit. Ici : A A = A B mis A B. Proposition Le produit mtriciel est : Associtif : si A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), lors (AB)C et A(BC) sont dns M n,r (K) et sont égles, notées ABC. Bilinéire : si A, B, C, D sont des mtrices de tille convenble, et si λ K, lors (A + λb)c = AC + λbc et A(C + λd) = AC + λad. Les mtrices nulles et identité jouent un rôle bien prticulier. Si A M n,p (K) et q N, lors Neutre à guche : I n A = A 44

45 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL Neutre à droite Mult. pr 0 à guche Mult. pr 0 à droite : AI p = A : 0 q,n A = 0 q,p : A0 p,q = 0 n,q Bien qu un peu technique, nous donnons ici l démonstrtion ; nous en verrons plus trd une utre. 1. A = ( ij), B = (b ij), C = (c ij). Ainsi, ( q BC = k=1 b ik c kj ) 1 i p,1 j r et ( p ( q )) A(BC) = il b lk c kj l=1 k=1 Or, si 1 i n et 1 j r, ( p q ) p il b lk c kj = il l=1 k=1 = = = l=1 p l=1 k=1 q k=1 l=1 1 i n,1 j r q b lk c kj k=1 q il b lk c kj p il b lk c kj ( q p ) il b lk c kj, k=1 l=1 qui est le coefficient i, j de (AB)C. D où l églité voulue. 2. idem ( ) 3. I na = δ ik kj = (δ ii ij) = ( ij) = A. 4. Direct. k=1 Remrque Pr ssocitivité, il y 5 mnières de clculer ABCD qui conduisent toutes u même résultt : ((AB)C)D = (A(BC))D = A((BC)D) = A(B(CD)) = (AB)(CD). Mis le temps de clcul est-il le même dns les 5 cs? C est le problème de l multipliction mtricielle enchînée (Mtrix chin multipliction ou Mtrix Chin Ordering Problem (MCOP) en nglis). Plus générlement, le problème est de svoir dns quel ordre effectuer les produits pour clculer le plus efficcement. possible un produit de mtrices M 1.M 2..M n. Ce problème peut se résoudre pr progrmmtion dynmique, ce qui est u progrmme en option informtique, mis même si ce n est ps toujours l solution optimle, il vut mieux commencer pr les produits qui font pprître des «petites» mtrices. Précisément, le produit d une mtrice n p pr une mtrice p q nécessite de l ordre de n p q opértions. Ainsi, si A M 10,100 (K), B M 100,5 et C M 5,50, le clcul de (AB)C demnde de l ordre de ( ) = opértions, lors que celui de A(BC) en demnde de l ordre de = Mtrices crrées Remrque Si A et B sont deux mtrices crrées d ordre n, lors AB et BA sont définies et églement de tille n. On dit que le produit mtriciel est une loi de composition interne de M n (K). De plus, I n.a = A.I n = A. On dit que I n est le neutre de M n (K) pour le produit mtriciel. Enfin, l propriété de bilinérité montrée précédemment montre que (M n (K), +, ) une structure d nneu, non commuttif. Définition (Puissnces d une mtrice crrée). On les définit pr récurrence : si M M n (K), lors, M 0 = I n, M 1 = M, et pour tout k N, M k+1 = M M k (on donc, pour tout k N, M k = M M... M. Ainsi pour tout k N, }{{} k fois on M n M n (K). Remrque On remrque que les puissnces d une même m- 45

46 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL trice commutent entre elles : M k M j = M M... M }{{} k fois = M M... M }{{} (k+j) fois = M M... M }{{} j fois = M j M k. M M... M }{{} j fois M M... M }{{} k fois Théorème (Formule du binôme de Newton). Elle est vlble pour les mtrices crrées qui commutent. Soit n N et p N, soit A, B M n (K) vérifint AB = BA. Alors, ( ) p p (A + B) p = A k B p k. k k=0 Reprendre l démonstrtion du binôme de Newton pour des complexes, en repérnt bien à quel endroit le fit que les deux mtrices commutent intervient. Exemple Clculer A 2 vec A = = = B + C. Clculer A 3 vec A = = = B + C. Définition Soit A M n (K). On dit que A est inversible s il existe une mtrice B M n (K) telle que AB = BA = I n. Dns ce cs B est unique, est ppelée l inverse de A et est notée A 1. On note GL n (K) l ensemble des mtrices crrées d ordre n à coefficients dns K inversibles. Exercice ( ) 0 1 Montrer que l mtrice A = étudiée précédemment n est ps 0 0 inversible. Enfin, le cs prticulier des mtrices crrées d ordre 2 est à connître sur le bout des doigts. Définition Le déterminnt ( ) d une mtrice crrée d ordre 2 b A = est det A = d bc. c d Proposition ( ) b Une mtrice, crrée d ordre 2, notée A = c d est det A = d bc est inversible si et seulement si son déterminnt ( est non ) nul. Le cs échént, A 1 1 d b =. d bc c ( ) b Soit A =, on toujours (le vérifier pr le clcul) c d A 2 ( + d)a + (d bc)i 2 = 0. Alors, si det A 0, vec B = 1 (( + d)i2 A), on det A AB = BA = I 2 donc A est inversible, d inverse B. Réciproquement, si det A = 0, lors A(A (+d)i 2) = 0. Si A est inversible, en multiplint pr cet inverse on obtient que A est digonle, puis que = 0 ou que d = 0... Dns les deux cs, A 2 = 0 donc A ne peut être inversible (à vous de réfléchir pourquoi!). 46

47 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL 5 Systèmes linéires et pivot de Guss 5.1 Définitions Définition On ppelle système linéire à n équtions et p inconnues tout système de l forme : 11 x p x p = b n1 x np x p = b n où les ij et les b i sont dns K, et les x i sont les inconnues. On dit que le système est comptible s il dmet une solution. Le système homogène ssocié est le système : 11 x p x p = n1 x np x p = 0 Dns l suite nous noterons S le premier système et S H son système homogène ssocié, et nous noterons Sol et Sol H leurs ensembles de solutions respectifs. Le système S peut ussi s écrire sous forme mtricielle AX = B, vec A = ( ij ) 1 i n, 1 j p, X = x 1. x p et B = b 1. b n. S H s écrit lors AX = Interpréttion géométrique Dns le pln Si n = 2, chque ligne du système s interprète comme l éqution d une droite dns le pln. Chque droite y est en effet représentée pr une éqution crtésienne. On «sit» de plus que l intersection de deux droites est soit l ensemble vide (droites prllèles distinctes) ; soit une droite (droites confondues) ; soit un point (droites non prllèles). Ainsi, l ensemble des solutions est soit vide, soit un point, soit représente une droite. b Dns l espce Si n = 3, chque ligne du système s interprète comme l éqution d un pln dns l espce. Chque pln y est en effet représenté pr une éqution crtésienne. On «sit» de plus que l intersection de deux plns est soit l ensemble vide (plns prllèles distincts) ; soit un pln (plns confondus) ; soit une droite (plns non prllèles). De plus, on «sit» que l intersection d un pln et d une droite est soit l ensemble vide (droite prllèle u pln, non inclue dedns) ; soit une droite (droite inclue dns le pln) ; soit un point (droite non prllèle u pln). Ainsi, l ensemble des solutions est soit vide, soit un point, soit représente une droite, soit représente un pln. 5.3 Structure des solutions Théorème Sol H contient toujours l élément (0,..., 0). S il n est ps réduit à cet élément, il est infini. 2. L ensemble Sol est : soit vide ; soit non vide, et dns ce cs, si X 0 = (x 1,..., x p ) est un élément de Sol, lors Sol= {X 0 + X H, X H Sol H }, ce que l on note Sol H + (x 1,..., x p ). Pr conséquent, Sol contient 0, 1 ou une infinité d éléments. On utilise les nottions mtricielles, le système S s écrivnt S : AX = B, vec A M n,p(k) et B M p,1(k). Le 47

48 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL système homogène ssocié à S est S H : AX = 0. Soit X, Y M n,1(k) et λ, µ K. On bien 0 0 A. =., 0 0 donc le vecteur nul est solution du système homogène. De plus, si X et Y sont solutions de S H, lors 0 A(λX + µy ) = λax + µay =.. 0 Notmment, si X est une solution de S H, tous les vecteurs colinéires à X seront ussi solution de S H, donc S H est infini. Ensuite, soit X 0 M n,1(k) solution de S. On X Sol AX = B AX = AX 0 A(X X 0) = 0 X X 0 Sol H, ce qui montre bien que Sol = { X 0 + X H X H Sol H }. Exemple On considère le système { x + 3y = 2 2y + z = 1 Le système homogène ssocié est { x + 3y = 0 2y + z = 0 Si (x, y, z) R 3, on { x + 3y = 0 2y + z = 0 x 3 y = y 1. z 2 Ainsi, l ensemble des solutions homogènes est une droite vectorielle dirigée pr le vecteur de coordonnées ( 3, 1, 2). De même, si (x, y, z) R 3, on { x + 3y = 2 2y + z = 1 x 2 3 y = 0 + y 1. z 1 2 Ainsi, l ensemble des solutions du système est une droite pssnt pr le point de coordonnées (2, 0, 1) et dirigée pr le vecteur de coordonnées ( 3, 1, 2). 5.4 Opértions sur les lignes d un système Définition On dit que deux systèmes linéires sont équivlents s ils ont le même ensemble de solutions. Si i et j sont deux indices différents compris entre 1 et n, et λ est un sclire, on note : L i L j l opértion consistnt à échnger les i ème et j ème lignes du système S ; L i λl i l opértion consistnt à multiplier pr λ l i ème ligne du système ; L i L i + λl j l opértion consistnt à jouter l j ème ligne multipliée pr λ à l i ème ligne du système. Il fut effectuer ces opértions sur toute l ligne du système sns oublier le membre de droite. Exemple Donner des exemples. Théorème Le système obtenu à prtir de S près voir effectué une opértion L i L j ou une opértion L i L i + λl j est encore équivlent à S. Si λ 0, lors le système obtenu à prtir de S près voir effectué une opértion L i λl i est encore équivlent à S. Si l on effectué L i L j, il suffit de l réeffectuer pour revenir u système de déprt. Si l on effectué L i L i + λl j, il suffit d effectuer L i L i λl j pour revenir u système de déprt. Si λ 0 et si l on effectué L i λl i, il suffit d effectuer L i λ 1 L i pour revenir u système de déprt. 48

49 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL 5.5 Algorithme du pivot L idée du pivot de Guss pour résoudre un système est de de se rmener à un système simple à résoudre, grâce à une succession d opértions sur les lignes. Ainsi, l on se rmène d bord à un système tringulire (processus d élimintion), puis, si cel est possible, à un système digonl (processus de remontée). Pour étudier d bord les cs les plus simples et finir pr le cs générl, étudions ces étpes à rebours. Cs d un système digonl Si le système S est digonl, c est-à-dire si A est une mtrice digonle dns l écriture AX = B du système, lors le système se résout de mnière immédite. Exemple Résoudre les systèmes X = et X = On remrque que s il n y ucun zéro sur l digonle, il y une unique solution, sinon il n y ucune solution, ou une infinité de solutions. b Cs d un système tringulire inversible Un cs un peu plus compliqué est celui ou le système est tringulire, c est-à-dire si A est une mtrice tringulire dns l écriture AX = B du système. Nous ne triterons pour l instnt que le cs où A n ucun zéro sur l digonle (on peut lors montrer qu elle est inversible). Pour fixer les idées, supposons A tringulire supérieure. Le système donc cette llure : puis 11 x x n x n = b 1 22 x n x n = b = =... n 1,n 1 x n 1 + n 1,n x n = b n 1 nn x n = b n On obtient lors fcilement : x n = b n nn x n 1 = b n 1 n 1,n x n n 1,n 1 et, pr récurrence (descendnte), pour tout k 1, n 1, x k = b k i=k+1 k,i x i k,k. Ces reltions permettent de clculer les x k pr récurrence. Nous pouvons églement ppliquer une succession d opértions sur les lignes du système pour se rmener de mnière équivlente à un système digonl. Ce processus est prfois ppelé principe de remontée cr l on y fit pprître des zéros dns le hut de l mtrice du système, en prtnt des lignes du bs. Cette méthode peut être présentée en utilisnt une suite de systèmes équivlents. Il existe une présenttion plus visuelle et plus rpide à rédiger. Pr exemple, considérons le système x +y z = 2 2y +z = 1. z = 3 Nous pouvons l écrire

50 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL Les opértions à effectuer sont lors bien visibles : dns un premier temps, nous llons fire pprître des zéros dns toute l dernière colonne de l prtie de guche du système, suf à l dernière ligne. Pour cel, effectuons les opértions L 1 L 1 L 3 et L 2 L 2 + L 3, et nous obtenons (sns oublier d effectuer églement ces opértions sur l prtie de droite du système!) ce qui correspond u système x +y = 1 2y = 4 z = 3 équivlent u premier. Ensuite, nous effectuons l opértion L 1 L L 2. Ou plutôt,pour simplifier dès à présent l deuxième ligne et obtenir l vleur de y, nous pouvons effectuer L L 2, et ensuite L 1 L 1 L 2, ce qui donne ce qui correspond u système x = 1 y = 2 z = 3 qui est bien digonl. Il vient lors directement Exemple Résoudre le système x = 1 y = 2 z = x y z = t 1. Exemple Résoudre, en fonction de l vleur du prmètre p, le système c x 2 0 p 3 y = p(p 1) z 3 Cs d un système tringulire non inversible S il y un zéro sur l digonle d un système tringulire, ce dernier n est ps inversible. On obtient un certin nombre de lignes de l forme 0 = c i, où les c i sont des constntes. Si un de ces c i est non nul, le système n dmet ps de solution, sinon, des lignes se simplifient. Nous n évoquerons ce cs que lorsque p 3 et n 3. Les solutions du système s interprètent simplement en termes géométriques. si p = 2, l ensemble des solutions est soit vide, soit un singleton, soit une droite du pln, soit le pln tout entier. Exemple Résoudre les systèmes : { y = 2 1. y = 1 { x + y = y = 1 si p = 3, l ensemble des solutions est soit vide, soit un singleton, soit une droite de l espce, soit un pln de l espce, soit l espce tout entier. Exemple Résoudre les systèmes : x + y + z = 1 z = 2 z = 1 x + y + z = 1 y + z = 2 z = 1 50

51 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL d Systèmes échelonnés Nous générlisons ici le cs précédent, qund l mtrice du système n est ps crrée. Le système S est dit échelonné de rng r {0, 1,..., min(n, p)} s il est de l forme : 1,1 x 1 + 1,2 x ,r x r ,p x p = b 1 2,2 x ,r x r ,p x p = b 2... r,r x r r,p x r = b r 0 = b r = b p où les coefficients 1,1,..., r,r sont tous non nuls. Si S est échelonné, il est comptible (possède u moins une solution) si et seulement b r+1 = = b p = 0. Dns ce cs, chcune des premières lignes s interprète comme l éqution d un «hyperpln» de dimension p 1 dns K p. Le système possède une unique solution si et seulement si r = p et une infinité de solutions si et seulement si r < p. Nous n évoquerons ce cs que lorsque p 3 et n 3. Les solutions du système s interprètent simplement en termes géométriques. si p = 2, l ensemble des solutions est soit vide, soit un singleton, soit une droite du pln, soit le pln tout entier. Exemple Résoudre les systèmes : { x + y = = 1 2. x + y = 1 si p = 3, l ensemble des solutions est soit vide, soit un singleton, soit une droite de l espce, soit un pln de l espce, soit l espce tout entier. Exemple Résoudre les systèmes : { x + y + z = 1 1. y + z = 2 2. x + y + z = 1 e Cs générl Nous llons mintennt voir l méthode d élimintion qui permet de se rmener à un système échelonné. Dns le système de déprt, choisissons une ligne, et une vrible. Le but est d éliminer cette vrible dns les utres lignes. Il est donc souvent intéressnt de choisir une vrible qui pprît dns un minimum de lignes, comme cel une prtie du trvil est déjà fit. Si l vrible choisie est x et que l ligne conservée L est de l forme x + by +... et que l on veuille éliminer x d une ligne L de l forme cx + dy +..., il suffit d effectuer l opértion L L c L. L ( ) ligne L devient lors d bc y Après voir éliminé l vrible choisie dns toutes les lignes suf celle conservée, on ne touche plus à cette dernière ligne, et on réitère le procédé vec les lignes restntes, en choisissnt une utre vrible. Oncontinue jusqu à ce que le système soit tringulire ou trivilement sns solution. Exemple x +y +z = 1 Considérons le système x 2y +z = 2 2x z = 1 que l on écrir sous forme mtricielle Puisque y n pprît ps dns l dernière ligne, choisissons d éliminer y dns les deux premières lignes. Afin d éviter de mnipuler des frctions, nous choisissons de conserver l première ligne, cr le coefficient devnt y y est 1. Effectuons l opértion L 2 L 2 + 2L 1 : le système est donc équivlent à On choisit ensuite d éliminer z de l seconde ligne en utilisnt l dernière ligne, cr l vrible z y un coefficient égl à 1. Après l opértion L 2 L 2 + 3L 3, il vient : Le système obtenu n ps l ir très tri- 51

52 CHAPITRE III. UN PEU DE CALCUL ngulire... en fit il l est si on le réécrit y z = 1, ce qui revient à fire x 7 des échnges de lignes et de vribles dns le dernier système obtenu. 7 x = 9 Il vient finlement y = z = 9 Exemple Considérons le système x +y +z = 1 x 2y +z = 2 2x +y z = 1 2y +z = 2 Codons-le et exécutons l lgorithme du pivot. Il vient successivement : L 2 L 2 L 1 (III.1) L 3 L 3 2L L 3 L 3 + 3L (III.2) (III.3) Or les deuxième et troisième lignes sont contrdictoires, donc le système n ps de solution. Remrque Si A est une mtrice crrée inversible, lors le système AX = B une unique solution qui est X = A 1 B. L résolution des systèmes 2 2 inversibles peut être effectuée très simplement insi. Exemple( ) 1 2 Résoudre X = 2 3 ( )

53 Chpitre IV Théorie des ensembles 1 Un peu d histoire L crise des fondements Théorie des ensembles ZFC Définitions Apprtennce, églité Inclusion, ensemble des prties Réunion, intersection, complémentire Produit crtésien Interpréttion logique

54 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES L première prtie de ce chpitre est donnée dns un but culturel et ne ser ps nécessirement tritée en cours. 1 Un peu d histoire L théorie des ensembles doit son succès u fit qu elle fournit des fondements solides pour toutes les mthémtiques ctuelles. En théorie des ensembles, tous les objets mthémtiques sont des ensembles : les nombres sont des ensembles, les fonctions sont des ensembles,... Nous n llons ps entrer dns les détils de l théorie. Nous llons tout d bord nous contenter de l définition suivnte pour les ensembles : Définition (Pseudo-définition). Un ensemble est une collection d objets ppelés éléments. On note x E si l objet x est un élément de l ensemble E, x / E sinon. Même si cel ressemble à une définition, il y un problème de tille : cette pseudo-définition repose sur l notion de collection, qui n est ps définie! En fit, on s perçoit qu on ne prvient ps à définir ce qu est un ensemble mis qu on peut essyer de le définir pr les propriétés qu on ttend de lui. Pour l instnt, on peut simplement dire qu on mnipule des objets mthémtiques, qu on ppelle ensembles, et qu on dispose d un prédict à deux rguments, le prédict d pprtennce, noté. 1.1 L crise des fondements Historiquement, l notion d ensemble été introduite u XIXe siècle pr Cntor puis formlisés notmment pr Frege, qui introduit les ensembles à prtir de l notion de prédict. Essentiellement, il se donne un xiome 1 ppelé schém de compréhension (non restreinte) disnt qu étnt donné un prédict P quelconque à un rgument, on peut 1. Techniquement, il s git en fit de ce qu on ppelle un schém d xiomes définir un ensemble E, ppelé ensemble des x tels que P (x), noté { x P (x) }, tel que les éléments de E sont exctement les objets mthémtiques x tels que P (x). Pour tout objet mthémtique x, on donc : x E P (x) Mlheureusement on s est perçu bientôt que cet xiome conduisit à un prdoxe, ppelé prdoxe de Russel ou prdoxe du brbier : Exercice (Prdoxe du brbier). Dns une ville de Crète, le brbier rse tous les hommes qui ne se rsent ps eux-mêmes. Le brbier se rse t-il lui-même? Ce prdoxe est à rpprocher du prdoxe d Épiménide le Crétois 2 : «Tous les crétois sont toujours menteurs.» Épiménide le Crétois (VII e siècle v. J.-C. ) Exercice (Prdoxe de Russel). On dir qu un ensemble x est norml et on noter A(x) si x x. On dir qu un ensemble x est norml dns le cs contrire (x / x) et on noter N(x). Notons E l ensemble des ensembles normux. E est-il norml? Ce prdoxe, trouvé indépendmment pr Zermelo en 1900 et pr Russel en 1901 conduit à une crise profonde de l théorie des ensembles. Pour résoudre ce prdoxe, il y essentiellement deux fçons de voir les choses : 1. L théorie des ensembles permet de mettre dns un même ensembles des objets de niveu différents. Pr exemple on peut considérer l ensemble { 1, sin, R } qui contient à l fois un nombre, une fonction et un ensemble de nombres, ce qui semble ssez incongru et qui fit qu on peut en rriver à se poser l question de l pprtennce d un ensemble à lui-même, ce qui conduit u prdoxe. Pour 2. Attention : En 270 vnt J.-C., Philéts de Cos serit mort d insomnie voire se serit suicidé à cuse de ce prllogisme. 54

55 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES éviter ce problème, on peut essyer de clsser les ensembles pr niveu : on peut se dire qu il y des objets de niveu 0 vec lesquels on peut former les ensembles de niveu 1, vec lesquels on peut former les ensembles de niveu 2, etc. et s interdire d écrire une proposition de l forme x y si x n est ps de niveu inférieur à y. Du coup, se poser l question x x n est ps possible et on ne peut ps tomber dns le prdoxe. Cette solution, esquissée en 1903 puis véritblement développée en 1908 pr Russel, donné ce qu on ppelle l théorie des types. C est une solution lourde qui vit qusiment dispru jusqu à ce qu on lui trouve des pplictions très intéressntes en informtique. 2. On peut préciser les règles de formtion des ensembles pour qu on ne puisse ps construire un ensemble vec n importe quel prédict : on restreint le schém de compréhension mentionné plus hut. De cette fçon, on peut se poser l question x x pour chque ensemble x mis on ne peut ps construire l ensemble { x x }. C est l solution choisie pr Zermelo (en 1908), complétée pr l suite pr Frenkel, Skolem et Zermelo (dns les nnées 1920) et clrifiée pr Von Neumnn pr l suite. Connue sous le nom ZFC (Zermelo- Frenkel vec xiome du choix), c est l théorie qui été doptée qusi universellement pr les mthémticiens. 1.2 Théorie des ensembles ZFC ZFC repose sur les dix xiomes 3 suivnts : Axiome (Extensionnlité). Si deux ensembles ont les mêmes éléments lors ils sont égux. 3. En fit l compréhension et le remplcement sont techniquement des schéms d xiomes, le schém de compréhension pourrit être supprimé cr il découle de celui de remplcement, l xiome de l ensemble de vide pourrit ussi être supprimé, et le 9 e est optionnel, cr il est sns impct sur l essentiel des mthémtiques. Axiome (de l ensemble vide). Il existe un ensemble sns élément. Axiome (de l pire). Si x et y sont deux objets, il existe un ensemble contennt x et y et eux seuls comme éléments. Il se note { x, y }. Axiome (de l réunion). Étnt donné un ensemble (d ensembles) E, il existe un ensemble R dont les éléments sont exctement les éléments des éléments de E, c est-à-dire vérifint, pour tout x : x R X E x X Axiome (de l ensemble des prties). Étnt donné un ensemble E, il existe un ensemble, noté P(E) dont les éléments sont exctement les sous-ensembles de E. Axiome (de l infini). Il existe un ensemble infini. Remrque Cet xiome est essentiel pour construire l ensemble N des entiers nturels. Il resterit à dire ce que veut dire «infini». Prfois, cet xiome est exprimé sous l forme plus forte suivnte qui permet d évcuer cette question : il existe un ensemble W, tel qu on it à l fois (i) l ensemble vide pprtient à W ; (ii) x W x { x } W. Axiome (Schém de compréhension). Pour tout ensemble E et tout prédict P, il existe 55

56 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES un ensemble, noté { x E P (x) } dont les éléments sont exctement les éléments de E vérifint P : x { x E P (x) } (x E et P (x)) Axiome (Schém de remplcement). Étnt donné un ensemble E et un prédict P à deux rguments ynt l propriété d être fonctionnel, c est-à-dire que pour tout x, il existe un et un seul y tel que P (x, y) est vérifié, il existe un ensemble X, noté { y x E P (x, y) } dont les éléments sont exctement les y tels qu il existe x E vérifint P (x, y). Autrement dit, pour tout y, on y X x E P (x, y) En notnt, pour tout x E, f(x) l unique y tel que P (x, y), on note ussi cet ensemble { f(x) x E }. 2 Définitions Nous développons ici l notion d ensemble, en prtnt d une définition intuitive et peu formelle : un ensemble est une collection d objets mthémtiques. Si un objet x est dns cette collectionensemble E, on note lors x E l phrse «x pprtient à E». S négtion, «x n pprtient ps à E», s écrit x / E. Remrque Trditionnellement, on essie de noter les ensembles vec des lettres mjuscules et leurs éléments vec des lettres minuscules. 2.1 Apprtennce, églité Proposition (Extentionnlité). Deux ensembles E et F sont égux si et seulement s ils ont les mêmes éléments : E = F x (x E x F ). Axiome (de fondtion). Tout ensemble X non vide contient un élément x tel que X et x sont disjoints. Axiome (du choix). Pour tout ensemble E, en notnt P(E) l ensemble des prties de E non vides 4, il existe une pplictionσ : P(E) E, ppelée ppliction de choix, ssocint à toute prtie non vide de E l un de ses éléments, c est-à-dire telle que pour tout X P(E), on σ(x) X. Remrque Cet xiome prît très nturel. Pour sisir l difficulté, essyez pr exemple de construire une ppliction σ de ce type dns le cs où E = N, E = Z, E = Q, E = R. 4. Cet ensemble existe bien d près l xiome de l ensemble des prties et du schém de compréhension Remrque Intuitivement, cette proposition dit que l crctéristique qui définit un ensemble, ce sont ses éléments. Autrement dit, si on voit les ensembles comme des scs contennt des objets, le sc n ucune crctéristique qui puisse le distinguer d un utre. Cette crctéristique est très prticulière u monde idélisé des ensembles mthémtiques. En informtique on verr pr exemple qu on peut voir deux tbleux contennt les mêmes éléments dns le même ordre et qui ne sont ps le même objet. Le sens direct est une conséquence de ce qu est l églité. E étnt égl à F toute proposition est équivlente à cette même proposition dns lquelle E est remplcée pr F, en prticulier, pour tout x, x E est équivlent à x F. Le sens indirect est une conséquence de l xiome d extentionnlité. Remrque Au niveu de ce cours, on peut considérer l proposition précédente comme une définition. 56

57 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES Définition (Ensemble vide). On note l ensemble vide. Remrque Cet ensemble existe d près l xiome de l ensemble vide. Et d près l xiome d extentionnlité, il est unique. Soit et deux ensembles sns éléments, soit x un objet. Alors, x et x sont toutes deux fusses, donc équivlentes, donc =. Définition Étnt donnés des objets x 1, x 2,..., x n, on note { x 1,..., x n } l ensemble contennt exctement x 1,..., x n. Pour tout ensemble E et tout prédict P, on note { x E P (x) } l ensemble dont les éléments sont exctement les éléments de E vérifint P. Pour tout ensemble E et toute expression e[x] contennt une vrible x, on note { e[x] x E } l ensemble des objets mthémtiques qui s écrivent sous l forme e[x] pour u moins un x E. Remrque Pour le premier point, l ordre des éléments n importe ps, ni le nombre de fois où ils pprissent dns l liste des éléments. { 1, 2 } = { 2, 1 } = { 1, 2, 1 }. L existence d un tel ensemble peut être justifié à prtir de l xiome de l pire et de l réunion. On prle de définition de l ensemble en extension. 2. Pour le second point, l existence de l ensemble est justifiée pr le schém de compréhension. On prle de donc de définition en compréhension. 3. Pour le troisième point, l existence de l ensemble est ssurée pr l xiome de compréhension si l on sit que pour tout x E, e[x] pprtient nécessirement à un ensemble fixé F indépendnt de x. C est pr exemple le cs de { 2n n N }. Sinon, le schém de remplcement ssure son existence (on prend comme prédict P (x, y) l proposition y = e[x]). C est pr exemple le cs de { P(x) x E } où E est un ensemble. Exemple Un même ensemble peut prfois être défini en extension ou en compréhension : E = {0; 1; 4; 9} = {n N n 15 et p N n = p 2 }. Dns toute l suite, E et F désignent deux ensembles. 2.2 Inclusion, ensemble des prties Définition (Inclusion). On dit que E est inclus dns F, ce que l on note E F si tout élément de E est ussi un élément de F, i.e. x E x F. Si E F, on dit que E est une prtie ou un sous-ensemble de F. Exemple Pour tout ensemble E, on E et E E. 2. N Z. 3. {1, {1; 2}, R} {Z, π, 1, {1; 2}, R}. 4. {{1; 2}} {1; 2}. Remrque Attention à ne ps confondre. et. Ainsi 1 {1, 2}, {1} {1, 2}, mis {1} / {1, 2}. En revnche on {1, 2} {1, 2, {1, 2}} insi que {1, 2} {1, 2, {1, 2}}. En prtique pour démontrer une inclusion, on utilise l définition et l mnière usuelle de démontrer une proposition universellement quntifiée. Exemple On note E l ensemble des entiers reltifs pirs qui sont des multiples de 15 et F l ensemble des entiers reltifs multiples de 6. Montrer E F. 57

58 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES Proposition (Trnsitivité). Soit E, F, G trois ensembles, si E F et F G, lors E G. Soit x un objet. Si x E, comme E F, on x F. De même, comme F G, on x G. Théorème (Double inclusion). Soit E, F deux ensembles, lors (E = F ) (E F et F E). Il est clir que pour tout ensemble A, on x A x A, donc A A. Le sens direct est donc évident. Montrons l impliction réciproque. Supposons E F et F E. Alors soit x un objet mthémtique quelconque. Montrons x E x F : Supposons x E, lors comme E F, on x F. Supposons x F, lors comme F E, on x E. donc x E x F. Donc x x E x F. Donc (pr extentionnlité) E = F. Remrque En prtique, on deux méthodes pour démontrer l églité de deux ensembles E et F : ou bien on utilise ce théorème ; ou bien on utilise directement l propriété d extentionnlité, en montrnt que pour tout x, x E x F pr équivlences successives. Axiome (Ensemble des prties de E). Pour tout ensemble E, on dmet l existence d un ensemble, noté P(E) et ppelé ensemble des prties de E et dont les éléments sont exctement les sous-ensembles de E. Ainsi pour tout ensemble F, on F P(E) F E. Remrque Ne ps oublier dns l ensemble des prties. Exercice Déterminer P( ), P({ }) et P({, { }}). 2.3 Réunion, intersection, complémentire Dns cette prtie A et B désignent deux ensembles. Définition On ppelle réunion de A et B notée A B, l ensemble dont les éléments sont exctement ceux qui sont dns A ou dns B, utrement dit, pour tout objet x, x A B (x A ou x B). 2. On ppelle intersection de A et B notée A B dont les éléments sont exctement ceux qui sont dns A et dns B à l fois, utrement dit, pour tout objet x, x A B (x A et x B). 1. L existence de A B est ssurée pr l xiome de l réunion ppliqué à l pire { A, B }. 2. L existence de A B est ssurée pr le schém de compréhension. Il s git en effet simplement de { x A x B }. Exemple On pose E = { 0, 1, 2, 4 } et F = { 0, 1, 3, 4, 5, 6 }. Que vut E F? E F? Remrque On toujours A B A A B. Remrque Si A B, on toujours X A X B et X A X B. Exercice Déterminer P({1, 2, 3}). Combien cet ensemble dmet-il d éléments? Définition On peut générliser cette notion à une fmille d ensembles. 58

59 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES 1. Si E est un ensemble d ensemble, on note X l réunion de tous les éléments de E X E et, dns le cs où E est non vide, X E l intersection de tous les éléments de E. Pour tout x, on les propriétés : x X E x X E X X E, x X; X X E, x X. 2. Plus générlement, si on considère une fmille d ensemble (A i ) i I, on note i I A i l réunion de tous les A i pour i I et i I A i l intersection de tous les A i. Pour tout x, on les propriétés : x i I A i i I, x A i ; X Définition On dit que deux ensembles sont disjoints si leur intersection est vide. Théorème (Distributivité). L réunion et l intersection sont distributives l une sur l utre. Plus précisément, soit A, B et C trois ensembles. Alors on les deux églités suivntes : (A B) C = (A C) (B C); (A B) C = (A C) (B C). Plus générlement, soit (A i ) i I une fmille d ensembles et B un ensemble, lors ( ) A i B = (A i B); (IV.1) i I i I ( ) A i B = (A i B). (IV.2) i I i I x i I A i i I, x A i. Exercice On note X l ensemble des segments [n, n + 1], pour n N. Que vlent [n, n + 1] et [n, n + 1]? n N n N 2. Quel est l ensemble de définition de tn? 3. Que vut chcun des ensembles ci-dessous? [ε, 1] ε ]0,1] ε ]0,1] ]0, ε] ]ε, 1] ε ]0,1] ε ]0,1] ]0, ε[ [0, ε] ε ]0,1] [0, ε] ε ]0,1] Q [0, ε[ ε ]0,1] [0, ε[ ε ]0,1] Q Remrque Si, pour tout i I, A i B, lors i I A i B. Si, pour tout i I, B A i, lors B i I A i. Si j I, lors A i A j A i. i I i I Fire un dessin pour les deux premières églités. Les résultts se montrent isément pr double inclusion. On donne l démonstrtion de l églité (IV.1). Pour tout x : ( ) ( ) x A i B x B et x A i i I i I x B et i 0 I, x A i0 i 0 I, x A i0 B x (A i B). Exercice Montrer les propriétés (IV.1) et (??) en risonnnt pr double inclusion et en prennt soin de bien revenir ux définitions des objets mnipulés. Définition On ppelle A privé de B, ou différence de A et B, ou A moins B, l ensemble noté A\B ou A B, tel i I 59

60 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES que pour tout objet x, x A \ B si et seulement si x A et x / B. Cet ensemble est bien défini d près le schém de compréhension. Exercice Montrer que A \ B = A \ (A B). Définition Si A E, on ppelle complémentire de A dns E noté E A ou A C ou A qund il n y ps de confusion, l ensemble E \ A. Soit x E, on x A ou x / A (tiers exclu), donc x A Ā. De plus, on ne peut voir simultnément x A et x / A, donc A Ā =. Théorème (Reltions de De Morgn). Soit (A i ) i I une fmille de prties d un ensemble E. Alors on ( A i)c = i I i I ( i I A i)c = i I ( ) A C i ; ( ) A C i. Proposition Si A et B sont deux prties de E, on A \ B = A B C. Fire un dessin. Soit x quelconque. On A E donc x A (x A et x E). On donc : x A \ B x A et x / B x A et (x E et (x / B)) x A et x E \ B x A B C. On montre le deuxième point. Les deux termes de l églité sont évidemment des sous-ensembles de E. Considérons donc un x E quelconque et montrons que x pprtient u premier ensemble si et seulement s il pprtient u deuxième. On les équivlences : ( ) C x A i x / i I i I A i ( i I x A i) i I x / A i ( ) x A C i. Le premier se déduit de l seconde en pssnt u complémentire pur l fmille (A C i ) i I. i I 2.4 Produit crtésien Proposition Soit E un ensemble et A une prtie de E, lors A = A. C est une conséquence de l propriété de double négtion : soit x un élément de E, on x A ( (x A)). Définition On dmettr qu étnt donné deux objets x et y on peut construire un objet ppelé couple (x, y) et qu on l propriété suivnte pour tous objets x 1, x 2, y 1, y 2 : (x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ) (x 1 = y 1 et x 2 = y 2 ). Proposition Soit E un ensemble et A une prtie de E, lors A Ā = E et A Ā =. Remrque L construction des couples ne demnde en fit ucun xiome supplémentire, celle-ci pouvnt être construite à prtir des pires. 60

61 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES On peut générliser cette notion à celle de n-uplets. Définition Soient E et F deux ensembles. On dmet qu on peut construire un ensemble noté E F, ppelé produit crtésien de E et F, dont les éléments sont les couples vec x 1 E et x 2 F. On définit de même le produit crtésien de n ensembles E 1... E n, noté E 1... E n, et formé des n-uplets (x 1,..., x n ) vec x 1 E 1,..., x n E n. Si les E i sont égux à un ensemble E, on note ce produit E n. Remrque Attention à ne ps confondre l ensemble {x, y} vec le couple (x, y). Exemple L ensemble R 2, le rectngle [0, 2] [ 1, 4], l bnde [0, 1] { (x, y) R 2 y = 0 } (fire des dessins). 3 Interpréttion logique Soit E un ensemble, P et Q deux prédicts. On pose A = { x E P (x) } ; B = { x E Q(x) }. Soit x E. On lors les équivlences logiques suivntes : x A B P (x) et Q(x); x A B P (x) ou Q(x); x / A (P (x)); A = E x E, P (x); A x E, P (x); A B x E, (P (x) Q(x)); A = B x E, (P (x) Q(x)). 61

62 CHAPITRE IV. THÉORIE DES ENSEMBLES 62

63 Chpitre V Notion d ppliction 1 Vocbulire Restriction, prolongement Composition d pplictions Injectivité, surjectivité, bijectivité Injectivité Surjectivité Bijectivité Un peu de vocbulire nglis Imge directe, imge reciproque Imge directe Imge réciproque

64 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION 1 Vocbulire En toute rigueur, une ppliction est un objet différent d une fonction, mis l différence est hors progrmme. On emploier donc les deux termes indifféremment. Une ppliction d un ensemble E dns un ensemble F est une reltion qui, à tout élement de E ssocie un unique élément de F. Attention : on forcément unicité de l imge et les ensembles de déprt et d rrivée sont une donnée de l ppliction. Exemple Les pplictions qui à x ssocie x 2, prtnt respectivement de R et de R +, sont différentes : l seconde permet de définir l fonction., ps l première. Dns les deux cs, on pourr considérer comme ensemble d rrivée R ou R +. Une formule ne définit donc ps à elle seule une ppliction. E Figure V.1 Exemple d ppliction on remrque qu une imge deux ntécédents. E Figure V.2 Cette reltion n est ps une ppliction. F F Définition On ppelle fonction (ou ppliction) tout triplet f = (E, F, Γ) où E est un ensemble ppelé ensemble de déprt ou domine de définition, F est un ensemble ppelé ensemble d rrivée, et Γ est une prtie de E F ppelée grphe de f telle que x E,!y F, (x, y) Γ. Si (x, y) Γ, on note plus simplement y = f(x). On dit que x est lors un ntécédent de y, et y l imge de x. F y E Figure V.3 y ici trois ntécédents représentés. Remrque Il peut y voir plusieurs ntécédents d un élément dns l espce d rrivée, mis une seule imge d un élément de l espce de déprt : cel se voit sur le grphe, que l on représente comme suit. On note une ppliction f llnt d un ensemble E dns un ensemble F de l mnière suivnte : f : E F. Si l ppliction est de plus définie pr une formule, on écrit lors : f : E F, x Formule dépendnt de x. Remrque L nottion n est ps informtive. f : E F, x f(x). Remrque Si f, g : E F, lors f = g équivut à x E, f(x) = g(x). 64

65 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION F f(x)? L ensemble des fmilles de E indexées pr I est noté E I. x E Exemple R {1,2} : on peut l identifier à R R, que l on note opportunément R 2. f(x)? Figure V.4 Cette courbe ne représente ps une ppliction. Définition Soit E un ensemble et A une prtie de E. On ppelle fonction indictrice de A l fonction notée 1 A telle que pour tout x A, 1 A (x) = 1, et pour tout x E\A, 1 A (x) = 0. Définition Soit E, F deux ensembles et f : E F une ppliction. On ppelle imge de f le sous-ensemble de F, noté f(e) ou Im(f), égl à {f(x), x E}. Remrque L nottion f(e) indique bien l ensemble de déprt, contrirement à l nottion Im f. Cet ensemble peut ussi s écrire {y F x E, y = f(x)}. Remrque Les ensembles de déprt et d rrivée peuvent être n importe quoi, ps forcément de R dns R. On note F (E, F ), ou F E, l ensemble des pplictions de E dns F. Comment s en souvenir? Penser que Crd F E = Crd F Crd E. Exemple L ensemble des suites réelles est noté R N. {1} N : une seule suite possible. Définition (Fmilles). Soit I un ensemble. On ppelle fmille d éléments de E indexée pr I toute ppliction de I dns E. Les fmilles sont notées (x i ) i I, et rrement, voire jmis, comme des pplictions. Exercice Soit A et B deux ensembles. Clculer 1 A B et 1 A B en fonction de 1 A et de 1 B. 2 Restriction, prolongement Définition Soit E, E, F, F qutre ensembles, f : E F et f : E F deux pplictions. (i) Pour toute prtie G de E, l restriction de f à G est l ppliction f G : G F, x f(x). (ii) On dit que f est un prolongement de f si E E, F F et x E, f(x) = f (x). Il y toujours une infinité de prolongements possibles à une ppliction. Une fonction est toujours le prolongement d une de ses restrictions. Exemple Tout réel strictement positif deux ntécédents pr l fonction f : R R, x x 2 ; mis il n qu un ntécédent pr l restriction de f à R +. 65

66 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION 3 Composition d pplictions Définition Soit E, F, G trois ensembles, f : E F et g : F G deux pplictions. On définit lors l composée de f pr g comme l ppliction g f : E G, x g(f(x)). E F G Figure V.5 Exemple de composée. On ussi pour tout x E, (Id E f)(x) = Id E(f(x)) = f(x) et (f Id E)(x) = f(id E(x)) = f(x), ce qui montre que f Id E = Id E f = f. Remrque Nous vons vu dns le premier chpitre (et nous reverrons en TD) que certines fonctions (dns ce cs, f : N N) ne sont ps inversibles (u sens de l structure (E E, )). 4 Injectivité, surjectivité, bijectivité On comprend vite, en considérnt quelques exemples, quelles sont les propriétés qui peuvent empêcher une fonction f : E E d être inversible pour. Si deux éléments de E ont même imge pr f, on ne pourr ps «revenir en rrière» et construire g vérifint g f = Id E. Si un élément de E n ps d ntécédent pr f, on ne pourr ps construire g vérifint f g = Id E. On ne peut ps toujours composer deux pplictions. Pr exemple : les fonctions R R, x 1/x et R R, x x 2. Ce n est ps une opértion commuttive. Pr exemple : x R +, ln(x 2 ) (ln x) Injectivité Définition Soit E, F deux ensembles, f : E F une ppliction. On dit que f est injective (ou est une injection) si (x, y) E 2, f(x) = f(y) x = y. Définition Soit E un ensemble, on définit dessus l ppliction identité sur E comme Id E : E E, x x. Proposition Soit E un ensemble, lors (E E, ) est un monoïde de neutre Id E. Soit x E, f, g et h trois pplictions de E dns E. On lors h(g(f(x)) = h((g f)(x)) = h (g f)(x) et h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = (h g) f(x), d où l ssocitivité. Remrque On utilise églement l contrposée de cette proposition : (x, y) E 2, x y f(x) f(y). Remrque L donnée de l ensemble de déprt est primordile. Exemple : l ppliction [ π/2, π/2] R, x sin(x) est injective lors que R R, x sin(x) ne l est ps (le montrer et trcer les courbes représenttives de ces deux pplictions ). On peut ussi se demnder ce qu il dviendrit de l figure V.8 si l on ne précise ps que l espce de déprt est le segment I ici représenté. 66

67 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION Figure V.6 Exemple d ppliction injective. Figure V.9 Grphe d ppliction non injective : une imge deux ntécédents ou plus. Exercice Montrer qu une fonction réelle strictement croissnte est injective. Figure V.7 Exemple d ppliction non injective : une imge deux ntécédents ou plus. Théorème (Composée d injections.). Soit E, F et G trois ensembles, f : E F et g : F G deux pplictions injectives. Alors g f est injective. Soit (x, y)) E 2, supposons que g f(x) = g f(y). Alors, pr injectivité de g puis de f, f(x) = f(y) puis x = y. Figure V.8 Grphe d ppliction injective sur un segment I. Remrque Une ppliction f : E F est injective si et seulement si, pour tout y F, l éqution y = f(x) dmet u plus une solution dns E. Remrque Une restriction d une fonction injective est toujours injective. I 4.2 Surjectivité Définition Soit E et F deux ensembles, f : E F une ppliction. On dit que f est surjective (ou est/rélise une surjection) si y F, x E, y = f(x). L donnée de l espce de déprt et de l espce d rrivée est, là encore, primordile. Exemple L fonction définie pr x sin x est surjective de [0, 2π] sur [ 1, 1], mis ps de [0, 2π] sur R ni de [0, π] sur [ 1, 1]. Revenir ussi sur les figures V.12 et V.13. Exercice Dns chque cs, dire si cette ppliction est surjective ou non : (R ou R +) (R ou R ), x 1 x 67

68 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION J I Figure V.10 Exemple d ppliction surjective. Figure V.13 Grphe d une ppliction non surjective d un segment I dns un segment J. Figure V.11 Exemple d ppliction non surjective. J Figure V.12 Grphe d une ppliction surjective d un segment I dns un segment J. Remrque Une fonction est toujours surjective sur son imge (formellement : l corestriction d une ppliction à son imge est toujours surjective). Une fonction non surjective n est ps nécessirement injective, et vice-vers. I Remrque Une ppliction f : E F est surjective si et seulement si, pour tout y F, l éqution y = f(x) dmet u moins une solution dns E. Exercice Montrer l surjectivité de z z + i, définie sur z i C\{i}. Théorème (Composée de surjections.). Soit E, F et G trois ensembles, f : E F et g : F G deux pplictions surjectives. Alors g f est surjective. Soit z G, g est surjective : il existe y F vérifint z = g(y). Comme f est surjective, il existe x E vérifint y = f(x) et on donc z = g f(x). 4.3 Bijectivité Définition Une ppliction bijective (ou qui rélise une bijection) est une ppliction injective et surjective. Soit E et F deux ensembles. Une ppliction f : E F est donc bijective si et seulement si y F,! x E, y = f(x). Exemple Appliction identité, fonctions ffines de l forme R R, x x + b, vec 0, les similitudes... 68

69 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION Théorème (Fonction réciproque). Soit f : E F une ppliction. 1. f est bijective si et seulement s il existe g : F E telle que g f = Id E et f g = Id F. 2. Dns ce cs, g est unique et notée f 1, ppelée fonction réciproque de f, et on, pour tout (x, y) E F, f(x) = y si et seulement si x = f 1 (y). 3. f 1 est bijective et (f 1 ) 1 = f. 1. Si f bijective, on construit g. Soit y F. On note g(y) l unique ntécédent de y pr f : donc g est une fonction bien définie (tout point une et une seule imge). On vérifie bien que f g = I F et que g f = Id E. Si g existe, on montre que f est injective et que f est surjective. 2. Unicité : on utilise l injectivité de f. Équivlence : fcile pr double impliction. 3. On utilise le point (i) pour l bijectivité et le point (ii) pour l unicité. on peut u choix : 1. montrer que f est injective et surjective ; 2. montrer que f une réciproque en risonnnt pr équivlence : y = f(x) ssi x = f 1 (y), où f 1 est lors à donner (on résout donc y = f(x)) ; 3. donner f 1 et vérifier que f f 1 = Id et f 1 f = Id. Exemple Reprendre l exercice?? et déterminer l inverse de cette ppliction. Remrque Une injection rélise toujours une bijection sur son imge. Remrque Si E est un ensemble et f : E E une ppliction bijective, lors f est un élément inversible dns le monoïde (E E, ), d inverse (u sens lgébrique) s réciproque : f 1. Ne JAMAIS prler de f 1 vnt d voir montré qu elle existe. Dns le cs d une fonction réelle, il ne fut ps confondre f 1 et 1/f. Ex : f = 1 (1/f existe, ps f 1 ), f : x x (f 1 existe, ps 1/f). Le grphe de l réciproque d une fonction est le symétrique pr rpport à l première bissectrice du pln du grphe de cette fonction. En effet, si on note Γ le grphe de f et Γ celui de s réciproque, on pr définition, pour tous x et y, (x, y) Γ si et seulement si (y, x) Γ. Exemple x x 2 et x x, x ln x et x e x, tn et rctn (sur leurs espces de déprt et d rrivée usuels). Remrque Une ppliction f : E F est bijective si et seulement si, pour tout y F, l éqution y = f(x) dmet exctement une solution dns E. En prtique, pour montrer que f est bijective, Théorème (Composée de bijections.). Soit E, F et G trois ensembles, f : E F et g : F G deux bijections. Alors g f est une bijection et (g f) 1 = f 1 g 1. Utilise les résultts nlogues sur injectivité et surjectivité. Ou encore : on donne l inverse (formule à connître!) (g f) 1 = f 1 g 1, et surtout ne ps inverser les membres! Exercice Trouver deux pplictions f et g toutes les deux non bijectives, telles que g f est bijective. 4.4 Un peu de vocbulire nglis... Appliction : mpping ou mp. Injection : injection ou one-to-one mpping. Surjection : surjection ou onto mpping. «non injection» : mny-to-one mpping. Bijection : bijection ou one-to-one correspondnce. 69

70 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION 5 Imge directe, imge reciproque 5.1 Imge directe Définition Soit E et F deux ensembles, f : E F une ppliction et A une prtie de E. On ppelle imge directe de A pr f l ensemble des imges des éléments de A, i.e. l prtie de F : 5.2 Imge réciproque Définition Soit E et F deux ensembles, f : E F une ppliction et B une prtie de F. On ppelle imge réciproque de B pr f l ensemble des ntécédents des éléments de B, i.e. l prtie de E : f 1 (B) = { x E f(x) B }. f(a) = { f(x) x A } = { y F x A, y = f(x) }. Remrque L seconde forme de f(a) est l plus prtique à utiliser et est à retenir en priorité. Remrque L nottion f(e) utilisée pour l imge de f est bien cohérente. Remrque On toujours f(a) Im(f) C E f B Figure V.15 Imge réciproque C = f 1 (B) d une prtie B pr une ppliction f. F A E f f(a) Figure V.14 Imge directe d une prtie A pr une ppliction f. F On lit ussi l imge réciproque d une prtie sur le grphe d une fonction.. Ne ps confondre vec l réciproque d une fonction, qui n existe ps si f n est ps bijective. Notmment, les nottions f 1 ({x}) et f 1 (x) ne font formellement ps référence u même type d objet. Cel se lit isément sur un grphe. Exercice Soit E et F deux ensembles, f : E F une ppliction, A et B deux prties de E. Si A B, est-ce que f(a) f(b)? Comprer f(a B) et f(a) f(b), puis f(a B) et f(a) f(b). Théorème Soit E et F deux ensembles. Si f : E F est une ppliction bijective et si B F, lors on f 1 (B) = f 1 (B) pour les deux significtions : imge réciproque pr f et imge directe pr f 1. 70

71 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION Soit x E, lors x f 1 (B) y B, x = f 1 (y) imge directe pr f 1 y B, f(x) = y f(x) B x f 1 (B) imge réciproque pr f Exercice Soit E et F deux ensembles, f : E F une ppliction, A et B deux prties de F. Si A B, est-ce que f 1 (A) f 1 (B)? Comprer f 1 (A B) et f 1 (A) f 1 (B), puis f 1 (A B) et f 1 (A) f 1 (B). 71

72 CHAPITRE V. NOTION D APPLICATION 72

73 Chpitre VI Fonctions usuelles 1 Vocbulire usuel des fonctions de R dns R Trnsformtions usuelles d une fonction Fonctions pires, impires et périodiques Fonctions monotones Théorèmes d nlyse dmis Fonction vleur bsolue Fonctions puissnces entières, polynomiles et rtionnelles Fonctions puissnces entières Fonctions polynomiles et rtionnelles 73 5 Fonctions exponentielles, logrithmes et puissnces quelconques Exponentielle et logrithme Exponentielle de bse quelconque Croissnces comprées Fonctions circulires Arccos et Arcsin Arctngente Coordonnées polires Fonctions hyperboliques ch, sh et th Fonctions hyperboliques inverses... 79

74 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES Dns tout ce chpitre, A désigne une prtie de R et f une ppliction de A dns R. 1 Vocbulire usuel des fonctions de R dns R On considère une ppliction f : A R, dont on veut étudier les propriétés. Notmment, on peut vouloir représenter le grphe de cette fonction : c est { (x, y) R 2 x A et y = f(x) } (que l on représente, lorsque c est possible, pr une «courbe»). 1.1 Trnsformtions usuelles d une fonction. Proposition Soit R +, on considère des grphes trcés dns le repère orthonormé direct (O, ı, j ). Le grphe de l fonction x f(x) + s obtient en trnsltnt le grphe de f du vecteur j (voir l figure VI.1). Le grphe de l fonction x f(x + ) s obtient en trnsltnt le grphe de f du vecteur ı (voir l figure VI.2). Le grphe de l fonction x f(x) s obtient en diltnt le grphe de f suivnt le vecteur ı et pr le rpport 1 (voir l figure VI.4). Le grphe de l fonction x f(x) s obtient en diltnt le grphe de f suivnt le vecteur j et pr le rpport (voir l figure VI.5). Le grphe de l fonction x f( x) s obtient en prennt le symétrique du grphe de f pr rpport à l xe O j (voir l figure??). Le grphe de l fonction x f(x) s obtient en prennt le symétrique du grphe de f pr rpport à l xe O ı (voir l figure??). Le grphe de l fonction x f( x) s obtient en prennt le symétrique du grphe de f pr rpport u point O (voir l figure??). On montre le premier cs, les utres sont similires. Notons Γ le grphe de f, Γ celui de x f(x) +. Soit (x, y) R 2, lors (x, y) Γ (x, y ) Γ, ce qui est bien le résultt demndé. Remrque Le grphe de l fonction x f( x) s obtient donc soit en trnsltnt le grphe de f du vecteur ı puis en prennt le symétrique pr rpport à O j ; soit en prennt le symétrique du grphe de f pr rpport à O j puis en le trnstltnt pr le vecteur ı. x f(x) + 1, 5 1 f : x x x f(x) 0, 7 Figure VI.1 Trnsltion verticle du grphe. 1.2 Fonctions pires, impires et périodiques. Nous nous intéressons mintennt ux clsses de fonctions invrintes pr certines trnsformtions introduites plus hut. Définition (i) On dit que f est pire si x A, x A et f( x) = f(x). (ii) On dit que f est impire si x A, x A et f( x) = f(x). 74

75 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES f : x x 2 x 3f(x) x f(x + 2.9) x f(x 1) 1 f : x x Figure VI.2 Trnsltion horizontle du grphe. x f(x)/ x f(5x) 0 1 f : x x x f(x/10) 1 Figure VI.4 Dilttion verticle du grphe. Figure VI.3 Dilttion horizontle du grphe. 1 Dessin : les grphes des fonctions pires sont symétriques pr rpport à l xe des ordonnées, ceux des fonctions impires sont symétriques pr rpport à l origine. Réduction du domine étude : il suffit d étudier une fonction pire ou impire sur R + A pour obtenir toutes les informtions nécessires sur cette fonction. Une fonction n est ps toujours pire ou impire. Le contrire de pire n est ps impire. Exemple Sur R, x x 2 est pire, x x 3 est impire et x x 2 + x n est ni pire ni impire. x f( x) 0 1 f : x x(x 1) Figure VI.5 Symétrie du grphe pr rpport à l xe verticl. Proposition Soit E, F, G trois prties de R, f : E F et g : F G. 1. Si f est pire, g f est pire. 2. Si f est impire et g est pire, g f est pire. 3. Si f et g sont impires, g f est impire. 75

76 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES f : x x(x 1) 1 h est impire ; f = g + h. On dit que g est l prtie pire de f et h s prtie impire. x f(x) 0 Figure VI.6 Symétrie du grphe pr rpport à l xe horizontl. x x 3 + x 2 x On risonne pr nlyse-synthèse. Anlyse : On suppose que l on g et h qui conviennent et l on essie d obtenir des informtions dessus. Indice : si x A, clculer f(x) + f( x). On en fit montré l unicité de g et de h. Synthèse : On vérifie que les fonctions trouvées dns l phse d nlyse conviennent. On lors montré l existence de g et de h. Exemple Les fonctions cosinus et sinus hyperboliques, que nous introduirons bientôt, sont les prties pires et impires de l fonction exponentielle. 0 1 Définition Soit T > 0. On dit que f est T -périodique si pour tout x A, x + T A et f(x + T ) = f(x). Dns ce cs T est ppelé UNE période de f. x f( x) Figure VI.7 Symétrie du grphe pr rpport à l xe horizontl. Dessin : on observe un «motif» de longueur T se répétnt. Réduction du domine d étude : si f est T - périodique, il suffit d étudier f sur tout intervlle de longueur T inclus dns A. Il n y jmis unicité de l période! Élémentire. Définition Supposons que A est centré ( x A, x A). Alors il existe deux uniques fonctions g : A R et h : A R vérifint : g est pire ; Exemple Les fonctions constntes, cos, sin, tn, x x x, R R sont périodiques. Exercice Déterminer l llure de l fonction f pire, 4- périodique et telle que f [0,2] = Id. 1.3 Fonctions monotones 76

77 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES Définition (i) On dit que f est croissnte (resp. strictement croissnte) si : (x, y) A 2, x y f(x) f(y). (resp. (x, y) A 2, x > y f(x) > f(y). (ii) On dit que f est décroissnte (resp. strictement décroissnte) si : (x, y) A 2, x y f(x) f(y). (resp. (x, y) A 2, x > y f(x) < f(y). (iii) On dit que f est monotone (resp. strictement monotone) si elle croissnte ou décroissnte (resp. strictement croissnte ou strictemement décroissnte). 1. Si f et g sont de même monotonie, g f est croissnte. 2. Si f et g sont de monotonies opposées, g f est décroissnte. Élémentire, ser vu en TD. 2 Théorèmes d nlyse dmis Ces résultts seront démontrés plus trd. Soit I un intervlle de R et f : I R. On utilise ici les notions de continuité, de dérivbilité et de primitives comme vues en terminle : nous les définirons proprement plus trd. Une fonction n est ps toujours croissnte ou décroissnte. Le contrire de croissnt n est ps décroissnt : l écrire vec des quntificteurs. Exercice Donner un exemple de fonction croissnte et décroissnte, puis de fonction ni croissnte, ni décroissnte. Théorème Si f est strictement monotone, lors f est injective. Cs strictement croissnt (le cs strictement décroissnt se trite de l même mnière). Soient x, x A tq f(x) = f(x ). On ne peut ps voir x < x cr sinon on urit f(x) < f(x ), ni x > x cr sinon f(x) > f(x ). Ainsi x = x. Exemple cos sur [π, 3π/2] est strictement croissnte. Proposition Soit E, F, G trois prties de R, f : E F et g : F G monotones. Théorème Soit f : I R dérivble. 1. f est croissnte (resp. décroissnte) si et seulement si f 0 (resp. f 0). 2. L fonction f est constnte si et seulement si x I, f (x) = 0. Remrque On déduit de ce théorème que deux primitives d une même fonction diffèrent d une constnte. Il est essentiel que I soit un intervlle pour que l impliction de l droite vers l guche soit vrie (en revnche pour l utre impliction ce n est ps nécessire). On ussi que si f est strictement positive (resp. négtive), lors f est strictement croissnte (resp. décroissnte). Attention, l réciproque est fusse! Exercice Trouver une ppliction f non croissnte dérivble sur son ensemble de définition, de dérivée positive. 2. Trouver une ppliction g non constnte dérivble sur son ensemble de définition, de dérivée nulle. 77

78 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES 3. Trouver une ppliction h dérivble non décroissnte sur son ensemble de définition, de dérivée négtive. Théorème Soient < b, et f : [, b] R continue strictement monotone. Alors f est bijective de [, b] sur l intervlle f([, b]). Et : (i) Si f croissnte : f([, b]) = [f(), f(b)] ; (ii) Si f décroissnte : f([, b]) = [f(b), f()] ; (iii) on des résultts nlogues vec un intervlle semi-ouvert, même si ou b = ±, mis ces résultts font intervenir des limites. On résume cette informtion dns un tbleu de vrition, en indiqunt pr une flèche continue les intervlles sur lesquels l fonction est continue et strictement croissnte. Exercice Déterminer l intervlle de définition de x (x + 1) 2 e x 1 puis trcer son tbleu de vritions. Exercice Chercher un contre-exemple u Théorème pour chque hypothèse que l on enlève. Proposition Soit f : I R et g : J R deux fonctions dérivbles, vec f(i) J. Alors, g f est dérivble et Théorème Soit f : I R bijective. (i) Si f est strictement monotone, lors f 1 l est ussi et est de même monotonie que f. (ii) Si f est continue, lors f 1 ussi. (iii) Si f dérivble et si f ne s nnule ps, lors f 1 est ussi dérivble et (f 1 ) 1 = f f 1. Que se psse-t il qund f s nnule pour l tngente de f 1? Exemple Retrouver insi l dérivée de.. Remrque On peut fcilement retrouver cette formule en dérivnt (f f 1 ). 3 Fonction vleur bsolue Définition Soit x R On ppelle vleur bsolue de x le réel x = x 2. Il vut x si x 0 et x sinon (voir l figure VI.6). (g f) = f (g f). Remrque Cel générlise les formules de dérivtions de e u, ln(u), u (etc.) vues u lycée. Remrque On rppelle que le grphe de l réciproque d une fonction bijective est le symétrique du grphe de cette fonction pr rpport à l première bissectrice du pln. x x Figure VI.8 Fonction vleur bsolue. 78

79 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES Proposition C est une fonction pire, continue sur R et dérivble sur R et R +. Si x > 0, on d dx ( x ) = 1 d et si x < 0, ( x ) = 1. dx Allure des courbes dns tous les cs (n pir, impir, positif, négtif) : voir les figures VI.7 et VI.8. Pour tout réel x, x est positive, et est nulle ssi x = 0. (x, y) R 2, x.y = x. y. L vleur bsolue coïncide vec le module complexe. L inéglité tringulire est toujours vrie. Le cs d églité s exprime lors simplement! Interpréttion en terme de distnce : x y est l distnce entre x et y. On peut lors écrire, vec (x, ε) R 2, les intervlles [x ε, x + ε] = {y R y x ε} et ]x ε, x + ε[= {y R y x < ε}. x x 2 x x x x x x Fonctions puissnces entières, polynomiles et rtionnelles 4.1 Fonctions puissnces entières Figure VI.9 Quelques fonctions puissnce, exposnts positifs. Définition x R, n N. On ppelle x puissnce n le réel x... x (n fois), noté x n. Pr convention x 0 = 1 pour tout x R, même 0. Si n est strictement négtif, et si x 0, on pose x n = 1 x n. Remrque Cel peut se définir rigoureusement pr récurrence. Proposition (i) x m+n = ( x m ) x n, x mn = (x m ) n, (xy) n = x n y n, xn x n y n =. y (ii) x x n l même prité que n. elle est définie, continue, dérivble de dérivée x nx n 1. Comprisons : pour x ]0, 1], 0 x 4 x 3 x 2 x 1 1/x 1/x 2... et l inverse pour x [1, + [. 4.2 Fonctions polynomiles et rtionnelles Définition On ppelle fonction polynomile toute fonction de l forme f : R R, x x + 2 x n x n = k x k, où n N et les i R, k=0 n 0. Dns ce cs, n est ppelé le degré de f. Proposition Toute fonction polynomile est continue et dérivble sur R, et : lim f(x) = lim nx n. x ± x ± 79

80 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES x 1 x Fonctions exponentielles, logrithmes et puissnces quelconques 5.1 Exponentielle et logrithme 0 1 Définition On ppelle logrithme népérien l primitive, notée ln, de x 1 x sur R + vlnt 0 en 1. x 1 x 3 x 1 x Figure VI.10 Quelques fonctions puissnce, exposnts négtifs. Mettre nx n en fcteur. Proposition L fonction ln est continue, dérivble sur R +, strictement croissnte (donc injective) et bijective de R + dns R. Si x R +, on ln (x) = 1 x. Les outils pour cel seront vus plus trd, mis il suffit de dire que c est l primitive d une fonction continue et positive. Définition On ppelle fonction exponentielle notée exp l réciproque de ln. On donc exp : R R +. Définition On ppelle fonction rtionnelle toute fonction de l forme f : x g(x) où g et h sont des h(x) fonctions polynomiles. Si n x n et b m x m sont les termes dominnts de g et h, on : lim f(x) = x ± lim x ± n x n b m x m. Remrque L ensemble de définition d une telle fonction est u moins inclus dns l ensemble des réels sur lesquels h ne s nnule ps. Nous l étudierons précisément dns le chpitre dédié ux frctions rtionnelles. Sur cet ensemble, toute frction rtionnelle est continue et dérivble. Proposition L fonction exp est continue, dérivble sur R, et égle à s dérivée. Utiliser les propriétés de l réciproque. Grphes : voir l figure VI.9. Proposition L exponentielle est prtout strictement positive, elle est trictement croissnte et bijective de R dns R +. 80

81 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES 5.2 Exponentielle de bse quelconque x exp(x) 1 Définition Soient x R + et R. On ppelle «x puissnce» (ou exponentielle de bse x), noté x, le réel x = exp( ln x). 0 1 x ln(x) x n est qu une nottion pour exp( ln x). x n est ps défini vec x 0, vec cette définition. Figure VI.11 Logrithme et exponentielle. Utiliser les propriétés de l réciproque. Proposition On (x, y) (R +) 2, ln(xy) = ln(x) + ln(y) et (x, y) R 2, exp(x + y) = exp(x) exp(y). Soit y R +, étudions f y : R + R, x ln(xy). C est une fonction dérivble, comme composée ) de fonctions déri- ( 1 vbles, et si x R +, f y(x) = y xy = 1. Ainsi, fy est x une primitive de x 1, donc diffère de ln d une constnte. x Avec x = 1, on obtient cette constnte : pour tout x > 0, on bien ln(xy) = ln x + ln y. L utre identité s en déduit en observnt que exp est l réciproque de ln. En prticulier, exp( x) = ln x et ln(x n ) = n ln x. e = exp(1) 2, exp(x), ln(1/x) = Remrque Si N, cette définition coïncide vec l définition donnée précédemment. On lors pour tout x > 0, exp(x) = e x. L nottion e x est lors utilisée pour tout x R pour désigner exp(x). Cs prticuliers : 1. N : x défini sur R. 2. Z : x défini sur R. 3. R + : prolongeble en 0 pr continuité. 4. = p q Q, p, q > 0 : définie sur R +, donc prolongeble en zéro, comme réciproque de l fonction x q. Et même prolongeble sur R si q impir. Pour triter un exercice vec des puissnces quelconques, il fut qusiment toujours repsser pr l écriture exponentielle. Proposition x, x R + et y, y R, on : 1. (xx ) y = x y.x y. 2. x y+y = x y.x y. 3. x (yy ) = (x y ) y. 4. x y = 1 x y = ( 1 x) y. 81

82 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES Revenir à l définition vi l exponentielle. On peut dériver x en utilisnt directement s définition. On remrquer notmment que d dx (x ) d d (x ). = 0, 7 = 1, 5 = 0, 7 On n utiliser jmis le symbole pour d dériver une expression, mis plutôt d, où est l vrible pr rpport à lquelle on dérive l expression (les utres étnt fixées). Exemple Que veut dire (x y )? 1 = 1, 5 = 0, 5 = 0, 5 Proposition Soit R. On note f : R + R +, x x. 1. f est continue, et dérivble et x R +, f (x) = x Si 0, f est bijective de R + sur R +. S réciproque est f 1/. 3. Si <, x > 1, x < x, si x ]0, 1[, x > x 1. Il suffit de dériver dns l défini- tion. 2. Il suffit de vérifier que (x ) 1/ = (x 1/ ) = x. 3. Étude des limites, suivnt le signe de. 0 1 Figure VI.12 Quelques fonctions de l forme x x. Remrque Cs prticuliers utiles : log 10 et log 2. Ils donnent le nombre de chiffres dns l écriture d un entier en bse 10 ou 2 : si 10 p n < 10 p+1, lors n s écrit vec p chiffres en bse 10 et log 10 n = p. Grphes : voir l figure VI.10. Définition (Logrithme de bse ). Soit R +. L fonction «puissnce en bse», R R +, x x, est bijective. S réciproque est le logrithme de bse log : R + R, x ln(x) ln(). 2. Propriétés fondmentles : log 10 (10 x ) = x et 10 log 10 x = x. 3. Lien vec les digrmmes de Bode en SI pour représenter une fonction de trnsfert d un système électrique (électronique?). Échelle log/db, où db = 20 log 10 (utrement dit, 20dB d ugmenttion signifie multipliction pr 10 du signl) : 82

83 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES 6 Fonctions circulires réciproques 6.1 Arccos et Arcsin 5.3 Croissnces comprées Exercice Montrer que x R +, exp(x) 1 + x + x 2 /2. En déduire l limite de exp(x)/x lorsque x +. Proposition Soient, b R +. Alors : 1. l exponentielle l emporte sur les puissnces : lim x + e bx x = les puissnces l emportent sur les logrithmes : lim x. ln x b x = 0 et lim x 0 x + (ln x) b = l exponentielle l emporte sur les logrithmes (repsser pr les deux premiers points). Définition L fonction cosinus est bijective de [0, π] sur [ 1, 1]. S fonction réciproque est ppelée rccosinus et noté Arccos. Elle est continue sur [ 1, 1], 1 dérivble sur ] 1, 1[ de dérivée x, 1 x 2 décroissnte. Son grphe est représenté sur l figure VI π x Arccos(x) 0 π 2 π 2 1 x cos(x) y = x Figure VI.13 Fonctions cos et Arccos. π 1. On utilise le ( résultt ) de e bx e bx/ l exercice Alors, = = x x ( ) b ( ) e bx/.. bx/ 2. Pr composition de limites, on directement x lim = + (et lim x ln x = 0). x + ln x x 0 ( ) x x /b b ( ) ( ) b x /b b Ensuite, (ln x) = =. b ln x b ln (x /b ) On obtient l utre limite pr composition. 3. Repsser pr les deux premiers points. Définition L fonction sinus est bijective de [ π/2, π/2] sur [ 1, 1]. S fonction réciproque est ppelée rcsinus et noté Arcsin. Elle est continue sur [ 1, 1], 1 dérivble sur ] 1, 1[ de dérivée x, 1 x 2 impire et croissnte. Son grphe est représenté sur l figure VI.12 Donnons-l pour Arccos ; pour Arcsin on ne montre que l imprité. 83

84 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES π 2 x Arcsin(x) y = x tiennent. 1 π x sin(x) Proposition Pour tout x [ 1, 1], on Arcsin x + Arccos x = π/2. 1 π 2 Figure VI.14 Fonctions sin et Arcsin. Théorème x [ 1, 1], sin(arccos x) = cos(arcsin x) = 1 x 2. 1 π 2 Notons f : [ 1, 1] R, l ppliction x Arcsin x + Arccos x. Il suffit de montrer que f est constnte sur [ 1, 1], de vleur π/2. Pour cel on peut vérifier les trois points suivnts : 1. f est constnte sur ] 1, 1[. En effet, f est dérivble sur ] 1, 1[ et d près ce qui précède s dérivée est nulle. Notons C s vleur sur ] 1, 1[. 2. f est constnte sur [ 1, 1]. En effet, on x ] 1, 1[ f(x) = C, donc f dmet une limite à droite en 1 et lim x 1 f(x) = C. Or f est continue en 1 x> 1 cr Arcsin et Arccos le sont. Donc lim x 1 f(x) = x> 1 f( 1). Donc f( 1) = C. De même f(1) = C. On donc x [ 1, 1] f(x) = C. 3. L vleur de f sur [ 1, 1] est π/2. En effet, en 0, f vut Arcsin 0 + Arccos 0, qui est égl à 0 + π/2. cos Arccos = Id [ 1,1], ( Arccos cos Id R, = Id que sur [0, π], exemple), donc sin 2 (Arccos x) = 1 cos 2 (Arccos x) = 1 x 2. Pour finir, on remrque que sur [0, π], sin est positif, or Im(Arccos) = [0, π]. Exemple Très clssique : résoudre Arcsin x = Arccos 4 5, d inconnue x [ 1, 1]. On 4 5 > 0, donc Arccos 4 [0, π/2], donc on 5 doit voir Arcsin x [0, π/2], et donc x 0. Donc Arcsin x = Arccos 4 ssi sin Arcsin x = 5 sin Arccos 4 5 (cr Arccos 4 [ π/2, π/2]) ssi 5 x = 1 (4/5) 2 = 3 (cr x 0) Arctngente Remrque L dérivée de tn est 1 + tn 2 = 1 cos 2. On rppelle le grphe de tn sur R\ {π/2 + kπ, k Z} dns l figure VI.13. 5π 2 3π 2 π 2 0 π 2 tn 3π 2 Figure VI.15 Fonction tn. 5π 2 Toujours fire ttention ux signes des objets, et ux ensembles uxquels ils ppr- 84

85 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES Définition L fonction tngente est bijective de ] π/2, π/2[ sur R. S fonction réciproque est ppelée rctngente et noté Arctn (prfois tn). Elle est continue sur R, dérivble sur R de dérivée x x 2, impire et strictement croissnte. Son grphe est donné figure VI.14 (noter les symptotes). x Arctn(x) π π 2 x tn(x) On en déduit successivement tn(arctn(2x)) + tn(arctn(3x)) 1 tn(arctn(2x)). tn(arctn(3x)) = 1 2x + 3x 1 2x.3x = 1 5x = 1 6x 2 donc x = 1 ou x = 1 6. Or Arctn( 2) + Arctn( 3) < 0, donc 1 ne peut ps être solution de (E). Donc il existe u plus une solution : 1 6 Synthèse Posons x = 1 et montrons que x est 6 solution de (E). Posons v = tn(arctn(2x) + Arctn(3x)). On tn(arctn(2x)) + tn(arctn(3x)) v = 1 tn(arctn(2x)). tn(arctn(3x)) 1/3 + 1/2 = 1 1/3 1/2 = 5/6 5/6 = 1 On donc Figure VI.16 Fonctions tn et Arctn. Proposition À nouveu, remrquer que tn Arctn = Id R, mis ps Arctn tn : ce n est l identité que sur ] π/2, π/2[. Exemple Résoudre l éqution Arctn(2x) + Arctn(3x) = π (E). 4 Anlyse Soit x une solution de l éqution. On nécessirement tn(arctn(2x) + Arctn(3x)) = tn π/4 tn(arctn(2x) + Arctn(3x)) = tn π/4 (VI.1) De plus, Arctn(1/3) + Arctn(1/2) 0. En outre, l ppliction Arctn étnt strictement croissnte, on Arctn(1/3) < Arctn(1/2) < Arctn(1), or Arctn(1) = π/4, donc on Arctn(1/3) + Arctn(1/2) < π/2. Donc on Arctn(2x) + Arctn(3x) [0, π[ (VI.2) Or l restriction de tn à [0, π[ est injective donc d près (VI.1) et (VI.2), on Arctn(2x) + Arctn(3x) = π, 1/6 est donc 4 solution de (E). Conclusion L éqution (E) dmet une unique solution : 1/6. 85

86 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES Exercice Étudier l fonction f : x Arctn(x) + Arctn 6.3 Coordonnées polires ( 1 x). Soit (x, y) un couple de coordonnées crtésiennes d un point M du pln. On veut un couple de coordonnées polires de M. On cherche un tel couple sous l forme (r, θ) vec r 0 et θ ] π, π[. On r = x 2 + y 2. On doit voir x = r cos θ = et y = r sin θ, donc cos θ = x/r et sin θ = y/r (on écrte le cs r = 0, on dit pr convention que toutes les (0, θ) conviennent). On distingue deux cs : Premier cs y 0. donc M pprtient u demipln supérieur, donc θ [0, π] et donc θ = Arccos(x/r). Second cs y < 0, lors θ ] π, 0[, donc θ ]0, π[, donc θ = Arccos(x/r), d où θ = Arccos(x/r). Remrque On urit ussi pu utiliser Arcsin en distingunt les cs x 0 (θ = Arcsin(y/r)) et x < 0 (θ = π Arcsin(y/r)). Exemple Un ( couple de coordonnées polires de (4, 3) est 5, Arccos 4 ). 5 7 Fonctions hyperboliques 7.1 ch, sh et th Définition On ppelle : 1. Sinus hyperbolique et on note sh l ppliction R R. x e x e x 2 2. Cosinus hyperbolique et on note ch l ppliction R R x e x + e x Tngente hyperbolique et on note þ l ppliction R R. x sh x ch x = e x e x e x + e x Remrque Ces définitions sont les formules d Euler pour cos, sin et tn, dns lesquelles on retiré l imginire i, d où les noms de cosinus, sinus et tngente. On retrouve ussi les prties pire (ch) et impire (sh) de l exponentielle. Proposition L fonction ch est continue et dérivble sur R et s dérivée est sh. ch est pire. 2. L fonction sh est continue et dérivble sur R et s dérivée est ch. sh est impire. 3. Grphes (cf. figure VI.15). 4. L fonction th est continue et dérivble sur R et þ = 1 þ 2 = 1 2. th est impire. Voir ch son grphe figure VI ch 2 sh 2 = Idem. 1. On clcule ch, et ch( x). 3. Tbleu de vritions. On rjoute : lim x + ch(x) sh(x) = 0, donc grphes symptotiques l un de l utre. 4. On dérive þ. Tbleu de vritions, étude des symptotes. 5. Simple clcul. Remrque Pourquoi fonctions «hyperboliques» et «circulires»? Cr x 2 + y 2 = 1 est l éqution du cercle trigonométrique C, donc (x, y) C ssi t R x = cos t et y = sin t. De même, x 2 y 2 = 1 est l éqution de l hyperbole équiltère H d symptotes x = ±y. Donc (x, y) H ssi t R x = ch t et y = sh t.

87 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES x ch(x) x sh(x) Figure VI.17 Fonctions ch et sh. 1 x þ(x) 0 1 Figure VI.18 Fonction þ. Remrque Toutes les formules trigo circulires ont une nlogue hyperbolique : ex : ch( + b) = ch ch b + sh sh b, sh( + b) = sh ch b + ch sh b. 7.2 Fonctions hyperboliques inverses Elles sont hors-progrmme. : ( Mis vous pouvez très bien les retrouver, insi que leurs propriétés, en tnt qu exercice! :) 87

88 CHAPITRE VI. FONCTIONS USUELLES 88

89 Chpitre VII Équtions différentielles linéires 1 Résultts d nlyse Dérivbilité d une fonction à vleurs réelles Continuité et dérivbilité d une fonction à vleurs complexes Rppels d intégrtion Méthodes de clcul Intégrtion pr prties b Chngement de vrible Générlités Cdre Structure de l ensemble des solutions Équtions linéires du premier ordre Résolution de l éqution homogène Résolution d une éqution vec second membre Résolution prtique Équtions différentielles du second ordre à coefficients constnts Définitions Résolution d une éqution homogène Résolution d une éqution vec second membre Un peu de physique : circuits RL et RLC Circuit RL Circuit RLC Méthode d Euler

90 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES K désigne R ou C. 1 Résultts d nlyse On se fonde ici sur les notions d nlyse vues en terminle : continuité, dérivbilité, intégrles. Elles seront définies ultérieurement. 1.1 Dérivbilité d une fonction à vleurs réelles. Rppel : si une fonction f : A R, vec A R, est dérivble en A, lors le grphe de f dmet une tngente en, d éqution y = (x )f () + f(). Proposition Soit f et g deux fonctions réelles définies sur A R, dérivbles, soit λ R. 1. L fonction f + λ g est dérivble sur A et (f + λ g) = f + λ g. 2. L fonction fg est dérivble sur A et (fg) = f g + fg. Proposition Soit f : A R et g : B R, vec A R, B R et f(a) R. Si f et g sont dérivbles, lors g f est ussi dérivble et (g f) = f (g f). Corollire On retrouve insi les résultts usuels 1. Si f : A R est dérivble ( et ne ) s nnule ps, 1 lors 1/f est dérivble et = f f f Si f : A R et g : A R sont dérivbles et si g ne s nnule ps, lors f/g est dérivble ( ) f et = f g f g g g 2. Remrque On retrouve ussi les formules vues en terminle : dérivée de l puissnce, de l exponentielle et du logrithme d une fonction. 1.2 Continuité et dérivbilité d une fonction à vleurs complexes. I est toujours un intervlle de R et f : I C. Définition On ppelle prtie réelle de f l fonction Re(f) : I R, x Re(f(x)). De même on ppelle prtie imginire de f l fonction Im(f) : I R, x Im(f(x)). On peut lors décomposer f en Re(f) + i Im(f). Exemple f : R C, x (2 + i)e (1+i)x. Définition (i) On dit que f est continue (resp. dérivble) en si Re(f) et Im(f) le sont. Dns le cs où f est dérivble, on ppelle dérivée de f en notée f () le complexe f () = (Re(f)) () + i(im(f)) (). (ii) On dit que f est continue (resp. dérivble) sur un intervlle si elle l est en tout point de cet intervlle. (iii) On note (nottions non officielles) C (I, K) et D(I, K) l ensemble des fonctions respectivement continues et dérivbles de I dns K. Définition (Dérivées successives.). On définit pr récurrence les dérivées successives d une fonction f : I C. f (0) = f. Si f est dérivble, f (1) = f. Pour tout entier nturel n, si f (n) est définie et est dérivble, lors on définit f (n+1) = (f (n) ). 90

91 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Remrque On noter souvent f u lieu de f (2), un peu plus rrement f u lieu de f (3). Les physiciens utilisent souvent les nottions f,... f et f pour indiquer des dérivées successives pr rpport à l vrible temps. 1.3 Rppels d intégrtion Définition Soit f : I C et F : I C. On dit que F est UNE primitive de f si F est dérivble sur I, de dérivée f. Définition (i) On note C 1 (I, K) l ensemble des fonctions continuement dérivbles sur I : C 1 (I, K) = {f D(I, K) f C (I, K)}. (ii) Si n N, on note D n (I, K) l ensemble des fonctions n fois dérivbles sur I : ce sont les fonctions f telles que f (n) est définie. On note ussi C n (I, K) l ensemble des fonctions n{ fois continuement dérivbles }: C n (I, K) = f D n (I, K) f (n) C (I, K). (iii) On note C (I, K) l intersection n N C n (I, K). On ne dérive ici que des fonctions d une vrible réelle. Remrque Si f est dns C n (I, K), on dit que f est de clsse C n sur I. Théorème Soit ϕ D(I, K). L ppliction x e ϕ(x) est dérivble sur I de dérivée l ppliction x ϕ (x)e ϕ(x). On dérive e Re(ϕ) (on obtient (Re(ϕ)) e Re(ϕ) ), puis on dérive d un côté Re(e ϕ(x) ) = e Re(ϕ) cos Im ϕ et Im(e ϕ(x) ) = e Re(ϕ) sin Im ϕ de l utre. Exemple Dériver l fonction de l exemple Remrque On les mêmes formules que dns le cs réel pour l dérivée d une combinison linéire, d un produit insi que d un quotient de fonctions. Théorème On rppelle que I est un INTERVALLE. Soit f : I K dérivble. L fonction f est constnte si et seulement si x I, f (x) = 0. Exercice Proposer un contre-exemple u théorème précédent dns le cs où I n est ps un intervlle. Corollire Toutes les primitives d une même fonction sur un intervlle diffèrent d une constnte, et qund cette constnte prcourt K, on obtient toutes les primitives. Autrement dit, si F est une primitive de f, {F + λ, λ K} est l ensemble de toutes les primitives de f. Soit F et G deux primitives d une même ppliction sur un intervlle. Alors F = G, donc (F G) est nulle sur cet intervlle, donc F G est constnte sur cet intervlle. Donc toutes les primitives d une même ppliction diffèrent d une constnte. Réciproquement, si F est une primitive de f, il est isé de voir que F + λ est une primitive de f pour tout λ K. Exercice Déterminer l ensemble des primitives de l fonction inverse, définie sur R. Il convient de connître toutes les primitives du formulire. Exercice Soient, b, c trois réels. Clculer les primitives de 1 x x 2 + bx + c. Triter églement le cs, b, c C. 91

92 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Définition Soient, b I et f C (I, C). On ppelle intégrle de f sur [, b] le complexe i b Im(f)(t) dt, noté b b f(t) dt ou Re(f)(t) dt + b L interpréttion en terme d ire ne veut rien dire pour une fonction à vleurs complexes. Exemple π (1 + i)e ix dx = 0. (2 méthodes : en séprnt 0 prties réelle et imginire, ou en primitivnt directement). Théorème (Le théorème fondmentl de l nlyse). Soit f C (I, K). Soit I. I K (i) L fonction : x est une x f(t) dt primitive de f. (ii) Soit A K. L fonction F : I K x est l seule x A + f(t) dt primitive de f telle que F () = A. Remrque C est ce théorème qui ssure que «F (b) F ()». b f. f(t) dt = Exercice Soient et b deux réels. Clculer les primitives de x e x cos(bx) et celles de x e x sin(bx). 1.4 Méthodes de clcul Intégrtion pr prties Théorème Soient u et v C 1 (I, R) et, b I. Alors b u v = [uv] b b uv. Puisque u, v sont de clsse C 1, u v + uv est continue, donc dmet une primitive F sur I. Or uv est une primitive de u v + uv, et on finit vec le théorème fondmentl. Exemple Les grnds clssiques : Trouver une primitive de ln. Idem vec Arctn. Trouver une primitive du produit d un polynôme et d une exponentielle : pr exemple (x 2 + 1)e x. Trouver une primitive du produit d une fonction trigonométrique et d une exponentielle : pr exemple cos(x)e 2x. Trouver une primitive du produit d un polynôme et d une fonction trigonométrique : pr exemple x 2 cos x. b Chngement de vrible Théorème Soit ϕ C 1 (I, R) et f C 0 (J, R), où J est un intervlle de R. On suppose que ϕ(i) J. Soient, b I. Alors ϕ(b) ϕ() f(t) dt = b ϕ (t) (f ϕ)(t) dt. Remrque Moyen mnémotechnique : on écrit x = ϕ(t) (u brouillon seulement!). Alors dx = ϕ (t) dt, donc f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Reste le problème des bornes. Qund t v de à b, x = ϕ(t) v de ϕ() à ϕ(b). Et voilà... ϕ C 1, f C 0, donc ϕ.f ϕ C 0, donc f dmet une primitve F, et ϕ.f ϕ dmet F ϕ comme primitive. On déduit lors le résultt du théorème fondmentl : ϕ(b) ϕ() f(t) dt = [F ] ϕ(b) = F (ϕ(b)) F (ϕ()) ϕ() = [F ϕ] b = b f(ϕ(t))ϕ (t) dt 92

93 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Remrque Les seuls chngements de vribles que l on se permettr de ne ps justifier sont ceux ffines (on les signler qund même!). Exemple Clculons l ire de l ellipse d éqution x2 2 + y2 b 2 = 1. Le qurt supérieur droit de cette ellipse peut être prmétré pr x, b 1 x2, x llnt de 0 à. 2 On clcule donc I = b 1 x2 0 2 dx. On effectue le chngement de vrible x = cos θ et on obtient : I = 0 π/2 b sin 2 1 cos(2θ) θ dθ = b dθ = π/2 0 2 [ ] 1 b 1 π/2 πb sin(2θ) = 1 4 πb. 0 L ire de l ellipse est donc πb. Proposition Soit f : R R une ppliction continue. 1. Si f est pire et R lors 2 0 f(t) dt = 2 0 f(t) dt. 2. Si f est impire et R lors et 0 f(t) dt = 0 f(t) dt. f(t) dt = f(t) dt = 0 3. Si f est T -périodique (T > 0) et R lors T 0 f(t) dt = pose x = t. Donc 0 0 +T f(t) dt. 1. On considère f(t) dt = f(x) dx = 0 f(x) dx Comme le point précédent vec 0 f(t) dt et on f( x) dx = 0 f(t) dt = 0 f( x) dx = f(x) dx = f(x) dx On peut commencer à regrder à prtir d un dessin, dns le cs où T < < 0. On : +T 0 +T f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt +T Or pr chngement de vrible x = t + T, on obtient 0 On en déduit que f(t) dt = T +T f(t) dt = f(t) dt+ T +T +T 0 0 f(x) dx. f(t) dt = T 0 f(t) dt On peut remrquer que l hypothèse T < < 0 qui nourri notre intuition ne joue en fit ucun rôle : elle n est utilisée nulle prt dns l démonstrtion. Nous vons donc le résultt ttendu. 2 Générlités 2.1 Cdre On s intéresser à des équtions différentielles dont les solutions sont à vleurs dns K, vec K = R ou K = C. On considérer I un intervlle ouvert de R. On s intéresser uniquement à des équtions différentielles linéires. Définition (Éqution différentielle linéire). Soit n un entier nturel non nul, et 0,..., n 1 et b des pplictions continues de I dns K, lors On ppelle éqution différentielle linéire d ordre n l éqution y (n) + n 1 (t)y (n 1) (t)y + 0 (t)y = b(t) (E ) Une solution de cette éqution est une ppliction f : I K n fois dérivble sur I vérifint t I f (n) (t) + n 1 (t)f (n 1) (t) (t)f (t) + 0 (t)f(t) = b(t) 93

94 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES L éqution (E ) est dite homogène si b = 0 K I L éqution homogène ssociée à (E ) est y (n) + n 1 (t)y (n 1) (t)y + 0 (t)y = 0 (H ) Remrque Nous ne nous intéresserons ps dns le reste de ce chpitre u cs plus générl d une éqution n (t)y (n) + n 1 (t)y (n 1) (t)y + 0 (t)y = b(t) (E ) où on églement ffecté y (n) d un coefficient n (t). En effet : Si n ne s nnule ps, il suffit de diviser cette éqution pr n (t) pour se rmener u cs étudié ici. Si n s nnule, il est difficile de donner des résultts générux. En prtique, si on rencontre une telle éqution où n s nnule, on chercher en générl les solutions sur les intervlles où n ne s nnule ps et on regrder u cs pr cs comment recoller les solutions ux points où n s nnule. Définition (Problème de Cuchy). Soit t 0 I y 0,...,y n 1 des éléments de K L recherche des solutions f de (E ) vérifint les conditions initiles suivntes : f(t 0 ) = y 0 et f (t 0 ) = y 1... et f (n 1) (t 0 ) = y n 1 est ppelé problème de Cuchy linéire d ordre n Exemple En physique les déplcement d un mobile sont régis pr l éqution de l dynmique relint l dérivée seconde de l position et les forces qui s ppliquent u mobile, qui dépendent en générl de s position et ou de s vitesse. Il s git donc d une éqution différentielle d ordre 2. 1 Il est risonnble de penser que le problème de Cuchy lors une unique solution : une position initile et une vitesse initile étnt données, une seule trjectoire est possible. 2.2 Structure de l ensemble des solutions Théorème (Structure des solutions). Soit n N (E ) une éqution différentielle linéire d ordre n, d ensemble de solutions S E (H ) l éqution homogène ssociée, d ensemble de solutions S H Alors 1. S E C n (I, K) 2. S H est non vide et est stble pr combinisons linéires. 3. Pour tout y 0 S E fixé, on S E = { y 0 + y y S H } 4. En prticulier, S E est l ensemble vide ou un singleton ou un ensemble infini. Sous les hypothèses de l énoncé : 1. Toute solution f est nécessirement n fois dérivble et pour tout t I, f (n) (t) =b(t) n 1(t)f (n 1) (t)... 1(t)f (t) 0(t)f(t) Or b, n 1, f (n 1),..., 0, f sont des pplictions continues. Donc f (n) est continue, donc f C n (I, K). 1. En générl linéire dns les problèmes de prép mis dns l vrie vie c est prfois plus compliqué. 94

95 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 2. L ppliction nulle est une solution trivile de S H, donc S H est non vide. Pour toute ppliction f n fois dérivble et tout t I, notons ψ f (t) le sclire f (n) (t) + n 1(t)f (n 1) (t) (t)f (t) + 0(t)f(t) On lors f S H t I ψ f (t) = 0 (ou, de fçon plus concise : f S H ψ f = 0 K I ). Soit lors f et g deux pplictions n fois dérivbles de I dns K et λ et µ deux éléments de K. Alors λf +µg est évidemment n fois dérivble. Et pour tout t I, on ψ λf+µg (t) = λψ f (t) + µψ g(t) (utrement dit ψ λf+µg = λψ f + µψ g). En prticulier, si f et g sont solutions de l éqution homogène, on ψ f = 0 et ψ g = 0, donc ψ λf+µg = 0 donc λf + µg S H. 3. Soit y 0 S E fixé. On donc, pour tout t I, ψ y0 (t) = b(t) Soit lors f : I K une ppliction n fois dérivble. On f S E ψ f = b ψ f = ψ y0 ψ f y0 = 0 f y 0 S H Donc pour tout f S E, f s écrit sous l forme y 0 + y où y S H. Donc S E { y 0 + y y S H }. Réciproquement, pour tout y S ch, l ppliction f définie pr f = y 0 + y est n fois dérivble et f y 0 S H, donc f S E. Donc { y 0 + y y S H } S E. On donc bien S E = { y 0 + y y S H }. 4. On sit que S H n est ps vide puisqu il contient u moins l ppliction nulle. Supposons qu il contienne u moins une utre ppliction f. Alors pour tout λ K, λf pprtient églement à S H. Donc ou bien S H est réduit à un élément, ou bien il est infini. D près le point précédent, si S E possède u moins un élément y 0, on S E = { y 0 + y y S H }. Donc y y 0 + y est une bijection de S H sur S E, donc S E est ou bien réduit à un élément (y 0) ou bien est infini. Donc ou bien S E est vide, ou il est réduit à un élément, ou il est infini. Remrque Nous retrouvons ici le même type de structure de l ensemble des solutions que dns le cs des systèmes linéires. Ce n est ps une coïncidence : un même type de structure lgébrique se cche derrière (les espces vectoriels et ffines)! Théorème (Principe de superposition). Soit n un entier, 0,..., n 1, b 1, b 2 des pplictions continues de I dns K et (λ 1, λ 2 ) K 2. Notons n l fonction constnte égle à 1. On considère les équtions i y (i) = b 1 (E 1 ) i=0 i y (i) = b 2 (E 2 ) i=0 i y (i) = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 (E ) i=0 Alors pour toute solution y 1 de E 1 et toute solution y 2 de E 2, λ 1 y 1 + λ 2 y 2 est une solution de E. On reprend les nottions de l démonstrtion de l proposition??. Soit y 1 et y 2 des solutions respectives de E 1 et E 2. On ψ y1 = b 1 et ψ y2 = b 2. Or ψ λ1 y 1 +λ 2 y 2 = λ 1ψ y1 +λ 2ψ y2. Donc ψ λ1 y 1 +λ 2 y 2 = λ 1b 1 + λ 2b 2. Théorème (Solutions du problème de Cuchy linéire). Soit n un entier nturel et E une éqution différentielle linéire d ordre n. Alors, pour tout choix des conditions initiles, le problème de Cuchy linéire d ordre n dmet une unique solution. Remrque Ce théorème est hors-progrmme dns le cs générl. S démonstrtion dns le cs générl requiert en effet des outils d nlyse que nous n vons ps encore à notre disposition. En revnche, dns les cs n = 1 et n = 2, le résultt est u progrmme et ser démontré. 95

96 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 3 Équtions linéires du premier ordre 3.1 Résolution de l éqution homogène Théorème Soit A une primitive de sur I. Soit C 0 (I, K). Alors, l ensemble des solutions de l éqution homogène y + y = 0 est { } I K S H = t Ke A(t) K K. Si de plus une condition initile est fixée, lors l solution est unique. En prticulier si y s nnule en un point, elle est identiquement nulle. Toute fonction de l forme t Ke A(t) est une solution (c est évident, il n y qu à dériver). Réciproquement, soit y une solution. On pose z(t) = y(t)e A(t) pour t I. z est dérivble sur I et pour tout t, z (t) = y (t)e A(t) + y(t)a (t)e A(t) = (y (t) + (t)y(t))e A(t) = 0, donc z est une constnte K. Une condition initile y(t 0) = y 0 étnt donnée, elle est vérifiée si et seulement si Ke A(t0) = y 0, c est-à-dire si et seulement si K = y 0e A(t0). Il y lors une et une seule solution : t y 0e A(t0) A(t). Remrque On dit que l ensemble des solutions une structure de droite vectorielle, de vecteur directeur t e A(t). Exercice Déterminer les intervlles de résolution puis résoudre les équtions différentielles suivntes. 1. y + y = 0 2. y 1 + y = 0 vec y(1/2) = 1. 1 x 2 Corollire Une solution qui s nnule en un point ne peut être que l fonction nulle. forme y(t 0) = 0. Or il existe une unique solution à ce problème et l fonction nulle est mnifestement solution. 3.2 Résolution d une éqution vec second membre Remrque On déjà vu que si l on connissit une solution ỹ de l éqution vec second membre, lors on pouvit construire toutes les solutions de l éqution vec second membre à prtir de l ensemble des solutions de l éqution homogène. Dns le cs d une éqution d ordre un, on dit que l ensemble des solutions une structure de droite ffine, cr l ensemble des solutions est l ensemble des ỹ + y pour y prcournt une droite vectorielle. Théorème Soit et b deux pplictions continues de I dns C, et A une primitive de. Alors le problème de Cuchy y + y = b et y(t 0 ) = y 0 dmet une unique solution : I K t e A(t 0) A(t) y 0 + e A(t) t t 0 e A(u) b(u) du Remrque L unicité est isée à démontrer : si on dispose de deux solutions de ce problème, leur différence est une solution de l éqution homogène du problème s nnulnt en t 0, c est donc l ppliction nulle. On peut églement ssez directement montrer que l ppliction donnée est solution pr clcul. Nous donnons cependnt ci-dessous une utre démonstrtion qui l vntge de permettre de retrouver l formule. Cette méthode est à connître et s ppelle l méthode de l vrition de l constnte. En effet elle est solution d un problème de Cuchy de l 96

97 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Lemme Soit h : I C ne s nnulnt ps. Alors, pour tout y : I C, il existe une unique fonction C : I C telle que y = Ch. De plus, si h est dérivble, lors y est dérivble si et seulement si C l est. C est élémentire : y = Ch si et seulement si C = h y. On obtient l dérivbilité de C ou de y pr opértions usuelles sur les fonctions dérivbles. Démonstrtion (Théorème??). Notons E l éqution y + y = b, (H ) l éqution homogène ssociée, S E et S H les ensembles de solutions respectifs de ces deux équtions et S l ensemble des solutions du problème de Cuchy y + y = b et y(t 0) = y 0. On sit que y H : t e A(t) est une solution de H qui ne s nnule jmis. D près le lemme??, toute fonction y : I K dérivble est de l forme Cy H, vec C : I K dérivble.. Soit donc une fonction C : I K est une ppliction dérivble, posons y = Cy H. L fonction y est dérivble comme produit de fonctions dérivbles. Soit lors t I. On y + y = C y H + Cy H + Cy H = C y H + C ( y H + y H ). Or y H est solution de (H ), donc y H + y H = 0. Donc y est solution de E si et seulement si C y H = b, c est-à-dire si et seulement si C est l ppliction t e A(t) b(t), c est-àdire si et seulement si C est une primitive de t e A(t) b(t), i.e. si et seulement s il existe λ K tel que 3.3 Résolution prtique Schém de résolution (à connître!) On effectuer toujours les ctions suivntes, dns l ordre. 1. Déterminer I. 2. Résoudre (E H ). 3. Trouver une solution dite prticulière (solution évidente, second membre d une forme prticulière ou méthode de vrition de l constnte). 4. S occuper éventuellement des conditions initiles. 5. Donner les solutions. Remrque On ne vous demnde jmis que de trouver une solution prticulière : fites le plus simplement possible! Si vous ne voyez ps de solution évidente, l méthode de l vrition de l constnte est ssez efficce et vous permet de retrouver l formule générle (une erreur est vite rrivée!). Il est permis de chercher une solution prticulière u brouillon puis de l exhiber sur s copie, en justifint qu elle vérifie bien les conditions imposées. Exemple On résout l éqution y + y = e 2x sur R. Ses solutions sont les x 1 3 e 2x + Ke x, vec K K. C : t λ + t t 0 e A(u) b(u) du. b Seconds membres prticuliers Soit λ K et y : t λe A(t) + e A(t) t t 0 e A(u) b(u) du. Remrque : On vient donc de prendre une solution quelconque de (H ). Alors, y est solution du problème de Cuchy (y +y = b et y(t 0) = y 0) si et seulement si y(t 0) = y 0, donc si et seulement si λ = y 0e A(t 0), c est-à-dire si et seulement si y est l ppliction t e A(t 0) A(t) y 0 + e A(t) t t 0 e A(u) b(u) du. On considère l équtions y +y = b, dns le cs où est une constnte. Si b est d une des formes suivntes, lors l méthode de l vrition de l constnte (insi que certins rguments que nous développerons un peu plus trd) nous indique qu il est possible à chque fois de chercher une solution prticulière sous une forme ssez simple. Polynôme - exponentielle Si b : x P (x)e αx, où P est un polynôme de degré n, on cherche une solution prticulière de l forme Q(t)e αt vec Q de degré n si α, n + 1 sinon. 97

98 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Polynôme - fonction trigonométrique Si b : x P (x) cos(αx) (ou P (x) sin(αx)) et si K = R, on résout d bord l éqution y + y = P (t)e iαt vec l méthode du point précédent (Q ser lors à coefficients complexes), et on prend les prties réelles et imginires (explictions). Polynôme - fonction hyperbolique Si b : x P (x) ch(αx) (ou P (x) sh(αx)) et si K = R, on résout d bord l éqution y +y = P (t)e αt vec l méthode du premier point, on obtient une solution y +. On résout ensuite l éqution y + y = P (t)e αt vec l méthode du premier point, on obtient lors une solution y. Pr superposition, on prend y + + y pour ch et y + y pour sh. 2 2 On remrquer qu il est souvent tout ussi rpide de procéder pr vrition de l constnte... Exemple Trouver une solution prticulière pour y +y = e t, pour y + y = sin(t) et pour y + y = ch(t). Exemple Résoudre y + 2y = ch t (1 + t)e 2t. On trouve t 1 6 e t e t ( 1 2 t2 + t + K)e 2t. 4 Équtions différentielles du second ordre à coefficients constnts 4.1 Définitions Une éqution différentielle linéire du second ordre est une éqution de l forme y +αy +βy = d où α, β et f sont des pplictions continues, d inconnue y : I K deux fois dérivble sur I. Dns l suite de ce chpitre, on ne s intéresser qu u cs où α et β sont des constntes. Plus générlement, on s intéresser ux équtions de l forme y + by + cy = d, où, b, c sont des constntes de K vec 0 et d C (I, K), d inconnue y : I K deux fois dérivble sur I. d est ppelé le second membre de cette éqution. On dit qu elle est homogène si son second membre est nul. On ppelle éqution homogène ssociée à y + by + cy = d l éqution y + by + cy = Résolution d une éqution homogène On considère ici l éqution homogène définie sur R y + by + cy = 0. (H ) Lemme Soit r K, l fonction y r : t e rt est solution de (??) si et seulement si r 2 + br + c = 0. y r est dérivble et y r = ry r. Donc y r est deux fois dérivble et y r = r 2 y r. On donc y r + by r + cy r = (r 2 + br + c)y r. On conclut en remrqunt que y r ne s nnule jmis. Définition (Éqution et polynôme crctéristique). L éqution crctéristique de (??) est l éqution r 2 + br + c = 0. Le polynôme crctéristique de (??) est X 2 + bx + c. (EC) Théorème (Solutions complexes de (??)). Soit, b, c C, vec Si (??) deux solutions complexes distinctes r 1, r 2, lors les solutions complexes de (??) sont les pplictions de l forme { R C t λe r1t + µe r 2t pour (λ, µ) C Si (??) une unique solution complexe r, lors les solutions complexes de (??) sont les pplictions de l forme { R C t (λt + µ)e rt 98

99 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES pour (λ, µ) C 2. Soit r une solution complexe de (??), on sit d près le lemme?? que y r : t e rt est une solution de (??). De plus, y r ne s nnule jmis. On peut donc mettre en œuvre l méthode de l vrition de l constnte. En effet, pour toute fonction y : R C deux fois dérivble, il existe K : R C deux fois dérivble telle que y = Ky r (poser K = y/y r). Soit donc K : R C deux fois dérivble, posons y = Ky r. L fonction y est deux fois dérivble, pr produit. On lors, comme y r = ry r. y = K y r + Ky r = (K + rk)y r. Le même type de clcul donne On lors y = (K + 2rK + r 2 K)y r. y +by +cy = [ K + (2r + b)k + (r 2 + br + c)k ] y r. Ainsi, comme r est solution de (??), on r 2 + br + c = 0, donc y + by + cy = (K + (2r + b)k )y r. Comme y r ne s nnule jmis, y + by + cy = 0 si et seulement si K + (2r + b)k = 0. Remrquons que 2r + b = 0 si et seulement si r = b 2, i.e. si et seulement si (??) possède une unique solution complexe : r. Si (??) possède une unique solution complexe, lors y est solution de (??) si et seulement si K = 0. En primitivnt deux fois, on obtient directement que c est équivlent à «K est une fonction ffine», d où le résultt dns ce cs là. Supposons mintennt que (??) possède deux solutions complexes distinctes, notons r l seconde solution. On peut tout de suite remrquer que r + r = b. Remrquons ussi que l éqution K + (2r + b)k = 0 équivut à l éqution différentielle linéire d ordre 1 portnt sur K : ( (K ) + 2r + b ) K = 0. Ainsi, y est solution de (??) si et seulement s il existe α C tel que [ ( K : t α exp 2r + b ) ] t. En primitivnt ceci, y est solution de (??) si et seulement s il existe β, γ C tel que [ ( K : t β exp 2r + b ) ] t + γ. Ainsi, y est solution de (??) si et seulement s il existe β, γ C tel que ( [ ( y : t β exp 2r + b ) ] ) t + γ e rt. Après simplifiction, y est solution de (??) si et seulement s il existe β, γ C tel que y : t βe r t + γe rt. Théorème (Solutions réelles de (??)). Soit, b, c R, vec Si (??) deux solutions réelles distinctes r 1, r 2, lors les solutions réelles de (??) sont les pplictions de l forme { R R t λe r1t + µe r 2t pour (λ, µ) R Si (??) une unique solution réelle r, lors les solutions réelles de (??) sont les pplictions de l forme { R R pour (λ, µ) R 2. t (λt + µ)e rt 3. Si (??) deux solutions complexes conjuguées distinctes, que l on note α ± iω vec α, ω R, lors les solutions réelles de (??) sont les pplictions de l forme { R R t λ cos(ωt)e αt + µ sin(ωt)e αt pour (λ, µ) R 2. Ce sont ussi exctement les pplictions de l forme { R R t A cos(ωt + ϕ)e αt pour A R + et ϕ ] π, π]. 99

100 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Lemme Soit α, ω R, vec ω 0. Les deux ensembles de fonctions exposés u point??. du théorème?? sont égux. Soit A R + et ϕ ] π, π], soit { R R f : t A cos(ωt + ϕ)e αt. Pr les formules d ddition, si t R, f(t) = A cos(ϕ) cos(ωt)e αt A sin(ϕ) sin(ωt)e αt, donc f est bien de l première forme. Réciproquement, soit λ, µ R. Si λ = µ = 0, il suffit de prendre A = 0 et ϕ quelconque. Sinon, posons A = λ λ2 + µ 2 et ϕ ] π, π] tel que cos ϕ = λ2 + µ et 2 µ sin ϕ = λ2 + µ. Alors, 2 λ cos(ωt) + µ sin(ωt) ( ) λ = λ 2 + µ 2 λ2 + µ cos(ωt) + µ 2 λ2 + µ sin(ωt) 2 =A(cos(ωt) cos(ϕ) + sin(ωt) sin(ϕ)) =A cos(ωt + ϕ). Démonstrtion (Théorème??). Les cs où (??) dmet une ou deux solutions réelles se tritent exctement comme le cs complexe. Supposons donc que (??) dmette deux solutions complexes conjuguées distinctes α±iω. On risonne pr nlysesynthèse. Anlyse : Soit y : R R solution de (??). Alors y est solution complexe de (??), donc il existe λ, µ C tels que y : t λe (α+iω)t + µe (α iω)t Or y(0) = λ + µ est réel donc λ + µ R, donc Im(λ) = Im(µ). De même y(π/(2ω)) R, donc ( ) ( ) π rπ y = i(λ µ) exp R, 2ω 2ω donc Re(λ) = Re(µ). Ainsi, µ = λ. Soit ρ R + et ϕ ] π, π] tels que λ = ρe iϕ. Si t R, lors y(t) = 2ρ cos(ωt + ϕ)e αt. Ainsi, y est de l forme demndée. Synthèse : Soit λ, µ R et { R R y : t λ cos(ωt)e αt + µ sin(ωt)e αt D près le théorème de structure des solutions homogène (?? une combinison linéire de solutions homogènes est solution homogène), il suffit de montrer que { R R s 1 : t cos(ωt)e αt et s 2 : { R R t sin(ωt)e αt sont solution de (??). Or, si t R, pr les formules d Euler, s 1(t) = 1 2 e (α+iω)t e (α iω)t. D près le théorème??, t e (α+iω)t et t e (α iω)t sont solutions de (??), donc s 1 ussi. On effectue le même risonnement pour s 2. Remrque Dns tous les cs, les solutions sont les combinisons linéires de deux solutions linéirement indépendntes. On dit que cet ensemble une structure de pln vectoriel. Exemple Solutions complexes et réelles de y + y + 2y = 0. On trouve t λe 1 i 7 2 t + µe 1+i 7 t 2 ( = e 1 2 t λe i 7 2 t + µe i 7 2 t ) 2. y + 2y + y = 0, vec y(1) = 1, y (1) = 0 lors λ = e, µ = 0. Théorème Le problème de Cuchy y + by + cy = 0 et y(t 0 ) = y 0 et y (t 0 ) = y 0, dmet une unique solution. (hors progrmme) Nous tritons ici le cs où on cherche une solution à vleurs complexes et où le polynôme crctéristique deux rcines distinctes r 1 et r 2. Alors les solutions de l éqution différentielle considérées sont les pplictions y de l forme t λe r 1t + µe r 2t où λ et µ sont deux complexes. On y(t 0) = λe r 1t 0 + µe r 2t 0 et y (t 0) = λr 1e r 10 + µr 2e r 2t

101 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Pour montrer que le problème de Cuchy dmet une unique solution, il suffit de montrer que le système { λe r 1t 0 + µe r 2t 0 = y 0 λr 1e r 1t 0 + µr 2e r 2t 0 = y 0 d inconnues λ et µ dmet une unique solution. On peut s en ssurer pr le clcul, ou on peut simplement remrquer que pour que ce système dmette une unique solution, il suffit que l éqution ( ) ( ) ( ) e r 1 t 0 e r 2 t 0 y0 λ r 1e r 1t 0 + µ r 2e r 2t 0 = dmette une unique solution. ( ) e r 1 t 0 Pour cel, il suffit de montrer que les vecteurs r 1e r 1t 0 ( ) e r 2 t 0 et r 2e r 2t 0 forment une bse de R 2. Il suffit de vérifier qu ils sont linéirement indépendnts, ce qui est le cs puisque leur déterminnt vut e r 1t 0 r 2e r 2t 0 r 1e r 1t 0 e r 2t 0, qui est égl à (r 2 r 1)e (r 1+r 2 )t 0, qui est non nul puisque r 1 r Résolution d une éqution vec second membre Théorème Si l on connît une solution ỹ de l éqution vec second membre lors on en connît toutes les solutions : l ensemble S des solutions de l éqution vec second membre est S = { y H + ỹ y H S H }. Remrque On déjà vu que si l on connissit une solution de l éqution ỹ vec second membre, lors on pouvit construire toutes les solutions de l éqution vec second membre à prtir de l ensemble des solutions de l éqution homogène. Dns le cs d une éqution d ordre deux à coefficients constnts, on dit que l ensemble des solutions une structure de pln ffine, cr l ensemble des solutions est l ensemble des ỹ + y pour y prcournt un pln vectoriel. Cs prticulier de seconds membres (le seul u progrmme) : P (t)e αt : P polynôme de degré n. on cherche une solution prticulière de l forme Q(t)e αt vec Q de degré : y 0 (i) n si α n est ps rcine du poly. crc. (ii) n + 1 si α est rcine simple (i.e. 0). (iii) n + 2 si α est double. Exemple Résoudre y y = 2 + e 2t. Solutions homogène : t λe t + µe t, solutions prticulières : 2 (second membre 2), et 1 3 e 2t. 2. Résoudre y + 2y + y = (1 + x)e x. Solutions homogène : x ((λx + µ)e x, solution 1 prticulière : y(x) = 2 x2 + 1 ) 6 x3 e x. 5 Un peu de physique : circuits RL et RLC Des équtions différentielles pprissent fréquemment en physique. Pr exemple les oscillteurs, qu ils soient mécniques ou électriques mènent à des équtions différentielle du second ordre. Ainsi l étude du pendule simple conduit à une éqution du second ordre, vec ou sns terme de degré 1, suivnt que les frottements sont pris en compte ou non. Nous étudierons ici des circuits électriques. Remrque : on dopte exceptionnellement les nottions des physiciens : i pour l intensité et j pour le complexe correspondnt u point (0, 1), et donc j 2 = Circuit RL On plce en série : un générteur fournissnt une tension constnte U, une résistnce R et une inductnce L, et enfin un interrupteur, ouvert ux temps t < 0. Au temps t = 0 on ferme l interrupteur, et on veut déterminer l évolution de l intensité : pour t < 0 on évidemment i = 0. On sit que l tension ux bornes de l résistnce est Ri, celle ux bornes de l inductnce est L di dt = Li (t). Avec l loi des milles : Li + Ri = U. On pose : τ = L R, ppelée 101

102 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES constnte de temps du circuit. On v donc résoudre l éqution diff i + i τ = U L, sur R +. On commence pr résoudre l éqution homogène : t Ke t/τ, K R. On cherche une solution prticulière : le second membre est une constnte, on cherche donc une solution constnte : ici i = τu L = U R convient. Pour finir, on détermine K pour stisfire l condition initile : i(0) = 0. On obtient K = U R. Trçons le grphe de i. U/R 63% 95%U/R 1 mis on pose ω 0 =, ppelée pulstion LC propre du circuit, et Q = 1 L, ppelée fcteur R C de qulité. Avec ces deux constntes, on obtient : d 2 q dt 2 + ω 0 dq Q dt + ω2 0 q = 0. Résolvons l éqution homogène : Le discriminnt du poly cr est = ω2 0 ( ) 2 Q 2 4ω2 0 = ω0 (1 Q 4Q 2 ). Il fut distinguer trois cs suivnt l vleur de Q. 1. Régime périodique (Q < 1/2 i.e. > 0) : les rcines du poly cr sont ω 0 2Q ± ω 0 1 4Q 2Q 2, toutes les deux strictement négtives, et ppelées ω 1 et ω 2. Forme des solutions. On : q(0) = q 0 et q (0) = 0, cr l chrge q est constnte pour t 0, et q est continue. On donc le grphe suivnt : τ 3τ q 0 On observe un régime trnsitoire (pour t proche de 0) et un régime permnent (pour t proche de + ). On peut déterminer grphiquement τ, en trçnt l symptote horizontle, puis l tngente en 0, qui pour éqution y = i (0)t + i(0), soit y = U t. Pour t = τ, ces droites se coupent. Rτ On considère que le régime permnent est tteint à prtir de t = 3τ. On les pproximtions suivntes : i(τ) = U R (1 1/e) 0.63U R et i(3τ) = U R (1 e 3 ) 0.95 U R. 5.2 Circuit RLC Cette fois-ci on enlève le générteur de tension, mis on rjoute un condensteur de cpcité C en série, et on veut étudier l évolution de l chrge q du condensteur. On sit que : q = Cu C et i = dq dt = q. On donc : Li + Ri + q/c = 0, 2. Régime critique (Q = 1/2 i.e. = 0) : une rcine double, ω 0. Forme des solutions. Même grphe qu vnt. 3. Régime pseudo-périodique (Q > 1/2 i.e. < 0) : les rcines du polynôme crctéristique sont ω 0 2Q ± j ω 0 4Q 2Q 2 1. Forme des solutions, vec un cos et un déphsge. Une solution est comprise entre λ e ω 0 t 2Q et λ e ω 0 t 2Q. Grphe : Dns tous les cs, l décroissnce de q vers 0 est très rpide : exponentielle. Pendnt le régime permnent, il ne se psse rien. 102

103 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES q 0 6 Méthode d Euler Comme on l vu, résoudre une éqution différentielle revient à clculer une primitive d une certine fonction. Or il n existe ps toujours de fonction élémentire qui soit une primitive d une fonction élémentire donnée, ou lors on ne sit ps l trouver. Dns ce cs il est utile de svoir construire une pproximtion de l solution d une éqution différentielle de premier ordre. L méthode d Euler est l une des méthodes simples et clssiques pour fire cel. Elle ser étudiée u second semestre en informtique. 103

104 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 104

105 Chpitre VIII Reltions d ordre 1 Reltions binires Reltions d équivlence Reltions d ordre Mjornts, minornts et compgnie Mjornts, minornts Plus grnd et plus petit éléments Bornes supérieure et inférieure Appliction ux fonctions réelles Reltion d ordre nturelle sur N Reltion d ordre nturelle sur R Opértions usuelles Crctère rchimédien de R et prtie entière Propriété d Archimède b Prtie entière c Densité de Q dns R d Approximtions décimles Propriété de l borne supérieure Intervlles de R

