f y On retrouve une condition «analogue» à une fonction d une variable f (x) = 0

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1 Compléments Calcul Difféentiel 1 Recheche d'extema Dans toute la suite on a F : U R n R. ( R est nécessaie pou la notion de...) avec U ouvet de R n. Définition : A U est un maximum (p. minimum) pou F, s il existe un voisinage V de A (pa exemple une boule centée en A) telle que M V, f (M) f (A) 0 (p 0). L extemum est alos dit local. Il est dit global si cette inégalité est vaie pou tout M U. Remaque : Si F est continue su un compact K, il existe toujous un maximum et un minimum globaux qui, en oute, «sont atteints», cad Max = f (A 1 ), Min = f (A 2 ). Déjà vu dans l exposé de topologie dans les evn. Théoème de condition nécessaie Si F est C 1 su U et U ouvet et A extemum de F, toutes les déivées patielles en A sont nulles : 1 F i n, (A) = 0. i Démo : Pou deux vaiables. Le Dl à l ode 1 en A = (a,b) s écit : f (a + h,b + k) = f (a,b) + h ( ) (A) + k (A) + o h 2 + k 2 Il est aisé de véifie que f (a + h,b + k) f (a,b) de signe constant nécessite Remaques On etouve une condition «analogue» à une fonction d une vaiable f (x) = 0 (A) = (A) = 0. La condition peut aussi s écie de manièe équivalente F (A) = 0, ou autement encoe df (A) = 0. Ces points s appellent des points citiques. Il est fondamental d avoi U ouvet! Même pou une vaiable : penez f (x) = x su [ 0,1 (qui n est pas ouvet), le maximum est en 1, mais on n a pas f (1) = 0. La condition n est évidemment pas suffisante. Mais là, contaiement à 1 vaaible, il n y a aucune condition suffisante à vote pogamme. (seulement en MP) Exemple 1 Recheche les extemums de f (x, y) = x 4 + y 4 x 2 + y 2 su R 2. R 2 est bien un ouvet et les points citiques M(x, y) de F sont founis pa : F (x, y) = 4x3 2x = 0 F (x, y) = 4y 3 2y = 0 2x(2x 2 1) = 0 2y(2y 2 + 1) = 0 ( M = (0,0) ou M = ± 1 ),0 2 Pou voi si ce sont des extema ou non, on effectue un petit développement local sans le die : f (0 + h,0 + k) f (0,0) = h 4 + k 4 h 2 + k 2 1

2 L idée est de egade les temes d ode 2 pou «devine» si c est ok ou non, cad on egade le signe des ces temes d ode 2, en fait une fome quadatique, si c est 0, c est un minimum (au moins local), si c est 0, c est un maximum (au moins local), sinon c est «foutu». pou le pouve, on touve alos deux «chemins» passant pa (0,0) de signe difféents. on dit alos que c est un point-col. On egade donc ici la quantité k 2 h 2. O = (0,0) n est pas un extemum pou F (mais un point-col) : on le pouve pa les deux chemins : F (0 + h,0) F (0,0) = h 4 h 2 0 h 2 0. Suivant ce «chemin» (l axe Ox), O est un maximum. F (0,0 + k) F (0,0) = k 4 + k 2 0 k 2 0. Suivant ce «chemin» (l axe Oy), O est un minimum. On egade maintenant les deux autes points simultanément en utilisant ε = ±1 : ( ) ( ) ( ε ε ε 4 ( ε 4 ( ) ε F 2 + h,0 + k F 2,0 = 2 + h) + k h) + k 2 F 2,0 = 2h 2 + k 2 + 2ε 2h 3 + h 4 + k 4 La fome quadatique Q(h,k) = 2h 2 + k 2 est claiement définie positive, donc les 2 points sont des minimums. Mais on ne peut «aisonne comme cela». Il faut donc «bidouille» pou monte la positivité (au moins locale, cad pou h,k assez petits) : ( ) ( ) ε ε F 2 + h,0 + k F 2,0 = h 2( 2 + 2ε 2h + h 2) + k 2( 1 + k 2) C est plus compliqué losqu il y a des goupements mixtes du type kh, k 2 h... Losque h 0 et k 0, 2 + 2ε 2h+h 2 2 > 0 et 1+k 2 1 > 0, donc pa continuité, pou h et k assez poches de 0, la quantité est positive, ( ) cad ce sont bien deux minimum locaux. On a F 2 ε,0 = 1 4. D aute pat, on constate F (h,k) h4 h 2. Un petit calcul élémentaie de vaiations monte que le minimume de ce polynôme est -1/4. Les deux minimums sont donc globaux. A l insta des extema d une fonction f (x) qui peuvent ête visualisés paa le tacé de la coube y = f (x), les extema de f (x, y) peuvent ête visualisés pa le tacé de la suface z = f (x, y). Les points citiques (Extema possibles) coespondent aux points dont le plan tangent est paallèle à xo y. La suface est ici tonquée (à [ 1,1 2 ) et le plan xoy est incliné, afin d assue une meilleue visibilité : 2

