Extrema d une fonction de deux variables - Convexité

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1 Chapitre 5 Extrema d une fonction de deux variables - Convexité 5.1 Introduction : cas des fonctions d une variable réelle Soit f une fonction définie et de classe C 2 sur un intervalle ouvert I (i.e. f est dérivable deux fois et sa dérivée seconde est continue sur I) Si f admet un extremum en x 0 alors la dérivée f Õ vérifie f Õ (x 0 )=0: la tangente à C f au point (x 0,f(x 0 )) est alors horizontale : cette condition est une condition nécessaire, mais non su sante, ainsi de la fonction «cube» dont la courbe est représentée cidessous : Figure 5.1 Courbe de la fonction x æ 0, 1x 3 5

2 6 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ On appelle la condition (nécessaire) «f Õ (x 0 )=0» condition du premier ordre. Un réel x 0 tel que f Õ (x 0 )=0est appelé point stationnaire (en mécanique cela correspond aux instants où la vitesse s annule) Cette proposition n est toutefois vraie que pour des points intérieurs au domaine de définition de f : c est pourquoi, les domaines étudiés dans ce cours seront toujours ouverts. Pour déterminer une condition su sante pour que f admette un extremum en x 0, il faut étudier la dérivée seconde de f : Observons les deux cas de figure : Figure 5.2 Un exemple

3 5.1. INTRODUCTION : CAS DES FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE 7 1. Étude de f au voisinage de x = 3 2. Étude de f au voisinage de x =1 x f 3 f( 3) x 1 f(1) f f Õ (x) 0 + f Õ 0 f Õ (x) + 0 f Õ 0 f ÕÕ (x) + f ÕÕ (x) La dérivée est négative avant 3 puis positive après 3 : f Õ est donc strictement croissante : donc sa dérivée est positive : i.e. sur un intervalle ouvert contenant 3, f ÕÕ (x) > 0 La dérivée est positive avant 1 puis négative après 1 : f Õ est donc strictement décroissante : donc sa dérivée est négative : i.e. sur un intervalle ouvert contenant 1, f ÕÕ (x) < 0 De façon plus générale, Théorème 1. Soient f une fonction définie et de classe C 2 ouvert I, et x 0 œ I f admet un maximum (local) en x 0 si et seulement si : sur un intervalle f Õ (x 0 )=0 et f ÕÕ (x 0 ) < 0 f admet un minimum (local) en x 0 si et seulement si : f Õ (x 0 )=0 et f ÕÕ (x 0 ) > 0 Lorsque f Õ (x 0 )=0, on appelle la condition «f ÕÕ (x 0 ) = 0» condition su - sante du second ordre

4 8 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ 5.2 Extremum libre d une fonction de deux variables Définition 1. Soit f définie sur un ouvert et x 0 œ. On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) absolu ou global au point M 0 (x 0,y 0 ) si (x, y) œ,f(x, y) Æ f(x 0,y 0 ) 1 resp. f(x, y) Ø f(x 0,y 0 ) 2 On dit que f admet un maximum (resp minimum) relatif au point M 0 (x 0,y 0 ) s il existe un voisinage V 0 de x 0 tel que (x, y) œ fl V 0,f(x, y) Æ f(x 0,y 0 ) 1 resp. f(x, y) Ø f(x 0,y 0 ) 2 Un extremum (ou optimum) de f est un minimum ou un maximum de f Conditions nécessaires du premier ordre (CN1) Géométriquement, si f admet un extremum au point M 0 (x 0,y 0 ) alors le plan tangent au graphe G f de f au point M Õ 0(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) est horizontal Z X Y Figure 5.3 Extremum et plan tangent horizontal

5 5.2. EXTREMUM LIBRE D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES 9 Théorème 2. Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert. Si f admet un extremum au point M 0, alors æ grad f(m 0 )= æ 0 : cette condition est appelée condition nécessaire du premier ordre (CN1). Définition 2. On appelle point stationnaire de f tout point M(x, y) œ que æ grad f(m) = æ 0 tel Exemple 1 Soit f définie sur R 2 par f(x, y) = (xy 2 +2x 2 + y 2 ). Déterminer les points stationnaires de f.... f possède 3 points stationnaires M 0 (0; 0), M 1 ( 1; 2) et M 2 ( 1; 2) :cependant on peut voir que certains d entre eux ne sont pas des optima. Figure 5.4 Exemple 1