106 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE Dns tout ce chpitre, E est un ensemble. 1 Reltions binires Définition On ppelle reltion binire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une prtie de E E. Au lieu de noter (x, y) Γ, on note xry ce qui se lit : x est en reltion vec y. Exemple «Aimer» est une reltion binire : Brndon ime Sue Ellen mis Sue Ellen n ime ps Brndon. On voit sur cet exemple qu en générl xry n implique ps yrx. L églité est l exemple le plus cournt de reltion binire. Soit f : R R. On peut définir pour tous x, y R, xry ssi y = f(x) (on en fit défini insi une ppliction vi son grphe). Sur R, et < (utre exemple où xry est vri mis yrx est fux). est une reltion binire sur P(E). les divisibilités sur N et Z. Remrque Une reltion binire sur un ensemble E fini peut être représentée u moyen d un grphe dont les sommets sont les éléments de E et dont les rêtes sont orientées d un sommet à l utre : une flèche llnt de x à y signifie xry. Définition Soit R une reltion binire sur E. On dit que R est : (i) réflexive si x E, xrx. (ii) trnsitive si x, y, z E, (xry et yrz) xrz. (iii) symétrique si x, y E, xry yrx. (iv) ntisymétrique si x, y E, (xry et yrx) x = y. Remrque Ces propriétés peuvent être décelées sur un grphe de l reltion binire, défini en Exemple «Aimer» ne vérifie ucune de ces propriétés. L églité est réflexive, symétrique, ntisymétrique et trnsitive. Soit f : R R et xry ssi y = f(x) : les propriétés de cette reltion dépendent du choix de f mis ne vérifie ucune de ces propriétés en générl (considérer pr exemple f : x x + 1 et f : x x). est réflexive, trnsitive et ntisymétrique sur R. < est trnsitive et ntisymétrique sur R. est réflexive, trnsitive et ntisymétrique sur P(E). l divisibilité sur N est réflexive, trnsitive et ntisymétrique. l divisibilité sur Z est réflexive et trnsitive mis ps ntisymétrique. Montrons le résultt pour : Soient A, B, C P(E). On bien entendu A A, donc est réflexive. On suppose A B et B C. Alors A C et donc est trnsitive. On suppose A B et B A. Alors A = B, et est ntisymétrique. Montrons le résultt pour l divisibilité sur N : soient n, p, q N. On n = 1 n donc n n. Si n p et p q, lors il existe k, l N tels que p = kn et q = lp, donc q = (lk)n et insi n q. Si n p et p n, lors il existe k, l N tels que p = kn et n = lp, donc n = (lk)n et insi lk = 1. Mis l et k sont deux entiers nturels et sont donc égux à 1, donc n = p. Dns le cs de l divisibilité dns Z, on urit pour ce point k, l Z, et donc lk = 1 serit ussi vérifié si k = l = 1, et en effet si n = p on bien n p et p n, mis n p! 2 Reltions d équivlence Définition On ppelle reltion d équivlence toute reltion 106

107 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE binire réflexive, trnsitive et symétrique. Exemple L églité sur E est l exemple le plus clssique de reltion d équivlence. L reltion de congruence modulo n sur Z en est ussi une : on fixe n Z non nul, et on dit que deux entiers p et q sont congrus modulo n s il existe k Z tel que p = q + kn, ce qui se note p = q[n] ou p q[n]. Sur R n, on l reltion d équivlence : MRN si OM et ON sont colinéires. C est le point de déprt de l géométrie projective. Sur M n (K), deux mtrices M et N sont dites semblbles si P GL n (K), M = P 1 NP. Cel définit une reltion d équivlence. Sur M n (K), deux mtrices M et N sont dites équivlentes si (P, Q) GL n (K) 2, M = Q 1 NP. Cel définit une reltion d équivlence. Définition Soit E un ensemble, (A i ) i I une fmille de prties de E indexée pr un ensemble I. On dit que (A i ) i I est une prtition de E si les éléments de cette fmille sont tous non vides, sont disjoints et si leur réunion vut E. Proposition Si R est une reltion d équivlence sur E, lors l ensemble des clsses d équivlences de R forme une prtition de E. 2. Réciproquement, si (A i ) i I est une prtition de E, lors l reltion binire définie sur E pr xry si i I, (x A i ) (y A i ) est une reltion d équivlence. Nous introduisons mintennt dns un but culturel l ensemble quotient (hors progrmme). Définition Soit E un ensemble et R une reltion d équivlence sur E. Alors, pour tout élément x de E, on ppelle clsse d équivlence de x l ensemble { y E xry }, que l on note prfois x. Proposition Soit E un ensemble et R une reltion d équivlence sur E. Soit (x, y) E 2. Alors, 1. x x. 2. xry x y. 3. xry x = y. Le premier point découle de l réflexivité. Le second découle de l définition de y. Pour le troisième, il s git de montrer l équivlence. Le sens direct se fit en montrnt une double inclusion, qui découle de l trnsitivité. Le sens indirect découle du premier point et du second. Définition Si R est une reltion d équivlence sur E, on ppelle ensemble quotient de E pr R l ensemble des clsses d équivlences, noté E/R. Exemple Si f : E F est une ppliction, l reltion binire sur E définie pr xry si f(x) = f(y) est une reltion d équivlence. Quelle est lors l prtition qui lui est nturellement ssociée? On pourr lors se poser l question suivnte : y - t-il un moyen nturel de construire une injection f : E/R F? Exemple On mnipule nturellement certins ensembles quotients : les vecteurs de R n et les frctions, pr exemple. 3 Reltions d ordre 107

108 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE Définition On ppelle reltion d ordre toute reltion binire réflexive, trnsitive et ntisymétrique. Remrque L usge est de noter, prfois, les reltions d ordre. Exemple Reprendre tous les exemples précédents et repérer les reltions d ordre. Définition Soit une reltion d ordre sur E. 1. On dit que x, y E sont des éléments comprbles si x y ou y x. 2. On dit que est une reltion d ordre totle (ou que cet ordre est totl) si tous les éléments de E sont comprbles deux à deux. Sinon l reltion est dite prtielle (ou l ordre est dit prtiel). Exemple On définit l reltion d ordre usuelle sur N, notée pr : b si k N, b = +k. C est une reltion d ordre totle. L reltion d ordre usuelle sur R est totle : qund on choisit deux réels, il y en toujours un des deux qui est inférieur ou égl à l utre. L reltion d ordre sur P(E) est prtielle (si Crd E 2) : en effet, qund on choisit deux prties de E, il n y ucune rison pour que l une soit incluse dns l utre. L reltion de divisibilité sur N est une reltion d ordre prtielle : qund on choisit deux entiers positifs, l un n est ps forcément multiple ou diviseur de l utre. 4 Mjornts, minornts et compgnie Dns toute cette section, est une reltion d ordre sur E et A est une prtie de E. 4.1 Mjornts, minornts Définition (i) On dit que A est mjorée (resp. minorée) pour s il existe un élément M E tel que pour tout A, M (resp. M ) ; on dit lors que M est UN mjornt (resp. minornt) de A ou que M mjore (resp. minore) A. (ii) on dit que A est bornée si elle est à l fois mjorée et minorée. En générl, une prtie mjorée plusieurs mjornts, et peut même en voir une infinité! Exemple [1, 2] dns R est mjoré pr tout réel x tel que 2 x, et minoré pr tout réel y tel que y 1. ], 2[ est mjoré mis non minoré. Pour l reltion, P(E) est minorée pr et mjorée pr E. 4.2 Plus grnd et plus petit éléments Définition On dit que x E est un plus grnd élément ou mximum (resp. plus petit élément ou minimum) de A si x est un mjornt (resp. minornt de A) ET x A. Exemple I = [ 1, 2[ un plus petit élément, mis ps de plus grnd élément. En effet, 1 est un minornt de I et 1 I. Mis supposons pr l bsurde que I it un plus grnd élément M. Alors M I, donc M < 2. Ainsi il existe ]M, 2[, donc I et M <, ce qui est en contrdiction vec le fit que M mjore I. R n est ni mjoré ni minoré, donc n ni plus grnd ni plus petit élément. 108

109 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE Théorème Si A un plus grnd élément, ce dernier est unique. Il en est de même pour un petit élément, s il existe. Dns le cs d existence, le plus grnd élément de A est lors noté mx A, et le plus petit élément de A est noté min A. On suppose que A deux mxim : ils sont lors réciproquement plus grnd l un que l utre, et pr ntisymétrie ils sont égux. Exemple Dns N muni de l reltion d ordre : 0 est le plus grnd élément et 1 est le plus petit. En effet tout entier divise 0, et 1 divise tout entier. 4.3 Bornes supérieure et inférieure Définition (i) S il existe, le plus petit élément de l ensemble des mjornts de A est ppelé l borne supérieure de A et noté sup A. (ii) S il existe, le plus grnd élément de l ensemble des minornts de A est ppelé l borne inférieure de A et noté inf A. Il y un grosse différence entre mx et sup : le premier doit pprtenir à A, ps le deuxième. Exemple I = [ 1, 2[ une borne inférieure et une borne supérieure : l ensemble des minornts de I est ], 1], qui dmet 1 comme mximum, et donc 1 est l borne inférieure de I. De même [2, + [ est l ensemble des mjornts de I, et il dmet 2 comme minimum, donc 2 est l borne supérieure de I. Proposition Soit A E et M E. Si A dmet une borne supérieure, lors sup A M x A x M. Remrque L idée est l suivnte : si on peut «cser» un élément de E entre M et A, ce qui revient en fit à trouver un mjornt de A plus petit que M, lors M n est ps l borne supérieure de A : l borne supérieure «colle» à A. : cr sup A est un mjornt de A. : cr sup A est le plus petit mjornt de A. Théorème Si A possède un mximum (resp. minimum), lors A une borne supérieure (resp. inférieure) et cette borne est justement le mximum (resp. le minimum) de A : sup A = mx A (resp. inf A = min A). On ne donne l démonstrtion que pour l borne supérieure (c est l même pour l borne inférieure) : soit E l ensemble des mjornts de A. Il fut montrer que E un plus petit élément. Pr définition mx A est un mjornt de A, donc mx A E. Soit M E. M est plus grnd que tout élément de A, or mx A pprtient à A donc A M, et ce pour tout M de E : mx A est donc un minornt de E. De ces deux points on tire mx A = min E, et donc mx A = sup A. 4.4 Appliction ux fonctions réelles Définition Soient A une prtie de R et f : A R. (i) On dit que f est mjorée (resp. minorée) sur A si f(a) l est pour l reltion nturelle sur R, i.e. : M R x A f(x) M (resp. M f(x)). Dns ce cs on dit que M est un mjornt (resp. minornt) de f, ou que M mjore (resp. minore) f. (ii) On dit que f est bornée si elle est mjorée et minorée. Ceci est équivlent à : f est mjorée. Un mjornt ou minornt ne doit ps dépendre de l vrible de l fonction! Ainsi sur 109

110 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE R +, x x n est ps un mjornt de sin, bien que x R +, sin x x. Un mjornt est une CONSTANTE. Définition Si l ensemble f(a) un mximum (resp. un minimum), lors ce dernier est ppelé le mximum (resp. minimum) de f sur A, et noté mx f ou mx f(x) (resp. min f ou min f(x)). Ainsi x A A x A mx f(a) = mx f. Un mximum ou minimum A d une fonction est donc un mjornt ou minornt ATTEINT. On ppelle extremum de f tout minimum ou mximum de f. Les extrem sont uniques mis peuvent être tteints plusieurs fois. Considérer ps exemple les fonctions continues périodiques comme sin ou cos. Exemple x x 2 dmet un minimum mis ps de mjornt sur R. Arctn est mjorée et minorée sur R, mis n dmet ni minimum ni mximum. Définition Si l ensemble f(a) dmet une borne supérieure (resp. une borne inférieure), lors cette dernière est ppelée l borne supérieure (resp. inférieure) de f sur A. On l note sup A ou inf x A f ou sup x A {f(x)}). Ainsi sup f(a) = sup A A {f(x)} (resp.inf f. A f Théorème Si f dmet un mximum (resp. un minimum) sur A, lors f dmet églement une borne supérieure (resp. une borne inférieure) sur A, et sup f = mx A f (resp. inf f = min f). A A A 5 Reltion d ordre nturelle sur N L reltion nturelle est l reltion usuelle. Théorème Toute prtie non vide de N possède un plus petit élément. On donne ici deux démonstrtions de cette propriété. On remrquer que l on utilise ici des récurrences et que l on montré le principe de récurrence en utilisnt cette propriété : cette dernière est donc équivlente u principe de récurrence. Soit A N, tq A, et soit 0 A. On suppose que A n ps de plus petit élément. Puisque 0 A, 0 ne peut ps être un minornt de A, sinon ce serit un minimum. Donc il existe 1 < 0 dns A. Mis de même, 1 ne peut ps être un minornt, donc il existe < 1 dns A. Pr récurrence, on construit une suite d éléments de A ( n) tq pour tout n, n+1 < n, ou encore n+1 n 1, donc à nouveu pr récurrence on : n N n 0 n Cette proposition est en prticulier vrie pour l entier 0+1, c est-à-dire : Mis ceci est bsurde cr 0 +1 N. Notons, pour n N, P (n) l ssertion «toute prtie de N contennt l entier n possède un plus petit élément». Montrons n N P (n) pr récurrence forte. Toute prtie de N contennt l entier 0 possède 0 pour plus petit élément. Donc on clirement P (0). Soit n N. Supposons que pour tout k n, on P (k) et montrons P (n + 1). Soit A une prtie de N contennt l entier n+1. Alors ou bien A contient un entier k strictement inférieur à n + 1, ou bien elle n en contient ps. Dns le premier cs, on sit qu on P (k), donc A dmet un plus petit élément. Dns le second, cel signifie que n + 1 est le plus petit élément de A. A dmet donc un plus petit élément. On donc P (n + 1). Donc P est héréditire. On donc n N P (n) On en déduit le résultt : Soit A une prtie non vide de N. Alors A possède un élément n, or on P (n), donc A possède un plus petit élément n. 110

111 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE Corollire Toute prtie non vide minorée (resp mjorée) de Z possède un plus petit (resp. grnd) élément. Soit A Z vec A et m un minornt de A (resp. M un mjornt de A). On pose B = { n m n A } (resp. B = { M n n A }). Alors B est une prtie non vide de N. Donc B possède un plus petit (resp. plus grnd) élément. On en déduit le résultt. 6 Reltion d ordre nturelle sur R On dmettr l existence de R et les propriétés usuelles sur R. 6.1 Opértions usuelles distincts n pprtennt ps à R. De plus, on prolonge l ordre sur R, l ddition et l multipliction de fçon à voir les propriétés suivntes : (i) Prolongement de l ordre : x R < x < +. (ii) Prolongement de l ddition : pour tout x R, on x + + = +, x + ( ) =, = +, + ( ) =. (iii) Prolongement de l opposé : (+ ) =, ( ) = +. (iv) Prolongement de l multipliction : pour tout x R \ { 0 }, + x = + si x > 0, + x = si x < 0 et ( ) x = (+ x). (v) Prolongement de l inverse : 1 = = 0 et Théorème (Comptibilité de l reltion d ordre vec l ddition et l multipliction). On, x, y, z R, et x y x + z y + z (x y et 0 z) xz yz. On en déduit les règles usuelles de mnipultion des inéglités, pour tous x, y, x, y R : (x y et x y ) x + x y + y (0 x y et 0 x y ) xx yy x y y x 0 < x y 0 < 1 y 1 x. Tout cel reste vri vec des inéglités strictes. Définition On ppelle droite chevée l ensemble R = R {, + }, où et + sont deux éléments Il y des formes indéterminées : + et ne sont ps des lois de composition interne sur R. 6.2 Crctère rchimédien de R et prtie entière Propriété d Archimède Proposition Soient deux réels x et y tels que x > 0. Alors il existe un entier N tel que Nx y. Slogn : «quelle que soit l tille de nos enjmbées, on peut ller u bout du monde si on fit ssez de ps». C est une conséquence simple du Théorème 6.3.1, que l on dmet. Il suffit de considérer A = {nx n N} et de risonner pr l bsurde. 111

112 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE b Prtie entière Définition Soit x R, il existe un unique entier, noté x (prfois E(x) ou E(x)) et que l on ppelle prtie entière de x, vérifint : x x < x + 1. Soit A = {k Z k x}. L propriété d Archimède implique qu il existe k N tel que k 1 x, donc k x, donc k A. Ainsi, A est non vide. Une seconde fois, l propriété d Archimède implique qu il existe l N tel que l 1 x. Ainsi, si k A, lors k x l, donc A est mjorée pr l. Ainsi, A est une prtie non vide et mjorée de Z, donc A possède un plus grnd élément, noté n. On lors n x et comme n + 1 > n, n + 1 / A donc n + 1 > x, d où l existence. Soit N un entier vérifint N x < N + 1. Alors N A. De plus, si k A, lors k x < N + 1 donc k < N + 1 donc k N. N est donc bien le plus grnd élément de A, d où l unicité. Remrque On vient de montrer que x est le plus grnd entier reltif inférieur ou égl à n. On peut très bien définir x de cette mnière, et voir l définition?? comme une crctéristion de x. Remrque Ce résultt permet de montrer que si deux réels x et y vérifient y x > 1, il existe un entier n tel que x < n < y : il suffit de prendre n = x + 1. On lors x < n et ussi n x + 1 < x + (y x) = y. D près l propriété d Archimède, on peut trouver un entier nturel non nul r tel que r(y x) > 1. D près l remrque précédente, il existe un entier p Z tel que rx < p < ry. En posnt q = p/r on le résultt. Corollire Tout intervlle ouvert non vide rencontre R \ Q. Autrement dit, soient x, y des réels tels que x < y ; lors il existe un nombre irrtionnel q tel que x < q < y. En vertu du théorème précédent, il existe un rtionnel r non nul entre x 2 et y 2. En effet, si 0 x < y, on r > x 2 donc r 0, si x < y 0, même risonnement, et si x < 0 < y, on pplique le théorème précédent à 0 et y pr exemple pour obtenir r. Il suffit lors de prendre q = r. 2 q est forcément irrtionnel, sinon 2 serit rtionnel. d Approximtions décimles Définition Soit x un réel et ε un réel strictement positif. On ppelle vleur pprochée de x à l précision ε tout réel y tel que x y ε. Si y x on dit que y est une vleur pprochée pr défut, si y x, on dit que y est une vleur pprochée pr excès. Souvent on cherche des vleurs pprochées qui soient des décimux. Ne ps confondre l prtie entière vec l troncture. Ainsi 3, 2 = 4 et non 3! c Densité de Q dns R Théorème Tout intervlle ouvert non vide rencontre Q. Autrement dit, soient x, y des réels tels que x < y ; lors il existe un nombre rtionnel q tel que x < q < y. Théorème Soit R. Pour tout entier n on note n = 10 n 10 n et n = 10n n. Alors n et n sont respectivement des vleurs pprochées pr défut et excès de à 10 n près, qui de plus sont des décimux. Évident pr propriété de l prtie entière. Ce dernier résultt pour corollire le résultt fondmentl suivnt : 112

113 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE Corollire Tout réel est limite d une suite de rtionnels. Exemple Clculer une pproximtion décimle de 1/7 à 10 5 près. 6.3 Propriété de l borne supérieure Cette propriété fit prtie des propriétés inhérentes à R de pr s construction. Théorème Toute prtie non vide mjorée (resp. minorée) de R dmet une borne supérieure (resp. inférieure) dns R. Remrque C est un résultt d existence : il ssure l existence d un objet sns donner s vleur. Ce théorème est tout à fit inutile pour clculer une borne sup. Au mieux, il permet de montrer que l borne sup d un ensemble existe, et donc on peut en prler (ce qui est interdit sinon). Il est cependnt fondmentl dns un grnd nombre de résultts théoriques qui servent tous les jours : TVI, théorèmes de l limite monotone, de Rolle, TAF, construction de l intégrle... Corollire Toute prtie de R dmet une borne supérieure (resp. inférieure) dns R. Soit A une prtie de R. Et posons A = A R. Si + A, lors A dmet + pour mximum. Dns le cs contrire, on les possibilités suivntes : Si A est vide, lors A dmet pour borne supérieure. Si A est non vide lors on deux possibilités : Si A est non-mjorée dns R, lors A dmet + comme borne supérieure. Si A est mjorée dns R, lors d près l propriété de l borne supérieure, elle dmet une borne supérieure M dns R. Cette borne supérieure est ussi une borne supérieure de A dns R. On ussi une crctéristion fort utile des bornes supérieures et inférieures. Proposition Soit A une prtie non vide, mjorée de R. Alors, R est l borne supérieure de A si et seulement si x A, x et ε > 0, x A ] ε, ]. 2. Soit A une prtie non vide, minorée de R. Alors, R est l borne inférieure de A si et seulement si x A, x et ε > 0, x A [, + ε[. On ne démontre que l prtie concernnt les bornes supérieures, l utre en découle imméditement. Supposons d bord que est l borne supérieure de A. Alors, mjore A et donc x A, x. Soit ε > 0, ε < et ε n est donc ps un mjornt de A. Il existe donc x A vérifint ε < x et, comme mjore A, on x, ce qui permet de conclure pour cette impliction. Réciproquement, si vérifie : x A, x et ε > 0, x A ] ε, ]. Ainsi, est bien un mjornt de A. Montrons que c en est le plus petit. Sinon, il existerit b R mjornt A, vec b <. Alors, ]b, [ A =, ce qui contredit l hypothèse. est donc l borne supérieure de A. 6.4 Intervlles de R Il existe neuf types d intervlles dns R (vec, b R) : 1. [, b] = {x R x b} ; 2. [, b[= {x R x < b} ; 3. ], b] = {x R < x b} ; 4. ], b[= {x R < x < b} ; 5. [, + [= {x R x} ; 6. ], + [= {x R < x} ; 7. ], b] = {x R x b} ; 8. ], b[= {x R x < b} ; 9. ], + [= R. 113

114 CHAPITRE VIII. RELATIONS D ORDRE Les intervlles de types 1 à 4 sont dits bornés. Ceux de types 1, 5, 7 et 9 sont dits fermés. Ceux de types 4, 6 et 8 et 9 sont dits ouverts. Ceux de type 2 et 3 sont dits semi-ouverts ou semi-fermés. Seuls les intervlles de type 1 sont à l fois fermés et bornés : on dit que ce sont des segments. Un intervlle peut être vide ou réduit à un point (dns le cs 1 si = b). Un intervlle qui n est ni vide ni réduit à un point est dit non trivil. Énoncer tous ces intervlles est fstidieux : on préfère une définition unifiée d intervlle qui les définit tous d un coup : Théorème Soit I une prtie de R. Alors les deux propositions suivntes sont équivlentes : (i) I est un intervlle de R ; (ii) Pour tous u, v I et pour tout t R, on : u t v t I. C est trivil si I = (on lors (ii) et (i) cr I = [0, 1]). (i) (ii) Fcile et connu. (ii) (i) On distingue plusieurs cs : Supposons d bord que I mjoré et minoré. On pose = inf I et b = sup I. Alors pour tout x I, on x b et x, donc x [, b], et donc I [, b] (1). Si = b, lors I = {} = [, ] (cr I non vide). Si < b, lors soit x ], b[. Pr définition de l borne inf il existe u I tel que u < x. De même il existe v I tel que x < v b. Alors x [u, v] et donc x I. Donc ], b[ I (2) Ainsi on l chîne d inéglité : ], b[ I [, b], donc I est de de l un des types précédents. On détermine précisément lequel en regrdnt juste si et b pprtiennent ou ps à I. Si I n est ps mjoré mis est minoré, lors I n ps de sup, donc I [, + [, et comme toute à l heure, ], + [ I. On finit comme précédemment. Si I n est ps minoré mis mjoré : idem vec ], b[. Si I n est ni mjoré ni minoré, lors I = R. 114

115 Chpitre IX Entiers reltifs et rithmétique de Z 1 Divisibilité Définition Division euclidienne PGCD, PPCM PGCD de deux entiers PGCD d une fmille finie d entiers Nombres premiers entre eux PPCM Nombres premiers

116 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z Dns tout ce chpitre,, b, c, d, m, n, p, q et r sont des entiers reltifs, suf mention contrire. Exercice Montrer que si Z vérifie 1, lors = ±1. 1 Divisibilité 1.1 Définition Définition On dit que n divise m, que n est un diviseur de m ou que m est un multiple de n et on note n m si et seulement s il existe k Z vérifint m = kn. Proposition (i) L reltion est réflexive, trnsitive, mis ps symétrique (sur Z comme sur N). Elle n est ps ntisymétrique sur Z mis l est sur N : plus précisément on sur Z : b et b = b = ±b (ii) Si divise b et c, il divise toute combinison linéire à coefficients entiers de b et c : b et c bn + cm (iii) L reltion est comptible vec le produit : b et c d c bd En prticulier, pour tout k N, b implique k b k ; (iv) Si c 0, b c bc. (i) on ne montre que l dernière prtie (le reste déjà été fit dns le chpitre VIII). Soient, b Z tels que b et b. Alors il existe k, l Z tels que = kb et b = l, donc b = bkl. Si b = 0, lors = 0 églement, cr b. Si b 0, lors kl = 1, et donc k 0, l 0, et k 1, insi que l 1. Pr conséquent k = l = 1 ou k = l = 1, et donc = b ou = b. (ii) Élémentire. (iii) Élémentire. (iv) Élémentire. Définition On dit que est congru à b modulo n et on note b [n] (voire = b [n]) si et seulement si n divise b : b [n] n b. Remrque Pour tout entier n, l reltion de congruence modulo n est une reltion d équivlence. Proposition L reltion de congruence modulo n est comptible vec l ddition et l multipliction : si b[n] et c d[n], lors + c b + d[n] et c bd[n]. On sit qu il existe (k, l) Z 2 vérifint = b + nk et c = d + nl. On lors + c = b + d + n(k + l), donc + c b + d[n], et c = bd + n(bl + dk + nkl), donc c bd[n]. Remrque Attention, ce n est ps le cs de l reltion usuelle de congruence modulo 2π. Ainsi, 2π 0 [2π] mis 4π 2 0 [2π]. Remrque On n si et seulement si 0[n]. Exercice Retrouver les critères de divisibilité énoncés u collège. 1.2 Division euclidienne Théorème Soient Z, et b N. Il existe un unique couple (q, r) Z N tels que = bq + r et 0 r < b. q et r sont respectivement ppelés le quotient et le reste de l division euclidienne de pr b. b 116

117 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z est ppelé le diviseur et le dividende de cette division. On montre l existence puis l unicité. Existence : On note A = { k Z kb }. Alors : A est non vide cr si 0, 0 A, et si < 0 on A cr b 1. De plus A est mjoré, pr 0 si 0 et pr si > 0. A donc un plus grnd élément noté q. Alors pr construction qb < (q + 1)b, d où le résultt en posnt r = qb. Unicité : Soit (q, r) et (q, r ) deux couples vérifint les conditions considérées. Alors = qb + r = q b + r, donc b(q q ) = r r et insi b q q = r r. Or on 0 r < b et b < r 0, donc r r < b, donc q q < 1, or q q est un entier donc q = q, donc r = r. Remrque On donc r [b]. Exemple Poser une division à l min. Pr exemple 360 divisé pr 7. Remrque Dns l prtique, pour 0, un lgorithme nïf de clcul consiste à soustrire b de utnt de fois que nécessire pour qu il reste un nombre plus petit que b. Ainsi : Si < b, le quotient est 0 et le reste est. Sinon on clcule 1 = b Si 1 < b, le quotient est 0 et le reste est 1. Sinon on clcule 2 = 1 b. Si 2 < b, le quotient est 0 et le reste est 2. Sinon on clcule 3 = 2 b. Et insi de suite pr récurrence : on s rrête dès que n < b. On lors soustrit n fois b, et il reste n : = nb + n. Dns le cs où < 0, on joute b jusqu à obtenir un nombre positif ou nul. Théorème (Fonction Python). def diveuclide (, b ) : " " " Pré c o n d i t i o n : b > 0 " " " q = 0 r = while r >= b : # I n v r i n t : = b q + r # Vrint : r r = r b q = q+1 # I n v r i n t : r < b while r < 0 : # I n v r i n t s : # = b q + r # r < b # Vrint : r r = r+b q = q+1 # I n v r i n t s : # 0 <= r < b # = b q + r return ( q, r ) def quotient (, b ) : " " " Pré c o n d i t i o n b > 0 " " " ( q, r ) = diveuclide (, b ) return q def reste (, b ) : " " " Pré c o n d i t i o n b > 0 " " " ( q, r ) = diveuclide (, b ) ; return r print ( reste ( ,7)) Les boucles while terminent : dns l première, l vleur de r est un entier qui décroît strictement à chque itértion et ser donc strictement inférieure à celle de b à prtir d un certin moment ; dns l seconde, l vleur de r est toujours entière et croît strictement à chque itértion et ser donc strictement positive à prtir d un certin moment. Le premier invrint de boucle est vri à l rrivée dns l boucle et est préservé u cours de son exécution. 117

118 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z En sortie de l première boucle, l condition de boucle est fusse donc on nécessirement r < b. À l entrée de l seconde, l invrint nnoncé est vri, il est églement préservé. De plus, u début de chque itértion, on r < 0 donc à l fin de chque itértion, on r < b. À l sortie de l seconde boucle, l condition de boucle est fusse donc on nécessirement r 0. De plus l invrint de boucle est encore vri et r < b. Remrque Dns l prtique, u lieu d enlever b un pr un, on peut l enlever pquets pr pquets : c est ce que l on fit en posnt l division usuelle. Exemple = Proposition Soit n N, lors b[n] si et seulement si et b ont le même reste dns l division euclidienne pr n. 2.1 PGCD de deux entiers Dns cette prtie, pour tout couple (, b) Z, on note D(, b) l ensemble des diviseurs communs à et b. Ainsi, D(, b) = D() D(b). Remrque Si b = 0, lors D(, b) = D(). Définition Soit et b deux entiers vec (, b) (0, 0), lors on ppelle plus grnd diviseur commun de et b (pgcd de et b) et on note PGCD(, b) ou b le plus grnd élément de D(, b). Remrque L un des deux entiers est non nul, donc D(, b) est mjoré pr l vleur bsolue de cet entier. Pr illeurs, 1 D(, b). Donc D(, b) est un ensemble d entiers non vide mjoré, donc il dmet un plus grnd élément, ce qui justifie l définition. Si et b ont le même reste dns l division euclidienne pr n, on écrit = nq 1 + r et b = nq 2 + r, vec (q 1, q 2) Z 2 et 0 r < n. On donc bien b = n(q 1 q 2), donc n ( b). Réciproquement, si b[n], on écrit les divisions euclidiennes de et b pr n : = nq 1 + r 1 et b = nq 2 + r 2, vec (q 1, q 2) Z 2 et (r 1, r 2) N 2 vérifint, pour tout i {1, 2}, 0 r i < n. On lors b n(q 1 q 2) = r 1 r 2, donc n (r 1 r 2). Or, n < r 1 r 2 < n et il existe un seul entier dns n + 1, n 1 divisible pr n (le montrer!) : c est 0. Ainsi, r 1 = r 2. Exemple Exercice clssique : clculer à l min le reste de l division euclidienne de pr 7. 2 PGCD, PPCM Soit Z. L ensemble des multiples de est noté Z. C est donc {k k Z}. Remrquons que, si 0, est le plus petit entier strictement positif de Z. On noter ussi D() l ensemble des diviseurs de : c est donc {k Z l Z, = kl}. On remrquer que, si 0, D() est borné pr. Lemme (Lemme d Euclide). Soient Z, b N, r le reste de l division euclidienne de pr b. Alors D(, b) = D(b, r). Soit d D(, b). Alors s écrit sous l forme bq + r donc r = bq, or d et d b, donc d divise toute combinison linéire de et b, donc divise r. Donc D(, b) D(b, r). Réciproquement, soit d D(b, r), lors s écrit sous l forme bq + r or d b et d r donc d, donc D(b, r) D(, b). Théorème Soit (, b) Z 2 vec (, b) (0, 0). Alors il existe un unique entier d > 0 tel que D(, b) soit l ensemble des diviseurs de d. Cet entier est b. Montrons tout d bord l unicité sous réserve d existence. Soit d et d deux entiers strictement positifs tels que D(, b) soit l ensemble des diviseurs de d et soit églement l ensemble des diviseurs de d. Alors on d D(, b). Or D(, b) est l ensemble des diviseurs de d, donc d d. De même d d. Or d > 0 et d > 0 donc d = d. L existence repose sur un lgorithme, ppelé lgorithme d Euclide. En Python, il s écrit : 118

119 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z def euclide (, b ) : " " " Pré c o n d i t i o n (, b )!= ( 0, 0 ) " " " R0 = bs ( ) R1 = bs ( b ) while R1 > 0 : # I n v r i n t : D(R0, R1) = D(, b ) # e t R0 >= 0 e t R1 >= 0 # e t (R0, R1)!= ( 0, 0 ) # Vrint : R1 ( q, R2 ) = diveuclide ( R0, R1 ) R0 = R1 R1 = R2 # S o r t i e de b o u c l e : R1 == 0 return R0 Soit et b deux entiers reltifs non tous les deux nuls. Il est clir que l ppel euclide(,b) termine. L vleur d retournée vérifie D(, b) = D(d, 0), d 0 et (d, 0) (0, 0). Or D(d, 0) est l ensemble des diviseurs de d donc D(, b) est bien l ensemble des diviseurs d un entier d > 0. Un utre point de vue sur cet lgorithme est l suite r définie de l fçon suivnte : r 0 = r 1 = b { reste(rn, r n+1) si r n+1 0 n N r n+2 = 0 sinon Il est clir que cette suite est à vleurs positives ou nulles. À prtir d un certin rng, cette suite est nulle, sinon r serit strictement décroissnte (du moins à prtir du rng 1), ce qui serit bsurde. Pr illeurs, pour toutes les vleurs de n pour lesquelles (r n, r n+1) (0, 0), on D(r n, r n+1) = D(, b). En prticulier, pour l dernière vleur non-nulle r n, on D(r n, 0) = D(, b). L lgorithme d Euclide n est rien d utre que le clcul des termes successifs de l suite (r n) : en numérotnt les tours de boucle (à prtir de 0) dns l lgorithme précédent, on peut d illeurs noter qu u n e tour de boucle, R 0 contient l vleur de r n, et R 1 celle de r n+1. Remrque Sur (N ) 2, le pgcd de deux nombres et b est donc l borne inférieure de {, b} pour l ordre. C est donc ussi le mximum de D(, b) N pour l ordre et pour l ordre. Sur Z, l reltion n est ps un ordre cr elle n est ps ntisymétrique : on à l fois 1 1 et 1 1 (on dit qu on à ffire à un préordre). L ensemble des diviseurs de et b lors deux «plus grnds» éléments pour l reltion de divisibilité : b et ( b). On peut donc en fit considérer que et b ont deux pgcd : b et ( b) ; lorsqu on prle du pgcd, on considère lors qu il s git du pgcd positif. On peut donner l crctéristion suivnte : Proposition Soient, b, d Z, vec (, b) (0, 0). On l équivlence : ( ) d est le PGCD de et b ( d, d b, d 0 ) et n Z, (n et n b) n d Le sens découle du théorème précédent. Réciproquement, si d N vérifie d, d b et n N, n et n b n d. Alors d près les deux premiers points d b et d près le dernier, b d. On conclut vec d 0 et b 0. Théorème (Théorème de Bézout, première prtie). Soient, b Z 2 \ { (0, 0) }. Il existe deux entiers u, v tels que u + bv = b. Un tel couple est ppelé un couple de Bézout de et b. L idée de l démonstrtion est de regrder ce qui se psse dns l lgorithme d Euclide. On constte qu à chque étpe, les vribles R 0 et R 1 sont des combinisons linéires de et b. À l fin de l lgorithme, le pgcd R 0 est donc une combinison linéire de et b. Pour clculer les coefficients de Bézout, on ur recours à l lgorithme d Euclide étendu. Celui-ci est un simple jout à l lgorithme vu précédemment ; on introduit en effet des vribles U i et V i pour i = 0, 1 qu on v modifier u fur et à mesure de l exécution de fçon à grntir R 0 = U 0+V 0b et R 1 = U 1 + V 1b. def euclide_etendu (, b ) : " " " Pré c o n d i t i o n (, b )!= ( 0, 0) " " " R0 = bs ( ) i f < 0 : U0 = 1 else : U0 = 1 V0 = 0 # I n v r i n t : R0 == U0 + V0 b 119

120 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z R1 = bs ( b ) U1 = 0 i f b < 0 : V1 = 1 else : V1 = 1 # I n v r i n t : R1 == U1 + V1 b # I n v r i n t : D(R0, R1) == D(, b ) while R1 > 0 : # I n v r i n t s : # D(R0, R1) == D(, b ) # R1>=0 e t R2>=0 # (R1, R2)!= ( 0, 0 ) # R0 == U0 + V0 b # R1 == U1 + V1 b # Vrint : R1 ( q, R2 ) = diveuclide ( R0, R1 ) # donc R2 = R0 q R1 U2 = U0 q U1 V2 = V0 q V1 # R2 = U2 + V2 b R0, U0, V0 = R1, U1, V1 R1, U1, V1 = R2, U2, V2 # R1 == 0 return ( R0, U0, V0 ) Là encore, une utre fçon de considérer cet lgorithme est de regrder les suites r, u et v, où r est l suite considérée précédemment, où u et v vérifient r i = u i + v ib pour i = 0, 1 et pour n tel que r n+1 soit non nul, u n+2 = u n q n+1 et v n+2 = v n qv n+1, où q est le quotient de l division euclidienne de r n pr r n+1. Là encore, il n est ps difficile de montrer pr récurrence double que tnt que (r n, r n+1) (0, 0), on r n = u n + v nb. Le couple des coefficients de Bézout n est ps unique. Pr exemple on = 1 et ( 1) 3 = 1. Exemple Clcul d un couple de Bézout pour 1750 et 644. On peut lors fire l remrque suivnte : Corollire Soit (, b) Z 2 \ { (0, 0) }. Alors Z + bz = { } u + bv (u, v) Z 2 = ( b)z des multiples de b, toute combinison linéire de et b est églement un multiple de b. L inclusion droite-guche découle du fit que b s écrit comme combinison linéire à coefficients entiers de et b (d près le théorème de Bézout) et que tout multiple d une combinison linéire de et b à coefficients entiers est encore une combinison linéire à coefficients entiers. Corollire Soient, b, c Z. Alors (c) (bc) = c ( b). Posons p = (c) (bc) et q = c ( b). On p > 0 et q > 0 donc p et q sont respectivement les plus petits éléments strictement positifs de pz et qz. Il suffit donc de montrer pz = qz. Or d près ce qui précède, on successivement : ( b)z = { u + bv (u, v) Z 2 } qz = { c (u + bv) (u, v) Z 2 } = { cu + cbv (u, v) Z 2 } = pz 2.2 PGCD d une fmille finie d entiers Les définitions et résultts de l section précédente se générlisent à une fmille finie d entiers. Ainsi, si 1,..., p sont p entiers non tous nuls, on note D( 1,..., p ) l ensemble des diviseurs communs à tous les entiers 1,..., p. Cet ensemble étnt non vide (il contient 1) et fini, il dmet un plus grnd élément, ppelé plus grnd commun diviseur des entiers 1,..., p et noté p i, ou 1... p. i=1 Proposition Soient ( 1,..., p ) Z p, vec 1 0 et p N. (i) Soit k D( 1,..., p ), lors k 1... p. (ii) 1... p = ( 1... p 1 ) p. L inclusion guche-droite découle du fit que, et b étnt Démontrons les deux résultts en une récurrence, en posnt pour chque p N : 120

121 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z (H p) : pour tout ( 1,..., p) Z p, vec 1 0, on (i) et (ii). Le résultt est connu pour p = 1 et p = 2. Soit p N tel (H p) soit vrie. Soient 1,..., p+1 N tels que 1 0. Notons d = 1... p, D = 1... p p+1 et D = d p+1. Pr définition, D divise 1,..., p : pr hypothèse de récurrence (i), D divise donc d. De plus, D divise p+1, donc D D. Pr définition, D divise d et p+1, et d divise 1,..., p. Pr trnsitivité de l reltion de divisibilité, D est donc un diviseur de 1,..., p+1. Pr définition de D, on donc D D : il vient donc D = D. Soit k un utre diviseur de 1,..., p+1. En prticulier, k est un diviseur de 1,..., p, donc k d. Et comme k p+1, lors k D, et donc k D : (H p+1) est bien démontrée. Remrque L proposition précédente ssure que l on peut clculer le PGCD d une fmille 1,..., p d entiers en plusieurs étpes : on clcule d bord 1 2 puis ( 1 2 ) 3, et insi de suite. Pr commuttivité du PGCD, on peut ussi choisir les entiers dns un utre ordre, et tout ceci prouve l ssocitivité du PGCD et ssure que l nottion 1... p est sns mbiguïté. Le théorème de Bézout peut lors se générliser pr récurrence : Théorème Soient 1,..., p des entiers non tous nuls. Alors il existe des entiers u 1,..., u p tels que u u p p = 1... p. Montrons-le pr récurrence sur p. On sit déjà que l propriété est vrie pour p = 2. Soit p 2 tel que l propriété soit vrie, et soient 1,..., p, p+1 des entiers, vec pr exemple 1 0. Si 1 = = p = 0, lors 1 p+1 = p+1, ce qui est bien une reltion de Bézout. Sinon, pr hypothèse de récurrence, il existe des entiers u 1,..., u p tels que u u p p = 1... p. Mis 1... p p+1 = ( 1... p) p+1 et d près le théorème de Bézout pour deux entiers, il existe b, c Z tels que b p + c. p+1 = 1... p+1. D où 1... p+1 = bu bu p p + c p+1, et l hérédité est démontrée. Exemple Trouver trois entiers, b, c tels que b + 120c = 12. Remrque Le corollire se générlise : soient 1,..., n une fmille finie d entiers et c Z. n n Alors (c i ) = c i. i=1 i=1 2.3 Nombres premiers entre eux Définition Deux entiers reltifs et b sont dit premiers entre eux si et seulement si (, b) (0, 0) et b = 1. Remrque Deux entier et b sont premiers entre eux si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont 1 et 1, en d utres termes si et seulement si D(, b) { 1, 1 } (ce qui est équivlent à D(, b) = { 1, 1 }). Théorème (Théorème de Bézout, seconde prtie). Soient, b Z. Alors, et b sont premiers entre eux si et seulement s il existe deux entiers u et v tels que u + bv = 1. Le cs (, b) = (0, 0) est direct : les deux propositions sont fusses, donc équivlentes. Considérons donc (, b) Z 2 \ { (0, 0) }. Supposons et b premiers entre eux. Alors, d près le théorème de Bézout (première prtie), on le résultt. Réciproquement, supposons qu il existe deux entiers u et v vérifint u + bv = 1. Soit lors d D(, b). On d et d b, donc d (u + bv), donc d 1, donc d = ±1. Donc D(, b) { 1, +1 }. Remrque On donc b = 1 si et seulement si est inversible modulo b (i.e. il existe k Z vérifint k = 1[b]). u+bv = 1 implique b = 1, mis u+ bv = d n implique ps b = d, mis simplement ( b) d. 121

122 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z Corollire Soit (, b) Z 2 \ { (0, 0) }. Alors en posnt d = b, = /d et b = b/d, on b = 1 On utilise les deux versions du théorème de Bézout : On sit qu il existe u et v vérifint d = u + bv, d où 1 = u + b v, d où et b sont premiers entre eux. Remrque Ce corollire est très fréquemment utilisé. Corollire (i) Soient premier vec k entiers reltifs b 1, b 2,..., b k. Alors est premier vec b 1 b 2... b k. (ii) Si et b sont premiers entre eux, lors pour tous m, n N, m et b n sont églement premiers entre eux. (i) On trite le cs k = 2, le cs générl s en déduit imméditement pr récurrence. Il existe u i et v i vérifint u i+b iv i = 1 pour i = 1, 2. En multiplint ces deux reltions, il vient successivement 1 = (u 1 + b 1v 1)(u 2 + b 2v 2) 1 = 2 u 1u 2 + u 1b 2v 2 + b 1v 1u 2 + b 1v 1b 2v 2 1 = (u 1u 2 + u 1b 2v 2 + b 1v 1u 2) + b 1b 2(v 1v 2) D où le résultt. (ii) On pplique (i) à et b b b... b, puis (i) à b n et.... Théorème (Lemme de Guss). Soient, b, c Z. On suppose bc et b = 1. Alors c. Ce résultt est une générlistion d un lemme d Euclide. On b = 1 donc 1 s écrit comme combinison linéire u + bv de et b. Donc c = c 1 = (cu) + (bc)v. Donc c est combinison linéire de et bc. Or bc est un multiple de donc c est un multiple de. On peut ussi le voir d un point de vue plus lgébrique : le théorème de Bézout (2 e prtie) nous indique que b = 1 si et seulement si b est inversible modulo (i.e, il existe k Z tel que kb = 1[]). On lors bc = 0[], donc kbc = c = 0[]. Corollire (Forme irréductible d un rtionnel). Soit r Q. Il existe un unique couple (p, q) Z N tel que r = p et p q = 1. Ce couple est q ppelé l forme irréductible de r. Existence C est une conséquence directe du corollire Unicité Soit (p, q) et (p, q ) deux formes irréductibles d un même rtionnel r. Alors p/q = p /q donc pq = p q. Donc q pq et p q = 1. Donc d près le théorème de Guss, on q q. De même q q. Donc q = q ou q = q. Or q et q sont tous deux positifs, donc q = q, donc p = p. Définition On dit que des entiers 1,..., p sont premiers entre eux dns leur ensemble si leur PGCD vut 1. Remrque Ne ps confondre «premiers entre eux dns leur ensemble» et «premiers deux à deux». Remrque L deuxième prtie du théorème de Bézout se générlise sns problème à une fmille finie d entiers : soient 1,..., p des entiers. Ces entiers sont premiers entre eux dns leur ensemble si et seulement si il existe des entiers u 1,..., u p tels que u u p p = PPCM Définition Soit et b deux entiers reltifs. L ensemble de leurs multiples communs est Z bz. Si et b sont tous deux non nuls, lors cet ensemble possède un plus petit élément strictement positif. Celui-ci est ppelé ppcm de et b et est noté PPCM(, b) ou b. 122

123 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z Remrque b est un multiple commun à et b. De plus, comme et b sont non nuls, c est un nombre strictement positif. L ensemble des multiples communs de et de b strictement positifs est donc non vide. Il est évidemment minoré (pr 0), donc il dmet un plus petit élément. Proposition Soient, b, m Z. On l équivlence : ( ) m est le PPCM de et b ( m, b m, m 0 ) et : n Z, ( n et b n) m n Théorème Soit et b deux entiers reltifs. Alors il existe un unique m 0 vérifint Z bz = mz. Dns le cs où et b sont non-nuls, cet entier m est le ppcm de et b et vut b b Le cs ou ou b est nul est trivil : on lors Z bz = { 0 } = 0Z. On suppose donc dns l suite de cette démonstrtion que et b sont non nuls. Posons d = b, = /d et b = b/d. et b sont premiers entre eux. Posons m = b/d = b d. m est un multiple de et de b, donc tout multiple de m est un multiple commun de et b : mz Z bz. Soit lors p un multiple de et de b. Alors p s écrit à l fois sous l forme u et sous l forme bv. On donc p = u = bv, donc du = b dv, donc u = b v. Donc b v, or b = 1 donc v. Donc il existe k vérifint v = k. On lors p = bv = bk = k b d, donc p est un multiple de m. Donc Z bz mz. On donc Z bz = mz. De plus, m est le plus petit élément strictement positif de Z bz et pour tout m 0 vérifint m Z = Z bz, m est églement le plus petit élément strictement positif de Z bz, donc m = m. Remrque Sur (N ) 2, le ppcm de deux nombres et b est donc l borne supérieure de {, b} pour l ordre. C est donc ussi le minimum de N bn pour l ordre et pour l ordre. De même que pour le pgcd, sur Z, l ensemble des diviseurs de et b deux «plus petits» éléments pour l reltion de divisibilité : b et ( b). On peut donc en fit considérer que et b ont deux ppcm : b et ( b) ; lorsqu on prle du ppcm, on considère lors qu il s git du ppcm positif. On peut donner l crctéristion suivnte : Et églement (le point (ii) d illeurs été démontré u cours de l démonstrtion du théorème 2.4.3) : Proposition Soient, b, c Z. Alors : (i) (c) (bc) = c ( b). (ii) si (, b) (0, 0), lors b = ( b).( b). Exemple Clculer Remrque Là encore, si 1,..., n est une fmille finie d entiers et c Z, lors (c i ) = c i n n. i=1 3 Nombres premiers i=1 Définition Soit p N. On dit que p est premier si p 1 et si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p. On dit que p est composé si p 1 et p est non premier. Exemple Les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, est le seul nombre premier pir. Remrque On ppelle diviseur strict de n tout entier nturel diviseur de n différent de n. Un nombre premier est donc un entier utre que 1 sns diviseur strict utre que

124 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z Remrque Soit p et q sont deux nombres premiers distincts. Alors p et q sont premiers entre eux. Pr l bsurde, supposons p q 1. Alors p q est un diviseur de p et de q utre que 1. p et q étnt premiers, ce ne peut être un diviseur strict, donc p = p q = q. Or p q, donc c est bsurde. Le résultt suivnt, fondmentl, insi que l démonstrtion donnée, sont connus depuis Euclide : Théorème L ensemble des nombres premiers est infini. En effet, soient p 1,..., p n n nombres premiers, vec n 1. Montrons qu il en existe nécessirement un utre. On considère l quntité p 1.p p n+1. Cette quntité est un entier strictement supérieur à 1. L ensemble de ses diviseurs (positifs) différents de 1 est donc non vide et possède donc un plus petit élément q, différent de 1, qui ne peut posséder ucun diviseur strict utre que 1 : q est donc premier. Alors q est nécessirement différent de tous les p i. Cr si q = p i pour un certin i 1, n, q divise p 1.p p n d une prt, et divise p 1.p p n + 1 d utre prt, donc divise l différence qui vut 1, ce qui est impossible. q est donc un (n + 1)ème nombre premier. Théorème Tout entier nturel supérieur ou égl à 1 se décompose de mnière unique (à l ordre des fcteurs près) en un produit de nombres premiers (ce produit est éventuellement réduit à zéro ou un terme, et peut voir plusieurs fcteurs égux). Plus précisément, pour tout n N\{0, 1}, il existe k N, des entiers premiers p 1,..., p k distincts et α 1,..., α k N tels que n = k i=1 p α i i = p α 1 1.pα pα k k. Existence on en donne trois démonstrtions Principe de l descente infinie de Fermt Si n est un nombre ne se décomposnt ps en fcteurs premiers, lors n n est lui-même ps premier (sinon, n = n est une décomposition). Donc, n s écrit n = b, vec 1 < < n et 1 < b < n. n ne se décomposnt ps en fcteurs premiers, nécessirement, ou b ne se décompose ps en fcteurs premiers. On trouve donc, pour tout entier ne se décomposnt ps en fcteurs premiers, un entier strictement plus petit ne se décomposnt ps en fcteurs premiers. Ce qui est impossible, cr en itérnt le procédé, on construirit une suite strictement décroissnte d entiers. Principe du bon ordre Soit A l ensemble des entiers n dmettnt ps de décomposition. Nous voulons montrer que A est vide. S il étit non vide, il y urit un plus petit élément. Si n dmet pour diviseur que 1 et lui-même, est premier. = est une décomposition de en fcteurs premiers, ce qui est contrire à l hypothèse. Donc s écrit b c où b et c sont des entiers différents de et de 1. étnt le minimum de A, b et c ne sont ps éléments de A et se décomposent donc en produit de fcteurs premiers. Il en est donc de même de. Principe de récurrence On suppose que tout entier inférieur ou égl à n se décompose en produits de fcteurs premiers (ce qui est vri pour n 2). Considérons n + 1 : Si n + 1 est premier, lors n + 1 = n + 1 est une décomposition. Sinon, n + 1 = b, vec 1 < < n + 1, et 1 < b < n + 1. L hypothèse de récurrence s pplique sur et b, qui se décomposent donc en produits de fcteurs premiers. Il en est donc de même de n + 1. Unicité Commençons pr remrquer que pour tout entier non nul p, p 0 = 1. Ainsi si n = p α 1 1.pα pα k k et si p k+1 est un nombre premier distinct des k précédents, on peut écrire n = p α 1 1.pα pα k k.pα k+1 k+1, vec α k+1 = 0. On suppose que n deux décompositions en fcteurs premiers, que l on peut donc écrire n = p α 1 1.pα pα k k = p β 1 1.pβ pβ k k, les deux membres étnt éventuellement complétés pr p 0 pour voir les mêmes fcteurs premiers dns les deux membres. Le théorème de Guss permet de dire que p α 1 1 divise le membre de droite, mis puisqu il est premier vec p 2,..., p k cr tous ces nombres premiers sont distincts, il divise p β 1 1, et donc α1 β1. Symétriquement, α 1 β 1, et insi α 1 = β 1. Il en est de même pour les utres puissnces. 124

125 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z Définition Pour un nombre premier p on définit l ppliction ν p : Z N { + } { + si n = 0 n { } mx k N p k n sinon qui à un entier n ssocie l exposnt de p dns l décomposition de n en fcteurs premiers, vec l convention ν p (0) = +. Cette fonction est ppelée vlution p-dique sur Z. Il fut démontrer que mx { k N p k n } existe bien. L ensemble { k N p k n } est non vide cr il contient 0 ; de plus p k +, donc il existe K N tel que k + p K > n, donc cet ensemble est mjoré. Comme c est une prtie de N, il dmet bien un mximum. Exemple ν 5 (50) = 2, ν 3 (50) = 0. Proposition Soient, b Z. On note P l ensemble des nombres premiers. (i) Pour tout entier p premier, p divise si et seulement si ν p () > 0. (ii) Si 0, = p νp(). p P (iii) On b si et seulement si, pour tout p P, ν p () ν p (b). (iv) Si (, b) (0, 0), b = p min(νp(),νp(b)). p P (v) si 0 et b 0, b = p P p mx(νp(),νp(b)) (vi) Les entiers et b sont premiers entre eux si et seulement si ils n ont ucun fcteur premier en commun (i.e. pour tout p, ν p () = 0 ou ν p (b) = 0). (i) Évident. (ii) C est une simple réécriture de l décomposition de en fcteurs premiers. (iii) Si b, soit p P. Alors, p νp() divise donc p, donc ν p(b) ν p(). Réciproquement, supposons que pour tout p P, ν p() ν p(b). On voit lors dns l décomposition en fcteurs premiers de b que l on peut fctoriser dns b, donc b. (iv) Commençons pr remrquer que le produit considéré est bien défini : c est un produit fisnt intervenir une infinité de termes cr P est infini, mis en fit seul un nombre fini de ces termes sont différents de 1. En effet, les diviseurs premiers de sont en nombre fini, donc l vlution de n est non nulle que pour un nombre fini d entiers premiers. Il en est de même pour b, et donc min(ν p(), ν p(b)) n est non nulle que pour un nombre fini d entiers premiers p. On note d = p min(νp(),νp(b)). Alors : p P p P d p νp() min(νp(),νp(b)) = p νp() = p P p P et d p νp(b) min(νp(),νp(b)) = p νp(b) = b p P donc d est un diviseur commun à et b. Soit d un utre diviseur commun à et b. Alors d s écrit nécessirement : d = p δ(p), vec pour p P tout p, δ(p) N, et il n y qu un nombre fini d entiers premiers p tels que δ(p) > 0. Mis si d, on doit voir pour tout p P, δ(p) ν p(). De même, d b donc pour tout p P, δ(p) ν p(b). On donc pour tout p P, δ(p) min(ν p(), ν p(b)), et pr conséquent d d, et d est bien le pgcd de et b. (v) S inspirer de l démonstrtion du point précédent. (vi) et b sont premiers entre eux b = 1 pour tout entier premier p, ν p( b) = 0 pour tout entier premier p, min(ν p(), ν p(b)) = 0 pour tout entier premier p, ν p() = 0 ou ν p(b) = 0 pour tout entier premier p, p ne divise ps ou p ne divise ps b ils n ont ucun fcteur premier en commun. Finissons pr un dernier résultt clssique, le petit théorème de Fermt (Pierre de, Beumontde-Lomgne, première décennie du XVIIe siècle - Cstres, 1665) (le grnd n est mlheureusement ps à notre portée), qui deux formultions équivlentes : 125

126 CHAPITRE IX. ENTIERS RELATIFS ET ARITHMÉTIQUE DE Z Théorème (Petit théorème de Fermt, 1640). Soit p un nombre premier. Alors on : (i) pour tout Z, p divise p. (ii) pour tout Z qui n est ps un multiple de p, p divise p 1 1. Ce théorème dmet plus de 100 démonstrtions. Fermt disit en connître une mis ne l jmis publiée et elle n est ps prvenue jusqu à nous. L première démonstrtion est dûe à Leibniz en 1683, dns un mnuscrit qui lui non plus n ps été publié. Il fut ttendre 1736 pour qu Euler donne l première démonstrtion publique, qui est essentiellement l même que celle de Leibniz. Un petit nombre de ces démonstrtions insi qu une introduction historique peuvent être lus à l dresse suivnte, sur le site de l ENS : http ://preview.tinyurl.com/pm49tb4 Donnons-en encore une utre : Commençons pr montrer l équivlence des deux énoncés 1 : Si (i) est vri et que n est ps un multiple de p, lors puisque p est premier, et p sont premiers entre eux. Pr conséquent, grâce u théorème de Guss, p ( p 1 1) donc p p 1 1. Si (ii) est vri, soit Z. Si est un multiple de p, p donc p ( p 1 1). Et si n est ps un multiple de p, lors vec (ii) p p 1 1 donc p ( p 1 1). Dns tous les cs, (i) est vri. de 1 à p 1, donc il est premier vec (p 1)!, et à nouveu vec le théorème de Guss, il vient bien p p 1 1. Le Petit théorème de Fermt donne donc une condition nécessire pour qu un nombre entier soit premier. Il est d illeurs très lrgement utilisé dns les tests de primlité, comme celui de Rbin-Miller. Mis, s réciproque étnt fusse, il n est ps possible de svoir de mnière certine qu un nombre est premier en n utilisnt que ce théorème. Ainsi, on ppelle nombres de Crmichel ou menteurs de Fermt les nombres entiers qui ne sont ps premiers mis vérifient tout de même le Petit théorème de Fermt. Le plus petit nombre de Crmichel est 561, et été découvert pr Crmichel en 1910, bien que les propriétés de tels nombres ient déjà été énoncées en 1899 pr Korselt. Les nombres de Crmichel étnt reltivement rres pr rpport ux nombres premiers, un test de primlité bsé sur le petit théorème de Fermt ur peu de chnces de donner un résultt erroné, mis il n est cependnt ps considéré comme un test suffisment fible. C est pourquoi on le combine vec d utres tests pour obtenir des tests de primlité probbilistes plus fibles. Montrons mintennt le point (ii). Soit un entier non multiple de p. Posons N = (2)(3)...((p 1)). Nous llons clculer N modulo p de deux mnières. Tout d bord, réécrivons N = p 1 (p 1)!. Ensuite, pour tout i 1, p 1, ppelons r i le reste de l division euclidienne de i pr p. Alors N r 1r 2... r p 1 [p]. Supposons qu il existe i, j 1, p 1 tels que r i = r j. Alors i j [p] donc p (i j). Or p = 1 donc vec le théorème de Guss, p (i j). Mis i j < p donc nécessirement i j = 0, donc i = j. Ainsi les r 1,..., r p 1 sont deux à deux distincts. Mis comme ils sont tous dns l intervlle 1, p 1, qui contient exctement p 1 éléments, {r 1,..., r p 1} = 1, p 1, et donc r 1r 2... r p 1 = (p 1)!. Finlement, N = p 1 (p 1)! (p 1)! [p], donc p (p 1)!( p 1 1). Or p est premier vec tous les entiers 1. Ici, nous n vons besoin que de montrer que (ii) implique (i) puisque nous llons montrer (i) pr l suite. 126

127 Chpitre X Suites réelles et complexes 1 Vocbulire Limite d une suite réelle Définition et premières propriétés Opértions sur les limites Étude de (u n + v n ) n N b Étude de (u n v n ) n N c ( Étude de 1 u n )n N d Étude de ( u n ) n N e Étude de (mx(u n, v n )) n N f Exemples de formes indéterminées Limites et suites extrites Limites et inéglités Résultts de convergence Composition Utilistion d inéglités Théorèmes des gendrmes, de mjortion et de minortion b Suites monotones c Suites djcentes Théorème de Bolzno-Weierstrss Trduction séquentielle de certines propriétés Suites prticulières Suites rithmétiques Suites géométriques Suites rithmético-géométriques Suites récurrentes linéires doubles Suites définies pr une reltion de récurrence d ordre Définition de l suite Recherche d une limite éventuelle Cs où f est croissnte sur A Cs où f est décroissnte sur A Suites à vleurs complexes Premiers exemples de séries numériques Séries télescopiques Séries géométriques

128 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES 1 Vocbulire Définition (Suite réelle). Une suite à vleurs réelles ou suite réelle u est une ppliction de N dns R, u. On note en générl u n u lieu de u(n) l imge de n pr u. Étnt donnée une expression e contennt l vrible n, on note (e) n N l suite N R. n e Ainsi, l suite u est souvent notée (u n ) n N. L suite (u n ) n N est ussi ppelée l suite de terme générl u n. On note R N l ensemble des suites réelles. Remrque (Représenttion grphique des termes d une suite). Cel peut se fire en plçnt les termes sur l droite des réels (représenttion unidimensionnelle) ou en trçnt le grphe de l suite (représenttion bidimensionnelle). Chcune présente des vntges et des inconvénients. Définition (Opértions sur les suites). Étnt donné deux suites u et v on peut former leur somme u + v, définie comme (u n + v n ) n N. Étnt donnéune suite u et un sclire λ, on peut former l suite λu définie comme (λu n ) n N. On dit que R N muni de ces deux opértions est un espce vectoriel. Étnt donné deux suites u et v on peut former leur produit uv, définie comme (u n v n ) n N. Étnt donné deux suites u et v telles que v ne s nnule ps, on peut former leur quotient u ( ) v, un définie comme. v n n N Étnt donné une suite u, on peut former l suite u définie comme ( u n ) n N. Définition Étnt donné une propriété P sur les suites réelles et un entier n 0 et une suite réelle u, on dit que P est vrie à prtir du rng n 0 si l propriété P est vrie pour l suite des termes u n0, u n0 +1, u n0 +2,... utrement dit pour l suite v où v est définie pr n N v n = u n0 +n. On dit que P est vrie à prtir d un certin rng s il existe un entier n 0 tel que l propriété P est vrie à prtir du rng n 0. Remrque En générl, seul le comportement des suites qund n tend vers l infini nous intéresse, et non les premiers termes de l suite, d où l intérêt de l notion de propriété vrie à prtir d un certin rng. Exemple L suite (n(n 5)) n N n est ps à vleurs positives ou nulles mis elle est à vleurs positives ou nulles à prtir du rng 5 (insi d illeurs qu à prtir du rng 10, du rng 2389,... ). L suite u définie pr { n si n < 735 n N u n = 735 sinon n est ps constnte mis est constnte à prtir du rng 735. Exemple Dire qu une suite est positive ou nulle à prtir d un certin rng est équivlent à utrement dit : n 0 N, n N, u n+n0 0, n 0 N, k N, k n 0 u k 0. Définition Une suite réelle u est dite : (i) constnte si n N, u n = u 0 ; (ii) sttionnire si elle est constnte à prtir d un certin rng, c est-à-dire si n 0 N n N, n n 0 u n = u n0. 128

129 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Remrque Jusque là, toutes les définitions données sur les suites à vleurs réelles s étendent directement ux suites à vleurs complexes. Ce n est plus le cs pour ce qui suit. Définition Une suite réelle u est dite : (i) croissnte (resp. stric. croissnte) si pour tout n N, u n u n+1 (resp. u n < u n+1 ) ; (ii) décroissnte (resp. stric. décroissnte) si pour tout n N, u n u n+1 (resp. u n > u n+1 ) ; (iii) monotone si l suite est croissnte ou décroissnte ; (iv) strictement monotone si l suite est strictement croissnte ou strictement décroissnte ; (v) mjorée (resp. minorée) s il existe M R tel que pour tout n N, u n M (resp. u n M) ; (vi) bornée si elle est mjorée et minorée. Remrque Toutes ces propriétés peuvent s énoncer «à prtir d un certin rng». «(u n ) est bornée» s écrit ussi : M R, n N, u n M. Pour montrer qu une suite est croissnte, on peut utiliser plusieurs méthodes : l plus clssique consiste à étudier le signe de u n+1 u n. On peut ussi comprer u n+1 à 1, à condition de u n connître le signe de u n. 2 Limite d une suite réelle 2.1 Définition et premières propriétés Définition Soit (u n ) R N, soit l R. On dit que (u n ) tend (ou converge) vers l si ε R +, n 0 N, n N, n n 0 u n l ε. On note ceci u n u l. n + Remrque Ceci est équivlent à l, ou plus simplement ε R +, n 0 N, n N, n n 0 u n l < ε. En prtique, on préférer souvent (mis ps toujours) utiliser des inéglités lrges. Remrque On utilise souvent les bus de nottion suivnt : ε > 0, n 0 N, n n 0, u n l ε. Exemple Montrer que l suite de terme générl u n = n 1 n + 1 converge vers 1. Définition Soit (u n ) R N. On dit que (u n ) est convergente s il existe l R tel que u n l. Si (u n) n est n + ps convergente, on dit qu elle est divergente (ou diverge). Théorème Toute suite convergente est bornée. Soit (u n) convergent vers l R. Alors d près l proposition précédente, il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, u n l 1, et donc l 1 u n l + 1. Pr conséquent, (u n) est bornée à prtir du rng n 0. Mis les n 0 premiers termes de l suite étnt en nombre fini, ils forment un ensemble borné. L ensemble des termes de l suite (u n) étnt l réunion de deux ensembles bornées, il est borné églement, et donc l suite (u n) est bornée. 129

130 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Définition Soit (u n ) R N. On dit que (u n ) tend vers + si A R, n 0 N, n N, n n 0 u n A. On note ceci u n +, ou plus simplement n + u +. Définition Soit (u n ) R N. On dit que (u n ) tend vers si A R, n 0 N, n N, n n 0 u n A. On note ceci u n, ou plus simplement n + u. Remrque Une suite qui tend vers + (ou vers ) diverge. On peut cependnt introduire l ensemble R = R {+, }, que l on ppelle droite numérique chevée. Dns R, une suite tendnt vers + (ou moins ) converge. Le théorème?? est toujours vlble : toute suite à vleurs dns R est bornée (pr et + )! Pr défut, l notion de convergence s entendr dns R. Le lecteur intéressé pourr consulter l prtie?? pour obtenir une présenttion succinte unifint ces points de vues. Théorème (Unicité de l limite). Soit (u n ) une suite réelle, soit l 1, l 2 R tels que u n l 1 et u n l 2. Alors, l 1 = l 2. n + n + Il convient priori de distinguer 9 cs. Pr symétrie, et en supposnt l 1 l 2, il suffit de considérer les cs : l 1 R et l 2 R ; l 1 R et l 2 = ; l 1 R et l 2 = + ; l 1 = et l 2 = +. Nous ne détillerons ici que les deux premiers, les deux derniers sont lissés u lecteur. Si l 1 R et l 2 R, posons ε = 1 l1 l2 > 0. Alors, il 3 existe n 1, n 2 N tels que, pour tout n N : si n n 1, u n l 1 ε ; si n n 2, u n l 2 ε. Alors, pour n mx(n 1, n 2), on pr l inéglité tringulire C est impossible! l 1 l 2 = l 1 u n (l 2 u n) l 1 u n + l 2 u n 2 l1 l2. 3 Si l 1 R et l 2 =, posons A = l 1 1 et ε = 1 2. Alors, il existe n 1, n 2 N tels que, pour tout n N : si n n 1, u n l 1 ε ; si n n 2, u n A. Alors, pour n mx(n 1, n 2), on u n A < l 1 1 un. 2 C est impossible! Définition (Limite). Soit u R N. Lorsqu il existe un élément l R vérifint u n l, on l ppelle l limite de u, n + et on le note lim u ou Le symbole lim u n. n + lim n + ne peut s utiliser qu près voir montré l existence de ldite limite. L utiliser vnt est une erreur grve. On préfèrer systémtiquement utiliser l écriture u n l. n + Proposition Soit u R N et l R. On les propriétés suivntes : u n n + u n n + l u n l n u n n + 0 Remrque En prticulier pour tout l R et tout u R N, u + l si et seulement si u s écrit comme somme de l et d une suite tendnt vers 0. Corollire Soit u R N et l R. u n n + l u n l n

131 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Corollire Soit u R N, l R. Alors u tend vers l si et seulement s il existe v R N tendnt vers 0 telle que u = l + v. Proposition Soit u une suite convergent vers 0 et v une suite bornée. Alors uv converge vers 0. Étude de (u n + v n ) n N v n l R + u n l R + Soit M > 0 un mjornt de v. Soit ε > 0, il existe donc un rng N N tel que pour, tout entier nturel n N, u n ε. Ainsi, si n N, unvn ε, d où le M résultt. Exemple Étudier l convergence de l suite ( ) cos n n n N b Étude de (u n v n ) n N u n l R + l R 0 v n l R + l R Proposition L ensemble des suites convergent vers 0 est stble pr ddition et pr multipliction pr un sclire. On dit que l ensemble des suites convergent vers 0 est un sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des suites à vleur réelles. Comme un sclire peut-être vu comme une suite constnte, donc bornée, il suffit de montrer que l somme de deux suites convergent vers 0 converge vers 0. Soit u et v tendnt vers 0, soit ε > 0. Il existe deux rngs N N et N N tels que, pour tout entier n, si n N, u n ε 2 ; si n N, v n ε 2. Ainsi, si n mx(n, N ), lors u n + v n u n + v n ε, d où le résultt. 2.2 Opértions sur les limites Soit u et v deux suites qui dmettent chcune pour limite l, l R. c Étude de ( 1 u n )n N Si l suite u ne s nnule ps. Remrque Si v tend vers 0, lors v tend vers 1. u n l R\ {0} 0 + 1/u n On obtient lors le comportement de en utilisnt les deux tbleux précédents. d Étude de ( u n ) n N u n l R + u n ( ) un v n n N 131

132 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES e Étude de (mx(u n, v n )) n N Proposition Si u n n + l R et v n n + mx(u n, v n ) n + mx(l, l ). l R, lors un vn + un + vn Il suffit d écrire mx(u n, v n) =. 2 Remrque On bien sûr le même résultt vec le minimum. f Exemples de formes indéterminées Exemple Déterminer les limites (si elles existent) des suites de termes générux suivnts : 1. u n = 3n2 +n+15 n 2 +sin n 2. u n = e n 3 n n 2 2 ( n 3. u n = 1 + n) 1 n. 2.3 Limites et suites extrites Définition On ppelle suite extrite ou sous-suite de l suite u toute suite (u ϕ(n) ) n N où ϕ est une ppliction strictement croissnte de N dns N. L fonction ϕ est une extrction, ou extrctrice. Remrque On ne conserve que les termes de rng ϕ(n) pour n N, d où l dénomintion suite extrite. Exemple (u n+1 ) n N, (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N sont des suites extrites de (u n ) n N. Exercice Soit u une suite, ϕ et ψ deux extrctrices. Quelle est l suite extrite de (u ϕ(n) ) n N pr ψ? Lemme Soit ϕ une fonction strictement croissnte de N dns N. Alors pour tout n N, ϕ(n) n. Théorème Soit u R N et l R. Si u + l lors toute suite extrite de u tend ussi vers l. On trite le cs l R, les deux utres cs sont lissés u lecteur. Soit ϕ une extrctrice, soit ε > 0. Il existe donc un rng n 0 N tel que, pour tout n n 0, u n l ε. Soit n n 0, on lors ϕ(n) n n 0 et donc uϕ(n) l ε. Corollire Si une suite dmet deux suites extrites ne convergent ps vers l même limite lors cette suite n ps de limite. Si une suite dmet une suite extrite n ynt ps de limite, lors cette suite n ps de limite. Exemple Montrer que les suites (( 1) n ) n N et ( cos nπ ) 3 ne convergent ps. n N Théorème Soit u une suite à vleurs réelles et l R. Si on u 2n l et u 2n+1 l, n + n + lors u n l. n + On trite le cs l R, les deux utres cs sont lissés u lecteur. Soit ε > 0 un voisinge de l. Il existe donc deux rngs N et N tels que, pour tout entier nturel n, si n N, u 2n l ε ; si n N, u 2n+1 l ε. Ainsi, si n mx(2n, 2N + 1), on u n l ε (il suffit de distinguer selon l prité de N), d où le résultt. 2.4 Limites et inéglités Proposition Soit u R N et (, b, l) R. Supposons u + l et < l < b. Alors à prtir d un certin rng, les 132

133 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES vleurs de u sont comprises strictement entre et b. Autrement dit : n 0 N n N n n 0 < u n < b On pose ε = 1 min (l ; b l) > 0. Soit n0 N tel que, 2 pour tout n n 0, u n l ε. On < l ε < l + ε < b, Alors, si n n 0, on l ε u n l+ε, donc < u n < b. Corollire En prticulier toute suite convergent vers une limite strictement positive (resp. strictement négtive) est strictement positive (resp. strictement négtive) à prtir d un certin rng. Exemple n N, 1 1 n < n, pourtnt 1 1 n n + 1 et n n + 1. Exercice ( n ) 1 Montrer que l suite (H n ) = ne k k=1 n N converge ps. On pourr commencer pr montrer que pour tout n 1, H 2n H n 1 2. Proposition Si une suite (u n ) n N est croissnte (resp. décroissnte) et converge vers un réel l, lors n N, u n l (resp. n N, u n l). Si une suite (u n ) n N est strict. croissnte (resp. strict. décroissnte) et converge vers un réel l lors n N, u n < l (resp. n N, u n > l). Corollire Soit u R N et (, l) R 2. Supposons u n + l. Si à prtir d un certin rng u n, lors l. Si à prtir d un certin rng u n, lors l. Ne ps croire que si à prtir d un certin rng u n <, lors l <. En pssnt à l limite dns une inéglité, les inéglités strictes deviennent ( ) des inéglités lrges. (Pr exemple : l suite 1 n converge vers 0, et pourtnt tous n N les termes sont strictement positifs). Corollire Soient u et v deux suites réelles telles que, à prtir d un certin rng, u n v n. Si les suites u et v convergent respectivement vers l et l, lors l l. Là encore, même si à prtir d un certin rng, u n < v n, il se peut que l = l. On ne trite que le premier cs. S il existe N N tel que u n > l lors, si n N, u n l u N l > 0, ce qui est impossible. Remrque Ces propriétés ne permettent ps de montrer l convergence d une suite. Elles se contentent de donner des renseignements sur l suite ou s limite, en cs de convergence. 3 Résultts de convergence 3.1 Composition Théorème Soient et b deux éléments de R et f une fonction à vleurs réelles définie sur une prtie D de R vérifint f(x) b x et u une suite réelle telle que l suite (f(u n )) n N soit bien définie (c est-à-dire vérifint n N u n D) et vérifint u n n

134 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Alors, f(u n ) n + b. Remrque Ce théorème est temporirement dmis, l définition de convergence pour les fonctions n ynt ps encore été donnée. Exemple Si u est une suite qui converge vers 0, lors l suite (e un ) n N est une suite convergent vers Utilistion d inéglités Techniques d encdrement Théorème Soient u, v et w trois suites à vleurs réelles et l R. (i) Th. de minortion : Si u n + n + et u n v n à prtir d un certin rng, lors v n +. n + (ii) Th. de mjortion : Si u n n + et v n u n à prtir d un certin rng, lors v n. n + (iii) Th. d encdrement : Si u n l et n + w n l et u n v n w n à prtir d un n + certin rng, lors v n n + l. Remrque Le troisième résultt est souvent ppelé «Théorème des gendrmes» dns les petites clsses. Vous pouvez utiliser cette dénomintion, ou tout simplement dire «pr encdrement» qund vous l utilisez. Ces trois résultts se démontrent isément. Corollire Soient u et v deux suites à vleurs réelles. Si v n 0 et u n v n à prtir d un certin n + rng, lors u n n + 0. b Suites monotones Théorème (de l limite monotone). Soit u une suite réelle. 1. Si u est croissnte, elle dmet une limite (dns R) et u n n + sup u n. n N () Dns le cs où u est mjorée pr un réel, cette limite est réelle et est le plus petit mjornt de u. (b) Dns le cs où u n est ps mjorée, cette limite vut Même résultt, dns le cs d une suite u décroissnte muttis mutndis (sup en inf, «mjorée» en «minorée», + en ). 1. () Notons l = sup n N u n. Soit ε > 0, il existe donc un entier nturel n 0 tel que l ε < u n0 l. Pr croissnce de u et mjortion de u pr l, on, pour tout n n 0, l ε u n l. Cel montre donc bien l convergence de u vers l. (b) Soit A R, A ne mjore ps u : il existe donc n 0 N tel que u n0 A. Ainsi, pr croissnce de u, on, pour tout n n 0, u n A. Ainsi, u tend vers Idem Exemple On exprime souvent le premier point du théorème en disnt que «toute suite croissnte mjorée converge». Soit u et v les suites définies pr n N u n = n et v n = n + n 2 L suite u est croissnte, mjorée pr l suite v : c est donc une suite croissnte mjorée. Donc u converge? 134

135 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Une suite croissnte mjorée converge vers le plus petit de tous ses mjornts. Le plus petit de ses mjornts n est ps nécessirement le plus petit de ceux que vous vez déjà trouvés! Retenir : Corollire Si u est croissnte et mjorée pr M R, lors u converge et s limite est inférieure ou égle à M. c Suites djcentes Définition Deux suites u et v sont dites djcentes si l une est croissnte, l utre est décroissnte et leur différence tend vers 0. Théorème Soit u et v deux suites djcentes. Alors u et v convergent, et ont l même limite. Si u et v convergent, u v converge vers l différence de leurs limites, soit 0 : u et v ont donc même limite. On peut supposer, sns perte de générlité, que u est croissnte et que v est décroissnte. Montrons mintennt que u converge (il suffit ensuite d écrire v = v u + u pour conclure à l convergence de v). Il suffit de montrer que u est mjorée pr un réel, pr exemple v 0. Sinon, il existe n 0 N vérifint u n0 > v 0 et l on urit, pr croissnce de u et décroissnce de v insi que pour tout entier n n 0, u n v n > u n0 v 0, ce qui contredit l convergence de u v vers 0. Ainsi, u converge. L définition et le théorème des suites djcentes sont fondmentux. Le fit qu ils s écrivent de fçon très concise n en réduit ps l importnce mis rend en revnche inexcusble les confusions entre ce qui relève de l définition et ce qui relève du théorème. Remrque Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles djcentes, vec (u n ) n N croissnte. Notons l leur limite commune. Alors, n N, u n l v n et (p, q) N 2, u p l v q. Exemple Les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies pr u n = 1 k! et v n = u n + 1 n.n! sont djcentes. k=0 Exemple (Moyenne rithmetico - géométrique). Soient u 0, v 0 R +. On définit deux suites en posnt, pour tout n N, u n+1 = u n + v n 2 et v n+1 = u n.v n. Alors ces deux suites sont djcentes et leur limite commune est ppelée moyenne rithmetico - géométrique de u 0 et v 0. Exercice (Algorithme des Bbyloniens). On pose v 0 = 2. On définit deux suites en posnt, pour tout n N, u n = 2 et v n+1 = u n + v n. v n 2 Montrer que ces deux suites sont djcentes. Quelle est leur limite? Définition Étnt donné I un intervlle de R, on ppelle dimètre de I et on note δ(i) l vleur de b où et b sont les extrémités guche et droite de I si celles-ci sont réelles et + si l une u moins n est ps réelle. Théorème (Des segments emboîtés). Soit (I n ) n N une suite décroissnte de segments non vides emboîtés, c est-à-dire vérifint I 0 I 1 I 2... (utrement dit, pour tout n N, I n ) et vérifint δ(i n ) 0. Alors I n+1 l ensemble I n n N n + est un singleton. Autrement dit, il existe un unique réel pprtennt à I n pour tout n N. De plus, tout suite u à vleur réelle telle que pour tout n N, u n I n converge vers ce réel. Il suffit de noter, pour tout n N, n et b n respectivement 135

136 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES les extrémités guche et droite de I n. Les conditions sur les segments entrînent que et b sont deux suites djcentes. Elles ont dont une limite commune l. De plus pour tout n, n l b n. Donc { l } In. Réciproquement, n N si x In, lors pour tout n N, n x bn donc, n N pr encdrement, x = l. Tout suite u vérifint les conditions données est lors encdrée pr et b donc converge vers l. Corollire (Méthode de l dichotomie). Soit (I n ) n N une suite de segments telle que pour tout n N, I n+1 est soit l moitié guche du segment I n, soit l moitié droite du segment I n. Alors l suite (I n ) n N est une suite décroissnte de segments emboîtés, dont le dimètre tend vers 0. Les extrémités guche et droite de ces segments constituent donc des suites djcentes. 3.3 Théorème de Bolzno-Weierstrss Définition On dit qu un sous-ensemble K de R est compct si et seulement si toute suite à vleurs dns K dmet une suite extrite qui converge vers une vleur de K. Exemple L suite (n) n N n dmet ucune suite extrite convergente, donc ni R, ni R +, ni N ne sont compcts. 2. Tout intervlle ouvert n est ps compct. 3. Tout singleton est compct. 4. Tout ensemble fini est compct. Nous vons déjà vu que toute suite convergente est bornée. L réciproque est évidemment fusse, pr exemple l suite (( 1) n ) n N est bornée et divergente. Mis une version plus fible est vrie : c est l objet du théorème suivnt, et cel pprît plus clirement dns l formultion donnée en Théorème (Bolzno-Weierstrss). Tout segment de R est compct. Démonstrtion (Principe de l dichotomie à connître, formlistion non exigible). Le cs où le segment est réduit à un point est trivil. Considérons donc un segment [, b] de R vec < b et une suite u à vleurs dns [, b] et montrons que u dmet une suite extrite qui converge. Définissons tout d bord pr dichotomie une suite (I n) n N de segments comme suit : 1. I 0 = [, b] 2. Pour tout n, on définit I n+1 comme étnt l moitié guche de I n si u prend une infinité de fois ses vleurs dns cette moitié guche. Sinon, on définit I n+1 comme étnt l moitié droite de I n. Il est clir que l suite (I n) n N est une suite de segments emboîtés de dimètre tendnt vers 0, d intersection réduite à un singleton l. On peut démontrer pr récurrence que pour tout n N, u prend une infinité de fois ses vleurs dns I(n). On v mintennt extrire une suite ( u ϕ(n) )n N de u telle que pour tout n N, u n I n. Le principe est reltivement simple : on prend u 0 pour premier terme de cette suite extrite. On u 0 I 0. On prend lors pour terme suivnt le premier terme suivnt de u pprtennt à I 1. Un tel terme existe puisque u prend une infinité de fois ses vleurs dns I 1. On prend lors pour terme suivnt le premier terme suivnt de u pprtennt à I 2. Etc. Plus formellement, on définit pr récurrence l ppliction ϕ comme suit : () ϕ(0) = 0. (b) pour tout n N, ϕ(n + 1) est le plus petit entier k strictement supérieur à ϕ(n) vérifint u n I n+1. L suite u prennt une infinité de fois ses vleurs dns I(n + 1), un tel k existe. Posons lors, pour n N, v n = u ϕ(n). On pour tout n N, v n I n. Donc v converge. L suite u dmet donc bien une suite extrite convergente, [, b] est donc compct. Corollire On peut extrire de toute suite réelle bornée une suite convergente. Remrque C est ce dernier corollire qui est ussi prfois ppelé «Théorème de Bolzno-Weierstrss». 136

137 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES 4 Trduction séquentielle de certines propriétés Définition On dit qu une prtie de R est dense dns R si elle rencontre tout intervlle ouvert non vide de R. Remrque On déjà vu que l ensemble des décimux, Q et R \ Q étient denses dns R. 5 Suites prticulières 5.1 Suites rithmétiques Définition Soit α et r deux complexes. On ppelle suite rithmétique de premier terme α et de rison r l suite u définie pr { u 0 = α, n N, u n+1 = r + u n. Proposition Soit X R. X est dense dns R si et seulement si pour tout l R il existe une suite u à vleurs dns X convergent vers l. Supposons que X est dense dns R, soit l R. Alors, pour tout entier nturel n, X ]l 1 n + 1, l + 1 [ est non n + 1 vide et l on peut donc construire une suite u d éléments de X telle que, pour tout entier nturel n, l 1 un n + 1 l + 1. Pr encdrement, u converge vers l. n + 1 Réciproquement, soit une telle prtie X, montrons que X est dense dns R. Soit I un intervlle ouvert non vide de R. Si I X =, il suffit de prendre l comme étnt le milieu de I : ucune suite à vleurs dns X ne peut converger vers l. En effet, en considérnt ε le qurt du dimètre de I, on, pour tout x X, x l > r. Ainsi, X rencontre I. Proposition Soit X une prtie non vide de R. Alors il existe une suite u à vleurs dns X de limite sup X. 1. Si X est mjorée, sup X R et u converge. 2. Si X n est ps mjorée, lors sup X = + et u tend vers +. Si X n est ps mjorée, c est fcile : pour tout n N, il existe x X vérifint x n. On construit donc une suite u à vleurs dns X vérifint n N, u n n. Si X est mjorée, revenir à l crctéristion de l borne supérieure dns le cs réel donnée dns le chpitre VIII. Remrque Une suite rithmétique est à vleurs réelles si et seulement si son premier terme et s rison sont réels. Proposition Soit r C et u une suite rithmétique de rison r. Alors n N, u n = nr + u 0. De plus n N k=0 Revenir à l formule donnnt u k = (n + 1) u 0 + u n. 2 k. k=0 Remrque Cette dernière formule est ssez peu utile, il vut souvent mieux revenir à l formule donnnt k. k=0 Proposition Soit r R et u une suite rithmétique à vleurs réelles de rison r. Alors, si r > 0, u n + ; n + si r = 0, u est l suite constnte de vleur u 0 donc u n u 0 ; n + si r < 0, u n. n + 137

138 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES 5.2 Suites géométriques Définition Soit α et r deux complexes. On ppelle suite géométrique de premier terme α et de rison r l suite u définie pr { u 0 = α, n N, u n+1 = r u n. Si r ]1, + [, lors u diverge vers + si u 0 > 0 et vers sinon. L suite u converge si et seulement si r ] 1, 1] (c est-à-dire r < 1 ou r = 1). Direct d près l question précédente. 5.3 Suites rithmético-géométriques Remrque Une suite géométrique est à vleurs réelles si et seulement si son premier terme est nul ou son premier terme et s rison sont réels. Proposition Soit r C et u une suite géométrique de rison r. Alors n N, u n = r n u 0. De plus si r 1, lors n N si r = 1, lors n N k=0 Revenir à l formule donnnt u k = u 0 1 r n+1 1 r ; u k = (n + 1)u 0. k=0 q k. k=0 Proposition Soit r R et u une suite réelle géométrique de rison r, vec u 0 0. Si r ], 1], lors u n ps de limite (ni finie, ni infinie). Si r ] 1, 1[ (i.e. r < 1), lors u converge vers 0. Si r = 1, lors u est l suite constnte, de vleur u 0 (elle converge donc vers u 0 ). Définition Une suite u est dite suite rithmético-géométrique s il existe deux nombres complexes et b vérifint : n N, u n+1 = u n + b. Remrque Il s git d une générlistion des notions de suites rithmétiques et géométriques : Si = 1, lors u est une suite rithmétique. Si b = 0, lors u est une suite géométrique. Remrque Ces suites interviennent fréquemment dns des problèmes concrets : évolution du cpitl restnt à rembourser en fonction du temps dns le cs d un emprunt à mensulités constntes ; modélistion de l évolution d une popultion ; dns le jeu du «devinez le nombre que j i choisi». Soit et b deux complexes. On s intéresse mintennt à l ensemble des suites u solutions de l éqution n N, u n+1 = u n + b. (AG) Proposition Soit u et v deux solutions de (??). Alors u v (i.e. l suite de terme générl u n v n pour n N) est une suite géométrique de rison. 138

139 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Très fcile. Proposition Soit v une suite solution de (??). Alors, pour toute suite géométrique u de rison, l suite u + v (i.e. l suite de terme générl u n + v n pour n N) est ussi solution de (??). Très fcile. Corollire Soit v une solution prticulière de (??). Soit u C N. On l équivlence suivnte : u est solution de (??) si et seulement si u v est une suite géométrique de rison. v est solution de (??), donc d près l proposition si u est solution de (??), u v est une suite géométrique de rison. Montrons l réciproque : supposons que u v est une suite géométrique de rison. Alors d près l proposition 5.3.5, v+(u v) est solution de (??). Or v+(u v) = u, d où le résultt. Proposition Si 1, lors il existe une unique suite constnte solution de (??). Très fcile. Méthode de résolution de (??) 1. Si = 1, les solutions de (??) sont les suites rithmétiques de rison b (i.e. pour tout u C N, u est solution de E si et seulement si n N, u n = u 0 + nb). 2. Si 1, on cherche une solution constnte. Pour cel, on détermine l unique α vérifint α = α + b. 3. Les solutions de (??) sont lors les suites u C N telles que l suite u α (c est-à-dire (u n α) n N ) soit une suite géométrique de rison. Autrement dit, les solutions de (??) sont les suites u C N vérifint : n N u n = α + n (u 0 α). Remrque L ensemble des solutions de (??) ici l même structure que dns les cs des systèmes linéires et des équtions différentielles linéires (espce ffine). Ce n est ps une coïncidence! On remrquer que l on résout (u n+1 u n ) n N = (b) n N et que (u n+1 u n ) n N dépend linéirement de u. Exemple Donner le terme générl de l suite u définie pr : { u 0 = 0, n N u n+1 = 2u n + 1. Exemple Votre bnquier vous propose un prêt à l consommtion de «à un tux de 18% nnuel» sur 5 ns, à mensulités fixes (soit 60 mensulités). Après voir signé le contrt, vous consttez que le tux est de 1, 5% pr mois. Quel est le montnt des mensulités? Quel est le coût totl du crédit? Que pensez-vous de l mnière dont le prêt est présenté? 5.4 Suites récurrentes linéires doubles Définition On ppelle éqution de récurrence linéire double ou éqution de récurrence linéire d ordre deux toute éqution de l forme n N u n+2 + u n+1 + bu n = 0. où et b sont des complexes fixés et où l suite u (réelle ou complexe) est l inconnue. Toute solution de cette éqution est ppelée suite récurrente linéire double (ou d ordre deux). 139

140 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES On ppelle éqution crctéristique de cette éqution de récurrence linéire double, l éqution r 2 + r + b = 0. On ppelle polynôme crctéristique de cette éqution de récurrence linéire double, le polynôme X 2 + X + b. Remrque Si r C, lors r est solution de l éqution crctéristique si et seulement si (r n ) n N est solution de l éqution de récurrence linéire double. Soit (, b) C 2, vec b 0. On s intéresse mintennt à l ensemble des suites u solution de n N u n+2 + u n+1 + bu n = 0. (E) On note lors l éqution crctéristique de (??) : r 2 + r + b = 0. (C) Théorème (Solutions complexes de (??)). On considère l éqution (??). (i) Si (??) dmet deux solutions distinctes r 1 et r 2, les solutions de (??) sont les suites de l forme (λr1 n + µrn 2 ) n N, où λ et µ sont des complexes. (ii) Si (??) dmet une unique solution, r 0, lors les solutions de (??) sont les suites de l forme (λr0 n + µnrn 0 ) n N, où λ et µ sont des complexes. Dns les deux cs, il existe une unique solution à (??) pour u 0 et u 1 fixés. L preuve n est ps exigible, en voici un schém. 1. Montrer que s il existe une solution, elle est entièrement déterminée pr l donnée de u 0 et u Montrer selon les cs que les suites données dns l énoncé du théorème sont effectivement des solutions. 3. Montrer, selon les cs, que pour tout choix de u 0 et u 1, une de ces suites est solution. 4. En déduire selon les cs que les suites données dns l énoncé du théorème sont effectivement les solutions. Dns tout ce qui suit, on ne s intéresser qu u cs où les coefficients et b sont réels. Théorème (Solutions réelles de (??)). On considère l éqution (??), vec (, b) R R. (i) Si (??) dmet deux solutions (réelles) distinctes r 1 et r 2, lors les solutions réelles de (??) sont les suites de l forme (λr1 n + µrn 2 ) n N, où λ et µ sont des réels. (ii) Si (??) dmet une unique solution (réelle) r 0, lors les solutions réelles de (??) sont les suites de l forme (λr0 n + µnrn 0 ) n N, où λ et µ sont des réels. (iii) Si (??) dmet deux solutions complexes conjuguées, re iθ et re iθ, lors les solutions réelles de (??) sont les suites de l forme (r n (λ cos (nθ) + µ sin (nθ))) (n N) où λ et µ sont des réels fixés. Dns tous les cs, il existe une unique solution à (??) pour u 0 et u 1 fixés. Remrque En prtique, on rencontrer des suites définies pr l vleur de u 0 et u 1 et une éqution linéire de récurrence d ordre deux. On détermine lors les solutions générles de l éqution en utilisnt le théorème ci-dessus, puis on détermine les constntes λ et µ vec les vleurs de u 0 et u 1. L preuve n est ps exigible, en voici un schém. 1. Montrer, en étudint les différents cs que les suites données ci-dessus sont effectivement des solutions. 2. Montrer en étudint les différents cs, que toute solution est une suite donnée ci-dessus (stuce bien prtique : si u est une solution à vleurs réelles de (??), lors, pour tout n N, u n = Re (u n)) et u est ussi une solution complexe de (??)). 3. En déduire que les suites données dns l énoncé du théorème sont effectivement les solutions. 140

141 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Exemple (Appliction prtique). On considère l suite (u n ) n N définie pr { u0 = 0 et u 1 = 1 n N, u n+2 = u n+1 + u n Déterminer une expression de u n en fonction de n. Remrque L méthode vue ici est très proche de celle utilisée pour résoudre les équtions différentielles linéires de degré deux à coefficients constnts. Ce n est d illeurs ps une coïncidence... 6 Suites définies pr une reltion de récurrence d ordre 1 On étudie dns cette prtie les suites (réelles) récurrentes d ordre 1, c est-à-dire les suites réelles u vérifint une reltion du type : n N, u n+1 = f(u n ), où f est une fonction définie sur une prtie D de R et à vleur dns R. 6.1 Définition de l suite On se donne donc une prtie D de R, f : D R, et R. On veut définir l suite u pr récurrence de l fçon suivnte { u 0 = et n N, u n+1 = f(u n ) Une telle définition n est ps nécessirement légitime : pr exemple, si / D, lors u 1 est ml défini donc l suite est ml définie. Autre exemple : on prend pour f l ppliction x x 1 et pour l vleur 4. On bien R + mis u 1 = 1, u 2 = 0, u 3 = 1 < 0 et u 4 est ml défini. Une condition suffisnte 1 pour que l suite soit bien définie est de trouver une prtie A de D (i.e. une prtie A de R sur lquelle f est bien définie) 1. Cette condition est ussi nécessire (pourquoi?) mis en prtique, c est le fit qu elle soit suffisnte qui nous intéresser. stble pr f (i.e. x A, f(x) A) et contennt le premier terme de l suite ( A). En notnt, pour n N, P (n) l propriété «u n est bien définie et u n A», on peut lors montrer pr récurrence que pour tout n N, on P (n) ; on en déduit que pour tout n N, u n est bien définie, donc que u est bien définie. Exemple Soit [ 1, + [, et notons u l suite définie pr { u 0 = et n N u n+1 = 1 + u n Notons f l fonction x 1 + x. Alors l ensemble de définition [ 1, + [ est stble pr f. Donc l suite (u n ) n N est bien définie. 2. Notons v l suite définie pr v 0 = 5 Posons et n N v n+1 = v 3 2 n 1 f : R + R x x L ensemble de définition de f est R +, qui n est ps stble pr f puisque f(0) / R +. En revnche, en posnt A = [4, + [, on peut remrquer que A est une prtie de l ensemble de définition de f stble pr f : en effet, f est croissnte sur R + et f(4) = 7 4 donc pour tout x A, on f(x) f(4) 4 donc f(x) A. Or 5 pprtient à A donc on peut montrer que v est bien définie. Dns toute l suite, A désigne une prtie de R, et f une ppliction définie (u moins) sur A et telle que f(a) A et un élément de A. 6.2 Recherche d une limite éventuelle Proposition Si l suite (u n ) n N converge vers un réel l et f est continue en l, lors f(l) = l. On dit que l est un point fixe de f. 141

142 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Remrque Cette proposition sert à déterminer les limites éventuelles de l suite (u n ) n N ou à montrer qu elle n dmet ps de limite. En ucun cs, elle ne permet de montrer que u une limite. Exemple Étudier l convergence de l suite (u n ) n N définie pr { u0 = 1 n N, u n+1 = u 2 n + 1 Étudier l convergence de l suite (u n ) n N définie pr { u0 = 1 n N, u n+1 = u 2 n Cs où f est croissnte sur A Proposition Si f est une fonction croissnte sur A : lors l suite u est monotone. Plus précisément : si u 0 u 1, lors u est croissnte ; si u 0 u 1, lors u est décroissnte. Montrons le premier point (le second est similire). Supposons f croissnte sur A et u 0 u 1. Alors, pour n N, notons P (n) l ssertion «u n u n+1». On u 0 u 1 donc on P (0). Soit n N, supposons P (n). Alors on u n u n+1. Or f est croissnte sur A, donc f(u n) f(u n+1), donc u n+1 u n+2, donc on P (n + 1). On donc, d près le principe de récurrence, n N u n u n+1. Remrque Vous n vez ps besoin de retenir cette proposition. En revnche, vous devez retenir l technique de démonstrtion pour être en mesure de l dpter à un cs concret. Exemple Étudier, pour = 0 et pour = 2, l suite u définie pr { u0 =, n N, u n+1 = 1 + u n. Exemple Étudier l suite u définie pr { u0 = 0, n N, u n+1 = u 2 n + 2u n + 1. L suite u dmet-elle une limite? lquelle? Exercice Montrer qu une fonction croissnte f : I I, où I est un segment, possède un point fixe. 6.4 Cs où f est décroissnte sur A Proposition Si f est une fonction décroissnte sur A, lors les suites (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N sont monotones et de sens contrire. Plus précisément : si u 0 u 2, lors (u 2n ) n N est croissnte et (u 2n+1 ) n N est décroissnte ; si u 0 u 2, lors (u 2n ) n N est décroissnte et (u 2n+1 ) n N est croissnte. Montrons le premier point (le second se montre de l même fçon). Supposons f décroissnte. Alors f f est croissnte. Supposons de plus u 0 u 2. Montrons lors que (u 2n) n N est croissnte et (u 2n+1) n N est décroissnte. En posnt v = (u 2n) n N, on n N, v n+1 = (f f)(v n) et v 0 v 1. Donc v est croissnte, d près l proposition On donc n N, u 2n u 2n+2. f étnt décroissnte, on en déduit n N, f(u 2n) f(u 2n+2). Donc n N, u 2n+1 u 2n+3. Remrque Même remrque que pour l proposition Exemple Étudier l suite u définie pr { u0 = 10, n N, u n+1 = 10 u n. 7 Suites à vleurs complexes Nous llons définir l notion de convergence de suites à vleurs complexes en s ppuynt sur les 142

143 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES convergences des suites (réelles) des prties réelles et imginires ssociées. On pourrit définir de mnière intrinsèque cette convergence, le lecteur intéressé se rpporter à l prtie??. Soit u C N une suite à vleurs complexes. Notons Re(u) l suite Re(u n ) n N, Im(u) l suite Im(u n ) n N et u l suite u n n N. Soit lors l un complexe. Remrque On rppelle que pour tout complexe z, on z Re(z) + Im(z) Re(z) z Im(z) z 2. Il n y ps de notion similire à + et sur C, donc ps de notion de limite infinie pour les suites à vleurs complexes (mis on peut regrder si u tend vers + ). 3. Les résultts usuels sur les suites à vleurs réelles s étendent nturellement ux suites à vleurs complexes... suf ceux qui font ppel à l ordre sur R vu qu il n y ps d ordre «risonnble» sur C. L proposition suivnte peut être utile. Proposition u l u n l + n + 2. En prticulier, pour tout n N : u n l Re(u n ) Re(l) + Im(u n ) Im(l) Re(u n ) Re(l) u n l Im(u n ) Im(l) u n l De l définition et de l inéglité tringulire : n N u n l u n l on déduit imméditement u n n + l, d où le résultt. Proposition On u n l n + 0 si et seulement si Re(u n ) n + Re(l) et Im(u n) n + Définition On dit que u converge vers l si u n l n + 0. Im(l). C est une conséquence directe de l remrque précédente. Remrque Cette définition étend l définition de l convergence pour les suites à vleurs réelles. Proposition Soit u, v deux suites complexes convergent respectivement vers l et l, soit λ, µ C. Alors λu + µv converge, vers λl + µl. Remrque L réciproque est évidemment fusse 2. Cette proposition permet notmment d ssurer que si u une limite l non nulle lors, à prtir d un certin rng, u est compris entre 1 2 l et 3 2 l. Définition On dit que u est bornée si son module l est. Remrque C est équivlent u fit que Re(u) et Im(u) soient bornées. 143

144 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Théorème (Bolzno-Weierstrss). De toute suite à vleurs complexes bornée, on peut extrire une sous-suite convergente. Démonstrtion (non exigible). Considérons une suite u à vleurs complexes bornées. Notons r et j respectivement les suites Re(u) et Im(u). r et j sont bornées et à vleurs réelles. D près le théorème de Bolzno-Weierstrss sur les suites à vleurs réelles, on peut donc extrire de chcune une sous-suite convergente. Pourtnt cel ne suffit ps à montrer le résultt. Pourquoi? Considérons ϕ une extrction de r telle que r ϕ converge. Alors j ϕ est bornée. On peut donc en trouver une extrction ψ telle que j ϕ ψ converge. r ϕ converge donc r ϕ ψ converge vers l même vleur. Or r ϕ ψ = Re(u ϕ ψ) et j ϕ ψ = Im(u ϕ ψ). Donc u ϕ ψ converge. 8 Premiers exemples de séries numériques Les séries numériques sont des cs prticuliers de suites, que nous étudierons en fin d nnée. Nous pouvons cependnt commencer à étudier quelques exemples significtifs. 8.1 Séries télescopiques. Soit (u n ) n N une suite à vleurs complexes. Proposition ( N ) Les suites (u n ) n N et (u n+1 u n ) ont même nture. n=0 N N Dns le cs de convergence, si u n l, lors n + N n=0 u n N + l u 0. Nous svons déjà que les suites (u n) n N et (u n+1) n N ont même nture. De plus l somme N (u n+1 u n) vut u N+1 u 0 pr n=0 sommtion télescopique. Elle est donc égle u terme u N+1, à une constnte près, et donc l même nture que l suite (u n+1) n N. Dns le cs de convergence, il reste à psser à l limite N dns l reltion (u n+1 u n) = u N+1 u 0. n=0 8.2 Séries géométriques. Soit z un nombre complexe, p un entier nturel. Proposition ( N ) L suite z n converge si et seulement si n=p N N z < 1. Le cs échént, N n=p z n N + z p 1 z. C est une conséquence directe de l formule de sommtion géométrique : N z n = zp 1 z zn+1 1 z n=p si z 1 et N + 1 p sinon. Il suffit donc de voir que si z 1, (z N+1 ) converge si et seulement si z < 1 et, dns le cs de convergence, converge vers 0. Le cs z 1 s obtient isément en considérnt le module. Le cs z = 1 est un exercice clssique et ser trité en TD. 9 Annexe : unifiction des notions de limites. On note R l ensemble R { +, }. Remrque Nous vons étudié trois types de limites différents : vers un point réel, vers + et vers. Vous vez remrqué que les définitions «nïves» de ces trois notions de limites ont une structure en commun. Afin d éviter des répétitions fstidieuses et de mettre en vnt les idées pertinentes, nous 144

145 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES sommes mmenés à développer un vocbulire permettnt de triter simultnément ces trois notions : c est le début de l topologie, qui fit intervenir l notion de voisinge. Il convient de bien svoir utiliser de mnière pertinent les deux visions, : dns les cs où l on sit si l limite étudiée est finie, vut + ou, on utiliser les définitions nïves des limites (propositions 2.1.8, et ) ; dns les utres cs, il peut être judicieux de risonner en termes de voisinges. 9.1 Voisinges Définition Soit un réel. Soit ε un réel strictement positif. (i) On ppelle boule ouverte de centre et de ryon ε, et on note B(, ε) l ensemble des réels situés à une distnce de strictement inférieure à ε : B(, ε) = { x R x < ε } = ] ε, + ε[ (ii) On ppelle boule fermée de centre et de ryon ε, et on note B f (, ε) l ensemble des réels situés à une distnce de inférieure ou égle à ε : B f (, ε) = { x R x ε } = [ ε, + ε] (iii) On ppelle voisinge de toute prtie de R contennt u moins une boule ouverte de centre. L ensemble des voisinges de est noté V(). { } V() = E P(R) ε R + B(, ε) E (iv) On ppelle voisinge de + toute prtie de R contennt u moins un intervlle de l forme ]A, + [, où A est un réel. L ensemble des voisinges de + est noté V(+ ). V(+ ) = { E A R ]A, + [ E } (v) On ppelle voisinge de toute prtie de R contennt u moins un intervlle de l forme ], A[, où A est un réel. L ensemble des voisinges de est noté V( ). V( ) = { E A R ], A[ E } Proposition Soit V R et R. Les conditions suivntes sont équivlentes : (i) V est un voisinge de (ii) V contient u moins un intervlle ouvert (non vide) contennt (iii) V contient u moins un intervlle fermé (non réduit à un point) contennt dont n est ps une extrémité. Simple, une fois que l on remrqué que si R et ε > 0, ( B, ε ) ( B f, ε ) B(, ε). 2 2 Définition Soit R et P un prédict sur les réels. On dit que P est vrie u voisinge de si l ensemble { x R P (x) } est un voisinge de. Exemple Soit f : R R. Trduire l expression «f est à vleurs positives u voisinge de» : 1. pour R? 2. pour = +? 3. pour =? Mêmes questions pour 1. «f est nulle u voisinge de» 2. «f est non-nulle u voisinge de» Au voisinge de quels points les fonctions 1 Z et 1 R\Z sont-elles nulles? 145

146 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES 9.2 Convergence de suite dns R Définition Soit u R N et l R. (i) On dit que u tend vers l, ou que u n tend vers l qund n tend vers + (noté u l ou + u n l), si, pour tout voisinge V de l, n + les vleurs prises pr u pprtiennent toutes à V à prtir d un certin rng. Autrement dit, si l on V V(l) n 0 N n N n n 0 u n V (ii) Si l R, on dit lors que u converge vers l. (iii) On dit que u converge ou est convergente si et seulement s il existe un réel vers lequel elle converge. (iv) On dit que l suite u diverge (ou est divergente) si et seulement si elle ne converge ps. Remrque Si u + l, on dit que l est une limite de u. Nous montrerons bientôt l unicité de cette limite. Remrque Une suite qui tend vers + (ou vers ) diverge. Proposition Soit u R N et l R. Alors u converge vers l si et seulement si ε R +, n 0 N, n N, n n 0 u n l ε. Si u tend vers l R, soit ε > 0. Alors B(l, ε) est un voisinge de l donc il existe un rng N N à prtir duquel toutes les vleurs de u sont dns ce voisinge : n N, u n l ε. Réciproquement, soit V un voisinge de l. Il existe donc ε > 0 tel que B(l, ε) V. Il existe lors un N N tel que n N, u n l ε. Soit n N, on donc u n B(l, ε) V, d où le résultt. Proposition Soit u R N. Alors on u n seulement si on n + + si et A R, n 0 N, n N, n n 0 u n A. À fire en exercice. Proposition Soit u R N. Alors on u n seulement si on n + si et A R, n 0 N, n N, n n 0 u n A. À fire en exercice. 9.3 Démonstrtions des résultts précédemment obtenus Les propriétés énoncées uprvnt peuvent mintennt se prouver plus rpidement! Lemme (Propriété de Husdorff). Soit l 1 et l 2 deux éléments distincts de R. Alors il existe V 1 et V 2 des voisinges respectifs de l 1 et l 2, tels que V 1 et V 2 soient disjoints. Supposons que l 1 et l 2 sont deux réels, lors il suffit de prendre pour V 1 et V 2 les boules de centre respectifs l 1 et l 2 et de ryon 1 l1 l2 3 Supposons l 1 = + et l 2 =. Alors, il suffit de prendre respectivement [1, + [ et ], 1]. Supposons l 1 R et l 2 = +. Alors, il suffit de prendre pour V 1 l boule de centre l 1 et de ryon 1, et pour V 2 l intervlle [l 1 + 2, + [. Le cs l 1 R, l 2 = est similire. On donc le résultt. Théorème (Unicité de l limite). Soit u une suite réelle. Alors si u dmet une limite, celle-ci est unique. 146

147 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Il suffit de démontrer que u ne peut dmettre deux limites distinctes. Pr l bsurde, supposons que u dmette deux limites l 1 et l 2 distinctes. D près le lemme précédent, on peut choisir des voisinges V 1 et V 2 respectivement de l 1 et l 2 qui soient disjoints. u ynt pour limite l 1 (resp. l 2), choisissons un rng n 1 (resp. n 2) tel que les termes de u pprtiennent à V 1 (resp. V 2) à prtir du rng n 1 (resp. n 2). Notons n 0 le plus grnd de ces deux rngs. Alors u n0 pprtient à l fois à V 1 et à V 2, ce qui est bsurde puisque V 1 V 2 =. Définition (Limite). Soit u R N. Lorsqu il existe un élément l de R vérifint u n l, on l ppelle l limite de u, n + et on le note lim + u ou lim n + u n. Il suffit de démontrer que u ne peut dmettre deux limites distinctes. Pr l bsurde, supposons que u dmette deux limites l 1 et l 2 distinctes. D près le lemme précédent, on peut choisir des voisinges V 1 et V 2 respectivement de l 1 et l 2 qui soient disjoints. u ynt pour limite l 1 (resp. l 2), choisissons un rng n 1 (resp. n 2) tel que les termes de u pprtiennent à V 1 (resp. V 2) à prtir du rng n 1 (resp. n 2). Notons n 0 le plus grnd de ces deux rngs. Alors u n0 pprtient à l fois à V 1 et à V 2, ce qui est bsurde puisque V 1 V 2 =. Théorème Soit u R N et l R. Si u + l lors toute suite extrite de u tend ussi vers l. Soit ϕ une extrctrice, soit V un voisinge de l. Il existe donc un rng n 0 N tel que, pour tout n n 0, u n V. Soit n n 0, on lors ϕ(n) n n 0 et donc u ϕ(n) V. si n N, u 2n+1 V. Ainsi, si n mx(2n, 2N + 1), on u n V (il suffit de distinguer selon l prité de N), d où le résultt. Proposition Soit u R N et (, b, l) R. Supposons u + l et < l < b. Alors à prtir d un certin rng, les vleurs de u sont comprises strictement entre et b. Autrement dit : n 0 N n N n n 0 < u n < b ], b[ est un voisinge de l. 9.4 Suites complexes Il est possible de définir l notion de limite d une suite complexe de l même mnière que pour les suites réelles, en utilisnt les voisinges. Ainsi, si l on définit ce qu est une boule ouverte dns C (ce qui été fit dns le chpitre sur les complexes), on dir qu un voisinge d un complexe l est toute prtie de C contennt une boule ouverte contennt l. L définition?? peut lors être répétée dns le cs d une suite complexe. Fisons le biln : dns l définition??, on chnge les vleurs bsolues en modules et on ne prle plus d intervlle, on exclut le cs des limites infinies qui n ont ps de sens dns C, et le reste est commun ux suites réelles et complexes. De mnière générle, dns tout ensemble sur lequel on peut construire une distnce on peut donner les définitions de boule ouverte, voisinge et limite d une suite de cette mnière. Théorème Soit u une suite à vleurs réelles et l R. Si on u 2n l et u 2n+1 l, n + n + lors u n l. n + Soit V un voisinge de l. Il existe donc deux rngs N et N tels que, pour tout entier nturel n, si n N, u 2n V ; 147

148 CHAPITRE X. SUITES RÉELLES ET COMPLEXES 148

149 Chpitre XI Groupes, nneux, corps 1 Lois de composition internes Définition Propriétés Structure de groupe Groupe Sous-groupe Morphismes de groupes Structure d nneu Structure de corps

150 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS On remrque que dns des domines priori distincts, des similitudes pprissent, notmment concernnt les structures. Pour voir une théorie générle, on définit des structures lgébriques bstrites, on en démontre les propriétés, puis on les pplique dns les exemples mthémtiques qui vérifient ces structures. Dns ce chpitre on s intéresse ux structures lgébriques de bse : groupes, nneux et corps. Plus trd on verr une structure fondmentle : celle d espce vectoriel. 1 Lois de composition internes Dns tout ce chpitre, E est un ensemble. 1.1 Définition Définition On ppelle loi de composition interne sur E (lci) toute ppliction de E E dns E. Cette définition déjà été vue, insi que des exemples, dns le chpitre I sur les complexes. Définition On ppelle mgm tout couple constitué d un ensemble et d une lci. Exemple (Z, ) est un mgm, mis ps (N, ), cr 4 N. Dns toute l suite, est une lci sur E. 1.2 Propriétés Définition Soit (E, ) un mgm. 1. On dit que E est ssocitif si pour tous x, y, z E, on : x (y z) = (x y) z. L élément x (y z) = (x y) z est lors noté x y z. 2. On dit que E est commuttif si pour tous x, y E, on : x y = y x. 3. Soit # une seconde lci sur E. On dit que dns E est distributive à guche pr rpport à # si pour tous x, y, z E, on : x (y#z) = (x y)#(x z). Exemple C, R, Q, Z, N vec + ou sont ssocitifs, mis ps (Z, ) cr 1 (2 3) (1 2) 3, ni (R 3, ). C, R, Q, Z, N vec + ou sont commuttifs, mis ps (Z, ) ni (R 3, ), ni (F (R, R), ). Sur C, R, Q, Z, N est distributive pr rpport à +, et sur P(E), et sont distributives l une pr rpport à l utre. Définition Soit e E. on dit que e est un élément neutre à guche (resp. à droite) pour si pour tout x E on e x = x (resp. x e = x). On dit que e est un élément neutre pour si c est un élément neutre à guche et à droite, i.e. pour tout x E, e x = x e = x. 2. Soit e un neutre pour et soit x E. On dit que x est inversible à guche (resp. à droite) s il existe un élément y E tel que y x = e (resp. x y = e). Un tel élément y s ppelle UN inverse à guche (resp. à droite) de x. On dit que x est inversible s il est inversible à guche et à droite, i.e. il existe y E tel que y x = x y = e. Dns ce cs y est UN inverse de x. Exemple est un élément neutre pour + dns R, C, Q, Z, N. 1 est un élément neutre pour dns R, C, Q. Id est un élément neutre pour dns F (E, E), et les bijections sont tous les éléments inversibles de cet ensemble. Pr contre (R 3, ) n ps de neutre. S il y vit un neutre u, on devrit voir u u = u, mis u u = 0, donc u = 0. Mis pour tout v 0, on u v = 0, et non u v = v. 150

151 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Être inversible d un seul côté ne suffit ps pour être inversible tout court : un exemple été vu dns le TD du chpitre sur les pplictions (ensemble des pplictions de N dns N muni de ). Remrque Un neutre est toujours inversible et est son propre inverse. Proposition Si dmet un neutre, lors ce neutre est unique Soient e et e deux neutres. 1 Alors e e = e et e e = e, donc e = e. Proposition On suppose l loi ssocitive, et dmettnt un neutre e. Si un élément est inversible, lors il un seul inverse. Soient y et y deux inverses 2 de x E. Alors y x = e et x y = e. Donc y (x y ) = y e = y et (y x) y = e y = y, d où y = y. Remrque On utilise souvent les nottions dditives et multiplictives. 1. On pourr remrquer que dns cette démonstrtion on utilise uniquement le fit que e est neutre à guche et e neutre à droite. Donc en fit tout neutre à guche est égl à tout neutre à droite, d où l on déduit d une prt que l existence d un neutre à guche et d un neutre à droite suffit à ssurer l existence d un neutre et d utre prt que ce neutre est lors le seul neutre à guche et le seul neutre à droite. Pour qu un élément it plusieurs neutres à guche, il est donc nécessire (mis ps suffisnt) qu il n it ucun neutre à droite et vice-vers. 2. On pourr remrquer que dns cette démonstrtion on utilise uniquement le fit que y est inverse à guche et y inverse à droite. Donc en fit tout inverse à guche est égl à tout inverse à droite, d où l on déduit d une prt que l existence d un inverse à guche et d un inverse à droite pour x suffit à ssurer l existence d un inverse et d utre prt que cet inverse est lors le seul inverse à guche et le seul inverse à droite de x. Pour qu un élément it plusieurs inverses à guche, il est donc nécessire qu il n it ucun inverse à droite et vice-vers En nottion dditive, est en générl notée +, x + x x se note nx, et si x est }{{} n fois inversible, son inverse se note x. On l ppelle lors plutôt l opposé de x. De même, on noter le neutre d une telle structure 0, ou 0 E. En nottion multiplictive, est en générl remplcée pr (et ce symbole est même souvent omis), x x... x }{{} n fois se note x n et si x est inversible, son inverse se note x 1. De même, on noter le neutre d une telle structure 1, ou 1 E. Pour éviter toute erreur, on essier u mximum de n utiliser l nottion dditive que pour des lois qui ont les mêmes propriétés que l loi + sur R. Pr exemple, noter + une lci non commuttive peut-être déroutnt, insi que pour une lci pour lquelle tous les éléments ne sont ps inversibles. L nottion + est en générl réservée à des lci commuttives et pour lesquelles les éléments sont tous inversibles.. Ce n est ps le cs pour l nottion multiplictive, qui est l plus courmment utilisée pour des lois ssocitives, mis sns plus. Pr exemple il est fréquent d utiliser même pour une lci non commuttive et pour lquelle les éléments ne sont ps tous inversibles. Donc fites ttention, pr défut on ur xy yx, et x 1 n exister ps forcément! Dns toute l suite, on dopter l nottion multiplictive, et on suppose que E un neutre noté 1. Proposition On suppose l loi ssocitive. Soient x, y, z E. (i) Simplifiction pr un inversible : si x est inversible, lors x y = x z y = z. (ii) Inverse d un produit : si x et y sont inversibles lors x y l est ussi et (x y) 1 = y 1 x 1. Attention : l inverse de x y n ucune rison d être x 1 y

