FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION
|
|
- Sylvain Duquette
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 17 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/ Recherche d extremums locaux sur un ouvert Condition nécessaire du premier ordre Conditions du second ordre Cas n = Recherche d extremums globaux et applications Sur un ouvert Cas général Application aux valeurs propres d un endomorphisme symétrique Position du graphe par rapport à l hyperplan tangent Recherche d extremums sous contrainte Notion d extremum sous contrainte Points critiques sous contrainte linéaire Description de H
2 2 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Dans tout le chapitre, n désigne un entier non nul, A une partie non vide de R n, U un ouvert non vide de R n et f : A R une fonction. Dans les situations théoriques où f est définie sur une partie ouverte, on note plutôt U son domaine de définition. La théorie de l optimisation s intéresse aux extremums des fonctions d une ou plusieurs variables. Définition 0.1 Soit A A. On dit que f présente en A : (i) un maximum global (ou absolu) si : X A, f (X) f (A). (ii) un maximum local (ou relatif) s il existe r > 0 tel que : X A B(A, r), f (X) f (A). Remarques 0.2 On dispose bien entendu des définitions correspondantes de minimul global et local. La notion d extremum englobe celle de maximum et de minimum. Si f admet en A A un extremum global, alors elle admet en ce point un extremum local. La fonction f présente en A un extremum si, et seulement si, l expression f (X) f (A) garde un signe constant, éventuellement au voisinage de A. C est souvent ainsi qu on établira l existence d un extremum, en effectuant le changement de variable X = A + H lorsqu on travaille au voisinage de A. Lorsque les inégalités de la définition sont strictes pour X A, on parle d extremum strict en A. 1. Recherche d extremums locaux sur un ouvert 1.1 Condition nécessaire du premier ordre Théorème 1.1 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Si f admet un extremum local en un point A U, alors f (A) = 0. La réciproque est fausse. Exemple 1.2 Déterminer les points critiques puis les extremums locaux de la fonction S agit-il d extremums globaux? f : (x, y) R 2 3xy x 3 y 3. Définition 1.3 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. On appelle point critique de f tout point A U tel que f (A) = 0. Remarques 1.4 Le caractère ouvert de U dans le théorème 1.1 est essentiel. En effet, la fonction f : X X 2, de classe C 1 sur R n, admet sur la boule fermée B (0, r) un maximum qu elle atteint en tout point A de la sphère de centre 0 et de rayon r, alors que son gradient f (A) = 2A n y est pas nul! Le théorème 1.1 peut donc être énoncé ainsi : pour une fonction de classe C 1 sur un ouvert, les points critiques sont les seuls extremum locaux éventuels. Proposition 1.5 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Si A U est point critique de f, alors toutes les dérivées directionnelles de f en A sont nulles : pour tout V R n \ {0}, D V f (A) = Conditions du second ordre Lemme 1.6 On suppose f : U R de classe C 2 sur un ouvert U.
3 Année 2013/2014 Fonctions de plusieurs variables : optimisation 3 Si A est point critique de f, alors f (A + H) f (A) = 1 2 q A(H) + o( H 2 ), H 0 où q A désigne la forme quadratique associée à la matrice hessienne 2 f (A). En s appuyant sur ce résultat, on va faire le lien entre la présence d un extremum local pour f au point A et le signe de q A (H) lorsque H 0. Attention cependant, ce lien n est pas aussi immédiat que pour les fonctions d une variable : f (A + H) f (A) n est pas toujours du signe de q A (H) lorsque H 0. Remarque 1.7 Les développements limités entretiennent avec les équivalents (hors-programme) des liens relâchés pour les fonctions de n 2 variables. Par exemple, la fonction