Chapitre II Variations en dimension finie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre II Variations en dimension finie"

Transcription

1 8 Chapitre II Variations en dimension finie Dans ce chapitre, on rappelle les principaux résultats concernant le calcul des variations en dimension finie, c est à dire la recherche de points maximaux, minimaux ou stationnaire pour des fonctions de plusieurs variables. II.1. Fonctions d une seule variable réelle. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I R. Définition II.1.1. On dit que f admet un maximum global si y I, f(y) f(x). On dit que f admet un minimum global en x I si y I, f(y) f(x). Définition II.1.2. Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I R. On dit que f : I R admet un maximumlocal en x I si ε > 0 tel que y ]x ε;x+ε[ I, f(y) f(x). On dit que f admet un minimum local en x I si ε > 0 tel que y ]x ε;x+ε[ I, f(y) f(x). Une fonction peut avoir plusieurs extremas (minimum ou maximum) locaux sur un intervalle donné. Remarque Importante : si I a un bord, f peut atteindre son maximum ou minimum global sur le bord. Cependant, pour notre définition, un extremum global sur le bord de I ne sera pas considéré comme un extremum local. En effet, le voisinage autour du point x 0 dans la définition d un extremum local doit être contenue dans l intervalle I. Lorsque f est une fonction dérivable, on a une condition nécessaire à la présence d un extremum local en un point : Théorème II.1.3. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert. Si f admet un extremum local en x I, alors f (x) = 0. Proof. Rappelons que par définition f f(x+t) f(x) (x) = lim t 0 t Soit ε > 0 tel que pour tout t < ε, on a f(x+t) f(x). Alors pour tout 0 < t < ǫ, on a f(x+t) f(x) 0. t

2 De même pour tout 0 > t > ǫ on a f(x+t) f(x) 0. x La fonction étant dérivable en x, ses limites à droite et à gauche sont égales. On en déduit que 0 f (x) 0, c est-à-dire f (x) = 0. On voit que la preuve repose essentiellement sur le fait que f est dérivable à droite et à gauche en x. C est pourquoi on ne considère pas les points du bord, dont la dérivée n est définie correctement que d un seul côté. Il est intéressant de regarder le cas des fonctions lisses. Nous utliserons le terme générique lisse pour déginer une fonction qui est continument dérivable autant de fois que nécessaire. (...) Si f est lisse sur un intervalle ]x ε;x + ε[ et y = x + ηε ]x ε;x + ε[, alors le développement en série de Taylor est donné par : f(y) = f(x)+f (x)(y x)+ f (x) (y x) 2 +O ( (y x) 3) = f(x)+ηεf (x)+ f (x) η 2 ε 2 +O(ε 3 ) 2 2 Supposons que f (x) = 0. Dans ce cas ; si f (x) < 0, f admet un maximum local en x, si f (x) > 0, f admet un minimum local en x, si f (x) = 0, il faut regarder le terme suivant du développement de Taylor Young : Dans ce cas, si f (3) (x) 0, comme (y x) 3 change de signe, la différence f(y) f(x) aussi donc f n admet pas d extremum local... 9 Remarque 1. La condition sur la dérivée n est donc qu une condition nécessaire et non suffisante à l existence d un extremum local en x. De plus, elle ne convient que pour un extremum local lorsque la fonction est dérivable. Exemples (1) La fonction f(x) = x 3 a sa dérivée qui s annule en 0 mais ce n est pas un extremum (2) La fonction f(x) = x admet un minimum local en 0 mais n est pas dérivable en 0. (3) La fonction f(x) = e x est dérivable sur R et sa dérivée ne s annule jamais. On en déduit que f n a pas d extremum local. Le lien entre extremum local et global est limité mais on peut quand même énoncer les faits suivants. Si f admet un extremum global en un point x à l intérieur d un intervalle I, alors f(x) est un extremum local. Si de plus f est dérivable, alors on a de plus f (x) = 0. Cependant il arrive qu un extremum global soit atteint sur un point du bord de l intervalle, et dans ce cas, même si f est dérivable sur l intervalle, on ne peut rien dire sur la valeur de la dérivée. II.2. Fonctions de plusieurs variables.

3 10 II.2.1. Continuité des fonctions de plusieurs variables. Norme sur R n. Commençons par quelques rappels sur les notions de voisinage et de limites dans l espace R n. Pour cela l espace vectoriel R n doit être muni d une norme, qui va complètement déterminer la notion de distance entre deux points. Dans R n, toutes les normes sont équivalentes, c est-à-dire que les notions de voisinage et de limites vont être inchangées quelle que soit la norme choisie. On peut donc choisir l une quelconque des normes suivantes (ce sont les normes les plus courantes, il en existe bien d autres). Définition II.2.1. Les trois normes usuelles sur R n sont données par : x = sup x i...n x 1 = n x i x 2 =...n La norme x 2 est la norme usuelle, qui est associée au produit scalaire : n x,y = x i y i C est généralement cette norme que nous utiliserons. Lorsque n = 1, les 3 normes sont égales et correspondent à la valeur absolue dans R. Limites Dans toute la suite on posera Ω R n et f : Ω R. On rappelle les notions usuelles de limite dans R n. Définition II.2.2. On dit que f a pour limite l au point a Ω si ε > 0, α > 0, x Ω,( x a < α f(x) f(a) < ε) On voit que la définition de limite dépend en général de la norme choisie. Cependant, dans ce chapitre, cela n a pas d importance puisque les normes sont équivalentes. Définition II.2.3. f est continue en a si f(a) = lim x a f(x) Exercices : Montrer que somme et produit de fonctions continues sont continues. Etudier la continuité des fonctions suivantes : { xy 2 si (x,y) (0,0) f(x,y) = x 2 +y 2 0 sinon Montrer que cette fonction est continue en 0. { xy si (x,y) (0,0) g(x,y) = x 2 +y 2 0 sinon x 2 i

