Logique des prédicats

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1 Logique des prédicats Damien Nouvel Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 1 / 17

2 Plan 1. Histoire et définitions 2. Manipulation de formules Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 2 / 17

3 Propositions vs prédicats Avantages et inconvénients la logique des propositions + Formalisation logique solide + Possibilité de démonstrations + Monde clos - Pas de fonctions - Pas de catégories - Pas de formules génériques Exemple Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom. On sait que le père d un père s appelle un grand-père. Qui est le grand-père de Tom? ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions! ñ Logique des prédicats étend la logique des propositions Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 3 / 17

4 Quantité et qualité des formules On peut qualifier les propositions selon Leur quantité : universelle vs particulière Extension (ou dénotation) ñ Ensemble d individus dans le dans le domaine du discours ñ Par ex. : homme Ñ damien _ pierre _ paul _ jacques... Compréhension (ou intention) ñ Ensemble de caractères ñ Par ex. : homme(x) Ñ humain(x) ^ male(x) Leur qualité : affirmative ou négative Carré logique (Aristote) Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 4 / 17

5 Éléments Élements pour la logique des prédicats : Variables et constantes V = tx, Y, Z...u et C = ta, b, c, pierre, paul, jacques...u Négation et connecteurs logiques, ^, _, Ñ, Ø Prédicats p(x), q(x, z), maries(x, y), pere(x, y), cousin(x, y) Application vers les valeurs de vérités Fonctions f(x), g(x, y), mari(x), pere(x) Application vers le domaine (universel) et D (existentiel) Opérateurs unaires sur les variables, ayant une portée ñ Exemple de formule = y ^ aime(y, x)) Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 5 / 17

6 Mécanisme de prédication Appliqués à un ou plusieurs individus Résultat toujours vrai ou faux Interprétation générale Unaire : catégorie (attribut, propriété) d un individu Binaire : relation entre individus Ternaire, quaternaire n-aire Souvent associée aux verbes (vs constantes pour les noms) Modélisation Félix est un chat : chat(felix) Paul est président : president(paul) Paul joue avec Jeanne : jouer(paul, jeanne) Paul emprunte un livre à Marie : emprunt(paul, livre, jeanne) Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 6 / 17

7 Définitions Termes Toute variable Toute fonction f(x, y, z) si x, y et z sont des termes Formule atomique Si p est un prédicat à n arguments et X 1, X 2,... X n sont des termes, alors P(X 1, X 2,... X n ) est une formule atomique Formule bien formée Si F une formule est atomique elle est bien formée Récursivité : F, (F), F ^ G, F _ G, F Ñ G, F Ø G Si Q est un quantificateur, X une variable et F une formule bien formée, alors QXF est bien formée Portée des quantificateurs Si Q est un quantificateur, X une variable, F une formule bien formée, dans QXF,la portée de QX est F ñ Exemple : p(x) ^ DX(P(X, Y) Q(X, Y) _ R(X, Y)) Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 7 / 17

8 Liaison de variables Dans une formule, selon la portée des quantificateurs Variable liée : si elle est dans la portée d un quantificateur ñ ^ (DYq(X, Y)) Variable libre : si elle n est pas liée ñ Exemple : ^ q(x, Y)) Une formule peut être Close : toutes les variables sont liées Ouverte : il existe au moins une variable libre ñ Nous travaillons sur les formules closes Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 8 / 17

9 Sémantique, domaine et interprétation Une interprétation I est constituée des éléments suivants Domaine D : valeurs que peuvent prendre les constantes Constantes : élément de D Prédicats : application de D n dans tv, Fu Fonctions : application de D n dans D ñ C est un modèle pour une formule si elle la rend toujours vraie selon le domaine, les constantes, prédicats et fonctions Exemple Formule Ñ q(x, f(x)) Domaine : D =]0, +8[ Prédicats : p(x) est vrai si X ă 1, q(x, Y) est vrai si X ą Y Fonctions : f(x) = X 2 ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule ñ Dans un autre domaine plus un modèle : D = [ 1, +1] Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 9 / 17

10 Exercices Modélisez selon la logique des prédicats Jacques est le fils de Marie Tout le monde a un père Jean aime tout le monde Jacques n aime pas tout le monde Personne n aime Jacques Jean aime Marie mais Marie aime quelqu un d autre Jean aime une personne qui ne l aime pas L ami de mon ami est mon ami Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 10 / 17

11 Manipulation de formules Plan 1. Histoire et définitions 2. Manipulation de formules Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 11 / 17

12 Manipulation de formules Substitution Substitution de variables Remplacement d une variable par un terme Pour une formule F remplacer X par λ se note F[X/λ] ñ Exemple Y)[X/Z] Y) ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque deux sous-formules ont les mêmes variables L ordre des quantificateurs peut DXDY DYDX Attention ı Y) : tout le monde aime quelqu un DY@Xaime(X, Y) : quelqu un est aimé de tout le monde Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 12 / 17

13 Manipulation de formules Mise sous forme normale prénexe Une formule sous forme prénexe s écrit Q 1 X 1 Q 2 X 2... Q n X n F Q 1... Q n sont des quantificateurs X 1... X n sont des variables F est une formule qui ne contient pas de quantificateur ñ Amener tous les quantificateurs en début de formule Étapes Supprimer les implications et les équivalences Former des littéraux par transférer des négations DX F Substituer les variables pour éviter les conflits Mettre les quantificateurs en tête de formule (G libre de X) QXF ^ G QX(F ^ G) et F ^ QXG QX(F ^ G) QXF _ G QX(F _ G) et F _ QXG QX(F _ G) Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 13 / 17

14 Manipulation de formules Exercices Mettre sous forme DXp(X) _ Ñ (p(x) ^ DYq(X, Y)) DX(p(X) ^ DYq(X, Y) Ñ DYr(X, Y)) Modéliser et mettre sous forme prénexe si tout le monde est riche il n y aura pas de vols qui sait conduire une voiture sait conduire toutes les voitures Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 14 / 17

15 Manipulation de formules Forme normale de Skolem ñ Formule universelle : que des quantificateurs universels En début de formule, une constante satisfait la formule Il existe un homme qui a été président des États-Unis DXhomme(X) ^ president(x, usa) homme(billclinton) ^ president(billclinton, usa) Après quantification universelle, l individu est une fonction Tout président des États-Unis a un vice usa) Ñ DYvicepresident(Y, usa) Ñ vicepresident(y, usa) Ñ vicepresident(nomination(x), X)) La skolémisation consiste à remplacer tous les D par Des constantes sans quantification universelle avant Sinon des fonctions des variables quantifiées universellement Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 15 / 17

16 Manipulation de formules Exercices Modélisez, mettez sous forme prénexe de skolem conjonctive Il existe une capitale où est construite la Tour Eiffel Tout monument a été conçu par une personne La plus grande ville (d un pays) est une capitale Damien Nouvel (Inalco) Logique des prédicats 16 / 17

17 Manipulation de formules Clause Disjonction de littéraux Conjonction de clauses : forme normal conjonctive Forme standard Forme prénexe Forme normale de Skolem Forme normale conjonctive (clausale) ñ Conjonction de clauses Résolvant de Robinson (1965) Si deux clauses F et G sont sous la forme F = F 1 _ F 2... F i... F n G = G 1 _ G 2... G j... G n Et si F i G j alors la clause H résultant de la disjonction de F et G après suppression de F i et G j est dite clause résolvante de F et G H = Damien Nouvel (Inalco) F 1 _ F 2... F i 1 Logique _ F i+1 des. prédicats.. F n _ G 1 _ G 2... G j 1 _ G j F/ n 17 Résolution