f : (x, y) x 2 y 2 + y 3 présente le développement limité f (x, y) = x 2 y 2 + o ( (x, y) 2), (x, y) (0, 0) mais on ne peut pas en déduire que f (x, y) x 2 y 2 lorsque (x, y) (0, 0). En effet, on observe par exemple que f (t + t 2, t) = (t + t 2 ) 2 t 2 + t 3 = 3t 3 + t 4 3t 3, t 0 n est pas équivalent à (t + t 2 ) 2 t 2 2t 3 lorsque t 0. Le programme énonce une condition suffisante de présence d un extremum local. Théorème 1.8 On suppose que f est de classe C 2 sur un ouvert U. Soient A U un point critique de f et q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A). Sous les conditions équivalentes suivantes : (i) pour tout H 0, q A (H) < 0 (resp. q A (H) > 0) ; (ii) les valeurs propres de la matrice hessienne 2 f (A) sont toutes strictement négatives (resp. strictement positives), la fonction f présente en A un maximum local strict (resp. un minimum local strict). La réciproque est fausse. Exemple 1.9 Extremums locaux de la fonction f : (x, y) R 2 x 4 + y 2. Le résultat ci-dessous, à la limite du programme, fournit une condition nécessaire. Théorème 1.10 On suppose que f est de classe C 2 sur un ouvert U. Soient A U un point critique de f et q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A). Si f présente en A un maximum local (resp. un minimum local), alors les conditions équivalentes suivantes sont satisfaites : (i) pour tout H 0, q A (H) 0 (resp. q A (H) 0) ; (ii) les valeurs propres de la matrice hessienne 2 f (A) sont toutes négatives ou nulles (resp. positives ou nulles). La réciproque est fausse. Exemple 1.11 Extremums locaux de la fonction f : (x, y) R 2 x 3 + y 2. Corollaire 1.12 On suppose que f est de classe C 2 sur un ouvert U. Soient A U un point critique de f et q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A). Sous les conditions équivalentes suivantes : (i) il existe H 1, H 2 R n tels que q A (H 1 ) > 0 et q A (H 2 ) < 0 ; (ii) la matrice hessienne 2 f (A) admet une valeur propre strictement positive et une autre strictement négative, la fonction f ne présente pas en A d extremum local.
4 4 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Exemple 1.13 Le point critique (0, 0, 0) est-il un extremum local pour la fonction f : (x, y, z) R 3 xy + yz + zx xyz? 1.3 Cas n = 2 Dans le cas d une fonction de n = 2 variables, on reformule les énoncés précédents en utilisant les notations de Monge. Théorème 1.14 On suppose que f : U R est de classe C 2 sur un ouvert U de R 2. Soient A U un point critique de f et ( ) r s 2 f (A) = s t la matrice hessienne de f en A. (i) Si rt s 2 > 0, alors f admet au point A un extremum local : un maximum si r < 0 et un minimum si r > 0. (ii) Si rt s 2 < 0, alors la fonction f n admet pas d extremum local en A. (iii) Le cas rt s 2 = 0 est indéterminé. Remarque 1.15 Dans le cas où les deux valeurs propres de la hessienne sont non nulles de signes contraires, on dit qu on a un point selle ou que la fonction présente un col. Exemples 1.16 (i) La fonction f : (x, y) x 2 y 2, représentée ci-dessous, présente un col en (0, 0). z y x (ii) Étudier les extremums locaux de la fonction f : (x, y) R 2 3xy x 3 y 3. (iii) Les exemples 1.9 et 1.11 et montrent que le cas rt s 2 = 0 est indéterminé. 2. Recherche d extremums globaux et applications 2.1 Sur un ouvert La méthode consiste à rechercher d abord les extremums locaux en utilisant les techniques développées dans le paragraphe précédent, puis à vérifier s il s agit d extremums globaux. Il est des situations où des majorations/minorations simples peuvent suffire. On peut également utiliser le résultat suivant. Théorème 2.1 On suppose f : U R de classe C 2 sur un ouvert convexe U. Si la forme quadratique q A associée à la hessienne 2 f (A) est négative (resp. positive) en tout point A U, alors tout point critique de f en est un maximum global (resp. minimum global).