4 11 Montrer que cette fonction n est pas continue en 0. { x 2 y si (x,y) (0,0) h(x,y) = x 4 2x 2 y+3y 2 0 sinon Montrer que cette fonction est telle que pour toute direction y = ax, la limite de h(x,ax) quand x tend vers 0 existe et est égale à 0. Montrer que cette fonction n est pas continue en (0,0). La fonction h montre qu il ne suffit pas de regarder la continuité des applications partielles définie dans une direction. En effet, elles sont toutes continues en 0, et pourtant h n est pas continue en (0,0). II.2.2. Dérivées des fonctions de plusieurs variables. La notion de dérivée est plus subtile en dimension n qu en dimension 1. Définissons d abord la dérivée directionnelle : Définition II.2.4. La dérivée de f dans la direction u R n au point a est donnée par la limite suivante : f(a+t u) f(a) D u f(a) = lim t 0 t De façon équivalente la dérivée dans la direction u est la dérivée (au sens usuel des fonctions d une variable) de la fonction t f(a+t u) Dans R n les vecteurs de la base canoniques (e 1,...,e n ) forment des vecteurs particuliers. Définition II.2.5. La dérivée partielle de f au point a = (a 1,...,a n ) par rapport à la i-ème variable est définie, si elle existe, par la limite du taux d acroissement : f f(a 1,...,a i +t,...,a n ) f(a 1,...,a n ) (a) = D ei f(a) = lim t 0 t Si la dérivée partielle par rapport à la i-eme variable est définie pour tout a Ω alors on peut définir l application dérivée partielle f : Ω R. Définition II.2.6. Si pour tout i, les dérivées partielles sont définies et continues pour tout a Ω, on dira que f est de classe C 1 sur Ω. Exercices Calculer les applications dérivées partielles des fonctions suivantes. f(x,y,z) = x 2 y +(x y)(x z) x 2 y 2 z 2 g(x,y) = cos(xy)+e x+y h(x,y) = x y Remarque 2. Le seul fait que les dérivées partielles existent en un point a n impliquent pas que la fonction soit continue au point a (alors que pour une fonction d une seule variable la dérivabilité entraine la continuité.) Par exemple la fonction : { xy si(x,y) (0,0) g(x, y) x 2 +y 2 0 sinon

5 12 possède des dérivées partielles en x et en y au point (0,0) (Les dérivées partielles sont nulles) mais n est pas continue en (0,0). En effet, si on calcule l application dérivée partielle, on voit assez facilement qu elle n est pas continue en (0,0). Remarque 3. Si les dérivées directionnelles existent au point a dans toutes les directions u R n alors la fonction est continue au point a. C est un cas particulier d un résultat plus général que nous verrons pour les fonctionnelles. L existence de dérivées partielles est une condition assez faible. On doit définir une notion plus forte pour pouvoir étudier les extremums de fonctions de plusieurs variables. Differentiabilité et développement de Taylor Définition II.2.7. On suppose que f admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable au point a. On appelle différentielle de f en a et on note df a l application linéaire de R n dans R définie par : n f df a (h) = (a)h i La différentielle est une forme linéaire sur R n, c est à dire par définition un élément du dual de R n. L espace dual de R n, noté (R n ) est également de dimension n. La base canonique du dual de R n est donnée par les formes dx i : (x 1,...,x n ) x i Dans cette base on peut exprimer la différentielle sous la forme : n f df a = (a)dx i Définition II.2.8. On suppose que f admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable au point a. On dira que f est différentiable en a si et seulement si pour tout accroissement vectoriel h = (h 1,...,h n ) R n assez petit, on peut écrire un développement limité au premier ordre de la forme : soit encore : f(a+h) = f(a)+df a (h)+o( h ) f(a 1 +h 1,...,a n +h n ) = f(a 1,...,a n )+ n f (a)h i +o( h ) Théorème 4. Si f est de classe C 1 sur l ouvert Ω alors f est différentiable sur Ω. Proof. Admis Définition II.2.9. On appelle Gradient de f en a noté f(a) le vecteur de R n donné par : ( f f(a) = (a),..., f ) (a) x 1 x n

