Produit scalaire : définitions et premières propriétés

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1 hapitre 6 Produit scalaire : définitions et premières propriétés Sommaire 6.1 Activités Définitions Propriétés Formules de la médiane Exercices e chapitre fait appel à la notion d angle de vecteurs, traitée dans le chapitre Activités Activité 6.1. Soit u et v deux vecteurs et A, B, et D quatre points tels que : u= AB, v = A et u+ v = AD. Prouver que u et v sont orthogonaux si et seulement si u+ v 2 u 2 v 2 = 0. On va s intéresser dans ce chapitre à la quantité u+ v 2 u 2 v 2. Que devient-elle lorsque les vecteurs u et v ne sont plus orthogonaux? Peut-elle être positive? Négative? Définition. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v le nombre réel, noté u. v, défini par : u. v = 1 2 ( u+ v 2 u 2 v 2 La présence du coefficient 1 2 sera justifiée ultérieurement. Activité 6.2. Le fichier 1Shp6Act2.ggb, disponible dans la rubrique Documents : 1S du site et qui s ouvre avec le logiciel GeoGebra, présente une série de points fixes (de A jusqu à L, un point libre M, les vecteurs u = AB et v = AM. 1. (a réer le vecteur w = u + v. On entrera simplement dans la zone de saisie «w=u+v». (b réer les nombres a= u, b= v, c = w et d = u. v = 1 ( 2 u+ v 2 u 2 v 2 = 1 ( 2 c 2 a 2 b 2. On entrera «Longueur[u]» pour obtenir la norme de u et les calculs pour d se taperont directement dans la zone de saisie. 2. ompléter le tableau page suivante en déplaçant le point M de façon à ce que le vecteur v soit égal à celui indiqué dans la troisième colonne. 3. onjecturer des réponses aux questions suivantes : (a Dans quel(s cas un produit scalaire est-il positif? Négatif? Nul? (b Existe-t-il des points différents qui donnent le même produit scalaire? À quelle configuration géométrique les points concernés semblent-ils appartenir? (c Que peut-on dire du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires? 53

2 6.1 Activités Première S u u 2 AB TAB. 6.1 Tableau à compléter pour l activité 6.2 v v 2 u+ v 2 u. v A A A AD AB AE AF AG AH AI AJ AK AL Activité 6.3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; ı, j quelconque. Soit les vecteurs u(x ; y, v(x ; y et w(x ; y.. 1. Démontrer que u. v = xx + y y. 2. omparer u. v et v. u. 3. omparer u.( v+ w et u. v+ u. w. 4. Soit k un réel. omparer (k u. v et k( u. v. Activité 6.4. ( Soit A, B et trois points distincts du plan orienté tels que AB ; A =α. On choisit le repère orthonormal direct ( A ; ı, j ( tel que ı ; AB = 0. H est le projeté orthogonal de sur (AB, c est-à-dire le pied de la perpendiculaire à (AB passant par. 1. Exprimer en fonction de AB, A et α les coordonnées des points B, et H. 2. alculer AB. A et AB. AH. 3. Démontrer les conjectures de l activité 6.2. Activité 6.5. Démontrer que si u et v sont deux vecteurs non nuls, alors u. v = u v cos( u; v. En déduire que si A, B et sont trois points distincts, alors AB. A = ABA cos B A. Activité 6.6. AB est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A ; I est le milieu de [B] ; P et Q sont les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB et (A. B Montrer que AI. PQ = 0. Que peut-on en déduire pour les droites (AI et (PQ? I Indications (à justifier : P M 1 2 AB+ 1 2 A = AI AB. PQ = AB. QP = AB. AH A. PQ = A. AH A Q 54

3 Première S Définitions 6.2 Définitions Rappelons la définition du produit scalaire. Définition 6.1. On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v le nombre réel, noté u. v, défini par : u. v = 1 ( u+ v 2 u 2 v 2 2 Remarques. Le mot scalaire provient du latin scala qui signifie échelle. Il a plusieurs significations aussi bien en mathématiques qu en physique. Il faut le comprendre ici comme un nombre et son nom souligne le fait que, si u et v sont des vecteurs, u. v est lui un nombre. On précisera systématiquement que c est un produit scalaire, car vous verrez plus tard un autre type de produit de vecteurs qui ne donne pas un nombre mais un vecteur. Théorème 6.1 (Autres expressions du produit scalaire. Soit u et v deux vecteurs du plan. 1. Le plan étant muni d un repère orthonormal où u(x ; y et v(x ; y alors u. v = xx + y y 2. Si les deux vecteurs sont distincts du vecteur nul, u. v = u v cos( u ; v 3. Si u 0, u. v = u. v où v est le projeté orthogonal de v sur la direction donnée par u. Remarques. Si l un des vecteurs est égal au vecteur nul, l angle orienté de vecteurs ( u ; v n est pas défini. Si u= 0, il n a pas de direction. Dans tous les cas, si l un des vecteurs est nul, u. v = 0. Théorème 6.2 (as de trois points. Soit A, B et trois points du plan. Lorsque AB 0 et A 0, AB. A = ABA cos B A. Lorsque A et B distincts, soit H le projeté orthogonal de sur la droite (AB : AB. A = ABAH si AB et AH sont de même sens. AB. A = ABAH si AB et AH sont de sens opposé. Démonstrations des deux théorèmes. Voir activités. 6.3 Propriétés Théorème 6.3. Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u= 0 ou v = 0, alors u. v = 0. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0. u. u= u 2. On notera alors u. u= u 2. Preuve. Posons u= 0. Alors u. v = 1 ( 2 u+ v 2 u 2 v 2 = 1 ( 2 v 2 v 2 = 0. Soit A, B et tels que u= AB et v = B. On a alors u+ v = A. u et v orthogonaux AB rectangle en B AB 2 + A 2 = B 2 u 2 + v 2 = u+ u 2 0= u+ u 2 u 2 v 2 u. v = 0 u. u= 1 ( 2 u+ u 2 u 2 u 2 = 1 ( 2 2 u 2 2 u 2 = 1 ( 2 4 u 2 2 u 2 = u 2 Remarque. La dernière ligne explique la présence du 1 2. Il est là pour qu on puisse avoir une similitude entre le produit des réels (x x = x 2 et le produit scalaire ( u. u = u 2. Sans lui on aurait u. u = 2 u 2, ce qui serait moins intuitif à manipuler dans les calculs. Remarque. Les deux derniers points sont extrêmement importants. Le deuxième permet de démontrer bien des cas d orthogonalité avec la souplesse des vecteurs. Le dernier permet de passer aisément des longueurs aux vecteurs et réciproquement, permettant ainsi de faire appel aux vecteurs, et à leur souplesse, dans bien des démonstrations concernant les longueurs. Propriété 6.4 (Règles de calcul. Soit u, v et w des vecteurs et k un réel. u. v = v. u u.( v+ w= u. v+ u. w et ( u+ v. w = u. w+ v. w (k u. v = k( u. v et u.(k v = k( u. v David ROBERT 55