6 10 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ Conditions su santes du second ordre (CS2). Soient f une fonction de classe C 2 sur un ouvert On note æ m = A B h le vecteur accroissement à partir de M 0 k et M 0 (x 0,y 0 ) un point de On note f l accroissement de f induit par le déplacement de M 0 (x 0,y 0 ) en M(x 0 + h, y 0 + k), i.e. f = f(m) f(m 0 )=f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0,y 0 ) On admet que : f = ˆf ˆx (x 0,y 0 ) h + ˆf ˆy (x 0,y 0 ) k A ˆx 2 (x 0,y 0 ) h 2 +2 ˆxˆy (x 0,y 0 ) hk + ˆy 2 (x 0,y 0 ) k 2 B + o 1 æ m 22 où o 1 æ m 22 est une fonction négligeable devant æ m 2 = h 2 + k 2. Cette expression est le développement limité (de Taylor) à l ordre 2 de la fonction f au voisinage de M 0. Supposons que M 0 soit un point stationnaire : ˆf ˆx (x 0,y )=ˆf 0 ˆy (x 0,y 0 )=0, donc : f = 1 A B 2 ˆx (x 0,y 2 0 ) h 2 +2 ˆxˆy (x 0,y 0 ) hk + ˆy (x 0,y 2 0 ) k 2 +o 1 æ m 22 Et le signe de f est celui de ˆx (x 0,y 2 0 ) h 2 +2 ˆxˆy (x 0,y 0 ) hk + ˆy 2 (x 0,y 0 ) k 2 dès lors que h 2 + k 2 est su Posons samment petit. r = ˆx 2 (x 0,y 0 ), s = ˆxˆy (x 0,y 0 ), t = ˆy 2 (x 0,y 0 )

7 5.2. EXTREMUM LIBRE D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES 11 On obtient alors : ˆx (x 0,y 2 0 ) h 2 +2 ˆxˆy (x 0,y 0 ) hk + = r h 2 +2s hk + t k 2 Q = k 2 ar A B 2 h +2s h k R k + t b ˆy 2 (x 0,y 0 ) k 2 = k 2 1 r 2 +2s + t 2 avec = h k Ce qui permet d a rmer que le signe de f est celui de r 2 +2s + t = P ( ) que l on considère comme un trinôme en la variable. Soit =4s 2 4r.t =4(s 2 rt) le discriminant de P ( ). f admet un extremum en M 0 si et seulement si f est de signe constant sur V 0. D après ce qui précède, f est de signe constant sur V 0 si P ( ) est de signe constant sur V 0 : un trinôme est de signe constant si et seulement si son discriminant est strictement négatif, et si c est le cas, le signe de P ( ) (ou de f) est le signe de r. Théorème 3. Soit M 0 un point stationnaire d une fonction f de classe C 2 sur un ouvert. Posons : r = ˆx 2 (x 0,y 0 ), s = ˆxˆy (x 0,y 0 ), t = ˆy 2 (x 0,y 0 ) 1. Si s 2 rt < 0, alors f admet un extremum local en M 0 (a) Si r>0, f admet un minimum local en M 0 (b) Si r<0, f admet un maximum local en M 0 2. Si s 2 rt > 0, alors G f présente un point col (ou point selle) en M 0 (voir figure du paraboloïde hyperbolique) 3. Si s 2 rt =0, on ne peut pas conclure sur la nature du point M 0, sauf à poursuivre les calculs et faire un développement limité de f à un ordre supérieur ou égal à 3 (hors programme).