3 suface_extema.png 2 Jacobiennes et Jacobiens Définition : Soit F : U R n R p (x 1,..., x n ) (f 1 (x 1,..., x n ),..., f p (x 1,..., x n )) C 1 su U et A U. [ i On appelle Jacobienne de F en A la matice J f (A) M p,n (R) définie pa J f (A) = (A) j Si n = p, on appelle Jacobien, le déteminant de J f (A). On peut le note D(f 1,..., f n ) D(x 1,..., x n ) Remaque : On a J f (A) = Mat(d f (A),ε p,ε n ), où ε p,ε n sont les bases canoniques de R p et R n.. 1 i,j n R 2 R 2 exemple Les coodonnées polaies : On se donne l application ϕ : (ρ,θ) (x = ρ cosθ, y = ρ sinθ) La jacobienne en tout point M(ρ,θ) est donnée pa : J(M) = ρ = cosθ ρ sinθ et le Jacobien vaut sinθ ρ cosθ ρ D(x, y) donc det(j(m)) = D(ρ,θ) = ρ. Poposition Soient f, g C 1 su U ouvet et α,β R. Alos αf + βg est C 1 su U et d(αf + βg ) = αd f + βdg et A U, J αf +βg (A) = αj f (A) + βj g (A). 3

4 Poposition Soit f C 1 su U ouvet et g C 1 su V ouvet tel que f (U ) V, alos g f est C 1 su U et d(g f )(A) = dg(f (A)) d f (A) et J f g (A) = J g (f (A)) J f (A). U R n R p Remaque : Si on écit f : ( ) (x 1,..., x n ) y 1 = f 1 (x 1,..., x n ),..., y p = f p (x 1,..., x n ) V R p R m et g : ( ) (y 1,..., y p ) g 1 (y 1,..., y p ),..., g m (y 1,..., y p ) Le ésultat su le poduit des matices jacobiennes s écit pou chaque coefficient (en omettant les points) : 1 i m, 1 j n, [g f i = j p g i k k=1 k = j p g i k k=1 k j Ceci donne la fomule de composition usuellement utilisée pou les déivées patielles. Pa exemple, si on considèe une fonction f (x, y) de R 2 dans R, et que «l on passe en polaies» (cad mathématiquement une composition avec le ϕ plus haut) on obtient les fomules usuelles : = + = + f désigne l application composée f (,θ) = f ( cosθ, sinθ) = (f ϕ)(,θ) Elle est souvent «abusivement» notée f dans la fomule plus haut. Définition : F : U R n R n avec U ouvet est dite C k -difféomophisme de U su F (U ) = V ssi F est C k su U, F est bijective et F 1 C k su V. Théoème F : U R n R n avec U ouvet est un C k -difféomophisme ssi (i) F est C k su U. (ii) F est injective su U (iii) U est ouvet. (iv) Le Jacobien est non nul su U. R 2 R 2 Exemple Coodonnées Polaies ϕ : (ρ,θ) (x = ρ cosθ, y = ρ sinθ) ϕ est claiement C su R 2 ca chacune de ses 2 fonctions-coodonnées l est (fonctions usuelles). Pou ende ϕ injective, il faut au moins pende θ [ α,α + 2π [, et comme tout point de coodonnées polaies (,θ) peut aussi s écie (,θ+π), on pend 0. La condition «d ouvetue» nous amène donc à pende U = 0,+ [ α,α + 2π [ qui est bien ouvet comme poduit d intevalles ouvets. Toutes les conditions sont alos emplies, ca le jacobien de ϕ, calculé plus haut est égal à 0 su U. L application «passage en polaies» suivante est alos un C -difféomophisme su le Plan R 2 pivé d une demie-doite (celle d angle α) : [ [ 0,+ α,α + 2π R 2 (ρ,θ) (x = ρ cosθ, y = ρ sinθ) Comme on peut «joue» su le α, on peut considée que le passage en polaies est un C -difféomophisme local sauf en O. Il s ensuit que, mathématiquement, passe en polaies peut-ête effectué de manièe «tanspaente» sauf en O. Poposition Si F est un difféomophisme, alos (J F (M)) 1 = J F 1(F (M)) 4

