FONCTIONS DE REFERENCE FONCTIONS DE REFERENCE

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1 Seconde 4 006/007 Lycée de Bouwiller Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier les fonctions usuelles (linéaires, affines, carré, inverse, cosinus et sinus). Nous commencerons par des rappels nécessaires sur les fonctions affines et linéaires. Les fonctions carré et inverse peuvent se visualiser facilement grâce à la petite epérience suivante. ML - nde4-006/007

2 Introduction Il faut se munir d une lampe dont l abat jour est de forme cylindrique. Trois cas sont alors possibles : Tous les rayons de lumière rencontrent le mur. La lumière forme alors une ellipse. L un des rayons de lumière est parallèle au mur. La lumière forme alors une parabole. Plusieurs rayons ne rencontrent pas le mur. La lumière forme alors une hyperbole. ML - nde4-006/007 3 I FONCTIONS AFFINES Définition : Une fonction affine est une fonction f, définie sur R, dont l epression f() peut s écrire : f() = a + b, avec a et b deu réels. Remarques : * Si b = 0, on dit que f est linéaire. * Si a = 0, on dit que f est constante. Eemple et contre-eemples :. La fonction définie sur R par + f : a 3 est affine car f() = Les fonctions f et g suivantes ne sont pas affines : 5 f : a 3 et g : a 3 Sens de variations : * Si a est positif, f est croissante sur R. * Si a est négatif, f est décroissante sur R. ML - nde4-006/007 4

3 I FONCTIONS AFFINES Sens de variations démonstration : On rappelle que pour montrer qu une fonction est croissante, on montre que u v f (u) f (v). Ici, f() = a + b. Soient alors u et v deu réels tels que u v. Alors : f(u) f(v) = au + b (av + b) = a(u v). On sait par hypothèse que u v est positif. Le signe de f(u) f(v) dépendra donc de celui de a. ML - nde4-006/007 5 I FONCTIONS AFFINES Si a > 0, alors f(u) f(v) 0, donc f(u) f(v), et la fonction f est alors croissante sur R. Si a < 0, alors f(u) f(v) 0, donc f(u) f(v), et la fonction f est alors décroissante sur R. ML - nde4-006/

4 I FONCTIONS AFFINES Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction affine f() = a + b est une droite. a est le coefficient directeur de la droite. b est l ordonnée à l origine. Les fonctions affines sont les seules à être représentées graphiquement par des droites. 3 a o b - ML - nde4-006/007 7 I FONCTIONS AFFINES Avant de voir une propriété importante, résolvons l eercice suivant : Trouver l équation de la droite qui passe par les points de coordonnées : A(0 ; 0) et B( ; 4) C( ; ) et D(0 ; 6) E( ; ) et F( ; 5) ML - nde4-006/

5 I FONCTIONS AFFINES Les trois droites ont respectivement pour équation : y = y = y =,5 + Trouver l équation de la droite qui passe par les points de coordonnées : A(0 ; 0) et B( ; 4) C( ; ) et D(0 ; 6) E( ; ) et F( ; 5) ML - nde4-006/007 9 I FONCTIONS AFFINES Représentations graphiques des droites : 6 D F 4 B C E o A ML - nde4-006/

6 I FONCTIONS AFFINES Propriété importante!!! y 3 Si f est une fonction affine, alors f( ) f( ), l accroissement de l image, est proportionnel à, l accroissement de la variable. y y o 3 ML - nde4-006/007 I FONCTIONS AFFINES Eemple d illustration : Soit f() = 5. Recopier et compléter l encadré suivant : différence entre le plus grand et le plus petit f() différence entre le plus grand et le plus petit ML - nde4-006/007 6