6 Le gradient est donc le vecteur correspondant aux coordonnées de la différentielle dans la base duale de R n. On peut exprimer la différentielle appliquée à un vecteur comme df a (h) =< f(a),h > où <, > est le produit scalaire usuel dans R n. On peut définir l application gradient de R n R n. II.3. Extremums des fonctions de plusieurs variables. Définition II.3.1. Soit Ω R n et f : Ω R. f admet un maximum (resp. minimum) global sur Ω en x Ω si f(ˆx) f(x) (resp. ) ˆx Ω. f admet un maximum (resp. minimum) local en x Ω si ε > 0/ f(ˆx) f(x) (resp. ) ˆx B(x,ε) Ω, où V(x,ε) = {y R n / xi y i 2 ε}. 13 Comme dans le cas de la dimension 1, si Ω a un bord, f peut atteindre son extremum global sur le bord. Théorème II.3.2. Soit f : Ω R une fonction de classe C 1 sur Ω R n. Si f admet un extremum local en x Ω, alors f(x) = 0. Proof. Supposons que la fonction f admet un extremum au point a. Au point a, la fonction f est differentiable on peut donc écrire f(a+h) = f(a)+df a (h)+o( h ) Supposons qu il existe h R n tel que df a (h) 0. On a nécessairement h 0. Alors df a étant linéaire on a df a (λh) = λdf a (h), λ R En particulier, pour lambda suffisement petit on obtient que f(a+λh) f(a) est du même signe que df a (λh). D autre part, on a également df a ( λh) = λdf a (h). On a donc que f(a+λh) f(a) change de signe. Contradiction avec le fait que a est un extremum pour f. On a donc que pour tout h R n,df a (h) = 0 En exprimant la différentielle avec le gradient on obtient En particulier, cela implique que f(a) = 0. Exemple : f(x,y) = x 2 +y 2 < f(a),h >= 0, h R n Définition II.3.3. Un point a pour lequel le gradient f(a) = 0 est appelé, point critique ou point stationnaire.

7 14 Le Théorème II.3.2 nous dit qu un extremum est nécessairement un point stationnaire. Mais un point stationnaire n est pas nécessairement un extremum. Exemple : f(x,y) = x 2 y 2. Pour déterminer le comportement d une fonction en un point stationnaire a Ω, il est souvent pratique d étudier la fonction g(h) = f(a+h). Dans de nombreux cas, les formules se simplifient et on voit apparaitre immédiatement si la fonction a un extremum en a ou non. Exercices Trouver les points critiques des fonctions suivantes. Est-ce que ce sont des points extremaux? (1) f(x,y) = 2x 2 +y 2 2xy +4x (2) f(x 1,x 2 ) = x 2 1 x 2 2 +x 3 1 (3) f(x,y) = y 3 3x 2 y (4) f(x,y,z) = x 2 +y 2 +8z 2 2xz +4yz +4x 6y 16z +3 II.3.1. Condition suffisante pour une extremum. On peut aller plus loin dans le développement de Taylor de la fonction pour étudier le comportement en un point. Chacune des fonctions dérivée partielle est une fonction de plusieurs variables. On peut donc définir, si elles existent, les dérivées secondes par rapport à chacune des variables. Pour 1 i,j n, on notera : ( ) f 2 f = x j x j Définition II.3.4. On dit que f est de classe C 2 si chacune de ses dérivées secondes existent et sont continues sur Ω. A priori, on doit calculer n 2 dérivées secondes, mais on a le lemme suivant qui montre que l ordre dans lequel on dérive n a pas d importance : Lemme II.3.5 (de Schwarz). Si f est de classe C 2 sur Ω alors on a pour tout i,j Proof. Admis 2 f = 2 f x j x j On peut maintenant écrire le développement de Taylor à l ordre 2 d une fonction f Proposition II.3.6. Si f est de classe C 2, on peut écrire pour a Ω et h R n f(a+h) = f(a)+ n f (a)h i + n i,j=1 2 f x j (a)h i h j +o( h 2 ) On appelle matrice Hessienne la matrice symétrique dont les entrées sont les dérivées partielles

8 2 f 2 f x 1 x 1 x 1 x n H f = f 2 f x n x 1 x n x n Lorsque h = (h 1,...,h n ), on peut écrire : n 2 f (a)h i h j = h t H f (a)h x j i,j=1 Cela définit une forme quadratique Q. Le comportement local de la fonction en un point stationnaire est déterminé par la forme quadratique. En effet, pour un point suffisament proche du point stationnaire, la différence f(a+h) f(a) est du signe de Q(h). On est dans l un des quatres cas suivants (1) Pour tout h R n \{0}, on a Q(h) > 0, alors la fonction admet un minimum en a. (2) Pour tout h R n \{0}, on a Q(h) < 0, alors la fonction admet un maximum en a. (3) La forme quadratique change de signe, c est à dire qu il existe h 1 et h 2 tels que Q(h 1 ) < 0 < Q(h 2 ), alors on peut affirmer que la fonction n admet pas d extremum en a (on a un point selle) (4) La forme quadratique s annule pour un certain h 0 alors on ne peut pas conclure. De façon équivalente, on peut traduire ces conditions en fonctions des valeurs propres de la matrice H f (a). En effet, les conditions vont correspondre au fait que les valeurs propres de la matrices sont toutes strictement positives (1), toutes strictement négatives (2), de signes différents (3), une valeur propre est nulle (4). En pratique, cela n est pas toujours facile à calculer en dimension 3 et plus. Exemples en dimension 2 Si on écrit la matrice sous la forme ( ) r s H f = s t Les valeurs propres λ, µ de la matrices s expriment simplement comme solutions des équations suivantes : { ) λµ = det(hf ) = rt s 2 λ+µ = tr(h f ) = r+t En particulier, on peut déterminer le signe des racines simplement en regardant le signe de rt s 2 et le signe de r. On peut alors traduire les conditions sur les valeurs propres simplement en fonction des coefficients r,t et s. (1) Si rt s 2 > 0 et r > 0, alors la fonction admet un minimum en a. (2) Si rt s 2 > 0 et r < 0, alors la fonction admet un maximum en a. (3) Si rt s 2 < 0, alors on peut affirmer que la fonction n admet pas d extremum en a (on a un point selle) (4) Si rt s 2 = 0 alors on ne peut pas conclure. 15