152 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS (iii) Puissnces négtives : si x est inversible, on pose pour n N, x n = (x 1 ) n. Alors x n = (x n ) 1. (iv) Inverse d un inverse : si x est inversible, x 1 l est ussi et (x 1 ) 1 = x. (iii) Pr récurrence. Vri si n = 0 ou 1. Si vri pour n, lors x n+1 x n 1 = x n x x 1 x n = x n e x n = x n x n = e. (iv) Vri pr unicité de l inverse. Définition Soit (E, ) un mgm et F une prtie de E. On dit que F est une prtie stble (de E pr ) si pour tous x, y F, x y F. Exemple { 1, 1} est une prtie stble de (R, ), mis ps { 2, 2}. 2 Structure de groupe 2.1 Groupe Exemple En spé, vous mnipulerez le groupe (Z/nZ, +), que l on peut voir comme «l ensemble des congruences modulo n», vec n N. Définition Soit X un ensemble non vide. On ppelle groupe des permuttions de X l ensemble des bijections de X dns X. Comme son nom l indique, c est un groupe, si on le munit de l loi de composition. On le note S X (on trouver prfois l nottion S(X)). L ppliction identité, Id : X X, x x, est évidemment une bijection de X, donc S X est non vide. On sit déjà que l composée de deux bijections est une bijection, donc est une lci sur S X. Il est évident que Id en est le neutre. On sit églement que cette loi est ssocitive, et que l réciproque d une bijection est encore une bijection. Cel ssure que (S X, ) est un groupe. 2.2 Sous-groupe Dns toute l suite, (G, ) est un groupe de neutre e. On dopte l nottion multiplictive. Définition On ppelle groupe tout mgm ssocitif, ynt un neutre, et dont tout élément est inversible. Si un groupe est commuttif (ce qui signifie en fit que s loi est commuttive), il est dit bélien. Pr défut on utilise l nottion multiplictive pour un groupe, suf pour les groupes béliens pour lesquels on utilise l nottion dditive. Exemple C, R, Q, Z sont des groupes vec l loi +, mis ps vec l loi. Pour n N, C n, R n, Q n, Z n sont des groupes vec l loi +. C\ {0}, R\ {0}, Q\ {0}, sont des groupes vec l loi. N n est un groupe ni vec l loi + ni vec l loi. Définition On ppelle sous-groupe de G tout ensemble H vérifint les propriétés suivntes : (i) H G ; (ii) e H ; (iii) Stbilité pr produit : x, y H, x y H ; (iv) Stbilité pr pssge à l inverse : x H, on x 1 H. En vertu des points (ii) et (iii), le premier point peut être remplcé pr H. Exemple Sont des sous-groupes : {e} et G dns (G, ). U dns (C, ). nz dns (Z, +). H = {f S R f(0) = 0} dns (S R, ). 152

153 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Proposition Un ensemble H est un sous groupe de G si et seulement si H est un sous-ensemble non vide de G et pour tout (x, y) H 2, on x 1 y H. Montrons l impliction et s réciproque : Supposons que H est un sous-groupe de G. Alors H contient e et n est donc ps vide. De plus, soit (x, y) H. H étnt stble pr pssge à l inverse, on lors x 1 H et pr stbilité pr produit, on donc x 1 y H. Réciproquement, supposons que H est non vide et que pour tout (x, y) H 2, on x 1 y H. Montrons que H possède les trois propriétés énumérées dns s définition : (i) H étnt non vide, il possède u moins un élément x 0. On lors e = x 1 0 x0 H. (iii) Soit x H. On lors (x, e) H 2, donc x 1 e H. (ii) Soit (x, y) H. D près ce qui précède, on lors x 1 H, donc (x 1, y) H 2, donc x y = ( x 1) 1 y H. Remrque On obtient une proposition vrie églement en remplçnt ci-dessus l condition x 1 y H pr xy 1 H. Théorème Un sous-groupe muni de l loi induite du groupe est lui-même un groupe. Soit (G, ) un groupe de neutre e et H un sous-groupe de G. 1. Montrons qu on peut restreindre : G G G u déprt à H H et à l rrivée à H. On ppeller lors loi induite pr sur H cette restriction de. On H H G G, donc l restriction u déprt est légitime, pour effectuer l restriction à l rrivée, il suffit de montrer que pour tout (x, y) H 2, on x y H, c est-à-dire que H est stble pr. Or H est un sous-groupe de G donc c est évident. 2. H muni de l loi induite pr est un mgm ssocitif. En effet (G, ) est un mgm ssocitif, on donc (x, y, z) G 3 (x y) z = x (y z) Or H G donc (x, y, z) H 3 (x y) z = x (y z) Donc l restriction de à H est ssocitive, d où le résultt. 3. e est neutre pour l loi induite pr sur H. En effet, e est le neutre de, donc D où le résultt. x G e x = x e = x 4. Tout élément de H dmet un inverse pour l loi induite pr. En effet tout élément x de H dmet un inverse x 1 dns G pour l loi et pr stbilité de l inverse sur le sous-groupe H, on x 1 H. Donc tout élément de H dmet un inverse dns H pour l loi induite pr. 5. On déduit des points précédents que H muni de l loi induite pr est un groupe. Remrque Il est plus fcile de montrer qu un ensemble est un sous-groupe que de montrer que c est un groupe (ps besoin de redémontrer l ssocitivité, etc.). Pr exemple (U, ) est un groupe, vu comme sousgroupe de (C, ). À chque fois que l on essier de montrer qu un ensemble est muni d une structure de groupe, on tenter de le voir comme un sous-groupe d un groupe bien connu. Remrque L réciproque de ce théorème est églement vrie (bien que moins utilisée) : si H est un sousensemble de G tel que, muni de l loi induite pr celle de G, H soit un groupe, lors H est un sous-groupe de G. Exemple Si n N, U n est un sous-groupe de (U, ), donc (U n, ) est un groupe. 2.3 Morphismes de groupes Cette prtie est officiellement hors-progrmme. Nous l incluons cependnt dns ce cours cr ces résultts doivent de toute fçon être connus pour le chpitre d lgèbre linéire. 153

154 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Définition Soient (G, ) et (G, #) deux groupes et ϕ : G G. 1. On dit que ϕ est un morphisme du groupe (G, ) dns le groupe (G, #) ou, pr bus de lngge, un morphisme du groupe G dns le groupe G, si pour tous x, y G, ϕ(x y) = ϕ(x)#ϕ(y). 2. Tout morphisme d un groupe dns lui-même est ppelé endomorphisme. 3. Tout morphisme de G dns G qui est une bijection est ppelé isomorphisme de G sur G. Dns ce cs on dit que G et G sont isomorphes. Un morphisme qui est à l fois un isomorphisme et un endomorphisme est ppelé utomorphisme. Remrque «Morphisme» signifie «forme» en grec. Avec l même définition, on peut définir un morphisme de mgms. Dns l suite, «morphisme» sous-entendr toujours «morphisme de groupes». Exemple (Z, +) (Z, +), est un morphisme, mis x 2x ps un isomorphisme. (C, ) (R, ), est un morphisme, mis z z ps un isomorphisme. (R, +) (C, ), est un morphisme, mis x e ix ps un isomorphisme. (R, +) (R +, ) est un isomorphisme de x e x réciproque ln, qui est ussi un isomorphisme. Exemple On déjà mnipulé les morphismes suivnts, lors des chpitres précédents. Si n N, (C, ) (C, ). z z n Si n N et 1,..., n K n, l ppliction (K n, +) (K, +). (x 1,..., x n ) 1 x n x n Si I est un intervlle de R, si : I K est continue, l ppliction (D(I, K), +) (C (I, K), +). f f + f Si, b Z, l ppliction (Z 2, +) (Z, +). (x, y) x + by Si C, l ppliction (K N, +) (K N, +). u (u n+1 u n ) n N Dns toute l suite, (G, ) et (G, #) sont deux groupes de neutres e et e, on dopte une nottion muliplictive, et ϕ : G G est un morphisme. Théorème Soit ϕ un morphisme de G sur G, on, e et e désignnt les neutres de G et G : 1. ϕ(e) = e ; 2. x G ϕ(x 1 ) = (ϕ(x)) On ϕ(e)#ϕ(e) = ϕ(e e) = ϕ(e) = ϕ(e)#e, donc en simplifint pr ϕ(e), on en déduit ϕ(e) = e. 2. Soit x G. Alors ϕ(x 1 )ϕ(x) = ϕ(x 1 x) = ϕ(e) = e. Corollire Sous les mêmes hypothèses, on x G k Z ϕ(x k ) = ϕ(x) k Soit x G. D près le théorème ci-dessus, on ϕ(x 0 ) = ϕ(e) = e = ϕ(x) 0 On peut lors démontrer pr récurrence que pour tout n N, on ϕ(x n ) = ϕ(x) n (l hérédité résulte directement de l définition de morphisme). D près le théorème ci-dessus, pour tout n N, ϕ(x n ) = ϕ(x n ) 1, d où ϕ(x n ) = ϕ(x) n. On en déduit le résultt. 154

155 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Exemple C R est un morphisme z z de (C, ) dns (R, ), donc pour tout z C, on 1 z = 1 z 2. exp est un morphisme de (C, +) dns (C, ), donc pour tout z C, e z = 1 e z 3. ln est un morphisme de (R +, ) dns (R, +), donc pour tout x R +, on ln(1/x) = ln x. Remrque On peut dpter le théorème dns le cs où on sit seulement que (G, ) est un groupe, G est un ensemble muni d une loi de composition interne # et où ϕ est une ppliction G G vérifint (x, y) G 2 ϕ(x y) = ϕ(x)#ϕ(y). Dns ce cs, on ne peut ps déduire que (G, #) est un groupe mis seulement que (ϕ(g), #) est un groupe. Voir ussi le théorème disnt que «l imge d un sousgroupe pr un morphisme est un sous-groupe». Théorème (i) L composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupe. Plus précisément, soit (G 1, 1 ), (G 2, 2 ) et (G 3, 3 ) trois groupes, ϕ un morphisme de G 1 dns G 2 et ψ un morphisme de G 2 dns G 3. Alors ψ ϕ est un morphisme de G 1 dns G 3. (ii) L fonction réciproque d un isomorphisme (en tnt qu ppliction bijective) est un isomorphisme. Plus précisément, soit (G 1, 1 ) et (G 2, 2 ) deux groupes et ϕ un isomorphisme de G 1 sur G 2. Alors ϕ 1 est un isomorphisme de G 2 sur G 1. Les démonstrtions pour montrer qu une ppliction est un morphisme ont TOUJOURS l même structure. 1. ψ ϕ est clirement une ppliction de G 1 dns G 3. Soit (x, y) G 2 1, montrons qu on ψ ϕ(x 1 y) = (ψ ϕ)(x) 3 (ψ ϕ)(y). ϕ est un morphisme de groupes donc on ϕ(x 1 y) = ϕ(x) 2 ϕ(y). Or ψ est un morphisme de groupes donc on ψ(ϕ(x) 2 ϕ(y)) = (ψ(ϕ(x)) 3 ψ(ϕ(y)). D où (ψ ϕ)(x 1 y) = (ψ ϕ)(x) 3 (ψ ϕ)(y). 2. ϕ 1 est évidemment une bijection de G 2 sur G 1. Il suffit donc de montrer que ϕ 1 est un morphisme de G 2 dns G 1. Soit (x, y) 2 G 2. Montrons ϕ 1 (x 2 y) = ϕ 1 (x) 1 ϕ 1 (y). On d une prt ϕ(ϕ 1 (x 2y)) = x 2y et d utre prt, comme ϕ est un morphisme, ϕ(ϕ 1 (x) 1 ϕ 1 (y)) = ϕ(ϕ 1 (x)) 2 ϕ(ϕ 1 )(y), d où ϕ(ϕ 1 (x 2 y)) = ϕ(ϕ 1 (x) 1 ϕ 1 (y)). Or ϕ est injective donc ϕ 1 (x 2 y) = ϕ 1 (x) 1 ϕ 1 (y). Donc ϕ 1 est un morphisme, donc un isomorphisme. Remrque L ensemble des utomorphismes d un groupe G est donc un sous-groupe de (S G, ). Exemple On vu que exp et ln sont des isomorphismes réciproques. Théorème (i) L imge d un sousgroupe pr un morphisme de groupes est un sous-groupe. (ii) L imge réciproque d un sous-groupe pr un morphisme est un sous-groupe. Les démonstrtions pour montrer qu un ensemble est un sous-groupe ont TOUJOURS l même structure. (i) Soient (G, ) et (G, #) deux groupes de neutres respectifs e et e, et ϕ : G G un morphisme de groupes. Soit H un sous-groupe de G. Montrons que ϕ(h) est un sous-groupe de G. 1. On évidemment ϕ(h) G et de plus e H et e = ϕ(e) ϕ(h). 2. Soit x, y ϕ(h). Alors x possède un ntécédent x H et y un ntécédent y H pr ϕ. On lors successivement x#y 1 = ϕ(x )#ϕ(y ) 1 Donc x#y 1 ϕ(h). pr définition de x et y = ϕ(x )#ϕ(y 1 ) cr ϕ est un morphisme = ϕ(x y 1 ) cr ϕ est un morphisme 155

156 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS ϕ(h) est donc un sous-groupe de G. (ii) Grdons les même nottions que dns le premier point, et notons H un sous-groupe de G. 1. On évidemment ϕ 1 (H ) G et de plus e H et e = ϕ(e) H donc e ϕ 1 (H ). 2. Soit x, y ϕ 1 (H ). Alors ϕ(x), ϕ(y) H et donc ϕ(x y 1 ) = ϕ(x)#(ϕ(y)) 1 H donc x y 1 ϕ 1 (H ). ϕ 1 (H ) est donc un sous-groupe de G. Remrque On complète l remrque?? comme suit : lorsque l on veut montrer qu un ensemble est muni d une structure de groupe, on commence toujours pr essyer de l identifier comme imge réciproque (ou directe) d un sous-groupe d un groupe bien connu pr un morphisme. Définition (i) On ppelle noyu de ϕ, noté Ker ϕ, l imge réciproque de { e } pr ϕ, utrement dit l ensemble des ntécédents de e pr ϕ : Ker ϕ = { x G ϕ(x) = e }. (ii) On ppelle imge de ϕ notée Im ϕ, l imge directe de G pr ϕ. Autrement dit Im ϕ = { ϕ(x) x G }. Exemple Déterminer les imges et noyux des exemples de Théorème Les noyux et les imges sont des sous-groupes respectivement de G et G. Ceci découle directement du théorème Nénmoins, redémontrons-le dns le cs prticulier du noyu : Montrons que Ker ϕ est un sous-groupe de G : 1. On évidemment Ker ϕ G et de plus ϕ(e) = e donc Ker ϕ est un sous-ensemble non vide de G. 2. Soit x, y Ker ϕ. Alors on successivement Donc x y 1 Ker ϕ. ϕ(x y 1 ) = ϕ(x)#ϕ(y) 1 = e #e 1 = e Donc Ker ϕ est un sous-groupe de G. Exemple Constttion vec les Im et Ker tirés des exemples de Remrque On complète l remrque?? comme suit : lorsque l on veut montrer qu un ensemble est muni d une structure de groupe, on commence toujours pr essyer de l identifier comme noyu ou imge d un morphisme. Exemple U est le noyu du morphisme «module», de (C, ) dns (R, ). L proposition suivnte est primordile. Proposition Soit ϕ : G G un morphisme de groupes, soit x, y G. Alors ϕ(x) = ϕ(y) si et seulement si xy 1 Ker ϕ. ϕ(x) = ϕ(y) si et seulement si ϕ(x)ϕ(y) 1 = 1 G si et seulement si ϕ(xy 1 ) = 1 G. Remrque Avec les mêmes nottions, si on G et y G vérifint y = ϕ(), l ensemble des solutions sur G de l éqution y = ϕ(x) est { x x Ker(ϕ) }. Exemple Reprendre les exemples exposés en??. On retrouve insi l structure des rcines n es d un nombre complexe, l structure des solutions d un système linéire, l structure des solutions d une éqution différentielle linéire, les solutions d une reltion de Bézout et l structure des suites vérifint une reltion de récurrence rithméticogéométrique. Théorème (i) ϕ injectif si et seulement si Ker ϕ = {e}. (ii) ϕ surjectif si et seulement si Im ϕ = G. (ii) Rien de nouveu. 156

157 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS (i) On montre l impliction et s réciproque : Supposons ϕ injectif. Alors e u plus un ntécédent pr ϕ. Or ϕ(e) = e donc il en u moins un : e. Donc Ker ϕ = { e }. Réciproquement, supposons Ker ϕ = { e } et montrons que ϕ est injectif. Soit (x, y) G 2 vérifint ϕ(x) = ϕ(y). Alors on succesivement ϕ(x y 1 ) = ϕ(x)#ϕ(y) 1 = ϕ(x)#ϕ(x) 1 = e cr ϕ est un morphisme Donc x y 1 Ker ϕ, donc x y 1 = e, donc x = y. Remrque Pour montrer qu un morphisme est injectif, on utiliser TOUJOURS le noyu et JAMAIS (ou presque) l méthode clssique pour des fonctions quelconques : c est beucoup plus rpide! Exemple Reprendre les exemples de exp et ln, insi que les morphismes vus en??. 3 Structure d nneu Définition On ppelle nneu tout triplet (A, +, ) constitué d un ensemble A et de deux lois internes sur A, une loi + ppelée ddition et une loi ppelée multipliction, vérifint : 1. (A, +) est un groupe bélien dont l élément neutre est noté 0 (ou 0 A si mbiguïté) ; 2. (A, ) est un mgm ssocitif possédnt un neutre noté 1 (ou 1 A si mbiguïté) ; 3. L multipliction est distributive pr rpport à l ddition. Si l loi est commuttive, on dit que l nneu A est commuttif. Exemple C, R, Q, Z et F (R, R) vec + et sont des nneux. (R 3, +, ) et (F (R, R), +, ) n en sont ps. (Z/nZ, +, ) en est un. (M n (R), +, ) est un nneu. On note L (R 2 ) l ensemble des endomorphismes de R 2. Alors (L (R 2 ), +, ) est un nneu. Remrque Qund il n y ps d mbiguïté, on dit juste que A est un nneu sns préciser les lois. Pour l multipliction, on utilise les mêmes rccourcis de nottion que dns R (omission du, etc). Tous les éléments de A ne sont ps inversibles pour. Les éléments inversibles sont prfois ppelés éléments unités de A et leur ensemble est noté U(A), A, A, voire E(A) (Einheit). Avec cette nottion, A n est ps nécessirement A \ { 0 }. Théorème (Règles de clcul dns un nneu). Soit A un nneu,, b A et n Z = 0 = ( b) = ( ) b = ( b). Cs prticuliers : ( )( b) = b, ( ) 2 = 2, ( 1) 2 = n(b) = (n)b = (nb). 1. Il suffit de remrquer 0+ 0 = (0 + 0) = 0 et de simplifier pr 0 (ce qui est légitime cr il est inversible pour l loi +). 2. On successivement : b + ( ) b = ( ) b = 0 b pr distributivité = 0 d près (1) Donc ( ) b est l opposé de b, donc ( ) b = ( b). On montre de même ( b) = ( b). 3. Cs où n N : On peut s en convincre pr récurrence. Le cs n = 0 se déduit du (1), l hérédité se montre pr ppliction de l distributivité. 157

158 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Cs où n < 0 : lors n N, et on n( b) =( n)( ( b)) pr définition de l multipliction pr un entier =( n)(( )b) d près 2 =(( n)( ))b d près le cs précédent L utre églité se démontre de l même fçon. Remrque On voit insi que l nneu A possède u moins deux éléments, 1 A 0 A et donc que 0 A n est ps inversible. Exercice Étnt donné un nneu (A, +, ), l nottion n peut désigner d une prt le produit dns A de n pr si n et sont deux éléments de A, d utre prt si A et n Z, l vleur où est répété n fois dns le cs où n 0 et l opposé de où est répété n fois si n < 0. Dns le cs où A et Z sont disjoints, cette mbiguïté n est évidemment ps gênnte si on sit uquel des deux ensembles A et n pprtient. Dns le cs contrire, cette mbiguïté n est ps gênnte non plus. Pourquoi? Théorème Soient n N, (A, +, ) un nneu et, b A tels que et b commutent (i.e. b = b ). Alors : (i) Formule du binôme de Newton : ( + b) n = k=0 ( ) n k b n k. k n 1 (ii) n b n = ( b) k b n k 1. k=0 On remrque d bord que si, b commutent, lors toutes les puissnces de et de b commutent (le fire pr récurrence). Recopier l démonstrtion concernnt des complexes ou des mtrices crrées, à nouveu en étnt conscient de l importnce de l hypothèse et b commutent. Proposition (Groupe des inversibles). Soit (A, +, ) un nneu. Alors (A, ) est un groupe, utrement dit l ensemble des éléments inversibles de A, muni de (l loi induite pr) l multipliction de A est un groupe. Remrquons tout d bord que induit une lci sur A. Soit x et y deux éléments de A. x et y sont donc deux éléments inversibles du mgm (A, ) donc, d près l proposition 1.2.9, x y est inversible. étnt une loi ssocitive sur A, elle l est ussi sur A. 1 A est inversible cr 1 A 1 A = 1 A. Donc 1 A A. De plus 1 A est élément neutre pour l multipliction sur A, donc est élément neutre pour l multipliction sur A. Pour tout x A, x possède un inverse y dns A. On remrque imméditement que y est lui-même inversible (d inverse x), donc y A. Tout élément du mgm (A, ) est donc inversible dns A. (A, ) est donc un groupe, de neutre 1 A. Exemple Quel est le groupe des inversibles des nneux (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) et (C, +, )? Définition On ppelle nneu nul tout nneu ({0}, +, ) (0 est lors le neutre pour les deux lois!). 2. Dns un nneu A, on ppelle diviseur de 0 tout élément non nul, tel qu il existe b non nul vérifint b = 0 A ou b = 0 A. 3. On ppelle nneu intègre tout nneu commuttif non nul ne possédnt ucun diviseur de 0, c est-à-dire vérifint (, b) A 2 b = 0 ( = 0 ou b = 0) Remrque Pour tout nneu A, on 0 A = 1 A si et seulement si A est un nneu nul. En effet, supposons 0 A = 1 A, lors pour tout x A, on x = 1 A x = 0 A x = 0 A, donc tout élément de A est nul, donc A est l nneu nul. Réciproquement si A est un nneu nul, tous les éléments de A sont égux (puisqu il n y en qu un!) donc 0 A = 1 A. 158

159 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Remrque Un élément inversible n est jmis un diviseur de 0. En effet, pour tout b vérifint b = 0, on nécessirement 1 b = 0, donc b = 0. Exemple Les nneux usuels C, R, Q, Z sont intègres. (F (R, R), +, ) n est ps intègre : ex : considérer f, g : R R, f(x) = 0 si x 0 et g(x) = 0 si x 1. Z/6Z n est ps intègre : 2 3 = 0. De mnière générle, Z/nZ n est ps intègre qund n est composé. (M (R 2 ), +, ) n est ps intègre. Pr exemple vec f(x, y) = (x, 0) et g(x, y) = (0, y) nous vons f g = 0. M n (K) n est ps intègre non plus, comme nous l vons déjà vu en début d nnée. Remrque Attention donc ux simplifictions de produits dns les nneux : si l nneu est intègre, tout fonctionne comme dns R : b = c (b c) = 0 ( = 0 ou b = c). Sinon, on sit qu on peut simplifier pr des éléments inversibles mis on du ml à en dire plus (qund un élément est non-inversible, il se peut qu il soit simplifible ou non 3 ). (ii) Si K est un corps, on K = K\{0} (qui est un groupe pour l loi induite pr ). (i) Soit (K, +, ) un corps. Soit (, b) K 2 vérifint b = 0. Supposons que est nonnul. Alors est inversible donc 1 b = 1 0, donc b = 0. On donc = 0 ou b = 0. (ii) Tout élément non-nul est inversible pour d près l définition, d où K = K \ { 0 } et on sit d près l proposition que (K, ) est un groupe. Remrque Un corps est un nneu qui est intègre, pr contre un nneu intègre n est ps forcément un corps! Trouvez un exemple... 4 Structure de corps Définition On ppelle corps tout nneu commuttif non nul dns lequel tout élément non nul est inversible pour. Exemple C, R et Q sont des corps. N et Z n en sont ps. Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier. Proposition (i) Un corps est intègre. 3. Regrder l ensemble des suites à vleurs entières muni de l ddition et de l multipliction terme à terme 159

160 CHAPITRE XI. GROUPES, ANNEAUX, CORPS 160

161 Chpitre XII Limite d une fonction 1 Préliminires Définitions de l limite d une fonction Limite en un point Limites à guche et à droite en un point Propriétés des limites de fonctions Opértions sur les limites Pssge à l limite et reltions d ordre Théorèmes d existence Théorèmes des gendrmes et de minortion/mjortion Théorème de l limite monotone Cs des fonctions à vleurs complexes. 157

162 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION Dns tout ce chpitre, suf mention expresse du contrire, I et J sont des intervlles de R, et f : I R. 1 Préliminires Comme pour l notion de limite d une suite, nous llons définir l notion de limite de fonction de mnière nïve. Cel v nous mmener à répéter de nombreuses fois certins énoncés. Vous unifierez cel en spé, vec l notion de voisinge. Nous nous permettons cependnt de définir quelques rccourcis de lngges qui simplifieront les énoncés. Définition On dit qu une propriété est vrie u voisinge d un point R s il existe un intervlle ouvert contennt sur lequel l propriété est vérifiée. On dit qu une propriété est vrie u voisinge de + (resp. de ) s il existe un intervlle de l forme [A, + [ (resp. ], A]) sur lequel l propriété est vérifiée. Remrque On pourrit (voire même devrit) donner ces définitions vec des intervlles ouvert : c est équivlent. Exemple L fonction sinus est strictement positive u voisinge de π/2. L fonction Arctn est supérieure à π/4 u voisinge de +. Remrque Si R, si P est un prédict portnt sur les réels, P est vri u voisinge de si et seulement si ε > 0, t [ ε, + ε], P (t). Si P n est défini que sur un ensemble I R, l définition?? doit lors être modifiée en remplçnt tous les intervlles pr leurs intersections vec I, i.e ε > 0, t I [ ε, + ε], P (t), ou encore ε > 0, t I, t [ ε, + ε] P (t), On les mêmes écritures u voisinge de ±. Exemple Si on s intéresse à l propriété «1 x 2 1 0», celleci n de sens que sur D = R. Dire que «1 x u voisinge de 0» signifie qu il existe ε > 0 tel que t [ ε, ε] R, t2 Proposition Si P et Q sont vries u voisinge de, lors «P et Q» est vrie u voisinge de. Montrons le dns le cs R (les utres sont lissés u lecteur). Soit α, β > 0 tels que, pour tout x R : si x α, lors P (x) ; si x β, lors Q(x). Alors, vec γ = min(α, β) > 0, pour tout x R, si x γ, on bien simultnément x α et x β, donc P (x) et Q(x) sont vries. Remrque Dire qu une propriété est vrie u voisinge de est vgue cr on ne précise ps sur quel ensemble elle est vrie mis très prtique cr on ne précise ps sur quel ensemble elle est vrie! C est l exct nlogue du «à prtir d un certin rng» utilisé sur les suites. Remrque Qund on prle de plusieurs propriétés vries «u voisinge d un point», il fut bien comprendre que tous ces «voisinges» ne sont ps nécessirement les mêmes. Pr exemple, pour tout ε > 0, l propriété «x ε» est vrie pour x u voisinge de 0 mis le «voisinge» en question dépend de ε (il s git de [ ε, ε]). On peut remrquer d illeurs que, bien que pour tout ε > 0, l propriété «x ε» soit vrie pour x u voisinge de 0, il est fux d ffirmer que l propriété «pour tout ε > 0, x ε» est vrie 162

163 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION pour x u voisinge de 0 (elle n est vrie qu en 0). On v s intéresser dns l suite à l notion de limite de fonction. Étnt donné une prtie E de R, une fonction f définie sur E et R, sns même connître f, il est intuitivement clir que l notion de limite de f n ps de sens dns certins cs. Pr exemple si E = R, se questionner sur l limite de f en + ou en 1 n ucun sens. L définition ci-dessous v nous permettre, étnt donné E, de définir précisément en quels points chercher si f dmet une limite un sens. Cet ensemble de points est ppelé l dhérence de E. Exercice Pour les ensembles E suivnts, quelles sont les vleurs sur lesquelles chercher si f dmet une limite un sens? 1. R 2. [0, + [ 3. ]0, + [ 4. ]π, 42[ 5. ]π, 42] 6. R 7. ], 7] ]6, 42] 8. {0} nombre fini d intervlles disjoints est l union de leurs dhérences (resp. leurs intérieurs). Remrque E est dense dns R si et seulement si E = R. Définition Soit I un intervlle de l forme (, b), vec, b R, tels que b, et où les symboles ( et ) peuvent prendre l vleurs [ ou ]. 1. On ppelle intérieur de I, noté Int(I) ou I, l intervlle ], b[, c est-à-dire I privé de ses extrémités. C est le plus grnd intervlle ouvert contenu dns I. 2. On ppelle fermeture ou dhérence de I, noté I, l intervlle [, b], c est-à-dire I ugmenté de ses extrémités. C est le plus petit intervlle fermé de R contennt I. Définition Soit I un intervlle de R, soit R. Si I, on dit que dhère à I. Définition (HP ser vu en MP). Soit E un sous-ensemble de R. 1. On ppelle intérieur de E et l on note E l ensemble des x R tels que E soit un voisinge de x, c est-à-dire l ensemble des x pprtennt à E tels que E contienne un intervlle ouvert centré en x. 2. On ppelle dhérence de E et l on note E l ensemble des éléments de R limites de suites d éléments de E. 3. On ppelle frontière de E l ensemble E \ E Exercice Vérifier que pour les exemples de l exercice , cette définition donne bien l même chose. En prtique, on pourr essentiellement se contenter de l définition suivnte, en se rppelnt que l dhérence (resp. l intérieur) de l union d un 2 Définitions de l limite d une fonction Comme pour les suites, nous llons donner différentes définitions nïves de limites de fonctions : on peut considérer l limite d une fonction en un point réel, en + et en ; on peut considérer une limite réelle ou infinie. On trite donc séprément neuf cs différents. L notion topologique de voisinge, que vous verrez l nnée prochine, permet d unifier tout cel en un seul vocbulire : quel gin en efficcité et en élégnce! 2.1 Limite en un point Définition (Limite en un point réel). Soit I R, soit l R. 163

164 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION On dit que f tend vers l en et l on note f ou f(x) l si x ε > 0, α > 0, x I, x α f(x) l ε. On dit que f tend vers + en et l on note f + ou f(x) + si x A R, α > 0, x I, x α f(x) A. On dit que f tend vers en et l on note f ou f(x) si x A R, α > 0, x I, x α f(x) A. Remrque On préférer prfois écrire x α sous l forme x [ α, + α]. Le bloc x I, x α [...] s écrit lors x I [ α, + α], [...]. On remrquer l structure commune : [...], α > 0, x I, x α f(x) [...]. Définition (Limite en + ). Supposons que sup I = +, soit l R. On dit que f tend vers l en + et l on note f l ou f(x) l si + x + ε > 0, B R, x I, x B f(x) l ε. On dit que f tend vers + en + et l on note f + ou f(x) + si + x + A R, B R, x I, x B f(x) A. On dit que f tend vers en + et l on note f ou f(x) si x A R, B R, x I, x B f(x) A. Remrque On préférer prfois écrire x B sous l forme x [B, + [. l Le bloc x I, x B [...] s écrit lors x I [B, + [, [...]. On remrquer l structure commune : [...], B R, x I, x B f(x) [...]. Définition (Limite en ). Supposons que inf I =, soit l R. On dit que f tend vers l en et l on note f l ou f(x) x l si ε > 0, B R, x I, x B f(x) l ε. On dit que f tend vers + en et l on note f + ou f(x) + si x A R, B R, x I, x B f(x) A. On dit que f tend vers en et l on note f ou f(x) si x A R, B R, x I, x B f(x) A. Remrque On préférer prfois écrire x B sous l forme x ], B]. Le bloc x I, x B [...] s écrit lors x I ], B], [...]. On remrquer l structure commune : [...], B R, x I, x B f(x) [...]. Remrque On peut ussi remrquer que les trois définitions de «f tend vers l R» ont en commun l structure suivnte. ε > 0, [...], x I, x [...] f(x) l ε Exercice Dégger l structure commune des trois définitions de «f tend vers +». Fire de même pour. Remrque Comme dns le cs des suites, on obtient des propositions équivlents en remplçnt les inéglités 164

165 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION lrges (ou certines d entre elles) pr des inéglités strictes. En revnche, ttention ux inéglités ε > 0 et α > 0 qui doivent être conservées strictes. Remrque On peut églement remplcer les conditions A R pr A R + ou A R suivnt les cs. Remrque L ordre des quntificteurs dns ces définitions est évidemment essentiel. Remrque Sur les suites, le «n n 0» devit être compris comme portnt sur un n entier, de fçon à ce que u n it un sens. C est le «x I» qui ici remplit ce rôle, de fçon à ce que f(x) soit bien défini. Attention à ne ps l oublier! Remrque Remrquez que l crctéristion de l convergence d une suite à l ide de «ε n 0...» est très similire à celle de l existence d une limite finie pour une fonction en +, de même l crctéristion de l divergence vers + d une suite est très similire à celle du fit qu une fonction tend vers + en +. Cette similrité n est ps un hsrd : regrdez ce que donne l définition de limite de fonction (utilisnt les voisinges) pour une fonction définie sur N. Que consttez-vous? Remrque Pour donner l défition de limite en un point, nous vons dû triter neuf cs différents, ce qui est ssez fstidieux. Comme dns le cs des suites, l notion de voisinge permet de donner une définition unifiée, regroupnt tous les cs en une seule définition. Cette défintion unifiée est l suivnte : Soit I et l R. On dit que f dmet l pour limite en et on note f l ou f(x) l si x pour tout voisinge V V (l), il existe un voisinge W V () tel que x W I f(x) V. Cette définition étnt plus bstrite et horsprogrmme, nous ne l utiliserons ps en priorité dns ce cours, même si elle peut systémtiquement être employée. Cependnt, certines démonstrtions seront données sns l notion de voisinge, puis une seconde fois vec l notion de voisinge. Vous pourrez voir les simplifictions que ces voisinges pportent et vous entrîner à réécrire d utres démonstrtions grâce ux voisinges. Théorème Soit I, soit l 1, l 2 R. Si f(x) f(x) x l 2, lors l 1 = l 2. x l 1 et Pr symétrie et en supposnt que l 1 l 2, on trois cs possibles pour ( R, = + et = ), et pour chque choix de on qutre cs possibles : l 1 R et l 2 R ; l 1 R et l 2 = ; l 1 R et l 2 = + ; l 1 = et l 2 = +. Cel donne donc douze cs à triter. Nous ne les détillerons ps tous, le lecteur sur les retrouver sns difficulté. Supposons R, l 1 R et l 2 R. Posons ε = 1 l1 l2 > 0. Il existe donc α1, α2 > 0 tels que, pour 3 tout x I, si x α 1, lors f(x) l 1 ε ; si x α 2, lors f(x) l 2 ε. Soit α = min(α 1, α 2) > 0. Comme dhère à I, il existe x I tel que x α. Les deux conditions précédentes sont donc vérifiées, et l 1 l 2 = l 1 f(x) (l 2 f(x)) l 1 f(x) + (l 2 f(x)) 2 l1 l2. 3 Cel contredit le fit que l 1 l 2. Supposons = +, l 1 R et l 2 =. Soit A = l 1 1 et ε = 1. Il existe donc B1, B2 R tels que, pour tout 2 x I, si x B 1, lors f(x) l 1 ε, notmment f(x) l < A ; si x B 2, lors f(x) A. Soit B = mx(b 1, B 2). Comme sup I = +, il existe x I tel que x B. On lors simultnément f(x) < A et f(x) A, ce qui est bsurde. 165

166 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION Définition Soit I. S il existe l R tel que f(x) l, x lors cet élément est ppelé «limite de f en» et est noté lim f ou lim f(t). t Le symbole lim ne peut s utiliser x qu près voir montré l existence de ldite limite. L utiliser vnt est une erreur grve. On préfèrer systémtiquement utiliser l écriture f(x) l. x Théorème Toute fonction possédnt une limite finie en R est bornée u voisinge de. Comme pour les suites. Remrque Si f dmet une limite infinie en R, lors f n est ps bornée u voisinge de. Proposition Si I et si f tend vers l R en, lors l = f(). Il s git bien d être certin que pprtient à I (et ps seulement à Ī!). Supposons l = +. soit A = f() + 1. Il existe α > 0 tel que, pour tout x I [ α, + α], f(x) A. Or, I [ α, + α], donc f() f() + 1, ce qui est bsurde. De même, l = est bsurde, donc l R. Soit ε > 0, soit α > 0 tel que, pour tout x I [ α, + α], f(x) l ε. Or, on toujours I [ α, + α], cr I. Ainsi, f() l ε. On donc : pour tout ε > 0, f() l ε. Cel implique bien que f() = l (sinon, prendre ε = 1 f() l ). 2 Remrque Pour tous et l réels, on montre fcilement que les ssertions suivntes sont équivlentes. (i) f l (ii) f l 0 (iii) f l 0 (iv) f( + h) h 0 l Exemple Pour s entrîner à mnipuler l définition (mis ce n est ps l meilleure méthode dns l prtique), considérons l fonction f : R R Montrons x x 3 + x f(x) 2. x 1 On, pour tout x R, f(x) 2 = (x 1)(x 2 + x + 2). Si x [0, 2], lors x 2 et donc (inéglité tringulire) x 2 + x Soit ε > 0. Si x x 1 ε 8. [ 1 ε 8 ; 1 + ε 8 ], lors ( Ainsi, vec α = min 1; ε ), si x 1 α, on 8 simultnément x 2 + x et x 1 ε 8. On lors f(x) 2 ε. Donc on bien ε > 0, α > 0, x R, x 1 α f(x) 2 ε. Donc f(x) x Limites à guche et à droite en un point Définition Soient R et l R. (i) Si f est définie u voisinge de à guche, c est-à-dire si I ], [, on dit que f dmet l pour limite à guche en (ou tend vers l à guche en ) si f I ],[ dmet l pour limite en. On note lors f(x) x l, f(x) l ou x x< encore f l. Si elle existe, l limite à guche est unique (puisque c est une limite) et dns ce cs elle est notée lim f, lim f(x) ou lim f(x). x x x< 166

167 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION (ii) On définit de l même mnière l notion de limite à droite. (i) f l (ii) f l + (iii) f() = l. f() Figure XII.1 Fonction f sns limite en, ynt des limites à droite et à guche en différentes. Le point (iii) est indispensble, sinon l fonction de l figure XII.2 urit une limite en. f() Dns l définition de limite à guche, c est l fonction f I ],[ qu il fut considérer, et non l fonction f I ],] (intervlle fermé en ). En effet, on veut que l fonction de l figure XII.1 it une limite à guche, ce qui n est le cs qu vec une restriction à un intervlle ouvert en. Remrque Comme pour les limites, l existence d une limite à guche / droite s écrit vec des ε. Pr exemple, dns le cs où, l R, f dmet l pour limite à guche en si et seulement si on ε > 0 α > 0 x I α x < f(x) l ε On le même genre de proposition pour les 5 utres cs (il y u totl 6 cs suivnt qu il s git d une limite à guche ou à droite d une prt et que l limite est réelle, égle à + ou d utre prt). Exemple On 1 x x 0 x>0 + et 1 x x 0 x<0. Théorème Soit un réel pprtennt à I, à I ], [ et à I ], + [. Soit l R. Alors f l si et seulement si on simultnément Figure XII.2 Fonction f ynt des limites à guche et à droite en égles, mis ps de limite en. ( ) Supposons d bord f l. Nous vons déjà observé que f() = l est nécessire. Il est lors immédit d près les définitions que f l et f + ( ) Réciproquement, supposons qu on it les trois conditions (i), (ii) et (iii). On f() = l, donc l R. Soit ε > 0. Il existe α, α + R + vérifint { x I α x < f(x) l ε x I < x + α + f(x) l ε Posons lors α = min{α, α + } et montrons x I x α f(x) l ε. Soit x I tel que x α, c est-à-dire α x + α. Alors 1. si α x <, on en fit α x < et donc f(x) l ε ; 2. si x =, f(x) = f() = l et donc f(x) l ε ; 3. si < x + α, on en fit < x + α + et donc f(x) l ε. Dns tous les cs on bien f(x) l ε. On donc f l. Exemple Le théorème précédent permet de montrer que, 167

168 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION l ppliction f : R R { e x si x 0 x 1 x si x < 0 tend vers 1 en 0. Remrque On n utiliser l crctéristion d une limite pr le théorème?? que qund l fonction n est ps définie de l même mnière à guche et à droite du point considéré. Sinon, cel n ucun intérêt et l on trviller directement vec l définition générle de limite, ou ses crctéristions. Remrque On pourrit ussi définir, mis le besoin s en fer rrement sentir, l notion de «limite épointée», que l on noterit f(x) l, qui signifie x x f I\{} l. De même, les nottions f(x) f(x) x x x x l ne devrient ps vous fire peur. l et 3 Propriétés des limites de fonctions 3.1 Opértions sur les limites Les résultts usuels vlbles pour les limites de suite restent vlbles : 1. Soit f : I R, I et l R. Alors f l f l 0 f f 0 f(x) x 0 l f(x) l x 0 2. Soit f, g : I R et I. Si f est bornée u voisinge de et g 0, lors f g 0. Exemple Le deuxième point permet de montrer sin x x x + 0. Pour les opértions usuelles (somme, produit et inverse), les résultts vlbles pour les limites de suites sont toujours vlbles pour les fonctions, et les démonstrtions sont tout à fit similires. Nous ne les redémontrerons donc ps, mis vous devez svoir les fire sns problème. Voyons le théorème sur l composition de deux fonctions ynt une limite : Théorème Soient f : I R et g : J R deux pplictions vérifint f(i) J et soit I, b J et l R. Si f b et g b l, lors g f l. Remrque L hypothèse b J est superflue : si f : I J une limite b en, lors utomtiquement, b J. On vingt-sept cs à distinguer, selon si, b et l sont chcun réel, + ou. Nous ne détillerons ps tous ces cs, le lecteur intéressé sur les retrouver fcilement. Si R, b R et l R. Soit ε > 0, posons V l = [l ε, l + ε]. Il existe α > 0 tel que, pour tout y J V b, vec V b = [b α, b + α], on g(y) V l. Il existe donc η > 0 tel que, pour tout x I V, vec V = [ η, + η], on f(x) V b. Soit x I V. On, d une prt, f(x) V b et, d utre prt, f(x) J. Donc g(f(x)) V l. On bien montré g f l. Si = +, b = et l = +. Soit A R, posons V l = [A, + [. Il existe B R tel que, pour tout y J V b, vec V b =], B], on g(y) V l. Il existe donc C R tel que, pour tout x I V, vec V = [A, + [, on f(x) V b. Soit x I V. On, d une prt, f(x) V b et, d utre prt, f(x) J. Donc g(f(x)) V l. On bien montré g f +. + Remrque L structure de l preuve précédente ne chnge ps en fonction des ntures de, b et l, mis seulement les formes des intervlles V, V b, V l. À cuse des vingt-sept cs à distinguer, cette démonstrtion est un exemple typique de démonstrtion où l notion de voisinge fit ggner du temps. Redémontrons donc ce résultt : Soit V V (l). Montrons qu il existe un voisinge W de vérifint (g f)(w I) V. On g l, donc il existe un voisinge W de b vérifint b g(w J) V. 168

169 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION Or f b, donc il existe un voisinge W de vérifint f(w I) W. Or f(i) J, donc f(w I) J, donc f(w I) W J. Donc (g f)(w I) g(w J) V. On donc bien g f l. Remrque On vu (remrque 2.1.3) que l définition de l limite d une suite n est qu un cs prticulier de celle de fonction. Ce théorème de composition sur les fonctions donc pour corollire celui qu on énoncé u chpitre concernnt les limites de suites sur l composition d une fonction et d une suite. Exemple Ce théorème permet de montrer pr exemple que ln ( tn x 2) 0. x π 2 Théorème (Crctéristion séquentielle des limites). Soient I, l R. On équivlence entre : (i) f(x) l x (ii) pour toute suite (u n ) telle que u n I et u n n +, on f(u n) n + l. Tritons les cs et l finis (les utres cs se tritent de mnière similire). (i) (ii) C est une conséquence immédite du résultt de composition d une ppliction et d une suite. l. Alors il existe ε > 0 véri- (i) (ii) Supposons f fint η R + x I (x [ η, + η] et f(x) l > ε) (XII.1) 1 Soit lors n N. Comme n + 1 R +, d près l ssertion (XII.1), il existe u n I vérifint () u n [ 1 n+1, + 1 n+1 ] (b) et f(u n) l > ε. On donc construit une suite u d éléments de I. Le point () nous ssure qu elle converge vers, le second que f(u n) ne tend ps vers l (une suite minorée pr un réel strictement positif ne surit tendre vers 0). Exemple f : R + R n ps de limite en 0. x sin (1/x) Il suffit en effet de considérer l suite de terme 1 générl u n = pour n N pour s en π/2 + nπ convincre. 3.2 Pssge à l limite et reltions d ordre Les théorèmes suivnts sont nlogues à des résultts déjà vu sur les suites. Théorème Soit f : I R, I et (m, M, l) R. Supposons f l et m < l < M. Alors, u voisinge de, on m < f(x) < M. On trite le cs R, les utres cs sont lissés u lecteur. min(l m, M l) Soit ε = > 0. On bien 2 [l ε; l + ε] ]m, M[. Ainsi, il existe α > 0 tel que, pour tout x [ α, + α] I, on f(x) [l ε; l + ε], donc f(x) ]m, M[. Avec les voisinges : ]m, M[ est un intervlle ouvert contennt l, c est donc un voisinge de l. Donc il existe un voisinge V de tel que pour tout x V I, on f(x) ]m, M[. Remrque Le plus souvent, ce résultt s pplique sous l forme suivnte : Soit f : I R, I vérifint f l. Alors (i) Soit M R vérifint l < M. Alors u voisinge de, f(x) < M. (ii) Soit m R vérifint m < l. Alors u voisinge de, f(x) > m. lrges Ce résultt est fux vec des inéglités : insi x 2 0 et donc s limite est x 0 négtive. Mis dire que pour x u voisinge de 0 on x 2 0 est fux. 169

170 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION Corollire (Pssge à l limite dns une inéglité). Soit I et f : I R vérifint f l. Soit (m, M) R 2. (i) Si M mjore f u voisinge de, lors l M. (ii) Si m minore f u voisinge de, lors m l. suites. Théorème (Théorème d encdrement, ou théorème des gendrmes). Soit f, m, M : I R trois pplictions, I et l R. Supposons qu on m l et M l et qu u voisinge de on m(x) f(x) M(x). Alors, f tend vers l en. On trite le cs R, les utres cs sont lissés u lecteur. (i) Supposons que M mjore f sur l intersection de I et d un intervlle V 1 = [ α, + α], vec α > 0. Pr l bsurde, supposons l > M. D près le théorème 3.2.1, il existe η > 0 tel que, vec V 2 = [ η, + η], pour tout x V 2 I, on f(x) > M. Pour tout x V 1 V 2 I, on lors f(x) > M et f(x) M. Or V 1 V 2 I est non vide, c est donc bsurde. On donc l M. (ii) On constte qu u voisinge de, m mjore f et l on pplique le résultt du (i) à f, l et m. Corollire (Pssge à l limite dns une inéglité, deuxième version). Soit f, g : I R, I et (l, l ) R 2. Supposons f l, g l et f(x) g(x) u voisinge de. Alors l l. On (g f)(x) 0 pour x u voisinge de et g f l l. Donc d près le corollire 3.2.3, on l l 0, donc l l. Les inéglités strictes ne sont ps conservées pr pssge à l limite. Pr exemple, u voisinge de + on e x > 0, mis on e x 0. x + 4 Théorèmes d existence 4.1 Théorèmes des gendrmes et de minortion/mjortion On retrouve sur les limites de fonctions les mêmes théorèmes d encdrement que pour les On trite le cs R. Les utres cs sont lissés u lecteur, l structure de l démonstrtion de chngent ps. Soit ε > 0, posons V l = [l ε, l + ε]. Il existe α, β > 0 tels que, pour tout x I, si x V, lors m(x) V l ; si x V, lors M(x) V l ; vec V = [ α, + α] et V = [ β, + β]. Soit enfin η > 0 tel que, pour tout x I, si x I V, vec V = [ η, + η], lors m(x) f(x) M(x). Il suffit de remrquer que, si x I V V V, lors m(x) f(x) M(x) et m(x), M(x) V l, donc f(x) V l, cr V l est un intervlle. On donc bien f l. Théorème (Théorème de minortion). Soit f, m : I R deux pplictions, I et l R. Supposons qu on m + et qu u voisinge de, on m(x) f(x). Alors, f dmet une limite en et cette limite vut +. On trite le cs =. Les utres cs sont lissés u lecteur, l structure de l démonstrtion de chngent ps. Soit A R, posons V + = [A, + [. Il existe B R tel que, pour tout x I, vec V =], B], si x V, lors m(x) V +. Soit enfin C R tel que, vec V =], C], pour tout x I, si x V, lors m(x) f(x). Il suffit de remrquer que, si x I V V, lors m(x) f(x) et m(x) V l, donc f(x) V l. On donc bien f +. Théorème (Théorème de mjortion). Soit f, M : I R deux pplictions, I et l R. Supposons qu on M et qu u voisinge de, on f(x) M(x). 170

171 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION Alors, f dmet une limite en et cette limite vut. Il suffit d ppliquer le théorème de minortion à f. Corollire Soient f, g : I R deux pplictions et I. Si u voisinge de on f g et si g 0, lors f 0. Il suffit de remrquer qu u voisinge de, on g f g. 4.2 Théorème de l limite monotone f() Figure XII.3 Illustrtion de limite monotone : à retenir! Théorème Soit f : I R une ppliction croissnte. On note α et β les bornes inférieures et supérieures de I dns R. Alors : (i) f possède une limite à guche (resp. à droite) en tout point de ]α, β] (resp. [α, β[) et l on, pour chque où ces limites ont un sens, insi que f(x) f(x) x x< x x> sup f I ],[ inf f. I ],+ [ (ii) Soient, b I tels que < b. Alors, lim f f() lim f lim f f(b) lim f. + b b + (iii) Dns R, f dmet une limite à droite en α. Si f est minorée, cette limite est finie, sinon elle vut. (iv) Dns R, f dmet une limite à guche en β. Si f est mjorée, cette limite est finie, sinon elle vut +. Si f est décroissnte, on bien sûr des résultts nlogues. (i) On ne montre le résultt que pour l limite à guche. Soit ]α, β]. On pose V = f(i ], [) = { f(x) x < }. L ensemble V est non vide puisque I ], [ est non vide. Posons l = sup x I f(x). x< On l = + ou l R. Distinguons ces deux cs : () l = +. Alors soit M un réel fixé, il existe y I ], [ tel que f(y) M. Alors, puisque f est croissnte, pour tout x ]y, [ I, on f(x) M. Donc f prend ses vleurs dns [M, + [ sur u voisinge de, à guche. On donc bien f +. (b) l R. Alors, soit ε > 0. Il existe y I ], [ tel que f(y) l ε. Alors, pour tout x ]y, [ I, on f(x) l ε, f étnt croissnte, et f(x) l pr définition de l. On en déduit qu u voisinge à guche de, f prend ses vleurs dns [l ε, l + ε]. f dmet donc pour limite l en à guche. (ii) Remrquons tout d bord que, f étnt croissnte { f(x) x I ], [ } est mjoré pr f(), donc d près le point (i), on lim f f(). De l même fçon, on f() lim + f, lim b f f(b) et f(b) lim b + f. Pr illeurs, lim b f mjore f(], b[) et lim + minore ce même ensemble, qui est non vide. Donc lim + f lim b f. On donc le résultt. (iii) (iii) (resp. (iv)) sont des conséquences immédites de (i), l existence d un minornt (resp. mjornt) étnt équivlente u fit que l borne inférieure (resp. supérieure) soit finie. Pour le cs d une fonction décroissnte, il suffit d ppliquer le résultt sur les fonctions croissntes à f. 171

172 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION 5 Cs des fonctions à vleurs complexes Dns cette prtie, on considère une ppliction complexe f : I C. Notons tout de suite que les notions de fonction complexe mjorée, minorée ou monotone n ont ucun sens, cr il n y ps de reltion d ordre nturelle sur C. Cependnt, on peut définir l notion de fonction complexe bornée. Définition On dit que f est bornée s il existe K R tel que pour tout x I on it f(x) K. Remrque f est bornée si et seulement si Re f et Im f sont bornées. Définition Soit C. Une propriété P est vrie u voisinge de s il existe r > 0 tel que, pour tout z C, si z r, lors P (z) est vrie. Remrque L notion bidimensionnelle de voisinge complexe donnée ici générlise ssez bien l notion unidimensionnelle de voisinge réel, nénmoins d utres définitions serient possibles : on pourrit utiliser, à l plce de disques fermés, des disques ouverts ou bien des rectngles (fermés ou ouverts). Définition Soit I et l C. On dit que f dmet l pour limite en, ou f tend vers l en, si f(x) l 0. x On note bien entendu ceci f l ou encore f(x) l. x Remrque Ceci nous rmène u cs d une limite d une fonction à vleurs réelles. Remrque L définition quntifiée de «f tend vers l en» s écrit comme pour une fonction réelle : ε > 0, α > 0, x I, x α f(x) l ε. Théorème Soit I et l C. Les deux ssertions suivntes sont équivlentes : (i) f l ; (ii) Re(f) Re(l) et Im(f) Im(l). Cette démonstrtion s effectue comme celle du théorème équivlent concernnt les suites complexes. Exemple e ix 1 + x 2 x + 0 Théorème Si f une limite en un point de I, cette limite est unique. Deux démonstrtions sont possibles : ou bien on utilise le théorème 5.0.8, ou bien on reprend l démonstrtion donnée dns le cs réel (il suffit lors essentiellement de chnger des R en C). Certins utres résultts étblis pour les fonctions réelles sont toujours vlbles pour les fonctions complexes : 1. toute fonction à vleurs complexes ynt une limite en un point est bornée u voisinge de ce point, 2. les limites à guche et à droite en un point peuvent être églement définies, 3. l crctéristion séquentielle de l limite est mintenue, 4. l corollire du théorème des gendrmes se générlise ux fonctions f à vleurs complexes, ce qui permet églement de montrer que le produit d une fonction bornée u voisinge d un point pr une fonction de limite 172

173 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION nulle en est une fonction de limite nulle en. 5. les opértions sur les limites ne fisnt ps intervenir de limite infinie demeurent. Les grnds théorèmes ne se générlisent ps, de nouveu à cuse du mnque de reltion d ordre nturelle sur C. 173

174 CHAPITRE XII. LIMITE D UNE FONCTION 174

175 Chpitre XIII Continuité 1 Définitions et premières propriétés Définitions Prolongement pr continuité en un point Crctéristion séquentielle de l continuité Opértions sur l continuité Les grnds théorèmes Théorème des vleurs intermédiires Imge d un segment pr une fonction continue Cs des fonctions strictement monotones Extension u cs des fonctions à vleurs complexes

176 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ Dns tout ce chpitre, I et J sont des intervlles de R, f : I R et I, suf mention expresse du contrire. 1 Définitions et premières propriétés 1.1 Définitions Définition On dit que f est continue en si f dmet une limite finie en. Puisque I, on sit que dns ce cs f f(), et donc f est continue en s écrit : ε > 0, α > 0, x I, x α f(x) f() ε On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. On note C (I, R) l ensemble des fonctions continues de I dns R. f() ε Figure XIII.1 Illustrtion de l définition d une fonction continue en, ε et η étnt fixés. Remrque On verr que cette définition est cohérente vec l idée qu une fonction est continue si et seulement si on peut en trcer le grphe sns lever le cryon. Attention à l ordre des quntificteurs et. η f Exemple Qusiment toutes les fonctions usuelles sont continues. L fonction cos : pour tous réels x et x 0, on en effet cos x cos x 0 = 2 sin x + x 0 sin x x sin x x 0 2 x x 0. L fonction. : En effet, d une prt elle est continue en 0, cr on [ ε > 0 x 0, ε 2] x ε. D utre prt, soit x 0 > 0. Alors soit x R +, on x x 0 = x x 0 x x 0. x + x0 x0 Donc si x x 0 x 0 2, lors x x 0 ( 2, d où 1 x0 x + x ). En notnt C cette vleur (qui ne dépend ps de x), on donc [ x0 x 2, 3x ] 0 x x C x x 0. On donc x x x 0 x0. Définition (Continuité à guche et à droite). On dit que f est continue à guche (resp à droite) si f I ],] (resp. f I [,+ [ ) est continue en, c est-à-dire dmet une limite en, qui est lors nécessirement f(). Remrque Cette fois, on ferme les intervlles en dns les restrictions de f, à l inverse de ce que l on fisit pour les limites à guche et à droite. Théorème f est continue en si et seulement si f est continue à guche et à droite en. 176

177 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ 1.2 Prolongement pr continuité en un point f() f Définition Soit I et f : I \ { } R. On dit que f est prolongeble pr continuité en s il existe une ppliction f : I R qui coïncide vec f sur I \ { } (c est-à-dire vérifint f I\{ } = f), et qui est continue en. Figure XIII.2 Illustrtion d une fonction continue à guche en, mis ps à droite. D une prt f continue en si et seulement si l limite de f en existe, ce qui est vri si et seulement si les limites de f en à, guche et à droite, existent et vlent f(). D utre prt, f est continue à guche (resp. à droite) si et seulement si l limite de f en, à guche (resp. à droite) existe et vut f(). Exemple On reprend l exemple du chpitre précédent : f : R R { e x si x 0 x 1 x sinon Alors f est continue en 0. Posons g : R R { ln (1+ x ) x x si x 0 0 sinon Alors g pour limite à droite 1 en 0, mis g(0) 1, donc g n est ps continue en 0. Remrque On n utiliser cette crctéristion de l continuité pr les continuités à guche et à droite que lorsque l fonction que l on étudie est définie différemment à guche et à droite du point considéré. Sinon, on reviendr à l définition générle. Remrque Qund on prolonge en v une ppliction f définie sur un intervlle [u, v[ ou ]u, v[ (resp. ]v, u] et ]v, u[) et qu on prolonge f en v pr continuité, on prle de prolongement pr continuité à droite (resp à guche). Exercice Quels sont les prolongements pr continuité en 0 de 1. R R x 1 x 2. R R? x sin(x) x 3. R R?? x sin 1 x Théorème Avec les mêmes hypothèses que dns l définition : f est prolongeble pr continuité en si et seulement si l limite de f en existe et est finie. Dns ce cs le prolongement est unique, noté f et défini pr f : I R, { f(x) si x, x l si x =, où l est l limite de f en. Très souvent, pr bus de nottion, on noter f l fonction f. 177

178 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ 1 0 x 1 ) ( 2 + exp 1 x Figure XIII.3 Illustrtion d une fonction prolongeble pr continuité en 0. Démontrons impliction et réciproque : Soit f un prolongement pr continuité de f en. f est définie et continue en, on donc f(x) x x f() Or, pour tout x I \ { }, on f(x) = f(x), donc f(x) x f() Donc f() est nécessirement l limite de f en. Cette limite est donc finie. Donc f est nécessirement l ppliction 1 I R { f(x) si x x l si x = Donc si f dmet un prolongement pr continuité lors l limite de f en existe et est finie ; le prolongement pr continuité est lors bien celui donné dns l énoncé. Réciproquement, supposons que l limite de f en existe et est finie, notons l l. Alors, définissons f comme donné dns l énoncé. f coïncide lors vec f sur I \ { } et on donc Donc f(x) x x f(x) x x f est donc continue en. l f() Ce théorème est prfois utilisé sous l forme : Corollire Soient I et g : I\{} R une ppliction. Si les limites de g en, à guche et à droite, existent, sont égles et sont finies, lors, en notnt l cette limite, il existe un unique prolongement pr continuité g de g obtenu en posnt g() = l. C est immédit, puisqu on sit que l limite de g en existe si et seulement si les limites de g en, à guche et à droite, existent et sont égles. Exemple Peut-on prolonger pr continuité en 0 l ppliction f : ] 1, + [\ {0} R { sin x x x si x > 0 ln(1+x) x si x < 0 Même question en Crctéristion séquentielle de l continuité Théorème Les ssertions suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en ; (ii) pour toute suite (u n ) à vleurs dns I vérifint u n, on f(u n) f(). n + n + C est une conséquence immédite de l crctéristion séquentielle de l limite. 1.4 Opértions sur l continuité Lemme Soit g : I R continue en I et telle que g() > 0. Alors g est strictement positive dns un voisinge de (idem vec < 0). Il suffit de remrquer que l limite de g en est strictement positive et d utiliser les résultts connus sur les limites. 178

179 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ Théorème Soient λ R et f, g : I R. (i) Si f est continue en lors f et λf ussi. (ii) Si f et g continues en lors f + g, fg, sup(f, g) et inf(f, g) ussi et si g() 0 lors f g ussi. Le théorème est une conséquence immédite des résultts sur les limites et des remrques suivntes : 1. Pour tout x I, f(x) + g(x) + f(x) g(x) mx(f(x), g(x)) = 2 f(x) + g(x) f(x) g(x) min(f(x), g(x)) = 2 2 Les grnds théorèmes 2.1 Théorème des vleurs intermédiires Proposition (Rppel). Les intervlles de R sont les prties convexes de R, c est-à-dire les prties I de R telles que tout réel compris entre deux élément de I pprtient à I. Autrement dit, une prtie I de R est un intervlle si et seulement si (x, y) I 2 t [0, 1] x + t(y x) I Théorème (TVI). L imge d un intervlle pr une fonction continue est un intervlle. 2. Si g() 0 et g continue en, lors u voisinge de, g ne s nnule ps, donc f g est bien définie. Remrque Un corollire immédit de ce théorème est obtenu en remplçnt dns son énoncé «continue en» pr «continue sur I» et «g() 0» pr «g ne s nnule ps sur I». Théorème Soient g : I R et h : J R deux pplictions, vec g(i) J. Si g est continue en et h est continue en g(), lors h g est continue en. Immédit vec les résultts vec les limites. Remrque On obtient un corollire immédit en remplçnt «continue en» et «continue en h()» respectivement pr «continue sur I» et «continue sur J». Remrque Soit f : I R, une ppliction telle que f(i) soit un intervlle Alors pour tout (, b) I 2, vérifint < b, f() et f(b) sont dns cet intervlle, donc tout élément compris entre f() et f(b) s écrit sous l forme f(c) vec c [, b]. 2. Attention : le TVI ssure l existence de ce c mis bsolument ps son unicité. 3. Réciproquement, le fit que pour tout et tout b vérifint < b et tout m compris entre f() et f(b) il existe c [, b] vérifint f(c) = m implique que f(i) est un intervlle. Soit f : I R une ppliction continue. D près les remrques précédentes, il suffit de montrer que pour tout (, b) I 2, vérifint < b, tout élément compris entre f() et f(b) s écrit sous l forme f(c) vec c [, b]. Soit donc (, b) I 2 vérifint < b, et soit m compris entre f() et f(b). Pour fixer les idées on suppose f() f(b) (le cs f(b) f() se trite de l même fçon). Notons lors E = { x [, b] f(x) m }. On évidemment E et E est mjoré pr b. Donc E dmet une borne supérieure c et on c b. Montrons f(c) = m : Pr l bsurde, supposons f(c) < m, lors comme f est continue en c, il existe ε > 0, tel que sur [, b] [c ε, c + ε], f ne prenne que des vleurs 179

180 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ strictement inférieures à m. En outre, c ne peut être l extrêmité droite de [, b]. Donc il existe c ]c, b] vérifint f(c ) < m ce qui est bsurde. Donc f(c) m Pr l bsurde, supposons f(c) > m, lors comme f est continue en c, il existe ε > 0 tel que sur [, b] [c ε, c + ε], f ne prenne que des vleurs strictement supérieures à m. Or c mjore E, donc c ε mjore E églement, donc c n est ps l borne supérieure de E, ce qui est bsurde. Donc f(c) m. On donc f(c) = m. f([α, β]) α f β f Figure XIII.6 Contre-exemple u TVI pour une fonction non continue, sur un intervlle. f([α, β]) f(b) < 0. Alors il existe c entre et b tel que f(c) = 0. α Figure XIII.4 Illustrtion du TVI pour une fonction continue, sur un intervlle. f([α, β] [γ, δ]) f α β γ δ Figure XIII.5 Contre-exemple u TVI pour une fonction continue, non sur un intervlle. Corollire Soit f C (I), et, b I tels que f() > 0 et β Remrque Une utre démonstrtion de ces résultts repose sur le principe de dichotomie, qui donne directement un lgorithme. Voici un lgorithme python. Pour tester si l intervlle étudié est bien un intervlle où f() et f(b) sont de signes opposés, on étudie le signe du produit f()f(b). On s rrête lorsque l lrgeur de l intervlle est inférieure à un ps donné. def zeros ( f,, b, p ) : " " " Recherche d un zero de f dns l i n t e r v l l e [, b ]. Retourne l e r é s u l t t vec une pr é c i s i o n p. Pré c o n d i t i o n : f continue, <b e t f ( ) f ( b)<=0 " " " g, d =, b # [ g, d ] : I n t e r v l l e cournt while g d > p : # I n v r i n t : # f s nnule e n t r e g e t d # s o i t ( f ( g ) f ( d)<= 0) # Vrint : g d e s t d i v i s é # pr deux à chque é tpe m = ( g+d )/2 # Milieu de [ g, d ] i f ( f ( g ) f ( m))<= 0 : d = m 180

181 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ # On grde l moiti é de guche else : g = m # On grde c e l l e de d r o i t e return m 2.2 Imge d un segment pr une fonction continue Dns le cs d un segment, le TVI peut-être complété. Théorème L imge d un segment pr une fonction continue est un segment. Notons I = [, b], f : I R continue, et J = f([, b]). D près le TVI, J est un intervlle. Il suffit de montrer que ses extrémités guche et droite sont réelles et lui pprtiennent. Notons M l borne supérieure de J dns R et montrons M J. 1. Remrquons tout d bord qu on peut construire une suite u de points de I vérifint f(u n) M. En n + effet : Supposons M = +, lors J n est ps mjoré, donc pour tout n N, il existe un élément de J pprtennt à [n, + [, on note lors u n un ntécédent pr f d un tel élément dns [, b]. On lors x N f(u n) n Donc f(u n) M n + Supposons M R. Alors pour tout n, il existe un élément de J dns l intervlle [ M 1, M], n+1 on note lors u n un ntécédent pr f d un tel élément dns [, b]. On lors n N f(u n) [ M 1 n + 1, M ] Donc f(u n) M n + 2. u est à vleurs dns [, b] or d près le théorème de Bolzno-Weierstrss, [, b] est compct, donc on peut extrire de u une suite v convergent vers une vleur c [, b]. Comme f est continue sur [, b], on en déduit que (f(v n)) n N converge vers f(c). Or (f(v n)) n N est une suite extrite de (f(u n)) n N, donc elle tend vers M. On donc M = f(c), donc M f([, b]) = J. De l même mnière, on montre inf(j) J. Corollire Toute fonction continue sur un segment est bornée et tteint ses bornes. Soit f continue sur un segment [, b]. D près le théorème, f([, b]) est un segment [c, d]. f est donc mjorée pr d, minorée pr c. Or d f([, b]) donc d possède un ntécédent dns [, b] pr f. f tteint donc ce mjornt (qui est donc un mximum). De l même fçon, f tteint son minornt c, qui est donc un minimum de f sur [, b]. Exemple C est un résultt intuitif, voici des contreexemples lorsque les hypothèses ne sont ps vérifiées. Sur un intervlle fermé, non borné : R R, x x est continue, mis n ni mximum ni minimum. Sur un intervlle ouvert non fermé : ]0, 1] R, x 1/x est continue mis n ps de mximum. Avec une fonction non continue : sur le segment [0, 1], l fonction qui un réel ssocie 0, suf ux 1/n vec n N qui leur ssocie n. Cette fonction est discontinue et n ps de mximum. Exemple Toute fonction périodique continue est bornée et tteint ses bornes. Soit f : R R T -périodique, et x R. Sur [0, T ], f est bornée et tteint son mximum M en x M et son minimum m en x m. Or pour tout x R, il existe x [0, T ] tel que x x soit un multiple entier de T (il est suffisnt (et nécessire) de prendre pour x l vleur T (x/t x/t )). On en déduit f(x) [m, M]. f est donc bornée sur R et tteint ses bornes en x M et x m. 2.3 Rppels concernnt les fonctions strictement monotones Dissipons d emblée une idée populire, mis fusse : ce n est ps prce qu une fonction est dérivble en un point que l on peut dire quoi que 181

182 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ ce soit qunt u sens de vrition de l fonction u voisinge de ce point. Exemple Soit l fonction R R, f : x ( 1 x 2 sin + x) x 2 si x 0, 0 si x = 0. Alors f est continue et dérivble sur R, f (0) = 1/2, mis f n est monotone sur ucun voisinge de 0. Dns l suite, nous ne prlerons ps du tout de dérivbilité. d f(i), donc il existe c I tel que f(c) ]β ε, β]. Or f est décroissnte, donc pour tout x ], c], on f(x) ]β ε, β]. Ainsi f(i) = [f(b), l [ (β / f(i) cr f est strictement décroissnte). On donc f β. Dns les deux cs, on bien f(i) = [f(b), l [ Remrque Si l fonction f n est supposée que monotone, f(i) peut être fermé lors que I est ouvert (prendre f constnte, pr exemple). 2.4 Monotonie stricte, bijectivité et continuité Explorons mintennt les liens entre ces trois notions. Théorème Soit (, b) R vérifint < b. Supposons que f est continue sur I et strictement croissnte sur I. Soit l, l R tels que f l et f b l. Alors : 1. si I = [, b], lors f(i) = [f(), f(b)] ; 2. si I =], b[, lors f(i) = ]l, l [ ; 3. si I = [, b[, lors f(i) = [f(), l [ ; 4. si I =], b], lors f(i) = ]l, f(b)]. On un résultt nlogue lorsque f est strictement décroissnte sur I. Remrquons que f étnt strictement monotone, f dmet une limite à droite en et à guche en b. On se contente de donner le cs f strictement décroissnte et I =], b]. On sit que f(i) est un intervlle. On note α = inf f(i) et β = sup f(i). f étnt décroissnte, f(b) minore f(i), or f(b) est dns f(i), donc α = f(b). Pr illeurs, comme f est strictement décroissnte, on ne peut voir β f(i), cr lors il existerit c ], b] vérifint f(c) = β et dns ce cs on urit f( +c ) > β et β ne 2 mjorerit plus f(i), ce qui serit bsurde. Enfin, le théorème de limite monotone nous donne l existence des limites mnipulées. On en rppelle ici les rguments. Supposons β = +, lors f n est ps mjorée, donc pour tout M > 0, il existe c I tel que f(c) > M. Mis f est décroissnte, donc pour tout x ], c], f(x) > M. On donc f + = β. Supposons β R, lors pour tout ε > 0, β ε ne mjore ps f(i), donc il existe d ]β ε, β] tel que Lemme (Réciproque d une ppliction strictement monotone). Soit D et E deux prties de R et f : D E une bijection strictement monotone. Alors l ppliction réciproque f 1 : E D est strictement monotone, de même sens de vrition que f. Montrons mintennt que f 1 est strictement monotone, de même sens de vrition que f. Supposons que f soit strictement croissnte. Alors, soit y 1 et y 2 deux éléments de f(d) vérifint y 1 < y 2 et soit x 1 = f 1 (y 1) et x 2 = f 1 (y 2). Si on vit x 1 x 2 lors, comme f est croissnte, on urit f(x 1) f(x 2), c est-à-dire y 1 y 2, ce qui serit bsurde. Donc x 1 < x 2, c est-à-dire f 1 (y 1) < f 1 (y 2). f 1 est donc strictement croissnte. Supposons que f soit strictement décroissnte. De l même fçon, on montre que f 1 est lors strictement décroissnte. Dns les deux cs, f 1 est strictement monotone, de même sens de vrition que f. Le résultt suivnt est une réciproque prtielle u théorème des vleurs intermédiires. Lemme Soit I un intervlle et f : I R une ppliction monotone telle que f(i) est un intervlle. Alors f est continue sur I. 182

183 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ Le cs où I est un intervlle vide ou réduit à un point est trivil. Nous supposons donc pr l suite que I n est ni vide, ni réduit à un point. Nous étudions seulement ici le cs où f est croissnte. Si f est décroissnte, il suffit d ppliquer ce qui suit à f. Il suffit de montrer que d une prt que pour tout point I qui n est ps l extrémité guche de I, on f f() et d utre prt que pour tout point I qui n est ps l extrémité droite de I, on f f(). + Pr l bsurde, supposons que ce n est ps le cs. Pour fixer les idées, supposons qu il existe I qui n est ps l extrémité guche de I vérifint f f() (l utre cs est similire). Notons lors α un point de I vérifint α <. Alors, f étnt croissnte, on sit que l limite de f en, à guche, existe. Notons l l. Alors, f(α) l f(). Puisque f f(), on l < f(). L intervlle ]l, f()[ n est donc ps vide, on peut donc y choisir un point y. On lors f(α) l < y < f(). Or f(i) est un intervlle, donc y f(i). Donc il existe c I vérifint f(c) = y. On f(c) < f() et f croissnte, donc c <. Donc f(c) l, donc y l ce qui est bsurde. Lemme Soit I un intervlle et f : I R, une ppliction continue et injective. Alors f est strictement monotone. Supposons pr l bsurde que f n est ps strictement monotone, c est-à-dire qu elle n est ni strictement croissnte, ni strictement décroissnte. Comme f n est ps strictement croissnte, il existe (x, y) I 2 vérifint x < y et f(x) f(y). De même, comme f n est ps strictement décroissnte, il existe (x, y ) I 2 vérifint x < y et f(x ) f(y ). Notons α : [0, 1] R t (1 t)x + tx β : [0, 1] R t (1 t)y + ty ϕ : [0, 1] R t f(α(t)) f(β(t)) I est convexe donc pour tout t [0, 1], α(t) et β(t) pprtiennent à I, donc ϕ est bien définie. Pr illeurs, on peut remrquer que, comme x < y et x < y, pour tout t [0, 1], on α(t) < β(t). Enfin, on : (i) ϕ est continue sur [0, 1] ; (ii) ϕ(0) = f(x) f(y) 0 ; (iii) ϕ(1) = f(x ) f(y ) 0. Donc ϕ s nnule en une vleur t [0, 1]. On lors f(α(t)) = f(β(t)). Or f est injective, donc α(t) = β(t). Or α(t) < β(t), donc c est bsurde. Théorème (Théorème de l bijection strictement monotone). Soit I un intervlle de R et f : I R une ppliction. Posons J = f(i). Alors si deux quelconques des trois propriétés suivntes sont vries, l troisième l est églement : (i) J est un intervlle et f rélise une bijection de l intervlle I sur l intervlle f(i). (ii) f est strictement monotone sur I. (iii) f est continue sur I. De plus, lorsque ces conditions sont vérifiées, l ppliction réciproque f 1 : J I est ussi une bijection continue strictement monotone. Pour ce qui est de l première prtie du théorème : Dns le cs où (i) et (ii) sont vries, f(i) est un intervlle, f est donc continue d près le lemme Dns le cs où (i) et (iii) sont vries, f rélise une bijection de I sur f(i) donc est injective, or elle est continue, donc strictement monotone d près le lemme Dns le cs où (ii) et (iii) sont vries, f est strictement monotone donc injective, donc rélise une bijection de I sur f(i). De plus, elle est continue donc f(i) est un intervlle. Pour ce qui est de l seconde prtie, supposons donc ces conditions vérifiées. Alors on sit que l bijection d une ppliction strictement monotone est monotone, donc f 1 : J I est strictement monotone. De plus f 1 rélise une bijection de l intervlle J sur l intervlle f 1 (J) = I. L première prtie ssure donc que f 1 est continue. Exemple Cel permet de montrer que les fonctions Arccos, Arcsin et Arctn sont continues. 183

184 CHAPITRE XIII. CONTINUITÉ 3 Extension u cs des fonctions à vleurs complexes Les notions de continuité, continuité à guche et à droite se générlisent sns problème ux fonctions à vleurs complexes, puisque c est juste une histoire de limite. On ussi le résultt suivnt. Théorème Soit f : I C, I. On équivlence entre : 1. f est continue en (resp. sur I) 2. Im(f) et Re(f) sont continues en (resp. sur I). L crctéristion séquentielle de l continuité est vrie comme pour les pplictions à vleurs dns R, de même que toutes les résultts sur les opértions usuelles. En revnche, les grnds théorèmes liés u TVI ne peuvent ps être étendus à C : ils font ppel à l ordre sur R. Exemple Notons f : [0, π] C t e it. Alors f est continue sur [0, π], vut 1 en 0, 1 en π mis ne s nnule ps. Qunt à l imge du segment [0, π], il s git d un demi-cercle et non d un intervlle! 184

185 Chpitre XIV Polynômes 1 K[X] : définitions et résultts lgébriques Premières définitions Somme et produit Composition Opértions et degré Fonctions polynomiles Division euclidienne L lgorithme de Horner Décomposition Rcines, ordre de multiplicité Nombres de rcines Polynômes scindés et reltions coefficients/rcines Le théorème fondmentl de l lgèbre Décomposition en produit de fcteurs irréductibles Dérivtion des polynômes Définition Propriétés PGCD, PPCM et polynômes irréductibles PGCD Polynômes premiers entre eux PGCD de n polynômes PPCM Formule d interpoltion de Lgrnge Annexe : construction de K[X]

186 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Dns tout ce chpitre K = R ou C. 1 K[X] : définitions et résultts lgébriques 1.1 Premières définitions Définition On ppelle support d une suite u à vleurs dns K l ensemble des entiers n tels que u n 0. Si cet ensemble est fini, u est dite à support fini. Remrque Une suite u est à support fini si et seulement si elle est nulle à prtir d un certin rng. 2. Toute suite à support fini converge donc vers 0 mis l réciproque est évidemment fusse 1. Définition (Anneu des polynômes sur le corps K). On dmet qu on peut construire un nneu commuttif (K[X], +, ) ppelé nneu des polynômes à une indéterminée à coefficients dns K. Vérifint les propriétés suivntes : 1. K[X] étend l nneu K, c est-à-dire : () K K[X] (b) l ddition et l multipliction de K[X] coïncident vec celles de K sur l ensemble K. Autrement dit : les opértions + K[X] et K[X] restreintes u sousensemble K sont exctement les opértions + K et K. (c) le neutre pour l ddition sur K (0) est ussi le neutre pour l ddition sur K[X] et le neutre pour l multipliction sur K (1) est ussi le neutre pour l multipliction sur K[X]. 0 est ppelé le polynôme nul. 2. C[X] étend R[X]. 1. Pr illeurs, dns ce chpitre, le fit que les suites à support fini convergent n est d ucun intérêt. 3. Il existe un polynôme, noté X (ppelé l indéterminée de K[X]). 4. Les polynômes de l forme αx k pour k N et α K sont ppelés monômes. 5. Tout polynôme P peut s écrire de fçon unique sous forme normle 2 (ppelée ussi forme développée réduite) : + k=0 k X k où ( k ) k N est une suite à support fini, ppelée suite des coefficients de P (l suite des coefficients de P est donc unique). Remrque Si on note ϕ l ppliction qui à tout polynôme P ssocie s suite des coefficients et ψ l ppliction qui à toute suite à vleurs dns K à support fini u ssocie le polynôme + k=0 u k X k, on constte que pour tout polynôme P, (ψ ϕ)(p ) = P et que pour toute suite à support fini u, on (ϕ ψ)(u) = u. Ces deux pplictions sont donc des bijections réciproques : il y donc une bijection (cnonique) entre les suites à support fini et les polynômes. 2. Il est importnt de ne ps confondre X et x : 2X 3 + 2X + 7 est un polynôme, x 2x 3 + 2x + 7 désigne une fonction polynomile (llnt de R dns R ou de R dns C ou de C dns C selon le contexte). L expression «x 3 + 2x + 7» est une erreur si x n ps été introduit ou si c est une mtrice crrée de tille 42. C est un réel si x est un réel et un complexe si x est un complexe. 2. L somme est une somme finie, prise pour les vleurs de k telle que k 0. On donc P = k X k mis ussi P = rng n + 1. k N k 0 k X k si l suite ( k ) est nulle à prtir du k=0 186

187 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Le polynôme 0 pour suite de coefficients l suite nulle. Pour tout λ K, le polynôme λ pour suite de coefficients l suite nulle prtout suf u rng 0, où elle pour vleur λ. Les éléments de K sont ppelés les polynômes constnts. Définition (Degré). Soit P un polynôme de l forme + k=0 ppelle degré de P, et note deg P l vleur prise dns R. sup { k N k 0 }, k X k. On (i) Si P est le polynôme nul, deg P =. (ii) Si P n est ps le polynôme nul, le support de ( k ) k N est un ensemble d entiers non vide et mjoré, donc deg P = mx { k N k 0 }. (iii) Si P est non nul, le coefficient deg P est ppelé coefficient dominnt de P et on dit que degp X deg P est le monôme dominnt de P. (iv) Si le coefficient dominnt de P vut 1 on dit que P est unitire. Pour tout entier n N, on note K n [X] l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égl à n. Remrque K n [X] n est ps l ensemble des polynômes de degré égl à n. 2. K = K 0 [X] K 1 [X] K 2 [X] K[X]. 3. K n [X] est un sous-groupe de (K[X], +). 4. Soit P un polynôme de degré d et n N vérifint n d (P est de degré u plus n), lors P peut s écrire sous l forme k X k. k=0 1.2 Somme et produit Proposition Soit P et Q deux polynômes respectivement de l forme + k=0 k X k et P + Q = + k=0 + k=0 b k X k. Alors on : ( k + b k )X k. Autrement dit, l suite des coefficients de P +Q est l somme de leurs suites de coefficients respectives. En ce qui concerne le produit, on P Q = (i,j) N 2 i b j X i+j = + k=0 c k X k où (c k ) k N est l suite vérifint, pour tout k N, c k = (i,j) N 2 i+j=k k k i b j = i b k i = k i b i. i=0 i=0 Il s git essentiellement de constter que les sommes sont en fit finies. En notnt S et S les supports respectifs des suites de coefficients de P et Q, on P = k X k = k X k, k S k S S Q = b k X k = b k X k, k S k S S d où P + Q = ( k X k + b k X k ) k S S = ( k + b k )X k. k S S Or k et b k sont nuls pour tout k N \ (S S ), donc l somme + ( k + b k )X k k=0 est finie et vut l même chose. Pour le produit, notons, pour tout k N, c k = ib j. Il est clir que c k est une somme finie (elle (i,j) N 2 i+j=k 187

188 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES comporte k + 1 termes) et de plus, on k k c k = ib k i = k i b i. i=0 i=0 Il reste à montrer qu on bien P Q = + k=0 c k X k. Posons S = { i + j (i, j) S S }, S est l imge directe de l ensemble fini S S pr l ppliction somme, donc S est un ensemble fini. Remrquons tout de suite que pour k N \ S et tout couple (i, j) N 2 vérifint i + j = k, on (i, j) / S S, donc i = 0 ou b j = 0. Donc pour tout k N \ S, l somme ib j ne comporte que des termes nuls. (i,j) N 2 i+j=k En outre ( )( ) P Q = ix i b jx j j S i S = ib jx i+j (i,j) S S ( = i+j) ib jx = = = d où le résultt. k S k S k S + k=0 1.3 Composition (i,j) S S i+j=k (i,j) S S i+j=k (i,j) N 2 i+j=k (i,j) N 2 i+j=k ib j X k ib j X k ib j X k. Définition Soit P et Q deux polynômes de K[X]. P s écrit sous l forme Alors, l somme + k=0 + k=0 k X k. k Q k est une somme finie, ppelée composée de P et Q (ou de Q pr P ) et est notée P Q. Proposition L composition est distributive à droite pr rpport ux lois + et et elle est églement ssocitive, c est-à-dire que si P, Q et R désignent trois polynômes, on : (i) (P + Q) R = (P R) + (Q R) ; (ii) (P Q) R = (P R) (Q R) ; (iii) (P Q) R = P (Q R). (i) Direct. (ii) Triter d bord le cs P = X n et Q = X m, puis le cs P quelconque et Q = X m, puis le cs générl. (iii) Montrer pr récurrence que Q k R = (Q R) k. Attention à l composition à guche, qui n est ps distributive. Pr exemple : X 2 (X + 2) = (X + 2) 2 X (1 X) + (1 2) = 2 1 (X + 2) (1 + X) (X.X) ((1 + X) X).((1 + X) X). Exemple Un polynôme P est dit pir si P ( X) = P, impirs si P ( X) = P. Que peut-on dire des coefficients de tels polynômes? 1.4 Opértions et degré Théorème Soient P, Q K[X]. (i) deg(p + Q) mx(deg P, deg Q) ; (ii) deg(p Q) = deg P + deg Q ; (iii) si Q n est ps constnt, lors deg(p Q) = deg P deg Q. Si Q est constnt, deg P Q = 0 ou. Remrque Méditez les exemples suivnts : 188

189 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES (i) P = X 1 et Q = 2 X ; (iii) P = X 2 1 et Q = 1. Le théorème est évident si P ou Q est nul. On les supposer donc tous deux non nuls, et on pose n = deg P et m = deg Q. Les polynômes P, Q et P Q s écrivent respectivement m + sous l forme k X k et b k X k et c k X k. (i) Fcile ; k=0 (ii) On c k = k ib k i. i=0 k=0 k=0 Soit k m + n. Si i > n, lors i = 0, et si i < n, lors b m+n i = 0. Ainsi, si k = m+n, l somme définissnt c k n qu un terme non nul, et c m+n = nb m 0. Si k > m + n, tous les termes de l somme sont nuls, donc c k = 0. Ceci prouve bien le résultt. (iii) Q non constnt équivut à deg Q 1. Donc si k 1 et k 2 sont deux entiers tels que k 2 > k 1, on deg Q k 2 > deg Q k 1. Ainsi deg P Q = deg nq n = deg(q n ). Or d près (ii), deg(q n ) = n deg Q. Corollire K[X] est intègre. Il suffit de montrer que pour tout (P, Q) K[X] 2, P Q = 0 (P = 0 ou Q = 0). Soit donc (P, Q) K[X] 2 vérifint P Q = 0. Alors d près le point (iii) du théorème 1.4.1, = deg(p Q) = deg P +deg Q, donc on nécessirement deg P = ou deg Q =. Corollire Soient P, A, B K[X] tel que P 0. Alors : P A = P B A = B. P A = P B si et seulement si P (A B) = 0 si et seulement si (P = 0 ou A B = 0) si et seulement si A B = 0 si et seulement si A = B. Corollire U(K[X]) = K. Autrement dit, les seuls éléments inversibles de K[X] sont les polynômes constnts non nuls. Soient P un polynôme inversible. Il existe donc un polynôme Q tel P Q = 1. P et Q sont non nuls, et donc deg P 0 et deg Q 0. Mis 0 = deg 1 = deg P Q = deg P + deg Q. Nécessirement, deg P = deg Q = 0. Il y donc peu de polynômes inversibles. L inversibilité est une propriété fort utile lorsqu on veut simplifier une églité de l forme P A = P B (on multiplie lors des deux côtés pr l inverse de P ) mis heureusement, elle n est ps nécessire pour cel : l intégrite de K[X] suffit : Définition Deux polynômes P et Q de K[X] sont dits ssociés s il existe λ K vérifint P = λq. Remrque Ainsi, deux polynômes sont ssociés si et seulement si on psse de l un à l utre en multiplint pr un polynôme inversible. On pourr effectuer un rpprochement vec les entiers insi qu vec l rithmétique sur les entiers : les éléments inversibles de Z sont 1 et 1, et les objets construits en rithmétique des entiers (PGCD, nombres premiers, etc.) le sont toujours «à un élément inversible près». Ce ser encore le cs en rithmétique des polynômes. 1.5 Fonctions polynomiles Dns cette section, on considère un entier nturel n fixé Définition Soit P = + k=0 k X k un polynôme et x un élément de K. On ppelle évlution du polynôme P en x et on note P (x) l élément de K défini pr P (x) = + k=0 k x k. 189

190 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Remrque Comme précédemment, le symbole + k=0 un sens cr l suite ( k ) est à support fini. Cette somme est donc finie. Exemple On pose P = X 2 + 2X + 3, que vut l évlution de P en 2? Proposition Soit x A fixé. Alors, l ppliction d évlution en x, evl x : K[X] A est un P P (x) morphisme d nneu ; utrement dit pour tout (P, Q) K[X] 2, on 1. P + Q(x) = P (x) + Q(x) ; 2. P Q(x) = P (x) Q(x) ; 3. 1 K[X] (x) = 1 A. De plus, on P Q(x) = P (Q(x)) On note P : K K x P (x) Remrque D près ce qui précède, on donc, pour tous polynômes P et Q : 1. P + Q = P + Q ; 2. P Q = P Q ; 3. P Q = P Q Exemple Posons P = X 2 + 2X Que vut P. 2. A t-on P = P? En prtique, on note en générl P (x) l vleur de P (x). On v même prfois jusqu à identifier P et P, c est-à-dire identifier les polynômes et les fonctions polynomile. Cel se justifie pr le résultt suivnt :. Théorème Soient P et Q deux polynômes de K[X]. (i) P est l fonction identiquement nulle si et seulement si P = 0 ; (ii) P = Q si et seulement si P = Q. Cependnt, nous ne sommes ps en mesure de montrer tout de suite cette propriété. Nous nous contenterons donc pour l instnt de fire les remrques suivntes : Remrque Les implictions P = 0 P = 0 et P = Q P = Q sont évidentes. Il suffit donc de montrer les implictions réciproques. 2. Si l on dmet pour tout P l impliction P = 0 K K P = 0 lors, pour tout couple (P, Q), l impliction P = Q P = Q s en déduit. En effet, il suffit de remrquer que P Q = P Q, donc si P = Q, lors P Q est nul donc P Q est nul donc P = Q. Remrque (à crctère culturel). On verr que l démonstrtion du résultt exploite le fit que K est un ensemble infini. Même si seuls les cs K = R et K = C sont u progrmme, il existe des corps K finis et on peut définir K[X] pour de tels corps. Dns le cs où K est un corps fini, le théorème n est plus vri. 1.6 Division euclidienne On peut définir une opértion de division dns K[X] similire à celle de l division euclidienne dns Z. Rppelons tout d bord l définition de l division euclidienne dns Z : Définition (Division euclidienne). Soit P et D deux entiers, vec D 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) d entiers vérifint les deux propriétés suivntes : 1. P = D Q + R 190

191 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES 2. et 0 R < D. Q et R sont respectivement ppelé le quotient et le reste de l division euclidienne de P pr D. Définition (Division euclidienne des polynômes). Soit P et D deux polynômes à coefficients dns K, vec D 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) de polynômes à coefficients dns K vérifint les deux propriétés suivntes : 1. P = D Q + R 2. et deg R < deg D. Q et R sont respectivement ppelé le quotient et le reste de l division euclidienne de P pr D. Exemple L division euclidienne de 3X 4 5X 3 + 7X 2 + 8X 1 pr X 2 3X + 2 s écrit : 3X 4 5X 3 + 7X 2 + 8X 1 = (X 2 3X + 2)(3X 2 + 4X + 13) + 39X 27. On l pose comme suit. 3X 4 5X 3 +7X 2 +8X 1 X 2 3X +2 (3X 4 9X 3 +6X 2 ) 3X 2 +4X +13 4X 3 +X 2 +8X 1 (4X 3 12X 2 +8X) 13X 2 1 (13X 2 39X +26) 39X 27 On ligner toujours les monômes de mêmes degrés pour les dditionner sns commettre d erreur. Remrque L preuve du théorème de division euclidienne repose sur l idée mise en œuvre dns l lgorithme donnnt cette division. On cherche en effet chque fois à nnuler le monôme de plus hut degré du dividende en multiplint le diviseur pr un monôme convenble. Commençons d bord pr montrer l unicité : Soient (Q 1, R 1) et (Q 2, R 2) deux couples convenbles. Alors DQ 2 + R 2 = DQ 1 + R 1, et donc D(Q 2 Q 1) = R 1 R2, et donc D (R 1 R 2). Si R 1 R 2 0, lors nécessirement deg D deg(r 1 R 2). Or deg R 1 < deg D et deg R 2 < deg D, donc pr somme deg(r 1 R 2) < deg D. Pr conséquent R 1 R 2 = 0, donc R 1 = R 2. Il vient ensuite D(Q 1 Q 2) = 0 : puisque D 0 et que K[X] est intègre, lors Q 1 Q 2 = 0, soit finlement (Q 1, R 1) = (Q 2, R 2). Montrons mintennt l existence d un tel couple. Cette démonstrtion peut se fire pr récurrence sur le degré de P, ce qui l vntge de donner un lgorithme de clcul du couple (Q, R). Nous verrons cette méthode sur des exemples. Donnons une démonstrtion plus théorique et un peu plus rpide : introduisons les ensembles E = {P DS, S K[X]} et E = {deg A, A E}. Si 0 E, lors il existe Q K[X] tel que P = DQ, et le couple (Q, 0) est donc celui que nous cherchons. Sinon, si 0 / E, E est un sous-ensemble de N. Comme il est clirement non vide, il possède un minimum, noté m. Il existe donc Q R[X] tel que P DQ K[X], et deg(p DQ) = m N. L seule chose à montrer est que m < deg D. Pr l bsurde, supposons que m deg D. Notons X m et bx d les monômes dominnts de R et D respectivement. On sit lors que et b sont non nuls cr R et D sont non nuls, et nous vons supposé que d m. Posons lors A = R b.d.xm d. Alors deg A < deg R, pr nnultion du monôme dominnt X m de R (ce résultt est ussi utilisé dns l démonstrtion pr récurrence). De plus A = P DQ b.d.xm d = P D(Q + b Xm d ), donc deg A E : ceci contredit l minimlité de m, donc pr l bsurde, m < d, et le couple (Q, R) est le couple voulu. Remrque Si P et D sont à coefficients dns R, on peut ussi les considérer comme polynômes à coefficients dns C. Remrquer que dns les deux cs, le quotient et le reste de l division euclidienne de P pr D sont les mêmes. Définition Soit P et D deux polynômes à coefficients dns K. On dit que D divise P ou que P est un multiple de D ou que P est fctorisble pr D et on note D P si et seulement s il existe un polynôme Q à coefficients dns K vérifint P = D Q. 191

192 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Remrque Le polynôme nul est divisible pr tout polynôme. 2. Le quotient Q, s il existe, est unique. 3. Pour tout n N et tout K, on X X n n 4. P est divisible pr D si et seulement si le reste de l division euclidienne de P pr D est nul. 5. En vertu de l remrque sur l division euclidienne, lorsque P et D sont deux polynômes à coefficients dns R, P est divisible pr D en tnt qu éléments de R[X] si et seulement si il l est en tnt qu éléments de C[X]. Proposition Soit P et Q deux polynômes. P Q et Q P si et seulement s il existe λ K vérifint P = λq. On dit lors que P et Q sont ssociés. Tout polynôme P non nul est ssocié à un unique polynôme unitire : 1 P, où c est le coefficient dominnt de P c. Le résultt est évident si P ou Q est nul (et dns ce cs P = Q = 0). Soient donc P et Q deux polynômes non nuls tels que P Q et Q P. Alors on à l fois deg P deg Q et deg P deg Q. Ainsi deg P = deg Q. Puisque P Q, il existe un polynôme R tel que P R = Q, et comme deg P = deg Q, R est un polynôme constnt : P et Q sont bien ssociés. Le sens réciproque est évident. 1.7 L lgorithme de Horner Soit n N et P = k X k un polynôme de k=0 degré u plus n à coefficients dns K et x 0 K. On P deg P (x 0 ) = k x 0. Connissnt x 0 et les k=0 k pour k [[0, n]], comment clculer P (x 0 ) de fçon ussi efficce que possible? On peut évidemment clculer toutes les vleurs x k 0 pour k [[0, n]] (cel demnde n 1 multiplictions) puis les produits k x k 0 (n multiplictions supplémentires), puis clculer l somme (n dditions). Totl : 2n 1 multiplictions et n dditions. On peut cependnt fire mieux. L lgorithme de Horner consiste à remrquer qu on peut écrire P (x 0 ) sous l forme ((... (( n x 0 + n 1 )x 0 + n 2 )...)x )x Autrement dit, en posnt r n = n, puis, pour k llnt de n 1 à 0, r k = r k+1 x 0 + k, l vleur de P (x 0 ) est celle de r 0. Ainsi on clculé P (x 0 ) en seulement n multiplictions et n dditions. Exemple Posons P = 2X 4 4X 3 7X 2 + 2X 1 pr X x 0 et x 0 = 3. On exécute prfois l lgorithme de Horner en trçnt un tbleu. Dns le cs présent, cel donne : k k r k On donc P (x 0 ) = 4. Associé à l proposition suivnte, l lgorithme de Horner permet églement d effectuer l division euclidienne d un polynôme P pr un polynôme de degré 1. Proposition Soit P K[X] et x 0 K. Alors il existe Q K[X] vérifint P = (X x 0 )Q + P (x 0 ). Nous donnerons deux démonstrtions : Première méthode Posons l division euclidienne de P pr X x 0 : il existe Q, R K[X] tels que P = (X x 0)Q + R, vec deg R = 0 ou. R est donc un polynôme constnt, notons-le λ. Évluons l églité P = (X x 0)Q + λ en x 0 : il reste exctement P (x 0) = λ, d où le résultt. Deuxième méthode Cette deuxième méthode ne fit ps ppel à l division euclidienne. Elle consiste à constter, en posnt n = deg P et en écrivnt P sous l forme k X k, où k K pour k [[0, n]], que k=0 192

193 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES pour tout k N, X k x k 0 s écrit (X x 0)Q k, où k 1 Q k = x k 1 i 0 X i, donc i=0 P P (x 0) = Donc en posnt Q = P (x 0). = k=0 ( ) k X k x k 0 k (X x 0)Q k k=0 = (X x 0) k Q k k=0 k Q k, on P = (X x 0)Q+ k=0 Clculer le reste de l division est fcile pr l méthode de Horner. Comment clculer le quotient n 1 Q? Q est de l forme b k X k. On lors : k=0 k=0 n 1 k X k = (X x 0 ) b k X k + P (x 0 ) k=0 En identifint les termes de même degré, il vient : n = b n 1 le clcul de P (x 0 ) : on constte en effet qu on b n 1 = r n b n 2 = r n 1. b 1 = r 2 b 0 = r 1 Exemple En reprennt l exemple 1.7.1, on trouve P = (X 3)(2X 3 + 2X 2 X 1) 4. 2 Décomposition 2.1 Rcines, ordre de multiplicité Définition Soit P K[X] et K. On dit que est rcine de P si et seulement si P () = 0. Proposition Soit P K[X] et K. est rcine de P si et seulement si X divise P. Autrement dit : P () = 0 X P n 1 = b n 2 x 0 b n 1 On en déduit :. 2 = b 1 x 0 b 2 1 = b 0 x 0 b 1 b n 1 = n b n 2 = n 1 + x 0 b n 1. b 1 = 2 + x 0 b 2 b 0 = 1 + x 0 b 1 On peut remrquer que les vleurs des coefficients de Q sont exctement celles clculées pour Le sens indirect est évident. Le sens direct découle directement de l proposition vec x 0 =. Corollire Soit P K[X], n N et 1,..., n n éléments de K distincts. Alors 1,..., n sont des rcines n de P si et seulement si (X k ) divise P. k=1 Là encore le sens indirect est évident. Le sens direct se fit pr récurrence sur le nombre de rcines en utilisnt l proposition précédente. 193

194 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Définition Soit P K[X] un polynôme non nul, K et r N. On dit que est rcine d ordre de multiplicité r de P si r est le plus grnd entier k tel que (X ) k divise P. On dit que est rcine simple (resp. multiple) de P si r = 1 (resp. r > 1). Remrque L ensemble des k tel que (X ) k P contient 0 et est mjoré pr le degré de P, donc possède bien un plus grnd élément. 2. Si est rcine d ordre r, lors pour tout k 0, r, (X ) k P. 3. est rcine d ordre u moins 1 si et seulement si X P, c est-à-dire si et seulement si P () = est rcine multiple si et seulement si (X ) 2 P. Proposition Soit P K[X], K et r N. est rcine d ordre r de P si et seulement si P s écrit sous l forme (X ) r Q où Q() 0. Supposons que est rcine d ordre r de P. Alors P est divisible pr (X ) r, donc s écrit sous l forme (X ) r Q. Pr l bsurde, supposons Q() = 0, lors X Q, donc (X ) r+1 Q, ce qui est bsurde. Donc Q() 0. Supposons que P s écrit sous l forme (X ) r Q où Q() 0. Alors l ordre de multiplicité de dns P est u moins r. Supposons pr l bsurde que cet ordre soit strictement supérieur. Alors (X ) r+1 divise P, donc P s écrit sous l forme (X ) r+1 R, donc (X ) r+1 R = (X ) r Q, donc (X )R = Q. Donc Q() = 0, ce qui est bsurde. 2.2 Nombres de rcines Proposition Soit P K[X] un polynôme non nul. Alors P u plus deg (P ) rcines distinctes. Soit P un polynôme non nul de degré n, et λ 1,..., λ n+1 n + 1 rcines distinctes de P. Alors P est divisible pr n+1 (X λi), qui est un polynôme de degré strictement k=1 supérieur u degré de P : c est bsurde. Proposition Soit n N et P K n [X]. Si P dmet u moins n + 1 rcines distinctes, lors P est le polynôme nul. C est l contrposée du résultt précédent. Corollire On déduit de cette proposition les résultts suivnts : 1. Soit n N et (P, Q) K n [X] 2. Si P et Q coïncident sur u moins n + 1 points, lors P = Q. 2. Soit P K[X]. Si P dmet une infinité de rcines, lors P est le polynôme nul. 3. Soit (P, Q) K[X] 2. Si P et Q coïncident sur une infinité de vleurs, lors P = Q. 1. Appliquer l proposition précédente u polynôme P Q. 2. Choisir un entier n vérifint n deg P et ppliquer l proposition précédente. 3. Appliquer le premier point à un n N vérifint n mx(deg P, deg Q) ou le second à P Q. En prticulier, K étnt infini, un polynôme P tel que P est l ppliction nulle sur K est nécessirement nul et deux polynômes P et Q tels que P = Q sont nécessirement égux, ce qui permet de conclure l démonstrtion du théorème Remrque (à crctère culturel) Il est essentiel pour ce résultt que K soit infini. Dns un corps fini K comportnt n éléments k 1,..., k n, le polynôme (X k 1 ) (X k 2 ) (X k n ) est non nul (cr de degré n) mis pour rcine tous les éléments du corps. 194

195 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES 2.3 Polynômes scindés et reltions coefficients/rcines Définition Soit P K[X]. On dit que P est scindé si et seulement si P est nul ou peut s écrire comme produit de polynômes de degré 1, c est-à-dire si et seulement s il existe n N, λ K et (α 1,..., α n ) K n vérifint n P = λ (X α i ). i=1 où σ 1 = α 1 + α α n = n 1 n σ 2 = α 1 α α n 1 α n = n 2 n. σ k =. 1 i 1 <...<i k n σ n = α 1... α n = ( 1) n 0 n. α i1... α ik = ( 1) k n k n Remrque Dns cette écriture, si P est non-nul : n est le degré de P λ est son coefficent dominnt. (α 1,... α n ) sont les rcines de P comptées vec ordre de multiplicité. 2. Un polynôme à coefficients réels peut être scindé dns C sns l être dns R : P = X Proposition (Reltions coefficients-rcines.). Soit n un entier et P = i X i un polynôme i=0 scindé de degré n sur K. Alors P est de l forme λ n (X α k ), k=1 vec λ = n. Alors P s écrit ( λ X n + ( 1) k σ k X ), n k k=1 Il suffit d identifier n ix i et λ (X α k ). i=0 k=1 Définition Les sclires σ i, pour i 1, n sont ppelés fonctions symétriques élémentires des rcines de P. Toute expression polynomile dépendnt de vribles α 1,..., α n, symétrique en α 1,..., α n (c est-à-dire telle que l échnge de deux de ces vribles ne chnge ps s vleur) est ppelée fonction symétrique de α 1,..., α n. Remrque (à crctère culturel). Toute fonction symétrique de α 1,..., α n peut s écrire à prtir des seules fonctions symétriques élémentires de α 1,..., α n. Exemple Soit (x 1, x 2 ) C. On pose v = x x 1x x 2 1 x 2 + x x 1x x2 1 x2 2. v est fonction symétrique de x 1 et x 2. Comment l exprimer à prtir des fonctions symétriques élémentires σ 1 = x 1 + x 2 et σ 2 = x 1 x 2? Une méthode systémtique est l suivnte 3 : 1. On repère tout d bord le monôme «dominnt». Prmi tous les monômes, le monôme 3. Source : rticle Elementry symmetric polynomil sur Wikipedi (en.wikipedi.org). 195

196 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES dominnt fit prtie de ceux dont l puissnce de l dernière vrible est mximle, et prmi ceux-ci, c est celui dont l puissnce de l vnt-dernière vrible est mximle, etc. Ici, l puissnce mximle pour x 2 est 2, et prmi les monômes x 2 2, 14x 1x 2 2 et 49x2 1 x2 2, celui dont l puissnce de x 1 est mximle est 49x 2 1 x Pour éliminer un monôme αx k xkn n, on soustrit ασ kn k n σ k 2 k 1 n 1 σ k 1 n. Autrement dit, ici on soustrit 49σ1 2 2 σ2 2. On obtient donc v 49σ2 2 = x x 1x x 2 1 x 2 + x x 1x On itére. Ici il convient donc d éliminer le monôme 14x 1 x 2 2 et pour cel de soustrire 14σ1 2 1 σ 2, ce qui donne v 49σ2 2 14σ 1σ 2 = x x 1x 2 + x 2 2. Le plus grnd monôme est lors x 2 2 ; on soustrit donc σ1 2, ce qui donne v 49σ2 2 14σ 1 σ 2 σ1 2 = 0. On donc v = 49σ σ 1σ 2 + σ1 2. On remrque cependnt qu on pouvit ller beucoup plus vite en remrqunt dès le début v = (x 1 + 7x 1 x 2 + x 2 ) 2 = (σ 1 + 7σ 2 ) 2. NB : selon le progrmme officiel «Aucune connissnce spécifique sur le clcul des fonctions symétriques des rcines n est exigible». Exercice Résoudre le système d inconnues (x, y, z) x + y + z = 3 x 2 + y 2 + z 2 = 11 x 3 + y 3 + z 3 = Le théorème fondmentl de l lgèbre Définition (Polynômes irréductibles). Soit P K[X], vec deg P 1. On dit que P est réductible dns K[X] s il existe deux polynômes Q et R dns K[X] vérifint 1. deg Q 1 2. et deg R 1 3. et P = Q R. On dit que P est irréductible dns K[X] dns le cs contrire. Remrque L notion de polynôme irréductible est comprble à celle de primlité dns Z : un polynôme est irréductible si et seulement s il est de degré u moins 1 et que ses seuls diviseurs sont les éléments de K et ses ssociés. 2. Attention : un polynôme peut être irréductible dns R[X] sns l être dns C[X]. Pr exemple X est irréductible dns R[X], mis se fctorise en (X i)(x +i) dns C[X]. 3. Tout polynôme à coefficients réels irréductible dns C[X] est irréductible dns R[X]. 4. Tout polynôme de degré 1 est irréductible. 5. Tout polynôme de K[X] de degré supérieur ou égl à 2 dmettnt une rcine dns K est réductible dns K[X]. 6. Il existe des polynômes sns rcines qui ne sont ps irréductibles. Pr exemple X 4 + 2X n dmet ps de rcines réelles lors qu il se décompose comme produit de deux polynômes de degré 2. Proposition Tout polynôme non nul et non constnt se décompose comme produit de polynômes irréductibles. Pr récurrence forte sur le degré du polynôme. Reste u moins deux questions : 1. Cette décomposition est-elle unique? 2. Quels sont les polynômes irréductibles de R[X] et de C[X]? On verr plus loin comment répondre u premier point. Pour le second, l réponse nous est fournie pr le théorème de d Alembert-Guss, ussi ppelé théorème fondmentl de l lgèbre : comme ce dernier nom l indique, ce résultt est effectivement d une importnce cpitle en lgèbre. 196

197 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Théorème (d Alembert-Guss). Tout polynôme non constnt à coefficients dns C dmet u moins une rcine dns C. Ce résultt est dmis. Pour mémoire, une démonstrtion possible est de considérer un polynôme P et de montrer successivement : 1. Il existe R > 0 tel que pour tout z vérifint z > R, P (z) P (0) ; 2. z P (z) dmet un minimum sur le pvé des complexes de prties réelles et imginires pprtennt à [ R, R] en un point (montrer que l borne inférieure de P (z) est un minimimun en exploitnt l compcité de ce pvé). 3. z P (z) dmet donc un minimum sur C u point. 4. Pr l bsurde, on suppose P () 0 et on pose Q = 1 (P (X + )). Alors Q(0) vut 1 et z Q(z) P () dmet un minimum (globl) en En explicitnt Q, on constte que son coefficient constnt est égl à 1 et on montre qu il existe z vérifint Q(z) < 1, ce qui est bsurde, donc P () = 0. Corollire Les polynômes irréductibles dns C[X] sont les polynômes de degré 1. On sit déjà que tous les polynômes de degré 1 sont irréductibles. De plus, pour tout n 2, tout polynôme P de degré n dmet une rcine complexe, donc est le produit de X pr un polynôme de degré n 1. Or n 1 1, donc P est réductible. Proposition Soit P un polynôme à coefficients réels et z C. Alors z et z sont des rcines de P de même multiplicité. En prticulier, z est rcine de P si et seulement si z est rcine de P. Les rcines de P non réelles sont donc deux à deux conjuguées. On note P le polynôme conjugué de P, c est-à-dire le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de P. On peut lors démontrer plusieurs résultts simples : 1. Si P K[X] et λ K, lors P (λ) = P ( λ ) ; 2. Si P, Q K[X], P Q = P Q ; 3. P est à coefficients réels si et seulement si P = P. Soit donc P un polynôme à coefficients réels, et z une rcine complexe de P, de multiplicité exctement r. Alors il existe Q C[X] tel que P = (X z) r Q, vec Q(z) 0. Mis lors P = P = (X z) r Q = (X z) r Q. Donc z est rcine de P multiplicité u moins r. Mis Q(z) = Q(z) 0, donc z est rcine de P multiplicité exctement r. On peut églement démontrer ce résultt de l mnière suivnte, en utilisnt le résultt qui vient un peu plus loin : Soit z C. On sit que z est rcine d ordre r de P si et seulement si r = min { k N P (k) (z) 0 } si et seulement si r = min { k N P (k) (z) 0 Or pour tout k, P (k) (z) = P (k) ( z) et pour P à coefficients réels, P (k) = P (k), donc { } k N P (k) (z) 0 = { k N P (k) ( z) 0 } Pr conséquent z est rcine d ordre r de P si et seulement si r = min { k N P (k) ( z) 0 } si et seulement si z est rcine d ordre r de P. On en déduit l proposition suivnte }. Corollire Tout polynôme non constnt est scindé dns C[X]. Il suffit d utiliser les résultts et Pour les polynômes à coefficients réels, il est intéressnt de noter le résultt suivnt : Proposition Soit P un polynôme à coefficients réels non constnt n dmettnt ps de rcine réelle. Alors il est divisible pr un polynôme à coefficients réels de degré 2. Notons une rcine complexe de P. D près ce qui précède est églement une rcine de P. 197

198 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Dns C[X], P est divisible pr X, donc s écrit sous l forme (X )Q, où Q C[X]. / R, donc 0, or P () = 0, donc Q() = 0. Donc Q s écrit sous l forme (X )R où R C[X]. Donc P = (X )(X )R = ( X 2 2 Re() + 2) R. Or X 2 2 Re() + 2 R[X] et P R[X], donc R R[X]. D où : Proposition Les polynômes irréductibles dns R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sns rcine réelle. Montrons déjà que les polynômes réels de degré deux sns rcine réelle sont irréductibles. Soit P un tel polynôme, et Q, R deux polynômes réels tels que P = QR. Supposons que deg Q = 1. Alors Q est de l forme X + b, où et b sont des réels, vec 0. Il dmet donc b comme récine réelle, et donc P une récine réelle, ce qui est bsurde. Ainsi deg Q = 0 ou 2, et P est irréductible. Soit P un polynôme réel irréductible, de degré strictement supérieur à 1. S il dmet une rcine réelle, il est divisible pr X et n est donc ps irréductible. S il n dmet ps de rcine réelle, il est divisible pr un polynôme réel de degré 2. Donc si P est de degré strictement supérieur à 2, il est réductible. S il est de degré 2, il est bien de l forme nnoncée. 2.5 Décomposition en produit de fcteurs irréductibles Le théorème de d Alembert-Guss pour corollire immédit : Corollire Soit n N, P un polynôme de degré n et de coefficient dominnt c. Alors il existe z 1,..., z n des complexes vérifint : P = c n (X z k ) k=1 où les z k, pour k [[1, n]] sont les rcines de P, éventuellement répétées. Corollire Soit n N, P C[X] de degré n et de coefficient dominnt c. Alors, en notnt p le nombre de rcines distinctes de P, z 1,..., z p les rcines distinctes de P, et n 1,..., n p leurs multiplicités respectives, on : P = c et n = p (X z k ) n k k=1 p n k k=1 L première églité découle directement du corollire précédent, et l seconde est l églité des degrés dns l églité polynomile précédente. Et : Théorème Soit P un polynôme à coefficients réels, lors on peut écrire P sous l forme P = c n m (X k ) (X z k )(X z k ) k=1 k=1 où 1,..., n sont les rcines réelles de P (répétées vec leur multiplicité), z 1,..., z m, z 1,..., z m les rcines complexes non réelles (répétées vec leur multiplicité), c le coefficient dominnt de P, et n + 2m = deg (P ). On donc P = c n m (X k ) (X 2 2 Re(z k )X + z k 2) k=1 k=1 Corollire Tout polynôme à coefficients réels de degré impir u moins une rcine réelle. Pr contrposition : un polynôme à coefficients réels n ynt ps de rcine réelle s écrit sous l forme 198

199 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES c m ( X 2 2 Re(z k )X + z k 2) et est donc de degré k=1 pir. Exercice Fctoriser sur R les polynômes X et X Dérivtion des polynômes On intoduit mintennt l notion de dérivtion formelle de polynômes. Le mot «formel» est à prendre u sens suivnt : on effectue des opértions lgébriques, qui n ont ps forcément de sens nlytique (même si l dérivtion formelle de polynômes coïncide vec l dérivtion de fonctions polynomiles). 3.1 Définition Définition Soit P K[X], que l on écrit P = polynôme dérivé est P = + k=1 k kx k 1. + k=0 Remrque L somme ne commence qu à l indice 1 : k X k. Son en effet, pour k = 0, X k 1 n existe ps. On églement, près chngement d indice : P = + k=0 k+1 (k + 1)X k. Cette formule est intéressnte lorsqu il s git de mnipuler plusieurs polynômes, tous exprimés comme sommes commençnt à l indice 0. Sur R[X], cette opértion coïncide vec l dérivtion des pplictions à vleurs réelles : P R[X] (P ) = ( ). P Si P est de degré 0 ou, lors P = 0. Sinon deg (P ) = deg (P ) 1. P est un polynôme vérifint P = et seulement s il existe C K vérifint P = C + + k=0 k k + 1 Xk+1 + k=0 k X k si (donner un nom ux coefficients de P, clculer P et utiliser l unicité de l forme développée réduite). Si P = 0, lors P est constnt. Définition Soit P K[X]. On définit, pour n N, le n-ième dérivé de P, noté P (n) pr P (0) = P et n N P (n+1) = 3.2 Propriétés (P (n)) Proposition Soit (P, Q) K[X] 2 et (λ, µ) K 2. Alors (λp + µq) = λp + µq (XIV.1) (P Q) = P Q + P Q (XIV.2) (P Q) = Q (P Q) (XIV.3) Écrivons P sous l forme + k=0 b k X k. + k=0 k X k Alors on ( + ) (λp + µq) = (λ k + µb k )X k = k=0 + k=1 (λ k + µb k )X k 1 et Q sous l forme ( + ) ( + ) = λ k X k 1 + µ b k X k 1 k=1 = λp + µq k=1 199

200 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Le premier point est donc ssuré. Il se générlise évidemment pr récurrence à toute combinison linéire finie de polynômes. Montrons lors le second. Notons, pour tout i N, A i le monôme X i et remrquons que pour tout (i, j) N 2, on (A ia j) = A ia j + A ia j. En effet, c est évidemment vri si i = 0 (uquel cs A i = 1 et A i = 0) ou symétriquement si j = 0. Si ni i ni j n est nul, on i 1 et j 1, d où (A ia j) = (X i+j ) = (i + j)x i+j 1 = ix i 1 X j + X i jx j 1 = A ia j + A ia j On lors successivement : Or on (( )( )) (P Q) = ia i b ja j i N j N = ib ja ia j (i,j) N 2 = ib j(a ia j) (i,j) N 2 ( = ib j A i A j + A ia j) (i,j) N 2 = ib ja ia j + ib ja ia j (i,j) N 2 (i,j) N 2 ( )( ) ib ja ia j = ia i b ja j (i,j) N 2 i N j N = P Q ( )( ) et ib ja ia j = ia i b ja j (i,j) N 2 i N j N Donc (P Q) = P Q + P Q. = P Q On en déduit pr récurrence que pour tout entier k N, on ( Q k) = kq Q k 1. En outre, on évidemment ( Q 0 ) = ( 1K[X] ) = 0. On lors successivement ( + ) (P Q) = k Q k = k=0 + k=1 = Q k kq Q k 1 + k=1 k kq k 1 (( + ) ) = Q k k X k 1 Q k=1 = Q ( P Q ) Remrque Notmment, P = Q si et seulement si il existe C K tel que P = Q + C. Proposition (Formule de Leibniz). Soit (P, Q) K[X] 2 et n N. Alors (P Q) (n) = k=0 ( ) n P (k) Q (n k) k Elle se démontre pr récurrence et est lissée en exercice u lecteur, qui remrquer une très très forte ressemblnce vec l démonstrtion d une formule de début d nnée. Lemme (Formule de Tylor Mc-Lurin). Soit n N et P K n [X]. Alors P = k=0 P (k) (0) X k k! Démontrons-l pr récurrence : pour tout n N, soit (H n) : pour tout P K n[x], P (k) (0) P = X k. k! k=0 Pour n = 0, l propriété est évidente. Soit n N tel que l propriété soit vrie, et soit P K n+1[x]. Puisque P K n[x], on peut lui ppliquer l hypothèse de récurrence : P (P ) (k) (0) = X k = k! k=0 200