7 I FONCTIONS AFFINES Démonstration : Si f est une fonction affine, alors f() = a + b. Dans ce cas, f( ) f( ) = (a + b) (a + b) = a + b a b = a a = a( ). Cette dernière égalité eprime bien que f( ) f( ) est proportionel à. Remarque : Le coefficient de proportionnalité est le nombre a de l epression a + b. ML - nde4-006/007 3 I FONCTIONS AFFINES Propriété réciproque : Si f( ) f( ), l accroissement de l image, est proportionnel à, l accroissement de la variable, alors f est une fonction affine. démonstration : L hypothèse signifie qu il eiste un réel k tel que f( ) f( ) = k ( ). Puisque cette égalité est valable pour tous et, je choisis = et = 0. Cela donne alors f( ) f( ) = f() f(0) = k ( 0) = k. Je pose enfin l = f(0). Mon égalité précédente devient alors f() l= k, c est-à-dire f() = k + l. f est donc bien une fonction affine. Rassurez-vous, cette démonstration d n est n pas à retenir!!! ML - nde4-006/

8 II FONCTION CARRE & Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f() =. Sens de variations : La fonction carré est R et croissante sur R +. décroissante sur Elle admet un minimum en 0 égal à f (0), c est-à-dire 0 : ML - nde4-006/007 5 II FONCTION CARRE & Sens de variations démonstration : Soient u et v deu réels tels que u v. Alors : f (u) f (v) = u v = (u v)(u + v). Par hypothèse, u v 0. Le signe de f (u) f (v) dépendra donc de celui de u + v. Or, lorsque u et v sont positifs, leur somme aussi, donc f (u) f (v) 0, et f est croissante sur R +. De plus, lorsque u et v sont négatifs, leur somme aussi, donc f (u) f (v) 0, et f est décroissante sur R. ML - nde4-006/

9 II FONCTION CARRE & Conséquence : Si on applique la fonction carré à l inégalité 0 b a b b, l ordre est conservé : 0 b a b b. Si on applique la fonction carré à l inégalité a b b b 0, l ordre est inversé : 0 b b b a. ML - nde4-006/007 7 II FONCTION CARRE & Représentation graphique : 3 0,5, ,5 6,5 Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée «parabole». parabole Remarque : L ae des ordonnées est la médiatrice du segment [MM ], où M(, ) et M (, ) J o I ML - nde4-006/

10 II FONCTION CARRE & Quelques eercices rapides :. Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer : a) ( 0,3) et ( 0,093) ; b) (5,3) et (5,8) ; c) ( π) et ( ).. Dans chaque cas, comparer sans utiliser la calculatrice, les nombres suivants : a) 9 et 3 ; b) 7 et 4. ML - nde4-006/007 9 II FONCTION CARRE & Quelques eercices rapides :. a) ( 0,3) ( 0,093) car 0,3 0,093 0 ; b) (5,3) (5,8) car 0 5,3 5,8 ; c) ( π) ( ) car π 0.. a) 9 3 car 9 = 36, ( 3) = 363 b) 7 < 0 et 4 > 0. ML - nde4-006/

11 II FONCTION CARRE & Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur R * par f ( ) = Sens de variations : La fonction inverse est sur ], 0[ et sur ]0, + [ : décroissante ML - nde4-006/007 II FONCTION CARRE & Sens de variations démonstration : Soient u et v deu réels tels que u v. Alors : f (u) f (v) = =. Par hypothèse, v u 0. Or, lorsque u et v sont positifs ou lorsque u et v sont négatifs, leur produit aussi, donc f (u) f (v) 0, et f est décroissante à la fois sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [. ML - nde4-006/007

12 II FONCTION CARRE & Remarques : Si on applique la fonction inverse à l inégalité 0 < a b b, l ordre est inversé. Si on applique la fonction inverse à l inégalité a b b < 0, l ordre est aussi inversé. La double barre signifie que la fonction inverse n est pas définie d en 0. On rappelle que 0 est dite «valeur interdite» pour. ML - nde4-006/007 3 II FONCTION CARRE & Représentation graphique : / 3 0,5,5,5 0,33 0,5 0,67 0,4 Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée «hyperbole». Remarque : L origine du repère est le centre de symétrie du segment [MM ], où M(, ) et M (, ). o - ML - nde4-006/007 4