8 12 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ Z Y X Figure 5.5 Paraboloïde hyperbolique Définition 3. Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert. Si M 0 (x 0,y 0 ) œ est un point stationnaire de f, la condition «s 2 rt < 0» est dite condition su sante du second ordre (ou CS2). Exemple 2 Revenons à l étude de f définie sur R 2 par f(x, y) = (xy 2 +2x 2 +y 2 ). Étudier la nature des points stationnaires de f. Exemple 3 Soit f définie sur R 2 par f(x, y) =(x 2 +y 2 ) 2 2(x 2 y 2 ). Déterminer les extrema de f Figure 5.6 Figure exemple 3

9 5.3. CONVEXITÉ Convexité Barycentre de n points pondérés Définition 4. Un point pondéré de R 2 est un couple (M, ) où M est un point de R 2 et un réel (non nul). Définition 5. Soit n Ø 1, On considère n points pondérés (M 1, 1 ), (M 2, 2 ),, (M n, n ) nÿ de R 2 tels que m = i =0. Il existe un unique point G de R 2 tel que 1 æ GM æ GM n æ GM n = nÿ i æ GM i = æ 0 (ú) Ce point G s appelle le barycentre des n points pondérés (M i, i ),iœ [[1,n]. Proposition 1. Pour tout point M du plan, on a æ MG = 1 A n B ÿ æ i MM i m Remarque : Parfois on utilise une autre formulation, en posant i = i m,iœ [[1,n] : le barycentre G est l unique point du plan tel que pour tout point M du plan, æ MG = nÿ i æ MM i où nÿ i =1 Propriété 1. Dans le plan muni d un repère (O, æ i, j), les coordonnées (x G,y G ) de G sont Y _] _[ x G = 1 nÿ i x i m y G = 1 nÿ i y i m où (x i,y i ) sont les coordonnées du point M i,iœ [[1,n]

10 14 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ Exemple 4 La moyenne arithmétique (notée x) d une variable statistique discrète est le barycentre de ses valeurs x i a ectées des fréquences f i,iœ [[1,n] nÿ x = f i x i Exemple 5 Barycentre de deux points pondérés Soient A et B deux points de R 2, alors le segment [AB] est l ensemble des barycentres de A et B a ectés des coe cients et 1, où œ [0; 1] M(x, y) œ [AB] œ [0; 1] tel que I x = xa +(1 )x B y = y A +(1 )y B Proposition 2. associativité du barycentre Soit G le barycentre des n points nÿ pondérés (M i, i ),iœ[[1,n] (où m = i =0) pÿ Soit 1 <p<ntel que m Õ = i =0 Alors G est également le barycentre des points (G Õ,m Õ ), (M p+1, p+1 ),, (M n, n ) i.e. on peut remplacer p points M i par leur barycentre «partiel» G Õ a ecté du coe cient m Õ.

11 5.3. CONVEXITÉ Parties convexes de R 2 Définition 6. Une partie A du plan R 2 (ou de l espace R 3 ) est dite convexe lorsqu elle vérifie la propriété suivante : Pour tous points M et N de A, le segment [MN] est contenu entièrement dans A Partie convexe du plan M N Partie non convexe du plan N M Figure 5.7 Convexité Exemple 6 Soient a, b et c trois réels : P = {(x, y) œ R 2 / ax + by > c} est une partie convexe de R 2 Proposition 3. L intersection d un nombre fini de parties convexes est une partie convexe Admis Remarque : La réunion de deux parties convexes n est pas en général convexe. (figure) Cas des fonctions d une variable réelle Définition 7. Une fonction d une variable réelle f définie sur UN intervalle I est dite convexe si la portion du plan située au dessus de sa courbe représentative (ou épigraphe) est convexe.

12 16 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ Une fonction f est dite concave lorsque f est convexe. Figure 5.8 Fonction non convexe / convexe Propriété 2. Soit f une fonction d une variable réelle définie sur un intervalle I. f est convexe si et seulement si (a, b) œ I I, t œ [0, 1], f(ta +(1 t)b) Æ tf(a)+(1 t)f(b) Figure 5.9 Fonction convexe Proposition 4. Inégalité de Jensen