201 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES k=0 P (k+1) (0) X k. Il existe donc une constnte C K telle k! que P = k=0 P (k+1) n+1 (0) (k + 1)! Xk+1 + C = k=1 P (k) (0) X k + C k! près un chngement d indice. Pour clculer C, on peut étudier les fonctions polynomiles ssociés ux polynômes de l églité précédente, et les évluer en 0 : on trouve lors C = P (0) = P (k) (0) X k vec k = 0, et donc H n+1 est bien k! vérifiée. est rcine d ordre r de P si et seulement si (X ) r P et (X ) r+1 P. Or P = k=0 P (k) () (X ) k, donc (X ) r P ssi pour k! tout k 0, r 1, P (k) () = 0. De même, (X ) r+1 P ssi il existe k 0, r tel que P (k) () 0. Le résultt voulu découle de l conjonction de ces deux dernières équivlences. Proposition (Formule de Tylor). Soit n N, P K n [X] et K. Alors P = k=0 P (k) () (X ) k k! Corollire Soit P K[X], r N et K. Si est rcine d ordre r de P, lors est rcine d ordre r 1 de P. Corollire On en déduit imméditement P ( + X) = k=0 P (k) () X k k! Il suffit d effectuer une trnsltion à prtir du théorème précédent : posons Q = P (X + ). Alors Q = k=0 Q (k) (0) X k. Mis on vérifie fcilement que k! pour tout k, Q (k) = P (k) (X + ) et donc Q (k) (0) = P (k) (). Finlement, on P = Q (X ) ( ) P (k) () = X k (X ) k! k=0 P (k) () = (X ) k k! k=0 Proposition Soit P K[X] non nul, r N et K. est rcine d ordre r de P si et seulement si P (r) () 0 et pour tout k [[0, r 1], P (k) () = 0 L réciproque est fusse! Pr exemple si P = X 2 1, lors 0 est rcine de multiplicité 1 de P, mis n est ps rcine de multiplicité de P (ce n est même ps une rcine de P ). On peut pr contre énoncer le résultt suivnt : si est rcine d ordre r 1 de P et si est rcine, de P, lors est rcine d ordre r de P. 4 Arithmétique de K[X] 4.1 PGCD Dns cette prtie, pour tout K[X], on note D() l ensemble des diviseurs de et pour tout couple (, b) K[X], D(, b) l ensemble des diviseurs communs à et b. On remrquer que D(, b) = D() D(b). Remrque Soit d et d deux polynômes. D(d) = D(d ) si et seulement si d et d sont ssociés. 2. En prticulier, si on D(d) = D(d ) et que d et d sont unitires, lors d = d et pour tout polynôme d, il existe d unitire vérifint D(d ) = D(d). 201

202 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Lemme (lemme d Euclide). Soient (, b) K[X] 2, vec b 0. Notons r le reste de l division euclidienne de pr b. Alors D(, b) = D(b, r). Soit d D(, b). Alors s écrit sous l forme bq + r donc r = bq, or d et d b, donc d divise bq, donc divise r. Donc D(, b) D(b, r). Réciproquement, soit d D(b, r), lors s écrit sous l forme bq + r or d b et d r donc d divise. Donc D(b, r) D(, b). Théorème Soit (, b) K[X] 2 vec (, b) (0, 0). Alors, il existe d K[X] tel que D(, b) = D(d). Ce résultt repose sur un lgorithme, ppelé lgorithme d Euclide. En utilisnt les objets «polynômes» fournis pr l bibliothèque python numpy, cet lgorithme s écrit : def euclide (, b ) : " " " Pré c o n d i t i o n (, b )!= ( 0, 0 ) " " " R0 = bs ( ) R1 = bs ( b ) while R1 > 0 : # I n v r i n t : D(R0, R1) = D(, b ) # e t R0 >= 0 e t R1 >= 0 # e t (R0, R1)!= ( 0, 0 ) # Vrint : R1 ( q, R2 ) = diveuclide ( R0, R1 ) R0 = R1 R1 = R2 # S o r t i e de b o u c l e : R1 == 0 return R0 Soit et b deux polynômes non tous les deux nuls. Il est clir que l ppel euclide(,b) termine. L vleur d retournée vérifie D(, b) = D(d, 0) et (d, 0) (0, 0). Or D(d, 0) est l ensemble des diviseurs de d donc D(, b) est bien l ensemble des diviseurs d un polynôme d. Un utre point de vue sur cet lgorithme est l suite r définie de l fçon suivnte : r 0 = r 1 = b { diveuclide(rn, r n+1) si r n+1 0 n N, r n+2 = 0 sinon À prtir d un certin rng, cette suite est nulle, sinon l suite (deg(r n)) n N serit strictement décroissnte (du moins, à prtir du rng 1), ce qui serit bsurde. Pr illeurs, pour toutes les vleurs de n pour lesquelles (r n, r n+1) (0, 0), on D(r n, r n+1) = D(, b). En prticulier, pour l dernière vleur non-nulle r n, on D(r n, 0) = D(, b). L lgorithme d Euclide n est rien d utre que le clcul des termes successifs de l suite (r n) : en numérotnt les tours de boucle (à prtir de 0) dns l lgorithme précédent, on peut d illeurs noter qu u nème tour de boucle, R 0 contient l vleur de r n, et R 1 celle de r n+1. Remrque D près l remrque 4.1.1, il existe donc un unique d unitire tel que D(, b) = D(d). Définition Soit et b deux polynômes vec (, b) (0, 0), lors on ppelle plus grnds diviseurs communs de et b (pgcd de et b) les polynômes d vérifint D(d) = D(, b). L unique polynôme unitire prmi ceux-ci est ppelé le pgcd de et b et noté PGCD(, b) ou b. On convient que PGCD(0, 0) = 0. Remrque L existence des pgcd ssurée pr le théorème D près l remrque 4.1.1, il y en donc un nombre infini. 2. L existence et l unicité du pgcd unitire est ssurée pr l remrque Les pgcd de et b sont les polynômes de degré mximum de D(, b). 4. Si et b sont deux polynômes de R[X], nous vons déjà vu que leurs divisoions euclidiennes dns C[X] et R[X] sont les mêmes. Le lemme d Euclide ssure donc que le PGCD de et b dns C[X] est le même que leur PGCD dns R[X]. L unicité du PGCD permet églement de s en ssurer. 5. L reltion de divisibilité n est ps une reltion d ordre sur K[X], mis induit une reltion d ordre sur l ensemble des polynômes unitires. Le pgcd de deux polynômes unitire et b est lors le mximum des polynômes unitires de D(, b) pour et est donc l borne inférieure de et b pour. On peut donner l crctéristion suivnte : 202

203 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Proposition Soient (, b, d) K[X] 3. d est un pgcd de et b si et seulement si d et d b et pour tout n K[X] vérifint n et n b, on n d. Remrquons successivement : 1. d et d b d D(, b) D(d) D(, b). L dernière équivlence peut se démontrer comme suit : le sens direct provient de l trnsitivité de l reltion de divisibilité (si d est un diviseur de, tout diviseur de d est un diviseur de ; idem vec b) ; le sens indirect vient du fit que D(d) contient d. [ ] 2. n K[X], (n et n b) n d D(d) D(, b) découle directement de l définition de D(d) et D(, b). 3. Pr conséquent, on [ d et d b et n K[X], (n et n b) n d ] si et seulement si D(d) = D(, b), si et seulement si d est un pgcd de et b. On églement : Proposition Soient (, b, c) K[X] 3. Alors (c) (bc) = 1 λ c( b), où λ est le coefficient dominnt de c. Soit δ = b et = (c) (bc). Il suffit de montrer que cδ et sont ssociés, et pour cel nous llons montrer que cδ et cδ. 1. δ et δ b, donc cδ c et cδ bc. Pr suite cδ. 2. c c et c bc, donc c. Ainsi il existe p R[X] tel que = pc. Donc pc = c et pc = bc. Le polynôme c étnt non nul, on en déduit p et p b, et donc p δ. Finlement = pc δc. On donc le résultt. Théorème (Théorème de Bézout, première prtie). Soient (, b) K[X] 2. Il existe deux polynômes u et v tels que u + bv = b. Un tel couple est ppelé un couple de Bézout de et b. L idée de l démonstrtion est de regrder ce qui se psse dns l lgorithme d Euclide. On constte qu à chque étpe, les vribles R 0 et R 1 sont des combinisons linéires (à coefficients polynomiux) de et b. À l fin de l lgorithme, le pgcd R 0 est donc une combinison linéire de et b. Pour clculer les coefficients de Bézout, on ur recours à l lgorithme d Euclide étendu. Celui-ci est un simple jout à l lgorithme vu précédemment ; on introduit en effet des vribles U i et V i pour i = 0, 1 qu on v modifier u fur et à mesure de l exécution de fçon à grntir R 0 = U 0 + V 0b et R 1 = U 1 + V 1b. En python, en supposnt 4 que l existence d un type des polynômes, et à condition que les nottion + et * soient utorisées pour l somme et le produit de polynômes (et pour le produit d un polynôme pr un sclire), cet lgorithme s écrit : def euclide_etendu (, b ) : " " " Pré c o n d i t i o n (, b )!= ( 0, 0) " " " R0 = bs ( ) i f < 0 : U0 = 1 else : U0 = 1 V0 = 0 # I n v r i n t : R0 == U0 + V0 b R1 = bs ( b ) U1 = 0 i f b < 0 : V1 = 1 else : V1 = 1 # I n v r i n t : R1 == U1 + V1 b # I n v r i n t : D(R0, R1) == D(, b ) while R1 > 0 : # I n v r i n t s : # D(R0, R1) == D(, b ) # R1>=0 e t R2>=0 # (R1, R2)!= ( 0, 0) # R0 == U0 + V0 b # R1 == U1 + V1 b # Vrint : R1 ( q, R2 ) = diveuclide ( R0, R1 ) # donc R2 = R0 q R1 U2 = U0 q U1 V2 = V0 q V1 # R2 = U2 + V2 b R0, U0, V0 = R1, U1, V1 R1, U1, V1 = R2, U2, V2 # R1 == 0 return ( R0, U0, V0 ) (ttention cependnt, l lgorithme ci-dessus ne retourne ps le pgcd mis un pgcd vec les coefficients de Bézout ssociés). Là encore, une utre fçon de considérer cet lgorithme est de regrder les suites r, u et v, où r est l suite considérée précédemment, où u et v vérifient r i = u i + v ib pour i = 0, 1 et pour n tel que r n+1 soit non nul, u n+2 = u n q n+1 et v n+2 = v n qv n+1, où q est le 4. Il existe des bibliothèques pour cel (numpy pr ex.)! 203

204 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES quotient de l division euclidienne de r n pr r n+1. Là encore, il n est ps difficile de montrer pr récurrence double que tnt que (r n, r n+1) (0, 0), on r n = u n + v nb. Le couple des coefficients de Bézout n est ps unique. Pr exemple on 1 (2X 2 + X) 2X X = X (X + 1) (2X 2 + X) (2X 2 + 3X) X = X Exemple Clcul d un couple de Bézout pour P = 2X 5 3X 4 + 5X 3 X 2 X + 2 et Q = 2X 4 5X 3 + 9X 2 8X + 4 Le cs (, b) = (0, 0) est trivil (dns ce cs, et b ne sont ps premiers entre eux et il n existe ps de couple de Bézout). Considérons donc (, b) K[X] 2 \ { (0, 0) }. Supposons et b premiers entre eux. Alors, d près le théorème de Bézout première prtie, on le résultt. Réciproquement, supposons qu il existe deux polynômes u et v vérifint u + bv = 1. Soit lors d D(, b). On d et d b, donc d (u + bv), donc d 1, donc d K. Donc D(, b) K. u+bv = 1 implique b = 1, mis u+ bv = d n implique ps b = d, mis simplement ( b) d. 4.2 Polynômes premiers entre eux Définition Deux polynômes et b sont dit premiers entre eux si et seulement si (, b) (0, 0) et b = 1. Corollire Soit, b K[X]\ { (0, 0) }. Alors en posnt d = b, et b s écrivent respectivement sous l forme d et b d où (, b ) K[X] 2. On lors b = 1 Remrque Le PGCD de deux polynômes réels étnt le même dns C[X] et R[X], lors deux polynômes réeles sont premiers dns R[X] si et seulement si ils le sont dns C[X]. 2. et b sont premiers entre eux si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont les éléments inversibles de K[X], en d utres termes si et seulement si D(, b) K (ce qui est équivlent à D(, b) = K ). 3. si et b sont irréductibles, lors ils sont soit premiers entre eux, soit ssociés. En prticulier, si et b sont irréductibles et unitires, lors ils sont soit premiers entre eux, soit égux. Théorème (Théorème de Bézout, seconde prtie). Soient, b K[X]. et b sont premiers entre eux si et seulement s il existe deux polynômes u et v tels que u + bv = 1. On utilise les deux versions du théorème de Bézout : On sit qu il existe u et v vérifint d = u + bv, d où 1 = u + b v, d où et b sont premiers entre eux. Remrque Ce corollire est très fréquemment utilisé. Corollire (i) Soient premier vec k polynômes b 1, b 2,..., b k. Alors est premier vec b 1.b b k. (ii) Si et b sont premiers entre eux, lors pour tous m, n N, m et b n sont églement premiers entre eux. (i) On trite le cs k = 2, le cs générl s en déduit imméditement pr récurrence. Il existe i et b i vérifint u i+b iv i = 1 pour i = 1, 2. En multiplint ces deux reltions, il vient successivement 1 = (u 1 + b 1v 1)(u 2 + b 2v 2) 1 = 2 u 1u 2 + u 1b 2v 2 + b 1v 1u 2 + b 1v 1b 2v 2 1 = (u 1u 2 + u 1b 2v 2 + b 1v 1u 2) + b 1b 2(v 1v 2) D où le résultt. 204

205 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES (ii) On pplique (i) à et b.b.b.....b, puis (i) à b n et Plus proprement, l résultt se démontre pr récurrence. Théorème (Théorème de Guss). Soient (, b, c) K[X] 3. On suppose bc et b = 1. Alors c. On b = 1 donc 1 s écrit sous l forme u + bv vec (u, v) K[X] 2. Donc c = c 1 = (cu) + (bc)v. Donc c est combinison linéire à coefficients dns K[X] de et bc. Or bc est un multiple de donc c est un multiple de. Théorème (Unicité de l décomposition en fcteurs irréductibles). Tout polynôme non nul se décompose de fçon unique comme produit d un sclire pr des irréductibles unitires, à l ordre près des fcteurs. On déjà vu l existence. Il reste donc à montrer l unicité. Pr l bsurde, supposons qu il existe un polynôme dmettnt deux décompositions. Alors il existe un polynôme P de degré miniml dmettnt deux décompositions distinctes λ A k=1 k et µ b B k=1 k, où (, b) N 2, (λ, µ) K 2 et les A k et les B k sont irréductibles pour k pprtennt respectivement à [[1, ]] et [[1, b]]. Alors λ et µ sont le coefficient dominnt de P, donc sont égux. Donc A k=1 k = b B k=1 k. On 0. En effet, sinon on urit b = 0 et on urit dns les deux cs à un produit vide, il urit donc unicité. De même b 0. Remrquons que pour tout k [[1, b]], A est premier vec B k. En effet, sinon il existerit k 0 [[1, b]] tel que A et B k0 ne soient ps premiers entre eux. Or ils sont irréductibles, donc ils sont égux. Donc on 1 A k = k=1 k [1,b ] k k 0 Il existe donc un polynôme de degré strictement plus petit que deg P, dmettnt deux décompositions distinctes, ce qui est bsurde. Donc A est donc premier vec b B k=1 k, donc vec P. Or A divise P et n est ps un polynôme constnt. C est donc bsurde. B k Remrque Comme pour les entiers, nous pouvons donner les résultts suivnts : Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement s ils n ont ucunn fcteur irréductible en commun ; l notion de vlution d un polynôme irréductible dns un polynôme peut se définir, et permet de clculer le PGCD de deux polynômes A et B, en considérnt le minimum des vlutions d un même fcteur irréductible dns A et B. En nticipnt sur les prgrphes qui suivent, l vlution est églement utilisée pour le PPCM de deux polynômes, mis ussi les PGCD et PPCM d une fmille de polynômes. 4.3 PGCD de n polynômes. Comme dns le cs de l rithmétique sur les entiers, on introduit l notion de PGCD de plusieurs polynômes et de polynômes premiers entre eux dns leur ensemble. Définition Soit (A 1,..., A n ) K[X] n, on note n D(A 1,..., A n ) = D(A i ) l ensemble des i=1 diviseurs communs à tous ces polynômes. Proposition Soit (A 1,..., A n ) K[X] n, il existe un polynôme D unique à ssocition près tel que D(A 1,..., A n ) = D(D). L unicité à ssocition près est évidente. On montre pr récurrence que n N, H n : (A 1,..., A n) K[X] n, D K[X], D(A 1,..., A n) = D(D). Initilistion : OK. Hérédité : Soit n N, supposons H n et montrons H n+1. Soit (A 1,..., A n+1) K[X] n+1. D près H n, il existe D 1 tel que D(A 1,..., A n) = D(D 1). On 205

206 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES lors D(A 1,..., A n+1) = d où H n+1. n+1 i=1 D(A i) = D(A 1,..., A n) D(A n+1) = D(D 1) D(A n+1) = D(D 1 A n+1), Remrque On toujours D(A 1,..., A n, 0) = D(A 1,..., A n ). Théorème (Théorème de Bézout.). Soit (A 1,..., A n ) K[X] n, non tous nuls. 1. Il existe (U 1,..., U n ) K[X] n tel que A i U i = A 1 A n. i=1 2. S il existe (U 1,..., U n ) K[X] n tel que A i U i = 1, lors les (A i ) n i=1 sont premiers i=1 entre eux dns leur ensemble. Définition Soit (A 1,..., A n ) K[X] n, non tous nuls. On note lors A 1 A n = PGCD(A 1,..., A n ) l unique polynôme unitire D vérifint D(A 1,..., A n ) = D(D) (un polynôme non unitire vérifint ceci est un PGCD). On convient que PGCD(0,..., 0) = 0. Corollire Soit A 1,..., A n K[X], tels que les A 1,..., A n 1 soient non tous nuls. On lors A 1 A n = (A 1 A n 1 ) A n. Corollire Soit (A 1,..., A n ) K[X] n, non tous nuls, soit D K[X] unitire. Alors D = A 1 A n si et seulement si 1. i {1,..., n}, D A i ; 2. P K[X], ( i {1,..., n}, P A i ) P D. Définition Des polynômes A 1,..., A n sont dits premiers entre eux dns leur ensemble si A 1 A n = 1, c est-à-dire si D(A 1,..., A n ) = K. Exctement comme pour les entiers, en remrqunt que s il existe D et U 1,..., U n vérifint A iu i = D, lors A 1 A n D. i=1 Remrque Si une fmille finie de polynômes contient deux polynômes premiers entre eux, lors les polynômes de cette fmille sont premiers entre eux dns leur ensemble. Exemple Comme dns le cs des entiers, des polynômes qui ne sont ps premiers entre eux deux à deux peuvent être premiers entre eux dns leur ensemble. Exhiber une telle fmille. 4.4 PPCM Pour tout polynôme, b, l ensemble des multiples de est noté K[X]. L ensemble des multiples communes à et b est donc K[X] bk[x]. Remrque Soit d et d deux polynômes. dk[x] = d K[X] si et seulement d et d sont ssociés. 2. En prticulier, si on dk[x] = d K[X] et que d et d sont unitires, lors d = d et pour tout polynôme d, il existe d unitire vérifint d K[X] = dk[x]. 206

207 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Théorème Soit (, b) K[X] 2. Alors il existe m K[X] tel que K[X] bk[x] = mk[x]. Dns le cs où ou b est nul, on évidemment K[X] bk[x] = 0K[X]. On suppose donc pr l suite que et b sont tous deux non nuls. Posons d = b. Alors (resp. b) est de l forme d (resp. b d) et et b sont premiers entre eux. Posons m = b d. m est un multiple de et de b, donc mk[x] K[X] et mk[x] bk[x]. Donc mk[x] K[X] bk[x]. Réciproquement, soit c K[X] bk[x]. Alors c est multiple de d donc c s écrit c d, où c K[X]. De plus c est multiple de donc s écrit sous l forme u, où u K[X]. Donc c d = u d, donc c = u. De même, c est de l forme vb, où v K[X]. Donc b u. Or et b sont premiers entre eux, donc b u. Donc b d u d, or m = b d et c = u d. donc c mk[x]. Définition Soit et b deux polynômes. Alors on ppelle plus petits communs multiples de et b (ppcm de et b) les polynômes d tels que l ensemble K[X] bk[x] des multiples communs à et b soit l ensemble dk[x] des multiples de d. On ppelle le ppcm de et b le seul de ces ppcm qui soit unitire ou nul. Il est noté PPCM(, b) ou b. Remrque Cette définition est justifiée pr l remrque et le théorème b = 0 si et seulement si ou b est nul. Remrque Sur l ensemble des polynômes unitires, le ppcm de deux polynômes et b est donc l borne supérieure de et b pour l ordre. On peut donner l crctéristion suivnte : Proposition Soient, b, m Z. m est un ppcm de et b si et seulement si on 1. m ; 2. et b m ; 3. et pour tout n K[X], n et b n m n. On églement : Proposition Soient, b, c K[X], vec c 0. (i) (c) (bc) et c( b) sont ssociés. (ii) b et ( b).( b) sont ssociés. Exemple Clculer X 2 4X + 3 X 2 + X 2. 5 Formule d interpoltion de Lgrnge Dns cette prtie, on considère un entier n et (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ) des couples d éléments de K. On imerit svoir s il existe un polynôme P vérifint i [[0, n] P (x i ) = y i, (XIV.4) dit utrement, on cherche s il existe une fonction polynomile dont le grphe psse pr tous les points (x i, y i ) pour i [[0, n]. Il est bien évident que s il existe i et j distincts tels que x i = x j et y i = y j, on peut supprimer le couple (x j, y j ) de l liste des couples considérés sns chnger le problème. Il est évident églement que s il existe i et j distincts tels que x i = x j et y i y j, il n existe ps de solution. C est pourquoi, pr l suite, on suppose que x 0,..., x n sont deux à deux distincts. Définition On ppelle bse de Lgrnge ssociée ux points x 0,..., x n le (n + 1)-uplet (L 0,..., L n ) vérifint pour tout i [[0, n] : (X x j ) L i = 1 α i j [0,n ] j i 207

208 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES où α i = j [0,n ] j i (x i x j ). existe un unique (λ 0,..., λ n ) K n+1 tel que P = λ i L i. i=0 Proposition Pour tout (i, j) [[0, n]] 2, on L i (x i ) = 1 et L i (x j ) = 0 si j i. Autrement dit, dns tous les cs, on L i (x j ) = δ i,j. Corollire Soit (λ 0,..., λ n ) K n+1. Alors, en posnt P = λ i L i, i=0 on pour tout i [[0, n] : P (x i ) = λ i. Théorème Il existe un unique polynôme P de degré u plus n vérifint l éqution (XIV.4). Il s git du polynôme y i L i. i=0 Unicité sous réserve d existence Soit P et Q deux polynômes de degré u plus n vérifint l propriété demndée. Alors P et Q coïncident en n + 1 points distincts et sont de degré u plus n donc P et Q sont égux. Existence Le polynôme donné dns l énoncé vérifie évidemment l éqution (XIV.4). Pr illeurs, il s git d une combinison linéire de polynômes qui sont tous de degré n. Il est donc de degré u plus n. Exercice Montrer que pour tout P K n [X], il existe un Corollire L ensemble des polynômes vérifint l éqution (XIV.4) est où { P D + P 0 P K[X] } n D = (X x i ), i=0 P 0 = y i L i. i=0 Remrquons tout d bord que pour tout i [[0, n]], on D(x i) = 0. Anlyse Soit Q un polynôme vérifint l éqution (XIV.4). En effectunt l division euclidienne de Q pr D, on peut écrire Q sous l forme P D+R où P K[X] et R K[X] vec deg R < n + 1. On donc deg R n. De plus, pour tout i [[0, n]], on R(x i) = Q(x i) P (x i)d(x i) = y i P (x i) 0 = y i. Donc R est nécessirement le polynôme P 0 et P s écrit sous l forme P D + P 0. Synthèse Réciproquement, soit P un polynôme. Posons Q = P D + P 0. Alors pour tout i [[0, n]], on Q(x i) = P (x i) 0 + P 0(x i) = y i. Donc Q vérifie l éqution (XIV.4). Conclusion L ensemble des polynômes vérifint l éqution (XIV.4) est { P D + P 0 P K[X] }. Remrque En exprimnt l éqution (XIV.4) sous l forme (P (x 0 ),..., P (x n )) = (y 0,..., y n ), cet ensemble de solutions est encore un ensemble de l forme solution prticulière plus l ensemble des solutions de l éqution homogène ssociée. 208

209 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES 6 Annexe : construction de K[X] L construction de K[X] n est ps exigible, cette prtie est une version lterntive ux prties 1.1 et 1.2. Définition On ppelle support d une suite u à vleurs dns K l ensemble des entiers n tels que u n 0. Si cet ensemble est fini, u est dite à support fini. Remrque Une suite u est à support fini si et seulement si elle est nulle à prtir d un certin rng. 2. Toute suite à support fini converge donc vers 0 mis l réciproque est évidemment fusse 5. On peut lors construire l nneu des polynômes à coefficients dns K comme suit. Définition On note K[X] l ensemble des suites à support fini à vleurs dns K. Remrque K[X] hérite ussi de l multipliction sclire de K N. On dir plus trd que c en est un sous-espce vectoriel. Remrque Pr l injection K K[X], x (x, 0,... ), on voit K comme étnt inclus dns K[X]. C en est ussi un sous-groupe (et un sous-espce vectoriel). On identifier pr exemple le réel 1 u polynôme (1, 0,... ). On montre que c est un sous-groupe de (K N, +). L suite nulle est bien entendu à support fini. Il suffit donc de montrer que l différence de deux polynômes est un polynôme. Soit P et Q deux polynômes de degrés p et q respectivement. Si n mx(p, q), lors P n Q n = 0 donc P Q est un polynôme. Définition Soit P = (P n ) et Q = (Q n ) deux polynômes, on définit le polynôme P Q pr : ( n ) P Q = P k Q n k. k=0 n N Définition Soit P = (P n ) n N un polynôme. Si P n est ps l suite nulle, le degré de P est le plus grnd rng d pour lequel P d 0. Si P est l suite nulle, on considère que c est. Dns tous les cs, on peut écrire : deg P = sup {d N, P d 0}. Définition L ddition sur K[X] est celle de K N, on l noter +. (K[X], +) est lors un groupe bélien. 5. Pr illeurs, dns ce chpitre, le fit que les suites à support fini convergent n est d ucun intérêt. Proposition Si P et Q sont deux polynômes, P Q est un polynôme de degré deg P + deg Q. Si P ou Q sont nuls, il est évident que P Q = 0. Sinon, notons p et q les degrés respectifs de P et de Q. Soit n > p + q, soit k 0, n. Si k > p, lors P k = 0 et si k p, n k n p > q, donc Q n k = 0. Ainsi, si n > p + q, P k Q n k = 0 et P Q est donc bien un k=0 polynôme, de degré u plus p + q. Il suffit ensuite de voir que (P Q) p+q = P pq q 0 pour obtenir le degré de P Q. Théorème (K[X], +, ) est un nneu. 209

210 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES Remrque L structure multiplictive de K[X] est différente de celle de K N, K[X] n est ps un sous-nneu (notion HP) de K N. Le crctère de groupe bélien déjà été vu, le reste des propriétés se montre de mnière élémentire, mis fstidieuse. L écriture cnonique introduite plus bs permet un peu d lléger les nottions. Définition On note X l suite toujours nulle, suf pour le terme de rng 1 qui vut 1 : X = (0, 1, 0, 0,...). Proposition Pr convention, X 0 = 1. De plus, si n 1, X n = (0,..., 0, 1 }{{} n fois }{{} (n+1) e position, 0,...). On s utorise donc à écrire P = + n=0 P n X n d et, pour tout polynôme Q = P n X n, on bien n=0 insi que P + Q = P Q = + n=0 + ( n n=0 (P n + Q n )X n k=0 P k Q n k )X n. Enfin, on retrouve les mêmes nottions que clssiquement. Plus formellement, si k N, (X n ) k = { 1 si k = n + 1 ; 0 sinon. On le montre isément pr récurrence sur n, en remrqunt que pour tout polynôme P le k e coefficient de P X est le (k 1) e coefficient de P. On obtient donc l représenttion usuelle des polynômes. Corollire Soit P = (P n ) n N un polynôme de degré d. On lors d P = P n X n. n=0 De plus, pour tout entier d d, P = d n=0 P n X n. Définition Soit P un polynôme de l forme + k=0 k X k, non nul. Le coefficient deg P est ppelé coefficient dominnt de P et on dit que degp X deg P est le monôme dominnt de P. Si le coefficient dominnt de P vut 1 on dit que P est unitire. Pour tout entier n N, on note K n [X] l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égl à n. Remrque K n [X] n est ps l ensemble des polynômes de degré égl à n. 2. K = K 0 [X] K 1 [X] K 2 [X] K[X]. 3. K n [X] est un sous-groupe de (K[X], +). 4. Soit P un polynôme de degré d et n N vérifint n d lors P peut s écrire sous l forme k X k. k=0 210

211 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES 7 Annexe : fonctions polynomiles à vleurs dns un nneu Dns cette section, on considère un entier nturel n fixé et on pose A = K ou A = M n (K). Dns tous les cs, A, muni de l ddition et de l multipliction usuelle est un nneu. Notons 0 A et 1 A les neutres respectifs pour l ddition et l multipliction dns A. Il s git de 0 et 1 si A = K et de 0 Mn(K) et I n si A = M n (K). Dns les deux cs, on dispose d une loi de composition externe, que nous noterons : K A A. C est l multipliction usuelle dns K si A = K et l multipliction d une mtrice pr un sclire si A = M n (K). Dns les deux cs, on d une prt les propriétés suivntes 6 : 1. L loi est distributive à guche pr rpport à l ddition dns A et à droite pr rpport à l ddition dns K. 2. Elle vérifie l propriété d ssocitivité mixte pr rpport à l multipliction dns K. 3. l élément neutre de K est neutre à guche pour. Autrement dit, pour tout (λ, µ) K 2 et tout (x, y) A 2 : 1. λ (x + A y) = λ x + A λ y et (λ + K µ) x = λ x + A µ x. 2. (λ K µ) x = λ (µ x) x = x. Dns les deux cs, on de plus l propriété dditionnelle 7 que pour tout (λ, µ) et tout (x, y), on : (λ x) A (µ y) = (λ K µ) (x A y) Si on met l ccent sur ces seules propriétés, c est prce qu elles sont suffisntes pour montrer tout ce dont nous urons besoin dns cette prtie, sns 6. On dit que (A, +, ) est un K-espce vectoriel. 7. Un nneu (A, +, ) tel que (A, +, ) est un K-espce vectoriel et qui vérifie cette propriété est ppelé une K- lgèbre. plus voir besoin de distinguer le cs A = K du cs A = M n (K). Pr exemple, le fit que pour élément x de A on 0 x peut se montrer en remrqunt qu on 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x. Définition Soit P = + k=0 k X k un polynôme et x un élément de K. On ppelle évlution du polynôme P en x et on note P (x) l élément de A défini pr P (x) = + k=0 Exemple On pose P = X 2 + 2X + 3 k x k 1. Que vut l évlution de P en 2? ( ) Que vut l évlution de P en? 0 1 Proposition Soit x A fixé. Alors l ppliction d évlution en x, evl x : K[X] A est un P P (x) morphisme d nneu ; utrement dit pour tout (P, Q) K[X] 2, on 1. P + Q(x) = P (x) + Q(x) ; 2. P Q(x) = P (x) Q(x) ; 3. 1 K[X] (x) = 1 A. De plus, on P Q(x) = P (Q(x)) L suite du cours considère uniquement le cs A = K, le cs A = M n (K) fer l objet d une étude plus pprofondie en spé. 211

212 CHAPITRE XIV. POLYNÔMES 212

213 Chpitre XV Dérivbilité 1 Définitions et premières propriétés Définitions Opértions sur l dérivbilité Dérivées successives Les grnds théorèmes Théorème de Rolle Extremums locux b Condition nécessire d extremum locl c Une conséquence : le théorème de Rolle Églité et inéglité des ccroissements finis Dérivbilité et sens de vrition Limite de l dérivée Théorème des ccroissements finis et suites récurrentes Extension u cs des fonctions complexes

214 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ Suf mention du contrire, I et J sont deux intervlles de R et f : I R, et I. 1 Définitions et premières propriétés 1.1 Tux d ccroissement Définition Soit x, y I vec x y, on note τ f (x, y) le tux d ccroissement de f entre x et y, défini comme f(y) f(x) le réel. Pour x fixé, on noter y x τ f,x : I \ { x } R t τ f (x, t) Remrque On toujours τ f (x, y) = τ f (y, x). Remrque τ f (x, y) est l pente de l corde de l courbe f relint les points d bscisses x et y. 1.2 Définitions. k=0 x k n k. Il suffit lors de psser à l limite. Proposition Soit l un réel. Les propositions suivntes sont toutes équivlentes. (i) f est dérivble en et f () = l ; (ii) τ f, dmet pour limite l en ; (iii) on peut prolonger τ f, pr continuité en et son prolongement est ˆτ f, : I R { τf, (x) si x x l si x = (iv) il existe une ppliction ϕ f, : I R continue en, vérifint ϕ f, () = l et x I f(x) = f() + (x )ϕ f, (x) (v) il existe une fonction ε : I R, de limite nulle en, telle que pour tout x I, f(x) = f() + (x ) l + (x )ε(x). Définition Soit I. On dit que f est dérivble en si τ f, dmet une limite finie en. On ppelle lors dérivée de f en ou nombre dérivé de f en cette limite, que l on note f (). Remrque τ f, dmet une limite finie en si et seulement si f( + h) f() dmet une limite finie qund h h tend vers 0 et ces deux limites sont lors égles. Exemple Si f est constnte, f () = 0 pour tout I. 2. Dérivée de x x n+1 en, pour n entier nturel : pour tout x R, x n+1 n+1 = (x ) x k n k, donc xn+1 n+1 = x k=0 Remrque On trduir plus trd le point (??) comme suit : «f dmet, u voisinge de, le développement limité f(x) = f() + (x ) l + o(x )». On évidemment (i) (ii) d près l définition de l dérivée. Montrons les utres équivlences pr implictions successives. (ii) (iii) C est immédit à prtir de l définition de prolongement pr continuité. (iii) (iv) Supposons (iii). Posons ϕ f, = ˆτ f,. Alors, ϕ f, est continue en et on bien ϕ f, () = l. Enfin, soit x I. Si x =, on clirement f(x) = f() + (x )ϕ f, (x). Si x, on ϕ f, (x) = f(x) f() x, d où f(x) f() = (x )ϕ f, (x). On donc x I f(x) = f() + (x )ϕ f, (x) 214

215 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ (iv) (v) Supposons (iv). ϕ f, est continue en donc tend vers ϕ f, () = l en. Il suffit lors de poser ε = ϕ f, l. (v) (ii) Supposons (v). Alors, pour x I \ {}, on successivement : f(x) = f() + (x ) l + (x )ε(x), f(x) f() = l + ε(x), x τ f, (x) = l + ε(x). Donc τ f, (x) x l. Remrque L crctéristion (iv) est prfois ppelée crctéristion de Crthéodory. 2. Lorsque f est dérivble en, l fonction ϕ f, de l crctéristion de Crthéodory coïncide nécessirement vec le tux d ccroissement τ f, sur I \ { } et est continue en, c est donc le prolongement pr continuité ˆτ f, du tux d croissement en. 3. L crctéristion (v) est prfois ppelée crctéristion de Hilbert. 4. Sous l forme donnée plus hut, l crctéristion de Crthéodory et celles de Hilbert sont utiles lorsqu on veut utiliser une hypothèse disnt que f est dérivble en. Lorsqu on veut les utiliser pour montrer que f est dérivble en, on les utiliser plutôt sous les formes x I f(x) f() = (x )ϕ f, (x) f(x) f() = (x ) l + o(x ) Théorème Si f est dérivble en, lors f est continue en. C est une conséquence directe de l crctéristion de Crthéodory (et de celle de Hilbert). L réciproque est fusse : 1. L ppliction vleur bsolue n est ps dérivble en 0, son tux d ccroissement en 0 ynt des limites à guche et à droite distinctes en L ppliction rcine crrée n est ps dérivble en 0, son tux d ccroissement tendnt vers + en 0. Cel nous mène à l notion de dérivbilité à guche et à droite : Définition On dit que f est dérivble à guche en (resp. à droite en ) si l fonction f ],] I (resp f [,+ [ I ) est dérivble en, c est-à-dire si le tux d ccroissement τ f, de f en dmet une limite finie à guche (resp. une limite finie à droite). Dns ce cs, cette limite est ppelée dérivée à guche (resp. à droite) de f en et est notée f g() (resp. f d ()). Exemple L ppliction vleur bsolue est dérivble à guche en 0 (de dérivée à guche 1), insi qu à droite (de dérivée à droite 1). Remrque Si f est dérivble à droite (resp. à guche) lors elle est continue à droite (resp. à guche). Définition (Interpréttion géométrique). Si f est dérivble (resp. dérivble à guche, resp. dérivble à droite) en, on ppelle tngente à f en (resp. demi-tngente à f à guche en, resp. demi-tngente à f à droite en ) l droite d éqution y = f() + f ()(x ) (resp. l demi-droite d éqution y = f() + f g()(x ) et x, resp. l demi-droite d éqution y = f() + f d ()(x ) et x ). Remrque Le membre droit de cette éqution n est utre que l prtie linéire du développement limité donné pr l crctéristion de Hilbert. 215

216 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ Théorème f est dérivble en si et seulement si f est dérivble à guche et à droite en et f g() = f d (). C est une conséquence directe des résultt sur les limites de fonction : le tux d ccroissement τ f, de f en, qui n est ps défini en dmet une limite en si et seulement s il dmet des limites à guche et à droite en et que ces limites sont égles. Exemple Vleur bsolue en L fonction R R { f : ln(1 + 2x) si x 0 x 2e x 2 si x < 0 est-elle dérivble en 0? On clcule les dérivées à guche et à droite en revennt à l définition : à guche, on constte 2(e x 1) 2, à droite, x x 0 ln(1 + 2x) 2, donc f est dérivble x x 0 + en 0 et f (0) = Les fonctions f n : R R x n sin 1 x x si x 0 0 si x = 0 pour n N, sont-elles dérivbles en 0? Définition Si f est dérivble en tout point de I, on dit qu elle est dérivble sur I. On ppelle lors fonction dérivée de f et on note f, voire Df ou df dx, l ppliction x f (x). 1.3 Opértions sur l dérivbilité Théorème si f, g : I R sont dérivbles en, lors : 1. f + g ussi, et (f + g) () = f () + g () ; 2. f g ussi, et (f g) () = f () g() + f() g () ; 3. λf ussi et (λf) () = λf () ; 4. si g ne s nnule ps u voisinge de, lors 1/g est dérivble u voisinge de et ( ) 1 () g = g () g() 2 5. si g ne s nnule ps u voisinge de, lors f/g est ussi dérivble en et (f/g) () = f ()g() g ()f() (g()) 2 On donne une première démonstrtion en utilisnt directement l définition de l dérivée. Supposons f et g dérivble en. (f + g)(x) (f + g)() 1. Soit x I \ { }, Alors = x f(x) f() g(x) g() +, d où le résultt pr pssge à l limite en x x. 2. Soit x I \ { }, Alors (f g)(x) (f g)() x ( ) ( ) g(x) g() f(x) f() = f(x) + g() x x d où le résultt pr pssge à l limite en. 3. Ce cs est une conséquence directe du précédent (en considérnt le réel λ comme l fonction constnte de vleur λ). 4. Supposons que g ne s nnule ps u voisinge de, lors pour x u voisinge épointé de, on 1/g(x) 1/g() x 1 = g(x)g() g(x) g() x Lorsque x tend vers, le membre droit de cette églité tend vers g ()/g() 2, d où le résultt. 5. Ce résultt se déduit cs du produit ppliqué à f et 1/g : En effet, supposons que g ne s nnule ps u voisinge de. Alors 1/g est dérivble en d près le point précédent, donc f 1/g est dérivble en. De plus ( ) (f 1/g) () = f () 1/g() + f() g () g() 2 = f ()g() g ()f() g() 2 216

217 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ L démonstrtion ci-dessus l vntge de n utiliser que l définition de l dérivée. Elle deux inconvénients : d une prt, le cs du produit n est ps évident à retrouver ; d utre prt cette méthode ne mrcher ps dns le cs de l composition. Voici une utre méthode qui n ps l inconvénient précédent : Supposons f et g dérivbles en et notons ϕ f, et ϕ g, leurs tux d ccroissements en respectifs, prolongés en pr continuité. Soit lors x I, on 1. On donc f(x) =f() + (x )ϕ f, (x) g(x) =g() + (x )ϕ g,(x) Remrque On peut églement effectuer cette démonstrtion en utilisnt l crctéristion de Hilbert plutôt que celle de Crthéodory. Théorème Soit g : J R, f : I R vérifint f(i) J et I. 1. Si f est dérivble en et g dérivble en f(), lors g f est dérivble en et (g f) () = f () g (f()) 2. Si g est dérivble sur J et f sur I, lors g f est dérivble sur J et (g f) = f (g f) (f + g)(x) (f + g)() = (x )(ϕ f, + ϕ g,)(x) Or ϕ f, + ϕ g, pour limite f () + g () en, donc c est une ppliction continue, donc d près l crctéristion de Crthéodory, f + g est dérivble en, de dérivée f () + g (). 2. On (f g)(x) (f g)() =(f() + (x )ϕ f, (x)) (g() + (x )ϕ g,(x)) f()g() =(x )ϕ f, (x)g() + f()(x )ϕ g,(x) + (x ) 2 ϕ f, (x)ϕ g,(x) ( =(x ) ϕ f, (x)g() + f()ϕ g,(x) ) + (x )ϕ f, (x)ϕ g,(x) Or, lorsque x tend vers, ϕ f, (x)g()+f()ϕ g,(x)+ (x )ϕ f, (x)ϕ g,(x) tend vers f ()g() + f()g (). Donc f g est dérivble en, de dérivée f ()g() + f()g (). 3. On 4. On (λf)(x) (λf)() = (x )(λϕ f, )(x) 1 g(x) 1 g() g(x) (x )ψg,(x) = = g() g()g(x) g()g(x) et ψ f,(x) g()g(x) g () x g() 2 Le second point est évidemment une conséquence immédite du premier. Démonstrtion (Erronée). f est dérivble en donc continue en, donc f(x) x f(). Pr composition, on donc g(f(x)) g(f()) f(x) f() x g (f()) De plus f(x) f() f () x x Pr produit, on obtient bien le résultt voulu. Remrque L démonstrtion précédente est erronée, cr elle utilise une hypothèse implicite sur f qui n est ps nécessirement vérifiée. Lquelle? Supposons f (resp. g) étnt dérivble en (resp. en f()) ; on note lors ϕ (resp. ψ) son tux d ccroissement en (resp. en f()) prolongé pr continuité en (resp. en f()). On lors, pour tout x I (g f)(x) (g f)() = (f(x) f())ψ(f(x)) = (x )ϕ(x)ψ(f(x)) f étnt dérivble en, elle est nécessirement continue en ; on en déduit D où le résultt. ϕ(x)ψ(f(x)) x f () g (f()) 217

218 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ Théorème Soit f : I J bijective continue (de réciproque f 1 : J I). Soit I, on note f() = b. Si f est dérivble en (resp. sur I) et si f ne s nnule ps en (resp. sur I), lors f 1 est dérivble en b (resp. sur J) et (f 1 ) (b) = 1 f () (resp. (f 1 ) 1 = f ). f 1 Remrque Moyen mnémotechnique : f f 1 = Id, donc est dérivble de dérivée 1. Or on sit d près le th. de composition, (f f 1 ) = (f 1 ) f f Ce résultt est fux sns l hypothèse de continuité. Considérer pr exemple f : [0, 2[ [ 1, 1[ x x 2 x ) f est bijective et dérivble en 0 de dérivée 1 mis s réciproque n est même ps continue en f(0). En effet il s git de f 1 : [ 1, 1[ [0, 2[ x x 2 x On peut même construire des contreexemples où n est ps une extrémité de l intervlle. 3. Le grphe de f 1 étnt le symétrique de celui de f pr rpport à l droite d éqution y = x, l tngente à f 1 en un point f(), si elle existe, est l symétrique de l tngente à f en pr rpport à l droite d éqution y = x. Pr conséquent, si f () = 0, f 1 une tngente verticle en f(), et s dérivée en ce point n existe ps. Supposons f dérivble en de dérivée f () non nulle. Notons lors ϕ le prolongement pr continuité en de son tux d ccroissement en. On, pour tout x I, f(x) f() = (x )ϕ(x). Soit lors y J. Alors on f(f 1 (y)) f() = (f 1 (y) )ϕ(f 1 (y)), donc y b = ( f 1 (y) f 1 (b) ) ϕ(f 1 (y)) Si y b, on y b 0, donc ϕ(f 1 (y)) 0, et si y = b, on sit déjà que ϕ(f 1 (y)) 0. Donc dns les deux cs, on : On sit montrer que y (f 1 (y) f 1 1 (b)) = (y b) ϕ(f 1 (y)) 1 = 1 ϕ(f 1 (b)) f () 1 ϕ(f 1 (y)), donc pour conclure, il suffit de est continue en b. Or f est une bijection continue de I sur J donc f 1 est églement continue sur J donc en prticulier en b et vut en b. Pr illeurs on sit déjà que ϕ est continue en. On en déduit donc le résultt. Exemple On dmet que exp et sin sont dérivbles. Grâce ux résultts précédents, on peut montrer les résultts connus de dérivbilité de toutes les fonctions usuelles (ln, cos, tn, Arctn, Arcsin, Arccos, ch, sh, th, Argth, Argch, Argsh) Exercice Se fire un formulire reprennt tout ç sur un intervlle, insi notmment que les cs de (f + g), (fg), (f n ), (f g), (1/f), (f 1 ), (ln f), (exp f). 1.4 Dérivées successives k N Définition On définit les dérivées successives pr récurrence. Rppel de nottions : D(I, R), D k (I, R), C k (I, R), C (I, R) = C k (I, R), vec l remrque usuelle : D k+1 C k D k. Exemple x x 2 sin 1/x est dérivble en 0 et sur R, mis s dérivée n est ps continue en 0. Exemple Soit n Z, k N. f n : R + R +. Alors, x x n si n = 0, f 0 = 1 C, si n > 0, si k n, f (k) n = f (k) n n! (n k)! xn k (pr récurrence), si k > n, = 0, si n < 0, f (k) n = ( 1) k (k 1 n)! x n k. ( n 1)! 218

219 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ Théorème Soit n N. Soient f, g C n (I, R). Alors : 1. (f + g) C n (I, R) et (f + g) (n) = f (n) + g (n). 2. (fg)( ) C n (I, R) et (fg) (n) = n f (k).g (n k) (formule de Leibniz). k k=0 3. Cs prticulier : pour λ R, (λf) (n) = λf (n). 4. Si g ne s nnule ps, (f/g) C n (I, R). récurrence, vec l même subtilité que dns l démonstrtion précédente. Pour n N, on note (H n) l ssertion «pour toutes f C n (I, R) et g C n (J, I), on (f g) C n (J, R)». De nouveu (H 0) est trivile. Soit n N. Supposons (H n) et montrons (H n+1). Soit f C n+1 (I, R) et g C n+1 (J, I). Alors on sit que f g est dérivble et que (f g) = g.f g. Or f est de clsse C n, insi que g. En ppliqunt l hypothèse de récurrence (H n) à f et g, on obtient que f g est de clsse C n. Or g est ussi de clsse C n, donc le produit g.f g est de clsse C n. Ainsi (f g) est de clsse C n, donc f g est de clsse C n Fcile pr récurrence, en notnt pour f et g fixées et pour tout n N, (H n) l ssertion «si f et g pprtiennent à C n (I, R) lors (f + g) C n (I, R) et (f + g) (n) = f (n) + g (n)». 2. On fit encore une démonstrtion pr récurrence, en notnt (H n) l ssertion «si f et g pprtiennent à C n (I, R) lors (fg) C n (I, R) et (fg) (n) = ( ) n f (k).g (n k)» : k k=0 (H 0) est évidemment vrie. L hérédité se démontre à l ide de l formule 2 du théorème 1.2.1, et se conduit de l même mnière que l démonstrtion de l formule du binôme de Newton. 4. Encore une récurrence, mis plus subtile cr cette fois on ne fixe ps f et g. Pour n N, on note (H n) l ssertion «pour toutes f, g C n (I, R) telles que g ne s nnule ps, on f/g C n». De nouveu (H 0) se démontre isément. Soit n N. Supposons (H n) et montrons (H n+1). Soit f, g C n+1 (I, R), g ne s nnulnt ps. Alors on sit que f/g est dérivble et (f/g) = f g fg. Mis f g fg est de clsse C n, insi g 2 que g 2, et g 2 ne s nnule ps. On peut donc ppliquer l hypothèse de récurrence (H n) à f g fg et g 2 et en déduire que (f/g) est de clsse C n, donc que f/g est de clsse C n+1. Théorème Soit n N. Soient f C n (I, R) et g C n (J, I). Alors (f g) C n (J, R). (non exigible). L démonstrtion se fit là encore pr Théorème Soit n N. Soit f C n (I, J). Si f est bijective et f ne s nnule ps lors f 1 C n (J, I). (non exigible). L démonstrtion se fit pr récurrence de l même mnière que les deux démonstrtions précédentes. 2 Les grnds théorèmes 2.1 Extremums locux Définition On dit que f un minimum (resp. mximum) locl en s il existe un voisinge V de tel que pour tout x V I, f(x) f() (resp. f(x) f()). On dit que f un extremum locl en si f un minimum ou un mximum locl en. Remrque L condition x V I f() f(x) est équivlente à chcune des ssertions suivntes : (i) f V I dmet un mximum globl en ; (ii) f est mjorée pr f() sur V I ; (iii) f(v I) est mjoré pr f() ; (iv) f() = sup x V I f(x) ; (v) f() = mx x V I f(x). 219

220 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ x 2 3 x3 3x 2 + 4x 1 Théorème Soit I. Si f possède un extremum locl en et si f est dérivble en, lors f () = 0. 1 Figure XV.1 Exemple de fonction possédnt des extremums locux, mis non globux. ( x 2 min x + 1 2, x 1 ) Figure XV.2 Exemple de fonction possédnt des minimums globux non uniques Remrque Il est essentiel que pprtiennent à l intérieur de I. Si est une extrémité de I, on peut considérer le contreexemple Id [0,1], qui possède un minimum globl en 0 et un mximum globl en 1 et est dérivble sur [0, 1] mis dont l dérivée ne s nnule ni en 0 ni en L réciproque est fusse. Ainsi x x 3 une dérivée nulle en 0 sns voir d extremum. Sns perte de générlité, on suppose que f dmet un mximum locl en. Il existe donc un voisinge V 1 de tel que f soit mjorée pr f() sur V 1 I. étnt intérieur à I, il existe un voisinge V 2 de inclus dns I. On lors V 1 V 2 V 1 I, f est donc mjorée pr f() sur V 1 V 2. De plus, V 1 V 2 est un voisinge donc contient un segment [ ε, + ε] où ε > 0. On lors, pour tout x [ ε, + ε], f(x) f() 0. Donc d une prt x [ ε, [ f(x) f() x donc pr pssge à l limite f () 0. Et d utre prt, x ], + ε] f(x) f() x donc pr pssge à l limite f () 0. Donc f () = Une fonction peut voir un minimum en un point sns qu elle ne soit croissnte sur un voisinge à droite ni décroissnte sur un voisinge à guche. Considérer pr exemple l ppliction f : R R { 0 si x = 0 x x 2 (sin 1/x) + 1 sinon Définition Supposons f dérivble, un point I est un point critique de f si f () = 0. Remrque Le théorème s énonce donc insi : tous les extremums locux d une fonction dérivble à l intérieur de son ensemble de définition sont des points critiques de cette fonction. Ou bien : une condition nécessire pour qu un point, à l intérieur de l ensemble de définition d une fonction f 220

221 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ dérivble, soit un extremum locl de f est que soit un point critique de f. Remrque Cette condition nécessire n est ps suffisnte, comme le montre le contre-exemple x x 3 en 0. L étude des extremums (locux ou globux) d une fonction dérivble commencer donc l pluprt du temps pr une étude systémtique de ses points critiques. 2.2 Le théorème de Rolle c b Théorème (Théorème de Rolle). Soient, b I vec < b et f C 0 ([, b], R) D(], b[, R) vérifint f() = f(b), lors il existe c ], b[ tel que f (c) = 0. Remrque Toutes les hypothèses sont importntes. On pourr considérer les pplictions suivntes qui sont toutes des contre-exemples correspondnt à l oubli d une hypothèse : f 1 : [0, 1] R x x f 2 : [0, 1] R x x x f 3 : [ 1, 1] R x x f est continue sur [, b], donc elle est bornée et tteint ses bornes. On note m son mininmum et M son mximum. Si f() = f(b) m, lors m < f() et m < f(b), et donc m est tteint sur ], b[, donc f s nnule en ce point. Même risonnement si f() = f(b) M. Sinon, cel signifie que f() = f(b) = m = M, et donc f est nécessirement constnte sur ], b[. f y est donc identiquement nulle. Figure XV.3 Illustrtion du théorème de Rolle (existence d une tngente horizontle, d un point critique). 2.3 Églité et inéglité des ccroissements finis Théorème (Églité des ccroissements finis, ou TAF). Soient (, b) I 2 vec < b et f C 0 ([, b], R) D(], b[, R). Alors il existe c ], b[ tel que f (c) = f(b) f(). b Remrque Ce théorème est une générlistion du théorème de Rolle : les hypothèses sont les mêmes, à l exception de l hypothèse f() = f(b), qui n est ici ps nécessire, et l conclusion est l même que celle du théorème de Rolle dns le cs où f() = f(b). 2. Cependnt, on v utiliser le théorème de Rolle pour démontrer le théorème des ccroissements finis. Dns ces conditions ffirmer que le théorème de Rolle n est qu un corollire du TAF lisserit croire que l on n ps bien sisi l enchînement des démonstrtions. 3. Un utre énoncé de ce théorème est le suivnt : Soient (, b) I 2 vec b et 221

222 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ f continue sur l intervlle [, b] (ou [b, ] si b < ) et dérivble sur l intérieur de ce même intervlle. Alors il existe θ ]0, 1[ tel que f f(b) f() ( + θ(b )) =. b f(b) f() Posons p = et b ϕ : [, b] R x f(x) px Alors ϕ(b) ϕ() = f(b) f() p(b ) = 0, donc ϕ() = ϕ(b). De plus, ϕ est continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. Donc d près le théorème de Rolle, il existe c ], b[ vérifint ϕ (c) = 0. Or ϕ (c) = f (c) p, donc f (c) = p = f(b) f(). b Théorème (Inéglité des ccroissements finis, ou IAF). Soient (, b) I 2 vec < b et f C 0 ([, b], R) D(], b[, R). 1. Si f est minorée pr un réel m sur ], b[, lors m(b ) f(b) f(). 2. Si f est mjorée pr un réel M sur ], b[, lors f(b) f() M(b ). 3. Si f est mjorée pr K > 0, lors f(b) f() K b. Pr ppliction du TAF à f, on sit qu il existe c ], b[ vérifint f f(b) f() (c) = b 1. Sous les hypothèses données, on m f (c) = f(b) f(), d où le résultt. b f(b) f() 2. De même, on = f (c) M, d où le b résultt. f(b) f() 3. De même, = f (c) K, d où le résultt. b Notez que l hypothèse < b n est ici ps nécessire : dns le cs où = b le résultt est évident ; dns le cs où > b, il suffit d échnger les rôles de et b. Figure XV.4 Illustrtion du théorème des ccroissements finis (existence d une tngente de même pente que l corde). Pour montrer le TAF, on se rmène à Rolle pr une trnsformtion géométrique (x, y) (x, y px). Où p est l pente de l droite D. pssnt pr les points (, f()) et (b, f(b)). En effet, on peut remrquer que D est prllèle u grphe de pid, donc f() p = f(b) pb. On peut lors ppliquer le théorème de Rolle à l ppliction f pid. c b Définition Soit K R +. On dit que f est K-lipschitzienne si (x, y) I 2, f(x) f(y) K x y. Remrque Si x y, on donc f(x) f(y) x y K, donc les pentes des cordes du grphe de f sont bornées pr K. Proposition Toute fonction lipschitzienne est continue. Direct en revennt ux définitions. 222

223 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ Exemple L fonction f : [1, + [ R est 1- x 1 x lipschitzienne. En effet, 1/x 1/y = x y xy 1 x y Corollire Soit f D(I, R). Si f est bornée pr K sur I, lors f est K- lipschitzienne sur I 2. Si f C 1 ([, b], R), lors f est lipschitzienne sur [, b]. l IAF. 1. Immédit vec le second point de 2. f est continue sur un segment, donc bornée sur ce segment, et on peut donc ppliquer le premier point. Exemple Utiliser l IAF permet de montrer isément que pour tout x R, sin x x. Exemple Soit x > 0. Montrer ( 1 + x) 1 x ( e 1 + x) 1 x+1 (XV.1) On successivement les équivlences : ( (XV.1) x ln ) x ( 1 (x + 1) ln ) (XV.1) 1 (1 x + 1 ln x x (XV.1) 1 x + 1 ln(x + 1) ln x 1 x x Or ce dernier encdrement s obtient pr ppliction de l IAF à l fonction ln sur [x, x + 1]. 2.4 Dérivbilité et sens de vrition Résultts déjà connus, que l on précise et démontre. On rppelle l hypothèse primordile : I est un intervlle de R. ) Théorème Soit f D(I, R). 1. f est croissnte (resp décroissnte) sur I ssi f 0 (resp f 0) sur I. 2. f est constnte sur I ssi f = 0 sur I. 3. f est strictement croissnte (resp. strictement décroissnte) sur I si et seulement si f 0 (resp. f 0) et l ensemble {x I, f (x) = 0} ne contient ucun intervlle non trivil (non vide et non réduit à un point). On ne trite que les cs où f est croissnte. 1. ( ) On suppose f croissnte sur I, lors son tux d ccroissement en tout point fixé I est positif. Pr pssge à l limite, on obtient f () 0. ( ) On suppose f 0. Soit lors (x, y) I 2 vec x < y. Pr ppliction du TAF à f entre x et y, on sit qu il existe c ]x, y[ vérifint f (c)(y x) = f(y) f(x). Or f (c) 0 et y x 0, donc f(y) f(x) 0. Donc f est croissnte. 2. f est constnte si et seulement si f est croissnte et décroissnte. On conclut pr utilistion du point précédent. 3. ( ) On suppose f strictement croissnte. On sit déjà que f 0. On pose E = { x I f (x) = 0 }. Soit (, b) I 2, b, tel que [, b] E. Il suffit de montrer que = b. On f [,b] = 0 donc f [,b] est constnte. En prticulier f() = f(b). Or f est strictement croissnte, donc on ne peut ps voir < b, donc = b. ( ) Supposons que l ensemble des points où f s nnule ne contient ucun intervlle non trivil. Alors f est croissnte. Pr l bsurde, supposons que f ne soit ps strictement croissnte. Alors il existe (x, y) I 2 vec x < y et f(x) = f(y). Alors puisque f est croissnte, f est constnte sur [x, y], et donc f [x,y] = 0. Mis lors pr hypothèse, x = y, ce qui est bsurde. Donc f est strictement croissnte. Remrque On f > 0 f strictement croissnte, mis ps l réciproque : une fonction strictement croissnte peut voir une dérivée qui s nnule (mis ps n importe comment), ex : x x 3 (il s git souvent d un point d inflexion). 223

224 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ 2. I doit être un intervlle. Le théorème est fux dns le cs où I est une réunion d intervlles disjoints (considérer pr exemple l ppliction x 1/x, de ], 0[ ]0, + [ dns R). 3. Si on suppose seulement f () > 0, lors f n est ps nécessirement strictement croissnte u voisinge de. Exemple : f : R R { 0 si x = 0 x x 2 sin 1/x + (x/2) sinon En clculnt l limite du tux d ccroissement de f en zéro, on obtient f (0) = 1/2, mis pour x 0, f (x) = 1/2 + 2x sin 1/x cos 1/x, et cette expression prend des vleurs négtives dns tout voisinge de En générl, pour étudier les vritions de f sur I vec ce théorème, il suffit que f soit dérivble sur l intérieur de I et continue sur I tout entier. En effet, si une ppliction f continue sur I est croissnte (resp. strictement croissnte, resp. décroissnte, resp. strictement décroissnte) sur I lors elle l est ussi sur I. 2.5 Limite de l dérivée Théorème (de l limite de l dérivée). Soit < b, f : I R et l R. On suppose 1. f continue sur [, b] 2. et f dérivble sur ], b] 3. et f (x) l. x + f(x) f() Alors l. En prticulier x x + dns le cs où l = + (resp. l = ), f n dmet ps de dérivée à droite en et son grphe dmet une demi-tngente verticle en (, f() dirigée vers le hut (resp. vers le bs) ; dns le cs où l est réel, on 1. f est dérivble (à droite) en 2. et f () = l = lim x + f (x) 3. et f est continue (à droite) en. On le même résultt à guche en un point (inverser hut et bs dns le cs des limite infinies) et des deux côtés (limite globle) en un même point. Remrque Ce théorème permet de conclure sur l dérivbilité ou non-dérivbilité de f en dns le cs où l dérivée u voisinge épointé de dmet une limite (finie ou infinie) en. En revnche il ne permet ps de dire quoi que ce soit dns le cs où l dérivée n dmet ps de limite. Exemple On considère les fonctions f n pour n N définies u point 3 de l exemple Pour n 1, f n est continue sur R et dérivble sur R. De plus ( ( 1 1 x R, f n(x) = nx n 1 sin x x) n 2 cos x) Pour n 3, f n(x) 0. Donc, d près le x 0 x 0 théorème ci-dessus, pour tout n 3, f n est dérivble en 0, de dérivée égle à 0 et on même f n C 1 (R, R). Pour n { 1, 2 }, f n n ps de limite en 0. Le théorème précédent ne permet lors de conclure ni à l dérivbilité, ni à l nondérivbilité de f n en 0. Et pour cuse : f 2 est bien dérivble en 0, de dérivée nulle tndis que f 1 ne l est ps. En effet, le tux d ccroissement ( de ) f n en 0 est l ppliction x x n 1 sin 1 x, qui tend vers 0 en 0 si n = 2 et n ps de limite en 0 si n = Notons f l ppliction rcine crrée de R + dns R. f est dérivble sur R + et pour tout x R +, f (x) = 1 2 x. Donc f (x) +, donc x 0 + f(x) f(0) x 0 +, donc f n est ps x 0 + dérivble en 0. Remrquez cependnt qu il étit ici tout ussi isé de clculer directement le tux d ccrois- 224

225 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ sement de f en 0 et de vérifier qu il ne convergeit ps. Remrque On voit sur ces exemples qu il est erroné de croire que l non-dérivbilité de f en implique que f n ps de limite en (cs de l rcine crrée). Il est tout ussi erroné de croire que l bsence de limite pour f en implique que f n est ps dérivble en (cs de f 2 ). Exercice Soient, b R, et f : R R { e x si x 1. Trouver les vleurs de et b pour lesquelles f est de x x 2 + x + b si x > 1 clsse C 1. Solution : Remrquons que f est dérivble sur R\{ 1 } et que s dérivée est continue sur R\{ 1 }. De plus f est continue à guche et dérivble à guche en 1, de dérivée à guche f g(1) = e. Anlyse Supposons f C 1 (R, R). Alors f est continue, donc f(x) f(1), donc x 1 + b = e. De plus f est dérivble. S dérivée à guche en 1 est e. Pour x > 1, on f (x) = 2x +, donc f (x) 2 +, donc f est dérivble x 1 + à droite en 1, de dérivée 2 +. f étnt dérivble en 1, on e = f g(1) = f d (1) = 2 +. Donc = e 2 et b = 1. Synthèse Supposons = e 2 et b = 1. Alors, on montre isément que f est continue à droite en 1, donc f est continue en 1. f est dérivble en tout x ]1, + [, et f (x) = 2x +, donc f (x) 2 +, donc f est x 1 + dérivble à droite en 0 et f d (1) = 2 + = e. Donc f est dérivble en 1, de dérivée e. f est donc dérivble sur R. De plus f est continue à droite et à guche en 1, donc f est continue en 1, donc sur R. Donc f C 1 (R, R). Conclusion f C 1 (R, R) si et seulement si = e 2 et b = 1. f(x) f() L difficulté est de montrer l, le reste x x + s en déduisnt imméditement. Pour tout x ], b], f est dérivble sur ], x[ et continue sur [, x] donc il existe c ], x[ vérifint f (c) = f(x) f(). x On peut insi définir une ppliction g :], b] ], b], vérifint pour tout x ], b], g(x) ], x[ et f (g(x)) = f(x) f(). x Donc g(x) x + Donc f(x) f() x. Or f + x + l. l donc f (g(x)) x + l. Le théorème de l limite de l dérivée peut se générliser pr récurrence. Nous donnons ici un énoncé de prolongement en un point intérieur à un intervlle, mis comme en on pourrit l énoncé pour un point qui serit l borne d un intervlle : Corollire (Théorème de clsse C k pr prolongement). Soit f de clsse C k sur I\ {}. Si pour tout i 0, k f (i) possède une limite finie en, lors f dmet un unique prolongement f de clsse C k sur I, et l on pour tout i 0, k, f (i) f (i) (). On voit déjà fcilement que ( f) = f. Elle se fit pr réccurence sur k. Pour tout k N, posons : (H k ) : «pour toute fonction f de clsse C k sur I\ {} telle que pour tout i 0, k f (i) possède une limite finie en, f dmet un unique prolongement f de clsse C k sur I, et l on pour tout i 0, k f (i), f (i) f (i) ()». On sit déjà que le résultt est vri pour k = 0 et pour k = 1. Soit k N tel que (H k ) soit vri u rng k. Soit f de clsse C k+1 sur I\ {} telle que pour tout i 0, k + 1 f (i) possède une limite finie en. Puisque k + 1 > 0, f dmet un unique prolongement f tel que f soit dérivble en, f f() et f f (). On peut ensuite ppliquer l hypothèse de récurrence à f. Le prolongement de f insi obtenu ne peut être que f puisque f f (), ce qui ssure que (H k+1 ) est vrie. 225

226 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ 2.6 Théorème des ccroissements finis et suites récurrentes Le TAF fournit un outil supplémentire pour étudier les suites récurrentes. Si une telle suite converge, elle converge vers un point fixe de f, et se prête à une pproximtion des points fixes de f. Le TAF, dns certines conditions, ssure qu une telle suite converge (1er résultt) sns voir à étudier l monotonie de f ni celle de (u n ), et ssure que l convergence est rpide (2eme résultt). Exemple f : I R, I stble pr f, et l I un point fixe de f. Soit u 0 I. On considère l suite u n+1 = f(u n ). Si f est mjorée pr M tel que 0 M < 1, lors pour tout n, u n l M n u 0 l (le montrer pr récurrence). Et donc u n l 0. De plus, l convergence est géométrique ce qui est rpide. Pr exemple, si M = 1, lors on ggne une décimle 10 de précision à chque étpe. Exemple Trouver une pproximtion du point fixe de f : R + R, x x à R + est stble pr f, 1 f est dérivble sur R +, de dérivée x (1 + x) 2 bornée pr 1. Mlheureusement cette borne est insuffisnte pour ppliquer les idées vues ci-dessus : on imerit voir une borne K strictement inférieure à 1. Pour cel, on v chercher un intervlle stble pr f sur lequel f est bornée pr un K < 1. f étnt strictement croissnte et à vleurs négtives, il suffit de trouver un invervlle de l forme [, b] vec < b et > 1. Le point fixe de f est pr clcul α = On peut constter que f(1) = 1/2, et comme α 1, en déduire que 1/2 f(α) = α. On peut lors constter isément que [1/2, 1] est stble pr f. On peut choisir une vleur rbitrire dns [1/2, 1]. En itérnt f sur cette vleur on obtient des pproximtions successives de α convergent vers α. Supposons mintennt que f : I I soit dérivble et que s dérivée soit bornée pr K < 1. Pr récurrence, on montre fcilement que pour tout n N, u n+1 u n K n u 1 u 0. Alors, si n N, n 1 u n u 0 = u k+1 u k Ainsi, (u n ) est bornée. k=0 n 1 k=0 u 1 u 0 u k+1 u k n 1 k=0 K k 1 1 K u 1 u 0. 3 Extension u cs des fonctions complexes Soit f : I C, où I est un intervlle de R. L définition de dérivée en est exctement l même que pour les fonctions réelles, mis l dérivée est à vleurs dns C. On ussi le résultt (simple) suivnt. Proposition L fonction f est dérivble (en un point ou sur I) si et seulemet si Re(f) et Im(f) le sont ussi. Dns ce cs, on f = Re(f) + i Im(f). Les résultts concernnt les opértions sur l dérivbilité se générlisent : +,, /. Pr contre, ttention à l composition : dériver f g n de sens (dns notre cdre) que si g est à vleurs réelles, et f peut être à vleurs complexes! Dns ce cs, on le même résultt que dns le cs réel. 226

227 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ Pour démontrer tout cel, on utilise l proposition Les grnds théorèmes : - le théorème de Rolle ne se générlise ps. Ex : R C, x e ix. - TAF : fux ussi (norml, çel impliquerit le théorème de Rolle). Théorème Soit f D(I, C). Alors f est constnte si et seulement si f = 0. f est constnte si et seulement si Re(f) et Im(f) sont constntes ce qui équivut à (Re(f)) = (Im(f)) = 0, ce qui équivut à (Re(f)) + i(im(f)) = 0 c est-à-dire à f = 0. - IAF : On peut le formuler comme suit. Théorème (IAF version complexe). Soit (, b) R 2 vec < b et f C ([, b], C) D(], b[, C) tel qu il existe K > 0 vérifint x ], b[ f (x) K. Alors f(b) f() K(b ). 1. On v d bord s intéresser u cs prticulier où f(b) f() est un réel. Dns ce cs, on considérons l ppliction Re(f) : [, b] R. Elle est continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. De plus, pour tout x ], b[, on Re(f) (x) = Re(f (x)) f (x) K. Donc on peut ppliquer l IAF à Re(f) et en déduire : Re(f)(b) Re(f)() K(b ). Or Re(f)(b) Re(f)() = Re(f(b) f()) = f(b) f(). On donc le résultt. 2. Montrons mintennt le cs générl. f(b) f() est de l forme e iθ f(b) f(). Notons lors ϕ : [, b] R x e iθ f(x) ϕ est clirement dérivble sur ], b[ et continue sur [, b]. De plus pour tout x ], b[, ϕ (x) = e iθ f (x), donc ϕ (x) = f (x) K. De plus ϕ(b) ϕ() = e iθ (f(b) f()) = f(b) f(). ϕ(b) ϕ() est donc réel, donc on peut ppliquer le point ci-dessus à ϕ : ϕ(b) ϕ() K b. Or ϕ(b) ϕ() = f(b) f(), d où le résultt. Les notions de monotonie d une fonction f ou de signe de f n ont évidemment ps de sens dns le cs des fonctions à vleurs complexes, mis on cependnt le résultt suivnt. 227

228 CHAPITRE XV. DÉRIVABILITÉ 228

229 Chpitre XVI Frctions rtionnelles 1 Corps des frctions rtionnelles K(X) Définitions Fonctions rtionnelles Dérivées, degrés et pôles Zéros et pôles Étude locle d une frction rtionnelle Prtie entière Prtie polire ssociée à un pôle Décomposition en éléments simples dns C(X) Décomposition en éléments simples dns R(X) Quelques méthodes de clcul Avnt même de commencer b Simplifiction pr symétrie, prité et imprité c Simplifiction pr conjugison de frctions rtionnelles réelles d Méthode de bse e Identifiction f Résidus g Évlution en un point différent d un pôle h Développements limités i Décomposition de P /P Appliction u clcul intégrl Si K = C Si K = R

230 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES Dns ce chpitre, K = R ou C. Nous llons étudier un nouveu corps : K(X), qui est le corps des frctions rtionnelles. S construction est hors-progrmme, mis on peut mentionner que l on obtient K(X) à prtir de K[X] de l même mnière que l on obtient Q à prtir de Z : on rjoute de nouveux éléments qui seront les inverses pour l loi de tous les éléments non nuls, c est-à-dire que l on introduit les éléments 1, où P K[X]\{0}. Ainsi, K(X) est le corps P contennt les frctions de polynômes. 1 Corps des frctions rtionnelles K(X) 1.1 Définitions L construction de l ensemble des frctions rtionnelles étnt hors-progrmme, on introduit celui-ci de fçon xiomtique. Définition Il existe un ensemble K(X) vérifint : (i) À tout couple (A, B) K[X] 2 tel que B 0, on peut ssocier un élément de K(X) noté A B ; (ii) Réciproquement, tout élément de K(X) s écrit A, vec A, B K[X], B 0 ; B (iii) Si A, B, C, D K[X] tels que B et D soient non nuls, on : A B = C AD = BC. D Cette définition permet de donner sns mbiguïté tous les éléments de K(X) : ce n est qu une définition ensembliste. Cet ensemble est ppelé l ensemble des frctions rtionnelles à coefficients dns K. L écriture (??) n est ps unique! Remrque Remrquons que cette définition dit notmment que pour toute frction rtionnelle A B et tout polynôme non-nul C, les frctions rtionnelles AC sont égles (en effet AC B = A BC). BC Définition Soit R K(X), un couple (A, B) K[X] 2 tel que R = A est ppelé représentnt de l frction B rtionnelle R. Pssons mintennt à des définitions lgébriques. Définition (Lois sur K(X)). On définit trois lois sur K(X), les deux premières sont des lois internes, l troisième est une loi externe. K(X) ( K(X) K(X) Addition + : A B, C ) AD + BC D BD K(X) ( K(X) K(X) Produit : A B, C ) AC D BD Multipliction pr un sclire K ( K(X) K(X) : λ, A ) λa B B Alors (K(X), +, ) est un corps. De plus, tout polynôme de K[X] s identifie à l élément P de K(X). Cette identifiction permet de 1 considérer (K[X], +, ) comme un sous-nneu de (K(X), +, ). Le neutre de l loi + et 0, celui de l loi est 1. L opposé de A A et B B, son inverse est B A. Remrque On verr bientôt que (K(X), +, ) est un K-espce vectoriel. Les définitions ci-dessus sont priori mbiguës : pr exemple lorsqu on veut dditionner deux frctions rtionnelles R 1 et R 2, on dispose de plusieurs représentnts pour R 1 et de plusieurs représentnts pour R 2 (il y en 230

231 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES même une infinité). Lesquels choisir pour ppliquer l définition? On peut en fit montrer que le résultt ne dépend ps du choix des représentnts. En effet, considérons deux représentnts A1 et C1 pour R 1 et deux représentnts B 1 D 1 A 2 et C2 pour R 2. B 2 D 2 On A id i = B ic i pour i = 1, 2. Montrons lors qu on A1B2 + A2B1 C1D2 + C2D1 =. B 1B 2 D 1D 2 Il suffit de remrquer qu on successivement : (A 1B 2 + A 2B 1)D 1D 2 = (A 1D 1)B 2D 2 + (A 2D 2)B 1D 1 = (B 1C 1)B 2D 2 + (B 2C 2)B 1D 1 = (C 1D 2 + C 2D 1)B 1B 2 On isément de même A1A2 = C1C2 et λa1 = λc1. B 1B 2 D 1D 2 B 1 D 1 On procède de même (mis plus simplement) pour le produit et l multipliction sclire. 1.2 Fonctions rtionnelles Définition Soit R K(X). On ppelle forme irréductible de R toute écriture de R de l forme R = P Q vec P, Q K[X] tels que P Q = 1. Exemple X 2 1 X + 1 n est ps irréductible, mis X(X 1) X l est. Remrque Il existe une infinité de formes irréductibles : insi 1 X, 2 2X et 3 sont trois formes 3X irréductibles d une même frction rtionnelle. Cependnt, si A B et C sont deux formes irréductibles d une même frction rtionelle, lors il D existe λ K vérifint C = λa et D = λb. (en effet, on lors AD = BC donc D BC or D et C sont premiers entre eux, donc D divise B ; de même B AD donc B D, B et D sont donc ssociés, il existe donc λ non nul vérifint D = λb, donc λab = BC, or B 0 donc C = λa). Définition Soient R K(X) et A une forme irréductible de B R. Alors si à et B sont les fonctions polynômiles ssociées à A et B, on ppelle fonction rtionnelle ssociée à R l fonction R : K\A K, x Ã(x) B(x) où A est l ensemble des rcines de B. Remrque Ce problème du domine de définition explique pourquoi l on trville vec des formes irréductibles : vec une forme réductible, le domine de définition serit encore plus restreint (et en tout cs différent, donc ps très prtique), cr le dénominteur urit encore plus de rcines. Pr exemple, pour R = 1 si l on écrit R = X X, l fonction rtionnelle ssociée ne serit ps définie en 0, ce qui est idiot pour une fonction constnte. 2. L remrque permet de conclure que R ne dépend ps de l forme irréductible choisie. Proposition Soient R 1, R 2 deux frctions rtionnelles. Alors R 1 = R 2 R 1 = R 2. Le sens direct découle des propriétés de l églité en mthémtiques. Étudions le sens indirect : on note R 1 = P Q et R2 = A B, deux formes irréductibles. Alors les fonctions P Q et coïncident sur leur ensemble de définition D, d où P B et à Q, qui sont deux fonctions polynomiles, coïncident sur D, qui est infini. Donc les polynômes sous-jcents sont égux, i.e. P B = AQ. Donc on R 1 = R Dérivées, degrés et pôles à B 231

232 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES Définition Soit R = A. On ppelle dérivéee de R l frction B rtionnelle A B B A. Cette frction rtionnelle B 2 ne dépend ps du choix de A et de B, et est donc bien définie. On lors les propriétés suivntes, pour R 1, R 2 K(X) et λ K : (i) (R 1 + λr 2 ) = R 1 + λr 2 (ii) (R 1 R 2 ) = R 1 R 2 + R 1 R 2 ( ) R1 (iii) si R 2 0, = R 1 R 2 R 1 R 2. R 2 R 2 2 Remrque L frction rtionnelle nulle est l seule à ne ps voir pour degré un entier. Exemple X 4 deg = 4 2 = 2 ; X(X 1) X(X 2 + 5) deg X 3 (X 2 = 3 5 = 2 ; + X 2) deg X2 (X + 1) X 3 = 3 3 = 0, et on voit 2X + 3 là qu une frction rtionnelle de degré nul n est ps forcément constnte. Montrons que R ne dépend ps du choix de A et B : si R = P Q = A B, vec A irréductible. Alors P B = AQ, donc B A P B et, vec le lemme de Guss, A P, d où il existe C K[X] tel que P = AC, et pr suite ( ) P Q = BC. Dns ce cs, = P Q Q P = Q Q 2 (A C + AC )BC (B C + BC )AC = B 2 C 2 C 2 (A B AB ) = A B AB ( ) A =. C 2 B 2 B 2 B Il suffit de remplcer les expressions pr leurs définitions et d un simple clcul pour vérifier les propriétés énoncées. Remrque L dérivtion sur K(X) prolonge celle sur K[X]. Définition (Degré). Soit R = A, vec A, B K[X], B 0. On ppelle degré de R, noté deg R, l quntité deg R = B deg A deg B. Si A 0, il s git d un entier reltif. Sinon, deg R =. Cette définition ne dépend là encore ps du représentnt choisi. Si F = A B = C, lors AD = BC, donc deg(ad) = D deg(bc), soit deg(a) + deg(d) = deg(b) + deg(c). On obtient donc deg(a) deg(b) = deg(c) deg(d). Remrque Le degré sur K(X) prolonge celui sur K[X]. Proposition Soient R 1, R 2 K(X). (i) deg(r 1 + R 2 ) mx(deg R 1, deg R 2 ) (ii) deg(r 1 R 2 ) = deg R 1 + deg R 2 (iii) si deg R 1 0, lors deg R 1 = deg R 1 1. On note R 1 = P Q et R2 = A B. P B + AQ (i) On : R 1 + R 2 =. Donc QB deg(r 1 + R 2) = deg(p B + AQ) deg(qb) mx(deg(p B), deg(aq)) deg Q deg B = mx(deg P +deg B, deg A+deg Q) deg Q deg B = mx(deg P + deg B deg Q deg B, deg A + deg Q deg Q deg B) = mx(deg P deg Q, deg A deg B) = mx(deg(p/q), deg A/B) = mx(deg(r 1), deg(r 2)). (ii) Simple clcul. (iii) On note d = deg P, e = deg Q, p le coefficient dominnt de P et q celui de Q. Si e = 0, lors R 1 est un polynôme et le résultt est lors connu. Si d = 0 et e 0, lors deg R 1 = e et R 1 = Q Q, 2 dont le degré est e 1 2e = e 1 = deg R 1 1. Si d 0 et e 0, lors on R 1 = P Q Q P, donc Q 2 deg P Q = deg P Q = deg P + deg Q 1 = d + e 1. Le coefficient de degré d + e 1 de P Q Q P est dpq epq = (d e)pq 0 cr d e = deg R 1 0, donc deg R 1 = d + e 1 deg(q 2 ) = d + e 1 2e = d e 1 = deg R

233 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES si deg R = 0, on peut juste dire deg R < deg R 1, cr vec les nottions de l démonstrtion on e = d. Exemple si R = 1, deg R =. si R = 1 X, R = 1 X 2 donc deg R = deg R 1. si R = X X + 1 = 1 1 X + 1, 1 R = (X + 1) 2, donc deg R = deg R Zéros et pôles Définition Soit R = A B, irréductible. 1. Toute rcine de A est ppelée rcine ou zéro de R. Si elle est de multiplicité m dns A, on dir ussi qu elle est de multiplicité m dns R. 2. Toute rcine de B est ppelée pôle de R. Si elle est de multiplicité m dns B, on dir ussi qu elle est de multiplicité m dns R. On utilise les expressions pôle ou rcine simple ou double qund l multiplicité vut 1 ou 2. À nouveu, l multiplicité n est bien définie que si l frction est irréductible : 1 n ps l même multiplicité dns les dénominteurs de X(X 1) (X 1) 2 et X. De plus 1 n est ps rcine X 1 de ces frctions rtionnelles, cr 1 n est ps rcine de l forme irréductible. En llnt encore plus loin, soit R = A une frction rtionnelle. Alors R =, et ce B A(X λ)n B(X λ) n pour tous λ K et n N. Donc, si on oubliit l hypothèse «forme irréductible», on pourrit montrer que tout sclire est rcine et pôle de toute frction rtionnelle, vec n importe quelle multiplicité. Remrque On pourr, si besoin, considérer l convention suivnte : un sclire est rcine (resp. pôle) de multiplicité zéro de R = A/B s il n est ps rcine de A (resp. B). 2 Étude locle d une frction rtionnelle 2.1 Prtie entière Théorème Soit R K(X) Alors il existe un unique couple (E, Q) K[X] K(X) tel que deg Q < 0 et R = E +Q. Le polynôme E est ppelé l prtie entière de R. On note R = A B. Existence On effectue l division euclidienne de A pr B, qui donne A = EB + T, vec deg T < deg B. Ainsi R = EB + T = E + Q, vec Q = T : on bien B B deg Q < 0. Unicité Soient (E, Q) et (D, U) deux couples convenbles. Alors E + Q = D + U, soit E D = U Q. Si E D 0, on deg(e D) 0. Or deg(u Q) mx(deg Q, deg U) < 0. Ceci est contrdictoire, donc E D = 0, i.e. E = D. Il s ensuit que Q = U. Exemple Après division euclidienne, on obtient X 6 + X 3 + X 2 1 X 2 = X 4 3X 2 + X X X 2, et insi l prtie entière de + 3 X 6 + X 3 + X 2 1 X 2 est X 4 3X 2 + X Prtie polire ssociée à un pôle Définition Soit m N, R K(X), et λ un pôle de R de multiplicité m. Alors il existe une unique fmille 233

234 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES 1,..., m K et une unique frction rtionnelle S n ynt ps λ pour pôle vérifint R = m k=1 k (X λ) k + S. m k L somme est ppelée prtie polire de R ssociée u pôle λ. (X λ) k k=1 De plus : 1. le coefficient m est non-nul ; 2. les utres pôles de R sont exctement les pôles de S, vec l même multiplicité. Hors-progrmme. Exemple Pr exemple, il existe, b, c R et P K[X] X + 1 uniques tels que (X 1) 3 (X 2) 2 = X 1 + b (X 1) 2 + c (X 1) 3 + P (X 2) Décomposition en éléments simples dns C(X) Théorème (Décomposition dns C(X)). Soit R C(X). Alors R est l somme de s prtie entière et de ses prties polires. Cette décomposition s ppelle l décomposition en éléments simples de R. Plus précisément : si λ 1,..., λ n sont les pôles de R, de multiplicités respectives m 1,..., m n, lors il existe une unique fmille d éléments de C 1,1,..., 1,m1,..., n,1,..., n,mn (le premier indice représentnt le pôle et le second indice llnt de 1 à l multiplicité de ce pôle), vérifint m k R = E + k,j (X λ k=1 j=1 k ) j où E est l prtie entière de R. Hors progrmme. Exemple X 5 + X 2 3 (X 1) 3 s écrit de mnière unique sous (X 2) 2 l forme X (X 1) (X 1) 3 + b 1 X 2 + b 2 (X 2) 2 (XVI.1) 2.4 Décomposition en éléments simples dns R(X) Dns R(X), le dénominteur d une frction rtionnelle n est ps nécessirement scindé ce qui complique l décomposition en éléments simples des frctions rtionnelles. Nous commençons pr donner un énoncé vlble à l fois dns C(X) et R(X) et nous verrons ensuite ce qu il donne dns le cs prticulier de C(X). Théorème (Décomposition dns K(X)). Soit R K(X). R s écrit sous forme irréductible P Q vec Q unitire. Le polynôme Q s écrit lors sous l forme H n Hnp p où H 1,..., H p sont des polynômes irréductibles unitires distincts et n 1,..., n p des nturels non nuls. Alors R se décompose de fçon unique sous l forme R = E + F F p où E est un polynôme et pour tout k [[1, p]], F k s écrit sous l forme n k j=1, où pour tout J k,j H j k j [[1, n k ], on deg J k,j < deg H k. Cette décomposition s ppelle l décomposition en éléments simples de R dns K(X). De plus E est nécessirement l prtie entière de R. Hors progrmme. Remrque Dns C(X), les irréductibles sont de degré 1 et les J k,j sont donc 234

235 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES tous des polynômes constnts : on retrouve l énoncé donné spécifiquement pour C(X). 2. Dns R(X), les irréductibles sont de degré 1 ou 2, d où l énoncé qui suit. Théorème (Décomposition dns R(X)). Soit R R(X). R s écrit sous forme irréductible P Q vec Q unitire. Le polynôme Q s écrit lors sous l forme q i=1 (X λ i) m i p i=1 Hn i i, où λ 1,..., λ q sont les rcines (deux à deux distinctes) de Q et H 1,..., H p sont des polynômes de degré deux sns rcines réelles. Alors R se décompose de fçon unique sous l forme R = E + q m k k=1 j=1 k,j (X λ k ) j + n p j k=1 j=1 b k,j X + c k,j H k j où E est un polynôme et tous les k,j, les b k,j et les c k,j sont des réels. Cette décomposition s ppelle l décomposition en éléments simples de R dns R(X). De plus E est nécessirement l prtie entière de R. 2.5 Quelques méthodes de clcul L objectif est d obtenir le plus rpidement possible l décomposition en éléments simples d une frction rtionnelle, bien entendu sns fire d erreurs de clculs. Il est donc fortement conseillé de suivre les méthodes suivntes, en essynt d utiliser les méthodes les plus ppropriées dns le contexte. Enfin, si vous en vez le temps, pensez bien à vérifier vos clculs, pr exemple en recomposnt l frction rtionnelle. Avnt même de commencer Pour décomposer une frction rtionnelle F, on commence pr l écrire sous forme E + R où deg R < 0 et E est s prtie entière. Toutes les méthodes ci-dessous s ppliquent à l frction rtionnelle R qui est de degré strictement négtif. b Simplifiction pr symétrie, prité et imprité Il convient à chque fois de simplifier u mximum le problème posé en réduisnt le nombre de coefficients à chercher. Pour cel, on exploite les symétries repérées dns l frction rtionnelle. Tritons un exemple : l frction rtionnelle 1 R = (X 1) 2 est pire, cr R( X) = (X + 1) 2 R(X). Mis on sit qu il existe, b, c, d R tels que R = X 1 + b (X 1) 2 + c X d (X + 1) 2. Et donc R( X) = X b (X + 1) 2 + c X 1 + d. Pr unicité des coefficients (X 1) 2 de l décomposition en éléments simples, on en déduit que = c et b = d : le clcul de et b suffit donc (deux coefficients u lieu de qutre!). On l même chose vec les frctions rtionnelles impires. On pourr ussi exploiter d utres types de 1 symétries. En voici un exemple : F = X(X 1). Les pôles (0 et 1) sont «symétriques» pr rpport à 1, ce qui se voit pr F (X) = F (1 X). Si l on 2 écrit F = α X + β, on obtient lors F (1 X) = X 1 β X + α, ce qui donne α = β. X 1 c Simplifiction pr conjugison de frctions rtionnelles réelles Soit R R(X), et soit λ C \ R un pôle complexe non réel de R, de multiplicité m. Alors λ est ussi un pôle de R de multiplicité m. On donc : R = 1 X λ + 2 (X λ) m (X λ) m + b 1 X λ + b 2 (X λ) b m + G, où G 2 (X λ) m n dmet ni λ ni λ pour pôle. Mis on R = R, 235

236 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES et donc R = R = 1 X λ + 2 (X λ) m (X λ) + b 1 m X λ + b 2 (X λ) b m (X λ) m + G. Pr identifiction on obtient donc : 1 = b 1,..., m = b m et G = G (i.e. G R(X)). Là encore, cel permet de réduire le nombre de coefficients à clculer. d Méthode de bse Soit R = A vec deg R < 0 à décomposer, vec B A et B deux polynômes non nuls, B étnt de l forme C (X λ) n où λ n est ps rcine de C. m k R s écrit + S. On peut trouver le (X λ) k k=1 coefficient m (et seulement celui-là!) en multiplint R pr (X λ) m et en évlunt le résultt en λ. En effet, on A C = (X λ)m R m = k (X λ) m k + (X λ) m S D où : = k=1 m 1 h=0 = m + m h (X λ) h + (X λ) m S m 1 h=1 On donc trouvé m : m h (X λ) h + (X λ) m S A(λ) C(λ) = m + 0 m = A(λ) C(λ) On clcule lors T = R m (X λ), et on continue m en cherchnt à décomposer T. Remrque On l grntie que, soit λ n est ps pôle de T (c est le cs si m = 1 ou si les coefficients 1,..., m 1 sont tous nuls), soit λ est pôle pour T de multiplicité strictement plus petite que m. En itérnt l lgorithme on v donc terminer l décomposition pour l prtie polire ssociée à λ. On peut s intéresser ensuite à un utre pôle, soit en prtnt de l dernière frction obtenue, soit en reprtnt de l frction initile. Remrque (Cs d un pôle simple). Dns le cs où m = 1, on 1 = A(λ) C(λ) Si on ne connît ps C mis juste B, plutôt que fctoriser B pr X λ, on peut remrquer B = C (X λ) + C, donc B (λ) = C(λ), donc 1 = A(λ) B (λ) Il est souvent plus simple de clculer B que de décomposer B en C (X λ), d où l intérêt de cette remrque. Exemple X 2 X 2 Si R = 4X 10 X 8 + 6X 3 9X 2 + 3X 3 = A B. On remrque que B(1) = 0, mis B (1) = (40X 9 8X X 2 18X + 3)(1) = 35 0, donc 1 est pôle simple de R. Or A(1) B (1) = 2 35, donc R = 2/35 + S, et S n ps 1 pour pôle. X 1 Remrque C est méthode est celle à privilégier cr elle fonctionne dns tous les cs et est souvent l plus rpide. Mis on peut l conjuguer ponctuellement à d utres méthodes pour ccélérer les clculs. e Identifiction C est l méthode l plus nïve, mis elle doit vriment être réservée u cs où l frction rtionnelle u plus deux ou trois pôles vec multiplicité, sinon elle est trop lourde. Pr exemple on sit qu il existe, b R tels que 1 X(X + 1) = X + b X + 1. Or X + b X + 1 = 236

237 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES ( + b)x +, donc on doit voir + b = 0 et X(X + 1) = 1, soit = 1 et b = 1. f Résidus Soit λ un pôle de R : on ppelle résidu de 1 R en λ le coefficient du terme. C est en X λ prtique le terme de l prtie polire ssociée à λ le plus compliqué à clculer, cr c est le dernier terme que l on peut clculer vec l méthode de bse. On note ce résidu Res(R, λ), et on note R λ l prtie polire de R ssociée u pôle λ. Alors, quelle que soit l multiplicité de λ, on : xr λ (x) Res(R, λ). En sommnt cette x + reltion sur tous les pôles de R, on obtient, dns le cs où lim xr(x) est finie (i.e. deg R 1) : x + R(x) Res(R, λ). Et donc si x + λ pôle de R deg R 2, on Res(R, λ) = 0. λ pôle de R 1 Pr exemple, si R = (X 1) 2 = (X + 1) X 1 + b (X 1) 2 + c : on c = X ( 1 1) 2 = 1 4, et b = 1 = 1 (1 + 1) 2. Mis lim xr(x) = 0, donc +c = 0, et insi = 1 x + 4. g Évlution en un point différent d un pôle Si nous vons n coefficients à clculer, on peut écrire l églité entre l frction rtionnelle et s décomposition (ux coefficients inconnus) et évluer les deux membres de cette églité en n points deux à deux distincts qui ne sont ps des pôles. On obtient lors n équtions à n inconnues qui permettent de clculer les n coefficients voulus. Cette méthode est surtout efficce qund il ne reste qu un ou deux coefficients à clculer, qui ne sont ps des coefficients ssociés à des pôles simples, sinon l méthode de bse est plus rpide. X 2 Pr exemple, décomposons (X + 1)(X + 2) 3 sous l forme X b (X + 2) 3 + c (X + 2) 2 + d X + 2. L méthode de bse nous donne imméditement = 3 et b = 4. Pr illeurs, l méthode des résidus nous donne + d = 0, donc d = 3. En évlunt lors, pr exemple en 2, on obtient : 0 = (2 + 2) 3 + c (2 + 2) = c 16 d où c = 3. On urit bien sûr pu évluer en un utre point, pr exemple, en évlunt en 3, on obtient : d où c = 3. h 5 2 = c Développements limités Prenons l exemple d une frction rtionnelle R dmettnt un pôle double. Alors R = X λ + b + G, où G est (X λ) 2 une frction rtionnelle n dmettnt ps λ pour pôle. Pour h u voisinge épointé de 0, on donc : h 2 R(λ + h) = b + h + h 2 G(λ + h) Or G n ps pour pôle λ, donc G est bornée u voisinge de λ. Donc h 2 R(λ+h) dmet le développement limité b + h + o(h) pour h u de 0. Les développements limités étnt uniques (sous réserve d existence), il suffit de clculer le développement limité de h 2 R(λ + h) pour obtenir et b. Cette méthode s pplique ussi très bien à des pôles de multiplicité supérieure à 2, quitte à développer ssez loin. 3X 1 Pr exemple posons R = et cherchons l prtie polire de R ssociée à 1. Pour (X 1) 2 (X 2 +1) h 237

238 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES u voisinge de 0, on h 2 3(h + 1) 1 R(1 + h) = (h + 1) = 3h h + h 2 = h h + h 2 /2 = 1 (3h + 2)(1 h + o(h)) 2 = 1 (3h + 2 2h + o(h)) 2 = 1 + h/2 + o(h) donc l prtie polire ssociée à 1 est 1 (X 1) Décomposition de P /P 1 2(X 1) + Proposition Soit P C[X] un polynôme non nul. Alors, en notnt 1,..., n les n rcines distinctes de P et r 1,..., r n leurs ordres respectifs, on P n P = k=1 r k X k Remrquons tout d bord que P est de degré strictement P négtif, donc s prtie entière est nulle. Les seuls pôles possibles pour P sont les rcines de P. P Soit une rcine de P ; notons r s multiplicité. Alors P s écrit (X ) r A où A est un polynôme dont n est ps rcine. Alors on P P = r(x )r 1 A + (X ) r A (X ) r A = r X + A A et n est ps un pôle de A. Donc r est l prtie polire A X de P ssociée u pôle ( est donc un pôle simple). P P P étnt l somme de s prtie entière et de ses prties polires, on en déduit le résultt. Proposition Soit P R[X] un polynôme non nul. Alors P s écrit λ n k=1 H p k k où λ R et où les H k, pour k = 1,..., n sont des polynômes irréductibles deux à deux distincts et p 1,..., p k sont des entiers nturels non nuls. Alors P n P = k=1 p k H k H k Cet énoncé est une simple générlistion de l énoncé précédent. Il est en fit vri dns R(X) comme dns C(X). Remrquons tout d bord que P est de degré strictement P négtif, donc s prtie entière est nulle. Les seuls fcteurs irréductibles du dénominteur de P sont les H k, pour k = 1,..., n, donc ce sont les seuls à considérer pour décomposer P. Soit k [[1, n]]. Alors P s écrit H p k k A k, où A k est un polynôme dont H k n est ps un fcteur. Alors on P P = p kh kh pk 1 k = p kh k H k A k + H p k k A k H p k k A k + A k A k et H k n est ps un fcteur de A k. Donc p kh k H k est l prtie de l décomposition de P ssociée u fcteur H P k. P étnt l somme de s prtie entière et des prties P ssociées ux fcteurs irréductibles du dénominteur, on en déduit le résultt. 3 Appliction u clcul intégrl On v voir ici comment l décomposition en x éléments simples permet de clculer R(t) dt, où R K(X). 3.1 Si K = C C est le cs le plus simple. On commence pr décomposer R en éléments simples. Il suffit lors de svoir intégrer les polynômes insi que toute 238

239 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES fonction de l forme t 1 (t λ) k, vec k N. Tritons différents cs : Si k = 1 on sépre lors l prtie réelle et l prtie imginire de, puis on intègre. 1 (t λ) k Si on note λ = α + iβ, cel donne : 1 t λ = = t α + iβ (t α) 2 + β 2 t α (t α) 2 + β 2 + iβ (t α) 2 + β 2 Or x t α (t α) 2 + β 2 dt = 1 ( 2 ln (x α) 2 + β 2) et x ( β x α (t α) 2 + β 2 dt = Arctn β ) et l vleur bsolue s enlève sns problème cr X 2 +βx +γ étnt irréductible, il n ps de rcine et est donc de signe constnt. Le second terme se réécrit qunt à lui b β 2 t 2 + βt + γ = Or γ β 2 /4 = /4 = b β 2 (t + β/2) 2 + (γ β 2 /4) ( ) 1 2 cr < 0. 2 En posnt lors θ = 1 2, on θ > 0 et x b β 2 (t + β/2) 2 + θ 2 dt = b β 2 θ ( ) x + β/2 Arctn θ Si k > 1 lors x 1 (t λ) k dt = 1 k 1 1 (x λ) k Si K = R Il s git de svoir intégrer d une prt les 1 (t λ) k, ce qu on sit déjà fire et d utre prt les termes de l forme t t + b (t 2 + βt + γ) n où, b, β et γ sont des constntes réelles, où n est un nturel non nul et où le polynôme X 2 + βx + γ n dmet ps de rcine réelle. On se limiter u cs où n = 1. Pour gérer les utres cs, on peut décomposer R en éléments simple dns C(X) et clculer l intégrle pr les méthodes données ci-dessus. En posnt = β 2 4γ, on donc < 0. On écrit lors t + b t 2 + βt + γ = 2 2t + β t 2 + βt + γ + γ β 2 t 2 + βt + γ Le premier terme est un rpport de l forme u /u : x 2t + β 2 t 2 + βt + γ dt = 2 ln x2 + βx + γ 239

240 CHAPITRE XVI. FRACTIONS RATIONNELLES 240

241 Chpitre XVII Anlyse symptotique 1 Comprison symptotique de suites Définitions : nottions de Lndu Opértions o et O b Équivlents Exemples clssiques (formulire) Comprison de fonctions Définitions o et O b Équivlents Opértions o et O b Équivlents Développements limités Définition et premières propriétés Opértions sur les DL Somme b Produit c Composition d Quotient Intégrtion et dérivtion Formule de Tylor-Young Applictions Clculs de limites et d équivlents 234 b Allure d une courbe u voisinge d un point c Prolongement de fonction d Développements symptotiques. 235 e Brnche infinie d une courbe y = f(x) Théorèmes de comprison pour les séries

242 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE 1 Comprison symptotique de suites Une première mnière de comprer deux suites est de regrder si elles ont ou ps une limite, et si ces limites sont égles. Si deux suites n ont ps l même limite, on peut dire que ces deux suites n ont ps le même comportement. Mis si elles ont l même limite, on ne peut rien dire : exemple : u n = n et v n = e n, 0, 1/n et ( 1) n /n. Même limite, mis ps du tout le même comportement. Pour une nlyse plus fine, on utilise des outils de comprison. Dns tout cette section, (u n ), (v n ), (u n), (v n) et (w n ) sont des suites réelles. 1.1 Définitions : nottions de Lndu Définition Soient (u n ) et (v n ) deux suites. Les définitions suivntes vont être données dns le cs prticulier où (v n ) ne s nnule ps. Il existe des définitions plus générles des reltions de comprison, dns le cs où (v n ) s nnule, mis elles ne sont ps u progrmme. (i) On dit que (u n ) est dominée pr (v n ), ce qui se note u n = O(v n ), et se lit «(u n ) est un grnd O de (v n )», si l suite (u n /v n ) est bornée. (ii) On dit que (u n ) est négligeble devnt (v n ), ce qui se note u n = o(v n ), et se lit «(u n ) est un petit o de (v n )», si u n /v n 0. Remrque Petit o implique évidemment grnd O. Une suite est un O(1) si et seulement si elle est bornée, et est un o(1) si et seulement si elle tend vers 0. À l écrit, prenez soin de bien différentier les tilles de o et O. Remrque On trduir souvent l reltion u n = o(v n ) pr : il existe une suite (ε n ) telle que ε n n + 0 ; n N, u n = ε n v n. Exemple n = o(e n ) = o(1/n). 3. 1/n = O(( 1) n /n). 4. sin n = O(1) et 1/n = o(1). 5. v n = n4 + n 2 et u n = n2 + n. On clcule n + 1 n + 2 u n /v n, ç tend vers 0. Exemple Les croissnces comprées vues lors du chpitre sur les suites peuvent se réécrire grâce u symbole o : 1. pour tous α, β R, si α < β lors n α = o(n β ). 2. pour tous α, β, γ R +, ln β (n) = o(n α ) et n α = o(e γn ). En ccord vec l hypothèse essentielle de l définition 1.1.1, écrire u n = o(0) ou u n = O(0) n ucun sens. Remrque Une utilistion fondmentle des reltions de comprison repose sur l écriture suivnte : u n = v n + o(w n ), qui signifie u n v n = o(w n ). L églité u n = v n + o(w n ) exprime que v n est une pproximtion de u n, et que l erreur de cette pproximtion est une quntité négligeble devnt w n. Cette églité est intéressnte si u n est une suite «compliquée», que v n est une suite «plus simple», et que w n est elle-même «petite devnt u n et v n». Approcher une suite pr une utre qui un comportement plus difficile à étudier n en effet ucun intérêt, même si cel peut être tout à fit correct. De même que dire qu un objet mesure environ 10 cm, u mètre près. Exemple e 1/n = 1+ 1 n + 1 2n 2 +o(1/n2 ). Si on veut être plus précis, on écrit e 1/n = 1+ 1 n + 1 2n n 3 +o(1/n3 ), et on bien 1 6n 3 + o(1/n3 ) = o(1/n 2 ). Attention, 242

243 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE écrire e 1/n = n + 1 2n n 3 + o(1/n2 ) est juste mis n pporte rien de plus que e 1/n = n + 1 2n 2 + o(1/n2 ). Pire : e 1/n = n + 1 2n n 3 + o(1/n 2 ) est juste ussi! Définition Soient (u n ) et (v n ) deux suites. Là encore l définition donnée n est vlble que dns le cs prticulier où (v n ) ne s nnule ps. On dit que (u n ) est équivlente à (v n ), ce qui se note u n v n, si u n /v n 1. Là encore, u n 0 n ucun sens. Remrque On trduir souvent l reltion u n v n pr : il existe une suite (ε n ) telle que ε n n + 1 ; n N, u n = ε n v n. Proposition Les propositions suivntes sont équivlentes : (i) u n v n (ii) u n v n = o(v n ) (iii) u n = v n + o(v n ) (iv) v n = u n + o(u n ) (i) implique (ii) : u n/v n 1 et v n/v n 1, donc (u n v n)/v n 0. (ii) implique (i) : même risonnement. (iii) et (iv) ne sont que des reformultions des points précédents. Exemple /n 1/n + 1/n 2. n e n. On trduit l limite usuelle pr e 1/n 1 1/n 1 n + [ ] e 1/n 1 1 n ou, mieux, pr 1.2 Opértions o et O e 1/n = n + o ( 1 n Théorème Soit λ R, ϕ une extrctrice. ). (i) Multipliction pr un réel non nul : si u n = o(v n ) lors u n = o(λv n ) et λu n = o(v n ). (ii) Somme : si u n = o(v n ) et w n = o(v n ) lors u n + w n = o(v n ). Ce sont des petits o de l même suite. (iii) Trnsitivité : si u n = o(v n ) et v n = o(w n ), lors u n = o(w n ). (iv) Produit 1 : si u n = o(v n ), lors w n u n = o(w n v n ). (v) Produit 2 : si u n = o(v n ) et u n = o(v n) lors u n u n = o(v n v n). (vi) Suites extrites : si u n = o(v n ) lors u ϕ(n) = o(v ϕ(n) ). (vii) Tout reste vri en remplçnt les o pr des grnds O. Simple : revenir à l définition. Deux opértions sur les o sont formellement INTERDITES : Sommer deux églités en o si les suites dns les o ne sont ps les mêmes. Ex : 1/n = o(1) et 1/n = o( 1), mis 2/n o(0). Composer une églité en o pr une fonction : u n = o(v n ) f(u n ) = o(f(v n )). Ex : f(x) = 1/x, 1/n = o(1) mis n o(1). De même, 1/n 2 = o(1/n) mis e 1/n2 o(e 1/n ). 243

244 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE b Équivlents Théorème Soit ϕ une extrctrice. (i) L reltion est une reltion d équivlence ( : réflexive, b : symétrique, c : trnsitive). (ii) Dns un petit o, on peut remplcer l suite pr toute suite équivlente : si u n = o(v n ) et v n w n, lors u n = o(w n ). n + (iii) Deux suites équivlentes ont le même signe à prtir d un certin rng. (iv) Produit : si u n lors u n u n n + v n et u n v nv n + n. (v) Pssge à l inverse : si u n 1/u n 1/v n. n + v n v n lors n + (vi) Puissnces : si u n v n et si u n > 0 n + à prtir d un certin rng, lors pour tout R, u n n + v n. (vii) Suites extrites : si u n v n lors n + u ϕ(n) v ϕ(n). n + Simple : revenir ux définitions. Trois opértions sur les équivlents sont INTERDITES : Sommer des équivlents. Ex : n n + 1 n mis 1 0. n + n, n + Composer pr une fonction. Ex : n 2 n + n 2 + n mis e n2 e n+n2. Élever un équivlent à une puissnce dépendnt de n : n 1 mis ( n) n e. Remrquons que c est un cs prticulier de composition. Théorème Soit l R. (i) u n l R si et seulement si u n l. n + (ii) Si u n n + v n, lors (u n ) une limite dns R ssi (v n ) en une ussi. Dns le cs d existence de l limite, ces deux limites sont égles. L réciproque est fusse, suf si u n n + l R. Simple : revenir ux définitions. L réciproque de (??) est fusse. Ex : n +, n 2 +, 1/n 0, 1/n 2 0. Pire : u n u n+1 si u n = (1/2) n. Il est tentnt d utiliser les symboles et o à tort et à trvers, ce qui mène souvent à de grves erreurs. Il est interdit de les utiliser simultnément. On s interdir le plus souvent d écrire une équivlence à une somme, on préfèrer dns ce cs l écriture en o. 1.3 Exemples clssiques (formulire) Les exemples donnés dns le formulire sont à connître pr cœur. Ne ps oublier l hypothèse u n Les formules en n + n + 0. ne sont ps des doublons de celles en o. Il est fux d écrire (1 + u n ) n u n + o(u n ) et idiot d écrire (1 + u n ) n u n (pourquoi?). Démontrons les formules du formulire. L technique générle est l suivnte : on prt d une fonction f définie et dérivble u voisinge de 0, et on utilise f f(t) f(0) (0) = lim, ce qui, en composnt vec u n t 0 t f(un) f(0) donne = f (0) + o(1), et finlement, f(u n) = u n f(0) + f (0)u n + o(u n). Pour cos et ch, une utre méthode est nécessire : pour cos on utilise cos(2x) = 1 2 sin 2 (x), et on l pplique à x = un 2. Idem vec ch vec ch(2x) = sh 2 (x). 244

245 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE Exemple Voici des exemples d utilistion des reltions d équivlence : ( ) ln(n + 1) n Donner un équivlent de 1. ln n( Clculer l limite de l suite u n = 2 cos n) 1 n. Clculer l limite de u n = e n ch 4 n Comprison de fonctions Nous llons mintennt dpter les outils de l section précédente ux fonctions. Dns toute cette section, I et J sont des intervlles de R, f, g, h, k : I R sont qutre pplictions, et Ī. 2.1 Définitions o et O Définition Encore une fois, nous supposons que l fonction g ne s nnule ps u voisinge de, suf éventuellement en. (i) On dit que f est dominée pr g u voisinge de, ce qui se note f = O(g) ou f(x) = x O(g(x)), et se lit «f est un grnd O de g u voisinge de», si f/g est bornée u voisinge de. Cette définition se générlise u cs où f et g ne sont ps définies en : il suffit de remplcer tous les I pr des I\{}. (ii) On dit que f est négligeble devnt g u voisinge de, ce qui se note f = o(g) ou f(x) = o(g(x)), et se lit «f est un petit o x de g u voisinge de», si lim f/g = 0. Cette définition se générlise u cs où f et g ne sont ps définies en : il suffit de remplcer tous les I pr des I\{}. Remrque Ces définitions sont les mêmes que pour les suites, à ceci près que pour des fonctions il fut spécifier un point u voisinge duquel ces reltions sont vlbles. Pour les suites, il s gissit toujours de +. Remrque Comme pour les suites, on trduir souvent f = x o(g) pr : il existe ε : I R vérifint ε(x) x 0 ; x I, f(x) = ε(x)g(x). Remrque Comme pour les suites, f = o(0) ou f = O(0) n ont ps de sens. Comme pour les suites, petit o implique O. f = O(1) signifie que f est bornée u voisinge de, et f = o(1) signifie que f 0. Exemple Fondmentl : les croissnces comprées s expriment insi. En + : 1. Soient α, β R tels que α < β. Alors x α = x + o(xβ ). 2. Soient, b R tels que 0 < < b. Alors x = x + o(bx ). 3. Soient α, β R vec α > 0. Alors (ln x) β = x + o(xα ). 4. Soient, α R vec > 1. Alors x α = x + o(x ). En 0 : 1. Soient α, β R tels que α < β. Alors x β = x 0 o(x α ). 2. Soient α, β R vec α > 0. Alors ln x β = x 0 o(x α ). 3. Soient α, β R( vec α > 0. Alors x α = o ln x β). x 0 Exemple x 2 = x + o(x4 ), et x 4 = o(x 2 ). 2. 1/x 4 = x + o(1/x2 ), et 1/x 2 = x 0 o(1/x 4 ). x 0 245

246 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE b Équivlents 2. x e x. x + Définition Nous supposons que l fonction g ne s nnule ps u voisinge de, suf éventuellement en. On dit que f est équivlente à g u voisinge de, ce qui se note f g ou f(x) g(x), et se x lit «f est équivlente à g u voisinge de», si f/g 1. Cette définition se générlise u cs où f et g ne sont ps définies en : il suffit de remplcer tous les I pr des I\{}. Théorème (i) Si f g, lors soit f et g ont toutes les deux une même limite dns R en, soit ucune des deux n de limite en. (ii) Si f(x) x 2.2 Opértions o et O l R, lors f(x) x l. f 0 n ps de sens. Remrque Comme pour les suites, on trduir souvent f (g) pr : il existe ε : I R vérifint ε(x) x 1 ; x I, f(x) = ε(x)g(x). Remrque Comme pour les suites, implique O. x Théorème f g si et seulement si f g = o(g) si et seulement si f g = o(f). f(x) Les propositions «lim x g(x) = 1» et «(f(x) g(x)) 0» ne sont en ucun x cs équivlentes : ucune n implique l utre! Avec le théorème précédent, on voit en effet que f(x) g(x) o(g) tndis que x x (f(x) g(x)) 0 signifie f g = o(1). x x Pr exemple, x + 1 x + x, mis (x + 1) x x + 0. Exemple x x + 1 x + 1 x 2. Théorème Soit λ R. (i) Multipliction pr un réel non nul : si f = o(g), lors f = o(λg) et λf = o(g). (ii) Somme : si f = o(g) et h = o(g), lors f + h = o(g). Ce sont des o de l même fonction. (iii) Trnsitivité : si f = o(g) et g = o(h), lors f = o(h). (iv) Produit 1 : si f = o(g), lors fh = o(gh). (v) Produit 2 : si f = o(g) et h = o(k), lors fh = o(gk). (vi) Composition à droite : si b R, et si ϕ est une fonction définie u voisinge de b à vleurs dns I et telle que ϕ, lors si b f = o(g), on ussi f ϕ = b o(g ϕ). (vii) Tout ceci reste vri en remplçnt les o pr des grnds O. Simple : revenir ux définitions. Deux opértions sont formellement INTERDITES : 1. Les sommes des deux côtés : f = o(g) et h = o(k) f + h = o(g + k). 246

247 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE 2. L composition à guche : si ψ est une ppliction de R dns R f = o(g) ψ f = ψ() o(ψ g). Pr exemple x 2 = x 0 o(x), mis e x2 x 0 o (e x ). Remrque Le point (vi) permet de fire des trnsltions : pr exemple, x 4 = o(x 2 ) donc (x 1) 4 = x 0 x 1 o((x 1) 2 ). Il permet ussi de psser d une reltion u voisinge de 0 à une reltion u voisinge de ±, et vice-vers. Pr exemple, x 5 = o (x) implique ( ) x x 5 = o. x + x Remrque Comme vec les suites, écrire f = g + o(h) signifie que f g = o(h). Cel permet de fire des développements, comme vec les suites. b Équivlents Théorème Soit λ R. (i) L reltion est une reltion d équivlence ( : réflexive, b : symétrique, c : trnsitive). (ii) Dns un petit o, on peut remplcer l fonction pr toute fonction équivlente : si f = o(g) et g h, lors f = o(h). (iii) Deux fonctions équivlentes u voisinge de ont le même signe sur un voisinge de. (iv) Produit : si f g et h k, lors fh gk. (v) Inverse : si f g, lors 1 f 1 g. (vi) Puissnces : pour tout α R, si f g et si f > 0 u voisinge de, lors f α g α. (vii) Composition à droite : si b R, et si ϕ est une fonction définie u voisinge de b à vleurs dns I et telle que ϕ, lors si b f g, on ussi f ϕ b g ϕ. Simple : revenir ux définitions. Trois opértions sont formellement INTERDITES : 1. Les sommes d équivlents : f g et h k f + h g + k. 2. L composition à guche : si ψ est une ppliction de R dns R f = g ψ f ψ()ψ g. Pr exemple x x + 1, mis e x e x+1. x + x + 3. Élever un équivlent à une puissnce dépendnt de x (cs prticulier de l composition à guche) : 1 + x 1 mis (1 + x) 1/x e x 0 x 0 Exemple Donner l limite en 0 de x ln (1 + tn(2x)). sin(4x) 3 Développements limités Nous llons mintennt utiliser les reltions de comprison dns un cs prticulier : celui du développement limité, qui est une pproximtion d une fonction en un point pr un polynôme. Dns tout ce chpitre, n est un entier nturel, I et J sont deux intervlles de R, f est une fonction de I dns R et x 0 un point de I. 3.1 Définition et premières propriétés Définition On dit que f dmet un développement limité d ordre n u voisinge d un point x 0 I s il existe des réels 0... n tels que f(x) = x x (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) On dit que le polynôme + n (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ) (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) n (x x 0 ) n 247

248 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE est l prtie principle ou régulière du DL, et que le terme o((x x 0 ) n ) est son reste. L écriture f(x) = x x0 (x x 0 ) p( (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) ) + n (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ) vec 0 0 est ppelée forme normlisée du DL, c est ussi f(x) = x x0 0 (x x 0 ) p + 1 (x x 0 ) p (x x 0 ) p n (x x 0 ) p+n + o((x x 0 ) p+n ). L entier p est lors l vlution du DL : c est le degré du premier terme non nul du DL. Remrque Dns l suite on utiliser l nottion «f dmet un DL(x 0, n)» (ou DL n (x 0 )) pour dire que f dmet un DL d ordre n en x 0. Cette nottion n rien d officiel et ne devr en ucun cs être utilisée illeurs qu en cours et en TD. Exemple L fonction x 1 dmet un DL(0, n) pour 1 x tout n, et l on en connît explicitement le reste, à 1 svoir : 1 x = x 0 1+x+x2 +x x n + xn+1 1 x, et en 0 on bien xn+1 1 x = x 0 o(xn ). Remrque f dmet un DL(x 0, n) si et seulement si h f(x 0 + h) dmet un DL(0, n). Autrement dit, en posnt h = x x 0, on peut toujours se rmener à un DL en zéro. Remrque Si f dmet un DL d ordre n en x 0, et si m N est inférieur à n, lors f dmet un DL d ordre m en x 0. En effet, il suffit de ne grder que les termes de degré inférieur à m : on rélise insi une troncture du DL. En prticulier, le premier terme non nul d un DL fournit un équivlent de f. Pr exemple, si f(x) = 2(x x 0 ) 2 (x x 0 ) 3 + o((x x 0 ) 3 ), x x0 lors f(x) 2(x x 0 ) 2. x x0 Théorème (unicité du DL). L prtie principle d un DL(x 0, n) de f est unique, c est-à-dire : si 0... n et b 0... b n sont tels que f(x) = x x (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) n (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ) et f(x) = x x0 b 0 + b 1 (x x 0 ) + b 2 (x x 0 ) b n (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ) lors i {0,..., n}, i = b i. En effet, en fisnt l différence des deux développements, on ( 0 b 0) + ( 1 b 1)(x x 0) ( n b n)(x x 0) n = o((x x 0) n ). Si on considère le plus petit entier k {0,..., n} tel que k b k lors, en divisnt pr (x x 0) k, on ( k b k ) + ( i b i)(x x 0) i k = o(x x 0) n k. i=k+1 Pr pssge à l limite en x 0, k = b k. Corollire Si f est pire (resp. impire) et dmet un DL(0, n), lors l prtie principle de ce DL est un polynôme pir (resp. impir). Tritons le cs où f est pire, le cs où f est impire se tritnt de l même mnière. On f(x) = 0 + 1x + x 0 2x nx n + o(x n ). En écrivnt que f(x) = f( x), on obtient que 0 1x + 2x 2 3x ( 1) n nx n +o(x n ) est ussi un DL(0, n) de f. Pr unicité de ce DL, on peut identifier tous les coefficients, ce qui ssure que les coefficients des termes de degré impir sont nuls. 248

