CERFACS CFD - Combustion

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1 CERFACS CFD - Combustion Sous la direction de Franck NICOUD, Bénédicte CUENOT SIMULATION NUMÉRIQUE DIRECTE D ÉCOULEMENTS DANS LES PLAQUES MULTIPERFORÉES : Étude préliminaire Rapport de stage de fin d études Simon MENDEZ Juin 2004 Ref : WN/CFD/04/56 Département Hydraulique et Mécanique des fluides ENSEEIHT

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3 Résumé Les températures de fonctionnement, à l intérieur des chambres de combustion, rendent nécessaire le refroidissement des parois. La multiperforation fait partie de ces systèmes de refroidissement : les parois sont percées de centaines de trous de diamètre inférieur au millimètre, par lesquels de l air est injecté. Pour l utilisation des simulations numériques en combustion, de nouveaux modèles doivent être élaborés. Le projet européen INTELLECT D.M prévoit de mettre en place une base de données numériques au niveau européen, sur ces nouveaux modèles physiques. Ce stage s inscrit dans cette démarche. Le CERFACS fait partie des organismes réunis autour de ce projet. La modélisation de la multiperforation nécessite la mise en place d outils numériques particuliers. Ce stage constitue une étape préliminaire qui permet de mettre en place ces outils. Deux voies sont explorées qui, bien que très différentes, donnent des résultats très proches. Remerciements Je souhaiterais tout d abord remercier Franck Nicoud et Bénédicte Cuenot qui m ont encadré tout au long de ce stage, et qui vont continuer à le faire. Merci pour leurs conseils et leur soutien, et merci également à Laurent Gicquel. Je remercie Thierry Poinsot de m avoir accueilli dans son équipe au sein de l équipe CFD du CERFACS. Merci à tous les stagiaires, doctorants, post-doctorants et permanents pour leur disponibilité et pour leur aide. Un grand merci à Patrick Schmitt pour ses conseils, ses réponses avisées et sa patience. Je souhaite enfin remercier Anaïs pour ses nombreuses relectures. 1

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5 Table des matières Introduction 5 1 Présentation du contexte industriel et scientifique La tâche multiperforation dans le projet INTELLECT D.M La multiperforation Les lois de paroi Le contexte numérique : l outil de calcul, le choix de la configuration et les stratégies adoptées Le code de calcul AVBP Configuration étudiée Calculs effectués et résultats Définition des cibles Comparaison des résultats pour les deux méthodes Taille du domaine et hauteur de film Influence des paramètres numériques Conclusion et perspectives 28 Bibliographie 30 ANNEXES 31 A Les systèmes de refroidissement avec injection 33 B Détail des calculs de termes sources 35 3

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7 Introduction Ce rapport présente les résultats d une étude numérique de la structure d un film de refroidissement produit par une zone de multiperforation sur une paroi plane. Cette étude bidimensionnelle, qui constitue la première étape d une démarche de recherche de plus grande ampleur sur la multiperforation, a été effectué au CERFACS (Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique). Ce stage doit être poursuivi par une thèse sur le même sujet. Tous ces travaux de recherche sont réalisés dans le cadre du projet européen INTELLECT D.M.. Ce projet de fin d études est aussi la première partie d un stage de DEA. C est dans la partie stage de DEA que se fera la validation des méthodes numériques mises en place jusqu à présent dans ce stage. Le manque de données dans le cas bi-dimensionnel rend impossible la comparaison des résultats. Le cas bi-dimensionnel permet toutefois de mettre en place des méthodes et des outils de calcul. Il permet de se familiariser avec le code de calcul, tout en effectuent des simulations dans des temps raisonnables. La multiperforation est une technique de refroidissement déjà utilisée actuellement dans différents moteurs du groupe SNECMA. C est cependant un procédé assez récent et les recherches sur le sujet sont encore peu nombreuses. Elles concernent souvent des configurations trop éloignées des cas industriels. La multiperforation est une technique utilisée dans les turbines à gaz pour refroidir les parois et les pales des turbines. Le principe de la multiperforation est de créer une fine couche d air «froid» qui protège la paroi intérieure de la chambre des gaz brûlés. Les parois sont donc percées de trous de faible diamètre par lesquels de l air est injecté. Ces minuscules jets interagissent entre eux pour former un véritable film de protection pour la paroi. Pour la conception de nouvelles chambres de combustion, l outil numérique est de plus en plus utilisé par les motoristes. Mais les petites dimensions des trous des plaques multiperforées par rapport à la taille d une chambre de combustion ne permettent pas de calculer avec précision l écoulement près des parois. Il est donc nécessaire de mettre au point des conditions limites qui tiennent compte de la multiperforation. C est l objectif fixé au CERFACS par le projet européen INTELLECT D.M., en collaboration avec TURBOMECA, du groupe SNECMA. Le but final est donc d écrire une loi de paroi de multiperforation, pour les codes RANS utilisés par les industriels concernés (Fig. 1). Des modèles doivent être mis en place, et la Simulation Numérique Directe doit servir de référence. Pour pouvoir effectuer ces simulations, la mise en place de méthodes numériques particulières est nécessaire. Des travaux expérimentaux réalisés à TURBOMECA par Petre Miron doivent permettre de valider ces méthodes. Dans un premier temps, ces méthodes sont mises au point à l aide de calcul 2D. C est ce qui constitue ce stage de fin d études. Ce rapport se divise en trois parties : dans la première, le contexte industriel et scientifique est détaillé. La deuxième partie traite des particularités numériques de l étude. Enfin, dans la troisième partie, les principaux résultats sont présentés et analysés. 5

8 Objectif final : Loi de paroi en RANS DNS représentative Référence pour les modèles Mise en place de modèles numériques STAGE Calculs 2D mise au point des méthodes Méthodes numériques particulières Validation expérimentale Expériences LARA TURBOMECA Fig. 1 Schéma de la démarche de recherche. 6