9 16 Exercice Trouver les extremums locaux des fonctions suivantes f(x,y) = 2x 2 +y 2 2xy +4x. f(x,y) = x 2 +y 2 +6xy +3. f(x,y) = x y

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 Fonctions réelles de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables

Plus en détail

Calcul Différentiel. Automne f(x) = ax + b.

Calcul Différentiel. Automne f(x) = ax + b. Calcul Différentiel Automne 2016 1 Dérivabilité des fonctions réelles Une application affine de R dans R est une application de la forme f(x) = ax + b. Son graphe est une droite : Idée : On veut approcher

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs Application à l étude d extrema On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables Comme pour une fonction d une

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 10 [ ] [correction] Soit a > 0. On pose, pour x > 0 et y > 0,

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 10 [ ] [correction] Soit a > 0. On pose, pour x > 0 et y > 0, [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Enoncés 1 Extremum Exercice 1 [ 00058 ] [correction] Déterminer les extrema locaux et globaux de Exercice [ 00059 ] [correction] Trouver les extrema

Plus en détail

III FONCTIONS DE CLASSE C 1

III FONCTIONS DE CLASSE C 1 19-3- 2010 J.F.C. F.N.P.V. p. 1 III FONCTIONS DE CLASSE C 1 Une remarque introductive Si f est une fonction numérique dérivable sur l intervalle ouvert ]x 0 α, x 0 + α[ et si f possède un extremum local

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION Chapitre 17 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Recherche d extremums locaux sur un ouvert 2 1.1 Condition nécessaire du premier ordre.............................

Plus en détail

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables:

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: N. Tsouli University Mohamed I Faculty of Sciences Department of Mathematics Oujda, Morocco. Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES 29-3- 2011 J.F.C. Fnpv p. 1 TD 25 2010-2011 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES Lundi 28 mars 2010 Exercice 1 ECRICOME 99 n est un élément de N. (x, y) R 2, f n (x, y) = (x n y) e x y. On se propose

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Sommaire Sommaire I Applications continûment différentiables............... 2 I.1 Applications coordonnées......................... 2 I.2 Applications partielles........................... 2 I.3 Continuité..................................

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 2006/2007 Outils Mathématiques 4 Continuité et différentiabilité résumé 1 Continuité Soient V 1 = (x 1, y 1 ) R 2 et V 2 = (x 2, y 2 ) R 2. On va toujours utiliser la norme

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel On parle parfois de dérivée partielle première.

Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel On parle parfois de dérivée partielle première. Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-1 Sommaire 1 Fonctions R p R, Dérivées Premières 1 11 Application de classe C 1 sur U 1 12 Différentielle 2 13 Développement limité à l ordre 1

Plus en détail

Rappel de calcul différentiel

Rappel de calcul différentiel Calcul différentiel et géométrie Année 008-009 ENS Cachan Vincent Beck Différentiabilité. Rappel de calcul différentiel Exercice 1 Exemples et contre-exemples. a) Étudier suivant les valeurs de α > 0,

Plus en détail

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min 19-3- 2010 J.F.C. F.N.P.V. p. 1 V EXTREMUM 1. Les définitions de base Il convient d avoir une parfaite connaissance des définitions qui suivent Déf. 37 f est une application d une partie D de R n dans

Plus en détail

Optimisation libre et sous contrainte (suite)

Optimisation libre et sous contrainte (suite) . Optimisation libre et sous contrainte (suite) 0.1 Extrema locaux de f : R 2 R On suppose f de classe C 2, c est-à-dire que ses dérivées partielles jusqu à l ordre 2 existent et sont continues. Définition

Plus en détail

Analyse et calcul différentiel Examen

Analyse et calcul différentiel Examen Analyse et calcul différentiel Examen Corrigé Université De Metz 2006-2007 1 Premier exercice C est une application directe du cours. Il suffit de connaître le cours et de faire les calculs soigneusement.

Plus en détail

Différentielle seconde, extremums.

Différentielle seconde, extremums. Différentielle seconde, extremums Exercice 1 Soit A une matrice de taille n n Pour tout x R n, on pose qx) = x, Ax Montrer que q est C et calculer son gradient et sa matrice hessienne Indication On remarquera

Plus en détail

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL Université de Metz Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL par Ralph Chill Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz Année 2010/11 1 Table des matières Chapitre

Plus en détail

Fonctions numériques de plusieurs variables Analyse chapitre 2

Fonctions numériques de plusieurs variables Analyse chapitre 2 Fonctions numériques de plusieurs variables Analyse chapitre 2 Dans ce chapitre, n IN* et IR n est muni de sa structure euclidienne canonique. On note O le vecteur nul de IR n. Le but est d étudier des

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL Chapitre 15 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Objets du calcul différentiel du premier ordre 2 1.1 Dérivées partielles et gradient..................................