249 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE Théorème (i) f est continue en x 0 ssi f dmet un DL(x 0, 0). En effet, on lors f(x) = f(x 0 ) + o(1). Le coefficient x x0 constnt d un DL(x 0, n) de f donne toujours l vleur de f en x 0. (ii) f est dérivble en x 0 ssi f dmet un DL(x 0, 1). En effet, si f(x) = x x0 f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+o(x x 0 ) lors le coefficient du terme de degré 1 d un DL(x 0, n) de f donne toujours l vleur de f en x 0. Attention! Les termes de degrés supérieurs ne donnent ps les dérivées suivntes de f. Et même pire : une fonction peut dmettre un DL(x 0, 2) et ne ps être deux fois dérivble en x 0. Exemple Exemple x u + x x 3 1 Q (x) { x 3 sin 1 x 3 si x 0 0 sinon Exemple Notons f : R R { ) e 1 x x 2 sin (e 1 x 2 si x 0 0 si x = 0 Montrons que f dmet un DL(0, n) pour tout n : on f(x) x n e 1 ( ) x 2 n ( ) n 2 x n = nx 2 e 2 nx 2 2 n 2. 2 Or ue u f(x) 0 donc 0, ce qui x n x 0 montre bien que f(x) = x 0 o(x n ). f dmet donc bien un DL en 0 à tout ordre, de prtie principle nulle. Ceci implique donc que f(0) = 0 et f (0) = 0. f est donc dérivble en 0, mis montrons que f n est ps continue en 0. Ainsi f n est ps deux. 249 fois dérivble en 0. On clcule pour x 0 : x 0 f (x) = 2f(x) x 3 2 x 3 cos ( e 1 x 2 ) D près ce qui précède, 2f(x) x 3 0. Montrons que x 0 2 ( ) x 3 cos e 1 x 2 n ps 0 pour limite en 0 : insi on ur bien f (x) f 1 (0). Si l on pose u n =, ln(2nπ) on : 2 u 3 n ( ) 1 u cos e 2 n = 2 u 3 n = ( ln(2nπ) ) 3 2, qui pour limite + qund n tend vers +. On conclut vec l rgument de composition de limites. 3.2 Opértions sur les DL Nous llons mintennt voir comment effectuer des opértions sur les DL. Le point délict n est ps tnt d effectuer les clculs, mis d nticiper le degré du DL obtenu, connissnt les degrés des DL initiux intervennt dns les clculs. Au cours des clculs, plusieurs restes vont pprître, mis à chque étpe, les restes les plus petits, ou les plus précis, s effcent devnt le reste dominnt. C est le degré de ce reste dominnt qu il fut svoir déterminer fortiori. Somme Proposition Si f et g dmettent un DL en x 0, respectivement d ordre n et m, lors f + g dmet un DL en x 0, d ordre min(n, m), obtenu en fisnt l somme des DL de f et g. Les prties principles des deux DL donnent un polynôme. À ce polynôme s joutent deux restes : l un d ordre n et l utre d ordre m. C est le plus petit exposnt, i.e. min(n, m) qui désigne le reste dominnt. L ordre du DL d une somme est le min des ordres des deux DL. En dditionnnt un DL

250 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE d ordre 3 à un DL d ordre 2, on n ucune chnce de récupérer un DL d ordre 3! Exemple On les DL suivnts, cos(x) = x x2 + o(x 2 ) exp(x) = x x x x3 + o(x 3 ) = 1 + x + 1 x 0 2 x2 + o(x 2 ) donc on obtient de DL à l ordre 2 : cos(x) + exp(x) = 2 + x + o(x 2 ). Remrque On prendr soin, en dditionnnt deux DL, d ligner verticlement les termes de mêmes degrés. b Produit Étudions d bord un cs prticulier : Proposition Soient f et g dmettnt chcune un DL en x 0, respectivement d ordre n et m. Supposons que les termes constnts de ces deux DL sont non nuls. Alors fg dmet un DL en x 0, d ordre exctement min(n, m), obtenu en fisnt le produit des DL de f et g, dont on ne grde que les termes de degré inférieur à min(n, m). Lorsque l on développe le produit de ces deux DL, il pprît plusieurs restes. Prmi ces restes il y le terme constnt du DL de f fois le reste du DL de g, et le terme constnt du DL de g fois le reste du DL de f. L un de ces deux restes est forcément le terme dominnt du DL du produit. Exemple Avec f(x) = x 0 2 x + 3x 2 + o(x 2 ) g(x) = x x 3x 2 + x 3 + o(x 3 ) = x x 3x2 + o(x 2 ) on f(x)g(x) = 2 + 4x 6x 2 + o(x 2 ) x 0 x 2x 2 + o(x 2 ) + 3x 2 + o(x 2 ) = 2 + 3x x 0 5x2 + o(x 2 ). Tritons mintennt le cs générl : Proposition Soient f et g dmettnt chcune un DL en x 0, respectivement d ordre n et m, et de vlution p et q. Alors fg dmet un DL en x 0, d ordre exctement min(n p, m q) +p+q (> min(n, m) si p et q sont non nuls). Écrivons les formes normlisées des deux DL : ( f(x) = (x x 0) p 0 + 1(x x 0) x x 0 et + 2(x x 0) ) + n p(x x 0) n p + o((x x 0) n p ) ( g(x) = (x x 0) q b 0 + b 1(x x 0) x x 0 + b 2(x x 0) ) + b m q(x x 0) m q + o((x x 0) q m) Le produit de ces deux DL est donc (x x 0) (( p+q o((x x 0) n p ) ) (b o((x x 0) m q ) Le DL entre les grndes prenthèses est le produit de deux DL dont les termes constnts sont non nuls. Son degré est donc min(n p, m q) d près Exemple Avec f(x) = x 2x 2 + o(x 2 ) et g(x) = x + x 0 x 0 x 2 + o(x 2 ), on f(x)g(x) = x 0 x 2 (1 2x + o(x))(1 + x + o(x)) = x 0 x2 (1 x + o(x)) = x 0 x2 x 3 + o(x), qui est bien un DL d ordre

251 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE c Composition et on obtient Proposition Soit f dmettnt un DL(0, n), de prtie principle F, dont le terme constnt est nul, c est-àdire vérifint f(0) = 0, et soit g dmettnt un DL(0, n), de prtie principle G. Alors g f dmet un DL(0, n) dont l prtie principle est G F dont on retiré les termes de degré supérieur à n. On f(h) = x 0 F (h) + o(h n ) et : g(k) = x 0 G(k) + o(k n ). Un clcul simple (pr exemple vec le binôme de Newton) ssure que : k N, (F (h) + o(h n )) k = (F (h)) k + o(h n ). x 0 Schnt cel, on : (g f)(h) = g x 0 ( F (h) + o(h n ) }{{} k ) + o(k n ) = G ( F (h) + o(h n ) ) + o(k n ) x 0 = G(F (h)) + o(h n ) + o(k n ). x 0 Or k se fctorise pr h, donc k n = o(h n ), d où le résultt. Remrque Ce résultt s étend tout à fit u cs où f dmet un DL(x 0, n) vec f(x 0 ) = 0, et où g dmet un DL( 0, n) : il suffit lors de composer les DL en ne grdnt que les termes de degré inférieur à n. Exemple Trouver un DL(0, 4) de e cos x : on cos x = x 0 1 x 2 /2 + x 4 /24 + o(x 4 ) = 1 + X. D où e cos x = x 0 e X = x 0 e (1 + X + X 2 /2 + o(x 2 )). Il suffit en effet de s rrêter u terme de degré 2 dns le DL de l exponentielle, cr X 1 2 x2, donc les termes négligebles devnt X 2 (le o(x 2 )) seront négligebles devnt x 4. On clcule lors, vec x 2 X = x x o(x4 ), d e cos x = x 0 e (1 x 2 /2 + x 4 /6) + o(x 4 ). Quotient Tritons un premier cs : Proposition Si g dmet un DL(x 0, n) de vlution p = 0 (insi le terme constnt de g n est ps nul), lors 1/g dmet ussi un DL(x 0, n). On écrit g(x) = x x 0 b 0 + b 1(x x 0) + b 2(x x 0) b n(x x 0) n + o((x x 0) n ) = x x0 b 0(1 u) vec u = b1(x x0) + b2(x x0) b n(x x 0) n + o((x x 0) n ). b 0 1 Il suffit de composer ce DL vec celui de 1 u. Proposition Si f et g dmettent un DL(x 0, n) et si le terme constnt de g n est ps nul, lors f/g dmet ussi un DL(x 0, n). Il suffit de multiplier le DL(x 0, n) de f vec celui de 1/g. Exemple tn x = sin x cos x = x x3 /6 + x 5 /120 + o(x 5 ) 1 x 2 /2 + x 4 /24 + o(x 5 ) ( ) = x x 3 /6 + x 5 /120 + o(x 5 ) ( 1 + u(x) + u(x) 2 + o (u(x) 3)) où u(x) = x 2 /2 x 4 /24 + o(x 5 ) Il est inutile de clculer u 3 qui donner des termes en x 6 x 2. En effet, u(x) x 0 2, donc o( u(x) 3) 251

252 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE o(x 5 ). Donc ( ) tn x = x x3 x x o(x5 ) ( ) 1 + x2 2 x x4 4 + o(x5 ) ( ) = x x 0 1 x2 6 + x o(x4 ) ( 1 + x2 2 x x4 4 + o(x4 ) = x + x3 x x o(x5 ) Et le cs générl : Proposition Soit f dmettnt un DL en x 0 d ordre n et de vlution p. Alors 1/f dmet en x 0 un développement de l forme P (x x 0) + o((x x 0 ) n p ) (x x 0 ) p, où P est un polynôme de terme constnt non nul. Si p > 0, ce développement est dit symptotique. Il suffit d écrire le DL de f sous forme normlisée : f(x) = (x x 0) p.(f (x x 0) + o((x x 0) n p ), où F est un polynôme de terme constnt non nul. Alors 1 1/f = (x x. 1, et d près 0) p F (x x 0) + o((x x 0) n p ) 1??, dmet un DL à l ordre F (x x 0) + o((x x 0) n p ) n p, d où l existence du polynôme P de l énoncé. Mis comme le terme constnt de P n est ps nul, si p > 0, P (x x 0) n est ps un polynôme mis une frction rtionnelle qui tend vers l infini (en vleur bsolue) en x 0, et le (x x 0) p développement est dit symptotique. Exemple Donner un développement de 1 x 2 + 2x 3 x 4 + o(x 5 en 0. ) 3.3 Intégrtion et dérivtion ) Proposition Si f est continue et dérivble u voisinge de x 0 et si f dmet un DL(x 0, n), lors f dmet un DL(x 0, n + 1) dont l prtie principle est l primitive de l prtie principle du DL de f qui vut f(x 0 ) en x 0. Donnons l démonstrtion dns le cs x 0 = 0. On Posons f (x) = 0 + 1x + 2x nx n + o(x n ) x 0 F : I R x f(x) f(0) 0x 1 2 x2... n n + 1 xn+1 Alors F (0) = 0 et x I F (x) = f (x) 0 1x 2x 2... nx n On donc F (x) = x 0 o(x n ). En ppliqunt le TAF entre 0 et x on obtient : il existe θ x ]0, 1[ tel que On donc F (x) F (0) = xf (θ xx) d où F (x) = x 0 xo(θ n x x n ) donc F (x) = o(x n+1 ) x 0 f(x) = f(0) + 0x + 1 x 0 2 x n n + 1 xn+1 + o(x n+1 ) Exemple Cette proposition permet de déterminer les DL de ln(1 x), ln(1 + x) et Arctn x, en primitivnt les DL de 1/(1 x), 1/(1 + x) et 1/(1 + x 2 ). Proposition Si f dmet un DL(x 0, n) et si l on sit que f dmet un DL(x 0, n 1) (pr exemple prce que f est de clsse C n ), lors le DL de f s obtient en dérivnt celui de f. Exemple Dériver le DL de 1 + x redonne celui de Dériver celui de x x donne celui de 1 (1 + x)

253 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE 3.4 Formule de Tylor-Young Théorème (Formule de Tylor-Young). Si f est de clsse C n sur I, lors f possède un DL(x 0, n) donné pr l formule de Tylor-Young : f(x) = x x0 soit k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ), k! f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) 2 x x f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ). n! Démontrons le résultt pr récurrence. Pour n N, on note P (n) l ssertion «f C n (I, R) f(x) = x x 0 f (k) (x 0) (x x 0) k + o((x x 0) n )». k! k=0 P (0) est vri d près les résultts sur les fonctions continues. Montrons n N, P (n) P (n + 1). Soit n N, supposons P (n). Montrons P (n + 1). Soit f de clsse C n+1. Alors f est de clsse C n, et on puisqu on P (n), on f (x) = x x 0 = x x 0 k=0 k=0 (f ) (k) (x 0) (x x 0) k + o((x x 0) n ) k! f (k+1) (x 0) (x x 0) k + o((x x 0) n ) k! D près l proposition 3.3.3, on donc : f (k+1) (x 0) f(x) = f(x 0) + (x x0)k+1 x x 0 (k + 1)k! k=0 +o((x x 0) n+1 ) = f(x 0) + x x 0 k=0 +o((x x 0) n+1 ) n+1 = f(x 0) + x x 0 = x x 0 k=1 f (k+1) (x 0) (x x 0) k+1 (k + 1)! f (k) (x 0) (x x 0) k k! +o((x x 0) n+1 ) n+1 f (k) (x 0) (x x 0) k k! k=0 +o((x x 0) n+1 ). Exemple L formule de Tylor-Young permet d obtenir les DL des fonctions exp, sin, cos, x (1 + x) α, sh et ch. Ils sont à svoir pr cœur : vous les trouverez dns le formulire déjà distribué. 3.5 Applictions Clculs de limites et d équivlents Revenir sur l feuille de clcul de limites de suites : les équivlents permettent de déterminer efficcement ces limites. On remrquer que les fctoristions effectuées lors reviennent à former ces équivlents! Voici un équivlent célèbre. Proposition (Formule de Stirling). n! ( ) n n 2nπ. e b Allure d une courbe u voisinge d un point Proposition Si f dmet en x 0 un DL de l( forme f(x) = (x x 0 ) + k (x x 0 ) k + o (x x 0 ) k), où k 2 et k est non nul, lors f est dérivble en x 0, de dérivée 1. L tngente à s courbe en (x 0, f(x 0 )) pour éqution y = 1 (x x 0 ) + 0 et l position de s courbe pr rpport à cette tngente est donnée pr le signe du terme k (x x 0 ) k. Les qutres positions possibles u voisinge de x 0 sont illustrées dns les figures??,??,?? et??. En prticulier, l courbe trverse l tngente (on dit qu on un point d inflexion) si et seulement si k est impir. 253

254 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE y = f(x) Tngente f(x 0 ) Tngente f(x 0 ) y = f(x) x 0 x 0 Figure XVII.1 Cs k pir, k > 0 Figure XVII.4 Cs k impir, k < 0 Tngente f(x 0 ) y = f(x) x 0 Figure XVII.2 Cs k pir, k < 0 Corollire Si f, de clsse C 2 dmet un point d inflexion en x 0, on nécessirement f (x 0 ) = 0. Remrque On pourr regrder ce que donne cette condition sur les exemples précédents. En prticulier, on verr clirement que l réciproque est fusse. Nous svons déjà que si f un extremum locl en, lors f () = 0, mis l réciproque est fusse. Allons plus loin, en utilisnt l proposition : y = f(x) f(x 0 ) Tngente x 0 Figure XVII.3 Cs k impir, k > 0 Corollire Soit f telle que f () = 0. Si f () 0, f un extremum locl en. f () = 0, donc l tngente de f en est horizontle. De plus l première dérivée non nulle en est d ordre 2, donc le grphe de f, dns un certin voisinge de, est en-dessous ou u -dessus de l tngente en. Ceci s écrit : (pour tout t dns ce voisinge, f(t) f()) ou (pour tout t dns ce voisinge, f(t) f()). Donc f un extremum locl en. Exemple Considérer les pplictions x x 3, x x 2, x x 4, sin, x x cos x et x x(1 + sin 3 x) en 0 c Prolongement de fonction On considère une fonction f non définie en mis définie u voisinge épointée de. 254

255 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE Proposition Soit n N. Si f dmet un développement limité d ordre n en, lors elle est prolongeble pr continuité en en une fonction ˆf et l vleur de ˆf en est le terme constnt du développement limité de f. De plus, ˆf dmet en le même développement limité que f. Corollire En prticulier si f dmet un DL d ordre u moins 1 en, lors ˆf est dérivble en. Exercice Étudier l fonction f en 0 (continuité, dérivbilité, position) : f(t) = 1 t 1 sin t d Développements symptotiques Nous vons déjà vu dns l Proposition de l Prtie un exemple de développement symptotique. Plus générlement, un développement symptotique ceci en commun vec un DL d être une pproximtion d une fonction, que l on présente églement comme une somme de fonctions, llnt de l plus «grosse» à l plus «petite», et d un reste, négligeble devnt tous les utres termes de l somme. C est ce que l on ppelle une échelle de comprison. Ces fonctions sont de nture quelconque, lors qu un DL ne contient que des termes polynomiux (on trville vec des échelles de comprisons polynomiles). Exemple { } Dns l échelle de comprison x x k, k Z, ordonnée pr l ordre usuel u voisinge de +, on peut écrire : 3x x 1 3x + 2 = 3x + = 3x + o(x) x + x 1 = 3x x + x 1 = x + 3x x + o ( 1 x = 3x o(1) ). Notmment, 5 x 1 = 5 x x = x + 5 (1 + o(1)) = x x + ( ) 5 1 x +o. x Exemple Dns { l échelle de comprison x x α ln β x, (α, β) R 2} u voisinge de +, ordonnée pr l ordre lexicogrphique sur (α, β), on peut écrire en développnt le crré : e ( x + ln x + 1 ) 2 ln x = x + x2 + o(x) = x + x2 + 2x ln x + o(x ln(x)) = x + x2 + 2x ln x + 2 x ( x ln x + o ln x ). Brnche infinie d une courbe y = f(x) Principe : écrire un développement symptotique de f u voisinge de l infini, en générl en exprimnt f(x) en fonction de 1/x : Exercice Étudier les brnches infinies de f : R R x x2 x + 2 e 1 x x Théorèmes de comprison pour les séries Proposition Soit (u n ) une suite à vleurs positives et S n = u k. Alors l suite (S n ) est croissnte et k=0 converge donc si et seulement si elle est mjorée. Tout simplement, S n+1 S n = u n

256 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE Proposition Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que pour tout n N, 0 u n v n. (i) Si ( N ( N ) v n n=0 N N ) u n églement et n=0 N N converge, N N 0 lim u n lim v n. N + N + n=0 n=0 ( N ) (ii) Si u n diverge, n=0 ( N N N ) v n églement. n=0 N N Il suffit de remrquer que si (S n) = ( N ) (S n) = v n S n. n=0 N N ( N ) u n n=0 lors lors N N et, lors pour tout n N, 0 S n (i) (S n) converge, donc est mjorée, donc (S n) est églement mjorée, et comme elle est croissnte, elle converge églement. Il reste lors à psser à l limite dns l reltion 0 S n S n. (ii) c est le théorème de minortion. Remrque L condition de positivité des suites est PRI- MORDIALE. Considérer pr exemple les suites constntes u n = 1 et v n = 0. Remrque Si l comprison n est vlide qu à prtir d un certin rng, le résultt de convergence est toujours vri, mis ps l comprison des limites. n=0 N N Exercice En considérnt u n = n(n + 1) et v 1 n = (n + 1) 2, ( N ) 1 montrer que (n + 1) 2 converge et mjorer s limite. Corollire Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles positives, (v n ) ne s nnulnt ps à prtir d un certin rng. (i) Si u n = O(v n ), lors l convergence ( N ) de v n entrîne celle de n=0 ( N N N ) u n. n=0 N N (ii) Si u n = o(v n ), lors l convergence ( N ) de v n entrîne celle de n=0 ( N N N ) u n. n=0 N N (iii) Si u n v n (donc (u n ) ne s nnule ps à prtir d un certin rng), lors v n et ( N ) n=0 ( N N N ) u n sont de même nture. n=0 N N (i) un v n est bornée pr un certin réel M > 0, donc à prtir d un certin rng, 0 u n Mv n cr (u n) et (v n) sont positives. On conclut donc vec (ii) si u n = o(v n), lors en prticulier u n = O(v n). (iii) si u n v n, lors u n = O(v n) et v n = O(u n). Exemple ( ) 1 Puisque sin 2 n 1, d près le résultt 2n ( N ( ) ) 1 sur les séries géométriques, 2 n converge. sin n=0 N N Pour pouvoir utiliser le dernier corollire, nous vons besoin de «séries étlon» dont l nture est bien connue, et uxquelles on compre les séries à étudier. Les quelques exemples déjà étudiés font prtie de ces séries de référence stndrd, mis l fmille de séries l plus utilisée est celle des séries 256

257 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE de Riemnn, ( dont font prtie l série hrmonique N ) 1 et l série (n + 1) 2. n=0 Théorème Soit α R. L suite seulement si α > 1. ( N n=1 N N ) 1 n α converge si et N N 1 Si α = 1, remrquons que ln(n + 1) ( n N ) 1 ln n. Donc est de même nture que n α n=1 ( N N N ) (ln(n + 1) ln n), qui elle-même est de même n=1 N N nture que l suite (ln n) pr sommtion télescopique, d où l divergence. ( ) 1 Si α 1, n 1 1 α α 1 n 1 (effectuer un développement symptotique de α 1 (n + 1) α 1 1 n α 1 1 ou ppliquer l inéglité des ccroissements finis (n + 1) α 1 à x x 1 α 1 ). L série de terme générl n 1 ( α 1 ) (n + 1) α 1 1 est de même nture que l suite, d où le résultt. n α 1 257

258 CHAPITRE XVII. ANALYSE ASYMPTOTIQUE 258

259 Chpitre XVIII Espces vectoriels 1 Espces vectoriels et combinisons linéires Définitions Règles de clcul Exemples Combinisons linéires Sous-espces vectoriels Définitions Exemples Opértions sur les sous-espces vectoriels 244 Intersection b Sous-espce vectoriel engendré pr une prtie c Somme d Somme directe Trnsltions, sous-espces ffines Trnsltions Sous-espces ffines Brycentres (hors progrmme) Convexité (hors progrmme) Applictions linéires Définitions Opértions sur les pplictions linéires Noyu et imge Isomorphismes Fmilles de vecteurs Sev engendré pr une fmille finie Fmilles génértrices Fmilles libres et liées Bses Repère ffine Endomorphismes prticuliers Homothéties Projecteurs Symétries

260 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Dns tout ce chpitre, K = R ou C. L importnt est que K soit un corps, mis le progrmme se limite à K = R ou C. 1 Espces vectoriels et combinisons linéires 1.1 Définitions Définition On ppelle K-espce vectoriel ou espce vectoriel sur K (noté K-ev) tout triplet (E, +, ) où E est un ensemble muni d une loi interne + ppelée ddition et d une loi externe, i.e. une ppliction : K E E, vérifint : (i) (E, +) est un groupe commuttif dont le neutre est noté 0 ; (ii) En notnt 1 (ou 1 K ) le neutre de K pour l multipliction, on : x E 1 x = x ; (iii) (λ, µ) K 2 x E (λ + µ) x = λ x + µ x (distributivité à droite) ; (iv) λ K x, y E λ (x+y) = λ x+λ y (distributivité à guche) ; (v) λ, µ K x E (λ µ) x = λ (µ.x) (ssocitivité mixte). Les éléments de E sont ppelés vecteurs, et ceux de K sont ppelés sclires. Remrque Les vecteurs mthémtiques étnt des objets mthémtiques comme les utres, on ne les mrquer plus d une flèche comme c est trditionnellement l usge dns les petites clsses (cet usge est d illeurs réservé à l géométrie euclidienne, lors qu on verr de nombreux exemples d espces vectoriels où les vecteurs ne sont ni ceux du pln, ni ceux de l espce euclidien). Remrque On ommet souvent, pour lléger les nottions, de noter le de l multipliction sclire. Ainsi, on pourr écrire λx u lieu de λ x, pour un sclire λ et un vecteur x. Exemple L ensemble des vecteurs du pln euclidien, celui des vecteurs de l espce euclidien, ou de fçon équivlente 1 (R 2, +, ) et (R 3, +, ), d où les mots «vecteur» et «sclire». De mnière générle, tous les R n. 2. (R, +, ) est un R-espce vectoriel. Remrquez que l loi est à l fois loi interne et externe sur R (c est ussi un Q-espce vectoriel). 3. (C, +, ) est à l fois un C-espce vectoriel et un R-espce vectoriel (et églement un Q-espce vectoriel). 4. N, Z et Q ne sont ps des espces vectoriels ni sur R ni sur C vec les opértions usuelles R[X], C[X], R(X) et C(X) sont des espcesvectoriels (sur quels corps?) 6. M n,p (K) est un K-ev. Remrque Tout C-espce vectoriel est ussi un R-espce vectoriel. L réciproque fusse : R n est ps un C-espce vectoriel, du moins ps vec les lois usuelles 3 Dns toute l suite, (E, +, ) désigne un K-ev. 1.2 Règles de clcul Théorème (Règles de clcul). Soit λ K et x E. (i) λ x = 0 E λ = 0 K ou x = 0 E et, en prticulier, 0 K x = 0 E et λ 0 E = 0 E. (ii) x = ( 1) x (l opposé de x dns (E, +) est égl à l opposé de 1 dns (K, +, ) multiplié pr x). 1. Il conviendrit, en nticipnt un peu, de dire plutôt : «de fçon isomorphe». 2. En fit, c est même vri quelle que soit l loi qu on essie d y définir. Pourquoi? 3. Il y urit moyen d en définir une, qui serit complètement «tordue» en utilisnt le fit que R et C peuvent être mis en bijection mis ç n urit vrisemblblement ucun intérêt. 260

261 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS (i) () Remrquons tout d bord qu on 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x et donc pr simplifiction dns (E, +), donc 0 x = 0. (b) Remrquons ensuite qu on λ 0 = λ(0 + 0) = λ 0 + λ 0, d où λ 0 = 0. (c) On en déduit λ = 0 K ou x = 0 E λ x = 0 E. (d) Réciproquement, supposons λ ( x = 0. Alors, si λ 0, on x = 1 x = λ 1 ) x = λ 1 λ (λ.x) = 1 λ 0 = 0 (ii) On x+( 1) x = 1 x+( 1) x = (1 1) x = 0 x = 0. Donc ( 1) x est bien l opposé de x dns (E, +). 1.3 Exemples (iv) Soit λ K, (x 1,..., x n) E et (y 1,..., y n) E. En posnt z = λ (x y 1,..., x n + n y n) on successivement : z = (λ (x y 1),..., λ.(x n + n y n)) = (λ 1 x λ 1 y 1,..., λ n x n + n λ n y n) = (λ 1 x 1,..., λ n x n) + (λ 1 y 1,..., λ n y n) = λ (x 1,..., x n) + λ (y 1,..., y n). (v) Soit (λ, µ) K 2 et (x 1,..., x n) E. On successivement : (λ µ) (x 1,..., x n) = ((λ µ) 1 x 1,..., (λ µ) n x n) = (λ 1 (µ 1 x 1),..., λ n (µ n x n)) = λ (µ 1 x 1,..., µ n x n) = λ [µ (x 1,..., x n)]. Théorème (Espce vectoriel produit). Soient n N et (E 1, + 1, 1)... (E n, + n, n) des K- ev. On considère l ensemble produit E = E 1... E n que l on munit des deux lois + : E E E et : K E E définies, pr les reltions suivntes pour toutes fmilles (x k ) k [[1,n]] et (y k ) k [[1,n]] et tout λ K : (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x y 1,..., x n + n y n ) λ (x 1,..., x n ) = (λ 1 x 1,..., λ n x n ) Alors, (E, +, ) est un K-ev ppelé espce vectoriel produit. Remrque Cs prticuliers : 1. Déjà vu : R Se générlise à tous les R n, n N. Exemple de clcul dns R 6. Théorème (Espces d pplictions). Soit X un ensemble non vide et E un K-ev. On considère F = E X, que l on munit de deux lois : F F F { + : X E (f, g) x f(x) + g(x) Il suffit de vérifier les 5 points de l définition d espce vectoriel : (i) (E, +) est un groupe (cf. exercices sur les groupes produits vu en TD), et commuttif cr tous les E i le sont. et K F { F : X E (λ, f) x λ (f(x)). (ii) Soit (x 1,..., x n) E, on 1 (x 1,..., x n) = (1 1 x 1,..., 1 n x n) = (x 1,..., x n). (iii) Soit (λ, µ) K 2, (x 1,..., x n) E. En posnt on successivement : z = (λ + µ) (x 1,..., x n) z = ((λ + µ) 1 x 1,..., (λ + µ) n x n) = (λ 1 x 1 + µ 1 x 1,..., λ n x n + µ n x n) = (λ 1 x 1,..., λ n x n) + (µ 1 x 1,..., µ n x n) = λ (x 1,..., x n) + µ (x 1,..., x n). Alors (F, +, ) est un K-ev. Il suffit de vérifier les 5 points de l définition d ev. On déjà vu que (E X, +) étit un groupe commuttif. Le lecteur sur vérifier les points (ii) à (v). Exemple Soit I un intervlle, lors (R I, +, ) est un R-espce vectoriel, (C I, +, ) est à l fois un R-espce vectoriel et un C-espce vectoriel. 261

262 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS 2. L ensemble des suites à vleurs réelles R N est un R-espce vectoriel, celui des suites à vleurs complexes est à l fois un R-espce vectoriel et un C-espce vectoriel. 1.4 Combinisons linéires Définition Soient u 1,..., u n des vecteurs de E, vec n N. On ppelle combinison linéire de u 1,..., u n tout vecteur de l forme u = λ k u k = λ 1 u 1 + k= λ n u n, vec λ 1,..., λ n K. Pr convention l combinison linéire de 0 vecteur vut 0 E. Exemple est toujours combinison linéire de deux vecteurs quelconques u et v cr 0 E = 0 K u + 0 K v. 2. Décomposition dns une bse dns le pln ou l espce. Remrque Attention : il n y ps nécessirement unicité des λ i. Exemple : (1, 1) = 1 (1, 0) + 1 (1, 3) + 1 ( 1, 2) (1, 1) = 1 2 (1, 0) + 0 (1, 3) 1 ( 1, 2) 2 Exemple Exemples mennt, comme souvent, à l résolution d un système : 1. (3, 3, 0) est-il combinison linéire de (1, 0, 0), (0, 1, 2) et (1, 0, 3)? 2. ( 1, 2, 3) est-il combinison linéire de (1, 1, 0) et ( 1, 1, 3)? Remrque Pour l deuxième question, on sit y répondre vec le déterminnt. Pour l instnt ce n est possible que pour les vecteurs du pln mis bientôt... (à suivre). On peut générliser l définition précédente u cs des fmilles quelconques. Définition Soit I un ensemble (x i ) i I une fmille de vecteurs indexées pr I. On ppelle combinison linéire de l fmille (x i ) i I tout vecteur de l forme λ i x i i I où (λ i ) i I est une fmille de sclire à support fini c est-à-dire telle que l ensemble des i I tels que λ i 0 soit fini. Exemple Quelles ( sont les combinisons linéires de l fmille X k) dns R[X]? et de l fmille ( k N X 2k) dns R[X]? k N Remrque L somme de deux combinisons linéires d une même fmille est encore une combinison linéire de cette fmille. 2. Le produit pr un sclire d une combinison linéire d une fmille est encore une combinison linéire de cette fmille. 2 Sous-espces vectoriels Dorénvnt, nous ommetrons d écrire le de l multipliction sclire. 2.1 Définitions Définition Soit F E. On dit que F est un sous-espce vectoriel (sev) de E si : (i) 0 F ; (ii) F est stble pr combinisons linéires quelconques de deux vecteurs, i.e. pour tout λ, µ K, et pour tous x, y F, λx+µy F. Remrque Il est clir que tout sous-espce vectoriel est stble pr multipliction externe insi que pr l ddition. 262

263 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Pr récurrence, on en déduit que, pour tout n N, toute combinison linéire de n vecteurs d un sous-espce vectoriel pprtient encore à ce sousespce vectoriel. Donc tout sous-espce vectoriel est stble pr toute combinison linéire de ses vecteurs. Proposition Soit F E. Toutes les propositions suivntes sont équivlentes : (i) F est un sous-espce vectoriel de E ; (ii) F est non vide, stble pr ddition et pr multipliction externe ; (iii) F est un sous-groupe de E stble pr multipliction externe ; (iv) F est non vide et λ, µ K F 2 λx + µy F ; (x, y) (v) O E F et λ, µ K (x, y) F 2 λx + µy F ; Remrque On remplce ussi prfois les propositions (??) et (??) pr, respectivement, F et λ K (x, y) F 2 λx + y F insi que 0 E F et λ K (x, y) F 2 λx + y F. On remrque successivement : (i) (ii) Il suffit de prendre λ = 1 pour l stbilité pr ddition et y = 0 pour l stbilité pr multipliction externe. (ii) (iii) Supposons (ii). Alors F est stble pr multipliction externe, donc en prticulier x E ( 1).x E. Donc F est stble pr opposé. Pr illeurs, F est non vide et stble pr ddition, c est donc un sous-groupe de E. (iii) (iv) Supposons (iii). Alors F est un sous-groupe donc n est ps vide. Soit λ, µ K et (x, y) F 2. F est stble pr multipliction externe, donc λx F et µ F. F est un sous-groupe de E, donc λx + µy F. (iv) (v) Supposons (iv). Alors F est non vide et contient donc un élément x 0, donc contient 0 E cr 0 E = ( 1) x 0 + x 0. On en déduit (v). (v) (i) Supposons (v). Alors, pour tout (x, y) F 2, x + y = 1x + 1y donc F est stble pr ddition. Et pour tout x E et tout λ K, λx = λx E, donc F est stble pr multipliction externe. On en déduit (i). Remrque En prtique pour montrer qu un sous-ensemble de E est un sous-espce vectoriel, on utiliser (iv) ou (v), qui est générlement le plus rpide à démontrer. Exemple E et {0} sont des sev de E, dits triviux. Exemple L ensemble des solutions d une éqution différentielle linéire homogène dont l vrible est une fonction de I dns R est un sev de R I. Théorème Soit F un sous-ensemble de E. Alors F muni des lois induites de E est un K-espce vectoriel si et seulement si F est un sous-espce vectoriel de E. Supposons que F muni des lois de E soit un K-espce vectoriel. Alors (F, +) est un groupe bélien donc c est un sous-groupe de (F, +). De plus, F est stble pr multipliction externe, donc c est bien un sous-espce vectoriel de F. Réciproquement, si F est un sous-espce vectoriel de E, on sit qu il s git d un sous-groupe de (E, +), donc (F, +) est un groupe bélien. De plus, F est stble pr multipliction externe, donc l multipliction externe de E induit bien une multipliction externe sur F. On peut isément vérifier que les propriétés (ii) à (v) des espces vectoriels sont lors vérifiées pr les lois induites sur F. Remrque En prtique, pour montrer qu un ensemble est un espce vectoriel, il est plus rpide de montrer que c est un sous-espce vectoriel d un espce vectoriel plus gros : on le fer donc qusiment TOUJOURS, et l on ne reviendr presque JA- MAIS à l définition complète. 263

264 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS 2.2 Exemples Exemples géométriques : Droites dns R 2 Soient (, b, c) R 3, vec (, b) (0, 0). À quelle condition l droite d éqution x+by = c est-elle un sous-espce vectoriel de R 2? Plns dns R 3 Même question pour un pln d éqution x + by + cz + d = 0. Cercles dns R 2 Même question pour un cercle dns le pln. Exemples vec polynômes et frctions rtionnelles : quels sont les liens entre R, C, R[X], C[X], R(X) et C(X)? 2.3 Opértions sur les sous-espces vectoriels Dns toute l suite du chpitre, F et G sont deux sous-espces vectoriels de E. Intersection Théorème F G est un sous-espce vectoriel de E. 2. F G est un sous-espce vectoriel de E si et seulement si F G ou G F. 1. On évidemment 0 F G. On vérifie isément que pour tout (x, y) (F G) 2 et tout λ K, on λx + y F G. 2. Si un des deux espces vectoriels est inclus dns l utre, lors F G est trivilement un sous-espce vectoriel de E. Supposons à l inverse qu ucun des deux sous-espces vectoriels ne soit inclus dns l utre et montrons qu lors F G n est ps un sous-espce vectoriel. F \ G contient u moins un élément x, et G \ F u moins un élément y. Posons lors z = x + y. Si z pprtenit à F, on urit y = z x F ce qui n est ps le cs. De même, on ne peut voir z G. Donc z / F G, donc F G n est ps stble pr ddition. Exemple Dns l espce, toute droite pssnt pr 0 est l intersection de deux plns pssnt pr 0, donc est un sous-espce vectoriel. Cette propriété se générlise en fit à une intersection d une fmille quelconque de sous-espces vectoriels : Théorème Soit (F i ) i I (resp. F ) une fmille (resp. un ensemble) de sous-espces vectoriels de E. Alors F i i I resp. F F est un sous-espce vectoriel de E. Remrquons que le cs de l intersection d un ensemble se trite comme le cs prticulier d une fmille : il s git de l intersection de l fmille des (F i) F I où I = F et pour tout G I, F G = G. L démonstrtion s effectue lors comme l précédente. Notons F l intersection des F i pour i I. 1. On évidemment 0 F i pour tout i I, donc 0 F. 2. Pour tout (x, y) F 2 et tout λ K, on successivement : i I i I (x, y) F 2 i F λx + y Fi 2 λx + y Un exemple importnt d intersection priori infinie est donnée dns l prtie suivnte. b i I Sous-espce vectoriel engendré pr une prtie Définition (Sous-espce vectoriel engendré pr une prtie). Soit X une prtie (quelconque) du K-espce vectoriel E. On ppelle K-sous-espce vectoriel engendré pr X et on note Vect K (X) (ou Vect(X) lorsqu il n y ps d mbiguïté) le plus petit sousespce vectoriel de E contennt X («plus petit» est à entendre u sens de l inclusion). Cette définition présuppose qu un tel sous-espce existe et F i 264

265 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS qu il est unique. L unicité sous réserve d existence du plus petit élément d un ensemble muni d une reltion d ordre est connue. Montrons l existence. Notons F l ensemble des F tels que : 1. F est un sous-espce vectoriel de E ; 2. et X F. On veut montrer que cet ensemble F possède un plus petit élément pour l inclusion. Posons lors V = F F F et montrons que V est ce plus petit élément. Pour cel montrons tout d bord V F. Pour tout F F, on X F, donc X F = V F F De plus, V est une intersection de sous-espces vectoriels de E donc c est un sous-espce vectoriel de E. Donc on V F. Il suffit donc mintennt de montrer que V est un minornt de F, c est-à-dire que pour tout F F, on V F. Soit F F. On V = G G F donc tout élément de V pprtient à tout élément de F, donc en prticulier à F. On donc V F. V minore donc F pour l inclusion. V est donc un élément de F qui minore F : c est donc son plus petit élément. Remrque Tout sous-espce vectoriel de E contennt X contient donc Vect(X). 2. Si F est un sous-espce vectoriel de E, lors F est le plus petit sous-espce vectoriel contennt F, donc Vect(F ) = F. Remrque Soit I un ensemble et (x i ) i I une fmille de vecteurs de E. On noter Vect ( (x i ) i I ) le sous-espce Vect ({ x i i I }). En prticulier si I est de l forme [[1, n]], on noter Vect (x 1,..., x n ) le sousespce Vect ({ x 1,..., x n }). Le procédé de construction de Vect(X) présenté plus hut est très élégnt et peut s utiliser dns de nombreuses situtions. En revnche, il est ssez peu concret. Heureusement, le théorème suivnt nous dit très précisément ce que contient Vect(X). Théorème Soit X une prtie de E. Alors Vect(X) est exctement l ensemble de toutes les combinisons linéires d éléments de X. Autrement dit : 1. Pour tout n N, toute combinison linéire d éléments de X pprtient à Vect(X). 2. Pour tout élément x de Vect(X), il existe une fmille de coefficients (λ α ) α X à support fini telle qu on x = α X λ α α. Dit utrement : il existe un entier n N, des vecteurs u 1,..., u n de X ( k [[1, n]], u k X) et des sclires λ 1,..., λ n tels qu on x = λ k u k. k=1 Notons V l ensemble des combinisons linéires d éléments de X. Pour montrer V = Vect(X), nous llons montrer que V est le plus petit sous-espce vectoriel de E contennt X. 1. V est un sous-espce vectoriel de E. En effet : () il contient 0 E (combinison linéire de 0 vecteur de X) ; (b) il est stble pr ddition cr l somme d une combinison linéire de p vecteurs de X et d une combinison linéire de q vecteurs de X est une combinison linéire (d u plus) p + q vecteurs de X ; (c) il est stble pr multipliction pr un sclire cr le produit pr un sclire λ d une combinison linéire de n vecteurs de X est l combinison linéire de ces mêmes vecteurs où les coefficients ont tous été multiplié pr λ. 2. V contient X. En effet pour tout x X, x est l combinison linéire 1 x, donc pprtient à V. Donc X V. 3. V minore l ensemble des sous-espces vectoriels de E contennt X. En effet, soit F un sous-espce vectoriel de E contennt X. Montrons V F. Soit x V lors x est combinison linéire d éléments de X. Or F contient X et est un sous-espce-vectoriel donc est stble pr combinison linéire. Il contient donc x en prticulier. On donc x V x F. 265

266 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Donc V F. Donc V est le plus petit sous-espce vectoriel de E contennt X. Remrque En prticulier, pour toute fmille de vecteurs finie de x 1,..., x n, Vect(x 1,..., x n ) est l ensemble { n } λ k x k (λ 1,..., λ k ) K n. k=1 Exemple Pour α R, on note f α : { R R x e αx. Alors Vect ( (f α ) α R ) est un sous-espce vectoriel de R R qui contient les fonctions sh, ch mis ps sin ni þ (indiction : il suffit de remrquer que les seules fonctions bornées de ce sous-espce vectoriel sont les fonctions constntes). 2. En géométrie dns R 2, si ( ı, j ) est une bse, tout vecteur de R 2 est combinison linéire de ı et j, donc R 2 = Vect( ı, j ). 3. Dns R 3, si D est une droite vectorielle de vecteur directeur u, lors D = { λu u K } = Vect(u). Si P est un pln vectoriel de vecteurs directeurs u = u 2 et v = v 2, u 1 v 1 u 3 v 3 lors en écrivnt une éqution prmétrique de P, on voit que tout point P de l espce est dns P si et seulement s il existe t 1, t 2 R tel que P = t 1 u + t 2 v, donc P = Vect(u, v). Exemple vec 2x y + z = R = Vect R (1) et C = Vect C (1) = Vect R (1, i). 5. E = (F (R, R), +,.) est un ev. On note les fonctions suivntes, définies sur R pr exp : x e x ; ẽxp : x e x ; f : x xsin(2x) et g : x xsin(3x). Avec F = Vect(exp, ẽxp) et G = Vect(f, g), on ch F mis sin / G. 6. L ensemble des solutions de l éqution différentielle y + y 2y = 0 est Vect(f, g) vec f : R R, x e 2x et g = exp. Proposition Soit X et Y deux prties de E. Alors : 1. X Y Vect(X) Vect(Y ) ; 2. Vect(Vect(X)) = Vect(X). 1. Supposons X Y. Alors X Y Vect(Y ). Donc Vect(Y ) est un sous-espce vectoriel de E contennt X donc contient Vect(X). c 2. Posons F = Vect(X). F est un sous-espce vectoriel de E. Donc d près l remrque fite plus hut, Vect(F ) = F. Somme Définition On ppelle somme de F et G l ensemble de E noté F +G défini pr F +G = { x + y x F, y G }. Théorème ; (i) F + G est un sev de E (ii) F + G est le plus petit sev qui contient F et G : F + G = Vect(F G). (i) Immédit. (ii) Montrons d bord que F F + G : soit f F. lors f = f + 0, et 0 G, donc f F + G. On montre bien sûr de même que G F + G. On donc (F G) (F + G). Il suffit ensuite de montrer que pour tout sous-espce vectoriel H de E contennt F G, on (F + G) H. Soit H un sous-espce vectoriel de E. Supposons F H et G H. Montrons (F + G) H. Soit z F + G. Alors il existe x F et y G vérifint z = x + y. On lors x H et y H donc x + y H, donc z H. Donc F + G H. Remrque Si A = F + G et A, il n y ps forcément unicité de l décomposition = f + g, vec f F et g G, loin de là! Considérer pr exemple le cs F + F. 266

267 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Exemple Si F G, lors F + G = G. G F ). F + G F G (suf si F G ou Exemple Soit D et D deux droites du pln pssnt pr 0 et non confondues. Alors R 2 = D + D. Proposition Soit X et Y des prties de E. Alors Vect(X) + Vect(Y ) = Vect(X Y ). 2. Étnt donnés deux sous-espces vectoriels F 1 et F 2 de E, on F 1 + F 2 = F 2 + F 1 = Vect(F 1 F 2 ). 3. Étnt donnés trois sous-espces vectoriels F 1, F 2 et F 3 de E, on F 1 + (F 2 + F 3 ) = (F 1 + F 2 ) + F 3 = Vect(F 1 F 2 F 3 ) 4. Étnt donnés n N et F 1,..., F n des sousespces vectoriels de E, l fçon de prenthéser l expression de F F n n ps d importnce et F F n = Vect(F 1... F n ). d 3. De même : F 1 + (F 2 + F 3) = Vect(F 1) + Vect(F 2 F 3) = Vect(F 1 F 2 F 3) = Vect(F 1 F 2) + Vect(F 3) = (F 1 + F 2) + F Ce point se démontre pr récurrence sur le nombre de sous-espces vectoriels considérés. On sit déjà Vect(F 1) = F 1, ce qui montre l propriété dns le cs où n = 1 (on urit même pu commencer à zéro, en considérnt que l somme de 0 sev est { 0 E } qui est ussi Vect( )). L propriété d hérédité se montre en posnt S = F F n + F n+1 et en écrivnt S = Vect(F 1... F n) + Vect(F n+1) = Vect(F 1... F n F n+1). Somme directe Étnt donné des sous-espces vectoriels F 1,..., F n de E, F F n est l ensemble des vecteurs x de E pouvnt s écrire u moins d une fçon sous l forme x x n vec, pour tout i [[1, n]], x i F i. On v s intéresser ici u cs où, pour tout x, l décomposition est unique. 1. Vect(X Y ) est un espce vectoriel contennt X Y, donc contient X. Or tout espce vectoriel contennt X contient Vect(X), donc Vect(X Y ) contient Vect(X). De même, il contient Vect(Y ). Vect(X Y ) est donc un espce vectoriel contennt les deux sous-espces vectoriels Vect(X) et Vect(Y ), donc il contient leur somme. On donc Vect(X) + Vect(Y ) Vect(X Y ). Pr illeurs, Vect(X) + Vect(Y ) contient Vect(X), donc contient X. De même, il contient Y. Il contient donc X Y. Or Vect(X)+Vect(Y ) est un sous-espce vectoriel, donc il contient Vect(X Y ). On donc Vect(X Y ) Vect(X) + Vect(Y ). On donc Vect(X Y ) = Vect(X) + Vect(Y ). 2. En remrqunt que Vect(F i) = F i pour i = 1, 2, on : F 1 + F 2 = Vect(F 1) + Vect(F 2) = Vect(F 1 F 2) = Vect(F 2 F 1) = F 2 + F 1. Définition (Somme directe). Étnt donnés n N et F 1,..., F n des sousespces vectoriels de E, on dit que F 1,..., F n sont en somme directe ou que l somme F F n est directe si tout élément x de F F n se décompose de mnière unique sous l forme x x n vec, pour tout i [[1, n], x i F i. Dns ce cs, le sous-espce vectoriel F F n est noté F 1... F n ou n F i. i=1 Dns l suite de cette prtie, n désigne un entier nturel et F 1,..., F n des sous-espces vectoriels de E. 267

268 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Proposition Les propositions suivntes sont équivlentes. (i) F 1,..., F n sont en somme directe. (ii) L seule décomposition possible du vecteur nul sous l forme x x n vec x i F i pour i [[1, n] est l décomposition trivile (iii) Tout élément de E s écrit u plus d une fçon sous l forme x x n vec x i F i pour i [[1, n]. E, (x 1,..., x n ) x x n est injective. C est évidemment un morphisme (de groupes, mis ussi d ev. comme nous le verrons plus trd). L proposition précédente revient à étudier le noyu de ce morphisme. Proposition (Somme directe de deux sous-espces vectoriels). Soit F et G deux sous-espces vectoriels. Alors l somme F +G est directe si et seulement si F G = { 0 E }. (i) (ii) Supposons que F 1,..., F n sont en somme directe. Le vecteur nul pprtient à F 1... F n, donc se décompose d une et une seule fçon comme somme d éléments de F 1,..., F n. Or il s écrit sous l forme , qui est donc l seule décomposition possible de x. (ii) (iii) Supposons que l seule décomposition du vecteur nul sous l forme d une somme d éléments de F 1,..., F n soit sous l forme Soit lors x un élément de E. Supposons que x s écrive à l fois x x n et sous l forme y y n où, pour tout i [[1, n] x i F i et y i F i. Alors on 0 = x x = (x 1 y 1) (x n y n). Or pour tout i [[1, n]], x i y i F i, donc on trouvé une décomposition du vecteur nul. Or on sit que cette décomposition est nécessirement l décomposition trivile, donc pour tout i [[1, n]], on x i y i = 0. On donc x i = y i pour tout i [[1, n]], c est-à-dire (x 1,..., x n) = (y 1,..., y n). Donc x se décompose d u plus une fçon. Donc tout élément de E s écrit u plus d une fçon sous l forme x x n vec x i F i pour i [[1, n]. (iii) (i) Supposons (iii) et montrons (i). Soit x F F n. Alors x se décompose d u moins une fçon comme sous l forme x x n vec, pour tout i [[1, n]], x i F i. De plus, d près (iii), x se décompose u plus d une fçon sous cette forme. Il se décompose donc de fçon unique sous cette forme. Donc l somme F F n est directe. Remrque L somme F F n est donc directe si et seulement si l ppliction F 1... F n Montrons l double impliction. Sens direct Supposons F + G en somme directe. Comme F G est un espce vectoriel, on évidemment { 0 E } F G. Il suffit donc de montrer F G { 0 E } pour conclure qu on F G = { 0 E }. Soit x F G. On lors 0 E = x + ( x) et x F et x G. Or F et G sont en somme directe donc cette décomposition est nécessirement l décomposition nulle : on donc (x, x) = (0, 0) donc x = 0. Sens indirect Supposons F G = { 0 E }. Alors montrons que 0 l décomposition trivile pour seule décomposition comme somme d un élément de F et de G. Supposons que 0 s écrive sous l forme x + y vec x F et y G. Alors x = y G, donc x F G = { 0 }, donc x = 0 et y = x = 0. 0 dmet donc pour seule décomposition l décomposition trivile. Remrque Ce résultt n est vlble que pour l somme de deux sous-espces vectoriels, ps plus. Exercice Trouver trois sous-espces vectoriels F, G, H de R 2 tels qu on F G H = { 0 } (ou même tels que F G = G H = H F = { 0 }) bien que F, G et H ne soient ps en somme directe. En revnche, on le résultt suivnt : 268

269 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Proposition Soit p N et q N et F 1,..., F p et G 1,... G q respectivement p et q sous-espces vectoriels de E. On pose F = F F p et G = G G q. Alors l somme F F p + G G q est directe si et seulement si les trois conditions suivntes sont vérifiées : 1. l somme F F p est directe ; 2. l somme G G q est directe ; 3. l somme F + G est directe. Alors, en posnt x = x x p et y = y y q, on 0 = x + y et x F et y G. Or F et G sont en somme directe donc x = 0 et y = 0. On donc 0 = x x p. Or F 1,..., F p sont en somme directe donc pour tout i [[1, p]], x i = 0. De même pour tout i [[1, q]], y i = 0. Donc 0 dmet l décomposition trivile pour seule décomposition comme somme d éléments de F 1,..., F p, G 1,..., G q. Donc l somme F F p + G G q est directe. Montrons l double impliction. Sens direct Supposons que l somme F F p +G G q est directe. Alors 1. Montrons que l somme F F p est directe. Considérons une décomposition du vecteur nul sous l forme x x p où x i F i pour i [[1, p]. En posnt, pour i [[1, q ], y i = 0, on 0 = x x p + y y q. Or l somme F F p + G G q est directe, donc pour tout i [[1, p]], x i = 0 et pour tout i [[1, q]], y i = De même, l somme G G p est directe. 3. Montrons que l somme F + G est directe. Supposons que 0 s écrive sous l forme x + y vec x F et y G. On x F, donc x s écrit sous l forme x x p où x i F i pour i [[1, p]. De même y s écrit sous l forme y y q où y i G i pour i [[1, q]]. On donc 0 = x x p + y y q. Or l somme F F p + G G q est directe, donc pour tout i [[1, p]], x i = 0 et pour tout i [[1, q]], y i = 0. Donc x = 0 et y = 0. L seule décomposition de 0 comme somme d un élément de F et d un élément de G est donc l décomposition trivile. Donc l somme F + G est directe. Sens indirect Supposons que les trois conditions sont vérifiées et montrons que l somme F F p + G G q est directe. Considérons une décomposition de 0 sous l forme 0 = x x p + y y q, où x i F i pour tout i [[1, p]] et y i G i pour tout i [[1, q]]. Corollire Soit n N et F 1,..., F n+1 n + 1 sous-espces vectoriels de E. Alors les trois conditions suivntes sont équivlentes : 1. l somme F F n+1 est directe ; 2. l somme F F n est directe et l somme de F 1... F n et de F n+1 est directe ; 3. l somme F F n est directe et (F 1... F n ) F n+1 = { 0 }. L équivlence des deux premiers points découle de l propriété précédente (vec p = n et q = 1). Celle des deux derniers, de l crctéristion de l somme directe de deux sous-espces vectoriels. Définition On dit que F est un supplémentire de G (ou que F et G sont supplémentires) si E = F G, i.e. si les deux conditions suivntes sont remplies : 1. l somme F + G est directe ; 2. E = F + G. Proposition F et G sont supplémentires si et seulement si tout élément de E s écrit de mnière unique comme somme d un élément de F et d un élément de G. 269

270 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Direct d près les définitions. Exemple Montrons que dns R 2, deux droites pssnt pr 0 et non confondues sont toujours supplémentires. Exercice Dns R 2, on note D : x + y = 0, D : x y = 0 et D : x 2y = Montrer R 2 = D D 2. Montrer R 2 = D D Remrquez qu il n y donc ps unicité du supplémentire (croire le contrire est une fute clssique et très grve!). Remrque On peut montrer de même que dns R 3, un pln et une droite pssnt pr 0 et tel que le pln ne contienne ps l droite sont toujours supplémentires. Exemple P : x y + z = 0 et D : x = t + 1, y = 0, z = 2t + 2. On montre que ( I, J, K) est une bse de R 3, vec I vecteur directeur de D et ( J, K) bse de P. Exemple R et ir dns C. Exercice On note E l ensemble des pplictions de R dns R, I celui des pplictions impires, et P celui des pplictions pires. Montrer E = I P. 3 Trnsltions, sous-espces ffines Les sous-espces ffines (se) générlisent l notion de sev, en s ffrnchissnt de l contrinte «psser pr 0». Ainsi, dns l théorie des ev, un sev psse toujours pr 0. Là encore on pourr identifier points et vecteurs, mis on essier de noter les points vec des mjuscules et les vecteurs vec des minuscules, comme en géométrie, mis nous psserons souvent d un point de vue à l utre. Définition Soit A, B E, on note AB = B A. Remrque L loi + des ev permet de donner un sens à B A, vus comme points, qui vut lors AB = OB OA. 3.1 Trnsltions Définition Soit un vecteur u E. On ppelle trnsltion de vecteur u l ppliction E E. x x + u 3.2 Sous-espces ffines Définition On ppelle sous-espce ffine de E toute prtie de E qui est le trnslté d un sev de E, i.e. toute prtie F de l forme F = u + F = { u + x x F }, où F est un sev de E et u est un vecteur de E, ensemble que l on note ussi u + F. L ensemble { b (, b) F 2 } est ppelé l direction de F et ses éléments sont ppelés les vecteurs directeurs de F. Proposition Soit u E, F un sous-espce vectoriel de E. Alors l direction du sous-espce ffine u + F est F. En prticulier cette direction est un espce vectoriel. Notons D l direction de u + F. On D = { b (, b) F 2 } Or on évidemment = { (u + x) (u + y) (x, y) F 2 } = { x y (x, y) F 2 }. F { x 0 x F 2 } { x y (x, y) F 2 } F, donc D = F. 270

271 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Remrque Nottion fréquente : F étnt un se de E, on note F ou F s direction. Exemple Tout sev est un se. Exemple Dessin dns l espce. Exemple E = R R. On considère l éqution différentielle y + 3y = x 2 (E). Montrer que l ensemble S 0 des solutions de l éqution homogène forme un sev de E, et l ensemble S des solutions de (E) forme un se de direction S 0. Lemme Soit F un sous-espce vectoriel de E, et b deux éléments de E. Alors on équivlence entre les ssertions suivntes : (i) b F ; (ii) b + F ; (iii) b + F + F ; (iv) b F ; (v) b + F ; (vi) + F b + F ; (vii) + F = b + F. (i) (ii) Supposons b F, lors + (b ) + F, donc b + F. (ii) (iii) Supposons b + F, lors b s écrit sous l forme + u où u F. Donc pour tout v F, on b + v = + (u + v) + F. Donc on (iii). (iii) (i) Supposons b+f +F. Alors comme b b+f, on b + F, donc b s écrit sous l forme + u où u F. Donc b = u F. (iv), (v) et (vi) sont équivlents C est exctement l même chose que ce qui précède, en échngent le rôle de et b. (i)<=>(iv) F étnt un sous-espce vectoriel de E, on b F si et seulement si (b ) F. Or (b ) = b, c est donc évident. (i) (vii) Si on (i), d près ce qui précède toutes les ssertions (i) à (vi) sont vries, en prticulier on (iii) et (vi). On donc imméditement (vii). (vii) (vi) C est évident. Théorème Soit F un se de direction F. (i) F est le trnslté de s direction pr n importe lequel de ses points : F F = + F. (ii) Soit F et b E. Alors on b F b F. F est de l forme c + F, où c E. (i) Soit F. On lors c + F, donc d près le lemme, on + F = c + F = F. (ii) On donc F = + F. Or d près le lemme, on b + F b F. Remrque Tout se contennt 0 est donc un sev. Corollire Deux se sont égux si et seulement s ils ont même direction et un point en commun. : évident. : soient F 1 et F 2 de même direction F et F 1 F 2. Alors d près le th., F 1 = + F = F 2. Définition Soient F et G deux se de directions F et G. (i) On dit que F est prllèle à G si F G. (ii) On dit que F et G sont prllèles si F = G. Vocbulire : «être prllèle à» n est ps une reltion symétrique. Exemple Une droite est prllèle à un pln, mis certinement ps l inverse. 271

272 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Théorème (Intersections de se). Soient F et G deux se de directions F et G. Si F G, lors on dit que F et G sont concournts ou sécnts, et dns ce cs F G est un se de direction F G. Supposons F G, lors il existe F G. Donc F = + F et G = + G. Montrons lors que F G = + F G : Soit b E. On successivement : D où le résultt. b F G b F et b G b F et b G b F G b + F G Théorème (Prllélisme et intersection). Si F est prllèle à G, lors soit F G =, soit F G. En prticulier si F et G sont prllèles, lors soit F G =, soit F = G. Supposons F G. Si F G, lors il existe F G, donc F = + F, or F G, donc + F + G = G. Dns le cs prticulier où F et G sont prllèles, on F G et G F, d où F = G. 3.3 Brycentres (hors progrmme) Le brycentre est mintennt hors-progrmme. Cette prtie ne ser ps nécessirement tritée en cours mis est lissée : à titre culturel ; prce qu elle peut être utile en sciences physiques. Définition On ppelle système pondéré toute fmille de l forme ((A 1, λ 1 ),..., (A n, λ n )), où chque élément (A i, λ i ) est ppelé point pondéré, vec n N, A 1,..., A n n points de E, et λ 1,..., λ n n sclires de K. Avec les nottions précédentes, on pose Λ = λ k. k=1 (i) Si Λ = 0, lors le vecteur dépend ps du point M. k=1 λ k MA k ne (ii) Si Λ 0, il existe un unique point G tel que λ k GA k = 0. Ce point est ppelé le k=1 brycentre du système pondéré (A i, λ i ) i [[1,n] et il vérifie G = 1 λ k A k. Λ k=1 (i) Supposons Λ = 0. Soit (M, N) E 2. On λ k MA k = λ k MA k + λ knm k=1 = = k=1 k=1 k=1 k=1 λ k ( NM + MA k ) λ k NA k (ii) Supposons Λ 0. On successivement : λ k GA k = 0 λ k (A k G) = 0 k=1 k=1 ( λ k A k λ k )G = 0 k=1 G = 1 Λ k=1 λ k A k k=1 Définition Soit I un ensemble. On ppelle prtition finie de I tout k-uplet, pour k N, (I 1,..., I k ) où les I i sont des ensembles vérifint I j I i = si i j et I i = I. Autrement dit, une prtition 1 i k est un ensemble de prties de I deux à deux disjointes, dont l réunion est I (on prle ussi de recouvrement de I pr des prties deux à deux disjointes). 272

273 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Exemple L prtition de l Europe pr le trité de Verdun en 843 est une prtition à trois éléments de l ensemble des points de l empire de Chrlemgne. Notons C 0, C 1 et C 2 les prties de Z contennt respectivement les entiers congrus à 0, 1 et 2 modulo 3. Alors (C 0, C 1, C 2 ) est une prtition de Z. Soit F un se, A 1... A n n points de F, et λ 1... λ n les poids correspondnts, Λ = λ k 0. On note G = k=1 br((a k, λ k )). A 1 F donc F = A 1 + F. Donc G F ssi G A 1 F. Or G A 1 = 1 λ k (A i A 1), et tous les membres de Λ k=1 cette somme sont dns F. Théorème (Associtivité du brycentre). Soient I un ensemble non vide, (A i, λ i ) i I un système de points pondérés de somme non-nulle, et soit (I 1,..., I n ) une prtition de I. Pour tout k 1, n, on note Λ k = λ i, on suppose que i I k Λ k est non-nul et on note lors G k le brycentre du système pondéré (A i, λ i ) i Ik. Alors le brycentre G de (A i, λ i ) i I est ussi le brycentre du système pondéré (G k, Λ k ) k 1,n. On sit que G = 1 λ ia i et Λ k G k = λ ia i, donc Λ i I i I k G = 1 ( λ ia i) = 1 Λ k G k, et Λ = Λ k. Λ Λ k=1 i I k k=1 k=1 Exercice En déduire : 1. que les médines d un tringle sont concourntes u centre de grvité ; 2. que droites relint les milieux des rêtes opposées d un tétrèdre et les droites relint les centre de grvité des fces u sommet opposé sont toutes concourntes en un même point qu on préciser. Centre de grvité d un tringle (ABC)= isobrycentre. Si I est le milieu de [A, B], lors G =br((c, 1), (I, 2)). Théorème Réciproquement, tout sous-ensemble non vide de E stble pr brycentre (et même seulement pr brycentre de deux points) est un se. Soit F un sous-ensemble non vide de E et un de ses points. Posons F = { b b F }. On F = + F, il suffit donc de montrer que F est un sous-espce vectoriel de E. F est une prtie de E non vide cr 0 F. Soit x F et λ K. Alors +x et sont deux éléments de F, donc leur brycentre λ( + x) + (1 λ) pprtient ussi à F. Or ce brycentre est + λx, donc λx F. F est donc stble pr multipliction externe. Soit (x, y) F. Alors, F étnt stble pr brycentre, 1 (( + x) + ( + y)) F, donc + 1 (x + y) F, donc (x + y) F. D près ce qui précède, on lors x + y = (x + y) F. Donc F est stble pr ddition 2 Donc F est un sous-espce vectoriel de E. Donc F est un sous-espce ffine de E. 3.4 Convexité (hors progrmme) Cette prtie est lissée à titre culturel mis ne ser ps nécessirement tritée en cours. Dns ce prgrphe, on prend K = R. Définition On ppelle segment de E tout ensemble de l forme {λa + (1 λ)b, λ [0, 1]} vec A, B E. Ce segment est noté [AB] ou [A, B]. Théorème Un se contient tous les brycentres obtenus à prtir de ses points. Remrque [AB] est l ensemble des brycentres de A et B vec des poids positifs (fculttif : dont l somme est 1). Fire un dessin. 273

274 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Définition Soit P une prtie de E. On dit que P est convexe si (A, B) P 2 [AB] P. Exemple Fire des dessins dns R 2, puis dns R Définitions Définition On ppelle ppliction linéire (ou morphisme d espces vectoriels) de E 1 dns E 2 toute ppliction ϕ : E 1 E 2 vérifint Théorème Tout se est convexe. (x, y) E 2 1, (λ, µ) K 2 ϕ(λx + µy) = λϕ(x) + µϕ(y). (XVIII.1) Immédit vec le théorème Exemple On reprend un exemple ncien : pour montrer qu un cercle n est ps un se (ou un sev), on peut montrer qu il n est ps convexe. L réciproque est fusse, même si le convexe contient 0. Pr exemple, considérons [ 1, 1] dns R. Exemple Dns C, tout disque (fermé ou ouvert) est convexe. Se fit vec inéglité tringulire en revennt à l définition. Théorème Toute intersection de convexes est convexe. Autrement dit, l imge d une combinison linéire est l combinison linéire des imges : une ppliction linéire préserve les combinisons linéires. L ensemble des pplictions linéires de E 1 dns E 2 est noté L (E 1, E 2 ). Une ppliction linéire de E 1 dns E 1 est ppelé endomorphisme. On note L (E 1, E 1 ) = L (E 1 ). Une ppliction linéire bijective est ppelée isomorphisme. L ensemble des isomorphismes de E 1 dns E 2 est noté G L (E 1, E 2 ), ppelé groupe linéire. Un utomorphisme est un endomorphisme qui est ussi un isomorphisme, on note G L (E 1 ) = G L (E 1, E 1 ) l ensemble des utomorphismes de E 1. Une ppliction linéire de E 1 dns K est une forme linéire. Soit I un ensemble et (P i) i I une fmille de convexes. Posons P = Pi l intersection de cette fmille et i I montrons qu elle est convexe, c est-à-dire (A, B) P 2 [AB] P Soit (A, B) P 2. Il suffit de montrer que pour tout i I, [AB] P i. Soit i I. On A P, donc A P i. De même B P i. Donc [AB] P i. On donc i I [AB] P i, donc [AB] Pi. i I 4 Applictions linéires Soient E 1 et E 2 deux K-ev (K=R ou C). Remrque Une ppliction linéire ϕ de E 1 dns E 2 est un morphisme de groupes de (E 1, +) dns (E 2, +), vec une propriété supplémentire vis-à-vis de l loi externe. Remrque L propriété fondmentle des pplictions linéires se générlise ux combinisons linéires d un nombre quelconque de vecteurs : si x 1,...,( x n E et λ 1,..., λ n K et f L (E, F ), n ) lors f λ i x i = λ i f(x i ). k=1 k=1 De mnière plus générle, pour toute fmille 274

275 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS (x i ) i I et toute fmille à support fini (λ i ) i I, on ( ) f λ i x i = λ i f(x i ) i I i I Remrque (Très utile en prtique). L propriété fondmentle des pplictions linéires (XVIII.1) est équivlente à (x, y) E 2 1, λ K insi qu à ϕ(λx + y) = λϕ(x) + ϕ(y) (x, y) E 2 1, ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) (XVIII.2) et (λ, x) K E 1, ϕ(λx) = λϕ(x). L démonstrtion est nlogue à celle pour les sev. Exemple Soit u R 3. Alors ϕ : R 3 R est une v u v forme linéire (on dit que le produit sclire est linéire à droite). Soit A M n,p (K). Alors ϕ : M q,n (K) M q,p (K) estlinéire (on dit B BA que le produit mtriciel est linéire à guche). Exemple ϕ : R 3 R 3 (x, y, z) (3x + y, 2z, x y + z) un endomorphisme. est Remrque Toute ppliction polynomile (en plusieurs vribles) fisnt intervenir des termes de degrés différents de 1 n est ps linéire. Exemple ϕ : R 2 R n est ps une ppliction (x, y) xy linéire, idem vec x 2 et 3x + 2y + 2. Exemple On note l N (R) l ensemble des suites réelles convergentes, c est un sev de R N, et l ppliction ϕ : l N (R) R est une forme linéire. (u n ) lim n n + Exemple Soit E = F (R, R) et R. L ppliction ev : E R f f() linéire ppelée évlution en. Proposition Si ϕ L (E 1, E 2 ), lors ϕ(0 E1 ) = 0 E2. est une forme Comme pour les morphismes de groupes : ϕ(0 E1 ) = ϕ(0 E1 + 0 E1 ) = ϕ(0 E1 ) + ϕ(0 E1 ). 4.2 Opértions sur les pplictions linéires Dns toute l suite, E 1, E 2 et E 3 sont des K-ev. Théorème L (E 1, E 2 ) est un sev de (F (E 1, E 2 ), +, ). 2. Si f L (E 1, E 2 ) et g L (E 2, E 3 ), lors g f L (E 1, E 3 ). 3. Soit f L (E 1, E 2 ). Alors les pplictions et ϕ : ψ : sont linéires. Élémentire. { L (E2, E 3 ) L (E 1, E 3 ) g g f { L (E3, E 1 ) L (E 3, E 2 ) g f g Remrque Ces résultts montrent, vec E 1 = E 2 = E 3, que (L (E 1 ), +, ) est un nneu. En générl, cet nneu n est ps commuttif. 275

276 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Exemple On pose E 1 = C + (R, R) : c est un sev de F (R, R) (le montrer). On note ϕ : E 1 E 1 et ψ : E 1 E 1 f f { R R f x xf(x) On constte lors que ψ ϕ ϕ ψ. 4.3 Noyu et imge Théorème Soit ϕ L (E 1, E 2 ), A un sev de E 1 et B un sev de E L imge directe de A pr ϕ est un sev de E L imge réciproque de B pr ϕ est un sev de E On bien ϕ(a) E 2 insi que 0 E2 ϕ(a), cr ϕ(0 E1 ) = 0 E2 et 0 E1 A. Soit (y 1, y 2) ϕ(a) 2, soit λ K et soit (x 1, x 2) A 2 vérifint y 1 = ϕ(x 1) et y 2 = ϕ(x 2). Alors, comme A est un sev de E 1, on x 1 + λx 2 A et donc, pr linérité de ϕ, on y 1 + λy 2 = ϕ(x 1) + λϕ(x 2) = ϕ(x 1 + λx 2) ϕ(a). Ainsi, ϕ(a) est un sev de E On bien ϕ 1 (B) E 1 insi que 0 E1 ϕ 1 (B), cr ϕ(0 E1 ) = 0 E2 et 0 E2 B. Soit (x 1, x 2) ϕ 1 (B) 2, λ K. Alors, ϕ(x 1) B et ϕ(x 2) B et, pr linérité de ϕ, ϕ(x 1 + λx 2) = ϕ(x 1) + λϕ(x 2) B, cr B est un sev de E 2. Ainsi, x 1 + λx 2 ϕ 1 (B) et donc ϕ 1 (B) est un sev de E 1. Définition Soit ϕ L (E 1, E 2 ). 1. On ppelle noyu de ϕ noté Ker ϕ, l ensemble { x E 1 ϕ(x) = 0 E2 } 2. On ppelle imge de ϕ et on note Im ϕ, l ensemble { ϕ(x) x E 1 }. Remrque Le théorème ssure insi que Ker ϕ et Im ϕ sont des sev. Remrque Pour montrer qu un ensemble est muni d une structure d ev, on essier TOUJOURS de l identifier comme noyu ou imge d une ppliction linéire. Sinon, on essier de l identifier directement comme sev. d un ev. de référence. Rppel : on ne revient JAMAIS à l définition générle d un ev. Théorème Soit ϕ L (E 1, E 2 ). 1. ϕ est injective si et seulement si Ker ϕ = {0}. 2. ϕ est surjective si et seulement si Im ϕ = E Deux méthodes : refire comme l démo nlogue pour les morphismes de groupes, ou utiliser directement ce théorème : on choisit l deuxième méthode. Il suffit lors remrquer que Ker ϕ est le même que l on dopte le point de vue «groupe» ou le point de vue «espce vectoriel». On peut ussi refire l première méthode pour s entrîner. Remrque Les clculs de noyux et d imges se rmènent souvent à des résolutions de systèmes linéires. Exemple Déterminer Ker ϕ et Im ϕ, vec R 3 R 3 x x + 2y + 5z ϕ : y y z. z x + y 2z Exemple Soit ϕ : R R R R. On montre que ϕ est f f sin linéire, puis que ϕ n est ps injective, en trouvnt une fonction f non nulle dns Ker ϕ. Pr exemple f(x) = 0 si x 0 et f(0) = 1. On montre enfin que ψ = ϕ C 0 (R) est injective, en montrnt que son noyu est réduit à {0}. On peut mintennt unifier les résultts sur les structures des solutions de nombreux problèmes linéires étudiés uprvnt (systèmes linéires, équtions différentielles linéires). 276

277 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Proposition Soit f L (E 1, E 2 ) et E 2. Alors f 1 ({}) est soit vide, soit un se de E 1 de direction Ker f. Remrque f 1 ({}) est l ensemble des solutions de l équtions f(x) =, vec x E 1. Reprendre chque preuve effectuée lorsque l on rencontré ce type de structure de solution. Exemple L ensemble des suites réelles (u n ) ni nn vérifint pour tout n N, u n+2 = 3u n+1 2u n 4 est le se de direction Vect((2 n ) n N, 1) et pssnt pr (4n) n N. Remrque On retrouve insi que l ensemble des solutions d un système linéire est soit vide soit un se. 4.4 Isomorphismes Un isomorphisme trnsporte l structure d ev, comme pour les groupes. Dire que E 1 et E 2 sont isomorphes ne signifie ps que toute ppliction linéire de E 1 dns E 2 est un isomorphisme. On peut donner un exemple : f : R 2 R 2, (x, y) (x, 0). Théorème Soit ϕ L (E 1, E 2 ). 1. Si ϕ est un isomorphisme, lors ϕ 1 ussi. 2. Une composée d isomorphismes est un isomorphisme : si ϕ G L (E 1, E 2 ) et ψ G L (E 2, E 3 ), lors ψ ϕ G L (E 1, E 3 ). 3. (G L (E 1 ), ) est un groupe ppelé groupe linéire (groupe des utomorphismes). 1. Soit (y 1, y 2) E2, 2 soit λ K et soit (x 1, x 2) E1 2 vérifint x 1 = ϕ 1 (y 1) et x 2 = ϕ 1 (y 2). On lors, pr linérité de ϕ, ϕ(x 1 +λx 2) = ϕ(x 1) + λϕ(x 2) = y 1 + λy 2, donc ϕ 1 (y 1 + λy 2) = ϕ 1 (y 1) + λϕ 1 (y 2). Ainsi, ϕ 1 est linéire. 2. On déjà vu que ψ ϕ est bijective et linéire : c est fini! 3. Montrons que c est un sous-groupe du groupe des permuttions de E 1 : (S E1, ). L ppliction identité est bijective et linéire, donc Id E1 G L (E 1). Les deux résultts précédents montrent que G L (E 1) est stble pr pssge à l inverse et composition, ce qui permet de conclure. Remrque Nottion : Si n N, G L (K n ) est noté G L n (K). Exemple ϕ : R 2 R 2 (x, y) (x y, x + 2y) G L 2 (R) On résout le système ϕ(x, y) = (, b), et cel montre que ϕ est bijective, et donne l expression de ϕ 1. 5 Fmilles de vecteurs Dns cette prtie, suf mention expresse du contrire, I désigne un ensemble et (x i ) i I une fmille de vecteurs de E indexée pr cet ensemble. Définition Étnt donné deux fmilles de vecteurs (x i ) i I et (y j ) j J, on note (x i ) i I (y j ) j J leur concténtion. i=1 Remrque Ce n est ps une nottion officielle et nous ne définirons ps formellement cette notion. On pourr n ussi utiliser le symbole pour écrire l concténtion de n fmilles de vecteurs de E. Exemple (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2 ) = (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ). 5.1 Imge du sous-espce vectoriel engendré pr une fmille de vecteurs. On utiliser beucoup le résultt suivnt. 277

278 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Proposition Soit E et F deux espces vectoriels. Soit (x i ) i I une fmille de vecteurs d un espce vectoriel E et f : L (E, F ). Alors l imge directe du sous-espce de E engendré pr l fmille (x i ) i I est le sousespce de F engendré pr l fmille (f(x i )) i I : f ( Vect ( (x i ) i I )) = Vect ( (f(xi )) i I ) Posons V = Vect ( ) (x i) i I. f(v ) est un sous-espce vectoriel de F. Comme V contient tous les x i pour i I, f(v ) contient tous les f(x i) pour i I. Donc il contient le sousespce engendré pr les f(x i) : Vect ( ) (f(x i)) i I f(v ). Réciproquement, soit y un élément de f(v ). y est l imge d un élément x de V. Alors x est une combinison linéire i I λixi (où l fmille (λi) i I ) est à support fini), donc on y = f(x) ( ) = f λ ix i i I = λ if(x i) i I Vect ( (f(x i)) i I ) Donc f(v ) Vect ( (f(x i)) i I ). Exemple Soit ϕ : R 3 [X] R 2 [X] P P + XP. Donner Im ϕ. 5.2 Sev engendré pr une fmille finie Dns cette sous-prtie, on s intéresser exclusivement u cs où I = [[1, n]]. L fmille (x i ) i I est donc le n-uplet (x 1,..., x n ). Proposition Vect(x 1,..., x n ) = Im ψ où ψ est l ppliction linéire de K n dns E ψ : K n E (λ 1,..., λ n ) λ k x k k=1 Proposition Vect(x 1,..., x n ) n est ps modifié si l on permute deux vecteurs de (x 1,..., x n ). 2. si pour un i 1, n on x i qui est combinison linéire des utres vecteurs (en prticulier, si x i = 0), lors Vect(x 1,..., x n ) = Vect(x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ), c est-à-dire que l on peut ôter x i de l fmille sns modifier le sev engendré. 3. Vect(x 1,..., x n ) n est ps modifié si l on remplce un des x i pr une combinison linéire en x 1,..., x n dont le coefficient en x i est non nul. 1. C est une conséquence directe du fit que Vect (x 1,..., x n) = Vect { x 1,..., x n }. 2. C est une conséquence du fit que pour toutes prties X et Y de E, si X Y Vect(X), lors Vect(X) (Y ) Vect (Vect(X)) = Vect(X) 3. Quitte à permuter les vecteurs, on peut supposer que i = n. Considérons un vecteur x obtenu pr combinison linéire des x k pour k [[1, n]] dont le coefficient de x n est non nul. Posons V = Vect(x 1,..., x n) et V = Vect(x 1,..., x n 1, x ) et montrons V = V. Posons V = Vect(x 1,..., x n 1, x n, x ). x étnt combinison linéire des x k pour k [[1, n], on V = V d près le point précédent. De plus, le coefficient de x n dns cette combinison linéire est non nul, donc x n peut s exprimer comme combinison linéire de x 1,..., x n 1 et x. Donc, toujours d près le point précédent, V = V. On donc V = V = V. Remrque E est toujours combinison linéire de toute fmille de vecteurs : on peut donc «l enlever» d une fmille sns modifier le sev engendré pr cette fmille. Exemple Dns R 3, vec u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (0, 1, 0) et u 3 = (1, 1, 0). 1. Vect (u 1, u 2, u 3 ) = Vect (u 1, u 2 ) = Vect (u 1, u 3 ). 2. Déterminer une CNS sur w R 3 pour que Vect (u 1, u 2, u 3, w) Vect (u 1, u 2, u 3 ). 278

279 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Exemple On veut construire une bse à prtir de l bse cnonique : Vect ((1, 0), (0, 1)) = Vect ((2, 3), (0, 1)) = Vect ((2, 3), (1, 2)) : l fmille ((2, 3), (1, 2)) est donc une bse de R 2. C est l utre sens qui est le plus souvent utilisé, et qui fit pprître un pivot de Guss (encore et toujours) : Vect ((3, 4), (1, 5)) = Vect ((0, 11), (1, 5)) = Vect ((0, 1), (1, 5)) = Vect ((0, 1), (1, 0)) : l fmille ((3, 4), (1, 5)) est donc une bse de R Fmilles génértrices Définition On dit que l fmille (x i ) i I est génértrice ou qu elle engendre le K-espce vectoriel E si E = Vect K ( (xi ) i I ). Remrque Ainsi, dns le cs où I = 1, n, (x i ) i I est génértrice si et seulement si l ppliction ψ de l proposition est surjective. Proposition L fmille (x i ) i I est génértrice si et seulement si tout élément de E peut s écrire comme une combinison linéire des vecteurs de cette fmille. On Vect K ( (xi) i I ) E puisque tous les éléments de (x i) i I pprtiennent à E. On donc E = Vect K ( (xi) i I ) = E E VectK ( (xi) i I ) Qui est exctement ce que dit l proposition. Exemple Dns R 3, , 1, 0 est génértrice x cr y = xe 1 + ye 2 + ze 3. Se générlise à z R n vec bse cnonique. 2. Dns C considéré comme un R-ev, une fmille génértrice est {1, i}. 3. Dns C considéré comme un C-ev, une fmille génértrice est {z}, pour n importe quel z 0. On peut noter C = Vect R (1, i) = Vect C (z). 4. Dns ( le R-espce vectoriel R[X], l fmille X k) est une fmille génértrice de R[X]. k N Dns ( le C-espce vectoriel C[X], l fmille X k) est une fmille génértrice de C[X]. k N En revnche, ( dns le R-espce vectoriel C[X], l fmille X k) n est ps génértrice k N( ( ) de C[X] (cr Vect R X k) = R[X] k N C[X]. 5. Dns le C-espce vectoriel C(X), d près le cours sur l décomposition en élément simple, on obtient une fmille génértrice ( de C(X) en regroupnt les fmilles X k) ( ) k N 1 et (X α). k (α,k) R N Remrque On ussi l notion de fmille génértrice d un sev F de E. Remrque On ppelle droite vectorielle tout sev engendré pr un seul vecteur (non nul), qui est lors vecteur directeur. Correspond bien à ce qui se psse dns R 2 et R 3. Idem vec pln vectoriel et deux vecteurs. Proposition Soit E, F deux K-espces-vectoriels, f L (E, F ), soit (x i ) i I une fmille génértrice de E. Alors, (f(x i )) i I est une fmille génértrice de Im f. C est juste une réécriture de l proposition Corollire Soit E et F deux K-espces vectoriels, f 279

280 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS L (E, F ) vec f surjective et (x i ) i I génértrice. Alors l imge de cette fmille pr f est génértrice. C est une conséquence directe de l proposition : F = f(e) = f ( Vect ( )) (x i) i I = Vect ( (f(x i)) i I ) Exemple Soit pr surjectivité de F cr (x i) i I génértrice pr prop f : R 3 R 3 x 3x y. y 2x + y + z z x + 3y + 2z Alors, Im(f) = Vect(f(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0, 0, 1)) = Vect((3, 2, 1), ( 1, 1, 3), (0, 1, 2)) = Vect((0, 5, 10), ( 1, 1, 3), (0, 1, 2)) = Vect(( 1, 1, 3), (0, 1, 2)). Proposition Une fmille génértrice à lquelle on joute des vecteurs est toujours génértrice. 2. On peut retirer tout vecteur qui est combinison linéire des utres vecteurs de l fmille (c est une condition suffisnte mis elle est en fit ussi nécessire). 1. Découle du fit que l inclusion de deux prties implique l inclusion des sous-espces engendrés. 2. Découle du fit que pour toutes prties X et Y de E, X Y Vect(X) implique Vect(X) = Vect(Y ). Exemple Dns R 4, on considère P l ensemble de R 4 défini pr { x y + 2t = 0 P : x + y z = 0 où (x, y, z, t) sont les coordonnées dns R 4. On trouve P = Vect((1, 0, 1, 1/2), (0, 1, 1, 1/2)) donc c est bien un pln. 2. On considère l ensemble S des suites réelles vérifint u n+2 + 2u n+1 3u n = 0. S est un sous-espce vectoriel de R N (le vérifier). On veut en donner une fmille génértrice. On résout comme dns le cours, on trouve deux vecteurs générteurs. Ç mrcherit preil vec les solutions d une éqution différentielle. Théorème Soient F et G deux sous-espces vectoriels de E. Alors toute concténtion d une fmille génértrice de F et d une fmille génértrice de G est une fmille génértrice de F + G. Soit (x i) i I1 une fmille génértrice de F et (x i) i I2 une fmille génértrice de G. Notons (x i) i I = (x i) i I1 (x i) i I1 Toute combinison linéire d éléments de l fmille (x i) i I est dns F + G. Réciproquement, tout élément de F + G s écrit comme somme d un élément de F et d un élément de G. Le premier est une combinison linéire d éléments de l fmille (x i) i I1 et le second de l fmille (x i) i I2. Donc leur somme est une combinison linéire d éléments de l fmille (x i) i I 5.4 Fmilles libres et liées Définition On dit que l fmille (x i ) i I est libre si toute combinison linéire d éléments de (x i ) i I dont l vleur est 0 E est l combinison trivile, c està-dire n que des coefficients nuls. Formellement, l fmille est libre si et seulement si, pour toute fmille de sclires (λ i ) i I à support fini, on λ i x i = 0 i I λ i = 0 i I 280

281 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Dns le cs où I = [[1, n], cette condition s écrit : pour tout n-uplet (λ 1,..., λ n ) de sclires, on λ i x i = 0 (λ 1,..., λ n ) = (0,..., 0) i=1 Une fmille non libre est dite liée. Remrque Une fmille est donc liée si et seulement s il existe une combinison linéire de vleur nulle à coefficients non tous nuls. Si l un des x i est nul, l fmille est liée. Si l fmille comporte deux fois le même vecteur, elle est liée. Remrque Ainsi, dns le cs où I = 1, n, (x i ) i I est libre si et seulement si l ppliction ψ de l proposition est injective. Soit (λ i) i I une fmille de sclires à support fini vérifint λ ix i = 0 i I Alors en posnt µ i = 0 pour tout i I, on ussi µ ix i = 0 i I 0 s écrit donc de deux fçons comme combinison linéire de l fmille (x i) i I : les deux fmilles (λ i) i I et (µ i) i I sont donc l même fmille : i I λ i = 0 L fmille (x i) i I est donc libre. Proposition L fmille (x i ) i I est libre si et seulement si ucun élément de cette fmille ne peut s exprimer comme combinison linéire des utres éléments de l fmille. Proposition L fmille (x i ) i I est libre si et seulement si tout élément x de E s écrit d u plus une fçon comme combinison linéire (à coefficients non nuls) d éléments de E. Sens direct Supposons que l fmille (x i) i I est libre et montrons que tout élément x de E s écrit d u plus une fçon comme combinison linéire (à coefficients non nuls) d éléments de E. Soit x un élément de E. Supposons qu il s écrive à l fois i I λixi et i I µxxi où (λi) i I et (µi) i I sont des fmilles de sclires à support fini. Alors on 0 = x x = (λ i µ i)x i i I Or l fmille (x i) i I est libre, donc pour tout i I, on λ i µ i = 0. Donc tout élément de E s écrit d u plus une fçon comme combinison linéire (à coefficients non nuls) d éléments de E. Sens indirect Supposons que tout élément de E s écrit d u plus une fçon comme combinison linéire (à coefficients non nuls) d éléments de E et montrons que l fmille (x i) i I est libre. On fer ici l démonstrtion dns le cs où I = [[1, n]] qui est le cs qu on rencontrer le plus fréquemment pr l suite. L démonstrtion n est ps plus compliquée dns le cs générl. Montrons que l fmille considérée est liée, c est-à-dire qu il existe une combinison linéire non trivile vlnt 0, si et seulement si u moins un élément de l fmille s écrit comme combinison linéire des utres éléments de l fmille. Sens indirect Supposons qu il existe une combinison linéire non trivile de (x 1,..., x n) vlnt 0. Notons λ 1,... λ n ses coefficients. L un d eux u moins étnt non-nul, on peut supposer λ 1 0, quitte à permuter les vecteurs. Alors on λ k x k = 0 donc x 1 = k=1 k=2 ( λ k λ 1 ) x k Donc x 1 est combinison linéire des utres vecteurs de l fmille. Sens direct Supposons que x 1 s écrive x 1 = λ k x k k=2 281

282 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS où x 2,..., x n sont d utres éléments de l fmille et λ 1,..., λ k sont des sclires. Alors, en posnt λ 1 = 1, on λ k u k = 0 k=1 Et cette combinison linéire n est ps trivile puisque λ 1 n est ps nul, donc l fmille est liée. (le cs générl fonctionne de même). Exemple Dns R 2 : une fmille de deux vecteurs est liée si et seulement si les deux vecteurs sont colinéires, donc une fmille de deux vecteurs est libre si et seulement si c est une bse. 2. Dns R 3, une fmille de 3 vecteurs est liée si et seulement si les 3 vecteurs sont coplnires, donc une fmille de trois vecteurs est libre si et seulement si c est une bse. Remrque Dns R n, si on utilise l définition pour chercher si une fmille est libre, on est rmené à l résolution d un système linéire (une fois de plus). Exemple Montrer que ((1, 0), ( 1, 2), (2, 4)) est liée dns R 2. Montrer que ((1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 2)) est libre dns R 3. (x sin x, x sin 2x, x sin 3x) est libre. Définition Soit x, y deux vecteurs de E. On dit que x est colinéire à y s il existe λ K tel que x = λy ; x et y sont colinéires s il existe λ K tel que x = λy. Remrque L reltion «sont colinéires» est une reltion d équivlence sur E, ps «est colinéire à». Si x et y sont tous les deux non nuls, x est colinéire à y si et seulement si x et y sont colinéires. Proposition Soit x et y deux vecteurs de E. Alors (x, y) est libre si et seulement si ucun de ces vecteurs n est colinéire à l utre. Élémentire : à vous de le fire. Cet rgument n est vlble que pour deux vecteurs, comme nous l vons vu plus hut. Proposition Soit E et F deux K-espces vectoriels, f L (E, F ) vec f injective et (x i ) i I une fmille libre de E. Alors l imge de cette fmille pr f est libre. Soit (λ i) i I une fmille de sclires à support fini tel que λ if(x i) = 0 i I Alors, pr linérité de f, f(λ ix i) = 0. i I Or f est injective donc λ ix i = 0 i I Or (x i) i I est libre, donc pour tout i I, λ i = 0. Définition Soit (x i ) i I une fmille de vecteurs de E. Pour tout J I, on dit que (x i ) i J est une sous-fmille de (x i ) i I et que (x i ) i I est une sur-fmille de (x i ) i J. Théorème Toute sur-fmille d une fmille liée est liée. 2. Toute sous-fmille d une fmille libre est libre. 282

283 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS 3. Si (x 1,..., x n ) est une fmille libre, lors (x 1,..., x n, x n+1 ) est libre si et seulement si x n+1 n est ps combinison linéire des x 1,..., x n. 1. Il existe une combinison linéire nulle non trivile de l sous-fmille. Il suffit de l compléter pr des 0 pour en obtenir une pour l sur-fmille. 2. C est l contrposée du point précédent. 3. Le sens direct est évident. Pour l utre sens, pr contrposée supposons que (x 1,..., x n, x n+1) est liée. Alors il existe une combinison linéire nulle non trivile de x 1,... x n, x n+1. Si le coefficient de x n+1 est nul, il s git d une combinison linéire des x 1,..., x n. Sinon, on peut exprimer x n comme combinison linéire de x 1,..., x n. Exemple Dns R 2, toute fmille de trois vecteurs ou plus est liée : si les deux premiers vecteurs sont liés, l fmille l est ussi. Sinon, le troisième vecteur est combinison linéire des deux premiers, cr les deux premiers forment une bse. Idem dns R 3 vec les fmilles de plus de 4 vecteurs. Proposition Soient F 1,..., F n des sev d un K-ev E, et pour tout i 1, n, soit F i une fmille libre de F i. n Si les F i sont en somme directe, lors F i est une fmille libre. i=1 Enfin, terminons pr un résultt bien prtique : Définition Soit n N et E = K n. Soit p 1, n et (v 1,, v p ) une fmille de vecteurs de E. Pour tout i 1, p, notons (v i,j ) j 1,n les coordonnées du vecteur v i. On dit que l fmille (v 1,, v p ) est échelonnée si : 1. pour tout i 1, p il existe r i 0, n tel que v i,ri 0 et pour tout j 1, n tel que j > r i, v i,j = 0 ; 2. l suite des r i est strictement croissnte. Exemple Dns R 5, 0, 0, 0, 1 est une fmille échelonnée L fmille 0, 0, 0, 1 n en est ps une. Remrque Avec les mêmes nottions, si 0 k < i p, lors v k,ri = 0. Proposition Toute fmille échelonnée sns vecteur nul est libre. Soit n N et E = K n. Soit p 1, n et (v 1,, v p) une fmille échelonnée de vecteurs de E. Le résultt est ssez intuitif et se voit fcilement, pr p exemple en considérnt le système λ iv i = 0. En écrivnt le système, on se rend compte qu en remontnt les lignes, les coefficients λ i s nnulent les uns près les utres (le fire sur un exemple). Donnons tout de même une démonstrtion propre, pr récurrence sur le nombre de vecteurs. Pour tout p 1, n, posons (H p) : toute fmille échelonnée de E ynt p vecteurs non nuls est libre. Un vecteur non nul formnt à lui seul une fmille libre, (H 1) est immédite. Soit p 1, n 1 tel que (H p) soit vrie. Soit (v 1,, v p+1) une fmille échelonnée à vecteurs non nuls. Définissons les r i comme dns l définition??. Soit λ 1,, λ p+1 p+1 des sclires tels que λ iv i = 0. L r p+1-ème ligne i=1 i=1 de ce système s écrit λ p+1v p+1,rp+1 = 0, puisque pour tout i p, v i,rp+1 = 0, pr définition d une fmille échelonnée. Mis comme v p+1,rp+1 0, lors λ p+1 = 0. Il reste lors p λ iv i = 0. Mis (v 1,, v p) est échelonnée, donc pr i=1 283

284 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS hypothèse de récurrence elle est libre, ce qui implique que tous les λ i sont nuls, d où (H p+1). Remrque Pr bus, les fmilles de vecteurs présentnt des blocs de zéros dns d utres «coins» que le «coin inférieur guche» peuvent ussi être dites échelonnées. En tout cs, vec l même démonstrtion, elles sont églement libres. Pr exemple les fmilles (( ) ( )) 1 1 et, Bses (( 1 1 ), sont libres. ( 0 1 )), (( 0 1 ), ( 1 1 )) Définition Une fmille ( (x i ) i I ) est une bse de E si elle est libre et génértrice. Remrque Ainsi, dns le cs où I = 1, n, (x i ) i I est une bse si et seulement si l ppliction ψ de l proposition est un isomorphisme. Exemple Les bses cnoniques des R n. Remrque On ussi l notion de bse d un sev de E. Remrque Comme pour les fmilles libres et génértrices, on peut permuter l ordre des vecteurs d une bse, et on toujours une bse. Proposition Soit B = (x i ) i I une fmille de E. Alors B est une bse si et seulement si pour tout y E, il existe une unique fmille de sclires (λ i ) i I à support fini telle que y = λ i x i. i I En prticulier dns le cs où I = [[1, n], B est une bse si et seulement si pour tout y E, il existe un unique n-uplet (λ 1,..., λ n ) K n tel que y = λ k x k. k=1 On déjà vu que cette fmille de sclires existe si et seulement si (x i) i I est génértrice et est unique sous réserve d existence si et seulement si (x i) i I est libre. On en déduit le résultt. Définition Soit B = (x i ) i I une bse de E et y E. Alors l unique fmille de sclire (à support fini) (λ i ) i I telle que y = i I λ ix i est ppelé fmille des coordonnées de y dns B. Dns le cs où I = [[1, n]], cette fmille est un n-uplet, ppelé n-uplet des coordonnées. Exemple Clssique : montrer que ((1, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 1)) est une bse de R 3, donner les coordonnées d un vecteur dns cette bse (mis ttention, les coordonnées des vecteurs dns cette bse et dns l bse cnonique ne sont ps les mêmes!). Exemple Donner une bse de P R 3 où P = { (x, y, z) R 3 x + 2y z = 0 }. On (x, y, z) P si et seulement si x = x, y = y et z = x + 2y si et seulement s il existe α, β R tel que (x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 2) si et seulement si (x, y, z) Vect((1, 0, 1), (0, 1, 2)). Et ces deux vecteurs sont libres. Exemple Trouver une bse de { } E = (u n ) R N u n+2 + u n+1 2u n = 0. Le polynôme crctéristique est X 2 + X 2 de rcine 1 et -2. Donc tout élément de E est combinison linéire de l suite (v n ) = (1) et (w n ) = (( 2) n ). Donc ((u n ), (v n )) est génértrice. On montre qu elle est ussi libre. 284

285 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Remrque Si E est un K-ev dmettnt une bse B à n vecteurs, lors l ppliction qui à un vecteur de E ssocie le n-uplet de ses coordonnées dns l bse B est un ismorphisme de E dns K n. L injectivité découle de l unicité du n-uplet des coordonnées dns une bse donnée. Il est lors fréquent d identifier un vecteur de E u n-uplet de ses coordonnées, et donc de l identifier à un vecteur de K n. L proposition qui suit en est une illustrtion clssique : Proposition Une fmille de polynômes non nuls de degrés distincts deux à deux est libre. Ce résultt peut très bien se démontrer en n utilisnt que des considértions de degré : c est un bon exercice, clssique, et lissé u lecteur. Mis démontrons-le en utilisnt des coordonnées. Soit F une telle fmille. Nous pouvons toujours supposer que les polynômes de cette fmille sont clssés de telle sorte que l suite de leurs degrés soit strictement croissnte. Notons n le degré mximum de ces polynômes. Cette fmille est donc une fmille de K n[x], dont B = (1, X, X 2,, X n ) est une bse. L fmille des (n + 1)-uplets des coordonnées des polynômes de F dns l bse B est donc une fmille échelonnée de K n+1 : elle est donc libre. Pr conséquent, F ussi. Proposition L imge d une bse pr une ppliction linéire injective est une bse de l imge. L imge d une bse pr un isomorphisme est une bse de l espce d rrivée. Vient directement des résultts des prties précédentes. Anlyse Soit ϕ une telle ppliction. Soit x E. Alors x s écrit λifi, donc i I ϕ(x) = λ iϕ(f i) i I = λ ig i i I où (λ i) i I est l fmille des coordonnées de x dns l bse (f i) i I. ϕ(x) est donc déterminé de fçon unique. Donc ϕ est déterminée de fçon unique. Synthèse Considérons l ppliction qui à tout élément x de E ssocie λigi, où (λi) i I i I est l fmille des coordonnées de x dns l bse (f i) i I. On montre que ϕ est une ppliction linéire. De plus on peut montrer qu elle vérifie les conditions demndées : i I f(f i) = g i. Conclusion Il existe bien une unique ppliction répondnt à l question posée. Exemple Montrer qu il existe une unique ppliction linéire ϕ : R 2 [X] R 2 vérifint les conditions suivntes : ϕ(1) = (1, 2) ϕ(x + 1) = (2, 3) ϕ(x 2 + 1) = (0, 1) Théorème Soient F 1,..., F n des sev d un K-ev E, et pour tout i 1, n, soit B i une bse de F i. Alors les F i sont en somme directe si et seulement n si B i est une bse de F F n. i=1 En prticulier, les F i sont supplémentires si et n seulement si B i est une bse de E. i=1 Théorème Soient E 1 et E 2 deux ev, et soient (f i ) i I une bse de E 1 et (g i ) i I une fmille quelconque de E 2. Alors il existe une unique ppliction linéire ϕ : E 1 E 2 telle que pour tout i 1, n, ϕ(f i ) = g i. ( ) Supposons que les F i sont en somme directe. Alors, comme chque B i engendre F i, leur union engendre F F n. Notons, vec un léger bus de nottion, pour tout i, B i = (x j i )j et n montrons donc que B i est libre. Soit une fmille (λ j i ) telle que i,j i=1 λ j i xj i = 0E. Notons, pour tout i, 285

286 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS u i = j λ j i xj i Fi. Donc, u1 + + un = 0E et donc, comme les F i sont en somme directe, pour tout i, u i = 0 E. Pr liberté de chque fmille B i, n l fmille (λ j i ) est nulle, donc B i est libre. ( ) Si n i=1 B i i=1 est une bse de F F n, soit (y 1,..., y n) E 1 E n tel que y 1+ +y n = 0 E. Notons, pour chque i, (λ j i )j les coordonnées de yi n dns B i = (x j i ). On lors λ j i xj i = 0E. i,j i=1 B i étnt une bse, l fmille (λ j i )i,j est nulle, et donc fortiori les (y i) i le sont. Donc F F n est directe. 5.6 Repère ffine On peut mintennt fire le lien entre les notions de bse et de coordonnées vues dns les espces vectoriels, et les notions géométriques de repère et de coordonnées dns un repère utilisées dns les petites clsses. Soit F un sous-espce ffine de E, de direction F. Définition Un repère de F est un couple (O, B), où O F et B est une bse de F. Les coordonnées d un point x F dns le repère (O, B) sont les coordonnées de x O dns l bse B (de F ). Remrque On dit souvent que O est l origine du repère (O, B). Remrque À repère fixé, tout point de F est crctérisé pr ses coordonnées (ffines). Exemple Revenir sur les études des solutions d équtions différentielles linéires. 6 Endomorphismes prticuliers 6.1 Homothéties Définition Soit E un K-ev. Soit λ K. On ppelle homothétie de rpport λ l ppliction h λ = λid E : E E x λx Remrque Cs prticuliers : λ = 1 : identité ; λ = 1, symétrie de centre 0. Théorème Toute homothétie est un utomorphisme de E, et (h λ ) 1 = h λ 1 = h 1/λ. Linérité : simple. Bijectivité et réciproque : clculer h λ h λ 1 h λ. et h λ 1 Proposition Soit H (E) l ensemble des homothéties de E. Alors (H (E), ) est un sous-groupe de G L (E). H (E) G L (E) d près le théorème précédent. Id H (E). Stble pr pssge à l inverse d près le théorème précédent. et on remrque que pour tout λ, µ K, h µ h λ = h µλ, donc on l stbilité pr produit. Remrque G L (E) n est ps un sous-groupe commuttif, mis H (E) l est. En fit il est isomorphe à K vi λ h λ. 6.2 Projecteurs Dns toute l suite, on suppose que F et G sont deux sev supplémentires, i.e. E = F G. 286

287 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS Définition On ppelle projection sur F prllèlement à G l endomorphisme p F de L (E) défini pr : Définition On ppelle projecteur tout endomorphisme f tel que f f = f. y F, z G p F (y + z) = y. (XVIII.3) Remrque Voir le dessin sur l figure XVIII.1. Exemple dns R 3 vec F = {x = 0} et G = {x + y = 0, y + z = 0}. Il convient de montrer que cette définition est correcte, c est-à-dire qu il existe une unique ppliction vérifint les conditions demndées. Anlyse Soit p F un endomorphisme vérifint les conditions demndées. Alors pour tout x E, p F (x) = y où (y, z) est l unique couple 4 de F G tel que x = y + z. p F est donc déterminé. Synthèse Soit p F l ppliction ssocint à tout x E l unique vleur 5 y telle que x s écrive y+z vec y F et z G. L proposition (XVIII.3) est mnifestement vérifiée. On peut pr illeurs montrer que p F est une ppliction linéire. Conclusion Il existe une unique ppliction vérifint les conditions demndées Théorème p F L (E), Ker p F = G, Im(p F ) = F. Linérité : élémentire. Soit x = y + z E, y F, z G, donc x Ker p F si et seulement si y = 0 si et seulement si x = z si et seulement si x G. x Im p F si et seulement si il existe x = y + z tel que x = y si et seulement si x F. Remrque Cs prticuliers : F = {0 E } et G = E : p F = 0 L (E). G = {0 E } et F = E : p F = Id. Hormis ce dernier cs, une projection n est jmis injective, ni surjective. p F + p G = Id, p F G = 0, p F F = Id F. 4. Il existe et est unique puisque E = F G. 5. Voir remrque précédente. Théorème Toute projection est un projecteur. Il s git essentiellement d utiliser que si x = y + z p F (p F (x)) = p F (y) = p F (y + 0 E) = y. Théorème (Réciproque). Soit f un projecteur. Alors Ker f Im f = E, et f est l projection sur Im f prllèlement à Ker f. Soit x Ker f Im f. Alors il existe y tel que x = f(y). Or f(x) = 0 mis f(x) = f(f(y)) = f(y) = x, donc x = 0. Ker f et Im f sont donc en somme directe. Montrons que E = Ker f + Im f. Anlyse : soient y Im f et z Ker f tels que x = y + z. Alors il existe u tel que y = f(u). Donc f(x) = f(f(u)) + f(z) = f(f(u)) = f(u) = y. Donc on y = f(x) et donc z = x f(x). Synthèse : on pose y = f(x) et z = x f(x). Alors on bien x = y + z. de plus f(y) = f(f(x)) = f(x) = y, donc y Im f, et f(z) = f(x f(x)) = f(x) f(f(x)) = f(x) f(x) = 0, et insi z Ker f. On bien le résultt voulu. Mis si l on note x = y + z l décomposition ssociée à Ker f Im f = E, lors x, f(x) = y, donc f est bien l projection sur Im f prllèlement à Ker f. Remrque Si f est un projecteur, lors Im f = Ker(f Id) : on utilise que x Im f si et seulement si f(x) = x si et seulement si f(x) x = 0 E si et seulement si (f Id)(x) = 0 E. 2. Si E = F G, lors p F +p G = Id, et p F p G = p G p F = 0 L (E). En effet, si x = y + z, lors p F (x) = y et p G (x) = z. Et p F (z) = p G (y) = 0 E. Exercice Montrer que l ensemble des fonctions pires et celui des fonctions impires sont supplémentires dns R R. Donner l expression des projections sur 287

288 CHAPITRE XVIII. ESPACES VECTORIELS l un de ces deux ensembles prllèlement u second. 6.3 Symétries Définition On ppelle symétrie pr rpport à F et prllèlement à G l ppliction s F : E = F G E. x = y + z y z Remrque Voir le dessin sur l figure XVIII.1. Même exemple que pour l projection. Remrque On peut ussi montrer que Ker(s F Id) = Im(s F + Id) et Ker(s F + Id) = Im(s F Id). Montrons l première églité : x Im(s F + Id) x = s F (x ) + x. Donc (s F Id)(x) = s F (s F (x ) + x ) s F (x ) x = x + s F (x ) s F (x ) x = 0. x Ker(s F Id) s F (x) = x. On pose lors x = (s F Id)( 1/2x). Alors x = 1 ( x x) = 2 x, donc x = x, or x Im(s F Id). Remrque On peut enfin montrer que s G + s F = 0 L (E), s F s G = Id = s G s F, et p F = 1 2 (s F + Id). Fire un dessin. Théorème s F G L (E), et on s F = s 1 F est une involution linéire. : on dit que s F x G G x = x F + x G Linérité : élémentire. s F (s F (y + z)) = s F (y z) = y + z. 0 E p(x) = x F 2p(x) F Théorème (Réciproque). Toute involution linéire est une symétrie, plus précisément, si f est une involution linéire, on : 1. Ker(f Id) Ker(f + Id) = E. 2. f est l symétrie pr rpport à Ker(f Id) prllèlement à Ker(f + Id). s(x) = x F x G Figure XVIII.1 Représenttion de l projection et de l symétrie sur F, prllèlement à G. 1. Soit x Ker(f Id) Ker(f +Id). Alors f(x) = x et f(x) = x, donc x = x donc x = 0. Anlyse : si x = y + z vec y Ker(f Id) et z Ker(f + Id), lors f(y) = y et f(z) = z. Donc f(x) = y z. D où : f(x) + x = 2y et f(x) x = 2z. Donc y = 1 2 (f(x) + x) et z = 1 (f(x) x). 2 Synthèse. 2. On vient de voir que si l décomposition de x dns Ker(f Id) Ker(f +Id) x = y+z, lors f(x) = y z. CQFD. 288

289 Chpitre XIX Intégrtion 1 Continuité uniforme Construction de l intégrle Fonctions en esclier sur un segment Fonctions continues pr morceux sur un segment Extension u cs où b Le théorème fondmentl de l nlyse Primitives Existence de primitives Méthodes de clcul Formules de Tylor Cs des fonctions à vleurs complexes Approximtion d intégrles Sommes de Riemnn L méthode des trpèzes Comprison série-intégrle Annexes Règles de Bioche Fonctions dont l vrible intervient dns les bornes d une intégrle (cs prticulier d intégrles dépendnt d un prmètre)

290 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION Dns tout ce chpitre, et b sont deux réels tels que b. 1 Continuité uniforme Définition On dit que f est uniformément continue sur I si : ε > 0 α > 0 (x, y) I 2 x y α f(x) f(y) ε. 1. Fcile : on réécrit f uniformément continue en fixnt y =, et on trouve f continue en. 2. On fixe ε, on pose α = ε. Et on déroule les définitions. K Remrque Nous vons déjà vu que l fonction f : [1, + [ R est 1-lipschitzienne. Ce théo- x 1 x rème n est-il ps contrdictoire vec ce dernier point et vec 1.0.9? Remrque C est une notion qui n de sens que sur un intervlle, jmis en un point. 2. Comprer cette expression vec celle de f continue sur I : x I ε > 0 α > 0 y I x y α f(x) f(y) ε. L différence essentielle est l inversion d un vec un. Exemple L fonction f : R + R + n est ps uni- x 1 x formément continue. Montrons l négtion d uniforme continuité : ε > 0 α > 0 (x, y) I 2 x y α et f(x) f(y) > ε. Posons ε = 1 2. Soit α > 0. Posons x = min(α, 1) et y = x 2. On x y = x α/2 < α. De plus 2 1/x 1/y = 1/x 2/x = 1/x 1 > ε. Théorème (de Heine). Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment. (non exigible). On pose I = [, b]. Soit f continue sur I. Pr l bsurde, supposons que f n est ps uniformément continue. Alors il existe ε > 0 vérifint α > 0 (x, y) I 2 x y < α et f(x) f(y) ε. (XIX.1) Soit lors n N. D près l propriété (XIX.1), il existe (x n, y n) I vérifint x n y n < 1 n + 1, f(x n) f(y n) ε. (XIX.2) (XIX.3) Or, (x n) n N est une suite à vleurs dns le compct [, b], donc on peut extrire de (x n) n N une suite ( x ϕ(n) )n N qui converge vers une limite l [, b]. Posons lors, pour n N, u n = x ϕ(n), v n = y ϕ(n). On lors et u n v n n + 0 Donc, pr somme de limites : u n n + l. v n n + l. Or f est continue sur [, b] donc en l, on donc Théorème Toute fonction uniformément continue sur I est continue sur I. 2. Toute ppliction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I. Ainsi, f(u n) n + f(v n) n + f(l), f(l). f(u n) f(v n) n

291 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION Donc il existe n N vérifint f(u n) f(v n) < ε/2, ce qui est contrdictoire vec (XIX.3). C est donc bsurde. Remrque Attention : ce résultt est fux si l ensemble de déprt considéré pour f n est ps un segment. Ainsi ]0, 1] R est continue mis ps uniformément x 1 x continue. 2 Construction de l intégrle 2.1 Fonctions en esclier sur un segment Définition On ppelle fonction en esclier sur [, b] toute fonction f : [, b] R telle qu il existe n N et n + 1 réels x 0... x n tels que : (i) = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b ; (ii) pour tout i 0, n 1, f ]xi,x i+1 [ est constnte. L ensemble {x 0,..., x n } est ppelé une subdivision de [, b]dptée à f. On note E ([, b]) l ensemble des fonctions en esclier sur [, b]. Alors E ([, b]) est un sev et un sous-nneu de R [,b]. Remrque Attention ux vleurs prises ux points de l subdivision : elles peuvent vloir n importe quoi. Si on rjoute des points à une subdivision dptée, elle est toujours dptée. Ps si on en ôte. Remrque Si S et T sont deux subdivisions de [, b], lors : 1. Si S est dptée à une ppliction en esclier f et S T, lors T est dptée à f. 2. Si S et T sont des subdivisions dptées à des pplictions en esclier respectivement f et g, lors S T est dptée à l fois à f et à g. Définition (Intégrle d une fonction en esclier). Soit f E ([, b]) et {x i } i 0,n une subdivision dptée à f. Alors on ppelle intégrle de f sur b [, b] et on note f ou f ou f(t) dt ou b f(t) dt le réel n 1 i=0 [,b] v i (x i+1 x i ) [,b] où, pour i [[0, n 1], v i est l vleur (constnte) prise pr f) sur ]x i, x i+1 [ (on en prticulier v i = xi +x f( i+1 2 ). Ce réel ne dépend ps de l subdivision choisie. x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 = b Figure XIX.1 Illustrtion de l définition d une fonction en esclier. L démonstrtion consiste à remrquer : 1. Que l vleur définie ci-dessus pour une subdivision S dptée à f ne chnge ps si on joute un point à cette subdivision. 2. Que, pr une récurrence immédite, elle ne chnge ps si on rjoute un nombre fini de point et qu en prticulier, si on deux subdivisions S et T vec S T et S dptée à f, lors l vleur clculée pour S est l même que pour T. 3. Qu enfin, si S et T sont deux subdivisions dptées à f, lors l vleur clculée pour S est l même que pour S T et que celle clculée pour T est l même que pour S T. 291

292 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION On se contenter de donner l démonstrtion du premier point : étnt donné une subdivision S = { x 0,..., x n } dptée à f en esclier sur [, b], et un point supplémentire x, comprons l vleur clculée pour l subdivision S et pour l subdivision S { x }. En notnt i l entier tel que x i < x < x x+1 le terme v i(x i+1 x i) dns l somme pour l subdivision S est remplcée pr l somme des deux termes v i(x x i) + v i(x i+1 x ) dns l somme obtenue pour l subdivision S { x }. Or ces deux vleurs sont les mêmes. Remrque L intégrle d une fonction en esclier est bien l somme des ires lgébriques des rectngles délimités pr les subdivisions. 2. Chnger l vleur de f E ([, b]) en un point seulement ne chnge ps l vleur de l intégrle : il suffit de rjouter ce point dns l subdivision. 3. L intégrle de l fonction constnte λ sur [, b] vut λ(b ), en utilisnt l subdivision dptée {, b}. Proposition (Propriétés de l intégrle). Soient f, g E ([, b]), λ R. b b b 1. Linérité : (f + λg) = f + λ g. 2. Positivité : f 0 3. Croissnce : f g b b f 0. f b 4. Reltion de Chsles : si c ], b[, b f = c f + b c f. 1. Soit S une subdivision dptée à f, T une subdivision dptée à g, lors S T est dptée à f et g. Notons { z i i [[0, q]] } cette subdivision et g. exprimons b q 1 b f et (f + λg) b g : ( zi+1 + z i = (f + λg) 2 k=0 k=0 ) (z i+1 z i) q 1 ( ) zi+1 + z i = f (z i+1 z i) 2 = q 1 ( ) zi+1 + z i + λ g (z i+1 z i) 2 b 2. On exprime k=0 f + λ b b g. tous les termes sont positifs. f vec une subdivision dptée à f : 3. Appliquer le point précédent à (f g). 4. Soit S une subdivision dptée à f. Ajoutons le point c et notons { z i i 0, q } l subdivision obtenue. Soit s 1, q 1 tel que z s = c. Alors : b f = = = q 1 ( ) zi+1 + z i f (z i+1 z i) 2 k=0 s 1 ( ) zi+1 + z i f (z i+1 z i) 2 k=0 q 1 ( zi+1 + z i + f 2 k=s c f + b c f. ) (z i+1 z i) 2.2 Fonctions continues pr morceux sur un segment Définition Soit f : [, b] R. On dit que f est continue pr morceux s il existe une subdivision {x 0,..., x n } de [, b] telle que 1. = x 0 < x 1 <... < x n = b ; 2. pour tout i 0, n 1, f ]xi,x i+1 [ est continue et prolongeble pr continuité en x i et en x i

293 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION L ensemble {x 0,..., x n } est ppelé une subdivision de [, b]dptée à f. On note C m ([, b]) l ensemble des fonctions continues pr morceux sur [, b]. Alors C m ([, b]) est un sev et un sous-nneu de R [,b]. Première étpe On suppose que f est continue sur ], b[ et prolongeble pr continuité en et en b. On ppelle f ce prolongement. Alors f et f coïncident sur ], b[, mis ps forcément en ni en b. On utilise le théorème de Heine : f est uniformément continue sur [, b], donc il existe α > 0 vérifint x, y [, b] x y α f(x) f(y) ε On choisit n tq h = b α et on pose : x0 =, n x 1 = + h... x h = + kh... x n = + nh = b, donc {x 0... x n} est une subdivision de [, b], et i 0, n 1, x, y [x i, x i+1], f(x) f(y) ε ( ). x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 = b Figure XIX.2 Illustrtion de l définition d une fonction continue pr morceux. Remrque Attention ux vleurs prises ux points de l subdivision : elles peuvent vloir n importe quoi. Exemple Dessiner des exemples de fonctions continues pr morceux. 2. L fonction tngente, prolongée en R en lui donnnt l vleur 0 là où elle n est ps définie, n est ps continue pr morceux cr elle n est ps prolongeble pr continuité en les points de discontinuité. 3. Idem pour R R x sin 1/x On construit l intégrle d une fonction continue pr morceux en pprochnt celle-ci pr des fonctions en escliers. Théorème Soit f C m ([, b]). Soit ε > 0. Alors il existe ϕ + ε et ϕ ε E ([, b]) telles que ϕ ε f ϕ + ε et 0 ϕ + ε ϕ ε ε.. Soit i 0, n 1, f est continue, donc elle est bornée et tteint ses bornes sur [x i, x i+1]. On pose ϕ + i = mx f [x i,x i+1 ] ϕ i = min f [x i,x i+1 ] ϕ + ε : [, b] { R ϕ + i si x [x i, x i+1[ x si x = b ϕ + n 1 ϕ ε : [, b] { R ϕ i si x [x i, x i+1[ x si x = b ϕ n 1 On bien ϕ ε f ϕ + ε. Puisque les mx et min sont tteints, on i 0, n 1, y i, z i [x i, x i+1] tq ϕ + i = f(y i) et ϕ i = f(z i), donc i 0, n 1, 0 ϕ + i ϕ i = f(y i) f(z i) ε (cr y i z i α), donc nécessirement 0 ϕ + ε ϕ ε ε. ϕ ± ε conviennent pour f et non f : il suffit lors de chnger leurs vleurs en et b, en posnt ϕ + ε () = ϕ ε () = f() et ϕ + ε (b) = ϕ ε (b) = f(b). Deuxième étpe Cs générl : soient f C m([, b]) et {x i} une subdivision dptée. Alors on définit des ϕ ± ε sur chque morceu de l subdivision, et on recolle. Définition (Intégrle d une fonction continue pr morceux). Soit f C m ([, b]). On note : E + (f) = { h E ([, b]) h f }, E (f) = { h E ([, b]) h f }, } b I + (f) = h h E + (f),. 293