9 Chapitre 1 Présentation du contexte industriel et scientifique 1.1 La tâche multiperforation dans le projet INTELLECT D.M Le projet européen INTELLECT D.M. Ce stage est effectué dans le cadre du projet européen INTELLECT D.M. (Integrated Lean Low Emission Combustor Design Methodology). Ce type de projets réunit, au niveau européen, les industriels et leurs partenaires scientifiques autour d un thème de recherche et développement. Les émissions de polluants sont au centre des préoccupations des motoristes et, particulièrement, les émissions d oxyde d azote, couramment appelés NOx. Les normes, de plus en plus exigentes au niveau de la pollution, obligent les industriels à modifier leurs chambres de combustion afin de réduire les émissions de polluants. L objectif du projet INTELLECT D.M. est de mettre en place des consignes pour la conception des nouvelles chambres de combustion, afin de rendre les entreprises européennes compétitives aussi bien au niveau des performances qu au niveau de l émission de polluants. Parmi les grands sujets abordés, on retrouve le refroidissement, l allumage, le réallumage en altitude, l optimisation de l utilisation de l air dans la turbine. La tâche multiperforation fait partie du pôle refroidissement. L objectif est le suivant : le CERFACS doit effectuer des simulations numériques, aussi bien en Simulation Numérique Directe qu en Simulation des Grandes Échelles, afin de mieux comprendre l aérodynamique et la thermique de l écoulement au niveau d une plaque multiperforée. Il s agit de se donner des références pour mettre au point des lois de parois : l objectif, à terme, est d écrire des lois de parois pour les codes RANS utilisés par les industriels, et de commencer à travailler sur la modélisation des plaques multiperforées en Simulation des Grandes Échelles. Ce travail s effectue en collaboration avec l entreprise TURBOMECA Le CERFACS : Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique Le CERFACS, créé en 1987, est un centre de recherche internationalement reconnu dans le domaine du calcul scientifique à haute performance. Il héberge une cinquantaine de chercheurs permanents et post-doctorants de toutes nationalités, ainsi que de nombreux stagiaires, 7

10 doctorants et visiteurs. Le CERFACS est constitué de cinq équipes de recherche : Climatologie et Changement Global ; Traitement du Signal ; Electromagnétisme ; Algorithmique et Calcul Parallèle ; Mécanique des Fluides Numérique (CFD). Cette dernière équipe est elle-même divisée en deux pôles de recherche : Aérodynamique et Combustion. Ce stage a été effectué au sein de l équipe Combustion dont les principales activités sont : la Simulation Numérique Directe (DNS) pour l étude des intéractions flamme/turbulence avec chimie complexe ; la Simulation aux Grandes Echelles (LES) pour étudier le mélange, les instabilités de combustion et les interactions flamme/paroi, en combustion gazeuse et diphasique gaz/liquide TURBOMECA TURBOMECA est le leader mondial de la conception et de la vente de turbines à gaz de petite et moyenne puissances pour hélicoptères. TURBOMECA fabrique également des turbines pour avions et missiles, ainsi que pour différentes applications terrestres et marines. La société fait partie du groupe SNECMA, groupe industriel aéronautique et spatial de premier plan international spécialisé dans la propulsion, les équipements et les services associés. TURBOMECA utilise la multiperforation dans ses turbines depuis plusieurs dizaines d années. Dans la tâche multiperforation telle que la définit le projet INTELLECT D.M., TURBOMECA fournit une base de données expérimentales permettant la validation des simulations numériques du CERFACS. 1.2 La multiperforation Cette partie est destinée à passer rapidement en revue les travaux majeurs existants sur le sujet, afin de donner des points de repère sur la multiperforation. Différents objectifs sont poursuivis dans les études réalisées sur la multiperforation. La plupart des travaux donnent des renseignements sur la température et le transfert thermique à la paroi (Mayle et Camarata [7], Eriksen et Goldstein [3], Goldstein [5]). Il n existe que peu d articles qui s attachent à déterminer la structure aérodynamique de l écoulement, comme Yavuzkurt et al. [11]. De plus, les géométries étudiées sont très variables et correspondent rarement à la réalité d une paroi multiperforée. L écoulement d air injecté s apparente à une classe plus générique d écoulements appelés jets transverses (jets in crossflow en anglais), et qui regroupe toutes les configurations d écoulements avec un ou plusieurs jets débouchant dans un écoulement libre principal. Ces jets transverses ont été largement étudiés et leur physique est bien maîtrisée. Les connaissances sur un jet transverse seul sont parfaitement résumées dans Fric et Roshko [4]. Mais pour l étude des plaques mutiperforées, ce sont des dizaines de jets qui interagissent, se mélangent, pour former le film de refroidissement entre la paroi et l écoulement principal, qui est ici l écoulement de gaz chauds à l intérieur de la chambre de combustion. Toutefois, l analyse des phénomènes physiques observés dans la multiperforation, surtout pour les premières rangées 8

11 de trous où les jets sont encore peu nombreux, s inspire fortement des travaux effectués sur les jets transverses. Le principe est présenté figure 1.1. On distingue un écoulement principal de fluide 1, parallèle à une paroi, caractérisé, à l infini, par une vitesse U 1, une température T 1 et une viscosité ν 1. La paroi est perforée (trou ou fente), et un fluide 2 (U 2, T 2, ν 2 ) est injecté. C est le jet transverse. La paroi est à la température T p. ECOULEMENT PRINCIPAL (V1, T1) FILM INJECTION (V2,T2) PAROI (Tp) Fig. 1.1 Principe du jet transverse. Pour caractériser l efficacité d un film de refroidissment, on compare la température T p de la paroi à T 1, température des gaz chauds et à T 2, température de l air de refroidissement. Cela se fait par l intermédiaire d un nombre adimensionnel appelé efficacité et noté η, et dont l expression est : η = T p T 1 T 2 T 1 (1.1) L efficacité est proche de 1 lorsque T p est proche de T 2, donc quand la paroi est bien refroidie. Elle est nulle si la paroi est à la température des gaz chauds. Dans toutes les études sur la multiperforation, l efficacité est mesurée. L efficacité est le principal critère de qualité de refroidissement. Deux phénomènes physiques ont une importance capitale pour l efficacité : la pénétration des jets et l homogénéisation du film. Plus les jets pénètrent fortement dans l écoulement, moins ils vont assurer leur rôle de protection de la paroi, et une mauvaise homogénéisation des jets entraînent la présence de points chauds sur la plaque. L efficacité peut alors être ponctuellement très mauvaise. L efficacité dépend de nombreux paramètres, qui sont principalement de deux types : les paramètres géométriques et les paramètres aérodynamiques Les paramètres géométriques La géométrie de la plaque multiperforée est critique pour la détermination du comportement du film pariétal. La figure 1.2 permet de définir les grandeurs géométriques. Le repère (x,y,z) est défini de la manière suivante : l écoulement principal est dirigé suivant x, y est la direction 9