13 5.3. CONVEXITÉ 17 Soient f une fonction convexe sur un intervalle I de R, (x 1,x 2,,x n ), n réels nÿ de I et ( 1, 2,, n ) n réels de [0; 1] tels que i =1, alors f( 1 x x n x n ) Æ 1 f(x 1 )+ 2 f(x 2 )+ + n f(x n ) Admis De plus, cette inégalité est une égalité lorsque x 1 = x 2 = = x n Proposition 5. Croissance des pentes Soit f une fonction d une variable réelle définie sur I à valeurs dans R. On a l équivalence : i. f est convexe. ii. Pour tous réels a, b et c de I tels que a<b<c, on a : f(b) f(a) b a Æ f(c) f(a) c a Æ f(c) f(b) c b iii. Pour tout réel a œ I, la fonction a : I r {a} æ R x æ f(x) f(a) est croissante. x a Figure 5.10 Croissance des Pentes

14 18 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ Théorème 4. cas des fonctions dérivables Soit f une fonction d une variable réelle définie sur I à valeurs dans R. (i) Si f est dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si f Õ est croissante sur I. (ii) Si f est deux fois dérivable, alors f est convexe si et seulement si f ÕÕ est positive ou nulle sur I. Remarque : la seconde assertion est de façon évidente un cas particulier de la première Preuve : Ce théorème est admis Exemple 7 Montrer que la fonction exponentielle est convexe sur R et que la fonction logarithme népérien est concave sur R ú +. Exemple 8 Montrer que pour tous a et b strictement positifs, a + b 2 Ø Ô ab Théorème 5. Conséquence graphique : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I : alors f est convexe si et seulement si C f est située au-dessus de chacune de ses tangentes : Preuve : admis Conséquence : Soit f une fonction d une variable réelle, convexe, définie et (au moins) dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit x 0 œ I tel que f Õ (x 0 )=0alors f atteint son minimum (sur I) enx 0 Exemple 9 Soit f définie sur R par f(x) =x 4. Pour tout réel x, f Õ (x) =4x 3 et f ÕÕ (x) =12x 2. f possède un unique point stationnaire x 0 =0, mais on ne peut pas conclure avec la CS2 : cependant f est convexe (car x œ R,f ÕÕ (x) Ø 0) donc f admet un minimum en x 0 =0

15 5.3. CONVEXITÉ Cas des fonctions de deux variables réelles Définition 8. Une fonction de deux variables réelles f définie sur un ouvert est dite convexe si la portion de l espace située au dessus de son graphe représentatif (ou épigraphe) est convexe. Une fonction est dite concave lorsque f est convexe. Remarque : L épigraphe est défini par E F = {(x, y, z) œ R 3 / (x, y) œ etz Ø f(x, y)} L exemple le plus clair est celui du paraboloïde d équation cartésienne z = x 2 + y Z Y X Figure 5.11 Paraboloïde Théorème 6. Soit f une fonction définie et de classe C 1 sur une partie convexe de R 2. Alors f est convexe si et seulement si son graphe G f est situé au-dessus de tout plan tangent à G f (x, y) œ, (x 0,y 0 ) œ, Autrement dit f(x, y) Ø f(x 0,y 0 )+ˆf ˆx (x 0,y 0 )(x x 0 )+ˆf ˆy (x 0,y 0 )(y y 0 ) (x 0,y 0 ) œ, (x, y) œ, f Ø æ M 0 M æ grad f(x 0,y 0 )

16 20 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ Théorème 7. Soit f une fonction définie et de classe C 2 sur une partie convexe de R 2. Pour tout (x, y) œ, posons : r = (x, y), ˆx s 2 = (x, y), ˆxˆy t = (x, y) ˆy2 1. La fonction f est convexe si et seulement si pour tous (x, y) œ, s 2 rt Æ 0 et r Ø 0 et t Ø La fonction f est concave si et seulement si pour tous (x, y) œ, s 2 rt Æ 0 et r Æ 0 et t Æ 0. Remarque : Si s 2 rt < 0 alors f est convexe si et seulement si r Ø 0 (alors t Ø 0 nécessairement) Si s 2 rt =0, on doit considérer deux cas : - Si s = 0, f est convexe si et seulement si r>0 (alors t>0 nécessairement) - Si s =0, f est convexe si et seulement si 1 r>0 et t =0 2 ou 1 r =0et t>0 2. Exemple 10 Soit f définie sur R 2 par f(x, y) =x + y 2. Justifier que f est convexe sur R 2. Exemple 11 Exemple du paraboloïde de révolution d équation f(x, y) =x 2 +y 2 : Montrer que f est convexe. Exemple 12 Soit f définie par f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). Déterminer le domaine de définition de f, puis étudier la convexité de f sur un domaine convexe de. Figure 5.12 Exemple 12