5 Remaque : Cet énoncé dit «en gos» que la jacobienne de l invese est l invese de la Jacobienne. Ceci peut-ête tès utile dans la patique pou calcule des déivées patielles difficiles à calcule, mais plus faciles à calcule «pa l invese». Pa exemple, pou les polaies, x = cosθ y = sinθ, calcule les déivées de θ pa appot à x ou y pose poblème. On pocède comme suit : = 1 = cosθ sinθ sinθ cosθ 1 = cosθ sinθ sinθ cosθ 3 Résolution d'equation aux Déivées Patielles (E.D.P.) Exemple 1 Résoude su l ouvet U = { } (x, y) R 2 x > 0, l EDP x y = 0 (E) en passant en polaies. U = 0,+ [ [ 0,+ [ est bien un ouvet de R 2 comme poduit d intevalles ouvets. On considèe la composition de fonctions suivante, «passage en polaies» : [ [ ϕ 0,+ π,π U R 2 f R 2 (, θ) x = cosθ f (x, y) = f (,θ) y = sinθ f ϕ = f ϕ est un C -difféomophisme, comme vu plus haut et ϕ 1 (U ) = V = 0,+ [ π/2,π/2 [. On calcule les nouvelles déivées patielles, comme vu plus haut, et comme on a des déivées patielles «à l enves», on utilise le ésultat de l exemple plus haut avec la jacobienne : = + = cosθ sinθ = + = sinθ + cosθ Résoude l EDP (E) su U équivaut (C 1 -difféomophisme de U su V ) à ésoude su V l EDP cosθ (sinθ + cosθ ) sinθ (cosθ sinθ ) = 0 = Cette équation se ésoud simplement en f (,θ) = g ( ) ou encoe f (x, y) = g ( x 2 + y 2 ) (ca > 0 su V ). 5

6 Exemple 2 Résoude su R 2, l EDP (E) 2 f 2 2 f = 0, en utilisant le changement de vaiables u = x + y v = x y 2 Note : Cette équation est à appoche de l équation des ondes (de dimension 1) 2 U z U c 2 t 2 en U (z, t) = H(z ct) +G(z + ct) = 0 qui s intège On constuit le diagamme de composée suivant (On notea qu il est «à l enves» du pécédent) : ψ R 2 R 2 R 2 (x, y) u = x + y f (u, v) = f (x, y) v = x y f ψ = f f On calcule les déivées patielles pa la fomule de composition, mais il faut ici, le faie 2 fois : = + = + 2 f 2 = = [ + = = [ + + [ + = 2 f 2 = = + = [ = [ = [ [ + = 2 f 2 [ = 2 f 2 + [ f + 2 f 2 + [ 2 2 f + 2 f 2 L application ψ est bien un C 2 -difféomophisme de R 2 su R 2, puisque R 2 est ouvet, ψ claiement C 2 su R 2, ψ ) injective su R 2 (ca se ésoud en x = 1 2 (u + v) y = 1 2 (u v)) et le Jacobien vaut det(j ψ(u, v)) = det = det ( ) 0. Résoude (E) su R 2 équivaut donc à ésoude su ψ(r 2 ) = R 2 l EDP : ( 2 f f + 2 f ) ( 2 f f + 2 f ) 2 = 0 = 4 2 f = [ ( / / / / qui se ésoud en deux étapes,d abod = g (v), puis f (u, v) = G(v) + H(u) (G, H fonctions quelconques, C 2 su R), soit finalement f (x, y) = G(x y) + H(x + y). 6