12 normale à la paroi, et z est la direction transversale : une rangée de trous est placée à z constant. Les trous ont un diamètre d, et sont espacés de x longitudinalement et de z transversalement. Ces distances sont par la suite normalisées par le diamètre d un trou. Les perforations sont représentées en grisé. L angle α est l angle que fait l axe d une perforation avec la paroi, dans la plan (x,y). L angle β est l angle que fait l axe d une perforation avec la paroi, dans la plan (x,z). A y B x α ECOULEMENT INCIDENT (suivant x) d x/d z z/d z y β C x Fig. 1.2 Définition des paramètres géométriques : A. plan xz avec α = 30 et β = 90, B. plan xy avec définition de l angle α, C. plan yz avec définition de l angle β. Les paramètres géométriques ayant une influence sur l efficacité sont : La forme et la taille des trous : les trous ne sont pas cylindiques, les techniques de perçage ne permettent pas d atteindre une précision suffisante. Les trous sont donc à peu près cylindriques mais leur forme n est pas constante. Elle constitue une inconnue dont les études s affranchissent en considérant des perforations cylindriques. Le nombre de trous et de rangées : leur taille doit être la plus petite possible pour ne pas permettre un débit trop important, synonyme de forte pénétration des jets. Des trous trop petits peuvent cependant être obturés par des gouttelettes de carburant susceptibles de venir impacter sur la paroi. Ceci contraint la dimension des trous, qui ne peuvent être de diamètre inférieur à 0.4 mm. L efficacité du film de refroidissement est d autant plus importante que les trous sont nombreux. Le nombre de rangées joue également un rôle : dans les conditions réelles des moteurs d avions, par exemple, le film s homogénéise après une dizaine de rangées. Quelques rangées de trous seulement ne permettent donc pas la formation d un véritable film de protection à la paroi. L espacement entre les rangées de trous (x/d) et l espacement entre les trous d une même rangée (z/d) : de nombreuses études ont montré que l efficacité du refroidissement augmente quand les rapports x/d et z/d diminuent. L espacement transversal doit être inférieur à z/d = 8 pour éviter la présence de points chauds entre les trous. Cependant, ces valeurs ne peuvent être trop faibles, pour ne pas fragiliser le matériau. En pratique, x/d et z/d sont de l ordre de 5 ou 6, ce qui semble être un bon compromis entre qualité du refroidissement et résistance du matériau. L arrangement entre les trous (par rangées et colonnes ou en quinconce) : l arrangement en quinconce permet une meilleure homogénéisation du film de refroidissement et est préféré 10

13 aux autres solutions dans la pratique. Les angles entre l axe des trous et les différents plans de coupe (α et β) : l angle α joue sur l efficacité du refroidissement. Si les trous sont percés perpendiculairement à la paroi, les jets pénètrent fortement dans l écoulement principal. Ils sont mélangés aux gaz brûlés et ne participent pas à la formation du film (Eriksen et Goldstein [3]). Dans le cas de perforations inclinées, la pénétration est plus faible et la paroi est mieux protégée. Dans la pratique, les perforations sont inclinées par rapport à la paroi avec un angle α = 30 environ. L inclinaison des trous par rapport au sens de l écoulement permet également une protection améliorée ( Ligrani et al. [6]), grâce à une meilleure homogénéisation transversale du film. En pratique, cependant, on a souvent β = 90. Toutes ces considérations conduisent à considérer une plaque multiperforée dont les propriétés géométriques, identiques à celles de Rouvreau [9], sont les suivantes : d = 0.5mm ; on considère un très grand nombre de rangées contenant chacune un grand nombre de trous. C est uniquement dans ces conditions que l on parle de «plaques multiperforées», comme dans Rouvreau [9], où est utilisée une plaque de 21 rangées de 33 ou 34 perforations. Dans les simulations numériques, on considèrera que les trous étudiés sont en nombre infini ; x/d = 5.8 et z/d = 6.8 ; l arrangement des trous est en quinconce ; α = 30 et β = 90. Ces caractéristiques géométriques intéressent particulièrement les partenaires industriels puisqu elles correspondent à leurs configurations les paramètres aérodynamiques Les paramètres aérodynamiques sont souvent étudiés pour une configuration géométrique donnée. Voici les paramètres aérodynamiques les plus importants et les plus souvent étudiés : Le nombre de Reynolds : selon les différentes études (Eriksen et Goldstein [3] et Rouvreau [9]), le nombre de Reynolds n a que peu d influence sur l efficacité du film et sur sa dynamique. Le taux de soufflage τ 1 = ρ 2V 2 ρ 1 V 1 ; Le rapport des débits de quantité de mouvement τ 2 = ρ 2V 2 2 Le taux de soufflage τ 1 et le rapport des débits de quantité de mouvement τ 2 sont des paramètres critiques aussi bien pour l efficacité que pour la structure du film. Plus ces rapports sont élevés, plus l air injecté pénètre fortement dans l écoulement principal. Des travaux plus poussés ont été réalisés sur l influence de τ 1. Pour des configurations avec un petit nombre de rangées, l efficacité maximale est atteinte pour τ 1 faible : τ 1 = 0.5 pour 7 rangées de trous (α = 35 ) dans Goldstein [5]. Pour un plus grand nombre de rangées, le maximum d efficacité est atteint pour des valeurs de τ 1 plus importante : avec 15 rangées, Mayle et Camarata [7] observent une efficacité de refroidissement maximale pour τ 1 = 1.5. De plus, dans le cas de forts taux de soufflage, le film se détruit plus lentement en aval des perturbations, protégeant ainsi la paroi sur une plus grande distance, même après les perforations. ρ 1 V