Plus en détail

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité Table des matières I Continuité....................................... 2 I.1 Continuité en un point............................ 2 I.2 Propriétés................................... 3 I.3 Continuité sur

Plus en détail

Calcul différentiel. MP Lycée Clemenceau

Calcul différentiel. MP Lycée Clemenceau Calcul différentiel MP Lycée Clemenceau Table des matières I Etude locale 2 1) Dérivée suivant un vecteur.......................................... 2 2) Différentielle en un point...........................................

Plus en détail

Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables Fonctions de deux variables Le but de ce chapitre est l étude des fonctions définies sur une partie U de R 2 et à valeurs dans R et plus particulièrement la recherche d extremum locaux. I Topologie de

Plus en détail

Trivial Poursuite Mathématique

Trivial Poursuite Mathématique 1/39 Trivial Poursuite Mathématique 07 Avril 2015 2/39 1 Calcul Différentiel 2 Extrema 3 Suites et Séries de Fonctions 4 Séries Entières 5 Questions de cours 6 Le Pictionamaths 3/39 Calcul Différentiel,

Plus en détail

Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année. Calcul différentiel et optimisation I. Sujets d examen François BOLLEY

Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année. Calcul différentiel et optimisation I. Sujets d examen François BOLLEY Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année Calcul différentiel et optimisation I Sujets d examen 2006-2007 François BOLLEY Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année Calcul différentiel Contrôle continu

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 1 Université de Rennes1 Année 2005/2006 Outils Mathématiques 4 Extrema résumé 1 Fonctions implicites Soit F (x, y, z) une fonction de trois variables définie dans un domaine D de R 3. Considérons l équation

Plus en détail

Dérivabilité d une fonction numérique.

Dérivabilité d une fonction numérique. 34 Chapitre 6 Dérivabilité d une fonction numérique. 6.1 Taux d accroissement Définition : Soient f une fonction numérique et I D f un intervalle ouvert. Soit c I, on appelle taux d accroissement de f

Plus en détail

Travaux dirigés d OPTIMISATION. x cosy y sinx x y. (x,y) f(x,y) =

Travaux dirigés d OPTIMISATION. x cosy y sinx x y. (x,y) f(x,y) = 1 Dérivation 1.1 Exercice 2ème Année TR Travaux dirigés d OPTIMISATION Donner la dérivée première de la fonction 1.2 Exercice f : R 2 R 3 (x,y) f(x,y) = x cosy y sinx x y 1. Soit X un espace vectoriel

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a)

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a) 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre VII : Dérivation Notations : On reprend dans ce chapitre les notations

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE. Michèle Audin

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE. Michèle Audin CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE 2012 2013 Michèle Audin 1. Espaces vectoriels normés Exercice 1.1 (Manhattan). Une ville est quadrillée par une famille

Plus en détail

Résumé de cours: Calcul différentiel. 13 novembre 2009

Résumé de cours: Calcul différentiel. 13 novembre 2009 CPGE My Youssef, Rabat «Å ««É ««É ««««º««È ««ö ««««É ««Å ««««««Â «Å ««««««ã : 13 novembre 2009 Blague du jour Pendant une conférence de presse tenue à la Maison Blanche, le président George W.Bush accuse

Plus en détail

Etude des extrema d une fonction

Etude des extrema d une fonction CHAPITRE 3 Etude des extrema d une fonction 1. Extrema : Rappels sur les fonctions d une variable Dans cette section on veut généraliser à plusieurs variable la discussion suivante concernant les fonctions

Plus en détail

LEÇON N 75 : 75.1 Extremums. Pré-requis : Notions de continuité et de dérivabilité ; Formule de Taylor-Young ; f continue m,m f([a,b]) [m,m].

LEÇON N 75 : 75.1 Extremums. Pré-requis : Notions de continuité et de dérivabilité ; Formule de Taylor-Young ; f continue m,m f([a,b]) [m,m]. LEÇON N 75 : Applications de la dérivation à l étude d extrémums éventuels d une fonction numérique d une variable réelle. Exemples. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à

Plus en détail

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité Notations

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES K désigne les corps R ou C. 1 Généralités sur les équations différentielles 1.1 Notion d équation différentielle Définition 1.1 On appelle équation différentielle une équation

Plus en détail

Exercice 9. Soit f : (x, y, z) (x 2 + y 2 )e z. 1. Déterminer les points critiques de f sur R Étudier si f présente un extremum en ces points.

