Liban Enseignement spécifique

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1 Liban 03. Enseignement spécifique EXERCICE 3 6 points) commun à tous les candidats) Étant donné un nombre réel k, onconsidèrelafonctionf k définie sur R par Le plan est muni d un repère orthonormé f k x) = + e kx. O, i, ) j. Partie A Dans cette partie on choisit k =. Onadonc,pourtoutréelx, f x) = + e x. La représentation graphique C de la fonction f dans le repère O, i, ) j est donnée en ANNEXE, àrendre avec la copie. ) Déterminer les ites de f x) en + et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus. ) Démontrer que, pour tout réel x, f x) = ex +. 3) On appelle f la fonction dérivée de f sur R. Calculer,pourtoutréelx, f x). En déduire les variations de la fonction f sur R. 4) On définit le nombre I = f x) dx. ) 0 + e Montrer que I = ln.donneruneinterprétationgraphiquedei. Partie B Dans cette partie, on choisit k = et on souhaite tracer la courbe C représentant la fonction f. Pour tout réel x, onappellep le point de C d absciss et M le point de C d absciss. On note K le milieu du segment [MP]. ) Montrer que, pour tout réel x, f x)+f x) =. ) En déduire que le point K appartient à la droite d équation y =. 3) Tracer la courbe C sur l ANNEXE, àrendreaveclacopie. 4) En déduire l aire, en unités d aire, du domaine déité par les courbes C, C l axe des ordonnées et la droite d équation x =. Partie C Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. ) Quelle que soit la valeur du nombre réel k, lareprésentationgraphiquedelafonctionf k est strictement comprise entre les droites d équations y = 0 et y =. ) Quelle que soit la valeur du réel k, lafonctionf k est strictement croissante. ) 3) Pour tout réel k 0, f k 0, 99. http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

2 ANNEXE de l exercice 3 Arendreaveclacopie Representation graphique C de la fonction f j 3 O i 3 http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

3 Liban 03. Enseignement spécifique EXERCICE 3 : corrigé Partie A ) Limite en. x e x = En prenant l inverse, on obtient Limite en +. x + e x = En prenant l inverse, on obtient X + ex =+ puis = 0. + e x x X ex = 0 puis x + x + + e x = =. + e x ) =+. x + e x ) =. f x) =0 et f x) =. x x + On en déduit que la droite d équation y = 0 est asymptote à C en et la droite d équation y = est asymptote à C en +. ) Soit x un réel. On sait que 0 et que e x = puis f x) = + e x = + = Pour tout réel x, f x) = + ex +. ) = ex +. 3) La fonction f est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s annule pas sur R. Deplus,pourtoutréelx, f x) = ex + ) + ) = + ). Pour tout réel x, f x) = + ). Pour tout réel x, >0et + ) >0.Doncpourtoutréelx, f x) >0.Onendéduitque la fonction f est strictement croissante sur R. 4) D après la question ), pour tout réel x, f x) = ex +. Posons pour tout réel x, ux) = +.Alors,lafonctionu est dérivable sur R et pour tout réel x, u x) = puis f x) = u x) ux), la fonction u étant strictement positive sur R. Onsaitqu uneprimitivedelafonctionf sur R est la fonction F définie sur R par : pour tout réel x, F x) =lnux)) = ln + ).Onendéduitque I = 0 f x) dx =[F x)] 0 = ln + e ) ln + e 0) ) + e = ln. ) + e I = ln. La fonction f est continue et positive sur le segment [0, ]. OnsaitalorsqueI est l aire, exprimée en unités d aires, du domaine du plan compris entre les droites d équations respectives x = 0 et x =, l axedesabscissesetlacourbe C. http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

4 Partie B Pour tout réel x, onappellep le point de C d absciss et M le point de C d absciss. On note K le milieu du segment [MP]. ) Soit x un réel. D après la question ) de la partie A, f x) = ex +.Donc, f x)+f x) = ex = ex + + =. Pour tout réel x, f x)+f x) =. ) Les points M et P ont la même absciss. Doncx K = x. D autrepart y K = y M + y P = f x)+f x) =. Donc le point K appartient à la droite d équation y =. 3) La courbe C se déduit donc de la courbe C par symétrie par rapport à la droite d équation y =. P C j K C 3 O i M 3 4) Notons A resp. A )l aire,expriméeenunitésd aire,dudomaineduplancompris entre les droites d équations respectives x = 0 et x =, l axedesabscissesetlacourbec respectivement C ). / C / A A C Pour des raisons de symétrie, les deux aires en jaune sont égales et donc, l aire du carré unité étant égale à, ona A = A.L airea demandée est alors : ) + e A = A A = A A )=A = ln. http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

5 ) + e L aire demandée, exprimée en unités d aire, est égale à ln. Partie C Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. ) Soit k un réel. Pour tout réel x, e kx >0et donc + e kx >0ou encore f kx) >0.D autrepart, e kx >0 + e kx > + e kx <par stricte décroissance de la fonction t t f k x) <. sur ]0, + [) Ainsi, pour tout réel k et pour tout réel x, 0<f k x) <.Ilrevientaumêmededirequepourtoutréelk, lacourbe C k est strictement comprise entre les droites d équations y = 0 et y =. L affirmation ) est VRAIE. ) La fonction f est strictement croissante sur R d après la partie A. Grâce à la symétrie obtenue en partie B, la fonction f est strictement décroissante sur R. Donc,ilexisteunréelk pour lequel la fonction f k n est pas strictement croissante sur R. L affirmation ) est FAUSSE. 3) Soit k un réel. k 0 k 0 k 5 e k e 5 par stricte croissance de la fonction exponentielle sur R) + e k + e 5 par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0, + [) + e k + e 5 ) f k 0, ) f k 0, 99 ) Donc, pour tout réel k 0, f k 0, 99. L affirmation 3) est VRAIE. http :// 3 c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.