294 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION { } b I (f) = h h E (f). Alors sup I (f) et inf I + (f) existent et sont égles. On ppelle lors cette constnte l intégrle b de f sur [, b], notée f ou f ou f(t) dt [,b] [,b] b ou f(t) dt. D près le théorème d pproximtion, il existe ϕ + E + (f) et ϕ E (f), donc E + (f) et E (f) ne sont ps vides, donc I ± (f) non plus. De plus I + (f) est minorée pr b ϕ et I (f) est mjorée pr b ϕ +. Ainsi, vec le théorème de l borne sup, sup I (f) et inf I + (f) existent, et sup I (f) b ϕ +. Mis cette inéglité est vlble pour tout ϕ + E + (f), donc sup I (f) inf I + (f). Pour conclure, montrons l inéglité inverse : soit ε > 0, lors il existe ϕ + ε E + (f) et ϕ ε E (f) telles que ϕ + ε ϕ ε ε. Ainsi b ϕ + ε b ϕ ε + b ε = b ϕ ε + (b )ε. On obtient donc inf I + (f) sup I (f) + (b )ε pour tout ε > 0, donc pr pssge à l limite, on : inf I + (f) sup I (f). Remrque Cette intégrle représente bien l notion «d ire sous l courbe», même si l construction s éloigne quelque peu d une définition géométrique. Remrque L notion d intégrle de fonction continue pr morceux prolonge celle de fonction en esclier. En effet, si f E ([, b]), lors f E + (f) E (f), et l on voit directement que b f I + (f) I (f). Remrque Chnger l vleur de h E ([, b]) en un point seulement ne chnge ps l vleur de son intégrle : il suffit de rjouter ce point dns l subdivision. On peut en déduire que chnger l vleur de f C m ([, b]) en un point seulement ne chnge ps l vleur de son intégrle. Exercice Le démontrer. Proposition Soient f, g C m ([, b]), λ R. 1. Linérité : b (f + λg) = 2. Positivité : f 0 3. Croissnce : f g b b b f 0. f b f + λ g. b 4. Continuité (ou inéglité tringulire) : b b f f. 5. Inéglité de l moyenne : b (fg) (sup [,b] f ) Cs prticulier : b f (b ) sup [,b] f. 6. Reltion de Chsles : si c ], b[, b f = c b g. b f + f. c Remrque On ppelle moyenne de f sur [, b] l quntité m = 1 b f. Fire un dessin vec les ires b pour voir le rpport vec l inéglité de l moyenne. 1. () Montrons d bord que pour tout λ R +, b λf = λ b Il suffit pour cel de montrer que pour tout ε > 0, on b λf λ b f. g. f λ(b )ε et d en déduire le résultt pr pssge à l limite. Considérons donc ε > 0. Choisissons ϕ et ϕ + des pplictions en escliers encdrnt f vérifint 0 ϕ + ϕ ε. Alors λf est encdrée 294

295 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION pr λϕ et λϕ +. On en déduit b λf λ b De même, on b f λf λ D où le résultt. λ b b λϕ + λ b ϕ ( ϕ + ϕ ) (cr ϕ + et ϕ sont en esclier) λ(b )ε ( cr ϕ + ϕ ε ). b f λ(b )ε. (b) On procède de l même mnière pour le cs λ R, en fisnt ttention ux chngements de sens dns les inéglités dûs u signe de λ. (c) Montrons ensuite que b g. b (f + g) = b f + Il suffit de montrer que pour tout ε > 0, on b ( b b (f + g) f + g) 2ε(b ) Soit donc ε > 0. Choisissons ϕ f et ϕ+ f encdrnt f et ϕ g et ϕ + g encdrnt g et vérifint ϕ + f ϕ f ε et ϕ+ g ϕ g ε. Alors on : b b b b f g b ϕ f b ϕ g b (f + g) (f + g) b ϕ + f ( ϕ + f + ) ϕ+ g ( cr ϕ + f + ϕ g E + (f + g) ) b + b ϕ + f ϕ + g ( cr (ϕ + f, ϕ+ g ) E ([, b]) 2) et finlement b ( b b ) (f + g) f + g 2ε(b ). b ϕ f On montre de même b ( b (f + g) f + D où le résultt. + b b g ϕ + g ) b ϕ g 2ε(b ) 2. Si f 0, l fonction nulle est un élément de E (f) et donc b f b 0 = L croissnce découle directement de l positivité, ppliquée à f g. 4. Si f est continue pr morceux, lors f, f et f. le sont ussi. Or f f f, donc pr croissnce et linérité de l intégrle : b b f f. b f b f, d où 5. On fg = f g et donc fg (sup f ) g, donc pr continuité, croissnce et linérité de l intégrle b b on bien : (fg) (sup [,b] f ) g. Le cs prticulier s obtient pour g = Soit c ], b[. Il suffit de montrer que pour tout ε > 0, on c c b f + f f ε(b ). Soit donc ε > 0. Notons I 1 = [, c] et I 2 = [c, b]. Alors pour i = 1, 2, il existe ϕ i et ϕ + i des pplictions en esclier sur I i encdrnt l restriction de f à I i vérifint ϕ + i ϕ i ε. Posons lors ϕ : [, b] R { ϕ 1 (x) si x < c x ϕ 2 (x) si x c et ϕ + : [, b] R { ϕ + 1 (x) si x < c x ϕ + 2 (x) si x c ϕ et ϕ + sont en esclier et on : Or Donc c f + b f c c b ϕ ϕ + 2 c c b ϕ + + ϕ + c ) (ϕ + [,c] et ϕ+1 différent u plus en c b ϕ + ( ϕ + est en esclier. ) b b f ϕ cr ( ϕ E (f) ) 295

296 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION c b f + ϕ + b f b c b ϕ f (pr différence des inéglités précédentes) b ( ϕ + ϕ ) ( ϕ et ϕ + sont en esclier ) (b )ε ( ϕ + ϕ ε ) De l même fçon on montre c f + b c f On en déduit le résultt. b f (b )ε Soit donc f : I R continue pr morceux. Soit et b deux réels quelconques de I. Si < b, on vu comment définir b Si b <, lors on définit réel b f. Si = b, on pose b f. b f = 0. f comme étnt le L intérêt principl de cette définition est de générliser l reltion de Chsles ux cs où les points, b et c sont dns un ordre quelconque. Théorème Soit f C 0 ([, b]), vérifint f 0. Alors : (i) s il existe x 0 [, b] tel que f(x 0 ) > 0, lors b f > 0 ; (ii) si b f = 0, lors f = 0. Remrque Toutes les hypothèses sont indispensbles : cherchez des contre-exemples! (ii) n est que l contrposée de (i). Il suffit donc de montrer (i). Si f(x 0) > 0 et f continue, lors il existe α > 0 tel que f > f(x 0)/2 sur [x 0 α, x 0 + α] [, b]. On note lors ϕ l ppliction prennt l vleur f(x 0)/2 sur [x 0 α, x 0 + α] [, b] et 0 illeurs. ϕ est une fonction inférieure à f, b donc ϕ f. De plus elle ϕ est en esclier, elle est nulle suf sur l intervlle [x 0 α, x 0 + α] [, b] où elle pour vleur f(x 0)/2. Son intégrle sur [, b] vut donc l f(x 0)/2, où l est l lrgeur de cet intervlle. Or celleci est non nulle (regrder les différents cs suivnt que x 0 est intérieur à [, b] ou non), donc résultt. b 2.3 Extension u cs où b ϕ > 0, d où le Soit I un intervlle on dit qu une ppliction f est continue pr morceux sur I si elle est continue pr morceux sur tout segment non trivil de I. Proposition (Reltion de Chsles). Soit I un intervlle et f continue pr morceux sur I. Alors, pour tout (, b, c) I 3, on b f = c b f + f. c Remrquons tout d bord que nous vons déjà démontré ce résultt proposition dns le cs où < c < b. Notons que ce résultt est trivil si = c ou c = b. On donc le résultt pour c b. Remrquons ensuite que pour tout m, x, y pprtennt à I, vec m x et m y, on y x y m y x f = En effet, si x y, il suffit de remrquer f et si x y, de remrquer f y x f. x m f = y m y m y m f f = f + x f. m x m x y f + f = En posnt m = min(, b, c) on lors successivement : c f + b c f = = = c m b m b f f f. m m f + f b m f c Exercice Que deviennent les résultts de l proposition si on remplce les hypothèses < b m f 296

297 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION et f, g C m ([, b]) pr I est un intervlle, f, g C m (I) et et b sont des éléments quelconques de I? 3 Le théorème fondmentl de l nlyse Dns toute l suite, I est un intervlle de R. 3.1 Primitives Définition Soit f une ppliction de I dns R. On ppelle primitive de f sur I toute ppliction F D(I, R) telle que F = f. Théorème Si f : I R une primitive F, lors l ensemble des primitives de f est { F + λ λ R }. Déjà fit dns le chpitre sur les fonctions usuelles. Remrque Il ne fut donc JAMAIS prler de LA primitive de f, sous peine de se fire lourdement châtier. 3.2 Existence de primitives Remrque Commençons pr une première remrque : toutes les fonctions n ont ps de primitive. Exemple Posons f : [ 1, 1] R { 1 si x = 0 x 0 sinon Pr l bsurde supposons que f dmet une primitive F. Alors F = 0 sur [ 1, 0[ et ]0, 1], donc F = sur [ 1, 0[ et b sur ]0, 1]. Mis F est dérivble donc continue, donc les limites à guche et à droite en 0 doivent être égles, i.e. = b. Mis lors F est constnte sur [ 1, 1], donc F est nulle prtout, et insi F f.. Remrque En revnche, l fonction f de l exemple une intégrle, et l ppliction est bien définie. F : [ 1, 1] R x x 1 f(t) dt Il ne fut donc ps confondre primitive et intégrle. Remrque De mnière plus générle, le théorème de Drboux (HP, mis c est une conséquence simple du théorème de Rolle) montre qu une fonction dérivée vérifie toujours l propriété des vleurs intermédiires. Une fonction ne vérifint ps cette propriété (comme celle de l exemple 3.2.2) ne peut donc dmettre de primitive. Théorème (Théorème fondmentl de l nlyse). Soit f C 0 (I, R), et I. 1. f une primitive, pr exemple l fonction F : I R. x x f(t) dt 2. Soit A R. Alors f dmet une unique primitive vlnt A en. Il s git de l fonction F : I R x x f(t) dt + A 3. Soient, b I et F une primitive de f sur I. Alors b f = F (b) F (). Cette quntité est ussi notée [ F ] b, ou [ F (t)] b t=. Remrque C est souvent le deuxième ou le troisième point que l on ppelle théorème fondmentl de l nlyse, mis en fit le point le plus importnt est le premier, les deux utres en découlent fcilement.. 297

298 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION 1. Montrons que F est dérivble et F = f. Soit x 0 I, montrons que F est dérivble en x 0, de dérivée f(x 0). Soit lors ε > 0. Puisque f est continue en x, lors on peut trouver α > 0 tel que y I, x 0 y α f(x 0) f(y) ε f f(x 0) est lors mjorée pr ε sur [x 0 α, x 0 +α]. Soit x [x 0 α, x 0 + α] I\{x 0}. x x0 f f F (x) F (x0) f(x 0) x x 0 = f(x 0) x x 0 x x f f(x 0) = x 0 x 0 x x 0 x x 0 x (f f(x 0)) x = 0 x x 0 x x0 ε x x 0 ε. On montré que pour ε fixé, il existe α > 0 tel que x I x x 0 α F (x) F (x0) f(x 0) x x 0 ε, donc 2. Fcile. F (x) F (x0) x x 0 x x 0 x x 0 3. Il existe K tel que F (x) = lissée en exercice. f(x 0), d où le résultt. x Exemple Clculer 2 1 (x + 1) n dx Clculer lim n t n (2 + t) n dt. 4 Méthodes de clcul f + K, l suite est l intégrle Se référer u chpitre sur les équtions différentielles. 5 Formules de Tylor Nous llons mintennt voir deux nouvelles formules de Tylor, mis qui sont cette fois des résultts globux, lors que l formule de Tylor- Young est un résultt locl. Théorème (Formule de Tylor vec reste intégrl). Soient n N et f C n+1 (I, R) et (, b) I 2. Alors : f(b)= k=0 f (k) () b (b ) k + k! f (n+1) (t) (b t) n dt. ( ) n! Remrque Si f est un polynôme de degré n, lors pour tout k > n, f (k) = 0, et insi, en ppliqunt Tylor à un ordre supérieur à n, on retrouve l formule de Tylor pour les polynômes. Soit f une ppliction de I dns R et (, b) I 2. Pour n N, on note P (n) l ssertion «si f C n+1 (I, R), lors on ( )». Alors : Montrons P (0), c est-à-dire si f C 1 (I, R), lors f(b) = f() + b f (t) dt. C est tout simplement le théorème fondmentl de l nlyse. Montrons n N (P (n) P (n + 1)). Soit n N. Supposons P (n). Montrons P (n + 1). Pour cel, supposons f C n+2 (I, R). Alors f C n+1 (I, R) donc, puisqu on P (n), on f(b) = k=0 f (k) b () (b ) k + k! b f (n+1) (t) (b t) n dt. n! f (n+1) (t) Clculons lors (b t) n dt grâce à une n! intégrtion pr prties. On dérive f (n+1) (qui est bien C 1 (b t)n ) et on intègre, qui est bien continue. n! 298

299 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION On obtient : b f (n+1) (t) (b t) n dt n! [ ( )] b = f (n+1) (b t)n+1 (t) (n + 1)! b ( ) f (n+2) (b t)n+1 (t) dt (n + 1)! =0 + f (n+1) () (b )n+1 (n + 1)! + b f (n+2) (b t)n+1 (t) dt. (n + 1)! On donc bien n N P (n) P (n + 1). On donc P (0) et n N P (n) P (n + 1), donc on n N P (n). On donc le résultt cherché. Corollire (Inéglité de Tylor-Lgrnge). Avec les mêmes nottions et hypothèses, si < b, n f(b) k=0 f (k) () (b ) k b n+1 k! (n + 1)! sup f (n+1). [,b] Fisons l démonstrtion dns le cs < b (le cs > b se trite de l même mnière, en fisnt ttention u signe). L formule de Tylor donne : f(b) f (k) () (b ) k = k! k=0 }{{} A b b f (n+1) (t) n! f (n+1) (t) (b t) n dt b t n n! f (n+1) est continue sur le segment [, b], donc bornée, donc on : A b sup [,b] f (n+1) sup f (n+1) [,b] sup f (n+1) [,b] sup [,b] f (n+1) b b t n n! dt b t n dt n! [ (b t) n+1 (n + 1)! (b )n+1. (n + 1)! ] b dt. Exercice En ppliqunt l inéglité de Tylor-Lgrnge à l fonction exponentielle en zéro, montrer que pour x k tout x R, k! e x. n + k=0 6 Cs des fonctions à vleurs complexes Définition Soit f : I C telle que g = Re(f) et h = Im(f). Donc g, h : I R et f = g+ih. On suppose g et h de clsse C m. Soient, b I. On ppelle intégrle b de f de à b, notée f ou f ou f(t) dt ou b [,b] f(t) dt, le complexe Remrque ( ) b On donc Re f ( ) b b Im f = Im(f). b f = = [,b] b b g + i Re(f) b «L ire sous l courbe» n plus ucun sens dns le cs d une fonction à vleurs dns C, et ne peut donc ps servir à interpréter l intégrle d une fonction à vleurs dns C. Théorème Soit f C 0 (I, C) et (, b) I 2 vec < b. 1. L linérité et l reltion de Chsles sont toujours vlbles pour les fonctions à vleurs complexes. b b 2. Continuité : f f. 3. Inéglité de l moyenne : b (fg) (sup [,b] f ) 1. Se démontre comme pour les fonc- tions réelles. b g. h. et 299

300 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION ( b b 2. On note θ = rg f ), i.e. e iθ f = On pose F (x) = x b f. f et G(x) = Re ( e iθ F (x) ),, x I. b ) Alors G(b) = Re(e iθ F (b)) = Re (e iθ f = b Re f = f. ( b ) On ussi G(b) = Re e iθ f = b Re(e iθ f) b Re(e iθ f), or Re(e iθ f) e iθ f (clssique), donc b b b f = G(b) e iθ f = f. b b 3. D près ce qui précède, fg ( f g ). Il suffit lors d utiliser les résultts sur les pplictions à vleurs réelles. Exemple dt 1 it 1 + it = 1 + t 2 dt 1 = 1 + t 2 dt i t 1 + t 2 dt = Arctn t i 2 ln(1 + t2 ) + K, K C. En posnt S n = b n n 1 k=0 f(x k ) et S n = b n f(x k ), k=1 (S n ) n N et (S n) convergent toutes deux vers b f. Si de plus f est de clsse C 1, lors b S b n f = O(1/n) et S n f = O(1/n), c est-à-dire que dns les deux cs l erreur de l pproximtion est un O(1/n). f S 6 7 Approximtion d intégrles On cherche mintennt à pprocher des intégrles pr des formes géométriques simples : rectngles à bses régulières d bord, trpèzes ensuite. 7.1 Sommes de Riemnn Théorème (Sommes de Riemnn). Soient, b R tels que < b, f C 0 ([, b], R) et n N. On note lors, pour tout k 0, n, x k = + k b n. Les {x k} k 0,n forment lors une subdivision régulière de [, b] (i.e. tous les sous-intervlles sont de l même longueur). Figure XIX.3 Exemple de somme de Riemnn pour une fonction f, pour S 6. Tritons le cs de S n. Comme S n = S n (b ) + (f(b) n f()), les choses se pssent exctement de l même mnière pour S n. xn Or On : xk x n 1 f = b k=1 f = xk xn x 0 Chsles f = x k 1 f(t) dt. x k 1 f(x k ) dt = f(x k ) x k 1 ) = b n f(x k). xk x1 x 0 f + x2 x 1 f x k 1 1 dt = f(x k )(x k 300

301 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION Figure XIX.4 Exemple de somme de Riemnn pour une fonction f, pour S 6. b b Donc f(x k ) f(t) dt = n k=1 xk (f(x k ) f(t)) dt k=1 x k 1. b xk Ainsi S n f f(x k ) f(t) dt ( ). k=1 x k 1 Mis f est continue sur le segment [, b], donc d près le théorème de Heine, elle y est uniformément continue, i.e. : soit ε > 0, lors il existe α > 0 tel que x, y [, b], x y < α f(x) f(y) < ε. Choisissons N N tel que b b < α, donc pour tout n N, on N n < α. Pr conséquent, si n N et que l on note encore {x k } l subdivision de l énoncé ssociée à ce n, on, pour tout t [x k 1, x k ], t x k x k x k 1 = b n < α. Dns ce cs, ( ) implique : S n b f < et finlement S n k=1 b x k f x k 1 ε dt <ε S 6 (x k x k 1 ) k=1 = ε k=1 b n = ε(b ), f 0. n + Si de plus f est de clsse C 1, lors f est continue et donc f est bornée pr un certin réel K > 0 sur [, b]. On en tire que f est K-lipschitzienne sur [, b]. ( ) donne donc : b xk S n f K x k t dt x k 1 donc S n b K K K 2 K 2 k=1 k=1 xk (x k t) dt x k 1 [ 1 ] xk 2 (x k t) 2 k=1 (x k x k 1 ) 2 k=1 k=1 ( ) b 2 n ) 2 K ( b 2 n n K(b )2 1 2 n, ( ) f 1 = O. n x k 1 Remrque Pour l deuxième prtie du résultt, il n est ps nécessire que f soit de clsse C 1 : il suffit qu elle soit lipschitzienne. Exercice Montrer que l première prtie du résultt reste vrie si on suppose seulement f de clsse C m. Remrque Qund f est continue, on peut toujours écrire S n = b ( f + k b ) n n k=1 = (b ) 1 ( k g n n) k=1 1 (b ) g, n + 0 vec g : [0, 1] R, t f( + t(b )). Exercice Fire pprître une somme de Riemnn dns S n = k=1 n k 2 + 2n 2 puis étudier l convergence de (S n ). 301

302 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION 7.2 L méthode des trpèzes L méthode d pproximtion des sommes de Riemnn est courmment ppelée méthode des rectngles. S convergence n est ps très rpide cr elle est seulement en O(1/n). Une méliortion possible est l méthode qui suit : l méthode des trpèzes. f Théorème On reprend les mêmes nottions que dns le théorème 7.1.1, mis cette fois f est de clsse C 2. Alors : ( b f() + f(b) n 1 + f(x k ) n 2 k=1 ) b f(t) dt = O(1/n 2 ). Figure XIX.5 Exemple de l méthode des trpèzes pour une fonction f, vec 6 subdivision. Remrque Ce résultt est dmis, mis remrquons tout de même les choses suivntes : 1. l somme des ires des trpèzes obtenus vec l subdivision {x k } vut T n = n 1 = b 2n b n k=0 }{{} bse ( n 1 = b 2n = b 2n = b 2n k=0 ( n k=1 ( ( f(x k+1) + f(x k ) }{{ 2 } moyenne des deux huteurs n 1 f(x k+1 ) + f(x k ) + k=0 n 1 k=0 f(x 0 ) + f(x n ) + 2 f() + f(b) + 2 f(x k ) f(x k ) n 1 k=1 n 1 k=1 ) ) f(x k ) f(x k ) 2. il est isé de voir que (T n ) n N converge vers l intégrle, et que l différence entre T n et s limite est un O(1/n). En effet, pour tout n N, T n = 1 2 (S n + S n). ). ) 8 Comprison série-intégrle Proposition Soit f : R + R + une fonction continue pr morceux et décroissnte. ( n ) Alors l suite f(k) converge si et seulement si l suite k=0 ( n 0 n N) f(t) dt De plus l suite définie pr u n = n 0 f(t) dt converge. Soit k N. Pr décroissnce de f, on : est convergente. f(k) k=0 t [k, k + 1], 0 f(k + 1) f(t) f(k). Puis, pr intégrtion de cet encdrement sur [k, k + 1], 0 f(k + 1) k+1 et, pr sommtion, pour n 1, n 1 0 f(k + 1) k=0 k f(t) dt f(k) n 0 n 1 f(t) dt f(k), k=0 (XIX.4) 302

303 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION ou encore 0 f(k) f(0) k=0 Les suites f(k) et k=0 n 0 n De plus, il vient 0 f(n) 0 f(t) dt f(k) f(n). k=0 (XIX.5) f(t) dt ont donc l même nture. f(k) k=0 0 u n. Ainsi (u n) est minorée. Enfin, on u n+1 u n = f(n + 1) n+1 n n 0 f(t) dt 0. f(t) dt, soit L suite (u n) est donc décroissnte et minorée et converge donc. Remrque L encdrement XXVI.1 est à rpprocher de l méthode des rectngles. 6 f(k) k=1 f 5 f(k) k= Figure XIX.6 Exemple de comprison sérieintégrle pour une fonction f décroissnte, positive. Exercice Retrouver l nture de l suite pour α > 0. ( N n=1 ) 1 n α, N N Exemple On pose f : x 1. On sit lors que l suite 1 + x n de terme générl u n = f(k) f(t) dt = k= ln n converge, vers une limite n notée γ et nommée constnte d Euler. 9 Annexes 9.1 Règles de Bioche Ces règles sont explicitement hors-progrmme et ne sont ps exigibles. Soit f une expression rtionnelle en sin t et cos t, c est-à-dire qu il existe deux polynômes P et Q P (sin t, cos t) tels que f(t) =. Les régles de Bioche Q(sin t, cos t) indiquent suivnt certins cs, quel chngement de vrible poser pour pouvoir clculer f(t) dt. On pose W (t) = f(t) dt. Alors, si : 1. W est pir 1, un chngement de vrible judicieux est u = cos t. 2. W (π t) = W (t), un chngement de vrible judicieux est u = sin t. 3. W (π +t) = W (t), un chngement de vrible judicieux est u = tn t. 4. Si 2 des 3 reltions précédentes sont vries (dns ce cs les 3 reltions sont vries), un chngement de vrible judicieux est u(t) = cos(2t). 5. Dns les utres cs, le chngement de vrible u(t) = tn(t/2) s vère souvent judicieux. Exemple sin t Clculer 1 + cos 2 t dt et 1 cos 2 t(1 + tn t) dt. 9.2 Fonctions dont l vrible intervient dns les bornes d une intégrle (cs prticulier d intégrles dépendnt d un prmètre) 1. Attention : W n est ps une ppliction, on considère que W ( t) = f( t) d( t) = f( t) dt. 303

304 CHAPITRE XIX. INTÉGRATION Théorème Soit ϕ, ψ C 1 (I, J) où I et J sont deux intervlles de R, et soit f C 0 (J, R). Alors l fonction Γ : I R x ψ(x) ϕ(x) f(t) dt est de clsse C 1, et s dérivée est J R γ : x ψ (x) (f ψ)(x) ϕ (x) (f ϕ)(x). f étnt continue, elle dmet une primitive F. On lors, pour tout x I : Γ(x) = ψ(x) ϕ(x) f(t) dt = F (ψ(x)) F (ϕ(x)) = F ψ(x) F ϕ(x). Mis F, ψ et ϕ étnt de clsse C 1, Γ l est ussi et on Γ = (F ψ F ϕ) = ψ (F ψ) ϕ (F ϕ) = ψ (f ψ) ϕ (f ϕ) = γ. 304

305 Chpitre XX Dénombrement 1 Crdinl d un ensemble fini Dénombrement Réunion, intersection et complémentire Produit crtésien Applictions entre ensembles finis Prties d une ensemble fini

306 CHAPITRE XX. DÉNOMBREMENT Soient E, F et G trois ensembles. Définition On dit que E et F sont équipotents s il existe une bijection de E dns F. Dns ce cs, on noter E = F (nottion non officielle), et si ϕ est une bijection de E dns F, on noter ϕ : E F. Proposition L reltion d équipotence est une reltion d équivlence. L démonstrtion du premier point se fit pr récurrence sur n en posnt l hypothèse (P n) : pour tout m N, si 1, m = 1, n, lors m = n. L démonstrtion est tout à fit du même style que les démonstrtions des résultts et, et est lissée en exercice. Exemple Pour tout n N, 1, n est évidemment fini et de crdinl n. 2. Soient n, m N, n < m. Alors Crd n, m = m n + 1. En effet, l ppliction 1, m n+1 n, m, +n 1 est une bijection. 1 Crdinl d un ensemble fini Le progrmme stipule que prmi les propriétés de l prtie 1, les plus intuitives seront dmises sns démonstrtion ; il stipule églement que l utilistion systémtique de bijections dns les problèmes de dénombrement n est ps un ttendu du progrmme. Définition On dit que E est fini s il est vide ou s il existe n N tel que E = 1, n. Dns le cs contrire, E est dit infini. Dns toute l suite on supposer que E est fini de crdinl n. Théorème E est équipotent à F si et seulement si (F est ussi fini et Crd E = Crd F ). Si E est vide, F ussi. Sinon, soit ϕ : 1, n E, et ψ : E F. Alors ψ ϕ : 1, n F. Le résultt qui donne un sens à ce que l on ppelle intuitivement le nombre d éléments d un ensemble fini est lors le suivnt. Lemme Supposons E non vide, et E. Alors E\{} est fini de crdinl n 1. Théorème (i) Soient n, m deux entiers nturels non nuls. Si 1, n = 1, m, lors n = m. (ii) Cel ssure que si un ensemble est fini et équipotent à 1, n pour un certin n N, lors ce n est unique et est ppelé le crdinl de E, et est noté Crd E, #E ou E. Pr convention, Crd = 0. Le cs où E = {} est évident. Supposons donc que E\{} est non vide. Soit ϕ : 1, n E. Si ϕ(n) =, posons ψ = ϕ. Si ϕ(n) = b pour b un élément de E différent de, notons p l ntécédent de. Donc p < n. Posons lors ψ = ϕ τ p,n, où τ p,n est l trnsposition de S n échngent p et n. Alors dns tous les cs, ψ : 1, n E, et ψ(n) =. Ainsi, ψ 1,n 1 : 1, n 1 E\{}, d où le résultt. 306

307 CHAPITRE XX. DÉNOMBREMENT Théorème Soit A E. Alors A est fini et Crd A Crd E. De plus, Crd A = Crd E si et seulement si A = E. Pr récurrence sur n = Crd E. Si n = 0, E = A =, et le résultt est évident. Soit n N tel que pour tout ensemble E de crdinl n, et pour tout A E, on A soit fini et Crd A Crd E. Soit E de crdinl n + 1, et A E. Si A = E, lors A est fini et Crd A = Crd E. Sinon, soit E\A. Posons Ẽ = E\{}. Alors Crd Ẽ = n 1 d près le lemme précédent, et A Ẽ. Pr hypothèse de récurrence, A est fini, et Crd A n 1. En prticulier, Crd A < Crd E, donc A E, ce qui prouve u pssge que Crd A = Crd E si et seulement si A = E. Remrque Grâce à ce résultt, pour montrer l églité de deux ensembles finis, on peut montrer l double inclusion, mis ussi se contenter d une inclusion et montrer l églité des crdinux. Ce résultt est à rpprocher du résultt ssurnt que deux espces vectoriels de dimension finie sont égux si et seulement si l un est inclus dns l utre et ils ont même dimension. Lemme Soit f une ppliction surjective de F dns G. Alors il existe une injection de G dns F. Soit y G. Alors y un (ou plusieurs) ntécédent(s) pr f. Choisissons un de ces ntécédents, pr exemple le plus petit, puisque f 1 ({y}) est une prtie non vide de N, et notons-le g(y). On définit insi une ppliction g : G F, tel que pour tout y G, f(g(y)) = y. Ainsi, f g est injective, et on sit lors que g est injective de G dns F. Exercice Montrer que s il existe une injection f : F G, lors il existe une surjection g : G F. Théorème Soit f une ppliction de F dns G. (i) Si G est fini et f est injective, lors F est fini églement, et Crd F Crd G. (ii) Si F est fini et f est surjective, lors G est fini églement, et Crd F Crd G. (iii) Si F et G sont finis et Crd F = Crd G, lors : f est injective f est surjective f est bijective. Remrque L reltion «F moins d éléments que G» correspond donc à «F s injecte dns G» (u moins pour des ensembles finis). De même, l reltion «F plus d éléments que G» correspond donc à «F se surjecte sur G» (u moins pour des ensembles finis). Concernnt des ensembles quelconques, le lecteur intéressé pourr étudier le théorème de Cntor-Bernstein. Remrque Une fois encore, ce résultt est à rpprocher des résultts sur les espces vectoriels et les pplictions linéires en dimension finie. (i) f étnt injective, elle étblit une bijection de F dns f(f ). Or f(f ) G, donc f(f ) est fini et Crd f(f ) Crd G. Ainsi, puisque F = f(f ), F est fini et Crd F Crd G. (ii) En utilisnt , soit g injective de G dns F. En ppliqunt le premier point, G est donc fini et Crd G Crd F. (iii) Il suffit de démontrer : f est injective f est surjective, le reste étnt lors fcile. Pour le sens direct, si f est injective, f est une bijection de F dns f(f ), donc Crd F = Crd f(f ). Mis Crd G = Crd F, donc Crd f(f ) = Crd G, et comme f(f ) G, nous vons f(f ) = G, ce qui signifie bien que f est surjective. Pour le sens indirect, soient x, y F tels que f(x) = f(y) et x y. Alors f(y) f(f \{y}), et donc f(f \{y}) = G. Pr conséquent, f F \{y} est surjective à vleurs dns G, donc vec le point (ii), Crd F \{y} Crd G. Mis Crd F \{y} = Crd F 1 = Crd G 1, ce qui est bsurde. Pr conséquent, f est ussi injective. Exercice Soient (G, ) un groupe et A une prtie finie non vide de G stble pr. Soit x A. 307

308 CHAPITRE XX. DÉNOMBREMENT 1. Soit ϕ : N G l ppliction définie pr ϕ(n) = x n. Montrer que ϕ n est ps injective. 2. En déduire que x 1 A, puis que A est un sous-groupe de (G, ). (iii) Crd(A B) = Crd A+Crd B Crd(A B). ( ) (iv) Crd A E = Crd E Crd A. Corollire (Principe des tiroirs, ou Pigeonhole Principle en nglis). Si m < n, il est impossible de rnger n pires de chussettes dns m tiroirs sns en mettre u moins deux dns le même tiroir. Exercice On prend un Rubik s Cube fini sur lequel on effectue l même mnipultion encore et toujours. Démontrer que l on finit pr se retrouver vec ce Rubik s Cube de nouveu terminé Les membres d une société interntionle sont originires de six pys différents. L liste des membres contient 1978 noms numérotés de 1 à Montrer qu il y un membre dont le numéro vut l somme des numéros de deux utres membres vennt du même pys ou le double du numéro d un comptriote. 2 Dénombrement 2.1 Réunion, intersection et complémentire Définition Lorsque deux ensembles A et B sont disjoints, l réunion de A et B est ppelée union disjointe de A et B, et est notée A B. (i) Soient m, p les crdinux de A et B, et ϕ : 1, m A et ψ : 1, p B. Soit χ : 1, m + p A{ B ϕ(x) si x m x ψ(x m) si x > m Cette ppliction est bien définie et il est fcile de voir qu elle est surjective. De plus, A et B étnt disjoints, elle est injective, donc A B = 1, m + p, donc Crd(A B) = m + p = Crd A + Crd B. (ii) Il suffit d écrire que A = (A B) (A\B) et d utiliser le premier point. (iii) Là encore, on remrque que A B = B (A\B) et on utilise les deux premiers points. (iv) Remrquer que A E = E\A. Remrque Il existe une formule qui générlise le résultt précédent à l réunion d une fmille finie d ensembles finis : c est l formule de Poincré, ussi ppelée formule du crible. Elle est hors-progrmme et ser vue en TD. 2.2 Produit crtésien Théorème Soient E et F deux ensembles finis. Alors E F est fini et Crd(E F ) = (Crd E) (Crd F ).. Théorème Soient A et B deux prties de E. (i) Si A et B sont disjoints, lors Crd(A B) = Crd A + Crd B ; (ii) Crd(A\B) = Crd A Crd(A B) ; 1. Pour mémoire, il y plus de combinisons possibles sur un Rubik s Cube clssique. Il existe beucoup d nlogies entre l dimension d un espce vectoriel et le crdinl d un ensemble, mis dim(e F ) = dim E+dim F. On note : n = Crd E, p = Crd F, E = { e 1,, e n }, F = { f 1,, f p }. 308

309 CHAPITRE XX. DÉNOMBREMENT Donc E F = { (e i, f j), i 1, n, j 1, p }. Donc en notnt A i = { e i } F pour i 1, n, on : insi E F = Crd E F = = n A i, i=1 Crd A i i=1 Crd F i=1 = n Crd F = Crd E Crd F. Remrque Ce résultt se générlise fcilement pr récurrence à un produit de q ensembles finis, q N : Définition Soit p 1, n. On ppelle p-rrngement de E toute injection de 1, p dns E. Autrement dit, un p-rrngement est une mnière de choisir p éléments distincts de E en tennt compte de l ordre dns lequel on choisit ces éléments ; c est donc ussi un p-uplet de E, ou encore une liste de p éléments de E. Exemple Si E = 1, 5 et p = 2, les pplictions ϕ et ψ de 1, 2 dns E telles que ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 5, ψ(1) = 5 et ψ(2) = 3, sont deux p-rrngements différents de E. On peut ussi les identifier ux couples (3, 5) et (5, 3). ( q ) q Crd E i = Crd E i. i=1 i=1 Exercice Combien y -t il de possibilités de tirer neuf crtes vec remise dns un jeu de 32 crtes? Théorème Si Crd E = n, il y exctement p-rrngements de E. n! (n p)! 2.3 Applictions entre ensembles finis Théorème Soient E et F deux ensembles finis. Alors F E est fini et ( Crd F E) = (Crd F ) Crd E. On pose ϕ : 1, n E, et : µ : F E F n f (f ϕ(1),, f ϕ(n)) = (f ϕ(i)) i 1,n ν : F n F{ E E F (f 1,, f n) = (f i) i 1,n x f ϕ 1 (x) On vérifie que ν µ = Id F E et µ ν = Id F n, donc ce sont des bijections. Ainsi F E = F n et l on peut conclure vec Pour construire une injection f de 1, p dns E, il y n choix possibles pour f(1). Il reste lors n 1 choix possibles pour f(2) et insi de suite, jusqu ux n p + 1 choix possibles pour f(p) : il y donc n (n 1) (n p+1) injections possibles. Remrque Les rrngements sont utilisés pour modéliser des tirges successifs et sns remise. Exercice Vous jouez «u hsrd» u tiercé lors d une course vec 10 prtnts : combien vez-vous de chnce d voir le tiercé dns l ordre? Corollire Le groupe S n des permuttions sur n éléments est fini de crdinl n!. S n correspond à l ensemble des n-uplets de 1, n. 309

310 CHAPITRE XX. DÉNOMBREMENT 2.4 Prties d une ensemble fini Définition Soit p 0, n. On ppelle p-combinison de E toute prtie de E de crdinl p. Autrement dit, une p-combinison est une mnière de choisir p éléments distincts de E sns tenir compte de l ordre dns ( lequel ) on choisit ces éléments. n On note lors le nombre de p-combinisons p de E ; ce nombre se lit «p prmi n». Remrque Les combinisons sont utilisées pour modéliser des tirges simultnés. Remrque On étend cette définition à p Z pr lorsque p / 0, n. Théorème Si n N et p 0, n, lors ( ) n = p ( ) n = 0 p n! (n p)!p!. Remrque Nous venons donc de donner ( une ) nouvelle définition du coefficient binomil, défini en début n p d nnée, et que nous vions interprétré comme le nombre de chemin rélisnt p succès lors de n répétitions d une même expérience létoire. Remrquons à nouveu qu il s git d un entier, ce qui n est bsolument ps évident vec l formule du théorème Commençons pr remrquer qu ordonner (totlement) un ensemble à n éléments revient à numéroter ses éléments de 1 à n. Pr conséquent, un ordre sur E peut être vu comme une bijection de 1, n dns E, ou encore comme une permuttion de E. Il y donc n! fçons d ordonner un ensemble à n éléments. Ainsi, pour chque choix de p éléments prmi n, il existe p! p-rrngements contennt ces p-éléments : il y donc exctement p! fois plus ( ) de p-rrngements que de p- n combinisons. Ainsi, p = 1 p! n! (n p)!. Exercice Vous jouez u hsrd u tiercé lors d une course vec 10 prtnts : combien vez-vous de chnce d voir le tiercé dns le désordre? Proposition (Formule du tringle de Pscl). ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 Si n N et si p N, = +. p p 1 p On donne ici une preuve combintoire. Le cs où p / 1, n 1 est évident. Sinon, soit E de crdinl n et E. Notons F p l ensemble des prties de E p éléments, lors F p = {A E #A = p et A} {A E #A = p et / A} }{{}}{{} A p B p. Il est évident (sinon, détillez le!) que A p est en correspondnce bijective vec l ensemble des prties de E\ {} ynt ( p 1 éléments (pr A A\ {}) et possède donc n 1 p 1) éléments. De même, Bp est en correspondnce bijective vec l ensemble des prties de E\ {} ynt p éléments (pr A A) et possède donc ( ) n 1 p éléments. Cel permet donc de conclure, cr #F p = #A p + #B p. Proposition (Formule du binôme de Newton). Soit x et y deux éléments d un nneu (A, +, ) commutnt l un vec l utre (xy = yx), soit n N. Alors ( ) n (x + y) n = x k y n k. k k=0 En voici une preuve combintoire. On montre d bord isément pr récurrence que toutes les puissnces de x et de y commutent. Ensuite, lorsque l on développe le produit (x + y) n = (x + y) (x + y) }{{} n fois on obtient des termes qui sont des produits de k fcteurs vlnt x, et de n k fcteurs vlnt y, pour k llnt de 0 à n. Or, pour chcun de ces k, il y k prmi n possibilités d obtenir un produit de k fcteurs vlnt x, et de n k fcteurs vlnt y, d où le résultt. 310

311 CHAPITRE XX. DÉNOMBREMENT Théorème Si E est fini, l ensemble P(E) des prties l est ussi et Crd P(E) = 2 Crd E. Pour tout i 0, n, notons P i l ensemble des prties de E ynt i éléments. Nous vons lors P(E) = n Pi. Or ( ) i=0 n chque P i est de crdinl, donc P(E) est fini et : i Crd P(E) = i=0 ( ) n i = (1 + 1) n (binôme de Newton) = 2 n. On peut ussi voir qu il y une correspondnce bijective entre les prties de E et les pplictions à vribles dns E et à vleurs dns {0, 1}, pr P(E) {0, 1} E, A 1 A. Exercice Dns une urne, on plce qutre boules rouges (numérotées 1 à 4) et qutre boules vertes (numérotées 5 à 8). On rélise trois tirges vec remise, un résultt est le triplet des boules tirées. Combien y -t-il de résultts contennt exctement une boule rouge? Au moins une boule rouge? Et si les tirges se font sns remise? 311

312 CHAPITRE XX. DÉNOMBREMENT 312

313 Chpitre XXI Espces vectoriels de dimension finie 1 Notion de dimension Définition Théorème fondmentl Théorème de l bse incomplète Existence de l dimension Clssifiction en dimension finie Exemples Sous-espces vectoriels en dimension finie Dimension d un sous-espce vectoriel Existence de supplémentires Dimension d une somme de sous-espces vectoriels Applictions linéires en dimension finie Expression d une ppliction linéire en dimension finie Théorème du rng Formes linéires et hyperplns

314 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Dns tout ce chpitre, suf mention expresse du contrire, E désigne un espce vectoriel sur un corps K, vlnt R ou C. 1 Notion de dimension 1.1 Définition Définition On dit que E est de dimension finie si E dmet une fmille génértrice finie. Exemple K n est de dimension finie cr ( engendré ) notmment pr l fmille des (δ ij ) i [[1,n] j [[1,n]]. 2. K[X] n est ps de dimension finie. En effet, considérons une fmille finie de polynômes (P i ) i [[1,n]. Alors toute combinison linéire de cette fmille un degré borné pr le mximum des degrés des P i. Or les éléments de K[X] ont des degrés rbitrirement élévés, donc l fmille considérée ne peut être génértrice. 3. Soit A un ensemble. L espce vectoriel K A est de dimension finie si et seulement si A est fini Soit E un K-espce vectoriel (ps nécessirement de dimension fini). Soit n N et x 1,..., x n, n vecteurs de E. Alors le sousespce vectoriel de E Vect (x 1,..., x n ) est un espce vectoriel de dimension finie. Remrque Cs prticulier : l espce vectoriel {0} est de dimension finie. En effet, toute fmille en est génértrice (y compris l fmille vide). 1.2 Théorème fondmentl Dns toute l suite du chpitre, E est un K-ev de dimension finie. 1. Le «si» est fcile à voir, le «seulement si» est beucoup plus difficile à démontrer ; on pourr utiliser le résultt Théorème Soit n N tel que E dmette une fmille génértrice à n éléments. Alors toute fmille de E contennt strictement plus de n vecteurs est liée. Remrquons d bord qu il suffit de montrer que toute fmille de E contennt n + 1 vecteurs est liée. En effet, une fmille contennt strictement plus de n vecteurs, en contient u moins n+1. Elle contient donc une sous-fmille liée, donc est liée elle-même. Montrons le résultt pr récurrence sur n, en posnt pour tout n N : (H n) : pour tout K-ev E dmettnt une fmille génértrice à n éléments, toute fmille de E contennt strictement plus de n vecteurs est liée. k=1 Le cs n = 0 est celui où E = { 0 }, et le résultt est lors vri. Supposons (H n) vrie pour un entier n N. Soient (g 1,..., g n+1) une fmille génértrice d un K-ev E, et (v 1,..., v n+2) une fmille de vecteurs de E. n+1 Pour tout i 1, n + 2, on note v i = α i,k g k. Distinguons deux cs : 1er cs : si pour tout i, α i,1 = 0, lors pour tout i, v i Vect(g 2,..., g n+1). Si l on note F = Vect(g 2,..., g n+1), on peut ppliquer l hypothèse de récurrence à F, qui dmet une fmille génértrice à n éléments, et à (v 1,..., v n+2) : (v 1,..., v n+2) est liée dns F, donc ussi dns E, dont F est un sev, et (H n+1) est vrie. 2ème cs : il existe i 1, n + 2 tel que α i,1 0, pr exemple α 1,1 0. Alors ( ) g 1 = 1 n+1 v 1 α 1,k g k, α 1,1 d où k=2 pour ( tout i 2, n ) + 2, n+1 n+1 v i = αi,1 v 1 α 1,k g k + α i,k g k. α 1,1 k=2 k=2 Si l on pose w i = v i αi,1 α 1,1 v 1, lors pour tout i 2, n + 2 w i Vect(g 2,..., g n+1). Pr hypothèse de récurrence, (w 2,..., w n+2) est liée. Il existe donc une combinison linéire nulle en les w i, à coefficients non tous nuls. Il est fcile de voir que cette combinison linéire est ussi une combinison linéire nulle en les v 1,..., v n+2, à coefficients non tous nuls. Ainsi (H n+1) est vrie. 314

315 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Remrque On noter que l idée de l démonstrtion précédente est très proche de celle de l lgorithme du pivot de Guss. Exemple Dns R 2, toute fmille de trois vecteurs est liée. Mis une fmille de strictement moins de trois vecteurs n est ps forcément libre! Dns R 3, toute fmille de qutre vecteurs est liée. Dns R n [X], toute fmille de n + 2 polynômes est liée. Dns C n [X], vu comme C-espce vectoriel, toute fmille de n + 2 polynômes est liée. Dns C n [X], vu comme R-espce vectoriel, toute fmille de 2n + 3 polynômes est liée, tndis que l fmille de 2n + 2 polynômes (1, i, X, ix,..., X n, ix n ) est libre. Nous verrons dns l prtie?? que ce résultt (fondmentl!) mène directement u corollire suivnt. Corollire Dns un espce vectoriel de dimension finie, toutes les bses sont finies et de même crdinl. 1.3 Existence de bses On peut développer une première idée fin d obtenir une bse dns un espce vectoriel de dimension finie, idée d illeurs déjà ébuchée dns le cours sur les espces vectoriels. On prt d une fmille génértrice finie de E : si cette fmille est libre, c est une bse ; sinon, un de ses vecteurs et «redondnt», soit combinison linéire des utres, et on peut l enlever pour obtenir une fmille génértrice strictement plus petite. En itérnt, on obtient une suite de fmilles génértrices strictement décroissnte (en tille) : on s rrête donc et l on obtient une bse. Nous llons voir un résultt plus fin qui nous permet de retrouver ceci : le théorème de l bse incomplète. Lemme Soit p N et (x i ) i [[1,p]] une fmille de vecteurs de E. L fmille (x i ) i [[1,p]] est liée si et seulement s il existe k [[1, p] vérifint x k Vect (x 1,..., x k 1 ). Autrement dit si et seulement si l un des vecteurs de l fmille est combinison linéire des précédents. Supposons que l fmille est liée. Alors il existe une combinison linéire p λixi non trivile de vleur 0. On i=1 note k le plus grnd entier i tel que λ i 0. Alors on successivement : k λ ix i = 0, i=1 x k = 1 k 1 λ ix i, λ k i=1 x k Vect (x 1,..., x k 1 ). L impliction réciproque est évidente. Corollire Soit p N, (x 1,..., x p ) une fmille libre de vecteurs de E, x un vecteur de E. Alors (x 1,..., x p, x) est liée x Vect(x 1,..., x p ). Supposons (x 1,..., x p, x) liée, et posons x p+1 = x. D près le lemme, il existe k 1, p + 1 vérifint x k Vect (x 1,..., x k 1 ). On ne peut voir k p puisque l fmille (x 1,..., x p) est libre. Donc k = p + 1 et on x Vect (x 1,..., x p). 315

316 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Théorème (de l bse incomplète). Soient E un K-espce vectoriel engendré pr une fmille G finie, et L une fmille libre de E. Alors on peut compléter L en une bse de E en lui rjoutnt des vecteurs de G. Remrque Ce théorème est vri pour tout espce vectoriel E et non seulement pour ceux de dimension finie. L démonstrtion est reltivement délicte dns le cs générl (on utilise en générl le lemme de Zorn, équivlent à l xiome du choix), nous nous contenterons de l donner dns le cs de l dimension finie. Une démonstrtion possible est de considérer l lgorithme suivnt : B L # Invrint de boucle : B est libre et L B # Vrint : Crd G Crd B TntQue G Vect B Fire Choisir v (G \ Vect B) B B { v } FinTntQue L est libre et l invrint est clirement vérifié vnt l entrée dns l boucle. Si l invrint est vérifié, u début d un tour de boucle, B est libre et G \ Vect B, donc on peut effectivement choisir v dns G \ Vect B. Alors puisque B est libre, d près le lemme 1.3.1, B { v } est libre églement. À l fin du tour de boucle, B est donc toujours libre, est toujours un sur-ensemble de L et un sous-ensemble de G, l invrint est donc encore vérifié. Pr illeurs, B est libre et G est génértrice, donc, vec le lemme fondmentl, Crd B Crd G. Ainsi Crd G Crd B est un entier nturel. De plus, à chque étpe de l boucle, on joute à B un élément de G qui n est ps déjà dns Vect B, donc ps déjà dns B, donc le crdinl de B ugmente strictement. Donc à chque tour de boucle Crd G Crd B décroît strictement, donc l lgorithme termine. À l fin de l exécution de l lgorithme, B est une fmille libre, et G Vect B. Donc B est une bse de E. De plus, on L B G donc on bien construit B en rjoutnt à L des vecteurs de G. Exemple Compléter ((1, 2, 0, 0), (1, 0, 1, 0)) en une bse de R 4. Le théorème de l bse incomplète deux corollires. Le premier est fondmentl. Corollire Tout espce vectoriel de dimension finie dmet une bse finie. Il suffit d ppliquer le théorème de l bse incomplète vec l fmille vide et une fmille génértrice finie. Remrque Cs prticulier : l espce vectoriel {0} pour bse l fmille vide. C est l seule fmille libre (donc l seule bse) de cet espce vectoriel, puisque toute fmille d u moins un élément contient le vecteur nul et est donc liée. Il peut sembler étonnnt (u premier bord) que le résultt qui suit soit un corollire du théorème de l bse incomplète. Corollire De toute fmille génértrice finie on peut extrire une bse. Lorsque l fmille génértrice considérée est finie, il suffit là encore d ppliquer le théorème de l bse incomplète vec l fmille vide et une fmille génértrice finie : en complétnt l fmille vide vec des vecteurs de l fmille génértrice considérée, on obtient bien une bse extrite de l fmille génértrice de déprt. Lorsque l fmille génértrice considérée est infinie, on peut montrer le résultt en utilisnt l lgorithme donné pour l démonstrtion du théorème de l bse incomplète mis un problème se pose, celui de l terminison. Celle-ci peut être justifiée pr le théorème fondmentl : dns un espce de dimension finie, le nombre d éléments d une fmille libre est mjoré pr un entier p, où p est pr exemple le crdinl d une fmille génértrice finie de E. Or le nombre d éléments de l fmille B croît strictement à chque tour de boucle, p moins ce nombre d éléments est donc un vrint de l lgorithme, donc celui-ci termine. 316

317 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1.4 Existence de l dimension dim R M n,p (C) = 2np Théorème (de l dimension). Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bses ont même nombre d éléments. E étnt de dimension finie, il dmet une bse B 1 finie. Soit B 2 une seconde bse de E. Étnt libre, elle moins d éléments que B 1. Mis réciproquement, B 2 est génértrice et B 1 est libre, donc B 1 moins d éléments que B 2, ce qui montre que toutes les bses de E ont le même nombre d éléments que B 1. D où le résultt. Définition Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie. On ppelle dimension du K-espce vectoriel E et on note dim K E (voire dim E si le contexte permet de svoir clirement ce qu est K) le nombre d éléments commun à toutes les bses de E. On noter prfois dim K E < + l ssertion «le K-espce vectoriel E est de dimension finie». Remrque Pour que cette définition it un sens il est nécessire et suffisnt d être ssuré : d une prt que toutes les bses d un espce vectoriel de dimension finie ont toutes le même nombre d éléments d utre prt que tout espce vectoriel de dimension finie possède bien u moins une bse. Ce qu on bien vérifié plus hut. Remrque Cs prticulier : dim{0} = 0. Exemple Soit n, p N. dim K K n = n dim R C n = 2n dim K K n [X] = n + 1 dim R C n [X] = 2(n + 1) dim K M n,p (K) = np Proposition Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie. Toute fmille libre de E u plus dim K E éléments. Toute fmille génértrice de E u moins dim K E éléments. C est une conséquence directe du théorème fondmentl Proposition Toute fmille libre mximle d éléments de E est une bse de E. 2. Toute fmille génértrice de E minimle est une bse de E. Remrque Pr fmille libre mximle, il fut entendre : «fmille libre à lquelle on ne peut rjouter un vecteur sns l rendre liée». Symétriquement, pr fmille génértrice minimle, il fut entendre «fmille génértrice à lquelle on ne peut enlever un vecteur sns lui fire perdre son crctère générteur». Le résultt est vri même si on est dns le cdre d un espce vectoriel qui n est ps de dimension finie (uquel cs les fmilles considérées sont infinies). 1. Soit F une fmille libre mximle. D près le théorème de l bse incomplète, on peut l compléter en une bse B. L fmille B est libre. Or l fmille F est mximle, donc F = B. 2. Soit G une fmille génértrice minimle. D près le théorème de l bse extrite, on peut en extrire une bse B. L fmille B est génértrice. Or l fmille G est minimle, donc G = B. Proposition (Crctéristion des bses). Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie. et soit F une fmille constituée d exctement dim K E vecteurs de E. Alors les trois propositions suivntes sont équivlentes. 317

318 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1. F est une bse de E. 2. F est une fmille génértrice de E. 3. F est une fmille libre de E. Il est clir que si F est une bse lors elle est libre et génértrice. Supposons que F est génértrice. Toute fmille génértrice ynt u moins dim E vecteurs, on ne peut enlever le moindre vecteur à F sns lui fire perdre son crctère générteur. Donc elle est génértrice minimle, c est donc une bse. De même, supposons que F est libre. Toute fmille libre ynt u plus dim E vecteurs, on ne peut jouter le moindre vecteur à F sns l rendre liée. Donc elle est libre mximle, donc c est une bse. Exemple Soient, b, c, d K deux à deux distincts et A = (X b)(x c)(x d), B = (X )(X c)(x d), C = (X )(X b)(x d), D = (X )(X b)(x c). Montrer que (A, B, C, D) est une bse de K 3 [X]. 1.5 Clssifiction en dimension finie Proposition Soit n N et E un K-espce vectoriel de dimension finie n. Alors E est isomorphe à K n. On dim E = n, donc on peut trouver une bse (e 1,..., e n) de E. Posons lors ϕ : K n E. (λ 1,..., λ n) λ k e k On peut lors remrquer que 1. ϕ est une ppliction linéire, k=1 2. ϕ est injective (cr l fmille (e 1,..., e n) est libre), 3. ϕ est surjective (cr l fmille (e 1,..., e n) est génértrice de E). L fonction ϕ est donc un isomorphisme de K n sur E. E et K n sont donc isomorphes. Proposition Soit E et F deux K-espces vectoriels. Supposons que E est de dimension finie. Alors E et F sont isomorphes si et seulement si F est ussi de dimension finie et dim E = dim F. Notons tout d bord n l dimension de E et choisissons (e 1,..., e n) une bse de E. Supposons E et F isomorphes. On peut lors trouver un isomorphisme ϕ de E sur F. (ϕ(e 1),..., ϕ(e n)) est lors une bse de F. Donc F est de dimension finie et dim F = n = dim E. Réciproquement, supposons que F soit de dimension finie, égle à celle de E. Alors d près l proposition E et F sont tous les deux isomorphes à K n, donc sont isomorphes. Corollire En prticulier, tout espce vectoriel E est de dimension finie n si et seulement si E est isomorphe à K n. Proposition Soit E un K-espce vectoriel. Notons L l ensemble des entiers n tels qu il existe u moins une fmille libre de E à n éléments. Alors ou bien E est de dimension finie et lors L = [[0, dim E ]. ou bien E n est ps de dimension finie et lors L = N. En prticulier, E est de dimension finie si et seulement si L est mjoré. Si E est de dimension finie, on nécessirement L [[0, dim E]]. Notons lors B une bse. B est une fmille libre à dim E élément et toute sous-fmille de B est encore libre. Donc [[0, dim E]] L. D où l églité. Supposons désormis que E n est ps de dimension finie. Montrons qu lors L n est ps mjoré. Pr l bsurde supposons que L possède un mjornt. Comme L est un ensemble d entier non vide (il contient 0), il dmet lors un mximum M. Soit lors F une fmille libre à M éléments. Si on rjoute un élément à F on 318

319 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE obtient une fmille à M + 1, or M + 1 / L donc cette sur-fmille ne peut être libre. Donc F est mximle, donc c est une bse de E, donc E est de dimension finie ce qui est bsurde. L n est donc ps mjoré, donc pour tout entier n il existe p L vérifint p n. On peut donc trouver une fmille libre à p éléments. Toute sous-fmille de cette fmille en est libre, en prennt une sous-fmille rbitrire à n élément, on voit donc qu on n L. Donc L N, donc L = N. 1.6 Exemples vncés Exemple Les solutions d une éqution différentielle linéire homogène du premier ordre forment un espce vectoriel de dimension 1. Les solutions d une éqution différentielle linéire homogène du second ordre à coefficients constnts forment un espce vectoriel de dimension 2. Proposition Soit E et F deux K-espces vectoriels de dimensions finies. Alors E F est de dimension finie et dim K (E F ) = dim K E + dim K F. Plus précisément, posons n = dim E et p = dim F et choisissons (e 1,..., e n ) une bse de E et (f 1,..., f p ) une bse de F. Alors (b i ) i [[1,n+p]] est une bse de E F, où { bi = (e i, 0 F ) pour i [[1, n], b n+i = (0 E, f i ) pour i [[1, p]. Un vecteur z E 1 E 2 s écrit de mnière unique (x, y) = (x, 0 F ) + (0 E, y). De plus, x (resp. y) s écrit de mnière unique comme combinison linéire des e i (resp. f i). L existence ssure l spect générteur de l fmille. L unicité ssure l iberté. Remrque Ce résultt ssure qu il existe un isomorphisme entre E F et K n+p. Donnons un tel isomorphisme. Dns le cs où E = K n et F = K p, on dispose de l isomorphisme évident ϕ : K n+p K n K p (x 1,..., x n+p ) ((x 1,..., x n ), (x 1,..., x p )) Dns le cs générl, il est ssez nturel églement : on peut utiliser cette remrque et l proposition On E = K n et F = K p, d où E F = K n K p = K n+p. Plus précisément, posons ψ : K n+p E ( F n (x 1,..., x n+p ) x k e k, k=1 Remrquons successivement : 1. ψ est linéire, ). p x n+k f k k=1 2. ψ est injective (les fmilles (e i ) i [[1,n] et (f i ) i [[1,p]] étnt libres), 3. ψ est surjective (les fmilles (e i ) i [[1,n] et (f i ) i [[1,p]] étnt génértrice). Donc E F est isomorphe à K n+p. En prticulier, d une prt dim E F = n + p et d utre prt l imge de l bse cnonique de K n+p est une bse de E F. Or cette imge n est utre que l fmille (b i ) i [[1,n+p] donnée dns l énoncé de l proposition. Proposition Soient E et F deux K-ev de dimension finie. Alors L (E, F ) est un K-ev de dimension finie, et dim L (E, F ) = dim E dim F. Soit n N et (e 1,..., e n) une bse de E. On considère ϕ : L (E, F ) F n. u (u(e k )) 1 k n Il est isé de vérifier que ϕ est linéire. En se souvennt que pour toute fmille f 1,..., f n de F il existe une unique ppliction linéire u L (E, F ) tel que pour tout k 1, n, u(e k ) = f k, on constte que ϕ est bijective. Pr conséquent L (E, F ) et F n sont isomorphes, ils ont donc même dimension. En utilisnt l proposition et une récurrence sns difficulté, F n pour dimension n dim F = dim E dim F, d où le résultt.. 319

320 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 2 Sous-espces vectoriels en dimension finie 2.1 Dimension d un sous-espce vectoriel Proposition Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie et F un sous-espce vectoriel de E. Alors F est de dimension finie et dim F dim E. De plus dim F = dim E si et seulement si F = E. Toute fmille libre de F est une fmille libre d éléments de E et donc un nombre d élément mjoré pr dim E. Donc d près l proposition 1.5.4, F est de dimension finie, et dim F dim E. En outre on trivilement F = E dim F = dim E. Réciproquement, supposons dim F = dim E et montrons F = E. Alors on peut trouver une bse B de F comportnt dim E éléments. On Vect (B) = F. En outre, B est une fmille libre de F donc de E or elle comporte dim E éléments, donc d près 1.4.8, c est une fmille génértrice de E, donc Vect (B) = E. On donc F = E. Définition Soit E un K-espce vectoriel (non nécessirement de dimension fini). Soit n N et (x 1,..., x n ) une fmille de n vecteurs. On ppelle rng de l fmille (x 1,..., x n ) et on note rg (x 1,..., x n ) l dimension de l espce vectoriel qu ils engendrent : rg (x 1,..., x n ) = dim Vect (x 1,..., x n ). Remrque Vect (x 1,..., x n ) étnt engendré pr l fmille de n vecteurs (x i ) i [[1,n]], il s git d un espce vectoriel de dimension finie, et s dimension est u plus n. Donc le rng de (x i ) i [[1,n]] est bien défini et rg (x 1,..., x n ) n. De mnière directe, ce rng vut n si et seulement si l fmille est libre. De plus, (x i ) i [[1,n]] est génértrice si et seulement si E est de dimension finie et (x i ) i [[1,n]] est de rng dim E. De plus, si E est de dimension finie p, lors rg(x 1,..., x n ) p. 2.2 Existence de supplémentires Théorème (Existence de supplémentires). Soit E un K-espce vectoriel et F un sous-espce vectoriel de E. Alors F dmet un supplémentire S dns E. Remrque Ce théorème est vri pour tout espce vectoriel E et non seulement pour ceux de dimension finie. Nous nous contenterons de donner l démonstrtion dns le cs de l dimension finie, mis l générlistion ux cs infini est reltivement immédite. Supposons que E soit de dimension finie. Alors, on peut choisir une bse (b 1,..., b p) de F où p = dim F. Cette bse de F est une fmille libre de vecteurs de F, donc de E. On peut donc l compléter en une fmille (b 1,..., b n) de E, vec n = dim E p. Posons lors S = Vect (b p+1,..., b n). L fmille (b p+1,..., b n), sous-fmille d une bse de E, est une fmille libre. De plus, elle est génértrice de S, donc c est une bse de S. On donc trouvé une bse de F et une bse de S dont l réunion est une bse de E. F et S sont donc supplémentires. Ne prlez jmis du supplémentire : en effet tout sev dmet en fit une infinité de supplémentires! Regrdez l exercice suivnt pour vous convincre que dns l démonstrtion précédente, il existe une infinité de choix pour compléter une fmille libre en une bse, ce qui mène à une infinité de supplémentires à un sev, sns rien supposer sur l espce vectoriel de déprt. Exercice Soit F et G deux sous-espces supplémentires d un K-ev E. Soit x un vecteur non nul de F et (y 1, y 2,..., y p ) une bse de G. 1. Montrer que les vecteurs x+y 1, x+y 2,..., x+ y p engendrent un sous-espce supplémentire 320

321 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE de F, noté G x. 2. Montrer que si x, x F tel que x x lors G x G x. En déduire que F dmet une infinité de sous-espces supplémentires distincts (suf dns des cs triviux : lesquels?) Exemple Déterminer un supplémentire de F = Vect ((1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 3)) dns R Dimension d une somme de sousespces vectoriels Proposition (Formule de Grssmnn). Soit E un K-espce vectoriel. Soit F et G deux sous-espces de dimensions finies de E. Alors F + G est de dimension finie et dim (F + G) = dim F + dim G dim (F G). En prticulier dim (F + G) dim F + dim G et l églité lieu si et seulement si F et G sont en somme directe. 1. Montrons tout d bord le résultt dns le cs où l somme F + G est directe : On peut lors choisir une bse de F et une bse de G, elles ont respectivement dim F et dim G éléments. Leur réunion possède donc dim F + dim G éléments et est une bse de F G. Donc F G est de dimension finie et dim (F G) = dim F + dim G (c est bien un cs prticulier cr lors dim (F G) = dim { 0 } = 0). 2. Montrons mintennt le résultt dns le cs générl. Remrquons tout d bord que F G est un sousespce vectoriel de F qui est de dimension finie. Donc F G possède un supplémentire S dns F et dim F = dim (F G) + dim S, d où De plus dim S = dim F dim (F G) S G = (S F ) G = S (F G) = { 0 }. Comme F G G, on F +G = (S +(F G))+G = S + G, donc S et G sont supplémentires dns F + G. Donc F + G est de dimension finie et dim (F + G) = dim S + dim G, dim (F + G) = dim F dim (F G) + dim G. Exercice Soit P 1 et P 2 deux plns distincts de R 3 (sev de dimension 2). Montrer que P 1 + P 2 = R 3. Que peut-on dire de P 1 P 2? Proposition Soit E un K-espce vectoriel et F et G deux sousespces vectoriels de dimensions finies. Alors si F et G sont supplémentires, les trois propositions suivntes sont vries : 1. F G = { 0 }, 2. F + G = E, 3. dim E < + et dim F + dim G = dim E. Réciproquement il suffit que deux de ces propositions soient vries pour que F et G soient supplémentires. Pour le sens direct, les deux premières propositions sont des conséquences connues, l troisième est l conséquence de l formule de Grssmnn. Pour le sens réciproque, étudions les différentes possibilités : 1. Supposons 1 et 2. Alors F et G sont supplémentires dns E. 2. Supposons 1 et 3. Alors dim (F + G) = dim F + dim G dim (F G) = dim F + dim G = dim E. Or F + G est un sous-espce vectoriel de E donc F + G = E. Donc F et G sont supplémentires. 3. Supposons 2 et 3. Alors dim E = dim F + dim G dim (F G) et dim E = dim F + dim G. Ainsi, dim (F G) = 0, et donc F G = { 0 }. F et G sont donc supplémentires. 321

322 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Corollire Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie et F un sous-espce vectoriel de E. Alors tous les supplémentires de F ont même dimension : dim E dim F. On F k dim F k + dim F n+1 n+1 dim k=1 et dim k=1 F k k=1 dim F k. k=1 E est de dimension finie donc F et tous ses supplémentires églement. D près ce qui précède tout supplémentire S de F vérifie dim F + dim S = dim E, donc dim S = dim E dim F. Exemple Regrder tous ces points de vue dns R 3 vec P = { (x, y, z) R 3 x y + z = 0 } et D = Vect((1, 1, 1)). Proposition Soit n N et F 1,..., F n, n sous-espces vectoriels de dimension finie. Alors dim F k k=1 dim F k k=1 et on l églité si et seulement si l somme des F k pour k = 1,..., n est directe. L inéglité se déduit directement de l formule de Grssmnn pr récurrence. Montrons le cs de l églité. Notons, pour n N, P (n) l ssertion «Toute fmille F 1,..., F n de sous-espces vectoriels de dimension finie vérifint dim F k = k=1 dim F k k=1 est en somme directe» et montrons n N P (n). Montrons P (2) (on pourrit en fit montrer P (0) ou P (1), le plus long est de comprendre ce que dit l énoncé dns ce cs). Soit F 1 et F 2 deux sous-espces vectoriels de dimension finie vérifint dim (F 1 + F 2) = dim F 1 + dim F 2. On déjà vu qu lors, F 1 et F 2 sont en somme directe. Montrons n N P (n) P (n + 1). Soit n N. Supposons P (n) et montrons P (n + 1). Soit F 1,..., F n+1 des sous-espces vectoriels de dimension finie vérifint n+1 n+1 dim F k = dim F k. (XXI.1) k=1 k=1 Si l une u moins de ces inéglités étit stricte, on ne pourrit voir l églité (XXI.1). On donc dim F k = k=1 dim F k. k=1 D près l hypothèse de récurrence, les F k pour k [[1, n]] sont en somme directe. De plus ( n ) n dim F k + F n+1 = dim F k + dim F n+1, k=1 k=1 donc n F k=1 k et F n+1 sont en somme directe, donc F 1,..., F n+1 sont en somme directe. On donc P (n + 1). On donc n N P (n). 3 Applictions linéires en dimension finie 3.1 Expression d une ppliction linéire en dimension finie Proposition Soit E et F deux K-espces vectoriels de dimensions finies respectives n et p et soit ϕ L (E, F ). Soit lors E = (e 1,..., e n ) une bse de E et F = (f 1,..., f p ) une bse de F. Pour k [[1, n]], notons 1k,..., pk les coordonnées de ϕ(e k ) dns l bse F. Soit u E. Notons x 1,..., x n ses coordonnées dns l bse E, et y 1,..., y p les coordonnées de ϕ(u) dns l bse F. Alors, pour tout i [[1, p], on y i = ik x k. k=1 322

323 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE On : ( ) ϕ(u) = ϕ x k e k = = = k=1 x k ϕ(e k ) k=1 ( k=1 x k ) p ik f i i=1 ( p x k ik )f i. i=1 k=1 Pour tout i [[1, p]], l i e coordonnée de ϕ(u) est donc ik x k. k=1 Remrque On sit pr illeurs que pour tout choix d une fmille de sclires ( ij ) (i,j) [[1,p]] [[1,n]], il existe une ppliction ϕ L (E, F ) telle que pour tout k [[1, n], les coordonnées de ϕ(e k ) dns l bse F soient 1k,..., pk. 3.2 Théorème du rng Proposition Soit E et F deux K-espces vectoriels et u L (E, F ). Supposons qu il existe un supplémentire S de Ker u dns E. Alors u rélise un isomorphisme de S sur Im u (ou, si l on préfère, u Im u S : S Im u est un isomorphisme). Notons ϕ l restriction de u à S u déprt et à Im u à l rrivée. Il est clir que ϕ est bien définie et que c est une ppliction linéire de S dns Im u. Montrons que ϕ est surjective. Soit y Im u. Montrons qu il existe s S vérifint ϕ(s) = y. Pour cel, remrquons tout d bord qu il existe x E vérifint u(x) = y. Comme S et Ker u sont supplémentires dns E, il existe s S et k Ker u vérifint x = s + k. On lors u(x) = u(s) + u(k) = u(s) + 0. Donc ϕ(s) = u(s) = y. ϕ est donc surjective. Montrons que ϕ est injective. Pour cel, il suffit de montrer Ker ϕ { 0 }. Soit k Ker ϕ. On ϕ(k) = 0, donc u(k) = 0, donc k Ker u. Or k S, donc k Ker u S. Or Ker u et S sont supplémentires, donc k = 0. Ainsi, ϕ est injective. Finlement, ϕ est donc bijective. Remrque Ce théorème est fondmentl pour comprendre comment «fonctionne» une ppliction linéire. De nombreuses questions (dont des exercices) se résolvent isément grâce à lui ou grâce ux idées contenues dns s démonstrtion. Théorème (Théorème du rng). Soit E et F deux K-espces vectoriels, vec E de dimension finie et u L (E, F ). Alors Im u est de dimension finie et dim Im u = dim E dim Ker u. L dimension de Im u est ppelée rng de l ppliction linéire u et notée rg u. On sit que Ker u possède un supplémentire S dns E. On donc dim S + dim Ker u = dim E. De plus S et Im u sont isomorphes d près 3.2.1, donc dim S = dim Im u. On en déduit imméditement le résultt. Exemple Le rng d une forme linéire non nulle vut 1, celui d une forme linéire nulle vut 0. Clculer de deux mnières le rng de l ppliction u : R 3 R 3 x. 2x y y x + z z x y z Corollire Soient E et F deux K-ev de dimension finie, et u L (E, F ). Alors, (i) u est surjective si et seulement si rg u = dim F ; (ii) u est injective si et seulement si rg u = dim E. 323

324 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Corollire Soit E un K-espce vectoriel et u G L (E). Alors, pour tout sous-espce vectoriel F de E, si F est de dimension finie, u(f ) l est églement et dim u(f ) = dim F. Notons u F l restriction de u u déprt à F. Autrement dit, notons u F l ppliction de F dns E, x u(x). Alors Im u F est de dimension finie et dim Im u F = dim F dim Ker u F. Or Ker u F Ker u = { 0 } et Im u F = u(f ). On en déduit le résultt. Corollire Soient E et F deux K-ev de dimension fine, et u L (E, F ). Alors rg u min(dim E, dim F ). En prticulier : si dim E < dim F, u ne peut être surjective ; si dim E > dim F, u ne peut être injective. Théorème (d invrince du rng). Soit E et F deux espces vectoriels vec E de dimension finie. Soit u L (E, F ). Alors : (i) soit v G L (F ), lors rg(v u) = rg u ; (ii) soit w G L (E), lors rg(u w) = rg u. (i) Il suffit de remrquer Im(v u) = v(im u). E étnt de dimension finie, Im u ussi. Or v G L (F ), donc v(im u) est de dimension finie égle à celle de Im u, donc à rg u. (ii) Il suffit de remrquer Im(u w) = u(w(e)) = u(e) = Im u. Remrque Pour le point (i) l injectivité de v suffit, tndis que pour le point (ii), l surjectivité de w suffit. Proposition (Crctéristion des isomorphismes). Soit E et F deux K-espces vectoriels de dimension finie. Soit ϕ L (E, F ). Alors si ϕ est un isomorphisme, on les trois propriétés suivntes : 1. ϕ est injective, 2. ϕ est surjective, 3. dim E = dim F. Réciproquement, il suffit que deux de ces trois propositions soient vries pour que u soit un isomorphisme. On déjà montré que si ϕ étit un isomorphisme les trois propositions étient vries. Montrons que si deux sont vries, lors l utre l est ussi. D près le théorème du rng, dim Im ϕ = dim E dim Ker ϕ. Pr illeurs, on sit que ϕ est injective si et seulement si son noyu est de dimension 0 et que ϕ est surjective si et seulement si Im ϕ est de dimension dim F. On peut lors remrquer : que si les deux premières propriétés sont vries, lors ϕ est un isomorphisme ; que si ϕ est injective et dim E = dim F, lors dim Im ϕ = dim E = dim F, donc ϕ est surjective donc bijective. que si ϕ est surjective et dim E = dim F, lors dim Ker ϕ = dim E dim Im ϕ = dim E dim F = 0, donc ϕ est injective donc bijective. Exemple Soit n N, x 0,..., x n K des sclires tous distincts et ϕ : K n [X] K n+1. P (P (x 0 ),..., P (x n )) Alors ϕ est un isomorphisme. ϕ est isément linéire, et l églité dim K n [X] = n + 1 = dim K n+1 ssure qu il suffit de montrer l injectivité OU l surjectivité de ϕ, mis ps les deux. Il s git de fire le bon choix : l injectivité se démontre sns peine en utilisnt qu un polynôme de degré u plus n ynt (n + 1) rcines distinctes ne peut être que le polynôme nul. L surjectivité qunt à elle peut se démontrer en utilisnt les polynômes de Lgrnge, ce qui est nettement moins immédit. Le résultt précédent s exprime simplement dns le cs des endomorphismes. 324

325 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Corollire (Éléments inversibles de L (E)). Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie. Soit ϕ L (E). Alors les trois propositions suivntes sont équivlentes : 1. ϕ est injective, 2. ϕ est surjective, 3. ϕ est bijective. 4 Formes linéires et hyperplns Donnons une première définition générle : Définition Soit E un K-espce vectoriel. On ppelle droite vectorielle de E tout sous-espce vectoriel de dimension 1 et hyperpln de E tout sous-espce vectoriel de E dmettnt une droite pour supplémentire. Corollire Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie. Soit ϕ un élément de l nneu (L (E), +, ). Alors les trois propositions suivntes sont équivlentes : 1. ϕ est inversible à guche, 2. ϕ est inversible à droite, 3. ϕ est inversible. Dns le cs des espces vectoriels de dimension finie, cette définition se récrit : Définition Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie n. On ppelle hyperpln de E tout sous-espce vectoriel de dimension n 1. L hypothèse de dimension finie est indispensble. Considérer pr exemple les pplictions où p : N N { n ϕ : R N R N (u n ) n N (u n+1 ) n N ψ : R N R N (u n ) n N (u p(n) ) n N 0 si n = 0, n 1 si n 0. Remrque De l même mnière que le corollire , on peut montrer que si E et F sont deux K-espces vectoriels de dimension finie tels que dim E = dim F, et si ϕ est un élément de L (E, F ), lors les trois propositions suivntes sont équivlentes : 1. il existe ψ L (F, E) telle que ψ ϕ = Id E, 2. il existe χ L (F, E) telle que ϕ χ = Id F, 3. ϕ est bijective. Exemple Les droites vectorielles sont les hyperplns de R 2. Les plns vectoriels sont les hyperplns de R 3. L espce est un hyperpln de l espce-temps. K n [X] est un hyperpln de K n+1 [X]. K n peut être vu comme un hyperpln de K n+1, si l on considère que K n est isomorphe à K n {0}, qui est un hyperpln de K n+1. Proposition Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie et H un hyperpln de E. Alors toute droite vectorielle D non contenue dns H est supplémentire de H dns E. Soit D une droite vectorielle non contenue dns H. Alors D H est strictement inclus dns D, donc dim D H < dim D = 1, donc D H = { 0 }, donc D et H sont en somme directe. De plus dim D + dim H = dim E. Donc D et H sont supplémentires. 325

326 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Proposition Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie et F E. Alors F est un hyperpln de E si et seulement si c est le noyu d une forme linéire non nulle. Notons n l dimension de E. Supposons que F est un hyperpln. Soit lors S un supplémentire de F dns E. F est de dimension n 1 donc S est une droite vectorielle. Soit e un vecteur directeur de S. Tout élément de x de E s écrit donc de fçon unique sous l forme f + λe, où f F et λ K. Notons u(x) ce sclire λ. u est une ppliction linéire de E dns F. Elle est non nulle cr u(e) 0. De plus, pour tout x E, on x Ker u si et seulement si x s écrit sous l forme f + 0e, où f F. Donc Ker u = F. Réciproquement soit u une forme linéire non nulle. Alors Im u = K, donc dim Im u = 1, donc d près le théorème du rng, dim ker u = dim E 1. Donc ker u est un hyperpln. Remrque Soit H un hyperpln d un espce vectoriel E et soit e un vecteur non nul n pprtennt ps à H. Alors pour toute forme linéire u de noyu H, on u = λϕ, où λ = u(e) et ϕ est l ppliction ssocint α à tout vecteur de l forme h + αe. Posons D = Vect(e). L ppliction ϕ est bien définie cr E = H D et elle est linéire. Soit u L (E, K) vérifint Ker u = H. Alors soit x E. x s écrit sous l forme h + αe et on u(x) = u(h) + αu(e) = 0 + αλ = λϕ(x). Donc x Eu(x) = λϕ(x). Donc u = λϕ. De plus, λ 0 (sinon ker u = E H). Proposition Soit E un K-espce vectoriel de dimension finie n. Soit (e 1,..., e n ) une bse de E. Soit H un hyperpln de E. Alors les éléments de H sont les points dont les coordonnées (x 1,..., x n ) sont les solutions d une éqution de l forme 1 x n x n = 0, où 1,..., n sont des sclires fixés non tous nuls. Réciproquement, toute éqution de cette forme est celle d un hyperpln. De plus pour un même hyperpln, les coefficients 1,..., n sont uniques à multipliction près pr un sclire non nul. Soit H un hyperpln de E. Alors d près , il existe une ppliction linéire ϕ dont H est le noyu. Or d près 3.1.1, pour tout élément x E, l vleur de ϕ(x) (qui est l coordonnée de ϕ(x) dns l bse cnonique de K) s exprime sous l forme 1x nx n. Ker ϕ est donc l ensemble des points dont les coordonnées vérifient 1x nx n = 0. Réciproquement, pour tout n-uplet de sclires ( 1,..., n) non tous nuls, l ppliction ϕ qui à tout vecteur de E de coordonnées (x 1,..., x n) ssocie 1x nx n est une forme linéire, à l évidence non nulle (considérer le vecteur de E dont toutes les coordonnées sont nulles, exceptées l i e, où i [[1, n]] est tel que i 0), les points dont les coordonnées sont solutions de l éqution 1x nx n = 0 sont donc les éléments du noyu de Ker ϕ, qui est un hyperpln. De plus d près l remrque précédente, deux formes linéires ynt le même noyu sont proportionnelles, d où l remrque sur l unicité à un fcteur multiplictif près. Lemme Soit H un hyperpln d un espce vectoriel E de dimension finie n. Soit F un sous-espce vectoriel de E de dimension p. Alors H F est de dimension p 1 ou p. Si H F = F, le résultt est évident. Sinon, considérons un supplémentire S de H F dns F. H F F, donc dim S 1. On S F, donc S H = (S F ) H = S (H F ) = { 0 }. Donc S et H sont en somme directe, donc dim H S n = n. Donc H S = E, donc dim S = n (n 1) = 1, donc dim H F = dim F dim S = p 1. Proposition Soit H 1,..., H m m hyperplns d un espce vectoriel E de dimension finie n. Alors m k=1 H k est de dimension u moins n m. Réciproquement soit F un sous-espce vectoriel de dimension n m d un espce vectoriel de E de dimension finie n, où m N. Alors F est l intersection de m hyperplns. 326

327 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Le premier point se démontre pr une récurrence immédite en utilisnt le lemme Pour l réciproque, considérons un supplémentire S de F dns E. Alors dim S = m. Choisissons une bse (e 1,..., e m) de S. Notons p l projection sur S prllèlement à F. Pour tout k [[1, m], notons f k l forme linéire qui à x E ssocie l k e coordonnée de p(x). Soit x E. On x F si et seulement si x Ker p si et seulement si pour tout k [[1, m]], f k (x) = 0 si et seulement si x m k=1 Ker f k. Donc on F = m Ker f k k=1 Donc F est l intersection de m hyperplns. 327

328 CHAPITRE XXI. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 328

329 Chpitre XXII Probbilités sur un univers fini 1 Événements, probbilités Expérience létoire et univers Introduction b Univers, événements c Système complet d événements Espces probbilisés finis Définition b Probbilité uniforme c Propriétés élémentires d Détermintion pr les imges des singletons Probbilités conditionnelles Définition b Probbilités composées, probbilités totles c Formule de Byes Événements indépendnts Couple d événements indépendnts 311 b Fmille finie d événements mutuellement indépendnts Vribles létoires Définitions Loi d une vrible létoire Loi usuelles Loi uniforme b Loi de Bernoulli c Loi binomile Couples de vribles létoires Vribles létoires indépendntes Espérnce Vrince, écrt type et covrince

330 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI L théorie des probbilités cherche à modéliser des phénomènes fisnt intervenir le hsrd. Puisqu il s git d une modélistion, il conviendr, pour chque définition que nous llons donner, d une prt d pprendre s définition mthémtique et d utre prt de comprendre en quoi cette définition modélise un phénomène létoire. 1 Événements, probbilités 1.1 Expérience létoire et univers Introduction On prler d expérience létoire pour modéliser un processus dont le résultt est incertin. Exemple : tirge u sort d une boule dns une urne, tirge à pile ou fce vec une pièce de monnie, lncer d un ou plusieurs dés, choix u hsrd d une personne dns l popultion frnçise, tirge de trois crtes à jouer u hsrd dns un pquet, etc. On ppeller générlement univers des possibles ou univers, l ensemble des résultts possibles d une expérience létoire. Cet univers dépend bien évidemment de l modélistion choisie : pr exemple pour un tirge à pile ou fce, on peut modéliser l univers comme étnt l ensemble { pile, fce } ou comme { pile, fce, trnche }. Il rrive prfois qu on s intéresse à une expérience létoire donnnt plusieurs résultts. Pr exemple, si on tire une crte à jouer dns un jeu, on peut s intéresser à l couleur de l crte, uquel cs on considérer l univers Ω 1 = {,,, } ou à s vleur, uquel cs on s intéresser à l univers Ω 2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Vlet, Dme, Roi }. Si on s intéresse ux deux simultnément, on prendr plutôt comme univers Ω = Ω 1 Ω 2. De mnière générle, on prendr pour univers un ensemble nous permettnt de représenter simultnément tous les résultts qui nous intéresseront. Sur l exemple précédent, on peut s intéresser à l événement qui consiste à tirer une crte rouge et de vleur trois ou qutre. Cet événement est modélisé comme une prtie de Ω, en l espèce l prtie { (, 3), (, 4), (, 3), (, 4) }. Dns toute l suite de ce chpitre, on utiliser souvent des expériences imgées : tirges de dés, de boules dns une urne etc. On dopter les conventions suivntes, suf mention du contrire : les dés sont équilibrés, à six fces ; les urnes sont opques, les boules sont indiscernbles u toucher et, si une urne contient n boules, ces dernières sont numérotées de 1 à n ; les jeux de crtes sont prfitement mélngés. b Univers, événements Définition (Univers). On ppelle univers un ensemble non vide Ω. Cette nnée, on se limiter u cs où Ω est fini. Dns ce cs 1, on ppelle événement toute prtie de l univers, c est-à-dire tout élément de P(Ω) et on ppelle événement élémentire ou éventulité les événements singletons, c est-à-dire de l forme { ω }, pour ω Ω (selon le contexte, le terme événement élémentire peut prfois désigner les éléments de Ω et non les singletons). Un événement est dit impossible s il désigne l prtie vide ( ) et certin s il désigne l prtie pleine (Ω). Étnt donnés deux événements A et B, on définit l événement contrire de A : Ω \ A, noté Ā. l événement «A et B» (conjonction de A et B) : A B. l événement «A ou B» (disjonction de A et B) : A B. On dit que A et B sont incomptibles si A B =, utrement dit si leur conjonction est impossible. On dit que des événements A 1,..., A n sont mutuellement incomptibles si leur conjonction est impossible. On dit qu ils sont deux à deux incomptibles si pour tout i et j, i j implique A i et A j incomptibles. Dns ce dernier cs, on dit que leur union A 1... A n est une union disjointe. 330

331 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Remrque L incomptibilité deux à deux de n événements (vec n 2) implique l incomptibilité mutuelle mis l réciproque est fusse. Considérons pr exemple Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } l univers des résultts d un tirge d un dé à six fces. Alors les trois événements «le résultt est pir», «le résultt est divisible pr 3» et «le résultt est un nombre premier» ne sont ps deux à deux incomptibles mis sont mutuellement incomptibles. Remrque Dns le cs où Ω n est ps fini ni dénombrble, modéliser les événements pr les éléments de P(Ω) pose des problèmes techniques. Pour les résoudre, on impose ux événements d être des élément d un sous-ensemble T de P(Ω), cet ensemble T devnt former ce qu on ppelle une tribu. Dns le cs fini ou dénombrble, P(Ω) est une tribu. Exemple Pour modéliser les tirges successifs, sns remise, de deux boules dns une urne contennt n boules numérotées de 1 à n, on peut utiliser l univers 1, n 2. Ici, l événement {(i, k)} modélise «on tire d bord l boule i, puis l boule k» Les événements du type {(i, i)} n ont ps d interpréttion dns notre modèle. Ce n est ps grve : on leur ttribuer plus trd une probbilité nulle. Exemple Pour l exemple du tirge d une crte donné plus hut, l fmille (A 1, A 2, A 3 ), où A 1 est l événement «l crte tirée est rouge», A 2 l événement «l crte tirée est un sept noir» et A 3 l événement «l crte tirée est noire mis n est ps un sept» constitue un système complet d événements. Remrque L notion de système complet d événements est très proche de celle de prtition. Les différences sont les suivntes : 1. un système complet d événements est une fmille de prties de Ω lors qu une prtition est un ensemble de prties de Ω ; 2. l notion de système complet d événements ne s utilise qu en probbilités ; 3. rien dns l définition de système complet d événements n impose ux A i d être non vides. Proposition Soit (A i ) i I un système complet d événements sur un univers Ω, soit B un événement. Alors, B peut s écrire comme l union suivnte : B = i I B A i c Système complet d événements et cette union est une union disjointe (les (B A i ) i I sont deux à deux incomptibles). Définition On dit qu une fmille (A i ) i I d événements dns un univers Ω est un système complet d événements si ces événements sont deux à deux incomptibles et que leur union (disjointe) est certine : Ω = A i. i I Exemple Si A est un événement, complet d événements. { } A, A est un système 1. Dns le cs infini, l définition est un peu plus subtile. L cs dénombrble ser trité en seconde nnée. Montrons tout d bord que B est inclus dns cette réunion. Soit b B. On b Ω et l réunion des A i pour i I est égle à Ω, donc il existe un i 0 I vérifint b A i0. On lors b B A i0. On donc b B A i i I Ce qui montre cette première inclusion. L inclusion réciproque est immédite : pour tout i I, on B A i B, donc B A i B i I On donc l églité voulue. 331

332 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI On peut ussi montrer cel pr clcul sur les ensembles : pr l reltion de De Morgn, B = B Ω = B A i = B A i. i I Le fit que l union soit disjointe est immédit : soit (i, j) [[1, n] 2 vérifint i j. Alors (B A i) (B A j) A i A j =. i I 1.2 Espces probbilisés finis Définition À tout événement, on veut ssocier s probbilité, qui modélise l «probbilité de rélistion» de cet événement lors de l rélistion de cette expérience létoire. Mis que veut dire cette phrse? On peut le voir comme l fréquence de l rélistion de cet événement u bout d un «grnd» nombre de répétitions «indépendntes» de cette expérience. L loi des grnds nombres (s version fible dns le cs dénombrble ser vue en seconde nnée) justifie l consistnce de l définition suivnte vec son interpréttion concrète. Définition Une probbilité (ou mesure de probbilité) sur un univers fini Ω est une ppliction P de P(Ω) dns R vérifint les trois propriétés suivntes : 1. Pour tout événement A, 0 P (A) P (Ω) = Pour tout couple (A, B) d événements, si A et B sont incomptibles lors P (A B) = P (A) + P (B). Un espce probbilisé fini est un couple (Ω, P ), où Ω est un univers fini et P une probbilité. Pour tout événement A d un espce probbilisé (Ω, P ), l vleur P (A) est ppelée probbilité de l événement A. On dit qu un événement A est presque sûr (ou qusi certin) si P (A) = 1 et est négligeble (ou qusi impossible) si P (A) = 0. des événements et on donne u troisième xiome une forme plus générle. Comme on ne verr cette nnée que le cs fini, on s utoriser à omettre l précision «fini» qund on prler d espces probbilisés. 2. L intérêt de l notion de qusi certitude ou qusi impossibilité n est ps évidente qund il s git de probbilités sur un univers fini. Donnons un exemple intuitif dns le cs d un univers infini : si on tire un réel u hsrd dns [0, 1], il n est ps impossible d obtenir exctement le réel 1/3 mis l probbilité de cet événement est nulle (l probbilité d obtenir un réel situé dns un intervlle donné est proportionnelle u dimètre de cet intervlle). C est donc un événement qusi-impossible mis non impossible. 3. Il est importnt de retenir que l notion de qusi impossibilité ne veut ps dire «probbilité fible». Un physicien dirit qu un événement de probbilité est impossible (le nombre d tomes dns l univers est de l ordre de ) mis pour un mthémticien, un tel événement n est même ps un événement qusi impossible. Définition Un prédict défini sur Ω vri sur un événement de probbilité 1 ser dit «presque-sûr». Exemple Reprenons l exemple?? : on tire successivement, sns remise, deux boules dns une urne contennt n 2 boules numérotées de 1 à n. Il est prtique de considérer comme univers Ω = 1, n 2. On prend lors une probbilité P telle que l événement { (i, i) 1 i n } est négligeble. Sur cet univers, presque-sûrement on ur «i k» pour 1 i, k n. Remrque Dns le cs où l univers est infini, il fut dpter un peu l définition : l ensemble de déprt de P est lors l tribu b Probbilité uniforme 332

333 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Définition (probbilité uniforme). Soit Ω un univers fini. L ppliction P : P(Ω) R A Crd A Crd Ω est une probbilité, ppelée probbilité uniforme. Remrquons que Ω est un ensemble fini, donc ses prties sont finies églement donc ont des crdinux entiers. Comme de plus Ω, son crdinl est non nul, donc on peut diviser pr Crd Ω. P est donc bien définie sur P(Ω). Pour montrer que P est une probbilité, il suffit de vérifier les trois propriétés de l définition : 1. Soit A P(Ω), lors 0 Crd A Crd(Ω) donc 0 P (A) On bien P (Ω) = Soit (A, B) deux événements incomptibles. Alors A B = donc Crd(A B) = Crd A + Crd B, donc P (A B) = P (A) + P (B). Remrque Cette probbilité modélise souvent l expression «u hsrd», prise dns son ccepttion cournte (tirer une boule u hsrd dns une urne, etc.). Exemple Continuons l exemple?? : l probbilité que l on considérer sur Ω n est ps uniforme, mis s restriction à { (i, k) 1 i, k n et i k } le ser. c Propriétés élémentires Proposition Soit (Ω, P ) un espce probbilisé. Soit A et B deux événements. Alors on 1. P ( ) = 0 ; 2. A B P (A) P (B) ; 3. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ; 4. P (A) = 1 P (Ā). 1. = donc P ( ) = P ( ) + P ( ) = 0, d où le résultt. 2. Supposons A B. Alors B = A (B \ A). De plus, A et B \ A sont incomptibles, donc P (B) = P (A) + P (B \ A) P (A). 3. On A B = A (B \ A B) et B \ A B et A sont incomptibles, donc P (A B) = P (A)+P (B\(A B)). Or B = (B \ (A B)) (A B) et B \ (A B) et A B sont incomptibles, donc P (B) = P (B \ (A B)) + P (A B). On en déduit le résultt. 4. Ω = A Ā et A et Ā sont incomptibles, donc 1 = P (Ω) = P (A) + P (Ā) d où le résultt. Remrque L formule donnée en?? se générlise en l formule du crible de Poincré, comme pour le crdinl : pour des événements A 1,..., A n : ( n ) P A i = ( 1) k P (A i1 A ik ). i=1 1 i 1 < <i k n k=1 Proposition Soit (Ω, P ) un espce probbilisé. Soit n N et A 1,..., A n des événements deux à deux incomptibles. Alors l probbilité de leur union (ppelée union disjointe) est l somme de leurs probbilités : ( n ) P A i = P (A i ). i=1 i=1 Pour k [[0, n]], notons E(k) l proposition ( k ) k P A i = P (A i) i=1 i=1 Montrons k ([[0, n]] E(k) pr récurrence : 0 ) 0 On P A i = P ( ) = 0 = P (A i). i=1 i=1 Montrons k [[0, n 1]] P (k) P (k + 1). Soit k [[0, n 1]] vérifint P (k). Alors, comme les événements A i pour i [[1, n]] sont deux à deux incomptibles, on i 1, k A i A k+1 =. Donc ( k ) A i A k+1 = i=1 On donc (( k ) ) ( k ) P A i A k+1 = P A i + P (A k+1 ) i=1 i=1 333

334 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Or on E(k), donc ( k+1 ) ( k ) P A i = P (A i) + P (A k+1 ) i=1 On donc E(k + 1). On donc k [[0, n]] E(k). i=1 Proposition (Formule des probbilités totles, première forme). Soit (Ω, P ) un espce probbilisé, n N, (A i ) i [[1,n] un système complet d événements et B un événement. Alors P (B) = P (A i B). i=1 D près l proposition 1.1.9, on B = n A i B. i=1 et cette union est une union disjointe. Donc d près l proposition 1.2.7, on le résultt. d Détermintion pr les imges des singletons Dns cette prtie, on considère un univers fini Ω = {ω 1,..., ω n } de crdinl n N. Proposition Soit P une probbilité sur Ω. Alors pour tout événement A, on P (A) = ω A P ({ ω }). (XXII.1) Il suffit de remrquer que pour tout événement A, A est l union disjointe des { ω } pour ω A et d utiliser l proposition Corollire En prticulier, des réels p 1,..., p n étnt donnés, il existe u plus une probbilité sur Ω vérifint i [[1, n] P ({ ω i }) = p i. En effet, considérons deux probbilités P 1 et P 2 vérifint cette condition. Alors, d près l proposition, pour tout événement A, P 1(A) = P 2(A). Remrque Remrquons que pour qu une probbilité vérifint cette condition existe, il est nécessire que les p i soit tous positifs ou nuls (cr ce sont des probbilités) et que leur somme soit égle à 1 (cr d près l églité (XXII.1) c est l probbilité de Ω). L proposition suivnte montre que ces deux conditions sont suffisntes. Proposition Soit p 1,..., p n, n réels positifs ou nuls de somme égle à 1. Alors il existe une (unique) fonction P de probbilité sur Ω telle que pour tout i [[1, n], on P ({ ω i }) = p i. On déjà vu l unicité sous réserve d existence. Montrons l existence. Notons P l ppliction de P(Ω) dns R qui à tout événement A ssocie P (A) = i 1,n,ω i A Il est clir que pour tout i [[1, n]], on P ({ ω i }) = p i. Montrons que P est une probbilité sur Ω. 1. Soit A un événement. Les p i pour i [[1, n]] étnt positifs ou nuls, on pour tout A, P (A) 0. De plus, P (A) est inférieur ou égl à l somme des p i, qui vut 1, donc 0 P (A) On P (Ω) = p i = 1. i=1 3. Pour tout couple (A, B) d événements incomptibles, comme { i 1, n ω i A B } et l réunion disjointe de { i 1, n ω i A } et p i 334

335 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI { i 1, n ω i B }, on P (A B) = = i 1,n,ω i A B i 1,n,ω i A p i p i + = P (A) + P (B). Ainsi, P est donc bien une probbilité. i 1,n,ω i B Exemple Nous pouvons mintennt définir des mesures de probbilités de l mnière suivnte : «l probbilité P est définie sur 0, 5 pr k P ({k}) 1/4 0 1/2 1/12 1/12 1/12». Exemple Étnt donné des points A 1,..., A n dns un ensemble (fini) Ω, on définit l (mesure de) probbilité empirique pr rpport à A 1,..., A n pr x Ω, P n ({x}) = 1 n Crd { i 1, n A i = x }. 1.3 Probbilités conditionnelles Définition Le résultt d une expérience létoire dépend prfois du résultt d une utre. Pr exemple, en prennt pour univers l ensemble des jours de l nnée 2017 muni de l probbilité uniforme P, si on ppelle A l événement «j ttrpe un rhume ujourd hui» et B l événement «il fit un temps froid et humide ujourd hui», on imerit pouvoir exprimer que lorsque B est rélisé, A une plus grnde probbilité d être rélisé. Pour cel, on peut restreindre notre univers Ω à l ensemble des jours où B est rélisé et regrder quelle est l probbilité de l événement «ttrper un rhume» dns cet univers restreint. On ppeller cette probbilité l probbilité de A schnt B. Dns l univers Ω, l événement A est l ensemble des jours où j ttrpe un rhume, B est l ensemble des jours froids et humides. Notre univers restreint est B et l événement «j ttrpe un rhume» p i dns cet univers est l ensemble A B. S probbilité, si on le munit de l probbilité uniforme est Crd(A B)/ Crd B = P (A B)/P (B). Cet exemple nous conduit à l définition suivnte. Définition (Probbilité conditionnelle). Soit (Ω, P ) un espce probbilisé et A et B deux événements, vec B de probbilité non nulle. On ppelle probbilité de A schnt B, et on note P (A B) P B (A) ou P (A B), le réel. P (B) Remrque Même si l exemple donné concernit une probbilité uniforme, l définition donnée s pplique à toute probbilité. Proposition Sous les hypothèses de l définition ci-dessus, l ppliction P B : P(Ω) R est une probbilité sur Ω. En effet, elle est bien définie cr P (B) > 0. Elle est à vleurs positives ou nulles et pour tout A P(Ω), on A B B donc P (A B) P (B) donc P B(A) 1. De plus P B(Ω) = P (B)/P (B) = 1. Enfin, pour tout couple (A, C) d événements incomptibles, A B et C B sont incomptibles, donc P B(A C) = = P ((A B) (C B)) P (B) P (A B) + P (C B) P (B) = P B(A) + P B(C) Remrque Dns les exercices de probbilités, l un des points délicts (et donc intéressnt) est souvent de trduire correctement l énoncé en termes de probbilités conditionnelles. En effet, les énoncés ne sont ps toujours donnés de mnière mthémtisée et vous vez lors un (petit) trvil de modélistion à effectuer. On pourr commencer pr s entrîner sur les exercices?? et??. 335

336 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice Dns une urne, on plce deux boules blnches et une boule noire. On effectue un premier tirge dns l urne, dns lquelle on remet l boule tirée en y rjoutnt une boule de même couleur. On effectue un second tirge dns l urne. Modéliser (i.e. trduire l énoncé mthémtiquement, ici en termes de probbilités conditionnelles). b Probbilités composées, probbilités totles Proposition (Formule des probbilités composées). Soit A et B deux événements, vec P (A) > 0. Alors P (A B) = P (A) P (B A). C est une simple réécriture de l définition. Remrque On générlise cel u cs de plusieurs événements. Soit pr exemple A, B, C et D qutre événements tels que P (A B C D) 0. Alors P (A B C D) = P (A) P (B A) P (C A B) P (D A B C). Exercice Soit (A 1,..., A n ) des événements dont l probbilité ( de l intersection est non nulle. Exprimer n ) P A i à l ide de l formule des probbilités i=1 composées. Proposition (Formule des probbilités totles, deuxième forme). Soit n N, (A i ) i [[1,n]] un système complet d événements de probbilités toutes non nulles et B un événement. Alors P (B) = P (B A i ) P (A i ). i=1 C est une conséquence immédite de l première forme (proposition 1.2.8) et de l formule des probbilités composées. Remrque On dopte souvent l convention suivnte, fort utile dns l utilistion de l formule des probbilités totles : si P (A i ) = 0, on pose P (B A i ) P (A i ) = 0. Ainsi, l formule est vlide pour tout système complet d événements, ce qui peut éviter certines contorsions prticulièrement douloureuses... Attention : cette convention n est ps u progrmme de l filière MP (mis elle l est en PSI). Si vous voulez l utiliser, rppelez l clirement vnt. Ou mieux : revenez à l formule utilisnt les intersections. Exercice On considère une urne contennt qutre boules blnches et trois boules noires. On tire successivement et sns remise trois boules. Clculer l probbilité de tirer exctement deux boules noires. Note : il peut être intéressnt de dessiner un rbre des possibilités pour risonner. Mis un tel rbre n est en ucun cs une justifiction. Exercice On effectue N 2 tirges successifs dns une urne, contennt initilement une boule blnche et une boule noire. Chque fois que l on tire une boule blnche, on l remet et on rjoute une boule blnche supplémentire dns l urne. Chque fois que l on tire une boule noire, on l remet dns l urne. On suppose que cette expérience est modélisée pr un espce probbilisé fini (Ω, P ). Quelle est l probbilité p N d obtenir l première boule noire u N e tirge? Remrque Un des points ttendus est de justifier rigoureusement l utilistion d une certine formule

337 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI c L exercice précédent est souvent modifié en «si l on tire une boule noire, on s rrête». Cel chnge-t-il l modélistion? L nnée prochine, vous pourrez modéliser cel en considérnt une suite infinie de tirges. Comme nous ne considérons que des espces probbilisés finis, nous nous limitons à N tirges successifs... vec N quelconque. Que vut + n=1 u moins intuitivement? Formule de Byes p n? Pouvez-vous l interpréter, Exercice (fondmentl). On effectue un test de dépistge d une mldie. Le test rend un résultt binire : positif ou négtif. L probbilité que le test rende un résultt positif pour une personne si cette personne contrcté l mldie est ppelé sensibilité du test et est notée p 1. L probbilité que le test rende un résultt négtif pour une personne qui n ps contrcté cette mldie est ppelée spécificité et est notée p 2. Une personne prise u hsrd dns l popultion frnçise effectue le test et celui-ci rend un résultt positif. Quelle est l probbilité que cette personne soit mlde? On donne : p 1 = 0, 99, p 2 = 0, 98, popultion frnçise : N = personnes, nombre de personnes ynt contrcté l mldie dns l popultion frnçise : m = Remrque Le théorème de Byes dit, que pour deux événements A et B de probbilité non nulle, l probbilité d voir l événement A, schnt qu on observé B (ppelée probbilité posteriori) est l probbilité d voir B schnt A multipliée pr le rpport de l probbilité d voir A (probbilité priori) et de l probbilité d voir B. Proposition (Formule de Byes, cs générl). Soit (A i ) i [[1,n]] un système complet d événements de probbilités toutes non nulles et B un événement de probbilité non nulle. Alors pour tout j [[1, n], on P (A j B) = P (B A j)p (A j ). P (B A i )P (A i ) i=1 Soit j [[1, n]. Alors en utilisnt l version précédente du théorème de Byes, on obtient P (A j B) = P (B Aj)P (Aj) P (B) Or d près le théorème des probbilités totles, on P (B) = P (B A i)p (A i) i=1 Proposition (Formule de Byes, cs prticulier). Soit A et B deux événements tels que P (A) > 0 et P (B) > 0. Alors P (A B) = P (B A)P (A). P (B) Il suffit de remplcer P (A B) et P (B A) pr leurs définitions pour constter le résultt. Remrque Il est essentiel d voir compris ce que dit cette formule et d être cpble de l redémontrer rpidement. Exercice Monsieur C. vient u lycée à pied, à chevl ou en voiture vec des probbilités respectives 9/100, 9/10 et 1/100. Qund il vient à pied, il met des chussures de sport vec probbilité 9/10 ; à chevl, vec probbilité 5/10 et en voiture vec probbilité 1/10. Aujourd hui, vous consttez qu il mis des chussures de sport. Quelle est l probbilité qu il soit venu à chevl? 337

338 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Remrque Remrquez l bus de lngge de l exercice cidessus : en rélité, si on se plce ujourd hui et que Monsieur C. est déjà u lycée, ou bien il est venu à chevl ou bien il est venu pr un utre moyen et prler de probbilité n plus de sens. En rélité, ce que signifie l formultion, c est : «si on se plce dns l univers de tous les jours possibles, quelle est l probbilité que M. C. soit venu à chevl schnt qu il mis des chussures de sport». Cet bus de lngge est typique de nombreux problèmes de probbilités et modéliser correctement le problème n est ps toujours chose fcile (voir le problème des trois portes). 1.4 Événements indépendnts Couple d événements indépendnts Définition Soit A et B deux événements. On dit que A et B sont indépendnts si et seulement si P (A B) = P (A) P (B). Remrque Si P (B) > 0, lors cette condition est équivlente à P (A B) = P (A). Autrement dit, de fçon informelle, svoir B ne modifie ps l probbilité de A. 2. Si P (B) > 0 et P ( B) > 0, elle est églement équivlente à P (A B) = P (A B). 3. Il rrive que l on démontre l indépendnce de deux événements mis le plus souvent, il s git d une hypothèse de modélistion du problème considéré. 4. Dns tout exercice de probbilités, il est primordil de bien repérer dns l énoncé les hypothèses d indépendnce. Exercice Quels sont les événements indépendnts d euxmêmes? Exemple Si on lnce deux fois un dé à six fces et qu on note A et B les événements «obtenir un 6» respectivement u premier et deuxième tirge, on ur tendnce à modéliser le problème en disnt que les deux événements sont indépendnts ce qui correspond à l intuition physique : le fit qu on obtienne un 6 u deuxième tirge ne dépend ps du fit qu on obtenu un 6 u tirge précédent, le dé n ynt ps de «mémoire» de ce qui s est pssé. Attention : même si le dé est pipé, il est risonnble de considérer que les deux événements sont indépendnts. Si u lieu de considérer deux lncers d un même dé, on considère plutôt le lncer simultné d un dé rouge et d un dé vert, il est encore risonnble de penser que les deux événements sont indépendnts, même si les dés sont pipés et même s ils sont pipés de deux fçons différentes. À moins pr exemple que les dés soient imntés, uquel cs les résultts des deux dés pourrient être reliés. Exercice Le jeu de l roulette russe à deux joueurs consiste à plcer une unique blle dns un revolver à 6 coups puis à fire tourner le brillet de fçon létoire. Chcun à son tour, chque joueur pointe le revolver sur s propre tempe vnt d ctionner l détente. L prtie s rrête dès le chien percute l crtouche (le perdnt est celui qui tenit le revolver). On note A l événement «le premier joueur perd dès son premier essi», B l événement «le deuxième joueur perd dès son premier essi». Modéliser le problème et clculer P (A) et P (B). Peut-on risonnblement penser que A et B sont indépendnts? Vrinte : on fit tourner de nouveu le brillet à chque tour. Clculer P (A) et P (B). NB : Bien qu il soit rre de développer une ddiction à ce jeu, y jouer est fortement déconseillé. Exercice On considère une urne contennt 10 boules noires et 10 boules blnches. On tire successivement deux boules, sns remise. On note A (resp. B) l événement «l première (resp. seconde) est blnche». Modéliser ce problème. A et B sont-elles indépendntes? Clculer P (A) et P (B). Que vut P (A B)? Que vut P (B A)? Mêmes questions si on tire mintennt simul- 338

339 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI tnément deux boules, l une de l min guche, l utre de l min droite et qu on note A (resp. B) l événement «l boule tirée pr l min guche (resp. droite) est blnche». b Fmille finie d événements mutuellement indépendnts Définition Soit n un entier. On dit que des événements A 1,..., A n sont mutuellement indépendnts si pour toute prtie I de [[1, n], on ( ) P A i = P (A i ). i I i I On dit qu ils sont deux à deux indépendnts si et seulement si pour tout (i, j) [[1, n]] 2, vec i j, A i et A j sont indépendnts. Remrque L ordre des éléments n ucune importnce. 2. L indépendnce mutuelle entrîne l indépendnce deux à deux. 3. L réciproque est fusse. Considérer pr exemple deux tirges d un dé et les événements «le premier tirge donne un nombre pir», «le second tirge donne un nombre pir» et «l somme des deux nombres obtenus est pire». 4. Il ne suffit ps de vérifier que l probbilité de l intersection des A i est égle u produit des P (A i ) pour l ensemble de tous les indices mis bien de le vérifier pour tous les ensembles d indices possibles. Considérer pr exemple l univers Ω = [[1, 8] des résultts possibles d un dé équilibré à 8 fces, et les événements A 1 = { 1, 2, 3, 4 }, A 2 = { 1, 2, 3, 4 } et A 3 = { 1, 5, 6, 7 }. 5. Le plus souvent, l indépendnce mutuelle est une hypothèse fite lors de l modélistion du problème. Le problème, c est que dns de nombreux énoncés, cette hypothèse n est écrite nulle prt : c est le mthémticien qui nlyse le problème 2 qui doit se poser l question de l indépendnce des événements. 6. Lorsqu il s git de montrer l indépendnce mutuelle de plusieurs événements, il fut vérifier utnt de conditions que de sousensembles de [[1, n], soit 2 n, dont n + 1 sont trivilement vérifiées (celles pour lesquelles I possède 0 ou 1 élément). Proposition Remplcer, dns une fmille d événements mutuellement indépendnts, certins événements pr leurs contrires donne une nouvelle fmille d événements mutuellement indépendnts. En d utres termes, soit n un entier et A 1,..., A n n événements indépendnts. On se donne n événements B 1,..., B n tels que pour tout i [[1, n]], B i est égl à A i ou à Āi. Alors l fmille B 1,..., B n est une fmille d événements indépendnts. Il suffit de montrer le cs où B i = A i pour i = 1,..., n 1 et où B n = A n. En effet, on peut lors en déduire que si, dns une fmille d événements mutuellement indépendnts, on chnge l un des événements en son contrire, on obtient de nouveu une fmille d événements mutuellement indépendnts. Pr une récurrence immédite, il vient lors que si on chnge p événements en leurs contrires, on obtient de nouveu une fmille d événements mutuellement indépendnts. Posons donc B i = A i pour i [[1, n 1]] et B n = A n. Soit lors I une prtie de [[1, n]], montrons qu on ( ) P B i = P (B i) i I i I Si I ne contient ps n, c est évident. Si I contient n, lors posons J = I \ { n }. On succes- 2. Donc vous en prticulier! 339

340 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI sivement : ( ) ( ) P B i = P A n A i i I i J ( ) = P (Ω \ A n) A i i J ( ( )) = P A i \ A n A i i J i J ( ) ( ) = P A i P A i i J i I = P (A i) P (A i) i J i I = (1 P (A n)) P (A i) i J = P (B n) P (B i) i J = P (B i). i I 2 Vribles létoires 2.1 Définitions Définition Une vrible létoire (v..) X est une ppliction définie sur l univers Ω à vleurs dns un ensemble E. Lorsque E R, l vrible létoire est dite réelle. On ppelle prfois univers imge l imge directe de Ω pr X. Exemple Intuitivement, X représente une vleur ssociée à une expérience létoire : si l on prend l exemple du cs d une personne jount u loto, l vleur X, exprimée en euros, de son gin u loto lors du tirge qui ur lieu à une certine dte peut être modélisée pr une vrible létoire à vleurs réelles (l univers Ω étnt l ensemble des tirges de loto possible). Remrque Une vrible létoire modélise donc un «objet létoire». Si l on considère une mtrice létoire, on mnipuler donc des vribles létoires à vleurs mtricielles, tndis que si l on considère des tringles létoires on mnipuler des vribles létoires à vleurs dns l ensemble des tringles du pln. Pr exemple, si X 1,..., X n sont des vribles létoires à vleurs dns un ensemble A, si P n est l (mesure de) probbilité empirique pr rpport à X 1,..., X n, lors P n est une vrible létoire à vleurs dns l ensemble des (mesures de) probbilités sur A. Remrque En toute générlité, l définition de vrible létoire est plus subtile. On se plce ici dns un cdre très simplifié (univers fini). Définition Soit X une vrible létoire à vleurs dns un ensemble E. Pour toute prtie A de E, on note { X A } ou (X A), (voire [X A]) l événement X 1 (A). Si E R, et x R, X est dite réelle et on note (X = x), (X x), (X < x), (X x), (X > x) respectivement les événements X 1 ({ x }), X 1 (], x]),... On note P (X A), P (X = x), P (X x),... les probbilités de ces événements. Exemple Pour reprendre l exemple précédent, (X 1000) représente l événement «le gin du joueur u loto est supérieur ou égl à mille euros» et P (X 1000) représente l probbilité de cet événement. Proposition Soit X une vrible létoire à vleurs dns un ensemble fini E. Alors ([X = x]) x E est un système complet d événements. Soit ω Ω, lors ω [X = X(ω)] donc x E[X = x] = Ω. Soit (x, y) E 2, vec x y. Si ω [X = x] [X = y], lors X(ω) = x = y, ce qui est impossible, donc [X = x] [X = y] =. 340

341 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Remrque C est souvent ce type de système complet d événements que l on utiliser. 2.2 Loi d une vrible létoire Définition Soit X une vrible létoire à vleurs dns un ensemble E. On ppelle loi de l vrible létoire X l loi de probbilité P X : P(X(Ω)) R qui à tout élément x de X(Ω) ssocie l probbilité de l événement X = x : x X(Ω) P X ({x}) = P (X = x). et ssocie 0 ux utres éléments de P(E). Proposition Soit X une vrible létoire définie sur un espce probbilisé fini (Ω, P ). Alors X(Ω) est fini et P X est une probbilité sur X(Ω). Pr l crctéristion d une loi pr l imge de ses singletons, il suffit de remrquer que P (X = x) = 1. x X(Ω) Corollire Si A X(Ω), P X (A) = P (X A). Remrque Pour déterminer l loi d une vrible létoire X, on procéder systémtiquement de l mnière suivnte : on détermine l imge de X ; pour chque k X(Ω), on clcule P (X = k) ; si on obtient une loi connue, on l nomme. Exercice Soit X à vleurs dns { 1; 0; 1} dont l loi est déterminée pr P (X = 1) = P (X = 0) = P (X = 1) = 1 3. Comment s ppelle l loi de X? Quelle est l loi de X? A-t-on X = X? Remrque L définition ci-dessus pose problème dns le cs où X est une vrible létoire réelle continue (hors-progrmme mis vu en terminle) : l probbilité d voir P (X = x) ne donne ucune informtion puisque pour tout x fixé, P (X = x) = 0. C est pourquoi on trouve prfois une utre définition de P X : P X est lors l ppliction de P(E) dns R qui, à une prtie A de E, ssocie P (X A). Dns ce cs, P X l propriété d être une probbilité sur E (lorsque E est fini) et est déterminée de fçon unique pr les vleurs des P (X = x) pour x E puisqu on P (X A) = x A P (X = x). Cette deuxième définition pose églement des problèmes dns le cs des vribles continues mis ils sont plus fcilement réprbles (on ne peut plus définir P X sur P(E) mis seulement sur une prtie). Remrque On peut donc définir l loi d une vrible létoire en précisnt l probbilité que cette v.. soit égle à chque élément de son imge. Pr exemple, on peut dire «l v.. X à vleurs dns 0, 5 dont l loi est déterminée pr Définition Soit E et F deux ensembles. Soit X une vrible létoire à vleurs dns un ensemble E. Soit f : E F. L ppliction f X : Ω F est une vrible létoire à vleurs dns F ppelée imge de X pr f et prfois notée f(x). k P (X = k) 1/4 0 1/2 1/12 1/12 1/12». Remrque Le terme «imge d une vrible létoire» vient 341

342 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI du fit que pour tout ω Ω, f(x)(ω) est l imge de X(ω) pr f. Exemple Si X est une v.. réelle, on pourr considérer les v.. réelles X 2, X etc. Proposition L loi ssociée à l vrible létoire f(x) introduite ci-dessus est P f(x) : f(x(ω)) R y P (X f 1 ({ y })) Il suffit de remrquer (X f 1 ({ y })) = { ω Ω X(ω) f 1 ({ y }) } = { ω Ω f(x(ω)) { y } } = { ω Ω f(x)(ω) { y } } = { ω Ω ω (f(x)) 1 ({ y }) } = (f(x) = y). Exemple Soit X un v.. à vleurs dns { 1, 0, 1} telle que P (X = 1) = P (X = 0) = P (X = 1) = 1 3. Déterminer les lois de X 2 et de X 3. Définition (Fonction de réprtition). Soit X une vrible létoire réelle. On ppelle fonction de réprtition de X l fonction F X : R R x P (X x) Exemple S il fut retenir une chose, c est le dessin de l fonction de réprtition, figure XXII.1... Proposition L fonction de réprtition d une vrible réelle X sur un univers Ω fini est une fonction en esclier. Plus précisément, Ω étnt fini, X(Ω) est fini et s écrit { x 1,..., x n } vec n 1, où x 1 <... < x n. Alors F X est constnte sur les intervlles ], x 1 [, [x 1, x 2 [, [x 2, x 3 [,..., [x n 1, x n [, [x n, + [, prend pour vleur 0 sur le premier de ces intervlles, 1 sur le dernier et pour tout i [[1, n 1] prend l i vleur P (X = x k ) sur [x i, x i+1 [. k=1 Il suffit de constter que pour tout i [[1, n 1]], et tout t [x i, x i+1[, l événement (X t) n est utre que l union des événements deux à deux disjoints (X = x k ) pour k i, d où i F X(t) = P (X = x k ). k=1 De même on F X(t) = 0 pour t ], x 1[ et F X(t) = P (X = x k ) = 1 pour t [x n, + [. On en déduit que k=1 F X est en esclier. Proposition L fonction de réprtition d une v.. réelle est croissnte et continue à droite. Elle pour limite 0 en et 1 en +. Remrque Cette propriété est vrie même pour les v.. réelles définies sur un univers infini (progrmme de seconde nnée). C est un corollire immédit de ce qui précède. Proposition L fonction de réprtition crctérise l loi d une vrible X, u sens où pour tout réel t P (X = t) > 0 si et seulement si F X n est ps continue en t, et P (X = t) = F X (t) lim t F X. Là encore, cel découle de ce qui précède. 342