5 Année 2013/2014 Fonctions de plusieurs variables : optimisation 5 Exemple 2.2 Déterminer les extremums globaux de la fonction f : (x, y) R + R + x 2 + y x + y. 2.2 Cas général On a admis dans un précédent chapitre le résultat théorique suivant, qui donne l existence d extremums globaux sous certaines hypothèses sur le domaine de définition. Théorème 2.3 Toute fonction f : K R continue sur une partie K fermée, bornée et non vide de R n est bornée et atteint ses bornes (donc admet un minimum et un maximum). Remarque 2.4 On peut appliquer le résultat précédent à la restriction g d une fonction f : A R à une partie K fermée, bornée et non vide incluse dans A. Mais attention, les extremums globaux de g ne sont pas toujours des extremums globaux de f! La même remarque vaut pour un prolongement de f à une partie fermée, bornée et non vide contenant A. Pour étudier les extremums globaux d une fonction f : A R, on commence donc si possible par justifier l existence des maximum et minimum globaux en se ramenant en situation d appliquer le théorème précédent (ou on justifie qu ils n existent pas et le problème est réglé). Il s agit ensuite de déterminer les points en lesquels ces extremums globaux sont atteints. On introduit pour cela l intérieur U de A, qui est le plus grand ouvert (au sens de l inclusion) inclus dans A (on peut le définir proprement comme la réunion des ouverts inclus dans A). Les extremums globaux de f sont alors atteints sur l intérieur de A et/ou sur son complémentaire dans A, lui-même inclus dans ce qu on appelle le bord ou la frontière de A (l ensemble des points adhérents mais non intérieurs à A). Sur l intérieur de A, les extremums sont à rechercher parmi les points critiques. On recherche donc ces points critiques et on calcule la valeur de f en ces points (il n est pas nécessaire de vérifier s il s agit d extremums locaux!). On observera en pratique que le bord de A peut en général être paramétré avec une variable de moins que A. On est donc face au même problème (recherche d extremum) que l on réduit de la même façon jusqu à arriver à un bord paramétré par une seule variable ; il est alors possible d étudier les variations de f sur ce bord et donc d en déterminer les extremums. On obtient ainsi les seuls extremums éventuels. L existence des extremums globaux étant acquise, il ne reste alors qu à comparer la valeur de f aux points précédemment obtenus. Exemple 2.5 Minimum et maximum globaux de la fonction sur l ensemble f : (x, y) R 2 x 2 + y 2 xy + x + y A = {(x, y) R 2 : x + y 3, x 0, y 0}. 2.3 Application aux valeurs propres d un endomorphisme symétrique Étant donnée une matrice A M n (R) symétrique, l étude des extremums globaux de la fonction ϕ : X R n t XAX \ {0} t XX permet de démontrer le résulat suivant, à la base du théorème de diagonalisation des matrices symétriques réelles. Théorème 2.6 Toute matrice symétrique réelle admet au moins une valeur propre (réelle).
6 6 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles 2.4 Position du graphe par rapport à l hyperplan tangent On suppose la fonction f : U R de classe C 2 sur un ouvert U. Dans U R R n+1, le graphe de f a pour équation y = f (x 1,..., x n ) et son hyperplan tangent au point A : y = f (A) + n f (a)(x j a j ). x j C est donc le signe de l expression j=1 f (x 1,..., x n ) f (A) n j=1 f x j (A)(x j a j ) qui donne la position du graphe par rapport à l hyperplan tangent. L expression précédente est égale à g(x) g(a) si l on définit la fonction g : X U f (X) n f (A)x j = f (X) f (A), X. x j j=1 Il s agit donc de savoir si la fonction g présente un extremum au point A. Après avoir observé que g présente en A un point critique et que 2 g = 2 f, on pourra donc s appuyer sur les résultats précédents, tant locaux que globaux. Proposition 2.7 Si l une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite : (i) pour tout H 0, q A (H) > 0 (resp. q A (H) < 0) ; (ii) les valeurs propres de la matrice hessienne 2 f (A) sont toutes strictement positives (resp. strictement négatives), alors le graphe de f est localement au-dessus (resp. en-dessous) de son hyperplan tangent en A. Exemple 2.8 Déterminer une équation de l hyperplan tangent au graphe de la fonction f : (x, y) R 2 x 3 y 3 + 3xy + x + y au point A = ( 1, 1) puis étudier les positions relatives du graphe et de l hypeprlan tangent au voisinage de A. Remarque 2.9 On notera en particulier que si la matrice symétrique 2 f (A) est positive en tout point d un ouvert convexe, alors le graphe de f est au-dessus de chacun de ses hyperplans tangents. 3. Recherche d extremums sous contrainte Dans tout le paragraphe, on considère une fonction f : A R. 3.1 Notion d extremum sous contrainte Définition 3.1 Soient C une partie de R n telle que A C et A A C. On dit que f présente un extremum sous la contrainte C au point A si sa restriction f A C admet un extremum au point A. Lorsqu il est possible de paramétrer la contrainte C avec moins de variable que A, l étude des extremums sous contrainte se ramène à un problème d extremum classique. Exemple 3.2 Extremums de la fonction f : (x, y) R 2 xe x y sous la contrainte C = {(x, y) R 2 : y = x 2 }. La suite du cours est consacrée aux problèmes d extremums sous contrainte linéaire.