Exercice 9. Soit f : (x, y, z) (x 2 + y 2 )e z. 1. Déterminer les points critiques de f sur R Étudier si f présente un extremum en ces points. Exercice 1. 1. Déterminer les extrema locaux sur R 2 de f : x, y x 2 e x2 +y 2. 2. Déterminer le minimum et le maximum de f sur D = {x, y R 2, x 2 + y 2 1}. Exercice 2. 1. Déterminer les extrema locaux

Plus en détail

5.1 Extremums et points stationnaires

5.1 Extremums et points stationnaires Chapitre 5 Extremums locaux Comme dans le cas des fonctions à une variable, la détermination d extremums locaux d une fonction f : R n R est important en vue des nombreuses applications. 5. Extremums et

Plus en détail

Les fonctions de plusieurs variables (suite)

Les fonctions de plusieurs variables (suite) Les fonctions de plusieurs variables (suite) Exemple d application de ce résultat Comme x x (x, y) (x, y ) et y y (x, y) (x, y ), les applications définies par (x, y) x, (x, y) y sont continues sur R 2

Plus en détail

Résumé 22 : Calcul Différentiel

Résumé 22 : Calcul Différentiel Résumé 22 : Calcul Différentiel E sera un R espace vectoriel normé de dimension n, F un R espace vectoriel normé et Ω un ouvert de E Nous noterons aussi B = e 1,, e n ) une base de E Dans la majorité des

Plus en détail

Calcul Différentiel et Intégral. Examen final - Mardi 13 janvier 2015

Calcul Différentiel et Intégral. Examen final - Mardi 13 janvier 2015 Université Toulouse 3 Année 214-215 Département de Mathématiques L2 Parcours Spécial Calcul Différentiel et Intégral Examen final - Mardi 13 janvier 215 Durée : 2h Aucun document (ni calculatrice, ni téléphone,

Plus en détail

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle DOCUMENT 36 Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle Une propriété importante des fonctions exponentielles est qu elles sont solutions de

Plus en détail

Applications différentiables

Applications différentiables Chapitre 8 Applications différentiables Soit f : I E, où I est une intervalle de R, et E est un espace vectoriel normé réel. On rappelle la définition du vecteur dérivé en a : f (a) = lim (f(a + h) f(a)).

Plus en détail

g(p + Q) = g(p ) + L P (Q) + R(Q)

g(p + Q) = g(p ) + L P (Q) + R(Q) Université Paris Descartes U.F.R. Maths/Info. L3 - MA 212-213 Calcul différentiel Devoirs maison Exercice 1. Soit E = R n [X] muni de la norme P = sup x [,1] P (x). Etudier la différentiabilité de Correction.

Plus en détail

Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47 Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions

Plus en détail

Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La différentielle d une fonction à valeurs réelles

Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La différentielle d une fonction à valeurs réelles Dérivées des fonctions de plusieurs variables suite) 1 La différentielle d une fonction à valeurs réelles Cas des fonctions d une variable fx 0 + h) fx 0 ) i) f est dérivable en X 0 si lim existe h 0 h

Plus en détail

Analyse : Calcul différentiel dans un Banach

Analyse : Calcul différentiel dans un Banach Analyse : Calcul différentiel dans un Banach Table des matières I Définition de la différentiabilité II Différentiabilité en dimension finie 4 1 Dérivées suivant un vecteur, dérivées partielles dans une

Plus en détail

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues.

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. DOCUMENT 23 Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. 1. Introduction et notations Considérons la fonction f : x sin x définie sur R. La valeur 0 n appartient pas à x l ensemble de définition

Plus en détail

Développements limités de fonctions réelles

Développements limités de fonctions réelles Développements limités de fonctions réelles Denis Vekemans 1 Définitions - propriétés Soit n N et P une fonction réelle polynomiale de degré inférieur ou égal à n. La fonction réelle f admet P comme développement

Plus en détail

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Alain Prouté Université Denis Diderot-Paris 7 Dernière révision de ce texte : 21 novembre 2012 Ce texte a été écrit pour le niveau Licence 2. Table des

Plus en détail

CALCUL 1. (x), g (x i ) = f x i

CALCUL 1. (x), g (x i ) = f x i CALCUL 1 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES Dans cette leçon, nous généralisons la notion de dérivée aux fonctions de plusieurs variables. Nous obtenons ainsi un outil très puissant pour l analyse locale de

Plus en détail

Extrema d une fonction de deux variables - Convexité

Extrema d une fonction de deux variables - Convexité Chapitre 5 Extrema d une fonction de deux variables - Convexité 5.1 Introduction : cas des fonctions d une variable réelle Soit f une fonction définie et de classe C 2 sur un intervalle ouvert I (i.e.

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

Les fonctions de plusieurs variables (suite)

Les fonctions de plusieurs variables (suite) . Les fonctions de plusieurs variables (suite) Comme x x (x, y) (x, y ) et y y (x, y) (x, y ), les applications définies par (x, y) x, (x, y) y sont continues sur R 2. D après le théorème précédent les

Plus en détail

1.3 Quelques techniques de calcul des DL

1.3 Quelques techniques de calcul des DL + + +.3 Quelques techniques de calcul des DL.3 Quelques techniques de calcul des DL Théorème.24. (troncation) Soient m et n deux entiers naturels tels que n

Plus en détail

CHAPITRE 2. Courbes paramétrées

CHAPITRE 2. Courbes paramétrées CHAPITRE Courbes paramétrées Dans tout ce chapitre nous choisissons un repère du plan affine ce qui permet d identifier les points du plan avec les éléments de R (par leurs coordonnées) et les vecteurs