343 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI p P (X = x i ) i=1 p 1 i=1 P (X = x i ) x p 1 P (X = x p ) x p F X Figure XXII.1 Illustrtion de l fonction de réprtition d une vrible létoire X à vleurs dns {x 1,..., x n } vec x 1 < < x n. 2.3 Loi usuelles Dns cette prtie, on étendr utomtiquement les définitions données en commettnt l bus de nottion suivnt. Soit X une vrible létoire X à vleurs dns E, A E tel que x E\A, P (X = x) = 0 et A, P (X = ) > 0 (on dit que A est le support de l loi de X). Formellement, X(Ω) = E, mis on étendr les définitions suivntes comme si X(Ω) = A. Exemple Si X : Ω {1, 2, 3, 4}, vec P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = 1 et P (X = 4) = 0, on 3 s utoriser à dire que X suit une loi uniforme sur {1, 2, 3}. Loi uniforme Définition Soit E un ensemble fini, non vide. On dit qu une vrible létoire réelle X suit l loi uniforme sur E et on note X U (E) (voire X U (E)) si X(Ω) = E et P X est l probbilité uniforme sur E (utrement dit, pour tout x E, P (X = x) = 1/#E). En prticulier pour tout couple (, b) d entiers reltifs vec b, on X U ([[, b]]) si et seulement si x [[, b] P (X = x) = 1 b + 1. Exemple L vrible létoire modélisnt le nombre obtenu pr tirge d un dé équilibré à 6 fces suit l loi uniforme sur [[1, 6]. Pour modéliser le numéro d une boule tirée dns une urne contennt n boules numérotées de 1 à n on prendr une vrible létoire suivnt l loi uniforme sur [[1, n]. Exercice On tire deux boules sns remise dns une urne. Montrer que le couple des numéros tirés (dns l ordre) suit une loi uniforme dns l ensemble des 2-rrngements de 1, n. b Loi de Bernoulli Définition Soit p [0, 1]. On dit qu une vrible létoire X est une vrible de Bernoulli (ou suit l loi de Bernoulli) de prmètre p et on note X B(p) si X est à vleurs dns { 0, 1 } et P (X = 1) = p. Exemple Modélisons le tirge d une pièce à pile ou fce pr l vrible X vlnt 0 si l on obtient pile et 1 si l on obtient fce. Si l pièce est supposée équilibrée, on supposer que X suit l loi uniforme sur { 0, 1 } ; que ce soit le cs ou non, il s git d une vrible de Bernoulli de prmètre l probbilité d obtenir fce. Si X est à vleurs dns {0, 1}, lors X B(P (X = 1)). De mnière générle, notons A un événement sur un espce probbilisé Ω. Alors χ A, l fonction indictrice de A, définie pr Ω 0, 1 } { χ A : 1 si ω A, ω 0 si ω / A. 343

344 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI est une vrible de Bernoulli de prmètre P (A). Très souvent, on s intéresser à un événement A lors d une expérience létoire et on dir que l expérience est un succès si A est rélisé et un échec si A ne l est ps. χ A est lors l vrible de Bernoulli prennt l vleur 1 en cs de succès et 0 en cs d échec. Exercice Montrer que toute vrible létoire réelle définie sur un espce probbilisé fini peut s écrire comme une combinison linéire de vribles létoires suivnt des lois de Bernoulli. c Loi binomile Définition Soit n N et p [0, 1]. On dit qu une vrible létoire X suit l loi binomile de prmètres n et p et on note X B(n, p) si X est à vleurs dns [[0, n] et pour tout k [[0, n], on P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k. k Exemple Considérons n expériences létoires mutuellement indépendntes toutes de probbilité de succès p. On modéliser le nombre de succès pr une vrible binomile de prmètres n et p. On verr dns l proposition une justifiction mthémtique à cette modélistion. En prticulier considérons une urne opque contennt B boules blnches et N boules noires indiscernbles u toucher (B N, N N ), dns lquelle on tire n fois une boule, vec remise. Alors on modéliser le nombre de fois où l on tire une boule noire pr une vrible létoire suivnt l loi binomile de prmètres n et N/(B + N). Exercice On considère un joueur jount u jeu suivnt : Il mise un euro. Cette mise est définitivement perdue. Il lnce qutre pièces de monnie. Si exctement trois des pièces tombent sur pile, il perçoit un euro. Si les qutre pièces tombent sur pile, il perçoit dix euros. On note X le gin du joueur (mise incluse, le gin peut donc être négtif). Donner l loi de X. 2.4 Couples de vribles létoires Dns cette prtie, on considère Ω un espce probbilisé fini et deux vribles létoires X et Y. On écrir X(Ω) sous l forme { x 1,..., x N } et Y (Ω) sous l forme { y 1,..., y P } où N et P sont des entiers. Remrque On peut considérer, en commettnt un léger bus de nottion, que (X, Y ) est une vrible létoire, à vleurs dns { x 1,..., x N } { y 1,..., y P }. Proposition L fmille ((X = x i ) (Y = y j )) (i,j) [[1,N ] [[1,P ] est un système complet d événements. Soit (i, j) [[1, N]] [[1, P ]], il suffit de remrquer que [(X, Y ) = (x i, y j)] = [X = x i] [Y = y j] et d utiliser l proposition Remrque On noter souvent l événement [X = x] [Y = y] pr [X = x, Y = y]. Définition (Loi conjointe). On ppelle loi conjointe de X et Y l loi du couple (X, Y ), soit l loi P X,Y : P(X(Ω) Y (Ω)) R vérifint (x, y) X(Ω) Y (Ω), P X,Y ({(x, y)}) = P ((X = x) (Y = y)) = P (X = x, Y = y). Exercice On tire un dé équilibré à six fces et on lnce une pièce de monnie équilibrée. On note X l vrible de Bernoulli ssociée à l événement «obtenir pile» et Y l vleur tirée sur le dé. Donner l loi conjointe de X et Y. 344

345 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice On tire deux dés équilibrés à qutre fces, un vert et un rouge. On ppelle X l vleur obtenue sur le dé vert, Y l vleur obtenue sur le dé rouge et Z l somme des deux. Donner l loi conjointe de X et Y puis de X et Z. Définition On ppelle première (resp. seconde) loi mrginle du couple (X, Y ) l loi de X (resp. de Y ). Proposition Les lois mrginles du couple (X, Y ) sont déterminées de fçon unique pr l loi du couple P X,Y. Plus précisément, on pour tout x X(Ω) P (X = x) = P X ({x}) = y Y (Ω) = y Y (Ω) P X,Y ({(x, y)}) P (X = x, Y = y). Symétriquement, pour tout y Y (Ω), on P (Y = y) = P Y ({y}) = x X(Ω) = x X(Ω) P X,Y ({(x, y)}) P (X = x, Y = y). En revnche, les lois mrginles ne suffisent ps à déterminer l loi du couple. Pour le premier point, considérons x X et remrquons lors qu on (X = x) = (X = x) (Y = y). y Y (Ω) Or cette union est une union disjointe, d où l églité P (X = x) = P ((X = x) (Y = y)). y Y (Ω) D où le premier point. Autrement dit : l fmille des (Y = y) pour y Y (Ω) constitue un système complet d événements et le résultt se déduit imméditement de l formule des probbilités totles. Pour le second point, il suffit de montrer que deux couples peuvent voir des lois différentes bien qu ynt les mêmes lois mrginles. On peut pr exemple considérer, sur l univers Ω = { 1, 2 } muni de l probbilité uniforme, les vribles de Bernoulli X et Y définies pr X(1) = 1, X(2) = 0, Y (1) = 0 et Y (2) = 1. Alors les vribles X et Y ont même loi, les deux couples de vribles létoires (X, X) et (X, Y ) ont donc mêmes lois mrginles. Cependnt, ils ont des lois conjointes différentes puisque P X,X(1, 1) = 1 2 et P X,Y (1, 1) = 0. Exemple On lnce deux dés à 6 fces et l on note X et Y le résultt de chcun. Alors (près voir modélisé cel), les lois jointes de (X, X) et de (X, Y ) sont différentes lors que (X, X) et (X, Y ) ont les mêmes lois mrginles. Définition (Loi conditionnelle). Soit X et Y deux vribles létoires respectivement à vleurs dns des ensembles E et F. Soit x X(Ω) vérifint P X (x) 0. Alors on ppelle loi conditionnelle de Y schnt (X = x) l loi de l vrible Y sur l univers Ω muni de l probbilité P X=x. C est donc l fonction P Y X=x : P(Y (Ω)) R vérifint : y Y (Ω), P Y X=x (y) = P (Y = y X = x). Remrque On définit de même, pour y Y (Ω) vérifint P Y (y) 0, l loi conditionnelle de X schnt (Y = y). Exercice Un joueur possède six dés : le dé n o 1 4 fces, le n o 2 en 6, le n o 3 8, le n o 4 10, le n o 5 12 et le n o Il lnce un dé à 6 fces, obtient i, lnce le dé n o i et note X le résultt obtenu. Quelle est l loi de X? Remrque L loi de Y conditionnellement à X = x ne dépend que de l loi jointe de X et de Y : P (Y = y X = x) = P (X = x, Y = y) P (X = x, Y = z). z Y (Ω) 345

346 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI On peut générliser de l même mnière ces notions sur les couples de vribles létoires et définir l loi conjointe d un n-uplet de vribles létoires, les n lois mrginles de ce n-uplet insi que l loi conditionnelle d une vrible, pr exemple X n, schnt X 1 = x 1,... et X n 1 = x n Vribles létoires indépendntes Dns ces prties, suf mention expresse du contrire, X et Y sont des vribles létoires à vleurs respectivement dns des ensembles E et F. Définition On dit que X et Y sont indépendntes si pour tout x E et tout y F on P ([X = x] [Y = y])=p (X = x)p (Y = y). (XXII.2) On dir que deux vribles létoires sont indépendntes et identiquement distribuées (i.i.d.) si elles sont indépendntes et de même loi. Remrque On écrir souvent cel comme P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y). Deux v.. sont donc indépendntes si et seulement si leur loi jointe se fctorise en le produit de leurs lois. Exemple Si l on tire deux dés ou si l on effectue deux tirges vec remise dns une urne, on modéliser les deux résultts comme des v.. indépendntes. Exercice On effectue deux tirges sns remise dns une urne contennt n boules. Modéliser. Les numéros tirés sont-ils indépendnts? Proposition X et Y sont indépendntes si et seulement si pour tout A E et tout B F, on P ((X, Y ) A B) = P (X A)P (Y B). (XXII.3) Pour le sens indirect, c est-à-dire pour montrer l églité (XXII.2), sous l hypothèse que l églité (XXII.3) est vérifiée pour tout A et tout B, il suffit de choisir A = { x } et B = { y }. Montrons le sens direct : supposons donc qu on (XXII.2) pour tout (x, y) E F et montrons que pour tout (A, B) P(E) P(F ), on (XXII.3). Quitte à remplcer A pr A X(Ω) et B pr B Y (Ω), on peut supposer que A et B sont des ensembles finis. On lors [X A] = [X = x] x A [Y B] = [Y = y] [(X, Y ) A B] = y B (x,y) A B [X = x] [Y = y] Or ces trois unions sont des unions disjointes, donc : P ((X, Y ) A B) = P [X = x] [Y = y] = = (x,y) A B (x,y) A B (x,y) A B P ([X = x] [Y = y]) P (X = x) P (Y = y) ( ) ( ) = P (X = x) P (Y = y) x A y B ( ) ( ) = P [X = x] P [Y = y] x A = P (X A) P (Y B). y B Exercice Soit X, Y indépendntes de loi uniforme sur 1, n. Clculer P (X Y ). 346

347 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Proposition Soit E, E, F et F qutre ensembles. Soit f : E E et g : F F. Soit lors X et Y deux vribles létoires indépendntes. Alors f(x) et g(y ) sont des vribles létoires indépendntes. Soit A E et B F. D près l proposition qui précède, il suffit de montrer P ( (f(x), g(y )) A B ) = P (f(x) A ) P (f(y ) B ). Or on [ (f(x), g(y )) A B ] = [ f(x) A ] [ g(y ) B ]. Et d utre prt, on [ f(x) A ] = { ω Ω f(x(ω)) A } = { ω Ω X(ω) f 1 (A ) } = [ X f 1 (A ) ] et de l même fçon, on obtient : [ g(y ) B ] = [ Y g 1 (B ) ]. On dir que des vribles létoires sont indépendntes et identiquement distribuées (i.i.d.) si elles sont mutuellement indépendntes et de même loi. Remrque On montrer bientôt que des vribles létoires mutuellement indépendntes le sont deux à deux. Comme le montre l exemple??, des v.. indépendntes deux à deux ne le sont ps forcément mutuellement. Exemple Soit X, Y i.i.d. de loi de Rdemcher : P (X = 1) = P (X = 1) = 1, soit Z = XY. Montrer 2 que X, Y et Z sont indépendntes deux à deux, mis ps mutuellement. On en déduit [(f(x), g(y )) A B ] Puis : = [ f(x) A ] [ g(y ) B ] = [ X f 1 (A ) ] [ Y g 1 (B ) ] = [ (X, Y ) f 1 (A ) g 1 (B ) ]. P ( (f(x), g(y )) A B ) =P ( (X, Y ) f 1 (A ) g 1 (B ) ) =P ( X f 1 (A ) ) P ( Y g 1 (B ) ) =P ( f(x) A ) P ( g(y ) B ), qui est ce qu on voulit démontrer. Définition Soit n un entier et X 1,..., X n des vribles létoires à vleurs dns des ensembles respectifs E 1,..., E n. On dit que les vribles X 1,..., X n sont mutuellement indépendntes si pour tous x 1,..., x n pprtennt respectivement à X 1 (Ω),..., X n (Ω), on ( n ) n P (X i = x i ) = P (X i = x i ). i=1 i=1 (XXII.4) Proposition Les vribles létoires X 1,..., X n à vleurs dns des ensembles respectifs E 1,..., E n sont mutuellement indépendntes si et seulement pour tous sous ensembles respectifs A 1,..., A n de E 1,..., E n, on ( n ) n P (X i A i ) = P (X i A i ). (XXII.5) i=1 i=1 L démonstrtion est similire à celle du cs de deux vribles. Pour le sens indirect, c est-à-dire pour montrer l églité (XXII.5), sous l hypothèse que l églité (XXII.6) est vérifiée pour tous ensembles A 1,..., A n, il suffit de choisir A i = { x i } pour i = 1,... n. Montrons le sens direct : supposons donc qu on (XXII.5) pour tous x 1,..., x n pprtennt respectivement à E 1,..., E n et montrons que pour tous sous ensembles respectifs A 1,... A n de E 1,..., E n, on (XXII.6). Quitte à remplcer chque A i pr A i X i(ω), on peut supposer que les A i sont des ensembles finis. On lors, si 1 i n, (X i A i) = (X i = x i). x i A i 347

348 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Ainsi, ( n ) ( n P (X i A i) =P i=1 =P i=1 x i A i (X i = x i) ) (x 1,...,x n) A 1... A n i=1 Or, cette réunion est disjointe, donc ( n ) P (X i A i) = i=1 Pr indépendnce mutuelle, ( n ) P (X i A i) = i=1 d où le résultt. = = (x 1,...,x n) A 1... A n P (x 1,...,x n) A 1... A n i=1 n i=1 P (X i = x i) x i A i n P (X i A i), i=1 n (X i = x i). ( n ) (X i = x i). i=1 n P (X i = x i) Remrque Notez l différence entre l définition d événements mutuellement indépendnts et celle de vribles mutuellement indépendntes : dns ce dernier cs, l définition ne demnde ps de regrder pour tous les sous-ensembles de [[1, n]], pour une bonne rison : le résultt suivnt ssure que si l églité (XXII.5) est vérifiée, lors elle est vrie ussi si l on effectue le produit et l intersection seulement pour un sous-ensemble de [[1, n]. Proposition Toute sous-fmille d une fmille de vribles létoires mutuellement indépendntes est constituée de vribles mutuellement indépendntes : soit X 1,..., X n des vribles létoires mutuellement indépendntes et I [[1, n]] ; lors les X i pour i I sont mutuellement indépendntes. D près l proposition 2.5.5, il suffit de montrer que pour toute fmille d événements A i pour i I, on ( ) P (X i A i) = P (X i A i). i I i I Considérons donc une telle fmille quelconque, et posons A i = E i pour i [[1, n] \ I. Alors, pour tout i [[1, n] \ I, l événement X i A i est certin, c est-à-dire est égl à Ω. Donc ( ) ( n ) P (X i A i) = P (X i A i) i I = i=1 n P (X i A i) i=1 = P (X i A i). Corollire (Lemme des colitions). Soit (X 1,..., X n ) des vribles létoires mutuellement indépendntes, I et J deux sous-ensembles disjoints de {1,..., n}. Alors les vribles létoires (X i ) i I et (X j ) j J sont indépendntes. Direct, pr indépendnce mutuelle de l fmille (X k ) k I J. Remrque Ce lemme se générlise directement à l indépendnce mutuelle de m «pquets» de vribles létoires pris sur m sous-ensembles disjoints deux à deux de {1,..., n}. Proposition Si X 1,..., X n sont des vribles létoires mutuellement indépendntes et f 1,..., f n sont des fonctions définies sur X 1 (Ω),..., X n (Ω), lors f 1 (X 1 ),..., f n (X n ) sont mutuellement indépendntes. i I Exctement comme pour deux v.. Exemple Si X, Y, Z, T sont qutre v.. réelles mutuellement indépendntes, lors (X, Y ), Z, T sont ussi mutuellement indépendntes, tout comme X + Y, e Z et T

349 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Proposition Soit n N, A 1,..., A n n événements et X 1,..., X n les vribles de Bernoulli respectivement ssociées à ces événements. Alors les événements A 1,..., A n sont indépendnts si et seulement si les vribles létoires X 1,..., X n sont indépendntes. Supposons que les événements A 1,..., A n sont indépendnts. Soit lors x 1,..., x n n éléments de { 0, 1 }. Notons B i l événement X i = x i pour i [[1, n]]. Alors pour tout i, on B i = A i ou B i = Āi. Donc les événements B1,..., B n sont mutuellement indépendnts. On en déduit successivement : ( n ) ( n ) P (X i = x i) = P B i i=1 = = i=1 n P (B i) i n P (X i = x i). Ainsi, les vribles létoires X 1,..., X n sont mutuellement indépendntes. Réciproquement, supposons que les vribles létoires X 1,...,X n sont mutuellement indépendntes et montrons que les événements A 1,..., A n le sont ussi. Soit I [[1, n]. Alors les X i pour i I sont mutuellement indépendntes, en prticulier, on ( ) P (X i = 1) = P (X i = 1) i I Or pour tout i I, l événement (X i = 1) n est utre que A i. On en déduit donc le résultt. Remrque Si X 1,..., X n sont des vribles létoires suivnt des loi de Bernoulli, lors i i I X i = Crd { i 1, n X i = 1 }. i=1 On remrquer, sns s émouvoir, que { i 1, n X i = 1 } est une vrible létoire à vleurs dns P( 1, n ). Proposition Soit p [0, 1] et n N. Soit X 1,...,X n n vribles létoires suivnt toutes l loi de Bernoulli de prmètre p et mutuellement indépendntes. Alors l vrible X à vleurs dns [[0, n]] définie pr X = X X n suit l loi binomile de prmètres n et p. On, pour tout i [[1, n], X i(ω) = { 0, 1 }, donc X(Ω) [[0, n]]. Posons E = { 0, 1 } n, et pour tout élément (x 1,..., x n) de E, on note A (x1,...,x n) l événement n (Xi = xi). L i=1 fmille (A x) x E est un système complet d événements. Donc on, pour tout k [[0, n]] (X = k) = (X = k) A x = x E (x 1,...,xn) E x 1 + +xn=k A (x1,...,x n). Or les A x forment un système complet d événements. On donc P (X = k) = P (A (x1,...,x n) [X = k]) = (x 1,...,x n) E (x 1,...,xn) E x 1 + +xn=k P (A (x1,...,x n)). Or, les X i étnt mutuellement indépendntes, pour tout (x 1,..., x n) E, on n P (A (x1,...,x n)) = P (X i = x i). i=1 Or pour tout i [[1, n]], X i est une vrible de Bernoulli de prmètre p, donc si x i = 1, P (X i = x i) vut p et si x i = 0, P (X i = x i) vut (1 p). Donc si k est le nombre de membres du n-uplet (x 1,..., x n) vlnt 1, on D où P (A (x1,...,x n)) = p k (1 p) n k P (X = k) = = (x 1,...,xn) E x 1 + +xn=k ( n k ) p k (1 p) n k p k (1 p) n k. On peut ussi le montrer pr récurrence sur n. En notnt S n = X k, lors nturellement S 1 B(1, p). k=1 349

350 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Supposons que S n 1 B(n 1, p). Alors X n est indépendnte de (X 1,..., X n 1) donc de S n 1. Il ne reste plus qu à montrer que si Y B(n 1, p) est indépendnte de X n, lors S = X n + Y B(n, p). Comme X 1(Ω) = {0, 1} et Y (Ω) = 0, n 1, lors S(Ω) 0, n. Soit k 0, n, clculons P (S = k). Si k = 0, P (S = 0) = P ([X n = 0] [Y = 0]) et donc pr indépendnce de X n et de Y, P (S = 0) = P (X n = 0)P (Y = 0) = (1 p) (1 p) n 1 = (1 p) n. De même, si k = n, P (S = n) = P ([X n = 1] [Y = n 1]) et donc P (S = n) = P (X n = 1)P (Y = n 1) = p p n 1 = p n. Si 0 < k < n, lors ([X n = 0], [X n = 1]) est un système complet d événements, donc pr l formule des probbilités totles P (S = k) = P ([S = k] [X n = 0]) + P ([S = k] [X n = 1]) = P ([Y = k] [X n = 0]) + P ([Y = k 1] [X n = 1]) ind. = P (Y = k)p (X n = 0) + P (Y = k 1)P (X n = 1) ( ) n 1 = p k (1 p) n 1 k (1 p) k ( ) n 1 + p k 1 (1 p) n 1 (k 1) p k 1 [( ) ( )] = p k (1 p) n k n 1 n 1 + k k 1 ) = p k (1 p) n k ( n k 2.6 Espérnce Définition Soit X une vrible létoire réelle. On ppelle espérnce de X et on note E(X) l somme x X(Ω) P (X = x)x. On dit qu une vrible létoire X est centrée si son espérnce est nulle. Remrque L espérnce est l moyenne des vleurs prises pr X, pondérées pr leurs probbilités. 2. L espérnce de X ne dépend que de l loi de X, donc deux vribles ynt même loi ont même espérnce. Exercice On lnce deux dés et on note X l somme des deux résultts. Clculer l espérnce de X. Proposition Soit X une vrible létoire réelle. Alors on E(X) = ω Ω P ({ ω })X(ω). pr l formule du tringle de Pscl, ce qui permet de conclure. Remrque Dns le dernier clcul, on pouvit ussi écrire P (S = k) = P (S = k X = 0)P (X = 0) + P (S = k X = 1)P (X = 1) = P (Y = k X = 0)P (X = 0) + P (Y = k 1 X = 1)P (X = 1) puis de voir, pr indépendnce de X et de Y, que P (Y = k X = 0) = P (Y = k) insi que P (Y = k 1 X = 1) = P (Y = k 1). Nous n vons fit que démontrer ceci. Il suffit de remrquer que pour tout x X(Ω), on { X = x } = { ω Ω X(ω) = x }, donc P (X = x) = P ({ ω }) ω Ω X(ω)=x On lors successivement : E(X) = = x X(Ω) x X(Ω) ω Ω X(ω)=x ω Ω X(ω)=x = P ({ ω })X(ω) ω Ω P ({ ω }) x P ({ ω })X(ω) 350

351 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Proposition L espérnce est linéire et positive, donc croissnte. Plus précisément, soit X et Y deux vribles létoires réelles et α et β deux réels. Alors E(αX + βy ) = αe(x) + βe(y ) De plus si X est presque sûrement à vleurs positives (P (X 0) = 1) lors E(X) 0. Enfin, si l événement X Y est presque sûr, lors E(X) E(Y ). Les deux premiers points se déduisent imméditement de l proposition (pour le second on utilise que pour x < 0, on P (X = x) P (X < 0) = 1 P (X 0) = 0). Le troisième se déduit du fit que E(Y ) = E(Y X) + E(X) et que P (Y X 0) = P (X Y ) = 1. Remrque L propriété précédente s étend nturellement, pr récurrence, à toute combinison linéire (finie!) de vribles létoires. Remrque Si X est une v.. réelle, lors X E(X) est centrée. Proposition Une vrible létoire positive d espérnce nulle est nulle presque-sûrement. On une somme de termes positifs qui est nulle. Proposition (Espérnce des lois usuelles.). Soit C R, p [0, 1], n N,, b Z. 1. L espérnce d une vrible létoire constnte de vleur C est égle à C. 2. L espérnce d une vrible létoire suivnt l loi de Bernoulli de prmètre p est p. 3. L espérnce d une vrible létoire suivnt l loi binomile de prmètres n et p vut np. 4. L espérnce d une vrible létoire suivnt l loi uniforme sur, b, vec < b, vut + b 2. Les deux premiers points se déduisent directement de l définition. Pour le troisième, on sit que l espérnce d une vrible létoire ne dépend que de s loi. Étnt donné une vrible X sur un espce probbilisé Ω suivnt l loi binomile de prmètres n et p où n N et p [0, 1], on construit une vrible létoire Y, sur un utre espce de probbilité Ω, de fçon à ce que d une prt Y suive l loi binomile de prmètres n et p et d utre prt Y s écrive comme somme de de vribles Y 1,..., Y n de Bernoulli indépendntes, toutes de prmètre p. On lors E(X) = E(Y ) ( ) = E Y i = = i=1 E(Y i) i=1 p i=1 = np. Voici comment construire Ω et Y. On pose Ω = { 0, 1 } n et pour tout ω = (ω 1,..., ω n) Ω, on pose p ω = n α(ωi), i=1 où α(0) = 1 p et α(1) = p. On ω Ω p ω = = = (ω 1,...,ω n) { 0,1 } n i=1 n i=1 ω i { 0,1 } α(ω i) n (1 p + p). i=1 n α(ω i) Ainsi, il existe une probbilité sur Ω vérifint pour tout ω Ω, P ({ ω }) = p ω. On définit lors, pour i I, Y i l vrible létoire de Bernoulli vérifint Y i(ω 1,..., ω n) = ω i. Alors les Y i, pour i = 1,..., n sont des vribles létoires mutuellement indépendntes. En effet, soit x i pour i = 1,..., n des éléments de { 0, 1 }. 351

352 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Soit i [[1, n]], on lors P (Y i = x i) = (ω 1,...,ωn) { 0,1 } n ω i =x i = α(x i) = α(x i) = α(x i). n j=1 j i ω j { 0,1 } n α(ω j) j=1 n (1 p + p) j=1 j i α(ω j) Pr illeurs, on ( n ) P { Y i = x i } = P ({ (x 1,..., x n) }) donc i=1 = n α(x i), i=1 ( n ) P { Y i = x i } = i=1 n P (Y i = x i). i=1 Concernnt le dernier point, il suffit de voir que si X U (, b ), lors X U ( 0, b ). Soit donc n N et Y U ( 0, n ), lors EY = k=0 kp (Y = k) = 1 n + 1 k = n 2, k=0 ce qui permet de conclure pr EX = E [X ] + = b + = + b 2 2. Proposition (Formule de trnsfert). Soit X une vrible létoire à vleur dns E et f : X(Ω) R. Alors E [f(x)] = x X(Ω) P (X = x)f(x) En posnt s = P (X = x)f(x), on lors successivement : s = = x X(Ω) x X(Ω) x X(Ω) ω Ω X(ω)=x ω Ω X(ω)=x = P ({ ω })f(x)(ω) ω Ω = E [f(x)]. P ({ ω }) f(x) P ({ ω })f(x(ω)) Remrque L formule de trnsfert montre que E [f(x)] dépend juste de l loi de X et de f. Pour clculer cette espérnce, nul besoin d obtenir l loi de f(x)! Exercice Si X U ( 0, n ), clculer E [ X 2]. Proposition (Espérnce de vribles indépendntes). Soit X et Y deux vribles à vleurs réelles indépendntes. Alors E(XY ) = E(X)E(Y ). On, pr l formule de trnsfert (ppliquée à (X, Y ) et à (x, y) xy), E(XY ) = P ((X, Y ) = (x, y))xy = = (x,y) X(Ω) Y (Ω) (x,y) X(Ω) Y (Ω) x X(Ω)) = E(X)E(Y ) P (X = x)x P (X = x)p (Y = y)xy y Y (Ω) P (Y = y)y On déjà noté que pour tout x X(Ω), on P (X = x) = ω Ω X(ω)=x P ({ ω }). Remrque L réciproque est bien entendu fusse. Considérez pr exemple l vrible X U ( 1, 0, 1) et Y = X

353 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Remrque Cel se générlise : si X 1,..., X n sont des v.. réelles mutuellement indépendntes, lors E [X 1... X n ] = E [X 1 ]... E [X n ]. Proposition (Inéglité de Mrkov). Soit X une vrible létoire réelle à vleurs positives presque-sûrement. Soit t R +. On : P (X t) E(X). t On E(X) = P ({ ω })X(ω) = ω Ω ω Ω X(ω) t ω Ω X(ω) t ω Ω X(ω) t P ({ ω })X(ω) + P ({ ω })X(ω) P ({ ω })t tp ({ ω Ω X(ω) t }) tp (X t) ω Ω X(ω)<t P ({ ω })X(ω) Sinon, il suffit de voir que t1 X t est une vrible létoire inférieure à X p.s, puis de considérer son espérnce... Remrque C est une inéglité fondmentle en probbilité, vous l retrouverez de nombreuses fois : retenez l bien! Exemple n étudints ont trvillé u mois de juillet dernier. En moyenne, leur trvil leur rpporté 750 euros chcun. Donner un mjornt de l proportion d étudints ynt ggné u moins 1000 euros. 2.7 Vrince, écrt type et covrince Définition (Moments). Soit X une vrible létoire réelle. Soit r N. On ppelle moment d ordre r de X et on note m r (X) l espérnce de X r : m r (X) = E(X r ). On ppelle moment centré d ordre r de X et on note µ r (X) le moment d ordre r de X E(X) : µ r (X) = E((X E(X)) r ). On ppelle vrince de X et on note V (X) son moment centré d ordre 2 : ( V (X) = E (X E(X)) 2). On ppelle écrt-type de X et on note σ(x) l rcine crrée de l vrince : σ(x) = V (X). On dit que X est une vrible létoire réduite si s vrince est 1. Remrque Les moments et les moments centrés ne dépendent que de l loi de X. 2. Intuitivement l vrince mesure l «moyenne» du crré des écrts à l «moyenne». C est donc une mesure de l dispersion des vleurs utour de l vleur moyenne prise pr l vrible létoire X. Si l vrible X est exprimée dns une unité u, l vrince ser exprimée dns l unité u 2 (et l écrt-type dns l unité u). Proposition (Formule de König-Huygens). Soit X une vrible létoire réelle. Alors l vrince est l différence entre l espérnce de son crré et le crré de son espérnce : V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. Il suffit d utiliser l définition, l linérité de l espérnce 353

354 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI et le résultt sur l espérnce d une vrible constnte pour obtenir successivement : V (X) = E ( (X E(X)) 2) = E ( X 2 2E(X)X + E(X) 2) = E ( X 2) 2E(X)E(X) + E(X) 2 = E ( X 2) E(X) 2. Proposition Soit X une vrible létoire réelle, et et b deux réels. Alors E(X + b) = E(X) + b, V (X + b) = 2 V (X), σ(x + b) = σ(x). En prticulier, si σ(x) 0, l vrible Y définie pr Y = X E(X) σ(x) est une vrible centrée réduite. On connît déjà le premier point. Il suffit de remplcer pr les définitions et de clculer pour conclure pour les utres. Proposition (Vrince des lois usuelles). Soit p [0, 1] et n N. 1. Toute vrible létoire constnte p.s. est de vrince nulle. 2. Toute vrible létoire réelle suivnt l loi de Bernoulli de prmètre p pour vrince p(1 p). 3. Toute vrible létoire réelle suivnt l loi binomile de prmètres p et n pour vrince np(1 p). 4. Toute vrible létoire rélle suivnt l loi uniforme sur 1, n, pour vrince n Considérons X une vrible létoire réelle suivnt l loi de Bernoulli de prmètre p. Alors V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. Or P (X 2 = 1) = P (X = 1) = p et donc E(X 2 ) = p. Donc V (X) = p p 2 = p(1 p). 3. Soit X une vrible létoire réelle suivnt l loi binomile de prmètres p et n. Alors on peut construire une vrible létoire réelle Y de même loi que X, donc de même vrince, de fçon que Y soit l somme de n vribles de Bernoulli Y 1,..., Y n de prmètre p mutuellement indépendntes. On verr plus loin que dns le cs prticulier de vribles deux à deux indépendntes, l vrince de l somme est égle à l somme des vrinces. on donc ici : V (Y ) = V (Y i) = np(1 p) i=1 4. Fisons le clcul dns le cs générl X U (, b ), vec < b. X U ( 0, b ) et V (X ) = V (X). Soit Y U ( 0, n ), vec n N, clculons V (Y ). Pr l formule de König-Huygens, V (Y ) = E [ Y 2] E [Y ] 2 = E [ Y 2] n2. De plus, pr l 4 formule de trnsfert, Ainsi, V (Y ) = E [ Y 2] = k 2 P (Y = k) k=0 = 1 n + 1 = 2n(2n + 1) 12 k=0 k 2 n(2n + 1). 6 3n2 12 n(n + 2) =. 12 (b )(b + 2) Donc V (X) = et l on retrouve 12 bien l énoncé vec b = n et = 1. Théorème (Inéglité de Bienymé-Tchebychev). Soit X une vrible létoire réelle, V (X) s vrince, soit ε > 0. Alors P ( X EX ε) V (X) ε Direct. 354

355 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Il suffit de constter que (X EX) 2 est une v.. positive, donc d près l inéglité de Mrkov : P ( X EX ε) = P ( (X EX) 2 ε 2) E [ (X EX) 2] ε 2 V (X) ε 2. Remrque Cette inéglité contrôle l dévition d une vrible létoire pr rpport à s moyenne. C est un résultt fondmentl! Corollire Une vrible létoire de vrince nulle est constnte presque-sûrement. Remrquons que (X E [X]) 2 est positive, donc si V (X) = 0 lors p.s. (X E [X]) 2 = 0, en utilisnt le résultt??. Ainsi p.s. X = E [X]. Définition (Covrince). Soit X et Y deux vribles létoires réelles. On ppelle covrince de X et Y et on note Cov(X, Y ) le réel L inéglité de Cuchy-Schwrz (que nous verrons bientôt) permet de montrer deux résultts intéressnts : ρ(x, Y ) [ 1, 1] ; si ρ(x, Y ) = 1, lors il existe, b, c R tels que X + by = c p.s, i.e. X et Y sont p.s. en reltion ffine. On montre ussi fcilement que, si l on résout le problème de régression ffine de Y sur X pr moindres crrés, i.e. si l on minimise en, b R l quntité : [ E (Y X b) 2], lors le coefficient optiml (c est l pente de l droite de régression de Y sur X) est = Cov(X, Y ) V (X) = ρ(x, Y ) σ(y ) σ(x). Remrquons que, dns ce cs, effectuer l régression de Y sur X n est ps l même chose que d effectuer l régression de X sur Y! Si X et Y sont centrées-réduites (en prtique, il convient souvent de centrer-réduire ses données vnt d effectuer un tritement sttistique dessus), on s perçoit que = ρ(x, Y ). Cov(X, Y ) = E((X EX)(Y EY )). Si Cov(X, Y ) = 0, on dit que X et Y sont décorrélées. Remrque Cov(X, X) n est utre que V (X) et Cov(X, Y ) = Cov(Y, X). Remrque Si σ(x) = 0, nous vons vu que X = E [X] p.s, donc Cov(X, Y ) = 0. Si σ(x) et σ(y ) ne sont ps nuls, on définit le coefficient de corréltion de X et de Y pr Exercice Soit (Ω, P ) un espce probbilisé fini, X une vrible létoire réelle définie sur Ω et f une fonction réelle croissnte. Montrer que Cov(X, f(x)) 0. Proposition Soit X et Y deux vribles létoires réelles. Alors on Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ). 355

356 CHAPITRE XXII. PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Proposition Soit n N et X 1,..., X n n vribles létoires réelles. Alors on V ( X i ) = V (X i ) + 2 Cov(X i, X j ). i=1 i=1 1 i<j n Figure XXII.2 Exemple de régression ffine 3 pr moindres crrés, ici ρ(x, Y ) = 0, Comme pour l formule de König-Huygens : Cov(X, Y ) = E(X EX)(Y EY ) = E(XY XEY Y EX + EXEY ) = E(XY ) E(X)E(Y ) E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Remrque Pr l formule de trnsfert, E [XY ] = x X(Ω), y Y (Ω) xyp (X = x, Y = y). Corollire Deux vribles létoires indépendntes ont une covrince nulle. Posons, pour i = 1,..., n, Y i = X i E(X i) et X = On : (( ) 2 ) V (X) = E Y i = E = = ( i=1 i=1 i=1 Y 2 i i<j n E ( ) Yi V (X i) + 2 i=1 1 i<j n 1 i<j n Y iy j ) E(Y iy j) Cov(X i, X j). X i. i=1 Corollire Dns le cs prticulier où les vribles X 1,..., X n sont deux à deux décorrélées, l vrince de leur somme est égle à l somme de leurs vrinces. Remrque On déduit de ce résultt l vrince de l loi binomile, comme on l vu plus hut. Remrque Comme montré pr l exemple X U ( 1, 0, 1) et Y = X 2, deux vribles peuvent être non corrélées mis sns être indépendntes. 356

357 Chpitre XXIII Clcul mtriciel 1 Structure de M n,p (K) Rppels Définitions élémentires b Opértions sur les mtrices c Mtrices crrées Structure d espce vectoriel Remrques sur le produit Produit pr un vecteur colonne. 333 b Colonnes d un produit c Appliction cnoniquement ssociée 334 d Produit d éléments des bses cnoniques Mtrices, fmilles de vecteurs et pplictions linéires Mtrice d une fmille de vecteurs reltivement à une bse Mtrice ssociée à une ppliction linéire reltivement à deux bses Inversibilité Mtrices de pssge Mtrices remrqubles Trnsposée Mtrices tringulires Mtrices digonles Mtrices symétriques et ntisymétriques Opértions élémentires sur les mtrices343 5 Rng d une mtrice Définitions Opértions lissnt le rng invrint Clculs prtiques Mtrices extrites Systèmes d équtions linéires Générlités Solutions Mtrices semblbles et trce Mtrices semblbles Chngement de bse pour un endomorphisme Trce d une mtrice crrée Définition b Linérité c Propriété fondmentle de l trce 350 d Invrince pr similitude e Trce d un endomorphisme en dimension finie f Propriétés g Trce d un projecteur Mtrices pr blocs

358 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Dns tout ce chpitre et suf mention expresse du contrire, n, m, p, q, r et t désignent des entiers nturels non nuls, et K désigne R ou C. 1 Structure de M n,p (K) 1.1 Rppels Définitions élémentires Définition On ppelle mtrice de tille n p (ou à n lignes et p colonnes), à vleurs (ou coefficients) dns K, toute fmille de np éléments de K, ces éléments étnt notés ( ij ) 1 i n,1 j p, et présentés sous l forme d un tbleu de l mnière suivnte : A = 1,1... 1,p.. n,1... n,p. On note A = ( ij ) 1 i n,1 j p, les ( i,j ) étnt les coefficients de l mtrice A, i,j étnt le coefficient de l i e ligne et de l j e colonne. L mtrice ( i,j ) 1 j n est l i e ligne de A, prfois notée i,. L mtrice ( i,j ) 1 i n est l j e colonne de A, prfois notée,j. Remrque Le premier indice indique toujours l ligne et le second indice indique toujours l colonne. En générl (mis ttention qund même), on les note respectivement i et j. Exemple Donner l mtrice (i j) 1 i 3,1 j 5. Définition L ensemble des mtrices de tille n p est noté M n,p (K). On ppelle mtrice crrée d ordre n toute mtrice de tille n n. L ensemble des mtrices crrées d ordre n est noté M n (K). On ppelle mtrice nulle d ordre n l mtrice crrée d ordre n dont tous les coefficients sont nuls. On l note simplement 0 n, ou 0 sns référence à s tille s il n y ps d mbiguïté. On ppelle mtrice identité d ordre n l mtrice (δ i,j ) 1 i,j n. On l note I n, ou Id n. On ppelle mtrice digonle toute mtrice crrée ( ij ) 1 i,j n telle que pour tous i, j 1, n, i j i,j = 0. On ppelle mtrice tringulire supérieure (resp. inférieure) toute mtrice crrée ( ij ) 1 i,j n telle que pour tous i, j 1, n tells que i > j (resp. i < j), ij = 0. Remrque On note générlement les mtrices pr des lettres mjuscules, et l fmille des coefficients pr l lettre minuscule correspondnte. b 2. On identifie les mtrices colonnes de M n,1 (K) vec les éléments de K n. 3. On se grder d identifier les mtrices lignes vec les éléments de K n cr on préfère les identifier vec d utres objets mthémtiques (on verr cel plus trd). Opértions sur les mtrices Définition Soient A = ( ij ) 1 i n,1 j p et B = (b ij ) 1 i n,1 j p deux mtrices de même tille, et λ K un sclire. Addition On ppelle somme de A et B l mtrice ( ij + b ij ) 1 i n,1 j p, notée A + B. Produit pr un sclire On note λa l mtrice (λ ij ) 1 i n,1 j p. Attention ux tilles des mtrices : on ne peut dditionner n importe quoi vec n importe quoi. 358

359 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Exemple ( ) ( ) = ( ) Définition (Produit mtriciel). Soient A M n,p (K) et B M p,q (K). On ppelle produit de A pr B( noté AB l mtrice de p M n,q (K) de coefficients ik b kj ). k=1 Gre ux dimensions, on ne peut ps multiplier n importe quelle mtrices. Exemple On tâcher d orgniser les produits comme suit : Dim. OK }{{} A Le produit impossible : ( ) B ({}} ){ }{{} =AB ( ) Ce produit comporte plein de pièges : ( Il ) n est ( ps) commuttif, ( ) ( pr ) exemple : Et même pire, AB peut exister mis ps BA. Le produit de deux mtrices non nulles ( peut ) 0 1 vloir l mtrice nulle. Exemple : A =, 0 0 ( ) 1 0 B =, lors AA = 0, AB = 0 et BA On ne peut ps «simplifier» dns un produit. Ici : A A = A B mis A B. Proposition Le produit mtriciel est : Associtif : si A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), lors (AB)C et A(BC) sont dns M n,r (K) et sont égles, notées ABC. Bilinéire : si A, B, C, D sont des mtrices de tille convenble, et si λ K, lors (A + λb)c = AC + λbc et A(C + λd) = AC + λad. Les mtrices nulles et identité jouent un rôle bien prticulier. Si A M n,p (K) et q N, lors Neutre à guche Neutre à droite Mult. pr 0 à guche Mult. pr 0 à droite : I n A = A : AI p = A : 0 q,n A = 0 q,p : A0 p,q = 0 n,q Bien qu un peu technique, nous donnons ici l démonstrtion ; nous en verrons plus trd une utre. 1. A = ( ij), B = (b ij), C = (c ij). Ainsi, ( q BC = k=1 b ik c kj ) 1 i p,1 j r et ( p ( q )) A(BC) = il b lk c kj l=1 k=1 Or, si 1 i n et 1 j r, ( p q ) p il b lk c kj = il l=1 k=1 = = = l=1 p l=1 k=1 q k=1 l=1 1 i n,1 j r q b lk c kj k=1 q il b lk c kj p il b lk c kj ( q p ) il b lk c kj, k=1 l=1 qui est le coefficient i, j de (AB)C. D où l églité voulue. 2. idem ( ) 3. I na = δ ik kj = (δ ii ij) = ( ij) = A. k=1. 359

360 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL 4. Direct. Remrque Pr ssocitivité, il y 5 mnières de clculer ABCD qui conduisent toutes u même résultt : ((AB)C)D = (A(BC))D = A((BC)D) = A(B(CD)) = (AB)(CD). Mis le temps de clcul est-il le même dns les 5 cs? C est le problème de l multipliction mtricielle enchînée (Mtrix chin multipliction ou Mtrix Chin Ordering Problem (MCOP) en nglis). Plus générlement, le problème est de svoir dns quel ordre effectuer les produits pour clculer le plus efficcement possible un produit de mtrices M 1.M 2..M n. Ce problème peut se résoudre pr progrmmtion dynmique, ce qui est u progrmme en option informtique, mis même si ce n est ps toujours l solution optimle, il vut mieux commencer pr les produits qui font pprître des «petites» mtrices. Précisément, le produit d une mtrice n p pr une mtrice p q nécessite de l ordre de n p q opértions. Ainsi, si A M 10,100 (K), B M 100,5 et C M 5,50, le clcul de (AB)C demnde de l ordre de ( ) = opértions, lors que celui de A(BC) en demnde de l ordre de = c Mtrices crrées Théorème (M n (K), +, ) est un nneu, et le neutre de est I n. 1. cet nneu n est ps commuttif ; 2. il n est ps intègre, d une prt prce qu il n est ps commuttif et d utre prt ussi prce qu on peut trouver des mtrices nonnulles dont le produit est nul. Mintennt que l on sit que (M n (K), +, ) est un nneu, on peut utiliser les résultts démontrés dns le chpitre sur les nneux. Définition (Puissnces d une mtrice crrée). On les définit pr récurrence : si M M n (K), lors, M 0 = I n, M 1 = M, et pour tout k N, M k+1 = M M k (on donc, pour tout k N, M k = M M... M. Ainsi pour tout k N, }{{} k fois on M n M n (K). Remrque On remrque que les puissnces d une même mtrice commutent entre elles : M k M j = M M... M }{{} k fois = M M... M }{{} (k+j) fois = M M... M }{{} j fois = M j M k. M M... M }{{} j fois M M... M }{{} k fois On déjà vu que M n(k) étit un groupe bélien. Or on de plus les propriétés suivntes : 1. (M n(k), ) est un monoïde (le produit est une loi de composition interne ssocitive et l mtrice identité est neutre pour cette loi). 2. l multipliction est distributive à guche et à droite pr rpport à l ddition. Rppel : Théorème (Formule du binôme de Newton). Elle est vlble pour les mtrices crrées qui commutent. Il s git de ne jmis oublier de vérifier que deux mtrices cummutent vnt de pouvoir utiliser cette formule. 360

361 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Exemple Clculer A 2 vec A = = = B + C. Clculer A 3 vec A = = = B + C. L définition d inversibilité donnée en début d nnée est exctement celle qu on donnée dns le chpitre sur les nneux. Définition Soit A M n (K). On dit que A est inversible s il existe une mtrice B M n (K) telle que AB = BA = I n. Dns ce cs B est unique, est ppelée l inverse de A et est notée A 1. Il est utile de connître le résultt suivnt. Proposition (Critère et formule d inversibilité ( ) d une mtrice 2 2). b est inversible si et seulement si son déterminnt est non nul, i.e. d bc 0. Alors, c d ( ) 1 ( ) b 1 d b =. c d d bc c On déjà fit l preuve pr le clcul, pr exemple en se fondnt sur l reltion ( ) 2 ( ) b b ( + d) + (d bc)i c d c d 2 = 0. On en verr une preuve plus générle dns le chpitre tritnt les déterminnts. Exemple À vous de construire votre exemple! On déjà vu que l ensemble des inversibles, muni de l multipliction, constituit un groupe. Définition Le groupe des inversibles de M n (K) est ppelé le groupe linéire d ordre n et est noté G L n (K). 1.2 Structure d espce vectoriel Théorème (M n,p (K), +,.) est un K-espce vectoriel de bse (E i,j ) (i,j) [[1,n]] [[1,p]], vec E i,j = (δ ki δ lj ) (k,l). En prticulier dim K M n,p (K) = np. L bse (E i,j ) (i,j) [[1,n]] [[1,p]] est l bse cnonique de M n,p (K). On déjà vu qu il s gissit d un K-ev puisque : 1. (M n,p(k), +) est un groupe bélien (+ est une loi de composition interne, ssocitive, commuttive, dmettnt un élément neutre l mtrice nulle et pour lquelle tout élément dmet un opposé l mtrice de coefficients opposés). 2. Pour toute M M n,p(k), 1 M = M. 3. Le produit externe est distributif à droite pr rpport à l ddition. 4. Le produit externe est distributif à guche pr rpport à l ddition. 5. On l propriété d ssocitivité mixte. Il reste à montrer que l fmille des (E i,j) (i,j) [1,n ] [1,p ] en est une bse. 361

362 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Pour cel, il suffit de remrquer que pour toute mtrice M, de coefficients (m ij) (i,j) [1,n ] [1,p ], on M = (i,j) [1,n ] [1,p ] m ije ij. On en déduit donc : d une prt que toute mtrice M s écrit d u moins une fçon comme combinison linéire des E ij pour (i, j) [[1, n]] [[1, p]] et que l fmille (E ij) est génértrice ; d utre prt que toute combinison linéire des (E ij) est égle à une mtrice dont les coefficients sont ceux de l combinison linéire, qu en conséquence toute combinison linéire (i,j) [1,n ] [1,p ] λijeij de vleur nulle est ussi égle à l mtrice des (λ ij) (i,j) [1,n ] [1,p ] qui ne peut donc voir que des coefficients tous nuls et que l fmille des (E ij) est donc libre. 1.3 Remrques sur le produit Produit pr un vecteur colonne Remrque Soit M M n,p (K) et x 1 X =.. x p Alors, en notnt C 1,...,C p les colonnes de M, on p MX = x k C k. k=1 En prticulier : l mtrice MX est une combinison linéire des C k, pour k [[1, p], pour tout i [[1, p]], le produit ME i où E i est le i e vecteur de l bse cnonique de M p,1 (K) est exctement C i. En effet ME i = M δ 1i. δ pi = p δ ki C k = C i. k=1 Proposition Soient A M n,p (K) et B M p,q (K). Soit α [[1, q ]. Notons C α l α e colonne de B. Alors l α e colonne de AB est l mtrice AC α. Le produit AB est l mtrice de coefficients ( p ) ik b kj, k=1 (i,j) [1,n ] [1,q ] qui possède q colonnes, comme B. L α e colonne de cette mtrice existe donc et pour coefficients ( p k=1 ik b kα ) i [1,n ] Notons c 1,..., c p les coefficients de C α. L mtrice AC α est l mtrice colonne de coefficients ( p k=1 ik c k ) i [1,n ] Or C α est l α e colonne de B, donc pour tout k [[1, p]c k = b kα. AC α donc même coefficients que l α e colonne de AB, elle lui est donc égle. c Appliction cnoniquement ssociée Définition Soit M M n,p (K). On ppelle ppliction linéire cnoniquement ssociée à M l ppliction { Mp,1 (K) M u : n,1 (K) X MX ou, en identifint K p vec M p,1 (K) et K n vec M n,1 (K) : K p K n u : (x 1,..., x p ) M.. x 1. x p. b Colonnes d un produit 362

363 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Proposition Cette ppliction est bien une ppliction linéire. Pour tout (X, Y ) M p,1(k) et tout λ K, on u(λx + Y ) = M(λX + Y ) = λ(mx) + MY = λu(x) + u(y ). Définition On ppelle noyu (resp. imge) de M et on note Ker M (resp. Im M) le noyu (resp. l imge) de l ppliction linéire cnoniquement ssociée à M. d Produit d éléments des bses cnoniques Proposition Notons (E ij ) (i,j) [[1,n]] [[1,p]] l bse cnonique de ( M n,p ) (K) ; E ij celle de M p,q(k). (i,j) [[1,p]] [[1,q]] ( E ij ) (i,j) [[1,n]] [[1,q]] celle de M n,q(k). Soit (i, j) [[1, n] [[1, p] ; (k, h) [[1, p] [[1, q ]. Alors E ij E kh = δ jk E ih { E ih si j = k, = 0 nq sinon. Remrque Dessiner les mtrices pour voir de quoi il retourne. L démonstrtion suivnte n est que l description du dessin. Soit α [[1, q]]. L α e colonne de E ij E kh est E ijc α où C α est l α e colonne de E kh. Si α h, C α = 0 p1, donc toutes les colonnes de E ij E kh sont nulles suf peut-être l h e. Cette h e colonne de E kh est égle à E ijc h. C h étnt le k e vecteur de l bse cnonique de M p,1(k), E ijc h est l k e colonne de E ij. Celle-ci est nulle si j k. Sinon, il s git du i e vecteur de l bse cnonique de M n,1(k). On en déduit le résultt. On peut églement dopter une démonstrtion purement clcultoire. Notons (m b ) (,b) [1,n ] [1,q ] les coefficients du produit E ije kh. Alors, soit (, b) [[1, n] [[1, q ]. On m b = p (δ iδ cj)(δ ck δ bh ) c=1 = (δ iδ cc)(δ jk δ bh ) = δ jk (δ iδ bh ) m b est donc le coefficient de l ligne, colonne b de δ jk E ih. 2 Mtrices, fmilles de vecteurs et pplictions linéires 2.1 Mtrice d une fmille de vecteurs reltivement à une bse Définition Soit B = (e 1,..., e n ) une bse d un K-ev E de dimension finie n. Soient v 1,..., v p p vecteurs de E. On note ij l i e coordonnées de v j dns B, i.e. v j = ij e i. i=1 Alors, l mtrice A = ( ij ) M n,p (K) est ppelée mtrice de l fmille (v 1,..., v p ) dns l bse B (ou reltivement à l bse B), et elle est notée Mt B (v 1,..., v p ) (prfois M B (v 1,..., v p )). Exemple Dns R 2, notons B l bse cnonique et B l bse ((0, 1); (1, 1)). Avec F = ((1, 2); (0, 3); ( 1, 1)), on ( ) Mt B (F ) =, ( ) Mt B (F ) =

364 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL 2. Dns R 3 [X] muni de l bse cnonique B, vec l fmille F = (1 + X 2 ; 1 + X + X 2 + X 3 ; X 3 2), on Mt B (F ) = Mtrice d une fmille de vecteurs de K n dns l bse cnonique. 4. L mtrice d une fmille de vecteurs colonnes C 1,..., C p éléments de M n,1 (K) dns l bse cnonique est l mtrice dont les colonnes sont C 1,..., C p. Théorème Soit B = (e 1,..., e n ) une bse d un K-ev E de dimension finie n. Alors l ppliction { (E, +,.) (Mn,1 (K), +,.) ϕ : x Mt B (x) est un isomorphisme d espces vectoriels. Soient x, y E tels que x = x k e k et y = k=1 y k e k. Soit k=1 λ K. Alors ϕ(x + λy) = (x i + λy i) 1 i n = (x i) 1 i n + λ(y i) 1 i n = ϕ(x) + λϕ(y). D où l linérité de ϕ. De plus, soit M = (m i) 1 i n M n,1(k). Alors ϕ(x) = M si et seulement si pour tout i, m i = x i, d où l bijectivité de ϕ. 2.2 Mtrice ssociée à une ppliction linéire reltivement à deux bses Définition Soient E un K-ev de dimension finie p et F un K- ev de dimension finie n. Soient B = (e 1,..., e p ) et C = (f 1,..., f n ) des bses de E et F respectivement. Soit u L (E, F ). On ppelle mtrice de u reltivement à B et C, notée Mt B,C (u) (prfois M B,C (u)), l mtrice Mt C (u(e 1 ),..., u(e p )) M n,p (K). Autrement dit, cette mtrice contient les coordonnées des imges des vecteurs de l bse de déprt décomposés dns l bse d rrivée. Remrque Si B = C, on note Mt B (u) = Mt B,B (u). Remrque On pourr représenter f et s mtrice dns un schém comme représenté dns l figure??. E, B f Mt B,C (f) F, C Figure XXIII.1 Représenttion schémtique de l mtrice d une ppliction linéire. Exemple Soit u : R 2 R 2, (x, y) (x y, 3x + 2y), B = (e 1, e 2 ) l bse cnonique B de R 2 On u(e 1 ) = (1, 3) = e 1 + 3e 2 et u(e 2 ) = ( 1, 2) = e 1 + 2e 2. Ainsi, l mtrice ssociée à u reltivement à B est ( ) 1 1 Mt B (u) =. 3 2 (( ) ( )) 1 0 Avec C l bse (f 1, f 2 ) = ;, on 1 1 u(e 1 ) = f 1 2f 2 et u(e 2 ) = f 1 3f 2. Ainsi, ( ) 1 1 Mt B,C (u) =. 2 3 Exercice Avec les mêmes u, B et C, clculer Mt C,B (u). 2. Réciproquement, trouver ( l ppliction ) linéire ssociée à M = reltivement ux bses cnoniques de R Notons ϕ : R 3 [X] R 4 [X], P P + 3XP, B = (1, X, X 2, X 3 ) et C = (X 3, X, X 2, 1, X 4 ) Trouver l mtrice de ϕ reltivement ux bses B et C. 364

365 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL 4. Réciproquement, vec les mêmes bses, notons ϕ l unique ppliction linéire telle que Mt B,C (ϕ) = retrouver l expression de ϕ. 5. Donner l mtrice de R 3 [X] R 3 [X] P P dns les bses cnoniques. 6. Donner l mtrice de R 3 [X] R P P (π) dns les bses cnoniques. Théorème Soient E un K-ev de dimension finie p et F un K- ev de dimension finie n. Soient B = (e 1,..., e p ) et C = (f 1,..., f n ) des bses de E et F respectivement. Soit M M n,p (K). Il existe une unique ppliction u L (E, F ) telle que M = Mt B,C (u) : c est l unique ppliction linéire ssocint, pour tout i [[1, p]], u i e vecteur de l bse B le vecteur dont le vecteur des coordonnées dns l bse C est l i e colonne de M. dns des bses différentes, l mtrice de l identité n est ps l identité! Exemple : clculer Mt B,C (Id R 2) où C = ( ı, j ) est l bse cnonique de R 2 et B = ( ı + j, ı j ). Proposition Soit M M n,p (K). L mtrice de l ppliction linéire cnoniquement ssociée à M dns les bses cnoniques de M n,1 (K) et M p,1 (K) est M. Notons u l ppliction cnoniquement ssociée à M. D près l remrque 1.3.1, pour tout k [[1, p]], l imge pr u du k e vecteur de l bse cnonique est l k e colonne de M. Donc l mtrice de u est l mtrice des vecteurs colonnes de M dns l bse cnonique : c est donc M. Théorème On grde les mêmes nottions. On considère l ppliction { (L (E, F ), +,.) (Mn,p (K), +,.) ϕ :. u Mt B,C (u) Alors, ϕ est un isomorphisme d espces vectoriels. Notons (m ij) (i,j) [1,n ] [1,p ] les coefficients de M et C 1,..., C p les colonnes de M. Pour j [[1, p]], on note v j l unique vecteur de E tel que Mt C (v j) = C j (il s git du vecteur m 1jf m njf n). Soit lors u L (E, F ). On M = Mt B,C (u) si et seulement si Mt C (v 1,..., v p) = Mt C (u(e 1),..., u(e p)), c est-à-dire si et seulement si i [[1, p]]v i = u(e i), or on sit qu il existe une unique ppliction linéire u vérifint cette dernière condition. Il existe donc une unique ppliction linéire u vérifint M = Mt B,C (u). Remrque Dns le cs où les espces vectoriels de déprt et d rrivée sont le même, l mtrice de l identité est I n si on considère l même bse u déprt et à l rrivée. On déjà vu que cette ppliction étit bijective. Voir pourquoi elle est linéire est lissé en exercice u lecteur. Remrquons que, puisqu on sit que les deux espces vectoriels considérés sont de dimension finie et de même dimension, on urit pu se dispenser de montrer précédemment qu elle étit injective ou se dispenser de montrer qu elle étit surjective. Remrque Ceci justifie l identifiction forme linéire sur K p / mtrice ligne à p colonnes. Exemple. 2. Ce résultt permet u pssge de dire que si M M p,n (K) et X M n,1 (K), MX = 0, lors M = 0. En effet, les pplictions X MX et X 0 n X sont lors égles, donc les mtrices M et 0 n le sont. 365

366 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Proposition Avec les mêmes nottions qu en 2.2.1, on x E Mt C (u(x)) = Mt B,C (u) Mt B (x). Soit x E. Posons M = Mt B,C (u) et X = Mt B (x). Notons (m ij) les coefficients de M, (xj) (i,j) [1,n ] [1,p ] j [1,p ] ceux de X, (y i) ceux de MX, (ej) i [1,n ] j [1,p ] les vecteurs de l bse B et (f i) i [1,n ] ceux de C. Alors, pr définition du produit mtriciel, on Alors on x = i [[1, n]] y i = p m ijx j. j=1 p x je j, donc u(x) = j=1 p x ju(e j). j=1 Pr illeurs, pour tout j [[1, p]], u(e j) = On donc u(x) = = = p j=1 i=1 i=1 j=1 x jm ijf i p x jm ijf i y if i. i=1 m ijf i. i=1 Ainsi, Mt C (u(x)) pour coefficients l fmille (y i) i [1,n ]. Exemple Reprendre les deux premiers exemple de l série d exemples précédente vec le vecteur (17, 42). Remrque On pourr représenter schémtiquement ce résultt comme dns l figure?? : vec M = Mt B,C (u) et Mt B (x), on Mt C (u(x)) = MX. Théorème Soient E, F, G trois K-ev de bses B, C, D. Soient f L (F, G), g L (E, F ). Alors Mt B,D (f g) = Mt C,D (f) Mt B,C (g). x E, B X u M u(x) F, C MX Figure XXIII.2 Mtrice de l imge d un vecteur pr une ppliction linéire. Alors : Mt C (g(x)) = BX, et Mt B,D (f g)x = Mt D ((f g)(x)) = A(BX) = (AB)X. Soit ϕ L (E, G) de mtrice N = Mt B,D (f g) AB. Alors pour tout x, N X = 0, donc ϕ(x) = 0, insi ϕ = 0. Mis pr unicité de l mtrice (théorème précédent), on N = 0, d où Mt B,D (f g) = AB. Notons n, p et q les dimensions respectives de E, F, et G et (e 1,..., e n) les vecteurs de l bse B. Posons A = Mt C,D (f), B = Mt B,C (g) et C = Mt B,D (f g). AB et C sont toutes deux des mtrices q n. Montrons qu elles ont mêmes colonnes, ce qui montrer le résultt voulu : elles sont égles. Soit k [[1, n]]. Notons X k l k e colonne de AB. Alors, d près l proposition 1.3.2, X k = AY k où Y k est l k e colonne de B. Or l Y k est l mtrice des coordonnées de g(e k ) dns l bse C, donc AY k est l mtrice des coordonnées de f(g(e k )) dns l bse D. Donc X k est l mtrice des coordonnées de f(g(e k )) dns D. Or f(g(e k )) = (f g)(e k ) et f g pour mtrice C dns les bses B et D. Donc X k est l k e colonne de C. AB et C ont donc les mêmes colonnes, donc sont égles. Remrque Ce résultt peut être vu comme LA rison pour lquelle le produit mtriciel est ssocitif. On peut en effet en tirer une démonstrtion nonclcultoire de l ssocitivité du produit mtriciel : étnt donné trois mtrices A, B, C telles que le produit A(BC) soit bien défini, il suffit de choisir qutre espces vectoriels, des bses de ces espces vectoriels et trois pplictions f, g et h telles que les mtrices A, B et C soient respectivement celles de f, g et h. Alors A(BC) est l mtrice de f (g h) et (AB)C est celle de (f g) h. Or l composition d ppliction est ssocitive donc ces deux pplictions sont égles, donc A(BC) = (AB)C. 366

367 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL On lisse u lecteur le soin de vérifier que l propriété d ssocitivité du produit mtriciel n ps été utilisée dns l démonstrtion ci-dessus ni dns les résultts ou définitions qu elle utilise. Remrque On pourr représenter schémtiquement ce résultt comme dns l figure?? : vec M = Mt C,D (f) et N = Mt B,C (g), on Mt B,D (f g) = MN. On rélise lors ce que l on peut ppe- Corollire Soit E un K-ev de dim n, et B une bse de E. Alors, l ppliction { (L (E), +, ) (Mn (K), +, ) ϕ : u Mt B (u) est un isomorphisme d nneux. E, B N g F, C f g MN f M G, D Le théorème ssure que c est un isomorphisme de groupes pour l loi +, le théorème montre que l imge du produit est le produit des imges et l imge du neutre de L (E) pour l composition (qui est l ppliction identité sur E) est le neutre de M n(k) pour le produit (qui est I n). 2.3 Inversibilité Figure XXIII.3 Digrmme de composition d pplictions linéires et de leurs représenttions mtricielles. ler un digrmme de composition commuttif : les pplictions obtenues en composnt plusieurs flèches ynt même déprt et même origine sont identiques. Exemple Choisir deux pplictions f : R 3 R 3 et g : R 2 R 3, fire les clculs. Définition Soient (A 1, +, ) et (A 2, +, ) deux nneux, et ϕ : A 1 A 2. On dit que ϕ est un morphisme d nneux si c est un morphisme de groupes pour l loi + et ϕ(1 A1 ) = 1 A2 et x, y A 1 ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) Remrque Ne ps oublier l condition ϕ(1 A1 ) = 1 A2. L ppliction suivnte, qui vérifie toutes les utres conditions, n est en effet ps un morphisme d nneu : Z/2Z Z/6Z Proposition L mtrice d une ppliction linéire est inversible si et seulement si cette ppliction linéire est un isomorphisme. Dns ce cs, l inverse de l mtrice considérée est l mtrice de l ppliction réciproque de l isomorphisme considéré. Soit E et F deux espces vectoriels de dimension finies respectives p et n. Soit B une bse de E et C une bse de F. Soit u L (E, F ) et v L (F, E). Posons A = Mt B,C (u) et B = Mt C,B (v). On : u v = Id F De même Mt C,C (u v) = I n Mt B,C (u) Mt C,B (v) = I n AB = I n v u = Id E BA = I p En prticulier, si u est un isomorphisme, d isomorphisme réciproque v, lors AB = I n et BA = I p. De plus, on lors dim E = dim F, donc n = p. Donc A est une mtrice crrée et B est son inverse. Réciproquement, si u L (E, F ) possède une mtrice inversible A, lors en notnt v l unique ppliction linéire telle que A 1 = Mt C,B (v), on u v = Id F et v u = Id E. 367

368 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Remrque Soit M une mtrice crrée, u l endomorphisme qui lui est cnoniquement ssocié. On peut utiliser l proposition précédente pour montrer que M est inversible et déterminer, le cs échént, son inverse. On commence pr prendre X, Y deux vecteurs colonne ynt utnt de lignes que M. On résout en X le système MX = Y. S il y toujours existence et unicité de l solution, on lit X = M 1 Y. Cel correspond bien à ce qui étit fit uprvnt, l proposition précédente justifie bien que l on puisse conclure à l inversibilité de M directement, et obtenir son inverse. Exemple Montrer que l mtrice M = est inversible et déterminer son inverse. Corollire Soit A et B deux mtrices crrées de tille n. Alors AB = I n si et seulement si A et B sont inversibles et sont inverses l une de l utre. Il est donc équivlent pour une mtrice (crrée) d être : 1. inversible ; 2. inversible à guche ; 3. inversible à droite. Pour montrer cette équivlence, il suffit de montrer le sens direct, l utre découlnt directement de l définition d inverse. Supposons donc AB = I n. Notons u et v les pplictions linéires cnoniquement ssociées respectivement à A et B reltivement à l bse cnonique. En reprennt l démonstrtion précédente, on peut remrquer que u v = Id F, donc v est un endomorphisme injectif et u un endomorphisme surjectif. L dimension de K n étnt finie, on u et v sont donc des utomorphismes et on v = u 1 u v = u 1 Id F = u 1. Donc d près l proposition précédente A et B sont inversibles et sont inverses l une de l utre. Corollire Dns un espce vectoriel E de dimension finie n, l mtrice d une fmille de vecteurs est inversible si et seulement si cette fmille de vecteurs est une bse. Pour que l mtrice soit inversible, il est nécessire qu elle soit crrée. Pour que l fmille de vecteur soit une bse, il est nécessire qu elle possède exctement n vecteurs. On peut donc se restreindre u cs d une fmille de n vecteurs v 1,..., v n et de l mtrice M ssociée reltivement à une bse B de E. Notons (e 1,..., e n) les vecteurs de B. Notons u l unique endomorphisme de E tel que Mt B (u) = M. M est inversible si et seulement si u est un utomorphisme. E étnt de dimension finie, cel est équivlent à u surjective, c est-à-dire à rg u = n. Or rg u = rg(u(e 1),..., u(e n)) = rg(v 1,..., v n). Donc M est inversible si et seulement si (v 1,..., v n) est génértrice. Or dim E = n donc cel est équivlent à (v 1,..., v n) est une bse. Remrque Ainsi, s il y une reltion de dépendnce entre les colonnes de M, M n est ps inversible. Exemple n est ps inversible Remrque( ) b Retour sur, qui est inversible si et seulement si d ( ) bc ( 0, ) i.e. si et seulement si les c d c colonnes et sont linéirement indépendntes. b d 2.4 Mtrices de pssge Dns cette section E est un K-ev de dimension finie n, et B, B, B sont des bses de E. Une question se pose mintennt nturellement : peut-on relier les mtrices d un vecteur 368

369 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL ou d une ppliction linéire exprimées dns des bses différentes? Définition On ppelle mtrice de pssge de B dns B l mtrice Mt B (B ). On l note prfois P B B. E, B P B B E, B Id E Id E Id E I n P B B E, B Exemple E = R 2 : B = ((0, 1), (1, 1)) = (f 1, f 2 ), B = ((1, 1), (0, 1)) = (g 1, g 2 ). g( 1 = f 2 ) 2f 1 et g 2 = f 1, donc Mt B (B ) = Théorème On note P = Mt B (B ) et P = Mt B (B ). 1. P = Mt B,B(Id E ). 2. P est inversible est son inverse est Mt B (B) (mtrice de pssge de B dns B). 3. L mtrice de pssge de B dns B est Mt B (B ) = P P = Mt B (B ) Mt B (B ) («trnsitivité»). Remrque On pourr représenter schémtiquement le point?? comme dns l figure??. Ce schém E, B Id E P B B E, B Figure XXIII.4 Appliction linéire représentée pr une mtrice de pssge. ser le bloc fondmentl de tous les schéms que nous écrirons lors de chngements de bse : retenez-le bien! Remrque On pourr représenter schémtiquement le point?? comme dns l figure??. Remrque On pourr représenter schémtiquement le point?? comme dns l figure??. Figure XXIII.5 Inverse d une mtrice de pssge. P B B Id E E, B E, B Id E P B B Id E P B B E, B Figure XXIII.6 Composition de chngements de bse. 1. Notons B = (e 1,..., e n) et B = (f 1,..., f n). On Mt B,B(Id E) = Mt B (Id E(f 1),..., Id E(f n)) = Mt B (f 1,..., f n) = Mt B (B ) 2. P = Mt B,B(Id E), or Mt B,B(Id E).Mt B,B (Id E) = Mt B,B (Id E Id E) = Mt B,B (Id E) = I n, donc P est inversible et P 1 = Mt B,B (Id E) d près le corollire 2.3.2, et donc P 1 = Mt B (B) d près le premier point. 3. On utilise à nouveu (i) : Mt B (B ).Mt B (B ) = Mt B,B(Id E).Mt B,B (IdE) = Mt B,B(Id E Id E) = Mt B,B(Id E) = Mt B (B ). Le théorème suivnt motive l utilistion des mtrices de pssge. Théorème (Chngement de bse). Les mtrices de pssges permettent de relier 369

370 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL les mtrices d un même vecteur ou d une même ppliction reltivement à des bses différentes : E, B Mt B,C (f) f F, C Pour un vecteur Soit x E. On note X = Mt B (x) et X = Mt B (x), et P = Mt B (B ). Alors X = P X. Pour une ppliction linéire Avec les mêmes nottions et en notnt de plus F un K-ev de dimension finie, C et C deux bses de F, u L (E, F ), et enfin Q = Mt C (C ). Alors Mt B,C (u) = Q 1 Mt B,C (u)p. P B B Id E E, B f Mt B,C (f) Id F [ F, C P C C ] 1 = P C C L formule de chngement de bse pour un vecteur s écrit X = P X, et non X = P X (c est une source d erreur fréquente). Au moindre doute, n hésitez ps à trcer le schém correspondnt. Remrque Le premier point correspond u schém de l figure??. x x Id E E, B E, B X PB B X Figure XXIII.8 Illustrtion de l reltion de chngement de bses pour une ppliction linéire. Remrque Avec B et B deux bses de E et f L (E), [ ] 1 on Mt B (f) = PB B MtB (f) PB B. On essier, pour chque chngement de bse, de reproduire le schém de l figure?? pour se rppeler de cette formule. B Mt B (f) f B Figure XXIII.7 Illustrtion de l reltion de chngement de bses pour un vecteur. P B B Id Id [ P B B ] 1 = P B B Remrque Le second point correspond u schém de l figure??. Pour un vecteur il suffit de trduire l églité x = Id E(x) dns les bonnes bses : x dns l bse B = Id(x dns l bse B ), soit : X = Mt B,B(Id E)X = P X. Pour une ppliction linéire On trduit à nouveu u(x) = u(x) dns les bonnes bses : Mt B,C (u) = Mt B,C (IdF u IdE) = Mt C,C (Id F )Mt B,C (u)mt B,B(Id E) = Q 1 Mt B,C (u)p B f Mt B (f) B Figure XXIII.9 Illustrtion de l reltion de chngement de bses pour un endomorphisme. Exemple Mêmes choses que dns l exemple F = R 3, C = (e 1, e 2, e 3 ) (bse cnonique), C = (h 1, h 2, h 3 ) vec h 1 = e 1, h 2 = (1, 1, 0) = e 1 + e 2, h 3 = ( 1, 0, 1) = e 1 + e

371 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL On considère { R u : 2 R 3 (x, y) (x y, x, 2x + y). 1. Déterminer Mt B,C (u). 2. Déterminer P et Q 1, en déduire Mt B,C (u). 3. Vérifier en exprimnt u(g i ) en fonction des h j. Exemple On donne C = bse cnonique de R 3 et B = ((1, 0, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1)) = (v 1, v 2, v 3 ), et x = 2v 1 + 2v 2 v 3. Exprimer x en fonction de e 1, e 2, e 3. Remrque Ceci permet de voir que pour inverser une mtrice, il suffit d inverser l mtrice de pssge sousjcente, et donc d inverser un système linéire. Exemple Inverser en pssnt pr des mtrices de pssge. Remrque On ppelle P = Mt B (B ) «mtrice de pssge de B dns B» cr elle permet de trnsformer une éqution exprimée dns B en éqution exprimée dns B. En effet, vec ϕ une forme linéire et L = Mt B,1 (ϕ), l éqution crtésienne de Ker ϕ (c est un hyperpln) s écrit, dns l bse B, LX = 0. Dns l bse B, cel s écrit lors LP X = 0. L ligne donnnt l éqution dns l bse B est donc LP. 3 Mtrices remrqubles 3.1 Trnsposée Définition Soit A M n,p (K), A = ( ij ). On ppelle trnsposée de A l mtrice ( ji ) M p,n (K), notée t A ou A. Exemple ( ( ) ) t = 2 ussi t I n = I n. ( ) 1 0 et t 2 3 Proposition Soient A, B M n,p (K), λ K. = ( ) 1 2. On t (A + λb) = t A + λ t B, i.e. A t A est linéire. 2. Si C M p,q (K), t (AC) = t C t A. 3. t ( t A)) = A. 4. Si A est inversible, t (A 1 ) = ( t A) Élémentire. 2. A = ( ij), C = (c ij), t A = (α ij), t C = (γ ij), vec α ij = ji, γ ij = c ji, et on conclut pr clcul direct. 3. Élémentire. 4. On AA 1 = I n, donc en trnsposnt t (A 1 ) t A = t I n = I n. Remrque L trnsposition permet de trnsformer des résultts sur les colonnes en résultts sur les lignes, et inversement. Pr exemple, une mtrice est inversible si et seulement si ses lignes sont linéirement indépendntes. Exemple n est ps inversible cr L 3 = L 1 + L Mtrices tringulires Définition Soit A M n (K). On dit que A est tringulire supérieure (resp. inférieure) si i, j 1, n tels que i > j (resp. i < j), ij = 0. On note τ + n (K) (resp. τ n (K)) l ensemble des mtrices tringulires supérieures (resp. inférieures) d ordre n. 371

372 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Théorème (τ n ± (K), +, ) est un nneu et (τ n ± (K), +,.) est n(n + 1) un K-ev de dimension. 2 K-ev : élémentire. Anneu : soient A, B τ n + (K). On note AB = (γ ij). On i 1 suppose i > j, lors γ ij = ik b kj + ik b kj, et tous k=1 k=i les termes sont nuls. Dimension : les E ij vec i j est une fmille libre (déjà n(n + 1) vu) et génértrice. Elle comporte vecteurs. 2 Remrque Avec cette démonstrtion on voit que γ ii = ii b ii. Or l mtrice M de u est l mtrice formée de ces colonnes. Pour que tous les E k, pour k [[1, n]] soient stbles pr u, il est donc nécessire qu elle soit tringulire supérieure. Réciproquement, supposons que cette mtrice soit tringulire supérieure. Alors pour tout k [[1, n]] et tout i [[1, k ], on u(e i) E i E k. Donc pour tout k [[1, k ], u(e k ) Vect u(e 1),..., u(e k ) E k. Remrque Ce résultt s dpte ux mtrices tringulires inférieures, en posnt E 1 = Vect(e k ), E 2 = Vect(e k 1, e k ),.... Théorème L inverse d une mtrice tringulire supérieure (resp. inférieure) inversible est églement tringulire supérieure (resp. inférieure). Théorème Une mtrice tringulire est inversible si et seulement si elle n ucun zéro sur s digonle. Soit A tringulire sup. d ordre n. On note (v 1,..., v n) l fmille de vecteurs telle que A = Mt B (v 1,..., v n), vec B bse cnonique de K n. Si ps de zéro sur l dig. : on montre que (v 1,..., v n) est libre, vec λ 1v λ nv n = 0, on pose le système, on résout : même ps besoin de fire de pivot de Guss. Donc c est une bse, donc c est inversible. S il y un zéro à l k e position, lors (v 1,..., v k ) ont tous des zéros près leur (k 1) e coordonnées, donc sont dns Vect(e 1,..., e k 1 ), ils sont donc liés. Lemme Soit E un espce vectoriel de dimension n et B = (e 1,..., e n ) une bse de E. Pour k [[1, n]], on pose E k = Vect(e 1,..., e k ). Soit u L (E) et M = Mt B (u). Alors M est tringulire supérieure si et seulement si pour tout k [[1, n], E k est stble pr u. Soit k [[1, n]]. Pour que E k soit stble pr u, il fut que u(e k ) E k, c est-à-dire que seuls les k premières lignes de l mtrice colonne des coordonnées de u(e k ) dns B soient non-nulles. Nous donnons l démonstrtion pour les mtrices tringulires supérieures. Pour les mtrices tringulires inférieures, on peut exploiter l remrque ci-dessus ou utiliser les résultts sur l trnsposée en remrqunt que l trnsposée d une mtrice tringulire supérieure est tringulire inférieure et vice-vers. Soit M τ n + (K) G L n(k). On choisit E un espce vectoriel de dimension n, B = (e 1,..., e n) une bse de E et on note u l endomorphisme de E de mtrice M reltivement à B. M étnt inversible, u est bijective. D près le lemme, tous les E k sont stbles pr u. En ppliqunt le lemme, il suffit de montrer qu ils sont stbles pr u 1 pour montrer que Mt B (u 1 ) = M 1 est tringulire supérieure. Soit k [[1, n]]. On u(e k ) E k, donc E k u 1 (E k ). Or dim u 1 (E k ) = dim E k (imge d un sous-espce vectoriel pr un morphisme bijectif), donc u 1 (E k ) = E k. On donc l inclusion souhitée : u 1 est donc tringulire supérieure. 3.3 Mtrices digonles Définition On ppelle mtrice digonle toute mtrice crrée ( ij ) 1 i,j n telle que pour tous i, j 1, n, i j i,j = 0. On note D n (K) l ensemble des mtrices digonles d ordre n. 372

373 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Remrque On note dig(λ 1,..., λ n ) l mtrice digonle dont les termes digonux sont (λ 1,..., λ n ). D n (K) = τ + n (K) τ n (K). Définition On ppelle mtrice sclire toute mtrice digonle dont les coeffs de l digonle sont tous égux, i.e. de l forme λi n. Exemple ( ) est nti-symétrique, ps 2 0 ( ) Proposition Les coefficients digonux d une mtrice ntisymétrique sont nuls. Soit i [[1, n]], on ii = ii donc ii = 0. Théorème (D n (K), +, ) est un nneu et (D n (K), +,.) est un K-ev de dimension n. Anneu et ev : immédit vec D n(k) = τ + n (K) τ n (K). Dimension : (E ii) 1 i n en forme une bse. Remrque Une mtrice digonle est inversible si et seulement si tous ses coefficients digonux sont non-nuls. Et dns ce cs dig(λ 1,..., λ n ) 1 = dig ( 1,..., λ1 1 λ n ). De plus, pour tout p N, (dig(λ 1,..., λ n )) p = dig(λ p 1,..., λp n). Et si ucun coefficient digonl n est nul, cette reltion est ussi vlble pour p Z. 3.4 Mtrices symétriques et ntisymétriques Définition A M n (K) est dite symétrique (resp. ntisymétrique) si A = t A (resp. A = t A). Remrque Une mtrice symétrique ou ntisymétrique est toujours crrée. Exemple ( ) est symétrique, ps 2 1 ( ) Théorème L ensemble des mtrices symétriques (resp. ntisymétriques) muni de + et est un K-ev de dimension n(n + 1) 2 (resp. n(n 1) ). 2 Ce sont respectivement les noyux de A t A A et A t A + A, donc ce sont des sous-espces vectoriels de M n(k). Ce ne sont ps des sous-nneu de M n (K)! Exemple ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = Opértions élémentires sur les mtrices Définition Il existe trois types d opértions élémentires sur les lignes et colonnes d une mtrice : 1. l échnge de deux lignes ou deux colonnes ; 2. l multipliction d une ligne/colonne pr un sclire non nul ; 373

374 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL 3. l ddition à une ligne/colonne d une utre ligne/colonne multipliée pr un sclire. Ces opértions sont notées respectivement : 1. L i L j et C i C j ; 2. L i λl i vec λ 0 (idem vec des colonnes) ; 3. L i L i + λl j, vec i j (idem vec des colonnes). Définition Soit i, j 1, n, λ K. 1. On ppelle mtrice d échnge de coefficients i, j l mtrice ε ij = I n E ii E jj + E ij + E ji (l dessiner). 2. On ppelle mtrice de dilttion de coefficient i et de rpport λ l mtrice D i (λ) = I n + (λ 1)E ii (l dessiner). 3. On ppelle mtrice de trnsvection de coefficients i, j et de rpport λ l mtrice T ij (λ) = I n + λe ij (l dessiner). Remrquons que ces trois mtrices sont inversibles. Théorème Soit A M n (K), et i, j 1, n. 1. L opértion L i L j est équivlente à l multipliction de l mtrice A à s guche pr l mtrice ε ij. 2. L opértion L i λl i est équivlente à l multipliction de l mtrice A à s guche pr l mtrice D i (λ) = I n + (λ 1)E ii. 3. L opértion L i L i + λl j est équivlente à l multipliction de l mtrice A à s guche pr l mtrice T ij (λ) = I n + λe ij. 4. L opértion C i C j est équivlente à l multipliction de l mtrice A à s droite pr l mtrice ε ij. 5. L opértion C i λc i est équivlente à l multipliction de l mtrice A à s droite pr l mtrice D i (λ). 6. L opértion C i C i + λc j est équivlente à l multipliction de l mtrice A à s droite pr l mtrice T ji (λ) = I n + λe ij (ttention ux coefficients!). On ppelle L 1,..., L n les lignes de A. Tout est bsé sur le fit que E ija est l mtrice nulle où on rjouté L j à l ième ligne (le montrer). Et c est tout. Pour remrquer que les trois mtrices ε i,j, D i(λ) et T i,j(λ) sont inversibles, pour les deux dernières c est simple : elles sont tringulires sns 0 sur l digonle. Pour l première, il suffit de voir qu elle est s propre inverse, cr ε ijε ij est l mtrice ε ij où on échngé les lignes i et j, donc c est I n. Exemple Clculer On trouve Rng d une mtrice 5.1 Définitions Remrque Soit E et F deux K- espces vectoriels et ϕ : E F un isomorphisme de E sur F. Soit p N et (x i ) i [[1,p]] une fmille d éléments de E. Alors ϕ rélise une bijection de Vect (x 1,..., x p ) sur Vect (ϕ(x 1,..., x p )), donc les fmilles (x i ) i [[1,p]] et (ϕ(x i )) i [[1,p] ont même rng. 2. En prticulier, soit n un entier et soit F un espce vectoriel de dimension finie n, muni 374

375 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL d une bse B. L ppliction ϕ : F M n,1 (K) x Mt B (x) est une bijection, donc pour toute fmille (x i ) i [[1,p] d éléments de F, (Mt B(x i )) i [[1,p]] est une fmille de même rng. 3. Pr illeurs, soit E et F deux espces vectoriels de dimensions finies respectives p et n et (e 1,..., e p ) une bse de E. Alors pour toute ppliction linéire u de E dns F, on Im(u) = u(vect(e 1,..., e p )) = Vect (u(e 1 ),..., u(e p )) donc rg(u) = rg (u(e 1 ),..., u(e p )). Définition Soit A M n,p (K). Notons C 1,..., C p les colonnes de A. Alors on ppelle rng de A et on note rg(a) l entier rg (C 1,..., C p ). Remrque Soit A M n,p (K). Alors 1. Pour tout r [[0, p]] et tout choix de r colonnes C 1,..., C r de A, l fmille (C 1,..., C r ) est de rng inférieur ou égl à rg A. C est une conséquence du fit que l espce engendré pr C 1,..., C r est inclus dns Im A. 2. Il existe un choix de rg(a) colonnes de A, ) C 1,..., C rg(a) tel que Vect (C 1,..., C rg(a) = Im(A). En effet, l fmille des colonnes de A est une fmille génértrice d un sous-espce vectoriel de K n de dimension rg(a), on peut donc en extrire une bse, qui comporte nécessirement rg(a) vecteurs colonnes. Théorème Soit E et F deux espces vectoriels de dimensions finies respectives p et n, de bses respectives B et C, et u L (E, F ). Alors rg(u) = rg ( Mt B,C (u) ). En notnt A l mtrice Mt B,C, C 1,..., C p ses colonnes et e 1,..., e p les vecteurs de B, on rg(a) = rg(c 1,..., C p) = rg (u(e 1),..., u(e p)) = rg(u). Théorème Soit F un K-espce vectoriel de dimension finie de bse C, (v 1,..., v p ) une fmille de vecteurs de F. Alors rg (Mt C (v 1,..., v p )) = rg (v 1,..., v p ). En notnt A l mtrice Mt C (v 1,..., v p), et C 1,..., C p ses colonnes, on rg(a) = rg(c 1,..., C p) = rg (v 1,..., v p). Théorème A M n (K) est inversible si et seulement si rg A = n. Soient B = (e 1,..., e n) l bse cnonique de K n, et (v 1,..., v n) une fmille de vecteurs de E telle que A = Mt B (v 1,..., v n). Alors A inversible si et seulement si (v 1,..., v n) bse si et seulement si rg(v 1,..., v n) = n si et seulement si rg A = n. Exercice Clculer( les rngs ) suivnts. 1 1 rg ; 2 2 rg(dig(λ 1,..., λ n )) ; rg Définition Soit n et p deux entiers. On dit qu une mtrice A de M n,p (K) est équivlente à une utre mtrice B de M n,p (K) s il existe deux mtrices P M n (K) et Q M p (K) inversibles telles que A = P BQ. 375

376 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Proposition L reltion «être équivlente à» sur l ensemble des mtrices de M n,p (K) est une reltion d équivlence. Cette reltion est Réflexive cr pour toute A M n,p(k), A = I nai p et I n et I p sont inversibles ; Symétrique cr pour tout (A, B) (M n,p(k)) 2 tel que A et B sont équivlentes, il existe deux mtrices P M n(k) et Q M p(k) inversibles telles que A = P BQ, et on lors B = P 1 AQ 1 et P 1 et Q 1 sont inversibles ; Trnsitive cr pour tout (A, B, C) (M n,p(k)) 3 tel que A et B sont équivlentes et B et C sont équivlentes. Alors il existe P M n(k), Q M p(k), R M n(k) et S M p(k) inversibles, telles que A = P BQ et B = RCS, donc A = (P R)C(SQ) et P R et SQ sont inversibles. Il s git donc bien d une reltion d équivlence. Proposition Soit E et F deux espces vectoriels de dimensions finies et u L (E, F ). Soit B et B deux bses de E et C et C deux bses de F. Alors Mt B,C (u) et Mt B,C (u) sont des mtrices équivlentes. 2. Soit E et F deux espces vectoriels de dimensions finies, munies de bses respectives B et C. Soit u L (E, F ). Soit A une mtrice équivlente à Mt B,C (u). Alors il existe une bse B de E et une bse C de F telles que Mt B,C (u) = A. de bse, on 1. D près le théorème de chngement Mt B,C (u) = Mt C (C ) 1 Mt B,C (u)mt B (B ) et les mtrices de chngement de bse sont inversibles, donc Mt B,C (u) et Mt B,C (u) sont équivlentes. 2. Posons M = Mt B,C (u). A est équivlente à M, donc on peut trouver P M n(k) et Q M p(k) inversibles telles que A = P MQ. Soit f L (F ) et g L (E) les pplictions vérifint P 1 = Mt C (f) et Q = Mt B (g). P et Q étnt inversibles, f et g sont des utomorphismes. Notons B et C les imges respectives de B de C pr g et f. Alors Mt B (B ) = Q et Mt C (C ) = P 1. Donc d près le théorème de chngement de bse Mt B,C (u) = P Mt B,C (u)q. Théorème (Théorème de réduction). Soit A M n,p (K) une mtrice de rng r. 1. Alors, r min(n, p). 2. A est équivlente à l mtrice J n,p,r définie pr J n,p,r = ( ) Ir 0 = r,p r. 0 n r,r 0 n r,p r 1. On note V 1,..., V p les colonnes de A. Il s git de p vecteurs de M n,1(k), donc rg(v 1,..., V p) p et de plus rg(v 1,..., V p) dim M n,1(k) = n. 2. Considérons u : L (K p, K n ) cnoniquement ssociée à l mtrice A. u est de même rng que A. On sit qu on peut trouver un supplémentire S de Ker u tel que u rélise un isomorphisme de S sur Im u. De plus dim S = rg(u) = r et dim Ker u = p r. Soit (e 1,..., e r) une bse de S, (e r+1,..., e p) une bse de Ker u. Posons B = (e 1,..., e p). B est une bse de K p. Posons f i = u(e i) pour i [[1, r]]. Alors (f 1,..., f r) est une bse de Im u, qu on peut compléter en une bse C de K n. Alors Mt B,C (u) = J n,p,r. Or u pour mtrice A dns les bses cnoniques, donc A et J n,p,r sont équivlentes. Remrque Nous venons de voir une interpréttion géométrique de ce résultt. On peut ussi en donner une interpréttion mtricielle. On pplique l lgorithme du pivot de Guss u système AX = B, vec B M n,1 (K) et X M p,1 (K). Après une phse de descente, on rrive à un système échelonné en lignes. Quitte à échnger quelques colonnes, A est donc équivlente à une 376

377 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL mtrice de l forme ( ) J 0 n r,r 0 n r,p r 1 vec J = Remrquons qu hormis ces échnges de colonnes, nous n vons effectué que des opértions sur les lignes. Après l phse de remontée (opértions sur les lignes, toujours), on obtient que A est équivlente à une mtrice de l forme ( ) Ir. 0 n r,r 0 n r,p r Il suffit donc d effectuer quelques opértions élémentires sur les colonnes de A pour obtenir que A est équivlente à J n,p,r. On remrquer donc que, en écrivnt A = P J n,p,r Q, vec P GL n (R) et Q GL p (R), on lit dns P les opértions effectuées sur les lignes de A pendnt l lgorithme du pivot de Guss et dns Q celles effectuées sur les colonnes de A. 5.2 Opértions lissnt le rng invrint Théorème Multiplier une mtrice pr une mtrice inversible (à droite ou à guche) ne chnge ps son rng. Ce n est que le point de vue mtriciel du résultt nlogue sur les pplictions linéires. Tous les théorèmes suivnts utiliseront ce résultt. Théorème Deux mtrices A et B sont équivlentes si et seulement si elles sont de même tille et de même rng. Théorème (Invrince pr trnsposition). Si A M n,p (K), rg(a) = rg( t A). C est un corollire du théorème de réduction : si A = BJ n,p,rc, t A = t C t J t n,p,rb = t CJ t p,n,rb, qui est de rng r, cr t B et t C sont inversibles et J p,n,r est de rng r. Corollire Les résultts sur le rng pplicbles ux colonnes des mtrices vus précédemment s ppliquent ussi ux lignes. Plus précisément : 1. Le rng d une mtrice est le rng de ses vecteurs lignes. 2. Le rng d une fmille de lignes d une mtrice est inférieur ou égl à celui de l mtrice. 3. Pour tout mtrice de rng r, il existe une fmille de r lignes de cette mtrice constitunt une fmille libre. Exemple rg se clcule plus vite en pssnt à l trnsposée, i.e. en risonnnt sur les lignes u lieu des colonnes. On peut ussi fire un mix. Théorème Les opértions élémentires sur les lignes et colonnes préservent le rng. Fcile cr ces opértions reviennent à multiplier pr des mtrices inversibles. Théorème Supprimer une ligne ou une colonne de zéros dns une mtrice ne chnge ps son rng. Dns un sens, utiliser le résultt précédent. Dns l utre, utiliser le théorème de réduction. Pour les colonnes : nlogue du résultt sur les vecteurs. Pour les lignes : psser à l trnsposée. 377

378 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL 5.3 Clculs prtiques Remrque Clcul du rng et de l inverse d une mtrice grâce u pivot de Guss. Pour le rng On peut ppliquer l méthode du pivot à une mtrice M M n,p (K) non nécessirement crrée. On peut mélnger les opértions sur les lignes et les colonnes. On rrive u finl à une mtrice contennt des lignes non nulles L 1,..., L k, dont le premier élément est situé colonne c 1,..., c k vec c 1 <... < c k, puis n k lignes nulles. Alors rg M = rg(vect(l 1,..., L k )) = k cr les lignes L 1,..., L k forment une fmille libre. Pour le clcul du noyu d une mtrice non nécessirement crrée, on peut remrquer que les opértions sur les lignes le lissent invrint cr multiplier à guche une mtrice pr une mtrice inversible ne chnge ps son noyu. Pour le clcul de l imge d une mtrice non nécessirement crrée, on peut remrquer que les opértions sur les colonnes l lissent invrinte cr multiplier à droite une mtrice pr une mtrice inversible ne chnge ps son imge. Pour le clcul de l inverse d une mtrice crrée on peut trviller sur les lignes ou sur les colonnes mis surtout ps sur les deux. En effet, l lgorithme du clcul de l inverse consiste à multiplier l mtrice A pr des mtrices élémentires jusqu à obtenir l identité, et à multiplier en prllèle l mtrice identité pr les mêmes mtrices. 5.4 Mtrices extrites Définition Soit M M n,p (K). On ppelle mtrice extrite de M toute mtrice obtenue en supprimnt h des lignes de M et k de ses colonnes vec h [[0, n 1] et k [[0, p 1]. Proposition Soit M M n,p (K) et A une mtrice extrite de M. Alors rg(a) rg(m). Posons r = rg(a). Alors on peut trouver r colonnes C 1,..., C r de A linéirement indépendntes. Notons C 1,..., C r les r colonnes de M correspondntes. Pour tout i [[1, r ], C i est obtenue en supprimnt certines lignes de C i. Soit (λ 1,..., λ r) r sclires. Considérons les combinisons linéires S = r i=1 λic i et S = r λici. S est obtenue i=1 en rynt certines lignes de S, donc si S est nulle, S l est églement et tous les λ i, sont lors nuls. C 1,..., C r sont donc linéirement indépendntes, donc rg(m) r. Proposition Soit M M n,p (K). Posons r = rg(m). Alors il existe une mtrice A extrite de M, crrée, de tille r et inversible (donc de rng r). On peut trouver des colonnes C 1,..., C r de M telles que rg(c 1,..., C r) = r. Ces colonnes permettent donc de former une mtrice B de tille n r de rng r. B possède n lignes. Comme elle est de rng r, il existe une r lignes L 1,..., L r de B telles que rg(b) = rg(l 1,..., L r). Or ces lignes L 1,..., L r permettent de former une mtrice A, extrite de M. Cette mtrice A est de tille r r (donc crrée) et de rng r, donc inversible. 6 Systèmes d équtions linéires 6.1 Générlités 378

379 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Définition On ppelle système linéire à n équtions et p inconnues tout système de l forme : 11 x p x p = b n1 x np x p = b n où les ij et les b i sont dns K, et les x i sont les inconnues. Le système homogène ssocié correspond u cs où b 1 = = b n = 0. On dit que le système est comptible s il dmet une solution. Interpréttion mtricielle En écrivnt le système AX = B, on voit que (S) est comptible si et seulement si B Im A. Interpréttion linéire En choisissnt un espce vectoriel E de dimension p et F de dimension n munis respectivement d une bse B et d une bse C et en notnt u l ppliction linéire de E dns F et b le vecteur de F tels que A = Mt C (u) et B = Mt C (b), on voit que (S) est comptible si et seulement si b Im u. Interpréttion vectorielle En notnt C j les colonnes de A, on note que (S) est comptible si et seulement si B Vect(C 1,..., C p ). Interpréttion dule En notnt L i les lignes de A, et u i les formes linéires sur F telles que L i = Mt C,K (u i ), on note que (S) est comptible si et seulement si les u 1 i ({ b i }), pour i [[1, p]], contiennent u moins un vecteur en commun. Interpréttion géométrique Soit i [[1, n]]. En supposnt que u 1 i ({ b i }) est non vide, lors il s git d un hyperpln ffine (i.e. il est de l forme X 0 + H où H = Ker u i est un hyperpln) si u i n est ps l forme linéire nulle et il s git de F sinon. Donc l ensemble des solutions est ou bien vide ou bien l intersection d un certin nombre d hyperplns (utnt que de lignes non nulles). Exemple Écrire ces différents points de vue vec Solutions Définition Soit (S) un système linéire écrit sous forme mtricielle AX = B. On ppelle rng du système le rng de l mtrice A. On le note rg(s). Théorème Soit (S) un système linéire de mtrice ssociée A M n,p (K). 1. L ensemble des solutions du système homogène ssocié à (S) est un K-ev de dimension p rg(s) (p est le nombre d inconnues). 2. L ensemble des solutions de (S) est soit vide, soit un sous-espce ffine de direction l ensemble des solutions du système homogène ssocié à (S). 1. Cet ensemble S 0 de solutions est tout simplement Ker A, et on utilise le théorème du rng. 2. On note S cet ensemble de solutions. Si (S) est comptible, soit X 0 S une solution. Soit X une utre solution. On montre lors fcilement que X X 0 est solution du système homogène, donc X S 0+X 0, et S S 0 + X 0. Réciproquement, soit X S 0 + X 0. Il est fcile de voir que X S. Définition Soit (S) un système linéire écrit sous forme mtricielle AX = B. Si A est inversible, on dit que (S) est un système de Crmer. Théorème Tout système de Crmer une unique solution, qui est A 1 B. 379

380 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Il est fcile de voir que A 1 B est une solution. C est l seule cr S est un se dont l direction est de dimension n n = 0. 7 Mtrices semblbles et trce Dns toute cette prtie, on ne considère que des mtrices crrées. 7.1 Mtrices semblbles Chngement de bse pour un endomorphisme Proposition Soit E un K-ev de dimension finie, B et B deux bses de E et u L (E). Alors, Mt B (u) = Mt B (B ) 1 Mt B (u)mt B (B ). C est une conséquence immédite de l formule de chngement de bse dns le cs où F = E, C = B et C = B (théorème 2.4.4). Définition Soit A et B deux mtrices crrées de tille n. Deux mtrices A et B sont dites semblbles si et seulement s il existe P GL n (K) vérifint A = P 1 BP. L reltion «A est semblble à B» est ppelée reltion de similitude. Proposition L reltion de similitude est une reltion d équivlence sur M n (K). Cette reltion est Réflexive cr pour tout A M n(k), on A = I 1 n AI n. Symétrique cr pour tout (A, B) M n(k) 2 et tout P GL n(k) vérifint A = P 1 BP, lors P 1 GL n(k) et B = ( P 1) 1 AP 1. Trnsitive cr pour tout (A, B, C) M n(k) 3 et tout (P, Q) GL n(k) 2 vérifint A = P 1 BP et B = Q 1 CQ, on A = P 1 Q 1 CQP = (QP ) 1 C(QP ). Remrque Deux mtrices semblbles sont nécessirement équivlentes mis l réciproque n est ps vrie. Pr exemple, dns R 2, I 2 et 17I 2 ont même rng (2) donc sont équivlentes mis ne sont ps semblbles cr pour tout mtrice crrée P de tille 2 inversible, P 1 (I 2 )P = I 2 17I 2. Proposition Soit A et B deux mtrices crrées de tille n. A et B sont semblbles si et seulement si ce sont les mtrices d un même endomorphisme u exprimées dns deux bses différentes. Plus exctement, A et B sont semblbles si et seulement s il existe un espce vectoriel E de dimension n, deux bses B et B et un endomorphisme u tel que Mt B (u) = A et Mt B (u) = B. Le sens indirect est une conséquence de l formule de chngement de bse pour un endomorphisme (proposition 7.1.1). Montrons le sens direct. Supposons que A et B sont semblbles, c est-à-dire qu il existe P tel que A = P 1 BP. Choisissons un espce vectoriel E de dimension n et une bse B = (e 1,..., e n) de cet espce (on peut pr exemple prendre E = K n et B l bse cnonique de K n ). Notons e 1,..., e n les vecteurs de E dont les coordonnées dns l bse B sont les colonnes de P. Alors P = Mt B (B ). Notons enfin u l endomorphisme de E vérifint Mt B (u) = B. Alors, Mt B (u) = Mt B (B ) 1 Mt B (u)mt B (B ) = P 1 BP = A, donc A et B sont les deux mtrices d un même endomorphisme reltivement ux bses respectives B et B. Proposition Considérons deux mtrices A et B semblbles de tille n. Alors pour tout k N, A k et B k sont des mtrices semblbles. 380

381 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Ce résultt peut être démontré u moins des deux mnières suivntes : Pr le clcul On montre pr récurrence sur k que pour tout k, on A k = P 1 B k P. Pour montrer que ce prédict est héréditire, il suffit de constter que pour tout k N tel que le prédict est vérifié, on églement A k+1 = A k A = P 1 B k P P 1 BP. Géométriquement A et B sont deux mtrices d un même endomorphisme u, donc A k et B k sont deux mtrices de u k. Alors, on tr (C) = = = λ i=1 i=1 c ii (λ iib ii) ii + i=1 i=1 = λtr (A) + tr (B). b ii 7.2 Trce d une mtrice crrée c Propriété fondmentle de l trce Définition Proposition Soit (A, B) M n (K) 2, lors, Définition Soit A une mtrice crrée de tille n. Alors l trce de A, notée tr (A) (ou Tr(A)), est l somme des éléments digonux de A. En notnt ( ij ) (i,j) [[1,n]] [[1,n]] les coefficients de A : tr (A) = ii. i=1 Remrque Pour tout A M n (K), on tr ( t A) = tr (A). Les mtrices t A et A ont les mêmes éléments digonux. b Linérité Proposition Pour tout n N, l ppliction trce est une forme linéire sur M n (K). Soit (A, B) M n(k) 2 et λ K. Posons C = λa + B et montrons tr (λa+b) = λtr (A)+tr (B). Notons ( ij), (b ij) et c ij les coefficients respectivement de A, de B et de C. tr (AB) = tr (BA). tr (A B) tr A tr B ; pr exemple, dns M 2 (K), 0 = tr (E 11 E 22 ) 1 = tr (E 11 ) tr (E 22 ). Posons C = AB et D = BA. Notons ( ij), (b ij), (c ij) et (d ij) les coefficients respectifs de A, B, C et D. On, pour tout (i, j) [[1, n]] 2 : c ij = ik b kj, d ij = k=1 b ik kj. k=1 D où, pour tout i [[1, n]] : c ii = ik b ki, D où : d ii = tr (C) = tr (D) = k=1 b ik ki. k=1 i=1 k=1 i=1 k=1 ik b ki, ki b ik. 381

382 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Ainsi, tr (C) = tr (D) = d où l églité recherchée. 1 α,β n 1 α,β n αβ b βα, αβ b βα, Remrque On peut déduire de cette églité que l trce d un produit de mtrices est invrint pr permuttions circulires : pour toutes mtrices A 1,..., A k de tille n, on d tr (A 1 A 2... A k 1 A k ) = tr (A 2... A k A 1 ) = tr (A 3... A k A 1 A 2 ) En revnche, l trce d un produit de mtrice n est ps invrint pr n importe quelle permuttion. Pr exemple, dns M 2 (K), en notnt (E ij ) les mtrices de l bse cnonique : tr (E 21 E 11 E 12 ) = 1 0 = tr (E 11 E 21 E 12 ). Invrince pr similitude Proposition Deux mtrices semblbles ont même trce (on dit que l trce est un invrint de similitude) : soit A, B M n (K), deux mtrices semblbles. Alors tr (A) = tr (B). e Trce d un endomorphisme en dimension finie Définition Soit E un espce vectoriel de dimension finie et u L (E). L trce de l endomorphisme u et on note tr (u) (ou Tr(u)) est le sclire défini pr tr (u) = tr (Mt B (u)), où B est une bse quelconque de E. Cette vleur ne dépend ps du choix de l bse B. On vu d une prt que deux mtrices d un même endomorphisme sont nécessirement semblbles et d utre prt que l trce de mtrices est un invrint de similitude. L vleur de tr (u) ne dépend donc ps du choix de l bse B. f Propriétés Proposition Soit E un espce vectoriel de dimension finie. L trce est une forme linéire sur L (E). Il suffit de choisir une bse de B de E et constter que pour tous endomorphismes u et v, de mtrices respectives A et B, et pour tout sclire λ, on tr (λu + v) = tr (λa + B) = λtr (A) + tr (B) = λtr (u) + tr (v). Il existe P GL n(k) vérifint A = P 1 BP. Alors on tr (A) = tr ( P 1 (BP ) ) = tr ( (BP )P 1) = tr (B). Proposition Soit E un espce vectoriel de dimension finie et v et u deux endomorphismes de E. Alors, tr (v u) = tr (u v). Ce résultt n est ps vlble pour des mtrices équivlentes. Pr exemple dns M 2 (K), tr (I 2.I 2.(2I 2 )) tr I 2. Il suffit de choisir une bse B de E. En notnt A et B les mtrices respectives de u et v, l mtrice de v u est BA, celle de u v est AB et on sit que tr (AB) = tr (BA), d où le résultt. 382

383 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Exemple Vérifier ce résultt sur deux endomorphismes de R 3. g Trce d un projecteur Proposition Soit E un espce vectoriel de dimension finie et p un projecteur. Alors, l trce de p est l dimension de Im p : tr (p) = rg p. Notons n l dimension de E, q celle de Im p. p étnt un projecteur, on E = Im p Ker p. Soit (e 1,..., e q) une bse de Im p. On dim Ker p = n q, donc on peut trouver une bse (e q+1,..., e n) de Ker p. L fmille (e 1,..., e n) est lors une bse B de E et reltivement à cette bse, l mtrice de p est une mtrice digonle dont les q premiers coefficients vlent 1 et tous les utres sont nuls. S trce est donc q. Remrque Ce résultt est fux pour d utres endomorphismes que les projecteurs. Considérer pr exemple un endomorphisme de mtrice E Mtrices pr blocs Définition Soit M M n,p (K). On peut écrire l mtrice sous l forme m 11 m 12 m 1p m 21 m 22 m 2p M =.... m n1 m n2 m np En trçnt q 1 lignes horizontles distinctes et r 1 lignes verticles distinctes dns le tbleu représentnt M, on peut décomposer M en q r mtrices extrites M ij pour (i, j) [[1, q ] [[1, r ] : M 11 M 12 M 1r M 21 M 22 M 2r M =.... M q1 M q2 M qr Cette décomposition est ppelée décomposition pr blocs de M en q r blocs. Formellement, une décomposition pr bloc de M est l donnée de q r mtrices M ij pour (i, j) [[1, q ] [[1, r ] telles que 1. Pour tout i [[1, q]], les mtrices M i1,..., M ir ont un même nombre de lignes n i (toutes les mtrices d une même ligne ont même nombre de lignes). 2. Pour tout j [[1, r]], les mtrices M 1j,..., M qj ont un même nombre de colonnes p j (toutes les mtrices d une même colonne ont même nombre de colonnes). 3. En notnt ij hk le coefficient de l ligne h, colonne k de l mtrice M ij pour (i, j) [[1, q ] [[1, r ] et (h, k) [[1, n i ] [[1, p j ], on ij hk = m (s+h)(t+k) où s = n n i 1 et t = p p j 1. On dir que l décomposition précédente est tringulire supérieure pr blocs si n = p et que : 1. pour tout i [[1, q ], M ii est crrée ; 2. pour tout (i, j) [[1, q]] 2 vec i > j, M ij est nulle. On définit de même les décompositions tringulires inférieures pr blocs. Enfin, les décompositions digonles pr blocs sont celles dont tous les blocs M ij tels i j sont nuls et tous les blocs M ii sont crrés. Exemple En posnt A =, A peut se décomposer pr bloc en B C D E F G, H I J 383

384 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL où ( ) ( ) B =, C =, ( ) ( ) D =, E = 13 14, ( ) ( ) F = 15, G = , H = 25 26, I = 27, J = Remrque Lorsqu on prle de décomposition tringulire supérieure (resp. tringulire inférieure, digonle) pr bloc, c est bien l décomposition qui est tringulire supérieure (resp. tringulire inférieure, digonle). Toute mtrice crrée dmet en effet une décomposition (trivile) tringulire supérieure (resp. tringulire inférieure, digonle) pr bloc. Proposition (Interpréttion géométrique). On peut interpréter l décomposition pr blocs de l fçon suivnte. Considérons l mtrice n p donnée dns l définition précédente : M 11 M 12 M 1r M 21 M 22 M 2r M =... M q1 M q2 M qr où pour tout (i, j) [[1, q ] [[1, r ], M ij est de tille n i p j. Soit E et F des espces vectoriels respectivement de dimension p et n, B = (e 1,..., e p ) une bse de E, C = (f 1,..., f n ) une bse de F et u L (E, F ) vérifint Mt B,C (u). On note B 1 l fmille des p 1 premiers vecteurs de B, B 2 celle des p 2 suivnts,..., B r celle des p r derniers et E 1 = Vect(B 1 ),..., E r = Vect(B r ). Pour tout j [[1, r ], B j est une bse de E j. On note C 1 l fmille des n 1 premiers vecteurs de C, C 2 celle des n 2 suivnts,..., C r celle des n r derniers et F 1 = Vect(C 1 ),..., F q = Vect(C q ). Pour tout i [[1, q ], C i est une bse de F i. Alors E = E 1... E r, F = F 1... F q. Tout y F s écrit de fçon unique π 1 (y) π q(y), où π i (y) F i pour tout i [[1, q ] (π i est lors l projection sur F i prllèlement à l somme des F k pour k i). De même notons, pour tout j [[1, r]], π j l projection sur E j prllèlement à l somme des E k pour k j. Alors, pour tout (i, j) [[1, q ] [[1, r ], on note u ij : { Ej F i x π i (u(x)). Ainsi, u ij est obtenu en restreignnt u u déprt à E j et, comme il n est ps priori possible de le restreindre à l rrivée à F i en le composnt à guche pr l projection sur F i (pr rpport à l somme des F k pour k i) : u ij = π i u E j. On lors, pour tout x E : u(x) = (i,j) [[1,q]] [[1,r]] u ij (π j (x)). De plus, pour tout (i, j) [[1, q ] [[1, r ], Mt Bj,C i (u ij ) = M ij. 384

385 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL Remrquons tout d bord que pour tout x E, on ( r ) u(x) = u π j(x) = = = j=1 r u(π j(x)) j=1 r j=1 i=1 q π i(u(π j(x))) (i,j) [1,q ] [1,r ] u ij(π j(x)). Soit (i, j) [[1, q]] [[1, r]]. On C i = (f s+1, f s+2,..., f s+ni ), B j = (e t+1, e t+2,..., e t+pj ), où s = n n i 1, t = p p j 1. Proposition (Addition pr blocs). Soit (A, B) M n,p (K) 2, dmettnt des décompositions pr blocs A 11 A 12 A 1r A 21 A 22 A 2r A =..., A q1 A q2 A qr B 11 B 12 B 1r B 21 B 22 B 2r B =..., B q1 B q2 B qr où pour tout (i, j) [[1, q ] [[1, r ], A ij et B ij sont de même tille. Alors A + B vut A 11 + B 11 A 12 + B 12 A 1r + B 1r A 21 + B 21 A 22 + B 22 A 2r + B 2r.... A q1 + B q1 A q2 + B q2 A qr + B qr Soit k [[1, p j ]. En notnt (m ij) (i,j) [1,n ] [1,q ] les coefficients de M, on u ij(e k ) = π i(u(e t+k )) ( ) = π i m h(t+k) f h = h=1 s+n i h=s+1 m h(t+k) f h n i = m (s+h)(t+k) f s+h. h=1 Notons, pour tout i [[1, q]] (resp. pour tout j [[1, r]]), n i (resp. p j) le nombre de lignes (resp. de colonnes) des mtrices de l ligne i (resp. de l colonne j) de ces décompositions pr bloc. Posons C = A + B et pour tout (i, j) [[1, q]] [[1, r]], C ij = A ij + B ij. Notons ij pour (i, j) [[1, n]] [[1, p]] les coefficients de l mtrice A, b ij ceux de B, c ij ceux de C et pour tout (i, j) [[1, q]] [[1, r]] et tout (k, h) [[1, n i]] [[1, p j]], ij hk (resp. bij hk, resp. cij hk ) ceux de Aij (resp. Bij, resp. C ij). On lors, en posnt s = n n i 1 + h et t = p p j 1 + k. (h,k) [1,n i ] [1,p j ] On ( en déduit) que l mtrice de u ij est l mtrice des m(s+h),(t+k) qui est exctement l mtrice M ij. On donc Mt Bj,C i (u ij) = M ij. On donc c st = st + b st = ij hk + bij hk = cij hk C 11 C 12 C 1r C 21 C 22 C 2r C =... C q1 C q2 C qr D où le résultt. Proposition (Multipliction pr blocs). Soit A M n,p (K) et B M p,q (K). 385

386 CHAPITRE XXIII. CALCUL MATRICIEL On considère des décompositions de A en r s blocs et de B en s t blocs, A 11 A 12 A 1s A 21 A 22 A 2s A =..., A r1 A r2 A rs B 11 B 12 B 1t B 21 B 22 B 2t B =..., B s1 B s2 B st telles que pour tout pour tout (i, k, j) [[1, r]] [[1, s]] [[1, t]], les mtrices A ik et B kj ient des tilles comptibles pr l multipliction. Alors le produit A B s écrit pr blocs : C 11 C 12 C 1t C 21 C 22 C 2t C =..., C r1 C r2 C rt où pour tout (i, j) [[1, r ] [[1, t], on s C ij = A ik B kj k=1 décomposer v et des w ij L (E j, G i) pour (i, j) [[1, r ] [[1, t]] pour décomposer w. En posnt C ij = Mt B,D (w ij) pour (i, j) [[1, r]] [[1, t], on obtient une décomposition pr bloc de l mtrice Mt B,D (w) qui n est utre que A B. Soit lors (i, j) [[1, r]] [[1, s]] et x E j. On On en déduit w ij = π i = π i = π i = = = k=1 k=1 w Ej v u Ej ( s v π i π i k=1 π k ) v π k u Ej u Ej v Fk π k u Ej v ik u kj. k=1 C ij = Mt B,D ( = = v ik u kj ) k=1 Mt C,D (v ik ) Mt B,C (u kj ) k=1 A ik B kj. k=1 Démonstrtion (non exigible). Nous donnons ici les grndes lignes de l démonstrtion, que nous tritons de fçon géométrique. Choisissons E, F, G trois espces vectoriels de dimensions respectives q, p, n et trois bses respectives B, C et D de ces espces. Notons u L (E, F ) et v L (F, G) les pplictions linéires vérifint Mt (B,C ) (u) = B et Mt (C,D) (v) = A. Comme précédemment, on peut, à prtir de l bse B, décomposer E en une somme directe E 1... E t et construire des projections π 1,..., π t sur ces sous-espces respectifs, prllèlement à l somme des utres. On fit de même pour décomposer F en F 1... F s et construire les projections π 1,..., π s ssociées et pour décomposer G en G 1... G r et construire les projections π 1,..., π r ssociées. Posons w = v u. On peut construire comme précédemment des u ij L (E j, F i) pour (i, j) [[1, s]] [[1, t]] pour décomposer u, des v ij L (F j, G i) pour (i, j) [[1, r]] [[1, s]] pour 386

387 Chpitre XXIV Déterminnts 1 Groupe symétrique Permuttions Permuttions prticulières Décomposition d une permuttion Signture d une permuttion Applictions multilinéires Définition et exemples Applictions multilinéires symétriques, ntisymétriques et lternées Déterminnt d une fmille de vecteurs Définition en dimension finie Interpréttion en géométrie réelle Orienttion d un ev réel de dimension finie b Déterminnt et ire dns le pln. 366 c Déterminnt et volume dns l espce Déterminnt d un endomorphisme Déterminnt d une mtrice crrée Définitions et propriétés Mtrices tringulires et tringulires pr blocs Opértions élémentires et pivot de Guss Développement pr rpport à une ligne ou une colonne