14 1.3 Les lois de paroi Dans les codes de calculs de résolution des équations de Navier-Stokes moyennées (RANS), qu utilisent beaucoup les industriels, des modèles de fermeture pour les termes turbulents sont nécessaires. Le modèle k ɛ, par exemple, est très utilisé dans les codes industriels. Mais ce modèle s applique grâce à l hypothèse de nombre de Reynolds élevé ; il est donc basé sur l hypothèse que le transport diffusif turbulent domine fortement le transport diffusif moléculaire. Ceci n est pas du tout vérifié en proche paroi, où les effets inertiels sont négligeables par rapport aux effets moléculaires. Les écoulements en présence de parois, notamment multiperforées, nécessitent donc un traitement particulier. Pour contourner la difficulté, il existe deux possibilités (Fig. 1.3) : la première consiste à adapter les équations de Navier-Stokes en proche paroi et raffiner le maillage (approche bas Reynolds), ce qui est une méthode coûteuse. On préfère ne pas résoudre les équations de Navier- Stokes et les remplacer par une loi de paroi (approche haut Reynolds). La loi de paroi modélise les transferts dans la couche limite : frottement, échange de chaleur. Ces transferts à la paroi sont directement reliés aux valeurs calculées dans la zone à nombre de Reynolds de turbulence élevé. A MAILLAGE MAILLAGE B MODELE PAROI PAROI Fig. 1.3 Les deux types d approche pour le calcul en proche paroi : A. Approche bas Reynolds, B. Approche haut Reynolds. Sur ce principe, l objectif est d écrire des lois de paroi pour les codes RANS dans le cas de la plaque multiperforée. Ceci se fait en deux temps. Des calculs en Simulation Numérique Directe sont effectués, qui permettent de donner des références sur l écoulement. Les lois de paroi sont dérivées des équations de Navier-Stokes avec les hypothèses sur l écoulement près de la paroi. Le développement des lois de paroi dans le cas de la multiperforation est délicat : la plaque est inhomogène en x et z. L écoulement au voisinage de la plaque multiperforée est fortement tri-dimensionnel, la plaque étant percée de trous discrets. La modélisation nécessite donc d homogénéiser la physique. De plus l écoulement est fortement anisotherme. Ces caractéristiques empêchent des simplifications habituelles dans la mise en place des lois de paroi. 12

15 Chapitre 2 Le contexte numérique : l outil de calcul, le choix de la configuration et les stratégies adoptées L objectif de ce chapitre est de préciser comment le stage se situe par rapport au sujet. Le but du stage est de réaliser les calculs pour un cas bi-dimensionnel laminaire et isotherme et mono-espèce. Cela constitue un tout premier pas dans la modélisation de la multiperforation. L objectif de la thèse, par contre, est de simuler l écoulement avec les caractéristiques du cas réel : tridimensionnel, turbulent et anisotherme. Seul l aspect multi-espèces sera laissé de côté. Étant donné l impossibilité de réaliser des simulations d un film pariétal issu de centaines de trous, le coût en temps de calcul étant bien entendu prohibitif, il est nécessaire de choisir ce que l on veut simuler. Pour écrire des lois de parois, il est indispensable de travailler en Simulation Numérique Directe, ce qui est coûteux. Pour le projet INTELLECT D.M., il est prévu de simuler une plaque infiniment perforée, en utilisant la périodicité du motif, et donc en ne considérant qu un seul trou dans le domaine de calcul. 2.1 Le code de calcul AVBP Tous les calculs présentés dans ce rapport ont été effectués avec le code de calcul AVBP du CERFACS. C est un code de calcul parallèle qui résout le système non linéaire des équations de Navier-Stokes compressibles de manière explicite en régime laminaire et turbulent en une, deux ou trois dimensions. AVBP utilise des maillages non structurés hybrides. Bien qu ayant été conçu initialement pour la modélisation d écoulements stationnaires en aérodynamique, AVBP est avant tout utilisé aujourd hui pour des calculs instationnaires, éventuellement réactifs. Les simulations turbulentes peuvent s effectuer en RANS (Equations de Navier-Stokes moyennées), en Simulation des Grandes Échelles ou en Simulation Numérique Directe. Deux schémas numériques ont été utilisés pour les calculs présentés : LW : c est un schéma Lax Wendroff de type volumes finis avec une formulation «cell vertex» (les inconnues sont stockées aux noeuds) d ordre 2 en espace et en temps, TTGC : un schéma Taylor Galerkine modifié de type éléments finis d ordre 3 en espace et en temps (voir Colin et Rudgyard [1]). 13

16 2.2 Configuration étudiée Un des choix majeurs qui a été fait est d effectuer une simulation temporelle d une plaque multiperforée infinie. Au lieu d étudier spatialement une plaque perforée en simulant toutes les rangées de trous, on ne simule qu un seul trou, en considérant la périodicité du motif, comme le suggèrent la figure 2.1 et la figure 2.2. PROJECTION DU DOMAINE DE CALCUL ECOULEMENT INCIDENT (suivant x) z x Fig. 2.1 Vue de dessus d une plaque multiperforée. Mise en évidence de la périodicité du motif. ECOULEMENT INCIDENT (suivant x) GAZ BRULES PERFORATION PAROI z y x AIR DE REFROIDISSEMENT Fig. 2.2 Schéma du domaine de calcul 3D. En fin de simulation un état stationnaire est obtenu, qui correspond à l état atteint une fois que le film est établi, loin des premières rangées. L objectif des calculs est de simuler l écoulement d air à l extérieur de la chambre de combustion, l écoulement de gaz chauds à l intérieur, et le jet qui passe dans le trou et qui pénètre dans l écoulement principal. Dans le cadre de ce stage, le cas bi-dimensionnel a été simulé. Cela signifie que le problème physique représenté est celui d une plaque percée par une fente. Dans toutes les simulations, le domaine de calcul est séparé en deux parties par une plaque perforée et centré sur une perforation. Au-dessus, se trouve la chambre de combustion et en-dessous, le conduit d air servant 14