13 II FONCTION CARRE & Commentaires : Pour tout, = ( ), aussi la parabole admet l ae des ordonnées comme ae de symétrie, et la fonction carré est paire. paire Pour tout non nul, les images de et par la fonction inverse sont opposées, aussi l hyperbole admet l origine comme centre de symétrie, et la fonction inverse est impaire. ML - nde4-006/007 5 III FONCTION COSINUS & Voici une animation. Observez ce qui se passe ML - nde4-006/

14 III FONCTION COSINUS & Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère la droite d, de repère (I ; K) avec IK = OI, tangente en I au cercle c de centre O et de rayon OI. A tout nombre, on fait correspondre le point M d abscisse dans le repère (I ; K). Par enroulement de la droite d autour du cercle c, le point M va coïncider avec un point N du cercle c. Ainsi, à tout nombre correspond un point N unique sur le cercle c. c N y J o K I d ML - nde4-006/007 7 III FONCTION COSINUS & Définition : Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le cercle c de centre O et de rayon ainsi gradué s appelle le cercle trigonométrique. N J M o I ML - nde4-006/

15 III FONCTION COSINUS & Remarque : La droite d étant graduée, M peut avoir une coordonnée négative, et par «enroulement» autour du cercle c, il va définir un unique point N, à la différence qu on enroule vers le bas au lieu d enrouler vers le haut : ainsi le point N peut avoir (au moins) deu «coordonnées» différentes (une négative et une positive). N J M Remarque : Lorsqu on enroule «vers le haut», on parle de sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d une montre). 3 o I ML - nde4-006/007 9 III FONCTIONS COSINUS & SINUS Illustrons cette remarque par l animation suivante : Eercice : Quelles sont les valeurs qui correspondent au points rouges?? ML - nde4-006/

16 III FONCTION COSINUS & Définition : Soit le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O ; I, J) et un nombre réel. sin() J N On appelle cosinus de, noté cos(), l abscisse dans (O ; I, J) du point N. On appelle sinus de, noté sin(), l ordonnée dans (O ; I, J) du point N. - o I - cos() ML - nde4-006/007 3 III FONCTION COSINUS & Représentation graphique (construction) : On part de la construction des diapositives précédentes. Sur Géoplan, M est un point du cercle trigonométrique. Le point C admet alors pour coordonnées (, cos()), où est la longueur verte, et cos() est obtenu sur GéoplanW en prenant l abscisse de M. π Mπ 4 t = 0.79 radians O A O' πm' π 3π 5π ML - nde4-006/

17 III FONCTION COSINUS & ML - nde4-006/ III FONCTION COSINUS & Nous connaissons déjà le mesure d angles. degré comme unité de L animation précédente nous permet de définir une nouvelle unité de mesure d angles ML - nde4-006/

18 III FONCTION COSINUS & Définition : Le radian est la mesure de l angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique un arc de longueur. c O rad π rad Remarque : Un angle de mesure π rad intercepte sur le cercle c un arc de longueur π : cet angle a donc aussi pour mesure 80. O π c ML - nde4-006/ III FONCTION COSINUS & On a donc le tableau suivant (à recopier et à compléter) : Angle α Angle en radians cos(α) sin(α) tan(α) ML - nde4-006/

19 III FONCTION COSINUS & Propriétés : Pour tout nombre, cos () + sin () = ; b cos() b et b sin() b ; cos( ) = cos() et sin( ) = sin() ; cos( + π) = cos() et sin( + π) = sin(). ML - nde4-006/ III FONCTION COSINUS & Démonstration : D après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ONH : ON = OH + HN. Or ON =, d où = cos () + sin (). On en déduit directement que r cos () et r sin (), donc b cos() b et b sin() b. N et N sont symétriques par rapport à l ae des abscisses, leurs abscisses sont donc égales et leurs ordonnées opposées. La dernière propriété est illustrée. sin() J - o I N cos() sin() N - ML - nde4-006/

20 III FONCTION COSINUS & La troisième propriété traduit la fait que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. Définition : Puisque les fonctions cosinus et sinus vérifient la dernière propriété, on dit qu elles sont périodiques de période π. ML - nde4-006/ III FONCTION COSINUS & Sens de variations (les tableau suivants sont admis) : remarque : on peut constater ces variations sur les courbes. ML - nde4-006/