17 5.4. EXTREMA LIÉS OU AVEC CONTRAINTE(S) 21 Corollaire 1. Soit f une fonction définie et de classe C 2 sur une partie convexe de R 2, et M 0 (x 0,y 0 ) un point stationnaire de f. Si f est convexe (respectivement concave) au voisinage de M 0, alors f admet un minimum local (resp. un maximum local) en M 0 Exemple 13 Soit f définie sur R 2 par f(x, y) = ln(x 2 + y 2 +1). Étudiez la nature du (ou des) point(s) stationnaire(s) de f. Figure 5.13 Exemple Extrema liés ou avec contrainte(s) Problématique : Soient f et g deux fonctions de deux variables de classe C 1. On cherche à déterminer les extrema relatifs de f lorsque x et y sont liées par la relation g(x, y) =0appelée contrainte. Autrement dit, on cherche à déterminer les extrema de f lorsque le point M(x, y) se déplace sur la courbe de niveau 0 de g. Méthode de détermination des points stationnaires 1. On se ramène à l étude d une fonction d une variable : Si la contrainte g(x, y) =0permet de définir implicitement (et facilement) y en fonction de x, on remplace y par y(x) dans l expression de f, on est ramené alors à l étude des extrema de la fonction d une variable F définie par F (x) =f(x, y(x)).

18 22 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ Exemple 14 Soient f et g deux fonctions définies sur R 2 par f(x, y) =xy et g(x, y) =y + x 2 4. Justifiez que la contrainte g(x, y) =0permet de définir implicitement y en fonction de x, puis déterminer les extrema relatifs de f sous la contrainte g(x, y) =0. Exemple 15 Un produit Q est obtenu à partir de deux paramètres : le travail X et le capital Y. La quantité produite q de Q est donnée par : q =3x 2 3 y 1 3 où x et y sont les quantités de travail et de capital. On suppose que le coût unitaire du travail est de 3 (unités de compte), le coût unitaire du capital de 1 et que le coût de fabrication est égal à 10. Donner l expression mathématique de la contrainte, puis déterminer la production optimale. Exemple 16 Extrait du partiel de juin 2012 Les questions 1 et 2 sont indépendantes Soit f la fonction définie sur R 2 par f(x, y) =x 3 + y 3 +3xy. 1. Dans cette question, on recherche les extrema libres éventuels de f 1. Calculer les dérivées partielles premières de f, puis montrer que f possède deux points stationnaires. 2. Calculer les dérivées partielles secondes de f, puis déterminer la nature de chacun des points stationnaires de f. Soit f la fonction définie sur R 2 par f(x, y) =x 3 + y 3 +3xy. 2. On étudie cette fois les extrema éventuels de f sous la contrainte g(x, y) =x + y 2=0 1. Montrer que la contrainte définit implicitement y en fonction de x. 2. Étudier les variations de la fonction F définie par F (x) =f(x, y(x)). (On rappelle l identité remarquable : (a b) 3 = a 3 3a 2 b +3ab 2 b 3 ) 3. Conclure.