17 au refroidissement. L air est injecté du bas vers le haut, à travers la perforation, comme le montre la figure 2.3. Les calculs sont uniquement laminaires. On considère des murs adiabatiques. CHAMBRE DE COMBUSTION GAZ CHAUDS FILM DE REFROIDISSEMENT PAROI PAROI INJECTION D AIR CONDUIT EXTERIEUR AIR DE REFROIDISSEMENT Fig. 2.3 Schéma du domaine de calcul. Le cas de la fente n est pas du tout traité dans la littérature, mis à part la fente isolée. Il est donc impossible de comparer les résultats obtenus à des données existantes. Cependant, ce cas constitue une étape nécessaire, qui permet de se familiariser avec les difficultés rencontrées dans les simulations de plaques multiperforées. L étude de la fente n est pas une fin en soi. Le cas de la fente a donc été traité en temporel. On considère que l écoulement qui sort de notre domaine de calcul est identique à l écoulement qui y entre, en imposant la périodicité. On impose donc l égalité entre les frontières amont et aval du domaine de calcul. Ce choix d utiliser des conditions de périodicité pour les simulations induit le problème suivant : il n existe pas de gradient de pression entre la frontière amont et la frontière aval du domaine de calcul, et donc pas d entraînement du fluide. Il faut donc mettre en place une stratégie particulière afin de pouvoir simuler l écoulement. Deux stratégies ont été mises au point pour simuler l écoulement Première méthode : les termes sources et les symétries La première méthode pour simuler l écoulement à travers une plaque multiperforée est inspirée d une technique couramment utilisée pour les calculs temporels, qui consiste à appliquer, sur l équation de conservation de la quantité de mouvement projetée sur x 1, la direction de l écoulement, un terme source correspondant à un gradient de pression longitudinal. Elle consiste à maintenir l écoulement en utilisant des termes sources sur plusieurs grandeurs. On utilise, dans ce cas, des conditions limites de symétries en haut et en bas du domaine. Ces conditions de flux transverse nul permettent de contraindre la croissance du film : les gaz chauds, poussés par l air, ne sont pas pour autant évacués par le haut du domaine. Les conditions limites choisies (périodicités et symétries) ne sont pas génératrices de mouvement. L écoulement est mis en place et entretenu par les termes sources. La configuration est schématisée sur la figure

18 SYMETRIE CHAMBRE DE COMBUSTION GAZ CHAUDS PERIODICITE PAROI MURS ADIABATIQUES PAROI PERIODICITE CONDUIT EXTERIEUR AIR DE REFROIDISSEMENT SYMETRIE Fig. 2.4 Schéma du domaine de calcul dans le cas avec termes sources et symétries. Exemple d utilisation des termes sources Cette partie permet de développer l exemple simple du canal 2D plan pour familiariser le lecteur avec l utilisation de termes sources dans les équations de Navier-Stokes. Considérons un simple canal 2D plan périodique. L écoulement se fait dans la direction x 1. L entrée et la sortie sont confondues. Pour obtenir un écoulement longitudinal, il est nécessaire d imposer un gradient de pression entre les deux frontières gauche et droite qui délimitent le domaine. Dans le cas considéré, les équations de base régissant le problème sont : ρ t + ρu i = 0 (2.1) ρu j t + ρu iu j = P + τ ij = σ ij (2.2) ρe t t + ρu ie t = q i + σ iju j (2.3) où ρ représente la masse volumique totale du fluide, u i les composantes de la vitesse, P la pression dans fluide et e t l énergie totale, somme de l énergie interne e et de l énergie cinétique : e t = e u iu i. τ ij est le tenseur des contraintes visqueuses et σ ij le tenseur des contraintes. Ils sont tels que σ ij = P δ ij + τ ij où δ ij est le tenseur de Kronecker, dont les composantes sont nulles si i j et vallent 1 si i = j. Le flux d énergie q i vaut, dans le cas d une seule espèce, q i = λ T (loi de Fourier). Pour que l écoulement soit créé, un terme source S est inclus dans l équation de conservation de la quantité de mouvement (Eq. 2.2). Ce terme source doit en fait s opposer au frottement aux parois. On peut le calculer par un simple bilan des forces sur le canal. Il est égal à la valeur 16

19 qu aurait le gradient de pression dans le cas d un canal ayant les mêmes caractéristiques que le canal périodique, mais possédant une entrée et une sortie (Poinsot et Veynante [8]) : S = 2 3 µ Q l 3 (2.4) Q est le débit dans le canal, l sa hauteur et µ la viscosité dynamique du fluide. A partir de l équation 2.4, on modifie l équation 2.2 projetée suivant la direction de l écoulement, et le code résout alors l équation suivante : ρu 1 t + ρu iu 1 = S P x 1 + τ i1 (2.5) Cependant, en faisant apparaître ce terme source, on ne souhaite pas modifier l énergie localement. Il est donc nécessaire d ajouter dans l équation de l énergie un terme qui vient contrer l effet du terme source précédent. Pour l énergie, l équation modifiée 2.6 est résolue : ρe t t + ρu ie t = q i + σ iju j + S u 1 (2.6) Application au cas de la simulation d une fente Le cas étudié est plus complexe qu un canal plan. Il faut distinguer trois phénomènes : L écoulement principal représentant l intérieur de la chambre ; L écoulement d air de refroidissement à l extérieur de la chambre ; L écoulement d air de refroidissement dans la perforation qui débouche dans l écoulement principal. Pour forcer les deux premiers écoulements, le principe est le même que pour un simple canal 2D plan. Un terme source représentant un gradient de pression est imposé sur l équation de la quantité de mouvement dans la direction de l écoulement. L injection est due à une différence de pression entre l extérieur et l intérieur de la chambre. Cependant, l injection de l air dans la chambre entraîne un effet incompatible avec la stratégie de simulation : la masse augmente dans la partie chambre et diminue de l autre côté. À cause de l injection, la différence de pression de part et d autre de la plaque perforée diminue jusqu à devenir nulle. Il n y a alors plus d injection. Pour contrer cet effet naturel, il est nécessaire de maintenir la différence de pression. Des termes sources sont de nouveau utilisés. Ces termes sources visent à maintenir les grandeurs thermodynamiques moyennes autour de valeurs fixées. Cela représente le fait que dans la configuration réelle, la chambre de combustion et le conduit d air à l extérieur jouent le rôle de réservoirs infinis qui maintiennent des conditions constantes. Les termes sources sont construits de la manière suivante. Des valeurs cibles sont définies pour le haut (chambre de combustion) et pour le bas (conduit d air) du domaine. À chaque pas de temps, une moyenne de la grandeur sur laquelle on met le terme source est calculée. Le terme source sur une grandeur G, S G, est calculé sur le principe de l équation 2.7 : S G = (G cible G moyen ) coeff (2.7) G cible est la valeur cible de G, que l on fixe. G moyen est la moyenne de G, sur un domaine à déterminer. Le coefficient coeff est homogène à une fréquence. C est ce coeff qui caractérise la 17