388 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Dns tout ce chpitre K = R ou C. Les lettres n, p, q et r désignent des entiers nturels non nuls. 1 Groupe symétrique Dns toute cette section, E désigne un ensemble. 1.1 Permuttions Exemple ( ) Si E = 1, 6 et σ =, lors O(1) = O(2) = {1, 2} et O(3) = O(4) = O(5) = O(6) = {3, 4, 5, 6}. Définition On ppelle permuttion circulire toute permuttion σ S E telle qu il existe x E vérifint O(x) = E. Définition On ppelle permuttion de E toute bijection de E dns E. On note S E l ensemble des permuttions de E. Alors (S E, ) est un groupe ppelé groupe des permuttions de E. est une permuttion circu- Exemple ( ) σ = lire. Définition Si E = 1, n, on note S n le groupe des pemuttions de E, qui est un groupe fini de crdinl n!. Ce groupe s ppelle le groupe symétrique d ordre n (ou de( degré n). Une permuttion ) σ de n S n se note σ =. σ(1) σ(2)... σ(n) Exemple L permuttion σ de 1, 5 vérifint σ(1) = 2, σ(2) ( = 5, σ(3) = ) 1, σ(4) = 4 et σ(5) = 3 se note On vérifie bien que 1, 2, 3, et 5 pprissent une et une seule fois pr ligne. Cette écriture permet de composer fcilement des ( permuttions ) ( : ) ( ) =, et de fcilement clculer les ntécédents. 1.2 Permuttions prticulières Définition Soient σ S E, et x E. On ppelle orbite de x l ensemble O(x) = {σ k (x), k Z}. Si une permuttion un point fixe et si crd (E) > 1, lors l permuttion n est ps circulire, mis l non existence de point fixe n implique ps que ( l permuttion ) est circulire. Pr exemple n est ps circulire. Définition On dit qu une permuttion est un cycle s il y u plus une orbite non réduite à un élément. Cette orbite s ppelle lors le support de ce cycle, et son crdinl s ppelle l longueur du cycle. Remrque Les éléments qui sont hors du support d un cycle sont des points fixes de cette permuttion. Exemple ( ) σ = est un cycle de longueur dont le support est {2, 3, 5}. Remrque On note générlement les cycles de l mnière suivnte : (x 1, x 2,..., x p ), où p est l longueur du cycle et {x 1, x 2,..., x p } son support, dns l ordre, c est-à-dire que x 1 est envoyé sur x 2, x 2 sur x 3, 388

389 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS..., x p 1 sur x p et enfin x p sur x 1. Les éléments de 1, n utres que x 1,..., x p sont les points fixes du permuttion. Le cycle de l exemple est insi tout simplement noté (2, 5, 3). Remrquons qu on peut ussi l écrire (5, 3, 2) ou (3, 2, 5), cr un cycle est une «boucle». Définition On ppelle trnsposition tout cycle de longueur 2. Une trnsposition échnge insi deux éléments de E. Si et b sont deux éléments de E, l trnsposition qui échnge et b est notée τ b. Exemple ( ) est une trnsposition, notée τ Remrque Toute trnsposition est une involution, i.e. est s propre inverse. 1.3 Décomposition d une permuttion Dns toute l suite de l section 1, E = 1, n. On se plce donc dns S n. Lemme Deux cycles de supports disjoints commutent. Ceci est dû u fit que deux cycles de supports disjoints gissent sur des éléments distincts. Soient σ 1 et σ 2 deux cycles de supports respectifs I et J inclus dns 1, n et tels que I J =. Soit x I, y J et z (I J) C. Alors σ 1(x) x et σ 1(x) I donc σ 1(x) / J. Ainsi σ 2(x) = x et σ 2(σ 1(x)) = σ 1(x). On en tire σ 1 σ 2(x) = σ 1(x) = σ 2 σ 1(x). De même, σ 1(y) = y et σ 2(y) / J donc σ 1(σ 2(y)) = σ 2(y), et il vient σ 2 σ 1(y) = σ 2(y) = σ 1 σ 2(y). Enfin, σ 1(z) = z = σ 2(z) et donc σ 1 σ 2(z) = z = σ 2 σ(1)(z). Ainsi σ 1 σ 2 et σ 2 σ 1 coïncident en tous les éléments de 1, n, et sont bien égles. Exemple Pour vous en ssurer, clculez pour n = 7, (1 4 3) (2 5) et (2 5) (1 4 3). Lemme Soit σ S n. Tout point de 1, n est dns une et une seule orbite de σ. L ensemble des orbites de σ forme donc une prtition de E (c est-à-dire que l réunion de ces orbites est 1, n mis ces orbites sont deux à deux disjointes). Tout point est dns u moins une orbite : l sienne. Si x est dns deux orbites distinctes, i.e. x O(y) et x O(z) vec O(y) O(z), lors il existe k, l Z tels que x = σ k (y) = σ l (z). D où y = σ l k (z), et insi y O(z). Il est lors fcile de vérifier que O(y) = O(z), ce qui est une contrdiction. Théorème Toute permuttion se décompose en produit de cycles de supports disjoints. À l ordre près des fcteurs, cette décomposition est unique. D près le lemme 1.3.1, si cette décomposition existe on peut permuter l ordre des fcteurs. Notons O 1,..., Op les orbites de σ de crdinl u moins 2. Pour tout i 1, p on définit l permuttion C i de l mnière suivnte : (i) x O i, C i(x) = σ(x) ; (ii) x 1, n \O i, C i(x) = x. On vérifie que les C i sont des cycles, que leurs supports sont deux à deux disjoints, et que C 1 C 2... C p = σ. L démonstrtion de l unicité n est ps exigible, nous l donnons à but d informtion. Soit (C 1,..., C p) des cycles p à supports disjoints, vérifint C i = σ. Soit 1 i p, i=1 soit x pprtennt u support de C i (C i(x) x et si j i, C j(x) = x). Alors, comme les cycles C j commutent, on ( p ) [( ] σ(x) = C j (x) = C i C j )(x) = C i(x). j=1 j i Ainsi, l orbite de x pr C i et pr σ coïncident : l orbite de x (pr σ) est donc le support de C i. Réciproquement, si σ(x) x, lors il existe forcément un i tel que C i(x) x. Il y donc exctement utnt de cycles que d orbites de σ non réduites à un élément, donc p est unique. De plus, chque cycle un support correspondnt à une orbite de σ, non réduite à un point. Il suffit mintennt de voir que pour chque orbite de σ de longueur l > 1, il existe un unique cycle dont le support est exctement cette orbite : c est, vec un élément x de cette orbite, (x, σ(x),..., σ l 1 (x)). 389

390 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Il fut svoir décomposer une permuttion en produit de cycles de supports disjoints. Dns l prtique, voici comment l on procède (le procédé est celui de l démonstrtion précédente). Soit σ S n. L idée est l suivnte : on prt d un élément de 1, n, et on regrde ses imges successives pr σ. On prcourt lors son orbite. Au bout d un nombre fini d étpes, on revient u point de déprt. On lors prcouru une boucle, ce qui correspond à un cycle C 1. Pour utnt, tous les éléments de 1, n n ont ps forcément été rencontrés lors de cette boucle. On peut donc recommencer une utre promende en prtnt d un élément que nous n vons ps encore rencontré. On fit lors une nouvelle boucle qui est une deuxième orbite, ce qui correspond à un second cycle C 2. En fisnt cel pour toutes les orbites, on construit utnt de cycles que d orbites. Ils ont tous des supports disjoints et leur composition donne σ. On remrque pour finir que puisque leurs supports sont disjoints, ils commutent. On peut donc composer ces cycles dns l ordre que l on veut. Un exemple pour illustrer tout cel : Exemple( ) Soit σ =. Déterminons l orbite de 1, pr le schém suivnt, où une flèche v d un élément à son imge pr σ : , et l boucle est bouclée. L orbite de 1 est donc, dns l ordre, {1, 5, 4}. Prenons ensuite un élément qui n est ps dns cette orbite, pr exemple 2. On lors : 2 2, et l boucle est déjà bouclée, 2 est un point fixe de σ. Prenons un utre élément qui n est dns ucune des deux orbites précédentes, pr exemple 3 : L orbite de 3 est donc {3, 6}. On s rrête là cr tous les éléments de 1, 6 ont été rencontrés. On peut donc écrire σ = (1, 5, 4) (2) (3, 6). Comme (2) n est en fit ps un cycle (c est l identité), on ne l écrit ps. On n écrit ps non plus les symboles. On donc σ = (1, 5, 4)(3, 6), et on remrque que c est ussi égl à (3, 6)(1, 5, 4). Cette écriture comme produit de cycles de supports disjoints est plus prtique que l écriture sous forme de deux lignes : elle est plus courte et permet de repérer imméditement les orbites. L écriture à deux lignes s en déduit très simplement. De l décomposition précédente découle une utre, primordile pour l suite du chpitre : Théorème Toute permuttion se décompose en produit de trnspositions (on dit que S n est engendré pr ses trnspositions). D près le théorème précédent, il suffit de svoir décomposer un cycle en produit de trnspositions. Soit C = (x 1,..., x p) un cycle. On montre lors que C = (x 1, x 2)(x 2, x 3)... (x p 1, x p), et c est fini. Notons T = (x 1, x 2)(x 2, x 3)... (x p 1, x p). Si x 1, n \ {x 1,..., x p}, lors x est invrint pr toutes les trnspositions insi que pr le cycle, donc T (x) = C(x) = x. Si 1 i < p, on ( p 1 ) T (x i) = (x j, x j+1) (x i) = = j=1 ( i 1 ) (x j, x j+1) (x i, x i+1)(x i) j=1 ( i 1 ) (x j, x j+1) j=1 = x i+1 = C(x i). (x i+1) On conclut simplement en montrnt que T (x p) = x 1 = C(x p) pr récurrence sur p. Cette ( décomposition ) n est ps unique Pr exemple = τ τ 23 τ 34 = τ 41 τ 12 τ 23. De plus, deux trnspositions ( ne) commutent ( en) générl ps : τ 12 τ 23 = = τ 23 τ

391 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS 1.4 Signture d une permuttion Définition Soit σ S n. On dit qu un couple (i, j) 1, n 2 est une inversion de σ si i < j et σ(i) > σ(j). On note lors I(σ) le nombre d inversions de σ, et on définit l signture de σ, notée ε(σ), comme étnt l entier ε(σ) = ( 1) I(σ), qui vut donc ±1. Une permuttion de signture 1 est dite pire, impire sinon. Exemple ( ) Si σ =, lors I(σ) = et donc ε(σ) = 1. Proposition Toute trnsposition est impire. Il suffit de voir que, si 1 i < j n, τi, j pour inversions : le couple (i, j) ; les couples (i, x) et (x, j) pour i < x < j. Il y donc bien un nombre impir d inversions pour une trnsposition. Lemme Si σ S n, on ε(σ) = 1 i<j n σ(i) σ(j). i j sont égux u signe près. Donc 1 i<j n σ(i) σ(j) i j = ±1. σ(i) σ(j) Remrquons que si i < j, lors est négtif si i j et seulement si (i, j) est une inversion. Comme il y I(σ) inversions, ce produit vut ( 1) I(σ). Théorème L ppliction signture { (Sn, ) ({ 1, 1}, ) ε : σ ε(σ) est un morphisme de groupes. Son noyu, noté A n = {σ S n ε(σ) = +1} est un sous-groupe de S n ppelé groupe lterné d ordre n. Démonstrtion (non exigible). On utilise directement le lemme (qui n est ps exigible lui non plus) : si σ, σ S n, on : ε(σ σ ) σ(σ (i)) σ(σ (j)) = i j = = 1 i<j n 1 i<j n 1 I<J n =ε(σ) ε(σ ). σ(σ (i)) σ(σ (j)) σ (i) σ (j) σ(i) σ(j) I J 1 i<j n 1 i<j n σ (i) σ (j) i j σ (i) σ (j) i j Corollire Si σ est le produit de p trnspositions, lors ε(σ) = ( 1) p. En effet, 1 i<j n σ(i) σ(j) i j = 1 i<j n 1 i<j n σ(i) σ(j) i j. Or σ est une bijection, donc tout couple (i, j) tel que i < j est égl à un unique couple de l forme (σ(k), σ(l)), vec nécessirement k l. Cependnt, si i < j on ne sit ps si k < l ou k > l. Réciproquement, pour tout couple (i, j) tel que i < j, (σ(i), σ(j)) est égl à un unique couple de l forme (k, l), vec nécessirement k l. Dns tous les cs, le numérteur et le dénominteur de l dernière frction Exemple Un cycle de longueur p est donc de signture ( 1) p+1. Exemple Avec ( ) σ = = (1, 5, 4)(3, 6), on ε(σ) = 1 ( 1) =

392 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Remrque L signture d une permuttion est très souvent définie comme ceci, et il fut donc connître cette crctéristion, qui est de plus très prtique pour le clcul de l signture. Si cette définition est choisie, il fut dns ce cs montrer que le nombre de trnspositions de n importe quelle décomposition en produit de trnspositions toujours l même prité. Corollire L signture est l unique ppliction ε de S n dns { 1, 1} telle que ε(τ) = 1 pour toute trnsposition τ et ε(σ σ ) = ε(σ)ε(σ ) pour toutes permuttions σ et σ. Soit ε une telle ppliction. Alors ε correspond vec l signture sur l ensemble des trnspositions, et puisque ε(σ σ ) = ε(σ)ε(σ ) pour toutes permuttions σ et σ, lors si σ est le produit de p trnspositions, ε(σ) = ( 1) p, qui vut donc l signture de σ. 2 Applictions multilinéires Désormis, E et F sont deux K-espces vectoriels. 2.1 Définition et exemples Définition Soient E 1,..., E n et F des K-espces vectoriels et f une ppliction de E 1... E n dns F. On dit que f est n-linéire si pour tout k 1, n, tout (x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ) E 1 E k 1 E k+1... E n l ppliction { Ek F x f(x 1,..., x k 1, x, x k+1,..., x n ) est linéire. Si n = 2, on dit que f est bilinéire et, si F = K, on dit que f est une forme n-linéire. L ensemble des pplictions n-linéires de E 1... E n dns F est noté L (E 1, E 2,..., E n ; F ). Si tous les E i sont égux et notés E, on utilise lors l nottion L n (E; F ). Enfin l ensemble des formes n-linéires sur E n est noté L n (E) (c est-à-dire si F = K). Remrque On remrque fcilement que tous ces ensembles d pplictions multilinéires sont des K-ev. Une ppliction linéire est une ppliction 1- linéire. Toute ppliction multilinéire s nnule sur un vecteur dont une coordonnée est nulle, pr linérité pr rpport à cette coordonnée. Exemple Les pplictions suivntes sont bilinéires : K E E, (λ, x) λ x, où E est un K-ev. R 3 R 3 R, (u, v) u v. R 3 R 3 R 3, (u, v) u v. M n,p (K) M p,q (K) M n,q (K), (A, B) AB. L (E, E ) L (E, E ) L (E, E ), (f, g) g f, où E, E, E sont trois K-espces vectoriels (l linérité pr rpport à g est vrie sns supposer que f et g sont linéires ; pour l linérité pr rpport à f, g doit être linéire). C 0 ([0, 1]) 2 R, (f, g) 1 (R 2 ) 2 R, (u, v) det(u, v). 0 f(t)g(t) dt. 2.2 Applictions multilinéires symétriques, ntisymétriques et lternées Définition Soit f L n (E; F ), et soit σ S n. On définit l ppliction { : E σ f : n F (x 1,..., x n ) f(x σ(1),..., x σ(n) ). On vérifie que σ f est ussi une ppliction n-linéire. Exemple Soit f L 3 (R; F ), et σ = ( 1 2 ) S

393 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Alors (σ f)(x 1, x 2, x 3 ) = f(x σ(1), x σ(2), x σ(3) ) = f(x 3, x 1, x 2 ). Proposition Soit f L n (E; F ) et soit σ 1, σ 2 S n. Alors σ 1 (σ 2 f) = (σ 1 σ 2 ) f. Soit (x 1,..., x n) E n. Alors, vec (x σ1 (1),..., x σ1 (n)) = (x 1,..., x n), [σ 1 (σ 2 f)](x 1,..., x n) = [σ 2 f](x σ1 (1),..., x σ1 (n)) = [σ 2 f](x 1,..., x n) = f(x σ 2 (1),..., x σ 2 (n)) = f(x σ1 (σ 2 (1)),..., x σ1 (σ 2 (n))) = [(σ 1 σ 2) f](x 1,..., x n). Définition Une ppliction n-linéire f est dite symétrique si pour tout σ S n, σ f = f. Elle est dite ntisymétrique si pour tout σ S n, σ f = ε(σ)f. Le déterminnt de R 3 R 3 R 3 dns R est une ppliction trilinéire ntisymétrique. En effet, remrquons que si σ S 3, lors il existe p trnspositions τ 1,..., τ p telles que σ = τ p... τ 1. Dns ce cs σ det = τ p (τ p 1 (... τ 2 (τ 1 det))). Mis pour toute trnsposition τ, τ det = det, cr échnger deux vecteurs dns un déterminnt chnge le signe de ce déterminnt. Ainsi σ det = ( 1) p det = ε(σ) det. Remrquons d bord que l on peut crctériser le crctère symétrique ou ntisymétrique d une ppliction multilinéire pr l ction des trnspositions sur cette dernière. Proposition Soit f une ppliction n linéire. Si pour toute trnsposition τ, on τ f = f lors f est symétrique. De même si, pour toute trnsposition τ, on τ f = f lors f est ntisymétrique. Fcile, une fois que l on sit décomposer une permuttion en produit de trnspositions, vec l propriété de morphisme de l signture insi que l proposition??. Remrque On remrque fcilement que l ensemble des pplictions symétriques est un K-ev, et qu il en est de même pour celui des pplictions ntisymétriques. Les crctères «symétrique» et «ntisymétrique» d une ppliction multilinéire n ont de sens que si les espces vectoriels de déprt sont tous égux. Sinon, permuter des vribles qui ne sont ps de même nture n ps de sens. Exemple Le produit de deux fonctions C 0 (R) 2 C 0 (R), (f, g) fg est une ppliction bilinéire symétrique. Le produit vectoriel de R 3 R 3 dns R 3 est une ppliction bilinéire ntisymétrique. Le déterminnt de R 2 R 2 dns R est bilinéire, ntisymétrique. En effet, il suffit de voir que det(v, u) = det(u, v). Proposition Soit f L n (E; F ) une ppliction n-linéire ntisymétrique. Soit (x 1,..., x n ) E n. (i) Si τ est une trnsposition de S n, lors τ f = f, i.e. f est chngée en son opposé si l on échnge deux vribles ; (ii) S il existe i j dns 1, n tels que x i = x j, lors f(x 1,..., x n ) = 0 ; (iii) On ne chnge ps l vleur de f si l on joute à une vrible une combinison linéire des utres ; (iv) Si (x 1,..., x n ) est liée, lors f(x 1,..., x n ) = 0. (i) Direct cr ε(τ) = 1 ; (ii) On note X = (x 1,..., x n) et X = τxi x j (X), c est-àdire le vecteur obtenu à prtir de X en échngent les i e et j e coordonnées. Si x i = x j, on X = X, 393

394 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS d où τ xi x j f(x) = f( X) = f(x). Or d près (i), τ xi x j f(x) = f(x), d où f(x) = 0 ; (iii) Considérons pr exemple que l on rjoute à x n l combinison linéire λ ix i, vec λ i K. Les utres n 1 cs i=1 se tritent de l même mnière. Alors, pr linérité pr rpport à l dernière vrible, on : ( ) n 1 f x 1,..., x n 1, x n + λ ix i = i=1 n 1 f(x 1,..., x n) + λ if(x 1,..., x n 1, x i). i=1 Or d près le point (ii), pour tout i 1, n 1, on f(x 1,..., x n 1, x i) = 0, d où n 1 f(x 1,..., x n 1, x n + λ ix i) = f(x 1,..., x n). i=1 (iv) Si (x 1,..., x n) est liée, lors on peut exprimer un des vecteurs de x 1,..., x n en fonction des utres. Pr exemple (de même dns les utres cs), x n = n 1 λ ix i. i=1 Alors d près le point (iii), on : n 1 f(x 1,..., x n) = f(x 1,..., x n 1, λ ix i) i=1 n 1 = f(x 1,..., x n 1, 0 + λ ix i) = f(x 1,..., x n 1, 0). i=1 Or, d près l remrque 2.1.2, on f(x 1,..., x n 1, 0) = 0. Définition Une ppliction n-linéire est dite lternée si elle s nnule sur tout n-uplet dont deux éléments u moins sont égux. Remrque Le point (ii) de l proposition montre exctement que toute ppliction ntisymétrique est lternée. En fit, ces deux notions sont équivlentes, comme le montre le théorème suivnt. Théorème Si f est une ppliction multilinéire, f est ntisymétrique si et seulement si elle est lternée. Il reste à montrer que si f est lternée, elle est ntisymétrique. f v de E n dns F. Soit τ ij une trnsposition de S n, vec i, j 1, n, i < j. Soit X = (x 1,..., x n) E n. On ppelle X le vecteur dont les i e et j e coordonnées vlent toutes les deux x i + x j, et dont les utres coordonnées sont les mêmes que celles de X. Ou encore, X = (x 1,..., x i 1, x i + x j, x i+1,..., x j 1, x i + x j, x j+1,..., x n). On en déduit que f(x ) = 0. Or, pr multilinérité, f(x ) =f(x 1,..., x i 1, x i + x j, x i+1,..., x j 1, x i + x j, x j+1,..., x n) =f(x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x j 1, x i + x j, x j+1,..., x n) + f(x 1,..., x i 1, x j, x i+1,..., x j 1, x i + x j, x j+1,..., x n) =f(x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x j 1, x i, x j+1,..., x n) }{{} =0 + f(x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x j 1, x j, x j+1,..., x n) }{{} =f(x) + f(x 1,..., x i 1, x j, x i+1,..., x j 1, x i, x j+1,..., x n) }{{} =f(τ ij (X)) + f(x 1,..., x i 1, x j, x i+1,..., x j 1, x j, x j+1,..., x n) }{{} =0 =f(x) + f(τ ij(x)) =f(x) + τ ij f(x), d où τ ij f = f. On en déduit que pour toute trnsposition τ, et toute ppliction multilinéire f, τ f = f. Soit σ S n. σ s écrit comme le produit de p trnspositions, σ = τ 1... τ p. D près le point précédent on σ f = τ 1 (... (τ p f)...) = τ 2 (... (τ p f)...) = ( 1) p f = ε(σ)f, ce qui prouve bien le résultt voulu. En générl on utilise plutôt le mot «lternée» qu «ntisymétrique». Exemple Le produit vectoriel entre deux vecteurs de R 3 est une ppliction lternée. L ppliction qui, à une fmille de deux vecteurs de R 2, ssocie son déterminnt est une forme bilinéire lternée. Il en est de 394

395 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS même pour le déterminnt d une fmille de trois vecteurs de R 3 (forme trilinéire lternée). 3 Déterminnt d une fmille de vecteurs 3.1 Définition en dimension finie. Désormis, E est un K-ev de dimension finie n. Notons A n (E) l ensemble des formes n-linéires lternées sur E n. Exercice Si n = 2, soit B = (e 1, e 2 ) une bse de E, soit f A 2 (E) et soit les vecteurs x = x 1 e 1 + x 2 e 2 et y = y 1 e 1 + y 2 e 2. Développer pr linérité f(x, y) pr rpport à s première coordonnée, puis s deuxième. Fire de même en dimension 3. Théorème Soit B = {e 1,..., e n } une bse de E. Pour (X 1,..., X n ) E n et 1 j n, on note (x ij ) 1 i n les coordonnées de X j dns B. (i) A n (E) est une droite vectorielle, i.e. est de dimension 1. (ii) Considérons l ppliction det B : E n K, telle que pour tout (X 1,..., X n ) E n, det B (X 1,..., X n ) = n ε(σ) x iσ(i) σ S n i=1 = n ε(σ) x σ(i)i. σ S n i=1 C est une forme n-linéire lternée non nulle sur E n, et c est l seule vérifint det B (B) = det B (e 1,..., e n ) = 1. (iii) Si f A n (E), on f = f(b) det B (vec f(b) = f(e 1,..., e n )) et donc A n (E) = Vect(det B ). Ici l dimension de E doit être égle à l puissnce de E. Démonstrtion (non exigible). Montrons déjà l églité des deux formes de l définition du déterminnt. Soit σ S n, comme σ est une permuttion, on n n x i,σ(i) = x σ 1 (i),i. i=1 i=1 On conclut en remrqunt que comme σ σ 1 = Id, lors ε(σ) = ε(σ 1 ) et que σ σ 1 est une permuttion de S n. (i) Ce point découler directement du point (iii). (ii) À vous de montrer que det B est n-linéire. Montrons déjà qu elle est non nulle. Pour tout i, on peut écrire e i = j=1 δ i,je j (δ étnt le symbole de Kronecker), donc n det B (B) = det B (e 1,..., e n) = ε(σ) δ i,σ(i). σ S n i=1 Mis si σ Id, il existe i tel que i σ(i), et insi δ i,σ(i) = 0. Pr conséquent, n det B (B) = ε(id) = 1, ce qui montre i=1 δ i,id(i) d illeurs un utre point de (ii). Montrons enfin qu elle est lternée. Soit (X 1,..., X n) E n tel qu il existe i, j 1, n vec i < j et X i = X j. Alors : det(x 1,..., X n) = B = σ A n k=1 n x kσ(k) n ε(σ) σ S n k=1 n x kσ(k). σ S n\a n k=1 x kσ(k) On utilise lors l idée suivnte : si l on note τ = τ i,j, l ppliction A n S n\a n, σ τ σ est une bijection. Ainsi, σ S n\a n k=1 n x kσ(k) = n σ A n k=1 = σ A n k=1 x kτσ(k) n x kσ(k), cr X i = X j et si σ(k) i et σ(k) j, τ(σ(k)) = σ(k). On obtient donc bien det B (X 1,..., X n) = 0. Le fit que det B soit l seule à vérifier det B (e 1,..., e n) = 1 découler du point (iii). (iii) Soient f A n(e) et (X 1,..., X n) E n. On : 395

396 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS f(x ( 1,..., X n) ) = f x i1 1e i1,..., x inne in i 1 =1 ( i n=1 ) = x i1 1f e i1, x i2 2e i2,..., x inne in = = = i 1 =1... i 1 =1 i 2 =1 i 1,...,i n 1,n i 2 =1 i n=1 x i1 1x i x innf(e i1,..., e in ) i n=1 i 1,...,i n 1,n x i x innf(e i1,..., e in ) x i x innf(e i1,..., e in ) tq. si k l lors i k i l = x σ(1)1... x σ(n)n f(e σ(1),..., e σ(n) ) σ S n (( n ) ) = x σ(i)i ε(σ)f(e 1,..., e n) σ S n i=1 ( ) n = f(e 1,..., e n) ε(σ) x σ(i)i σ S n = f(b) det B (X 1,..., X n). i=1 Définition Cette fonction det B est ppelée déterminnt dns l bse B. Exemple Si n = 2, remrquons que S n = {Id, τ 12 }. Si B = {e 1, e 2 } est une bse de E, et si x, y E ont pour coordonnées (x 1, x 2 ) et (y 1, y 2 ) dns B, on : det B (x, y) = ε(id)x 1 y 2 + ε(τ 12 )x 2 y 1 = x 1 y 2 x 2 y 1, ce qui est l formule hbituelle du déterminnt en dimension 2. De même, si n = 3, on remrque que S n = {Id, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}, ce qui donne : det (x, y, z) = x 1y 2 z 3 +x B }{{} 2 y 3 z 1 +x }{{} 3 y 1 z 2 x }{{} 3 y 2 z }{{ 1 } Id (1,2,3) (1,3,2) (1,3) x 2 y 1 z }{{ 3 x } 1 y 3 z 2. }{{} (1,2) (2,3) Remrque Dns l exemple ci-dessus et B étnt l bse cnonique, on peut remrquer que det B (x, y, z) = x (y z). Pouvez-vous former d utres reltions de ce type? Attention, l vleur du déterminnt vrie suivnt l bse, comme le montre l exemple suivnt : Exemple On pose E = R 2, et B = {(1, 0), (0, 1)} = {e 1, e 2 } et B = {(1, 1), (2, 0)} = {f 1, f 2 } deux bses de E. On pose v = e 1 + e 2 et w = e 1 e 2. Alors v = f 1 et w = f 1 + f 2. Alors det B (v, w) = 2 et det B (v, w) = 1. Théorème Soient B et B deux bses de E et F une fmille de n vecteurs de E. On lors : (i) Formule de chngement de bse : det B (F ) = det B (B ) det B (F ). (ii) F est une bse ssi det B (F ) 0. Dns ce 1 cs det F (B) = det B (F ). Ces résultts découlent de résultts précédents : (i) On utilise le point (iii) du théorème Si on ppelle f l ppliction det B, f est n-linéire lternée et donc f = f(b ) det B, ce qui exctement le résultt voulu. (ii) On utilise le point (iv) de l proposition : D une prt, si F est liée, on det B (F ) = 0, d utre prt, si F n est ps liée, comme crd(f ) = n, F est lors une bse, donc det F (F ) = 1, et le point i précédent ssure que det F (F ) = det F (B) det B (F ). Exemple En reprennt les bses B et B de l exemple précédent, on trouve bien det B (B ) = 2 et det B (B) = Interpréttion en géométrie réelle. On considère ici le cs où le corps de bse est K = R. 396

397 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Orienttion d un ev réel de dimension finie Définition On dit que deux bses B et B de E ont l même orienttion si det B (B ) > 0. L reltion «voir l même orienttion» est une reltion d équivlence, et il y exctement deux orienttions possibles. sont colinéires, strictement positive si (u, v) est orientée directement et strictement négtive sinon. u Le fit qu il s gisse d une reltion d équivlence ne pose ucune difficulté : réflexivité : det B (B) = 1. 1 symétrie : det B (B) =, donc ces deux det B (B ) déterminnts ont le même signe. trnsitivité : det B (B ) = det B (B ). det B (B ). Soit B = (e 1,..., e n) une bse de E : elle définit une orienttion. Soit B = ( e 1,..., e n) une seconde bse. Puisque det B (B ) = 1, B définit une seconde orienttion. Montrons qu il n y en ps d utre : soit B une troisième bse. Puisque det B (B ) = det B (B ). det B (B ), et det B (B ) < 0, lors det B (B ) et det B (B ) sont de signes opposés, donc l un des deux est strictement positif, donc B l même orienttion que B ou que B. Orienter E, c est dire que l une de ces deux orienttions est directe. Les bses représentnt l utre orienttion seront lors dites indirectes. Exemple Pour tout θ R, les bses ( u θ, v θ ) ont l même orienttion que l bse cnonique dns R 2. b Déterminnt et ire dns le pln. On considère ici que E = R 2, que l on munit du produit sclire usuel insi que de l norme euclidienne induite. Notons (e 1, e 2 ) l bse cnonique de R 2. On condidère que R 2 est orienté pr s bse cnonique. Proposition Soit (u, v) deux vecteurs de R 2. Alors det (e1,e 2 )(u, v) est l ire lgébrique du prllélogrmme engendré pr (u, v) (voir l figure XXIV.1). Elle est donc nulle si u et v e 2 e 1 Aire lgébrique : 13 v Figure XXIV.1 Aire du prllélogrmme engendré pr (u, v), vec u = (2, 5) et v = (3, 1). Posons u = (u 1, u 2) et v = (v 1, v 2) (voir l figure XXIV.2). Quitte à échnger u et v, on peut supposer que (u, v) est directe, l ire lgébrique du prllélogrmme est donc positive. On peut ussi supposer que u (0, 0). Rppelons que l ire d un prllélogrmme est le produit de l longueur d un de ses côtés pr l huteur correpondnte. Avec u = ( u 2, u 1), on remrque que u u = 0 donc que u et u sont orthogonux, insi que u = u,. L huteur correspondnt à u est donc h = u u v et l ire du prllélogrmme est donc h u = u v = u 1v 2 u 2v 1. Remrque Ce résultt est vri en considérnt le déterminnt pris dns une bse orthonormée directe quelconque, et non juste dns l bse cnonique. Exemple Si u est un vecteur non nul de R 2 et B est l bse cnonique de R 2, on obtient directement une représenttion crtésienne de l droite engendrée 397

398 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS v w h u u v e 3 u Figure XXIV.2 Illustrtion du lien entre l ire d un prllélogrmme et le déterminnt. pr u pr : c x R 2, x Vect u det B (x, u) = 0. Déterminnt et volume dns l espce. On considère ici que E = R 3, que l on munit du produit sclire usuel insi que de l norme euclidienne induite. Notons (e 1, e 2, e 3 ) l bse cnonique de R 3. On considère que R 3 est orienté pr s bse cnonique. Proposition Soit (u, v, w) trois vecteurs de R 3. Alors det (e1,e 2,e 3 )(u, v, w) est le volume lgébrique du pvé engendré pr (u, v, w) (voir l figure XXIV.3). Elle est donc nulle si (u, v, w) sont coplnires, strictement positive si (u, v, w) est orientée directement et strictement négtive sinon. Cette preuve est lissée ux soins du lecteur : pensez à utiliser le produit vectoriel! e 1 e 2 Figure XXIV.3 Représenttion du pvé engendré pr (u, v, w). Remrque Ce résultt est vri en considérnt le déterminnt pris dns une bse orthonormée directe quelconque, et non juste dns l bse cnonique. Exemple Si u et v sont des vecteurs non colinéires de R 3 et B est l bse cnonique de R 3, on obtient directement une représenttion crtésienne du pln engendré pr u et v pr : x R 3, x Vect (u, v) det B (x, u, v) = 0. 4 Déterminnt d un endomorphisme E est un K-ev- de dimension n, dont une bse est B = (e 1,..., e n ). Soit f L (E). Remrque Pour F = (x 1,..., x n ) E n, on commettr le (léger) bus de nottion suivnt : f(f ) = (f(x 1 ),..., f(x n )). 398

399 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Définition On ppelle déterminnt de f le sclire noté det f tel que det f = det B (f(b)) = det B (f(e 1 ),..., f(e n )). Ce sclire ne dépend ps de l bse B choisie. Remrque Pour pouvoir clculer ce déterminnt, il fut que pour tout i, f(e i ) E, donc que f soit un endomorphisme. On introduit { l ppliction E n K ϕ : (v 1,..., v n) det B (f(v 1),..., f(v. n)) On montre que ϕ est n-linéire (à vous de le fire) et lternée : supposons qu il existe i, j 1, n tels que i j et v i = v j. Il fut montrer que ϕ(v 1,..., v n) = 0. On ϕ(v 1,..., v n) = det B (f(v 1),..., f(v n)). Mis f(v i) = f(v j) donc det B (f(v 1),..., f(v n)) = 0, cr det B est lterné. Il existe donc λ K tel que ϕ = λ det B, et on vu que λ = ϕ(b). Soit B une seconde bse de E. Alors : det (f(b )) = det(b). det B B B f(b ) = det B (B).ϕ(B ) = det(b).ϕ(b). det(b ) B B = ϕ(b) = det B (f(b)). Exemple Soit g : R 2 R 2 une ppliction linéire tel que 1 0 g(e 1 ) = e 1 et g(e 2 ) = 0. Alors det g = 0 0 = Et d utre prt det(g + Id R 2) = 0 1 = 2. (( ) ( )) 1 1 Si l on prend l bse B =, = 1 1 (f 1, f 2 ), lors on trouve g(f 1 ) = e 1 = 1 2 (f 1 + f 2 ) et g(f 2 ) = e 1 = 1 2 (f 1 + f 2 ), d où en effet det g = det B (g(b 1/2 1/2 )) = 1/2 1/2 = 0 et det(g +Id R 2) = 3/2 1/2 = 9/4 1/4 = 2. 1/2 3/2 Proposition Soit F une fmille de n vecteurs de E. 1. det B (f(f )) = det f det B (F ) ; 2. si g L (E), det(g f) = det f det g ; 3. det(id E ) = 1 ; 4. f est un utomorphisme de E ssi det f 0 ; 5. Si det f 0, lors det ( f 1) = 1 det f. 6. det(λf) = λ n det f. 1. En utilisnt l démonstrtion précédente, on : det B (f(f )) = ϕ(f ) = ϕ(b) det B (F ), et on montré que ϕ(b) = det f. 2. det(g f) = det(g(f(e 1)),..., g(f(e n)) B = det g(f(e 1),..., f(e n)) B }{{} =F = det B g(f ) = det g det F B = det g det f. 3. det(id E) = det B (Id E(B)) = det B (B) = ( ) : f 1 existe et donc det(f f 1 ) = det Id E = 1. Or d près le point 2, det(f f 1 ) = det f det(f 1 ), donc on obtient det f 0, et ussi det f 1 = 1 det f (ce qui pr illeurs prouve le point 4). ( ) : On suppose que det f 0. Donc det B (f(b)) 0, d où f(b) est une bse de E, et insi f est un utomorphisme. 5. Pr multilinérité du déterminnt, det(λf) = det B (λf(e 1),..., λf(e n)) = λ n det B (f(e 1),..., f(e n)) = λ n det f. Exemple det(2id R 2) = 2 2 det Id R 2 = 4, mis det(2id R 3) = 2 3 det Id R 3 = 8. De mnière générle, det(f + g) det(f) + det(g). 399

400 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS 5 Déterminnt d une mtrice crrée 5.1 Définitions et propriétés Définition Soit A M n (K) et C = (e 1,..., e n ) l bse cnonique de K n. Alors, il existe une unique f L (K n ) telle que A = Mt C (f). On définit lors le déterminnt de A comme étnt le sclire det f. Ainsi, si A = ( i,j ) 1 i,j n, en notnt (C 1,..., C n ) les colonnes de A, on det A = det C (C 1,..., C n ) = n ε(σ) i,σ(i). σ S n i=1 On retrouve les mêmes propriétés que pour le déterminnt d une ppliction linéire : Théorème Soit E un K-ev et f L (E), et soit B une bse quelconque de E. Alors, det(f) = det(mt B (f)). De même, si F est une fmille de n vecteurs de E, det B (F ) = det(mt B (F )). Soit B = (e 1,..., e n) une bse de E. Avec A = ( i,j) = Mt B (f), on, d une prt, n det A = ε(σ) iσ(i). σ S n i=1 De plus, ( ) n det(f) = det(f(b)) = det i,je i B B = σ S n ε(σ) = det A n i=1 iσ(i) i=1 j=1 On procède de même pour une fmille de vecteurs. Proposition Soit A, B M n (K). 1. det(a B) = det A det B. 2. det I n = A est inversible si et seulement si det A 0. Si det A 0, on det A 1 = 1 det A. 4. det t A = det A. 5. Si λ K, det(λa) = λ n det(a). 1., 2., 3. et 5. immédits d près les propriétés du déterminnt d une ppliction linéire. 5. si A = ( ij), on note t A = (b ij) vec b ij = ji. Alors : n det t A = ε(σ) b i,σ(i) σ S n i=1 n = ε(σ) σ(i),i σ S n i=1 n = ε(σ) i,σ(i) déjà vu σ S n i=1 = det A. Exercice Montrer de deux mnières différentes que deux mtrices semblbles ont même déterminnt. 5.2 Mtrices tringulires et tringulires pr blocs Lemme Soit σ S n tel que pour tout i 1, n, i σ(i). Alors σ = Id. Posons l hypothèse de récurrence (H i) : pour tout k de n i à n, σ(k) = k. Initilistion : pr hypothèse on σ(n) n. Mis σ(n) 1, n, donc nécessirement σ(n) = n. (H 0) est donc vrie. Hérédité : supposons (H i) vrie pour i 0, n 1. Alors pour tout k n i, σ(k) = k. Pr injectivité de σ il vient donc : pour tout k < n i, σ(k) < n i. En prticulier n i 1 σ(n i 1) < n i, et donc forcément σ(n i 1) = n i 1, et (H i+1) est vérifiée. On donc bien σ = Id. 400

401 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Théorème (Déterminnt d une mtrice tringulire). Soit A = ( i,j ) une mtrice tringulire. Alors, n det A = i,i. i=1 Supposons A tringulire supérieure. Alors pour tous i, j 1, n, i > j i,j = 0. On sit que det A = σ S n ε(σ) n i,σ(i). i=1 Soit σ S n tel que σ Id. Alors d près le lemme 5.2.1, il existe i 0 tel que σ(i 0) < i 0. Alors i0 σ(i 0 ) = 0 donc n n i,σ(i) = 0. Ainsi, dns l somme ε(σ) i,σ(i), i=1 σ S n i=1 seule le terme pour σ = Id est non nul, et donc n n det A = i,id(i) = i,i. i=1 i=1 On évidemment le même résultt pour les mtrices tringulires inférieures. Exemple Une mtrice A dont les coefficients sont écrits entre brres verticles signifie det A = = Remrque Avec ce résultt on retrouve fcilement qu une mtrice tringulire est inversible si et seulement si elle n ps de zéro sur l digonle. Proposition ( ) A B Soit M = une mtrice pr blocs de 0 I p M n+p (K), vec A M n (K) et B M n,p (K). Alors det M = det A. Considérons l ppliction f : (M n,1(k)) n K telle que ( ) A B f(x 1,..., x n) = det M, vec M = et B fixée, 0 n Id p où A est l mtrice de (x 1,..., x n) dns l bse cnonique. Avec un léger bus de nottion, on noter ceci f(a). Cette ppliction est n-linéire lternée, donc il existe k K telle que pour tout A M n(k), f(a) = k det A. Or pour A = I p, M est une mtrice tringulire de déterminnt 1, donc k = 1, et le résultt est démontré. Remrque Nous ( vons ) bien sûr de l même mnière In B det = det C. 0 C Théorème [Déterminnt ( d une ) mtrice tringulire pr blocs] A B Soit M = une mtrice tringulire pr 0 C blocs. Alors, Il suffit d écrire ( ) A B 0 C det M = det A det C. = ( ) ( ) In 0 A B. 0 C 0 I p Remrque Le résultt s dpte évidemment dns le cs des mtrices tringulire inférieures pr blocs, insi que dns le cs de mtrices tringulires pr blocs vec plus de deux blocs sur l digonle. L formule ne se générlise ps ux mtrices pr blocs non tringulires. Ainsi, Opértions élémentires et pivot de Guss L méthode présentée ci-près est l méthode de bse : elle fonctionne toujours, et est l plus rpide dns l grnde mjorité des cs. On fixe A M n (K). 401

402 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS Théorème Ajouter à une ligne ou une colonne de A une combinison linéire des utres lignes ou colonnes ne chnge ps le déterminnt de A. 2. Multiplier une ligne ou une colonne de A pr une constnte λ K, chnge le déterminnt de A en λ det A. 3. Échnger deux lignes ou deux colonnes de A chnge le déterminnt de A en det A. C est direct, cr le déterminnt est une fonction n-linéire lternée de ses lignes, insi que de ses colonnes. On peut ussi en donner une preuve mtricielle. Effectuer chcune de ces opértions élémentires revient à multiplier A pr une certine mtrice inversible M, déjà vue dns le chpitre XXII. Ainsi le déterminnt de A est chngé en det M det A. Il suffit donc de clculer le déterminnt de M, ce qui ne pose ucun problème dns les deux premiers cs, cr lors M est tringulire. Dns le cs 3, remrquons (pr exemple pour les lignes) que L i L j est équivlente à l suite d opértions suivntes : Ligne n o i Ligne n o j Opértion effectuée L i L j L i + L j L j L i L i + L j L i + L j L i L j L j L i L j L i L i L i + L j L j L i L i L i Il suffit donc de multiplier det A pr le produit des déterminnts de ces opértions successives, qui sont tous 1, suf le dernier qui vut 1 : ce produit vut bien 1. Remrque À l instr d un clcul de rng, il est possible de mélnger des opértions sur les lignes et sur les colonnes pour clculer un déterminnt de mtrice. Exemple Avec l opértion C 2 2C 2 3C 1, on = = tring. Exemple Avec les opértions C 2 2C 2 3C 1 et C 3 2C 3 5C 1, on = = = Développement pr rpport à une ligne ou une colonne Définition Soit A = ( i,j ) M n (K). 1. On ppelle mineur d ordre (i, j) de A le sclire i,j = det A i,j où A i,j est l mtrice de M n 1 (K) obtenue à prtir de A en supprimnt l i e ligne et l j e colonne. 2. On ppelle cofcteur d ordre (i, j) de A le sclire ( 1) i+j i,j. 3. On ppelle comtrice de A notée com (A) l mtrice des cofcteurs i.e. com (A) = (( 1) i+j i,j ) 1 i,j n M n (K). Exemple Soit A = On lors com A = Théorème (Développement pr rpport à une ligne ou une colonne). Soit A M n (K), A = ( i,j ), soit i, j 1, n. 1. Développement pr rpport à l i e ligne : det A = ( 1) i+k i,k i,k. k=1 402

403 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS 2. Développement pr rpport à l j e colonne : det A = ( 1) k+j k,j k,j. k=1 On ne démontre que le développement pr rpport à l première ligne : det A = ij = L1 M = M M n M = M + 12 M }{{}}{{} =δ 1 =δ n M }{{} =δ n = 1jδ j. j=1 Clculons δ j. Pour cel on note C 1,..., C n les n colonnes ( ) n de l mtrice M = : n1... nn δ j = C 1... C j 1 C j C j+1... C n = ( 1) j C j C 1... C j 1 C j+1... C n = C1... C j 1 C j+1... C n, cr c est une mtrice tringulire pr blocs. Or ( C 1... C j 1 C j+1... C n ) = A1j, d où δ j = ( 1) j+1 1j et on le résultt voulu. On peut ussi observer ce résultt directement dns l définition du déterminnt : n det(a) = ε(σ) σ S n = = k=1 j=1 σ S n, σ(i)=j j=1 i,j k,σ(k) ε(σ) σ S n, σ(i)=j n k=1 ε(σ) k,σ(k) n k=1 k j k,σ(k) Il suffit ensuite de remrquer que, pour chque 1 j n, il y bien (n 1)! permuttions σ vérifint σ(i) = j puis que le terme σ S n, σ(i)=j ε(σ) n k=1 k j k,σ(k) correspond bien u cofcteur d ordre i, j de A. Nous lissons le lecteur intéressé montrer cel. Remrque Dns R 3 et l bse cnonique B, on retrouve les reltions observées en début de chpitre : det B (x, y, z) = x (y z) etc. Remrque Cette méthode n est à utiliser que lorsqu il y une ligne ou une colonne contennt un ou deux coefficients non nuls seulement, sinon elle beucoup plus longue que l méthode du pivot de Guss. N oubliez ps non plus que si l on veut développer pr rpport à une ligne ou une colonne, il existe d utres lignes ou colonnes que les premières! Pour démontrer le théorème 5.4.3, nous vons utilisé le résultt Il est possible de démontrer ces deux résultts dns l utre sens, mis ttention à ne ps utiliser un résultt dns s propre démonstrtion. Exemple Comprer le clcul de vec les deux méthodes (développement ou pivot de Guss). Corollire Soit A M n (K). Alors A t com A = t com A 403

404 CHAPITRE XXIV. DÉTERMINANTS A = (det A) I n. En prticulier, si A est inversible, lors A 1 = 1 det A tcom A. Remrque Ce résultt est inutilisble en prtique pour clculer des inverses de mtrices. Si n = 2, ç v (on retrouve l formule de l inverse d une mtrice 2 2), pour n = 3, c est trop long, et pour n 4 c est un cuchemr. Essyez! On note A = ( ij) et t com A = (b ij) vec b ij = ( 1) i+j ji. On note églement A. t com A = (C ij) i,j, donc C ij = ik b kj = k=1 ( 1) k+j ik jk. k=1 si i = j : grâce à l formule de développement pr rpport à l j e ligne, on trouve C ij = det A. si i j : on note l mtrice obtenue à prtir de A en remplçnt l j e ligne pr l i e ligne : cette mtrice à deux lignes égles, donc det = 0. On développe det pr rpport à l j e ligne, et on : 0 = det = ( 1) k+j ik jk = C ij, k=1 d où le résultt. On procède de l même mnière pour clculer t com A A. Ce déterminnt est un clssique prmi les clssiques. Il est possible de le clculer directement pr pivot de Guss. Ici, on le démontre pr récurrence. Les cs n = 0 ou n = 1 sont évidents : V (x 0) = 1 et V (x 0, x 1) = x 1 x 0. Soit n N tel que le résultt soit vri u rng n. Considérons le polynôme V (x 0,..., x n, X). En le développnt pr rpport à l dernière ligne, on voit qu il est de degré u plus n + 1, et que le terme en X n+1 pour coefficient V (x 0,..., x n). Or il est isé de voir qu il pour rcines x 0,..., x n. Il existe donc un sclire k K tel que V (x 0,..., x n, X) = k n (X x i). i=0 Ce sclire k est le coefficient dominnt de V (x 0,..., x n, X), c est donc en développnt sur l dernière ligne : V (x 0,..., x n). Ainsi, en évlunt ce polynôme en x n+1, il vient : V (x 0,..., x n, x n+1) = V (x 0,..., x n) n (x n+1 x i) i=0 ce qui, en utilisnt l hypothèse de récurrence, est bien le résultt recherché. Remrque On peut utiliser le déterminnt de Vndermonde pour montrer que l fmille des polynômes d interpoltion de Lgrnge est libre. Proposition (Déterminnt de Vndermonde). Soit n N et x 0,..., x n n+1 sclires. On définit le déterminnt de Vndermonde pr : 1 x 0 x x n 0 1 x 1 x x n 1 V (x 0, x 1,..., x n ) = x n x 2 n... x n n Alors, V (x 0,..., x n ) = (x j x i ). 0 i<j n 404

405 Chpitre XXV Espces euclidiens et préhilbertiens réels 1 Produit sclire, norme et distnce Orthogonlité Premières définitions Fmilles orthogonles Sous-espces vectoriels orthogonux Formes linéires d un espce euclidien Écriture mtricielle du produit sclire Symétries et projecteurs orthogonux Distnce à un sous ev Hyperplns ffines d un espce euclidien Automorphismes orthogonux Définitions générles Mtrices orthogonles Produit mixte Automorphismes orthogonux du pln 390

406 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Le corps de bse est R. n, p, q, r et s désignent des entiers nturels non nuls. E désigne un espce vectoriel. 1 Produit sclire, norme et distnce Définition On ppelle produit sclire sur E toute ppliction ϕ : E E R bilinéire symétrique et telle que pour tout x E, on it d une prt ϕ(x, x) 0 et d utre prt ϕ(x, x) = 0 si et seulement si x = 0. Un espce vectoriel réel muni d un produit sclire est dit préhilbertien. Si de plus il est de dimension finie, il est dit euclidien. Remrque Différentes nottions sont utilisées courmment pour le produit sclire de x et y : (x y), x y, (x, y), x, y, x y. Pr bilinérité, si x ou y = 0, x y = 0. L symétrie et l linérité pr rpport à une vrible suffisent à montrer l bilinérité. Jusqu à mintennt on définissit le produit sclire à prtir d ngles. En fit c est l inverse que l on fit lorsque l on théorise tout cel. Exemple Les produits sclires usuels vus en début d nnée sur R 2 et R 3 sont bien évidemment des produits sclires. Il existe de nombreux produits sclires sur R 2 ; pr exemple ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) x 1 x 2 y 1 x 2 + 2y 1 y 2 x 1 y 2. Il existe églement sur R n un produit sclire cnonique ; (x 1,..., x n ).(y 1,..., y n ) = x i y i. k=1 Pr extension, tout R-ev de dimension n, étnt isomorphe à R n, est muni d un produit sclire. Ainsi, ( sur R n [X] le produit sclire usuel est k X n ( n ) ). k b k X k = k=0 k=0 ( n k b k ). k=0 Soit et b deux réels vec < b. Sur C ([, b], R), l ppliction (f, g) b fg est un produit sclire (ttention : cet espce est de dimension infinie, donc n est ps euclidien, mis préhilbertien réel). Exercice L espérnce munit-elle l ensemble des vribles létoires réelles sur un espce probbilisé fini d un produit sclire (vi X, Y = E(XY ))? Proposer une solution à ce «problème». Définition (Distnce). Soit E un ensemble (quelconque, ps nécessirement un espce vectoriel). On ppelle distnce sur E toute ppliction d : E 2 R + vérifint les trois conditions suivntes : (i) (x, y) E 2 d(x, y) = 0 x = y ; d(x, y) = d(y, x) (symé- (ii) (x, y) E 2 trie) ; (iii) (x, y, z) E 3 d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inéglité tringulire). Un ensemble muni d une distnce est ppelé espce métrique. Exemple L distnce usuelle dns le pln est une distnce. L distnce de deux points sur un grphe connexe, comptée comme le nombre d rêtes à prcourir sur ce grphe. Remrque Soit E un ensemble muni d une distnce d. Soit (x, y, z) E 3. Alors, on d(x, y) d(x, z) d(y, z). On d(x, z) d(x, y) + d(y, z), donc d(x, z) d(x, y) d(y, z). De même, d(x, y) d(x, z) + d(z, y), donc d(x, y) d(x, z) d(y, z). Or d(x, y) d(x, z) = mx ( d(x, z) d(x, y), d(x, y) d(x, z)), d où le résultt. 406

407 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Définition (Norme). Soit E un R-espce vectoriel. On ppelle norme sur E toute ppliction. : E R + vérifint les trois conditions suivntes : (i) x E x = 0 x = 0 ; λx = λ x (homo- (ii) λ R, x E généité) ; (iii) (x, y) E x + y x + y (inéglité tringulire). Exemple Sur R n et pour p [1, + [, les pplictions et p sont des normes. ( n ) 1/p : (x 1,..., x n ) x k p k=1 : (x 1,..., x n ) mx k [[1,n]] x k Remrque Soit E un R-espce vectoriel muni d une norme.. Alors pour tout (x, y) E 2, on x y x y. Soit (x, y) E 2. Remrquons qu on x = x + y y x + y + y pr l inéglité tringulire, d où l on déduit x y x + y. Symétriquement, on remrque qu on y x x + y. Or x y = mx ( x y, y x ). On en déduit le résultt. Définition (Distnce ssociée à une norme). Soit E un R-espce vectoriel muni d une norme.. On ppelle distnce ssociée à l norme. l ppliction (x, y) x y. Proposition Cette ppliction est bien une distnce. Exemple L distnce ssociée à 1 est prfois ppelée distnce de Mnhttn. Dns Mnhttn, les rues forment un dmier «orthogonl», on ne peut donc que se déplcer prllèlement à ces xes. L distnce prcourue entre deux points n est donc ps l distnce «euclidienne» usuelle... Exercice Pour une norme, on ppelle boule centrée en E et de ryon r 0 l ensemble B(, r) = { x E x r }. Trcer les boules centrée en 0 et de ryon 1 pour les normes 1, 2 et sur R 2. Soit d l distnce ssociée à une norme. sur un R-espce vectoriel E. On clirement (x, y) E 2 d(x, y) 0, donc d est bien une ppliction de E 2 dns R +. On vérifie isément les trois conditions de l définition d une distnce : (i) Soit (x, y) E 2. On d(x, y) = x y. Or x y = 0 x y = 0. Donc d(x, y) = 0 x = y. (ii) Soit (x, y) E 2. On d(y, x) = y x = (x y) = 1 x y = d(x, y). (iii) Soit (x, y, z) E 3. On d(x, z) = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(y, z). Définition (Norme ssociée à un produit sclire). Soit (E, ) un espce préhilbertien. On ppelle norme ssociée u produit sclire l ppliction x x x. Remrque Il est clir, pr positivité du produit sclire, que cette ppliction est bien définie. L rcine crrée étnt à vleurs dns R +, elle est de plus à vleurs dns R +. Il reste à voir si cette ppliction est bien une norme. 2. L norme ssociée à un produit sclire dépend évidemment du produit sclire. Pr exemple sur R 2, les normes ssociées respectivement u produit sclire usuel et u produit sclire ((x, y), (x, y )) 1 2 xx + 2yy 407

408 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS sont différentes (regrder pr exemple les vleurs pour les vecteurs (1, 0) et (0, 1)). 3. On directement que pour une fmille (x 1,..., x n ) de vecteurs, 2 x i = x i x j i=1 = 1 i,j n i=1 x i i<j n x i x j. Pour deux vecteurs, on retrouve x ± y 2 = x 2 ± 2 x y + y 2. Dns tout ce qui suit, suf mention expresse du contrire, (E, ) désigne un espce vectoriel préhilbertien, et. l norme ssociée à son produit sclire. Proposition Soit (E, ) un espce préhilbertien et. l norme ssociée. On 1. x E x = 0 x = 0 ; 2. λ R x E λx = λ x. 1. Soit x E. On x = 0 x x = 0. étnt un produit sclire, on donc x = 0 x = Soit λ R et x E. On λx = λx λx = λ2 x x = λ x x. Avec ce qui précède, il suffit mintennt de démontrer que. vérifie l inéglité tringulire pour démontrer qu il s git bien d une norme. Pour cel, on démontre tout d bord le théorème suivnt. Théorème (Inéglité de Cuchy-Schwrz). Soit (E, ) un espce préhilbertien et. l norme ssociée. Alors pour tout (x, y) E 2, on x, y x y. L églité lieu si et seulement si x et y sont colinéires. Soient x, y E. Pour y = 0 le résultt est évident. Sinon, on peut donner deux démonstrtions Géométrique Posons u = 1 y. On vérifie isément y u = 1. Posons lors x = x u u et x = x x (fire un dessin). On lors x x = x x x x = x u 2 x u 2 = 0. On en déduit x 2 = x x x + x 2 = x 2 + x 2 x 2. On en déduit x. y x. y. Or on : x. y = x u. y D où le résultt. = x y. Algébrique pour tout t R, on : x + ty 2 = x 2 + 2t x y + t 2 y 2. C est un polynôme toujours positif, donc son discriminnt est négtif ou nul. Il y églité dns l inéglité de Cuchy-Schwrz si et seulement si ce discriminnt est nul, donc si et seulement si ce polynôme une rcine réelle, donc si et seulement si il existe t tel que [à vous de l écrire], donc si et seulement si x et y sont colinéires. Une idée clcultoire stucieuse Si x = 0 ou y = 0, le résultt est évident. Sinon, on remrque que x x = 1 et l on écrit (± signifie qu on le fit pour + puis pour ) : 0 x x ± y 2 y = x 2 x + y 2 x y y ± 2 x y ce qui donne et c est fini! 0 1 ± x y x y Proposition (Inéglité tringulire). Soit (E, ) un espce préhilbertien, x, y E. Alors, x + y x + y. De plus, on l églité si et seulement si x et y sont colinéires et de même sens. 408

409 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS On x + y 2 = x + y x + y = x x y + y 2. Or ( x + y ) 2 = x x. y + y 2 et x y x. y, donc x + y 2 ( x + y ) 2. x + y et x + y étnt positifs, on en déduit le résultt. L églité lieu si et seulement si x y = x. y. Pour cel, il est nécessire d voir x y 0 (cr le produit de deux normes est positif ou nul) et x et y colinéires (cs d églité de Cuchy-Schwrz), donc il est nécessire que x et y soient colinéires l un s écrit comme produit de l utre pr un sclire et de même sens ce sclire est positif ou nul. Cette condition est clirement suffisnte. Théorème Soit (E, ) un espce préhilbertien, x, y E. 1. Identité du prllélogrmme : x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). 2. Identité de polristion : x y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ). Remrque Fire le dessin d un prllélogrmme, on utilise le théorème d Al-Kshi deux fois (une pr hypothénuse). Il suffit de développer les normes. Remrque Ces identités permettent de retrouver l expression du produit sclire qund on ne connît que l norme. Exemple Existe-t-il un produit sclire donnnt l norme (x, y) 2 = (x + y) 2 + x 2? 2 Orthogonlité Soit (E, ) un ev préhilbertien et l norme ssociée. 2.1 Premières définitions Définition Soient x, y E. On dit que x est unitire (ou normé) si x = 1. On dit que x et y sont orthogonux et l on note x y si x y = 0. Remrque Si x 0 E, il y exctement deux vecteurs unitires colinéires à x. Exemple Tout vecteur est toujours orthogonl u vecteur nul. Dns R 2 muni du produit sclire usuel, (1, 3) et ( 6, 2) sont orthogonux. Dns R 2 muni du produit sclire (x, y) (x, y ) = 2xx xy x y + 3yy, les vecteurs (1, 1) et (2, 1) sont orthogonux. 2.2 Fmilles orthogonles Définition Une fmille de vecteurs est dite orthogonle s ils sont 2 à 2 orthogonux. Si les vecteurs sont de plus unitires, l fmille est dite orthonormle (ou orthonormée). Exemple Les f n : x cos(nx), n N, forment une fmille orthogonle pour le produit sclire usuel de C ([0, 2π], R). Théorème (Pythgore). Soit (v 1,..., v n ) une fmille orthogonle de n vec- 2 teurs. Alors v k = v k 2. k=1 k=1 On développe le produit sclire : i=1 j=1 v i v j. v k 2 = k=1 409

410 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Exemple Dns R 3 muni du produit sclire usuel, on pose v 1 = (1, 2, 3), v 2 = ( 5, 1, 1) et v 3 = ( 1, 16, 11). Vérifier que l fmille (v 1, v 2, v 3 ) est orthogonle et s ssurer que l églité donnée pr le théorème de Pythgore est vérifiée. Théorème Toute fmille orthogonle ne comportnt ucun vecteur nul est libre. Soient λ k tels que λ k v k = 0. Alors pour tout i, k=1 λ k v k v i = 0 or qund on développe l somme k=1 on λ i v i v i. Remrque Toute fmille orthonormle est une fmille orthogonle ne comportnt ucun vecteur nul. Corollire Toute fmille orthogonle ne comportnt ucun vecteur nul et de crdinl dim E est une bse de E. Exemple , 2 et 2 forment une fmille orthogonle, et donc une bse de R Les v k sont uniques u signe près et on peut k 1 u k u k v i v i i=1 choisir : v k =. k 1 u k u k v i v i i=1 Expliction pour le choix de v 1. Anlyse : on suppose l fmille construite jusqu u rng k. Construisons le k + 1 e vecteur. Il fut choisir v k+1 dns Vect(u 1,..., u k, u k+1 ) = Vect(v 1,..., v k, u k+1 ) : v k+1 = λ 1v λ k v k + µu k+1. v( k+1 v j = 0 donne λ j + µ u k+1 v j = 0, donc v k+1 = k µ u k+1 v i v i + u k+1 ). Reste à choisir µ pour i=1 voir v k+1 = 1 (2 choix possibles). Synthèse : on vu unicité u signe près. On vérifie que les vecteurs trouvés conviennent bien. Exemple Orthonormliser (1, X, X 2 ) pour le produit sclire de R 2 [X], P Q = trouve (P 1, P 2, P 3 ), où P 1 = 1, P 2 = X 1/2 1/(2 3) P 2 = X2 X + 1/ = 3(2X 1), P (t)q(t) dt. On = 5(6X 2 6X + 1). Corollire Tout espce euclidien une bse orthonormle. Toute fmille orthonormle peut être complétée en une bse orthonormle. Théorème (orthonormlistion de Grm Schmidt). On suppose E euclidien de dim n. Soit (u 1,..., u n ) une bse de E. Alors il existe une bse (v 1,..., v n ) de E telle que : 1. (v 1,..., v n ) est orthonormle ; 2. k 1, n, Vect(u 1,... u k ) = Vect(v 1,... v k ). Proposition (Coordonnées dns une bse orthonormle). E euclidien, (v 1,..., v n ) bse orthonormle de E. Alors, pour tout x E, x = x v k v k. k=1 On écrit x = λ k v k, puis x v k = v k v k = λ k en développnt. k=1 410

411 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Exemple Trouver ( les coordonnées ) de (1, 3) dns l bse (1, 1), (1, 1) (pour le produit sclire 2 usuel). Proposition (Expression du produit sclire dns une bse orthonormle). Soit E euclidien, (v 1,..., v n ) une bse orthonormle de E. x et y de coordonnées (x i ) et (y i ) dns l bse (v 1,..., v n ). Alors x y = x k y k. k=1 Remrque Tous les produits sclires ont l même expression «usuelle» à condition de se plcer dns une bse orthonormle pour ce produit sclire. 2.3 Sous-espces vectoriels orthogonux Définition Soit F et G deux sous-espces vectoriels de E. On dit que F et G sont des sous-espces orthogonux et on écrit F G si x F y G x y. Exemple Dns R 3 vec le produit sclire usuel, Vect(1, 1, 0) Vect((1, 1, 0), (0, 0, 1)). Remrque Si F et G sont orthogonux, lors ils sont en somme directe. En effet, soit lors x F G. On lors x x, donc x x = 0, donc x = 0. Donc F G { 0 }, d où on déduit le résultt. Théorème Soient F et G deux sev de dimension finies de E. On note (f 1,..., f q ) une fmille génértrice de F et (g 1,..., g p ) une fmille génértrice de G. Alors F G si et seulement si pour tout i 1, q et j 1, p on f i g j = 0. ( ) pr définition de F G. λ if i et g = ( ) soient f = λ iµ j f i g j = 0. i j µ jg j. Alors f g = Définition Soit X une prtie (quelconque) de E. On ppelle orthogonl de X et on noté X (ou X o ) l ensemble { y E x X x y = 0 }. Proposition Soit X une prtie de E. Alors 1. X est un sev de E ; 2. Pour toute prtie Y de E telle que X Y, on Y X ; ( 3. X X ). 1. On 0 X cr 0 est orthogonl à tout vecteur, donc à tout vecteur de X ; de plus toute combinison linéire de vecteurs orthogonux à tout vecteur de X est orthogonle à tout vecteur de X. Sinon, il suffit de voir que X = Ker x. x X 2. Tout élément de Y est orthogonl à tout vecteur de Y, donc fortiori à tout vecteur de X. 3. Soit x un vecteur de X. Tout vecteur de X est orthogonl à tout vecteur de X, donc en prticulier à x. Donc x est orthogonl à tout vecteur de X, donc pprtient à ( X ). Remrque Il n y ps forcément églité dns le dernier point. Pr exemple, vec X =, (X ) = {0}. 411

412 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Théorème Soit F un sev de E. Alors F est le plus grnd sous-espce vectoriel orthogonl à F (et F et F sont de plus en somme directe). Si de plus E est euclidien, lors E = F F et F est l unique sous-espce vectoriel G vérifint E = F G et F G. C est pourquoi on ppelle F le supplémentire orthogonl de F dns E. De plus, dns le cs euclidien, on F = (F ). On sit déjà que F est un sous-espce vectoriel. F et F sont clirement orthogonux (donc en somme directe) et de plus pour tout sous-espce vectoriel G tel que F et G sont orthogonux, tout élément x de G est orthogonl à tout élément de F, donc pprtient à F, donc G F. Supposons de plus que E est euclidien. Alors le sousespce vectoriel F est ussi un espce vectoriel euclidien, donc possède une bse orthonormle (f 1,..., f q). Cette bse est une fmille orthonormle de E, qu on peut compléter en une bse orthonormle (f 1,..., f q, g 1,..., g p) de E. Posons G = Vect(g 1,..., g p). On lors dim E = p + q = dim F + dim G. De plus pour tout i [[1, q ] et tout j [[1, p], on f i g j, donc F G, donc G F. Donc dim E dim F + dim F. Or F et F sont en somme directe, donc dim(f F ) dim E, donc G = F et E = F F (et de plus, F = Vect (g 1,..., g p)). On en déduit, dim(f ) = dim E dim F = dim F. Or on sit qu on F (F ), donc F = (F ). Remrque (Importnt). Le résultt ne se générlise ps à des espces préhilbertiens E qui ne sont ps de dimension finie. Dns ce cs (non-euclidien), on peut trouver des sous-espces vectoriels F tels que F et F ne ( soient ps supplémentires et tels que F ) F (on peut même trouver F tel que F E et F = { 0 }). On verr ce résultt en exercice dns le cs de R[X]. Remrque (Culturelle). En revnche, pour toute prtie X d un espce préhilbertien, on toujours X ) ) ( ( = X (une inclusion est l conséquence du fit que (X ) contient X et qu en conséquence leurs orthogonux sont inclus dns l utre sens ; l utre inclusion vient du fit que le biorthogonl de X contient X ). Exemple On pose, pour tout couple (P, Q) d éléments de R 2 [X], P Q = P (1)Q (1) + P ( 1)Q( 1) + P (0)Q(0). Vérifier qu il s git d un produit sclire et trouver R 1 [X] dns R 2 [X]. Exercice On considère dns R[X] le sev F = Vect(1+X, 1+ X 2,..., 1+X n,...). On rppelle qu un hyperpln est un sev dmettnt un supplémentire de dimension 1. On munit R[X] du produit sclire ( + + ) k X k +, b k X k = k b k. k=0 k=0 k=0 1. Montrer que F est un hyperpln de R[X]. 2. Déterminer F pour le produit sclire usuel de R[X]. 3. Quel résultt vri en dimension finie est ici mis en défut? Dns toute l suite, (E, ) est un espce vectoriel euclidien de dimension n. 2.4 Formes linéires d un espce euclidien Théorème (Théorème de représenttion de Riesz-Fréchet). Soit (E, ) euclidien. Soit f L (E, R). Alors il existe un unique v f E vérifint x E f(x) = v f x ou encore f = v f.. Remrque Expliction géométrique : f est définie pr son noyu (hyperpln H) et l vleur prise sur un vecteur qui n est ps dns le noyu. De même, (Vect v f ) est de dimension n 1, donc c est un hyperpln. Si on choisit v f vecteur norml à H, lors f et v f. ont le même noyu. L norme de v f est lors choisie de sorte qu elle corresponde vec l vleur précédente de f sur un vecteur qui n est ps dns le noyu. On considère l ppliction ϕ : { E L (E, R) v (x v x ). 412

413 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Alors, ϕ est linéire. De plus, si ϕ(v 1) = ϕ(v 2), lors pour tout x E, v 1 x = v 2 x, ie pour tout x, v 1 v 2 x = 0, donc v 1 v 2 E Or E = { 0 } cr pour tout x E, x x = 0. Donc v 1 = v 2 et ϕ est injective. Mis comme dim E = dim L (E, R), lors ϕ est un isomorphisme. D où le résultt. Exemple Soit f L (R n, R). f est de l forme f(x 1,..., x n ) = 1 x n x n, ie ( 1,..., n ) (x 1,..., x n ). 2.5 Écriture mtricielle du produit sclire Soit e = (e 1,..., e n ) bse orthonormle de E, x et y des vecteurs de mtrices (dns e) X et Y. Alors x y = t X.Y. Dns le cdre d ppliction du théorème de Riesz-Fréchet, on f(x) = t V f.x, et insi Mt e (f) = t Mt e (v f ). Les points de vue se rejoignent. 2.6 Symétries et projecteurs orthogonux Définition On ppelle projection orthogonle (resp. symétrie orthogonle) toute projection (resp. symétrie) sur un (resp. pr rpport à un) sev F prllèlement à F. une bse orthonormle de F. Soit x E. Le projeté orthogonl de x sur F est p(x) = x f i f i p. i=1 On complète (f 1,..., f p) en une bse orthonormle de E notée (f 1,..., f n). Alors (f p+1,..., f n) est une bse de F ( + dimension). Donc x = x f i f i, donc somme i=1 d un élément de F et d un élément de F : cet élément de F est le projeté de x sur F. Exemple Déterminer l projection orthogonle (et l symétrie orthogonle) de (2, 1 1) sur Vect( 1, 2, 4), insi que sur son supplémentire orthogonl, pour le produit sclire ((x 1, y 1 ) (x 2, y 2 )) = 3x 1 x 2 + 2y 1 x 2 + 2x 1 y 2 + y 1 y 2. Remrque On peut ré-écrire le procédé d orthonormlistion de Grm-Schmidt comme suit. Avec F k = Vect(e 1,..., e k ), en notnt p k le projeté de e k+1 sur F k, on procède comme suit. On renormlise e 1 pour obtenir v 1. Pour chque 1 k p 1, on remrque que e k+1 p k Fk. On renormlise donc e k p k pour obtenir v k Distnce à un sous ev Proposition Un projecteur p est orthogonl si et seulement si Im p Ker p. Une symétrie s est orthogonle si et seulement si Ker(s Id) Ker(s + Id). Définition (distnce d un point à une prtie d un espce euclidien). Soit A une prtie de E et x E. On ppelle distnce de x à A et on note d(x, A) le réel inf A d(x, ). Direct. Théorème (expression d un projecteur orthogonl dns une bse orthonormée). Soit F sev d un ev euclidien E. Soit (f 1,..., f p ) Théorème Soit F un sev de E. Alors l distnce de x à F est tteinte en un seul point, qui est l projection orthogonle de x. De plus : d(x, F ) 2 = x 2 p(x) 2. En prticulier d(x, F ) = 0 si et seulement si x F. 413

414 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Soit f F. x f = x p(x) + p(x) f, décomposition dns F F. On pplique Pythgore. Exemple Le minimum de l fonction R 3 R f : 1 (, b) ( bx + x 2 ) 2 dx 0 est tteint pour = 1/6 et b = 1 et vut 1/ Hyperplns ffines d un espce euclidien Définition On ppelle hyperpln ffine d un espce vectoriel (non nécessirement euclidien) tout sous-espce ffine de l forme + H où est un élément de l espce vectoriel et H est un hyperpln de cet espce. Définition Soit H un hyperpln ffine d un espce euclidien E. Notons H l direction de H. On ppelle vecteur norml à H tout vecteur norml à H. L ensemble des vecteurs normux à H est une droite vectorielle. L espce étnt euclidien, H est le supplémentire orthogonl de H. H étnt un hyperpln, H est une droite vectorielle. Remrque Étnt donné un vecteur non-nul n de E, il existe un unique hyperpln vectoriel dmettnt n pour vecteur norml : { n } (En effet, d une prt { n } = (Vect( n )) ) est un hyperpln et n est norml à cet hyperpln, d utre prt tout hyperpln norml à n est nécessirement inclus dns { n } dont égl pr églité des dimensions.) Étnt donné de plus un point A de E, il existe un unique hyperpln ffine dmettnt n pour vecteur norml et pssnt pr A : A + { n }. (En effet, s il existe s direction est nécessirement { n } donc il ne peut s git que de A + { n } et il est clir que ce sous-espce ffine répond à l question.) Définition Soit f : E R. Les sous-ensembles de E de l forme { x E f(x) = k }, pour k R, sont ppelés les lignes de niveu de l ppliction f. Proposition Soit A un point de E. Un sous ensemble de E est un hyperpln ffine si et seulement si c est une ligne de niveu d une ppliction de l forme E R M n AM où n est un vecteur non nul. Dns ce cs, n est un vecteur norml à l hyperpln. Soit H un hyperpln ffine de E. H s écrit B + H où B H et H est un hyperpln vectoriel. H est donc le noyu d une forme linéire non-nulle ϕ. Or E est un espce euclidien, donc d près le théorème de Riesz, ϕ s écrit sous l forme x x n pour un certin n E, vec n non-nul (sinon ϕ serit nulle). Donc on pour tout M E : M H M B H BM H ϕ( BM) = 0 ϕ( AB) + ϕ( BM) = ϕ( AB) ϕ( AM) = ϕ( AB) n AM = ϕ( AB). { Donc H = M E n AM = ϕ( } AB). L hyperpln ffine H est donc bien une ligne de niveu de l ppliction E R M n AM 414

415 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS où n est un vecteur non nul. Réciproquement, { soit k un réel et n un vecteur non-nul. Notons H = M E n } AM = k. Montrons que H est un hyperpln ffine. Notons ϕ : x x n. Alors ϕ est une forme linéire non-nulle de noyu un hyperpln vectoriel H. De plus, Im ϕ n est ps réduite à { 0 }, donc est de dimension u moins 1 donc est égle à R. Donc ϕ est surjective. Soit x un ntécédent de k pr ϕ. Posons B = A + x. Alors ϕ( AB) = ϕ(x) = k, donc B H. Soit lors M E. On : M H n AM = k ϕ( AM) ϕ( AB) = 0 ϕ( AM AB) = 0 ϕ( BM) = 0 BM H M B + H. Donc H = B + H. De plus pour tout x H, x n = ϕ(x) = 0 donc n est norml à H, donc à H. Corollire Choisissons une bse orthonormle de E. Soit lors H un hyperpln ffine. Alors pour tout vecteur n norml à H, de coordonnées ( 1,..., n ), H dmet une éqution de l forme 1 x n x n = k où (x 1,..., x n ) sont les coordonnées du point considéré dns l bse et k un réel fixé. Réciproquement, pour tout n-uplet ( 1,..., n ) de réels non tous nuls et tout réel k l éqution 1 x n x n = k est celle d un hyperpln ffine dmettnt pour vecteur norml le vecteur de coordonnées ( 1,..., n ). C est une simple trduction de l proposition, en prennt pour A le vecteur nul. Remrque Regrder ce que cel donne pour n = 2 et n = 3. Proposition Soit H un hyperpln ffine, A un point de H et n un vecteur norml à H unitire. Alors, pour tout point M, on d(m, H ) = AM n. Notons p l projection orthogonle sur H. Alors l distnce de M à H n est utre que l distnce de AM à H. En effet : d(m, H ) = inf B H = inf B H d(m, B) BM = inf M B B H = inf M (A + x) x H = inf AM x x H = d( AM, H). On en déduit que d(m, H ) vut AM p( AM). Or AM p( AM) est orthogonl à H et H n est utre que Vect n. Donc AM p( AM) s écrit sous l forme λ n. On lors : cr n est unitire. De plus, d où d(m, H ) = λ n = λ n = λ, AM n = AM p( AM) n + p( AM) n = λ n n + 0, d(m, H ) = AM n. Corollire Donnons-nous une bse orthonormle de E. Soit H un hyperpln ffine d éqution 1 x n x n = k 415

416 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS dns cette bse, où 1,..., n sont des sclires non tous nuls et k un sclire. Alors pour tout point M de E, de coordonnées (x 1,..., x n ), on d(m, H ) = 1x n x n k n Notons u le vecteur de coordonnées 1,..., n et A(y 1,..., y n) un point de H. On sit que u est un vecteur non-nul norml à H. Posons lors n = 1 u u. Soit M un point de E, de coordonnées (x 1,..., x n), D près l proposition, on d(m, H ) = AM n = 1 AM u u = 1 OM u OA u. u Or OA u = k cr A H, donc d(m, H ) = 1x nxn k n Remrque Voir ce que cel donne en dimension 2 et en dimension 3. Définition Soit H un hyperpln de E. Tout choix d une orienttion de E et d un vecteur u norml à H et non-nul induit une orienttion sur H de l fçon suivnte : On dir qu une bse (e 1,..., e n 1 ) de H est directe (resp. indirecte) si et seulement si (e 1,..., e n 1, u) l est ussi. Remrque Regrder ce que cel donne en dimension 3. Cette définition prît simple mis il y tout de même deux points à justifier. Tout d bord le fit que pour toute bse (e 1,..., e n 1 ) de H, (e 1,..., e n 1, u) est une bse de H. Cel résulte du fit que H et Vect(u) sont supplémentires. Ensuite, il convient de remrquer que définir une orienttion pour l espce vectoriel H, n est ps juste prtionner en deux l ensemble des bses mis de le prtitionner de fçon que toutes les bses ppelées directes (resp. indirectes) soient de même orienttion. Soit donc B H = (e 1,..., e n 1 ) et B H = (e 1,..., e n 1 ) deux bses de H. Montrons qu elles ont l même orienttion si et seulement si B E = (e 1,..., e n 1, u) et B E = (e 1,..., e n 1, u) ont l même orienttion. Notons M l mtrice de pssge de B H à B H. Elle est de déterminnt positif si et seulement si les deux sont de même orienttion. L mtrice M de pssge de B E à B E s écrit lors pr blocs : M = ( ) M Donc, en développnt pr rpport à l dernière ligne ou à l dernière colonne : det M = det M. On en déduit que B H et B H ont l même orienttion si et seulement si B E et B E ussi. 3 Automorphismes orthogonux Soit E un espce vectoriel euclidien orienté, de dimension n. Soit f L (E). 3.1 Définitions générles Définition On ppelle endomorphisme orthogonl toute ppliction f L (E) telle que pour tous x, y E, f(x) f(y) = x y. On dit qu un tel endomorphisme préserve le produit sclire. On le théorème fondmentl suivnt : 416

417 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Théorème (i) Un endomorphisme f est orthogonl si et seulement s il préserve les normes, i.e. pour tout x E, f(x) = x. Un endomorphisme orthogonl est donc une isométrie. (ii) Toute isométrie vectorielle est une bijection. Un endomorphisme orthogonl est donc un utomorphisme. (i) ( ) : évident puisque f(x) 2 = f(x) f(x) = x x = x 2. ( ) : on utilise l identité de polristion : f(x) f(y) = 1 2 ( f(x) + f(y) 2 f(x) 2 f(y) 2 ) = 1 2 ( f(x + y) 2 f(x) 2 f(y) 2 ) = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ) = x y. (ii) Déjà fit en début d nnée : si on x, y E, f(x) f(y) = f(x y) = x y. Exercice Dns l démonstrtion précédente, utilise t-on l linérité de f? Et si c est le cs, où? Proposition Tout endomorphisme orthogonl chnge une bse orthonormle en une bse orthonormle. Soit (e 1,..., e n) une b.o.n. Ceci est équivlent à : i, j, e i e j = δ ij, où δ désgine le symbole de Kronecker. Donc i, j, f(e i) f(e j) = e i e j = δ ij, et donc (f(e 1),..., f(e n)) est églement une b.o.n. Proposition Toute ppliction (sns l supposer linéire) de E dns E qui préserve le produit sclire est nécessirement linéire. Soit (e 1,..., e n) une bse orthonormle de E. Pour montrer que f est linéire, il suffit de montrer que pour tout λ 1,..., λ n R, f( λ k e k ) = λ k f(e k ). On pose k=1 k=1 x = λ k e k. Mis on déjà vu que les coordonnées de k=1 x dns l bse (e 1,..., e n) sont x e 1,..., x e n donc pour tout k, λ k = x e k. Mis (f(e 1),..., f(e n)) est ussi une bse orthonormle de E cr f est orthogonle. On lors f(x) = = = f(x) f(e k ) f(e k ) k=1 cr (f(e 1),..., f(e n)) est une bse orthonormle x e k f(e k ) k=1 cr f préserve le produit sclire λ k f(e k ) k=1 et donc l linérité de f est bien prouvée. Remrque Il y en revnche des pplictions non linéires qui préservent l norme sns préserver le produit sclire. Pr exemple, sur R muni du produit sclire (x, y) xy, l norme ssociée u produit sclire est l vleur bsolue et l ppliction qui à tout rtionnel ssocie lui-même et à tout irrtionnel ssocie son opposé préserve l norme. En revnche, elle ne préserve ps le produit sclire (regrder pr exemple l effet sur 1 et 2, ou risonner pr l bsurde en utilisnt l remrque précédente). Exemple On considère le pln complexe (vu comme R- ev), muni de s structure euclidienne usuelle : z 1, z 2 = Re(z 1 z 2 ). L bse cnonique de C, (1, i), est orthonormée. Les similitudes complexes de rpport 1 sont des isométries. Nous l vons montré en début d nnée! Ce sont donc des endomorphismes orthogonux de C. Rppelons que ce sont les pplictions de l forme ρ θ : z e iθ z et s θ : z e iθ z, vec θ R. Remrquons que ρ θ est l rottion d ngle θ, que s 0 est l symétrie orthogonle d xe R et s π est l symétrie orthogonle d xe ir. Remrquons ussi que l imge de (1, i) pr ρ θ est l bse notée (u θ, v θ ), qui est orthonormée directe. 417

418 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Exemple Une symétrie orthogonle est un endomorphisme orthogonl. Ce n est ps le cs des projecteurs orthogonux. Voyons mintennt les propriétés des endomorphismes orthogonux. Définition On note O(E), ppelé groupe orthogonl, l ensemble des endomorphismes orthogonux. Proposition (i) O(E) est un sousgroupe de G L (E). (ii) Un endomorphisme est orthogonl si et seulement s il chnge une bse orthonormle en une bse orthonormle (uquel cs, il chnge toute bse orthonormle en une bse orthonormle). (iii) Soient B une bse orthonormle de E, f L (E) et M =Mt B (f). Alors f O(E) si et seulement si M t M = t MM = I n. (iv) Si f O(E), lors det f = ±1. (v) Si F est un sev de E stble pr f, F est ussi stble pr f. (i) On déjà vu que tout endomorphisme orthogonl est une bijection, donc O(E) est une prtie de G L (E). De plus Id E O(E), donc cette prtie est non vide. En outre, si f, g O(E) on pour tout (x, y) E 2 : (f g)(x) (f g)(y) = g(x) g(y) cr f est orthogonle, et puisque g l est ussi on g(x) g(y) = x y. Pr conséquent, f g O(E). Donc O(E) est stble pr composition. Enfin, soit f O(E). On f bijective et pour tout (x, y) E 2, on : x y = f(f 1 (x)) f(f 1 (y)) = f 1 (x) f 1 (y). Donc f 1 préserve le produit sclire. O(E) est donc stble pr pssge à l inverse. (ii) On déjà démontré le sens direct de cette proposition. Démontrons l utre sens : Soit f un endomorphisme chngent une b.o.n. en une b.o.n. Soit (e 1,..., e n) une b.o.n. Pour montrer que f est orthogonl, on v montrer que f préserve l norme. Soit x = x k e k. Puisque (e 1,..., e n) k=1 est une b.o.n, lors x 2 = x 2 k. Mis f(x) = k=1 x k f(e k ) et (f(e 1),..., f(e n)) est une b.o.n, donc k=1 f(x) 2 = x 2 k = x 2. k=1 k=1 (iii) Notons (e 1,..., e n) les vecteurs de B et C 1,..., C n les vecteurs colonnes de M. On donc, pour tout j : C i = (m ij) i [1,n ]. Le coefficient i,j de l mtrice t MM pour expression m ki m kj, et on remrque qu il s git exctement du produit sclire f(e 1) f(e j). Notons B l fmille (f(e 1),..., f(e n)). t MM = I n si et seulement si pour tout (i, j), i,j = δ i,j, c est-à-dire si et seulement si pour tout (i, j), f(e i) f(e j) = δ i,j, c est-à-dire si et seulement si B est une bse orthonormle. Or B est l imge d une bse orthonormle pr l endomorphisme f. Donc d près le point ii il s git d une bse orthonormle si et seulement si f est orthogonl. On en déduit f O(E) t MM = I n. (iv) Soient B une bse orthonormle de E, on note M=Mt B (f). Alors det f = det M. Or det M = det t M, et donc 1 = det I n = det( t MM) = det t M. det M = (det M) 2 = (det f) 2. Donc det f = ±1. (v) On suppose F stble pr f. Montrons d bord que f(f ) = F, et non ps seulement f(f ) F. Puisque f(f ) F, lors f F est un endomorphisme de F. Mis puisque f est injective, f F l est ussi est insi f F est une bijection de F dns lui-même, d où le résultt. Soit x F. Il s git de montrer que f(x) F, i.e. pour tout y F, f(x) y = 0. Fixons y F. Puisque f(f ) = F, lors il existe z F tel que y = f(z). Ainsi f(x) y = ( f(x) f(z) = x z cr f est orthogonl. Mis x F et z F, donc x z = 0 et insi f(x) y = 0. Pr conséquent f(x) F. Définition L ensemble des endomorphismes orthogonux de déterminnt 1 est noté S O(E) ou O + (E), et ppelé le groupe spécil orthogonl. Les éléments de S O(E) sont dits positifs, on dit ussi que ce sont des rottions. 418

419 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS L ensemble des endomorphismes orthogonux de déterminnt -1, soit O(E)\S O(E), est noté O (E). Les éléments de O (E) sont dits négtifs,. (i) S O(E) est un sous- Proposition groupe de O(E). (ii) Soit f O(E), f est positif si et seulement s il chnge une bse orthonormle directe en une bse orthonormle directe. (i) L ppliction det est un morphisme de O(E) dns ({ 1, 1 }, ) puisque pour tous endomorphismes f et g, det(f g) = det f. det g. Or S O(E) est son noyu, donc il s git d un sousgroupe de O(E). (ii) Soit B une b.o.n.d. f étnt orthogonl, f(b) est une bse orthonormle. Or det B (B) = 1 et det f = ±1 et det B (f(b)) = det f. det B B, donc f(b) est directe si et seulement si det f = 1, c est-à-dire si et seulement si f S O(E). 3.2 Mtrices orthogonles Définition Soit M M n (R). On dit que M est orthogonle si t M.M = M. t M = I n, i.e. M est inversible d inverse t M. Remrque Il suffit de montrer que t M.M = I n ou M. t M = I n. Exercice M = est-elle orthogonle 3 1? Théorème Soit B une bse orthonormle de E et f L (E). Alors f est orthogonl si et seulement si Mt B (f) est orthogonle. Déjà vu en iii Définition L ensemble des mtrices orthogonles d ordre n est ppelé ppelé groupe orthogonl de degré n et noté O(n) ou O n (R). L ensemble des mtrices orthogonles de déterminnt 1 est ppelé le groupe spécil orthogonl de degré n et est noté S O(n), SO n (R) ou O + (n). Les mtrices de S O(n) sont dites positives. L ensemble O(n)\S O(n) est noté O (n) ou O n (R), ses mtrices sont dites négtives. Proposition Soit M une mtrice orthogonle. (i) t M est orthogonle. (ii) O n (R) est un sous-groupe de (G L n (R), ). (iii) L fmille des colonnes de M forme une bse orthonormle de R n. (iv) L fmille des lignes de M forme une bse orthonormle de R n. (v) det M = ±1. (vi) SO n (R) est un sous-groupe de O n (R). (vii) Si f L (E) et B est une bse orthonormle de E, f S O(E) si et seulement si Mt B (f) S O(n). On ne fit que redire ce qui été vu vnt. Théorème Le déterminnt d une fmille de vecteurs ne dépend ps de l b.o.n. directe choisie, c est-à-dire : soient C et B deux bses orthonormles directes de E, et F une fmille de n vecteurs de E. Alors det C (F ) = det B (F ). On det C (F ) = det M C (F ), et det B (F ) = det M B (F ). Si on note P = M C (B), lors P est l mtrice de l endomorphisme trnsformnt B en C, qui est orthogonl direct 419

420 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS puisque B et C sont des b.o.n.d., donc P S O(n), donc det P = 1. Or P est églement l mtrice de pssge de C dns B, donc M C (F ) = P M B (F ). Or det P = 1, on donc le résultt voulu. Remrque De l même mnière on montrerit que si B est une b.o.n.d. et C est une b.o.n. indirecte, lors det C (F ) = det B (F ). 3.3 Produit mixte Soit (E, ) un espce vectoriel euclidien orienté de dimension n. Définition Soit x 1,..., x n n vecteurs de E. On ppelle produit mixte de ces vecteurs et on note [x 1,..., x n ] le déterminnt de cette fmille de vecteurs pris dns une bse orthonormle directe B : [x 1,..., x n ] = det B (x 1,..., x n ). Remrque Pour justifier cette définition, il est essentiel de remrquer : 1. d une prt qu il existe u moins toujours une bse orthonormle directe (il suffit de prendre n importe quelle bse othonormle et, si elle n est ps directe, de chnger l un de ses vecteurs en son opposé) ; 2. d utre prt que l vleur de det B (x 1,..., x n ) est l même dns toutes les bses orthonormles directes. Remrque Le produit mixte de x 1,..., x n s interprète géométriquement comme le volume orienté d un prllélépipède donc un sommet est l origine et dont les rêtes prtnt de l origine sont [OM 1 ],..., [OM n ], où OM i = x i pour i = 1,..., n. 2. (hors-progrmme) Étnt donné n 1 vecteurs x 1,..., x n 1, l ppliction ϕ : y [x 1,..., x n, y] est une forme linéire. D près le théorème de Riesz, il existe un unique vecteur x tel que pour tout y, ϕ(y) = x y. Ce vecteur est ppelé produit vectoriel de x 1,..., x n 1 et est noté x 1 x 2... x n 1. On donc, pr définition du produit vectoriel, pour tout y : [x 1,..., x n 1, y] =< x 1 x 2... x n 1 y >. On peut remrquer que x 1... x n 1 est orthogonl à x i pour i = 1,..., n 1, que le produit vectoriel est une ppliction (n 1) linéire lternée et enfin que pour n = 3 on retrouve l définition connue du produit vectoriel de deux vecteurs dns l espce. Proposition Soit f L (E). Alors pour tout n-uplet (x 1,..., x n ) de vecteurs de E, on [f(x 1 ),..., f(x n )] = det f [x 1,..., x n ]. On svit déjà qu une ppliction linéire f trnsforme un prllélépipède en un prllélépipède. Ce résultt nous dit de plus que f multiplie les volumes orientés pr det f, donc les volumes pr det f. Soit B une bse orthonormle directe de E. Alors [f(x 1),..., f(x n)] = det(f(x 1),..., f(x n)) B = det f det(x1,..., xn) B = det f [x 1,..., x n]. 3.4 Automorphismes orthogonux du pln Dns cette prtie, E est un ev euclidien orienté de dimension 2. Nous llons retrouver dns cette prtie les résultts obtenus dns le premier chpitre sur les isométries vectorielles de C. On le générlise ici à tout ev euclidien de dimension

421 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Théorème Soit M S O(2). Alors il existe θ R tel que ( ) cos θ sin θ M = R(θ) =. sin θ cos θ De plus l ppliction { (R, +) (S O(2), ) ϕ : θ R(θ) est un morphisme de groupe surjectif, de noyu 2πZ. En prticulier S O(2) est un groupe bélien. 2. Si M O(2)\S ( O(2), lors) il existe θ R cos θ sin θ tel que M =. sin θ cos θ 3. L ppliction ψ : U S ( O(2) ) Re(z) Re(iz) z Im(z) Im(iz) est un isomorphisme de groupes (U est l ensemble des complexes de module 1). ( ) b 1. Soit M = O(2). Alors c d les vecteurs colonnes de M forment une b.o.n, donc : { b +cd = 0 2 +c 2 = 1. b 2 +d 2 = 1 Ainsi, il existe θ, ρ R tels que = cos θ, c = sin θ, b = cos ρ, d = sin ρ. Alors, cos θ cos ρ + sin θ sin ρ = 0 i.e. cos(θ ρ) = 0, i.e. θ = ρ + π 2 [π]. Ainsi, { cos θ = sin ρ sin θ = cos ρ ou { cos θ = sin ρ sin θ = cos ρ Le premier cs n est possible que si M S O(2), le second que si M O(2)\S O(2). Pour finir de montrer??, on, pour tous θ, ρ R, ϕ(θ + ρ) = R(θ + ρ) = R(θ) R(ρ) près un clcul fisnt intervenir l formule de trigonométrie cos(θ + ρ) = cos θ cos ρ sin θ sin ρ. L ppliction ϕ. est donc bien un morphisme de groupes. S surjectivité est évidente d près l première prtie de cette démonstrtion. Son noyu est l ensemble des réels θ tels que cos θ = 1 et sin θ = 0 : c est donc bien 2πZ. Et enfin, on évidemment R(θ) R(ρ) = ϕ(θ + ρ) = ϕ(ρ + θ) = R(ρ) R(θ), donc S O(2) est bélien. 2. Même démonstrtion. 3. Il s git de montrer qu il s git bien d une ppliction à vleurs dns S O(2), ce qui est ssez fcile dès qu on remrque que tout complexe z s écrit sous l forme e iθ et que Re(z) = cos θ, Im(z) = sin θ, Re(iz) = sin θ, Im(iz) = cos θ. Pr un clcul direct (en utilisnt le fit que z = 1) ou d près le point précédent, on montre qu il s git d un morphisme de groupes. Enfin, ce morphisme est injectif cr si z Ker ψ, on nécessirement Re(z) = 1 et Im(z) = 0, donc z = 1. Il est surjectif cr toute M S O(2) s écrit sous l forme R(θ), qui pour ntécédent e iθ. Théorème Soit f une isométrie vectorielle directe de E (i.e. un utomorphisme orthogonl positif). Alors : (i) Il existe un unique θ (modulo 2π) tel que l mtrice de f dns n importe quelle b.o.n. directe soit R(θ). On dit lors que f est l rottion vectorielle d ngle θ et que θ est une mesure de l ngle de f. (ii) Si f n est ps l identité, l ensemble des points fixes de f (i.e. Ker(f Id)) est réduit à {0}. (i) Soient B et B deux b.o.n. directes de E. Alors Mt B (f) S O(2), donc d près le théorème 3.4.1, il existe θ R tel que Mt B (f) = R(θ). Alors Mt B (f) = P R(θ)P 1, où P est l mtrice de pssge Mt B (B). Mis comme B et B sont deux b.o.n. directes, P S O(2), et donc il existe ρ R tel que P = R(ρ). On insi : Mt B (f) = R(ρ)R(θ)R( ρ) = R(ρ + θ ρ) = R(θ). Il fut démontrer l unicité de θ : mis pour tout θ 1, θ 2 R, on R(θ 1) = R(θ 2) ssi R(θ 1 θ 2) = Id ssi (θ 1 θ 2) Ker ϕ ssi (θ 1 θ 2) 2πZ ssi θ 1 = θ 2 [2π]. (ii) Si f = Id, on imméditement Ker(f Id) = E. Sinon, ( on Mt B (f ) Id) = R(θ) Id = cos θ 1 sin θ. Cette mtrice pour déterminnt (cos θ 1) 2 + sin 2 θ = 2(1 cos θ). Or f sin θ cos θ 1 Id, 421

422 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS donc θ / 2πZ, i.e. cos θ 1. Le déterminnt précédent est donc non nul, c est-à-dire que (f Id) est un utomorphisme, donc son noyu est réduit à {0}. Remrque Géométriquement, une rottion vectorielle d ngle non nul modulo 2π n qu un point fixe : son centre. Remrque On prle de «rottion d ngle de mesure θ» dns le point (i) du théorème sns voir jmis défini uprvnt les mots «ngle» et «mesure». Bien que toute construction rigoureuse de l notion d ngle orienté soit hors progrmme, on peut cependnt résumer l définition d un ngle orienté de l mnière suivnte : pour tous vecteurs non nuls u et v de R 2, vec u = u 1 u et v = v 1 v, il existe une unique rottion r telle que r(u ) = v, et c est cette rottion que l on peut ppeler ngle orienté ( de (u, v). ) Tout cos θ sin θ réel θ pour lequel r dmet pour sin θ cos θ mtrice dns une bse orthonormle directe est lors ppelé UNE mesure de l ngle (u, v) et est générlement notée elle ussi (u, v). L nottion usuelle (u, v) = θ [2π] se trouve insi justifiée. Attention, il est indispensble que l bse utilisée pour déterminer θ vi l mtrice de r soit DIRECTE, sinon une mesure de l ngle obtenue est en fit l opposée d une mesure de l ngle (u, v), modulo 2π. Théorème (Détermintion d une mesure de l ngle d une rottion). Soient f une rottion vectorielle de E, θ une mesure de son ngle et u un vecteur unitire. Soit C une b.o.n. directe de E. Alors cos θ = u f(u) et sin θ = det C (u, f(u)). Remrque Si u n est ps unitire, det(u, f(u)) = u 2 sin θ et u f(u) = u 2 cos θ. Remrque On remrque que dns une b.o.n.d., l trce d une rottion est 2 cos θ. L trce ne dépendnt ps de l bse choisie, si l on connît l mtrice M d une rottion dns une bse quelconque, lors une mesure θ de son ngle vérifie 2 cos θ = tr M. Théorème Une ppliction orthogonle négtive (i.e. qui n est ps une rottion) est une réflexion, c est-àdire une symétrie orthogonle pr rpport à une droite. Remrque En dimension quelconque, une réflexion est une symétrie orthogonle pr rpport à un hyperpln. Soit f O (E). Soit ( B une b.o.n.d. ) de E et θ R cos θ sin θ tel que Mt B (f) = = A(θ). On note sin θ cos θ B = (e 1, e 2). On introduit le vecteur u = cos θ 2 e1 +sin θ 2 e2. On le complète en une b.o.n.d. vec v = sin θ 2 e1+cos θ 2 e2. On clcule f(u) = A(θ). cos θ 2 sin θ = u et f(v) = 2 A(θ). sin θ 2 cos θ = v. Pr conséquent Mt(u,v) (f) = ( ) 2 1 0, qui est bien l mtrice d une réflexion. 0 1 Théorème Tout utomorphisme de E est un produit de réflexions. Soit v un vecteur tel que (u, v) soit une b.o.n.d. B de E. Alors Mt B (f) = R(θ). Donc f(u) = cos θu + sin θv, d où u f(u) = cos θ, et det C (u, f(u)) = det B (u, f(u)) = 1 cos θ 0 sin θ = sin θ. ( ) ( ) cos θ sin θ 1 0 Pour tout θ R, R(θ) =.. Or sin θ cos θ 0 1 dns ce produit de mtrices, l première mtrice est celle d une réflexion d près le théorème précédent, et l seconde églement. 422

423 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS Ce produit de mtrices et le théorème donnent l décomposition géométrique d une rottion (ttention : ce produit ne commute ps!). 423

424 CHAPITRE XXV. ESPACES EUCLIDIENS ET PRÉHILBERTIENS RÉELS 424

425 Chpitre XXVI Séries numériques 1 Prolégomènes Séries à termes positifs Comprison série-intégrle Séries bsolument convergentes Représenttion décimle des réels Compléments

426 CHAPITRE XXVI. SÉRIES NUMÉRIQUES Dns tout ce chpitre, K désigne le corps R ou C, et (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N sont des suites à vleurs dns K. 1 Prolégomènes Définition 1.1. À toute suite (u n ) n N K N on ssocie l suite (S n ) n N définie pr n N, S n = u k. k=0 Cette suite (S n ) est ppelée série de terme générl u n. On l note u n ou n 0 u n. L indice n est bien entendu muet. Lorsque l suite (u n ) n est définie qu à prtir d un certin rng n 0, l série de terme générl u n est définie pr l suite S n = uk, pour tout n n 0. Elle est notée k=n 0 u n. n n 0 Le terme d indice n de l suite (S n ) s ppelle l somme prtielle d indice (ou d ordre) n, ou n e somme prtielle de l série u n. On dit que l série u n converge si l suite (S n ) converge. Dns ce cs l limite de (S n ) est ppelée somme de l série u n et notée + n=0 u n. Dns le cs contrire on dit que l série diverge. L nture d une série est s convergence ou s divergence. Deux séries sont dites de même nture si elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Remrque 1.2. Une série n est donc qu une suite, et on peut donc lui ppliquer tous les résultts connus sur les suites. Réciproquement, toute suite est une série (cf. 1.8). Remrque 1.3. Si (u n ) est complexe, notons ( n ) s prtie réelle et (b n ) s prtie imginire. Alors, en vertu du cours sur les suites, u n converge si et seulement si n et b n convergent, et dns le cs de convergence, + n=0 u n = + n=0 n + i + n=0 b n. Exemple 1.4 (Séries rithmétiques). Les séries de l forme n, vec C, ne sont convergentes que si = 0. Dns tous les cs l somme prtielle S n vut n(n + 1). 2 Définition 1.5. Soit n 0 u n une série convergente, lors pour tout n N, l série k n u k converge églement. S somme R n = + k=n+1 (ou d indice) n de l série u n. De plus, pour tout n N, on u k + k=0 u k est ppelée reste d ordre + k=n+1 u k = + k=0 u k, soit, en notnt S n l somme prtielle d ordre n et R n le reste d ordre n, S n + R n = Soit n N et N n. Alors, N k=n+1 u k = N u k k=0 Comme (S N ) converge vers et s somme est donc + k=n+1 u k = + k=0 + k=0 u k. u k = S N S n. k=0 + k=0 u k, lors u k S n. k n+1 u k converge 426

427 CHAPITRE XXVI. SÉRIES NUMÉRIQUES Exemple 1.6 (Séries géométriques). Les séries de l forme z n, vec z C, sont convergentes si et seulement si z < 1. Dns tous les cs l somme prtielle S n vut 1 zn+1 si 1 z z 1, et n + 1 si z = 1. Si z < 1, lors l somme de l série est + n=0 Le reste de l série est R n = z n = 1 1 z. + k=n+1 z k = zn+1 1 z. Remrque 1.7. Soit u n une série convergente, dont on note S n et R n les restes à l ordre n. Alors + n=0 u n = S n + R n et R n n + 0. En prticulier, si R n < ε, on peut dire que S n est une pproximtion de + n=0 u n à ε près. Proposition 1.8. Deux séries dont les termes générux sont égux à prtir d un certin rng ont même nture. Soient (u n) et (v n) deux suites égles à prtir du rng N. On note S n = u k et S n = v k. k=0 k=0 Alors pour tout n N, S n = S n + (S N S N ). Proposition 1.9 (Lien suite-série). L ppliction K N K N ( n ) ϕ : u S = u k k=0 n N est un utomorphisme d espces vectoriels. S réciproque est l ppliction ϕ 1 : K N K N, où pour tout S K N, u = ϕ 1 (S) est l suite définie pr u 0 = S 0 et n N, u n = S n S n 1. L linérité de ϕ est fcile à vérifier. Il est églement isé de montrer que ϕ ψ = ψ ϕ = Id. Remrque En posnt S 1 = 0, on peut écrire que, pour tout n N, S n = u k = k=0 S k S k 1. k=0 Toute série peut donc être vue comme une série télescopique. Proposition 1.11 (Séries télescopiques). L suite (u n ) et l série (u n+1 u n ) ont même nture. Dns le cs de convergence, u n u 0 n + + n=0 u n+1 u n. Nous svons déjà que les suites (u n) n N et (u n+1) n N ont même nture. De plus l somme prtielle d indice n de l série (u n+1 u n) vut u n+1 u 0 pr sommtion télescopique. Elle est donc égle u terme u n+1, à une constnte près, et donc l même nture que l suite (u n+1) n N. Dns le cs de convergence, il reste à psser à l limite N dns l reltion (u n+1 u n) = u N+1 u 0. n=0 Exemple L série 1 converge. En effet pour n(n + 1) n>0 tout n N 1, n(n + 1) = 1 n 1, et l suite ( n converge. n) k=1 n>0 Nous pouvons même ller plus loin : 1 k(k + 1) = n + 1 donc 1 n(n + 1) = 1. n=1 On voit ussi que le reste d ordre n vut 1 n

428 CHAPITRE XXVI. SÉRIES NUMÉRIQUES Exercice (n + 1) n En simplifint, montrer que 1 + n(n + 1) 1 rctn 1 + n + n 2 converge et clculer s somme. Proposition 1.14 (Linérité de l somme). L ensemble des suites dont l série est convergente, muni des lois + et, forme un K-espce vectoriel et l ppliction qui à une telle suite ssocie l somme de s série est linéire. Élémentire, d près les résultts sur les suites. Finissons pr le résultt principl de cette première prtie : Théorème 1.15 (Divergence grossière). (i) Si l série u n converge, lors u n 0. n + (ii) Si l suite (u n ) ne tend ps vers 0, on dit que l série u n diverge grossièrement. (i) Supposons que l série u n converge. Puisque pour tout n > 0, u n = S n S n 1, lors u n est l différence des termes générux de deux suites convergent vers l même limite. L suite (u n) tend donc vers 0. (ii) C est l contrposée du premier point. Exemple L série cos n diverge grossièrement. En effet, en supposnt que cos n 0, l reltion n + cos(2n) = 2 cos 2 n 1 donne une contrdiction. L réciproque du premier point du théorème 1.13 est fusse. On peut citer en exemple l série hrmonique 1, qui ser revue plus trd. n n 1 Donnons églement l exemple ( de l suite u n = ln(n + 2) ln(n + 1) = ln ). Évidemment, u n 0. n + 1 n + Mis k=0 u k = ln(n + 2), pr sommtion télescopique. L série u n diverge donc. 2 Séries à termes réels positifs Étudions mintennt le cs prticulier où tous les termes d une série sont des réels positifs ou nuls. L propriété fondmentle est dns ce cs l suivnte. Proposition 2.1. Soit (u n ) une suite à vleurs positives et S n = u k. Alors l suite (S n ) est croissnte. k=0 Tout simplement, S n+1 S n = u n+1 0. Remrque 2.2. Attention, une série peut ne ps être à terme positifs mis voir toutes ses sommes prtielles positives, comme l série n 0( 1) n. Proposition 2.3. Une série à termes positifs converge si et seulement si l suite de ses sommes prtielles est mjorée. L suite des sommes prtielles est croissnte. Elle est donc convergente si et seulement si elle est mjorée, comme conséquence directe du théorème de l limite monotone. Proposition 2.4. Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que pour tout n N, 0 u n v n. (i) Si v n converge, lors u n églement et 0 + n=0 u n + n=0 v n. (ii) Si u n diverge, lors v n églement. 428

429 CHAPITRE XXVI. SÉRIES NUMÉRIQUES Il suffit de remrquer que si (S n) est l suite des sommes prtielles de u n et (S n) celle de v n, lors 0 S n S n. (i) (S n) converge, donc est mjorée, donc (S n) est églement mjorée, et comme elle est croissnte, elle converge églement. Il reste lors à psser à l limite dns l reltion 0 S n S n. (ii) c est le théorème de minortion. Remrque 2.5. Si l reltion 0 u n v n n est vérifiée qu à prtir d un certin rng, le résultt du théorème 2.4 est vlble, à ceci près que dns le point (i) on ne peut ps conclure que 0 seulement 0 + n=n u n Exemple converge et (n + 1) 2 1 < + n=0 + + n=0 n=n v n. u n 1 (n + 1) 2 < 2. + n=0 v n, mis 1 En effet, pour tout n > 0, 0 < (n + 1) 2 < 1 + n(n + 1), donc 0 < 1 (n + 1) 2 < 1 cr + n=1 1 = 1. Puisque pour n = 0, n(n + 1) n=1 1 = 1, il vient le résultt. (n + 1) 2 Corollire 2.7. Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles positives, (v n ) ne s nnulnt ps à prtir d un certin rng. (i) Si u n = O(v n ), lors l convergence de v n entrîne celle de u n. (ii) Si u n = o(v n ), lors l convergence de v n entrîne celle de u n. (iii) Si u n v n (donc (u n ) ne s nnule ps à prtir d un certin rng), lors v n et u n sont de même nture. (i) un v n est bornée pr un certin réel M > 0, donc à prtir d un certin rng, 0 u n Mv n cr (u n) et (v n) sont positives. On conclut donc vec 2.4. (ii) si u n = o(v n), lors en prticulier u n = O(v n). (iii) si u n v n, lors u n = O(v n) et v n = O(u n). Exemple 2.8. ( ) 1 Puisque sin 2 n 1, d près le résultt sur 2n les séries géométriques, ( ) 1 sin 2 n converge. Pour pouvoir utiliser le dernier corollire, nous vons besoin de «séries étlon», dont l nture est bien connue, et uxquelles on compre les séries à étudier. Les quelques exemples déjà étudiés font prtie de ces séries de référence stndrd, mis l fmille de séries l plus utilisée est celle des séries de Riemnn, dont font prtie l série hrmonique et l série 1 (n + 1) 2. Théorème 2.9. Soit α R. L série 1 converge si et seulement si α > nα n 1 1. Si α = 1, remrquons que 1 ln(n + 1) ln n. Donc n 1 n est de même nture que (ln(n + 1) ln n), qui α n 1 n 1 elle-même est de même nture que l suite (ln n) d près 1.9, d où l divergence. ( ) 1 Si α 1, n 1 1 α α 1 n 1 (ef- α 1 (n + 1) α 1 fectuer un développement symptotique de 1 (n + 1) 1 n α 1 ou ppliquer l inéglité des ccroissements finis α 1 à x x 1 α 1 ). L série de terme générl n 1 ( ) α 1 (n + 1) α 1 1 est de même nture que l suite, d où le résultt. n α 1 On peut ussi remrquer que si α 0, l divergence est grossière, et si 0 < α < 1, l série diverge cr 1 n α > 1 n. Le résultt clssique suivnt est une ppliction directe de 2.7 et 2.9 : 429

430 CHAPITRE XXVI. SÉRIES NUMÉRIQUES Corollire 2.10 (Règle n α u n ). Soient (u n ) une suite réelle positive et α R. (i) S il existe α > 1 telle que n α u n n + 0, lors u n converge. (ii) S il existe α 1 telle que n α u n n + lors u n diverge. +, (iii) Si l suite (n α u n ) converge vers une limite non nulle, l série u n converge si et seulement si α > 1. (i) si n α u n n + ( ) 1 1 o, et n α n converge. α (ii) si n α u n n + diverge. + lors 0 lors un = 1 1 n = o (un), et α n α (iii) si l suite n α u n l vec l R +, n + 1 ont même nture. n α u n et Exemple 2.11 (Séries de Bertrnd). Soient α, β R. On considère l série 1 (ln n) β n α. n 2 Si α > 1 : il existe γ ]1, α[ et n γ 1 (ln n) β n α 0 pr croissnces comprées, n + cr α γ > 0. Ainsi l série converge. Si α < 1 : il existe γ ]α, 1[ et n γ 1 (ln n) β n α + pr croissnces comprées, cr α γ < 0. Ainsi l série diverge. n + Si α = 1 : si β 0, le terme générl est plus grnd que 1, donc l série diverge. Nous triterons le cs β > 0 en n Comprison série-intégrle Proposition 3.1. Soit f : R + R + une fonction continue pr morceux et décroissnte. Alors l série f(n) converge si et seulement si ( n l suite 0 ) f(t) dt est convergente. De plus l suite définie pr u n = n 0 f(t) dt converge. Soit k N. Pr décroissnce de f, on : f(k) k=0 t [k, k + 1], 0 f(k + 1) f(t) f(k). Puis, pr intégrtion de cet encdrement sur [k, k + 1] : 0 f(k + 1) k+1 et pr sommtion, pour n 1 : n 1 0 f(k + 1) k=0 ou encore 0 f(k) f(0) k=0 Les suites f(k) et k=0 k n n 0 f(t) dt f(k) n De plus, il vient 0 f(n) 0 0 n 1 f(t) dt f(k) f(t) dt k=0 (XXVI.1) f(k) f(n). k=0 (XXVI.2) f(t) dt ont donc l même nture. f(k) k=0 0 u n. Ainsi (u n) est minorée. Enfin, on u n+1 u n = f(n + 1) n+1 n n 0 f(t) dt 0. f(t) dt, soit L suite (u n) est donc décroissnte et minorée et converge donc. Remrque 3.2. L encdrement XXVI.1 est à rpprocher de l méthode des rectngles, vue dns le chpitre sur l intégrtion. Exemple 3.3. Achevons l étude des séries de Bertrnd commencée en Si β > 0, considérons l ppliction f : t 1. Elle est continue et décroissnte sur t(ln t) β [2, + [. 430

431 CHAPITRE XXVI. SÉRIES NUMÉRIQUES forme f(n) vec f décroissnte. 6 f(k) k=1 f 5 f(k) k=0 Pr exemple, soit f : x 1 x 2. Alors 1 n N = N n+1 dt t 2 N n+1 1 n 2 N 1 n dt t 2 1 n 1 N 1 et en pssnt à l limite qund N n + +, Figure XXVI.1 Exemple de comprison sérieintégrle pour une fonction f décroissnte, positive. Si β = 1, une primitive de f est F : t ln(ln t) n et f(t) dt = F (n) F (2). Or F (n) 2 n + + donc l série diverge. Pr comprison, l série diverge églement si 0 β < 1. Si β > 1, une primitive de f est (ln t)1 β n F : t et f(t) dt = F (n) F (2). 1 β 2 Or F (n) 0 cr 1 β < 0, donc l série n + converge. Exercice 3.4. Redémontrer le résultt 2.9 en utilisnt 3.1. Exemple 3.5. On pose f : x 1. On sit lors que l suite 1 + x n de terme générl u n = f(k) f(t) dt = k= ln n converge, vers une limite n notée γ et nommée constnte d Euler. Exemple 3.6. L encdrement (XXVI.2) permet d voir une estimtion du reste d une série convergente de l n n 2 1 n. n Si l on veut une pproximtion de n n=1 2 à 10 3 près, il suffit donc de choisir n = 1000 et de clculer n 2. n=1 Exercice 3.7. On peut obtenir une pproximtion de cette somme en clculnt seulement l somme d une trentine de termes. Comment? 4 Séries bsolument convergentes Revenons à des séries à termes quelconques dns K. Nous llons étudier une convergence plus restreinte que l convergence définie en 1.1 : l convergence bsolue. Définition 4.1. On dit que l série u n est bsolument convergente si l série à termes positifs u n converge. Proposition 4.2. Toute série bsolument convergente est convergente. 431

432 CHAPITRE XXVI. SÉRIES NUMÉRIQUES Commençons pr étblir le résultt pour des suites à vleurs réelles. Pour cel, définissons pour une suite (u n) les deux suites (u n ) et (u + n ) définies pr : u + n = mx(u n, 0) et u n = mx( u n, 0). Nous vons lors : { u + 0 si un < 0 n = u n si u n 0 u n = { 0 si un > 0 u n si u n 0 0 u + n u n (XXVI.3) 0 u n u n (XXVI.4) u n = u + n u n u n = u + n + u n. De (XXVI.3) et (XXVI.4) on tire que u + n et sont convergentes cr u n est convergente. De (XXVI.5) on tire que u n est convergente. (XXVI.5) u n Étendons mintennt ce résultt u cs d une suite (u n) à vleurs complexes bsolument convergente. Pour tout n, on 0 Re u n u n, or l série u n converge, donc l série Re u n est convergente, donc Re u n est bsolument convergente, donc convergente d près le premier point. De même Im u n converge. Donc u n converge. L réciproque est fusse. Soit pr exemple l suite de terme générl u n = ( 1)n n ( 1) n+1 = v n v n+1, vec v n = ( 1)n. L série n + 1 n un est donc de même nture que l suite (v n ), elle converge donc. Mis u n = 1 n + 1 n n, donc u n n est ps bsolument convergente. On dit qu une telle suite, convergente mis ps bsolument, est semiconvergente. L étude de telles suites est souvent délicte! Corollire 4.3. Soit (u n ) une suite complexe et (v n ) une suite à termes positifs telles que u n = O(v n ). Alors si vn converge, u n églement. Pr comprison de séries à termes positifs, converge bsolument, donc converge. u n Remrque 4.4. Une série à termes de signe constnt converge bsolument si et seulement si elle converge. Proposition 4.5. L ensemble des séries bsolument convergentes est un sous-espce vectoriel de l ensemble des séries convergentes. Élémentire pr l inéglité tringulire. Proposition 4.6. Soit u n une série bsolument convergente. Alors + + u n u n. n=0 n=0 Soit N N, lors, pr l inéglité tringulire, N N + u n u n u n. n=0 n=0 n=0 On conclut pr pssge à l limite en N. 5 Représenttion décimle des réels Notons D l ensembles des décimux, c est-à-dire l ensemble { x R n N, 10 n x Z } { } k = 10 n k Z, n N. Rppelons le résultt suivnt, démontré dns le chpitre sur les réels : si x R, on pose pour tout n N, r n = 10n x 10 n ppelé pproximtion décimle pr défut de x à 10 n près. L suite (r n ) est lors une suite de décimux inférieurs à x, et elle x pour limite. Nous pouvons lors donner le théorème suivnt : 432