19 5.4. EXTREMA LIÉS OU AVEC CONTRAINTE(S) On utilise la colinéarité des vecteurs gradients æ grad g(m 0 ) et æ grad f(m 0 ) Théorème 8. Soient f et g deux fonctions de deux variables de classe C 1 sur. On note la courbe d équation g(x, y) =0. Soit M 0 (x 0,y 0 ) œ fl tel que grad æ g(x 0,y 0 ) = æ 0. Si M 0 (x 0,y 0 ) est un extremum relatif de f sous la contrainte g(x, y) =0, alors les vecteurs grad æ g(m 0 ) et æ grad f(m 0 ) sont colinéaires. Théorème 9. Soient f et g deux fonctions de deux variables de classe C 1 sur. Si f admet un extremum relatif en M 0 sous la contrainte g(x, y) =0alors (x 0,y 0 ) est solution du système : Y _] _[ ˆf ˆx (x, y).ˆg ˆy (x, y) ˆf ˆy ˆg (x, y). (x, y) = 0 ˆx g(x, y) = 0 Exemple 17 Déterminer les extrema liés de f définie sur R 2 par f(x, y) =x 2.y +30 sous la contrainte g(x, y) =x 2 + y 2 12 = 0 Interprétation géométrique : Le vecteur æ grad f(m 0 ) est un vecteur normal à la ligne de niveau If c où c = f(x 0,y 0 ) Le vecteur grad æ g(m 0 ) est un vecteur normal à la tangente en M 0 à la courbe d équation g(x, y) =0 Selon le théorème, si M 0 est un point stationnaire, c est un point où la courbe et la ligne de niveau If c sont tangentes. Sur la figure ci-dessous, on représenté le graphe de la fonction f : (x, y) æ x 2.y +30(le +30 n est là que pour des raisons de lisibilité) les courbes de niveau 14 et 46 Ó et sur le graphe on a aussi représenté la courbe des contraintes, i.e. l ensemble (x, y, z) /x 2 + y 2 12 = 0 et z = f(x, y) Ô

20 24 CHAPITRE 5. EXTREMA D UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES - CONVEXITÉ 14 Z X Y Figure 5.14 Exemple 17

21 5.4. EXTREMA LIÉS OU AVEC CONTRAINTE(S) 25 Étude de la nature du point stationnaire Exemple 18 Reprenons l énoncé précédent : étude des extrema liés de f définie par f(x, y) =x 2.y +30 sous la contrainte g(x, y) =x 2 + y 2 12 = 0. On a vu qu il y avait 6 points stationnaires : pour chacun d entre eux, on calcule la valeur de f f(0; 2 Ô 3) = f(0; 2 Ô 3) = 30, f( 2 Ô 2; 2) = f(2 Ô 2; 2) = 46 et f( 2 Ô 2; 2) = f(2 Ô 2; 2) = 14 Compte tenu de ces valeurs, f n atteint pas un extremum ni en A ni en B. Étude de la nature de F (2 Ô 2; 2) On étudie le signe de f(2 Ô 2; 2) = f(2 Ô 2+h;2 + k) f(2 Ô 2; 2) sous la contrainte liée g(2 Ô 2+h;2+k) =(2 Ô 2+h) 2 +(2+k) 2 12 = 0 pour (h, k) proche de (0; 0). Étude de la nature de E(2 Ô 2; 2) f(2 Ô 2; 2) = f(2 Ô 2+h; 2+k) f(2 Ô 2; 2) sous la contrainte liée g(2 Ô 2+ h; 2+k) =(2 Ô 2+h) 2 +( 2+k) 2 12 = 0 pour (h, k) proche de (0; 0). Exemple 19 extrait du partiel de mai 2012 Soient f et g les fonctions définies sur R 2 par f(x, y) = 2xy, etg(x, y) = x 2 + y Définir, puis tracer les courbes de niveau 2 et 2 de f, notées L 2 et L Définir puis tracer sur ce même repère la courbe d équation g(x, y) =0. 3. Calculer les dérivées partielles premières de f, puis celles de g. 4. On cherche les extrema relatifs de f sous la contrainte g(x, y) =0. (a) Déterminer les points M(x, y) de la courbe pour lesquels les vecteurs gradients æ grad f(x, y) et æ grad g(x, y) sont colinéaires. (b) On considère le point A(1; 1). Montrer que pour tout (x, y) œ f(1, 1) = (x y) 2. Conclure., f(x, y) (c) On considère le point B( 1, 1). Par une méthode analogue à la précédente, montrer que f admet un minimum relatif sous la contrainte g(x, y) =0au point B.