20 rapidité avec laquelle G tend vers G cible. On évite toutefois de trop grandes valeurs pour ne pas utiliser des termes sources trop violents : à cette fréquence, est associé un temps caractéristique. Ce temps ne doit pas être trop court par rapport aux temps caractéristiques de l écoulement. On souhaite maintenir une différence de pression entre les deux écoulements. Prenons l exemple de la partie haute, qui simule le côté chambre de combustion. De l air est injecté dans cette partie. Pour la partie haute, il existe plusieurs frontières : les murs et les symétries empêchent tout flux de masse, les conditions de périodicité font que tout ce qui entre d un côté sort de l autre. Seule la perforation apporte ou ôte de la masse. L injection dans la partie haute du domaine provoque une augmentation de la masse volumique dans cette partie. Si l on souhaite garder une pression moyenne constante, avec la masse volumique croissante, la température va diminuer (loi d état). Or il n y a aucune raison que la température subisse des variations importantes dans le cas d une simple injection. Pour satisfaire nos conditions et pour avoir un résultat cohérent avec la physique, la pression et la masse volumique sont maintenues autour d un niveau moyen cible grâce à des termes sources. Il en est de même pour le débit, comme pour le cas du canal 2D. Des termes sources sur la vitesse longitudinale U, sur la pression P et la masse volumique sont appliqués 1. Pour appliquer les termes sources, le domaine est scindé en deux parties : une partie haute et une partie basse. La coupure se fait au milieu de la hauteur de la paroi. Les moyennes utilisées dans l équation 2.7 sont calculées séparément sur ces deux parties du domaine. Pour la partie haute, pour une grandeur donnée, une valeur cible est fixée au préalable, la moyenne de cette grandeur est calculée à chaque itération, et le terme source est calculé et appliqué uniformément. Il en est de même pour la partie basse. Il existe bien d autres possibilités pour l application du terme source. Le choix de termes sources uniformes est motivé par un souci de clarté et de simplicité. Il n est pas forcément définitif et pourra être un champ d investigation. On note : S ρ = (ρ cible ρ moyen ) coeff (2.8) S U = (U cible U moyen ) coeff (2.9) S P = (P cible P moyen ) coeff (2.10) Au final, le système d équations suivant est résolu (δ 1j = 1 si j = 1, 0 sinon) : ρ t + ρu i = S ρ (2.11) ρu j t + ρu iu j = P + τ ij + ρ S U δ 1j + S ρ u j (2.12) ρe t t Le détail des calculs est présenté en annexe B. + ρu ie t = q i + σ iju j (2.13) + S P γ 1 + ρus U S ρ (u i u i ) 1 Normalement, le terme source sur la quantité de mouvement doit s appliquer sur ρ U et non sur U. Ce n est, à l origine, qu une étape des calculs, dans laquelle les termes sources sur ρ et sur U ont été découplés. Toutefois, par souci de cohérence avec les résultats présentés, les équations sont écrites avec un terme source sur U. 18

21 2.2.2 Seconde méthode : utilisation des conditions limites Une autre méthode mise en place pour effectuer les calculs consiste à utiliser les conditions limites des frontières haute et basse pour entraîner le fluide. Une condition limite d AVBP a été utilisée dans ce but : la condition d écoulement libre. Le domaine de calcul se présente donc comme schématisé sur la figure 2.5. CONDITION D ECOULEMENT LIBRE CHAMBRE DE COMBUSTION GAZ CHAUDS PERIODICITE PAROI MURS ADIABATIQUES PAROI PERIODICITE CONDUIT EXTERIEUR AIR DE REFROIDISSEMENT CONDITION D ECOULEMENT LIBRE Fig. 2.5 Schéma du domaine de calcul avec les conditions d écoulement libre. Cette condition limite est codée de telle sorte que, selon le sens du vecteur vitesse de la cellule, la condition d écoulement libre se comporte comme une entrée ou comme une sortie. L objectif de cette condition est de maintenir au mieux un état défini par l utilisateur. Dans le cas étudié, certains principes nous permettent de définir les grandeurs cibles pour les conditions limites : La température est fixée à 300 K et ne doit pas varier ; Une différence de pression entre la partie chambre de combustion et la partie conduit d air de refroidissement est imposée afin de générer un écoulement dans le trou ; La vitesse dans le sens de l écoulement aux bords supérieur et inférieur est un paramètre critique et dépend de la simulation ; La vitesse V perpendiculaire aux frontières est calculée de sorte que le débit injecté par la fente entre par la frontière du bas et sorte par celle du haut. Il existe donc un lien entre le débit imposé aux frontières et la différence de pression entre les deux écoulements. La vitesse dans le trou est liée à la différence de pression par le coefficient de débit C D (Eq. 2.14). P = C D 1 2 ρv 2 2 (2.14) Le débit injecté doit être égal à celui passant par la frontière du bas et par celle du haut. Donc les vitesses cibles sont liées à la différence de pression et aux cibles de masse volumique imposées. 19

22 Chapitre 3 Calculs effectués et résultats L objectif pour les simulations en 2D est d effectuer les premiers calculs sur une configuration qui nécessite des outils numériques particuliers, qui seront ensuite utilisés pour les simulations 3D. A l issue de ce stage, les résultats montrent que les deux approches choisies pour simuler le cas d une fente infinie permettent de reproduire des écoulements qui ressemblent aux profils obtenus par l expérience. Encore une fois, il ne peut s agir que de ressemblance, puisque les données expérimentales ne concernent que le cas 3D. Les calculs ont été effectués sur des maillages structurés. Les conditions limites de périodicité (gauche et droite du domaine) ont été inclinés à 30 degrés, comme l injection, pour une question de commodité du maillage. Cette inclinaison des conditions limites n a strictement aucune influence sur les résultats. La figure 3.1 permet, sur un exemple parmi les calculs effectués, d observer les lignes de courant y(m) x(m) Fig. 3.1 Exemple de tracé de lignes de courant sur un calcul effectué. Les lignes de courant permettent de visualiser deux écoulements co-courants séparés par une paroi. La paroi est perforée et laisse passer du fluide, qui est injecté dans l écoulement du haut du domaine. La configuration d écoulement voulue est reproduite. 20