Plus en détail

i=1 x iy i On a bien i=1 x2 i > 0 quand x 0.

i=1 x iy i On a bien i=1 x2 i > 0 quand x 0. Chapitre 3 Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens 3.1 Produit scalaire, norme euclidienne Définition 3.1 Soit E un espace vectoriel réel. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Définitions et premières propriétés Définition. Développement limité Soient f une fonction définie au voisinage de a R (éventuellement non définie en a) et n N. On dit que f possède

Plus en détail

Chapitre V. Chapitre V : Bases et dimension

Chapitre V. Chapitre V : Bases et dimension Chapitre V Chapitre V : Bases et dimension Introduction On avait vu au Chapitre IV qu une base pour un espace vectoriel V est une partie à la fois libre et génératrice de V. Les bases constituent un outils

Plus en détail

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone.

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. LEÇON N 6 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. Pré-requis : I est un intervalle si a,b I a b, [a,b] I ; Toute partie non

Plus en détail

UFR DE MATH EMATIQUES ET INFORMATIQUE Licence MIA, L3 Notes de cours Optimisation Georges Koepfler

UFR DE MATH EMATIQUES ET INFORMATIQUE Licence MIA, L3 Notes de cours Optimisation Georges Koepfler UFR DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE Licence MIA, L3 Notes de cours Optimisation Georges Koepfler 26-21 - georgeskoepfler@miparisdescartesfr Table des matières 1 Introduction 1 2 Espace vectoriels normés

Plus en détail

Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés

Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés Table des matières 1 Introduction 2 11 Généralités 2 12 Notion de modèle et de regression linéaire multiple 2 2 Critère des moindres carrés - formulation 2 21 Critère

Plus en détail

Épreuve d analyse numérique

Épreuve d analyse numérique Épreuve d analyse numérique Projections convexes, décomposition, et algorithme de projections alternées Dans tout ce sujet, on se place dans un espace de Hilbert : H désigne un espace vectoriel réel complet

Plus en détail

Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle

Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle 25 Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle Il y a beaucoup de résultats dans cette proposition de leçon (en prévision de questions que pourrait poser le jury). Comme il n

Plus en détail

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

Cours optimisation. Benjamin Monmege. 29 février 2012

Cours optimisation. Benjamin Monmege. 29 février 2012 Cours optimisation Benjamin Monmege 29 février 202 On appelle problème d optimisation la donnée d une instance de la forme minimiser/maximiser f(x) { g i (x) 0 i {,..., m} sous les conditions h j (x) =

Plus en détail

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES Définition On appelle fonction affine par intervalles une fonction f définie et continue sur R pour laquelle il existe une subdivision a 1 < a 2 < < a n telle que

Plus en détail

Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables MTB - ch5 Page 1/19 Fonctions de deux variables I Topologie de R 2 On note R 2 l'ensemble des couples de nombres réels. On assimile R 2 au plan usuel muni d'un repère, en confondant un point géométrique

Plus en détail

Dérivabilité des fonctions réelles

Dérivabilité des fonctions réelles Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d étudier les variations d une fonction, de construire des tangentes à une courbe

Plus en détail

ESTIA 1 e Année - Mathématiques pour l ingénieur Cours du 13 Février 2005 Extrema libres, extrema liés. Jean Esterle

ESTIA 1 e Année - Mathématiques pour l ingénieur Cours du 13 Février 2005 Extrema libres, extrema liés. Jean Esterle ESTIA 1 e Année - Mathématiques pour l ingénieur Cours du 13 Février 2005 Extrema libres, extrema liés Jean Esterle 18 avril 2008 2 Table des matières 1 Ensembles ouverts et fermés, fonctions continues

Plus en détail

Montrer qu il s agit d un produit scalaire, et trouver une base orthogonale pour ce produit scalaire. (x e k ).e k

Montrer qu il s agit d un produit scalaire, et trouver une base orthogonale pour ce produit scalaire. (x e k ).e k Ex 1 Facile Soit un espace préhilbertien réel E et deux vecteurs x,y E. a) Développer l expression y 2.x (x y).y b) Retrouver l inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d égalité. Ex 2 Cours, à faire

Plus en détail

Chapitre 14. Fonctions de deux variables

Chapitre 14. Fonctions de deux variables Chapitre 14 I Continuité d'une fonction de deux variables Dans cette partie, A désigne une partie quelconque de R 2. 1 Dénitions a) Norme euclidienne Dénition 1 La norme euclidienne sur R 2 est l'application

Plus en détail

Fonctions homogènes, concaves et convexes

Fonctions homogènes, concaves et convexes Fonctions homogènes, concaves et convexes Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 16 mars 2014 Fonctions homogènes Définition Soit f : (R +) n R. Soit r R. On dit que f est homogène de degré r si

Plus en détail

LEÇON N 71 : Fonctions exponentielles

LEÇON N 71 : Fonctions exponentielles LEÇON N 71 : Fonctions onentielles Pré-requis : Notions de dérivabilité ; Une fonction dont la dérivée est nulle est constante ; Théorème de Cauchy-Lipschitz pour l existence d une solution d une équation