7 Année 2013/2014 Fonctions de plusieurs variables : optimisation 7 Définition 3.3 Une contrainte C R n est dite linéaire si elle s écrit comme l ensemble des solutions d un système linéaire donné a 1,1 x a 1,n x n = b 1 C :. (3.1) a p,1 x a p,n x n = b p pour des réels a i,j, 1 i p, 1 j n, et b i, 1 i p. Remarques 3.4 En introduisant, pour tout i 1, p, la fonction g i : (x 1,..., x n ) R n a i,1 x a i,n x n, la contrainte C est l intersection des hyperplans affines d équations g i (X) = b i, 1 i p. Si H = i Ker g i désigne l ensemble des solutions du système homogène associé et si X 0 est une solution particulière du système complet, i.e. un élément particulier de C, alors C est l ensemble des éléments de la forme X = X 0 + H avec H H. Réciproquement, on peut démontrer que tout sous-espace affine de R n (i.e. tout translaté d un sousespace vectoriel) est une contrainte (admissible pour peu qu il rencontre A). 3.2 Points critiques sous contrainte linéaire On considère une contrainte linéaire ; on conserve les notations introduites à la fin de la section précédente. Proposition-Définition 3.5 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Soit A U C. Si f admet en A un extremum local sous la contrainte C, alors V H, D V f (A) = 0, ce qui signifie que f (A) H. On dit dans ces conditions que A est un point critique de f sous la contrainte C. La réciproque est fausse. Remarque 3.6 La condition énoncée étant seulement nécessaire, une étude supplémentaire au voisinage de chaque point critique sous contrainte doit être effectuée pour savoir s il s agit d un extremum sous contrainte ; on pourra pour cela adapter les résultats des deux premiers paragraphes (aucun résultat ne figure au programme). Ainsi, pour une fonction f de classe C 2, en notant q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A), on peut établir les résultats suivants. Si q A (H) < 0 (resp. q A (H) > 0) pour tout H H \ {0}, alors f présente en A un maximum local (resp. un minimum local) sous la contrainte C d après la formule de Taylor-Young. Si U est convexe et q A (H) 0 (resp. q A (H) 0) pour tout A U et tout H H, le théorème de Taylor- Lagrange montre que f présente un maximum global (resp. un minimum global) sous la contrainte C en tout point critique. Exemple 3.7 Extremums de la fonction sous la contrainte linéaire x + y + z = 1. f : (x, y, z) R 3 xy + yz + zx 3.3 Description de H On reprend à nouveau les notations introduites à la fin de la première section pour une contrainte linéaire. Les fonctions g i étant affines, leur gradient est constant. Proposition 3.8 On a H = Vect( g 1,..., g p ).
8 8 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Corollaire 3.9 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Soit A U C. Si f admet en A un extremum sous la contrainte C, alors il existe des réels λ 1,..., λ p tels que p f (A) = λ i g i. La réciproque est fausse. Remarques 3.10 Lorsque la famille (g 1,..., g p ) est libre, les réels λ 1,..., λ p sont uniques ; on les appelle alors multiplicateurs de Lagrange. La paramétrisation précédente est intéressante dans des situations théoriques et peut en pratique faciliter les calculs. Exemple 3.11 Déterminer les extremums de la fonction i=1 f : (x, y, z, t) R 4 x 2 + y 2 + z 2 + t 2 sous la contrainte { x + y + z t = 3 2x y + z + t = 6.
Optimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailCalcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3
Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailCours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailThéorèmes de Point Fixe et Applications 1
Théorèmes de Point Fixe et Applications 1 Victor Ginsburgh Université Libre de Bruxelles et CORE, Louvain-la-Neuve Janvier 1999 Published in C. Jessua, C. Labrousse et D. Vitry, eds., Dictionnaire des
Plus en détailLicence de Mathématiques 3
Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailLES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1
Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détail1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailSujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours
Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détail6 Equations du première ordre
6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R
Plus en détailANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1
ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailProgrammation Linéaire - Cours 1
Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détail