23 3.1 Définition des cibles Dans le cas de la méthode avec termes sources, les calculs effectués ont montré l importance de la définition des grandeurs cibles. Une cible qui n est pas choisie judicieusement peut mener à des résultats complètement aberrants. Les cibles sont définies de la manière suivante : le rapport τ 1 et la vitesse d injection V 2 sont choisis. Cela permet de définir la vitesse V 1 de l écoulement à l infini dans la chambre de combustion, et donc le débit cible. On choisit également un débit cible pour le conduit d air de refroidissement. Il faut ensuite définir la différence de pression de part et d autre du trou. Comme la vitesse d injection est connue, la différence de pression est définie grâce à un coefficient de débit C D (Eq. 3.1). P = C D 1 2 ρv 2 2 (3.1) Toutefois, la méthode avec termes sources fait intervenir, dans l expression des termes sources, un coefficient homogène à une fréquence, coef f (Eq. 2.7). La différence de pression atteinte dépend de ce coefficient. Comme on ne souhaite pas utiliser des termes sources trop violents, le coefficient ne permet pas d atteindre la différence de pression cible. On définit alors une espèce de coefficient de débit numérique, qui dépend de coeff. La difficulté est d ajuster la valeur des cibles de masse volumique. Elles doivent être calées sur les valeurs atteintes par la pression en fin de calcul. Dans le cas contraire, on observe, sur la température par exemple, une espèce de couche limite artificielle le long de la condition limite de symétrie (Fig. 3.2) y x Fig. 3.2 Champ de température obtenu dans le cas d un calcul avec cibles de masse volumique mal définis. La température devrait rester proche de 300K. Cette couche limite artificielle est un pur artefact numérique, dû à une mauvaise définition des cibles pour la masse volumique. 21

24 3.2 Comparaison des résultats pour les deux méthodes L objectif de cette partie est de comparer des résultats obtenus dans une même situation physique en utilisant ou non les termes sources. Des profils de vitesse longitudinale et de vitesse verticale ont été tracés, à une abscisses de x = 1mm et x = 3mm en aval d un jet, dans la partie supérieure du domaine (Fig. 3.3). À la paroi, y = 0mm FREESTREAM TERMES SOURCES FREESTREAM TERMES SOURCES y(m) y(m) U(m/s) U(m/s) a) U en x = 1mm b) U en x = 3mm FREESTREAM TERMES SOURCES FREESTREAM TERMES SOURCES y(m) y(m) V(m/s) V(m/s) c) V en x = 1mm d) V en x = 3mm Fig. 3.3 Profils de vitesse longitudinale (U) et de vitesse verticale (V) en x = 1mm et x = 3mm, dans le cas TERMES SOURCES ou avec conditions d écoulement libre (FREESTREAM). Les conditions sont les suivantes : le nombre de Reynolds basé sur le diamètre du trou est de Re = 80, et le nombre de Mach de M = 0.1. Le taux de soufflage vaut τ 1 = 1.7. La viscosité est d environ dix fois celle de l air. Les paramètres numériques pour le cas avec termes sources sont reportés dans le tableau 3.1. Le problème traité ici est uniquement dynamique : les difficultés liées au mélange (le gaz 22

25 S ρ U U cible (kg.m 3 ) coeff (s 1 ) cible (m.s 1 ) coeff (s 1 ) cible (Pa) coeff(s 1 ) Bas Haut Tab. 3.1 Paramètres numériques dans le cas avec termes sources. utilisé est le diazote) ou à la température n interviennent pas. Dans ce cas, les deux méthodes présentées chapitre 2 donnent des résultats très proches. Le maillage utilisé est identique dans les deux cas. Les calculs ont été effectués à l aide d un schéma TTGC. La structure globale du jet est identique dans les deux cas. Ils ont le même profil à deux bosses pour la vitesse longitudinale, quelle que soit la méthode de calcul. Le pic le plus bas est le résultat de l injection de gaz par le trou précédent. Il est bien plus important que le deuxième, situé plus haut, qui est issu du mélange entre les jets précédents. Le profil de vitesse au-dessus est presque uniforme. Pour les vitesses verticales, comme on peut s y attendre, les profils sont complètement différents. Dans le cas des calculs avec termes sources, la condition limite en haut est une symétrie. La vitesse verticale y est donc nulle. Au contraire, dans le cas de la condition d écoulement libre, la vitesse est non nulle, puisque le flux de masse dans le trou doit être égal à celui qui traverse cette frontière. Cependant, près de la paroi, les profils sont identiques. Cela signifie que la symétrie a une influence limitée sur le comportement de l écoulement. La symétrie est située suffisamment loin à partir du moment où le profil proche de la paroi ne subit plus de modification. A priori, ce n est pas le cas dans ces simulations. Toutefois, même si l influence de la symétrie fait que l on ne reproduit pas les conditions exactes de la chambre de combustion, les expériences sur la multiperforation sont réalisées sur des bancs d essais et les dimensions de l installation contraignent parfois l écoulement, comme dans les simulations. Plus en aval du jet (x = 3mm), les profils de vitesse se sont homogénéisés. Les extrema locaux ont une amplitude plus faible, du fait du mélange du jets avec l écoulement principal. Globalement, ces résultats sont extrêment réconfortants pour l approche avec les termes sources. Cette démarche particulière permet de retrouver un écoulement obtenu par une toute autre méthode. C est un point qui renforce, a posteriori, la légitimité de cette stratégie de simulation. Les différences observées pour le profil vertical étaient attendues et n invalident pas les méthodes mises en place. Il s agira de déterminer par la suite quelle méthode est plus représentative, suivant le cas que l on souhaite étudier. 3.3 Taille du domaine et hauteur de film Dans les configurations réelles, la taille des perforations est petite devant les autres longueurs caractéristiques, alors que dans le cas des simulations avec termes sources, les frontières en haut et en bas contraignent l écoulement. Il est nécessaire d évaluer dans quelle mesure les conditions limites ont une influence sur les résultats. L objectif est de reproduire le même jet et d observer les différences de comportement de l écoulement dans la partie «chambre de combustion», mais avec des hauteurs de domaine différentes : la frontière supérieure du domaine a été placée à une distance H de 6d, 10d, 16d (Fig. 3.4), 22d et 28d de la paroi (d est le diamètre du trou, qui vaut 0.5mm). Le rapport de la surface débitante Sd sur la surface totale de la plaque Sw est de 1 pour 7, soit environ 15%. 23