Plus en détail

Recherche des extremums d une fonction

Recherche des extremums d une fonction DOCUMENT 32 Recherche des etremums d une fonction 1. Introduction De nombreuses situations issues des mathématiques, des sciences epérimentales ou de la vie économique et sociale conduisent à la recherche

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université de Nice SL2M 2009-10 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère l ensemble

Plus en détail

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Corrigé en janvier 2009 Rapidité de convergence d une suite réelle L objectif de ce texte est de se donner des outils pour «mesurer» la rapidité

Plus en détail

Analyse pour l Ingénieur

Analyse pour l Ingénieur Analyse pour l Ingénieur p 2 Analyse pour l Ingénieur Georges KOEPFLER UFR de Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes 45 rue des Saints-Pères 75270 PARIS cedex 06, France Analyse pour

Plus en détail

1 Rappels de calcul différentiel

1 Rappels de calcul différentiel 1 Rappels de calcul différentiel 1.1 Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Assurez-vous de bien comprendre le texte suivant et rappelez les définitions importantes. Un espace vectoriel de

Plus en détail

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5 I Rappels de vocabulaire Suites réelles Définition 1 Une suite réelle u est une application de I R où I est une partie de N. Au lieu de noter u(n), pour les suites on note u n l image de n par l application

Plus en détail

Math206 Equations aux Dérivées Partielles Feuille d Exercices 1

Math206 Equations aux Dérivées Partielles Feuille d Exercices 1 Université de Paris Sud 11 L MPI Mathématiques ème semestre 14/15 Math06 Equations aux Dérivées Partielles Feuille d Exercices 1 NB. Ces exercices, et les corrigés qui suivent, sont issus du site http://www.bibmath.net

Plus en détail

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Chapitre 3 Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables. L objectif est évidemment

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

XVI. Calcul différentiel

XVI. Calcul différentiel 1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles éfinition 1 On appelle fonction de deux variables x et y à valeurs réelles une fonction f d une partie de R 2 et à valeurs dans R : f : R Exemple 1 La fonction

Plus en détail

Limite d une fonction en un point

Limite d une fonction en un point Limite d une fonction en un point Définiton Soit f une fct déf. sur un intervalle I de R, sauf p-ê en a I. l R est la limite de f en a si, quand x I se rapproche de a, f (x) se rapproche de l. Dans ce

Plus en détail

La formule de Taylor et les développements limités

La formule de Taylor et les développements limités La formule de Taylor et les développements ités I) La formule f de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c est-à-dire 1 fois dérivables et à dérivées continues,

Plus en détail

Calcul différentiel. (licence de mathématiques) Sylvie Benzoni

Calcul différentiel. (licence de mathématiques) Sylvie Benzoni Calcul différentiel (licence de mathématiques) Sylvie Benzoni 11 mai 2005 2 3 Chapitre I Différentielle d une fonction 1 Introduction On considère deux R-espaces vectoriels normés E et F, que l on suppose

Plus en détail

Cours d optimisation. Contents. L1 Eco - Analyse 2 T. DUMONT, C. LÉONARD, X. MARY, H. MOHAMED

Cours d optimisation. Contents. L1 Eco - Analyse 2 T. DUMONT, C. LÉONARD, X. MARY, H. MOHAMED L1 Eco - Analyse 2 Cours d optimisation T. DUMONT, C. LÉONARD, X. MARY, H. MOHAMED Contents 1 Semaine 1 : Géométrie................................ 2 1.1 Points et vecteurs de R 2............................

Plus en détail

Formule de Taylor-Lagrange

Formule de Taylor-Lagrange Formule de Taylor-Lagrange Exercice. Soit x un réel strictement positif et f une fonction sur [0, x].. Quelles sont les hypothèses qui permettent d écrire la formule de Taylor-Lagrange pour f sur [0, x]

Plus en détail

CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle

CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle Sommaire 19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée........................... 2 19.1.1 Définitions......................................... 2 19.1.2

Plus en détail

Cours de Calcul Différentiel

Cours de Calcul Différentiel Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Représentation de Jordan

Représentation de Jordan Représentation de Jordan Soit M une matrice carrée réelle de dimension n. On suppose dans ce projet que le polynôme caractéristique de M a n racines réelles. Certaines racines sont multiples. 1 Nombre

Plus en détail

Calcul Différentiel et Intégral

Calcul Différentiel et Intégral L Parcours Spécial Maths - Physique Année 15-16 Calcul Différentiel et Intégral Julien Royer Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables. Normes. 1 1.1 Fonctions de plusieurs variables..........................

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables Exercice 1 On note l'ouvert de défini par 1 3, 3 0,1 et l'application définie sur par :,, ² ² Montrer que est strictement négative sur., 1 1 Pour,, 1 0. Pour 01, 1 0. Comme et

Plus en détail

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit (ABC) un vrai triangle du plan. Pour un point M du plan, on pose

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit (ABC) un vrai triangle du plan. Pour un point M du plan, on pose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le décembre 06 Enoncés Extremum sur compact Exercice [ 0059 ] [Correction] Déterminer le maximum de la fonction f définie sur le compact K = [0 ; ] donnée par f (x,

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Limite d une fonction à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant

Plus en détail