26 0.01 Sw=14d y (m) H=16d 0 Sd=2d Paroi x (m) Fig. 3.4 Caractérisation géométrique du domaine. Le cas considéré est le suivant : l écoulement est isotherme, le nombre de Reynolds du jet basé sur le diamètre du trou est de Re = 80 et la viscosité du gaz utilisé, le diazote, vaut environ dix fois celle de l air. Dans les calculs suivants, la température varie très peu. La viscosité, fonction de la température, est donc constante. Les paramètres numériques des termes sources sont listés dans le tableau 3.2. ρ U P H=6d cible (kg.m 3 ) coeff (s 1 ) cible (m.s 1 ) coeff (s 1 ) cible (Pa) coeff(s 1 ) Bas Haut H=10d cible (kg.m 3 ) coeff (s 1 ) cible (m.s 1 ) coeff (s 1 ) cible (Pa) coeff(s 1 ) Bas Haut H=16d cible (kg.m 3 ) coeff (s 1 ) cible (m.s 1 ) coeff (s 1 ) cible (Pa) coeff(s 1 ) Bas Haut H=22d cible (kg.m 3 ) coeff (s 1 ) cible (m.s 1 ) coeff (s 1 ) cible (Pa) coeff(s 1 ) Bas Haut H=28d cible (kg.m 3 ) coeff (s 1 ) cible (m.s 1 ) coeff (s 1 ) cible (Pa) coeff(s 1 ) Bas Haut Tab. 3.2 Paramètres numériques pour les calculs avec différentes hauteurs de domaine. L épaisseur du film est définie comme étant la hauteur du maximum local de vitesse longitudinale, au niveau de la seconde bosse du profil. L épaisseur du film en fonction de la distance entre la paroi et la symétrie de la frontière a été tracée (Fig. 3.5). Bien entendu, l épaisseur du film est d autant plus grande que la symétrie est éloignée de la 24

27 Epaisseur du film en mm Hauteur de la partie chambre de combustion H/d Fig. 3.5 Épaisseur du film en fonction de la distance entre la paroi et la symétrie, côté chambre de combustion. paroi. A partir d une certaine distance, la hauteur du film ne change plus. Il semble que si la symétrie est placée à une distance de la paroi supérieure à 16 fois le diamètre, la condition limite n influe que très peu sur l épaisseur du jet. Ceci est vrai lorsque la définition de la hauteur du film est basée sur la vitesse longitudinale. Les profils de vitesse longitudinale ont été tracés sur une coupe en x = 1mm en aval d un trou, pour différentes valeurs de H (Fig. 3.6). Dans un souci de lisibilité, le profil avec H = 28d n a pas été tracé, étant quasiment identique au cas H = 22d H=6d H=10d H=16d H=22d H=6d H=10d H=16d H=22d y(m) y(m) U(m/s) U(m/s) a) Profils complets b) Détail Fig. 3.6 Profils de vitesse longitudinale en x = 1mm en aval d un trou, pour différentes valeurs de H. Tous ces calculs sont comparés car l écoulement dans l injection est le même. Quel que soit H, les profils de vitesse ont la même allure. Les deux bosses sont reproduites. Cependant, la figure 3.6 montre qu à la sortie du jet, les profils diffèrent quand H varie. Une petite hauteur de domaine oblige le fluide injecté à accélérer et les valeurs de vitesse sont plus élevées. La hauteur de pénétration, définie comme étant la pointe du pic le plus bas, varie légèrement. Cette hauteur 25

28 de pénétration n est plus influencée par H une hauteur supérieure à H = 16d. Le profil de vitesse verticale dépend beaucoup plus de la hauteur H. En effet, dans le cas de la méthode avec symétries et termes sources, les symétries imposent que la vitesse normale à la frontière soit nulle. Cette contrainte est génératrice d erreurs par rapport à l écoulement réel. Les profils de vitesse longitudinale ont également été tracés sur une coupe en x = 1mm en aval d un trou, pour différentes valeurs de H (Fig. 3.7) H=6d H=10d H=16d H=22d y(m) V(m/s) Fig. 3.7 Profil de vitesse verticale en x=1mm en aval d un trou, pour différentes valeurs de H. La vitesse verticale est bien nulle à la symétrie. Cela perturbe les profils de vitesse, qui doivent atteindre une valeur nulle en y=h. Comme pour la vitesse longitudinale, les cas avec H faible présentent un maximum de vitesse plus grand que les autres cas. Bien évidemment, plus la symétrie est éloignée de la paroi, moins elle a d action sur le profil en proche paroi. Pour une hauteur H de 6d ou 10d, les différences sont même visibles en proche paroi. La vitesse verticale est une composante très affectée par la présence de la symétrie. La valeur minimale de H qu il est nécessaire d utiliser pour les calculs dépend de l exigence sur la vitesse verticale. Si seul le comportement en proche paroi doit être reproduit, une distance de 16d entre la paroi et la symétrie est suffisante. 3.4 Influence des paramètres numériques. Outre le maillage, qui peut influencer fortement l écoulement calculé, des paramètres numériques peuvent modifier les résultats des calculs. Les simulations ont été effectuées avec deux schémas différents, avec des maillages plus ou moins raffinés Influence du maillage Seuls des maillages structurés ont été utilisés. L étude de l influence du maillage se fait dans le cas suivant : la distance H entre la symétrie et la paroi est de 16d côté chambre de combustion. Le rapport de la surface débitante Sd sur la surface totale de la plaque Sw est de 15%. Les calculs ont été effectués avec le schéma Lax-Wendroff. Le maillage grossier est composé de mailles en 26