4 6.4 Formules de la médiane Première S Preuve. Voir activité 6.3. Propriété 6.5 (Identités remarquables. Soit u et v deux vecteurs. ( u+ v 2 = u u. v+ v 2 ( u v 2 = u 2 2 u. v+ v 2 ( u+ v( u v= u 2 v 2 Preuve. En appliquant le deuxième point de la propriété précédente on obtient facilement ces résultats. Propriété 6.6 (Produit scalaire et coordonnées. Le plan est muni d un repère ( O; ı, j (orthonormal. Soit u(x ; y un vecteur. x = u. ı et y = u. j Preuve. u. ı = x 1+ y 0=x et u. j = x 0+ y 1=y 6.4 Formules de la médiane Théorème 6.7 (Formules de la médiane. Soit A et B deux points quelconques du plan et I le milieu du segment [AB]. Alors, pour tout point M du plan on a : M A 2 + MB 2 = 2M I AB 2 ; M A 2 MB 2 = 2 M I. B A ; M A. MB = M I AB 2. Remarques. La droite (M I étant, pour le triangle M AB, la médiane issue de A, ces formules sont appelées formules de la médiane. es formules ne sont pas à apprendre, par contre on doit savoir les retrouver en utilisant les carrés scalaires (voir la preuve ci-dessous. es formules sont particulièrement utiles quand on cherche tous les points M vérifiant, par exemple, M A 2 + MB 2 = 4 puisqu elles permettent de passer d une expression à deux inconnues (M A et MB à une expression à une inconnue (M I. Preuve. Montrons que M A 2 + MB 2 = 2M I AB 2. M A 2 + MB 2 = M A 2 + = 2 M I M I. ( MB 2 2+ ( 2 = M I + I A M I + I B ( I A+ I B + I A 2 + I B 2 = 2M I M I ( AB 2 2 = 2M I AB 2 Les autres démonstrations sont du même type et sont laissées en exercice pour le lecteur. 56

5 Première S Exercices 6.5 Exercices Dans tous les exercices les repères sont orthonormaux Exercice 6.1. Soit ABD un carré de sens direct. On construit un rectangle APQR de sens direct tel que : P [AB] et R [AD] ; AP = DR. 1. Justifier que ( Q. PR = Q. AR AP D R Q 2. En déduire que les droites (Q et (PR sont perpendiculaires. A P B Exercice 6.2. ( AB est un triangle et I est le milieu de [B]. On sait que I A, I B = π 3 et que B I = I = 2 et AI = 3 alculer : 1. AB. A ; 2. AB 2 + A 2 ; 3. AB 2 A 2 ; 4. AB et A. A π 3 B I Exercice 6.3. AB est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [B]. alculer les produits scalaires suivants : 1. B A. B ; 2. A. I ; 3. ( AB A. AI. Exercice 6.4. AB est un triangle dans lequel AB = 2 et A = 3. De plus AB. A = 4. e triangle est-il rectangle? Exercice 6.5. M N PQ est un carré avec M N = 6. I est le centre du carré. alculer les produits scalaires suivants : 1. M N. QP ; 2. M N. P N ; 3. I N. I P ; 4. QI. N I. Exercice 6.6. ABD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et A = 7. alculer AB. AD. En déduire BD Exercice (a Montrer que u+ v 2 u v 2 = 4 u. v. (b Montrer que u+ v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2 (c Que peut-on en déduire pour le parallélogramme et le losange? 2. (a Montrer que ( u+ v.( u v= u 2 v 2. (b En déduire qu un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux. Exercice 6.8. AB D est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB]. 1. alculer les longueurs A et DE. 2. En exprimant chacun des vecteurs A et DE en fonction des vecteurs AB et AD, calculer le produit scalaire A. DE. ( 3. En déduire la valeur de l angle θ= DE; A en degrés à 0,01 près. David ROBERT 57

6 6.5 Exercices Première S D θ A E B Exercice 6.9. Soit le triangle AB et K le projeté orthogonal de A sur (B. On donne : AB = 6, BK = 4 et K = 7. I est le milieu de [B] et G le centre de gravité du triangle AB. 1. Faire une figure. 2. alculer les produits scalaires suivants : (a B A. B ; (b B. A ; ainsi que la somme : G A. A+ GB. A+ G. A 3. Déterminer et représenter en rouge l ensemble des points M du plan tels que 4. Déterminer et représenter en vert l ensemble des points M du plan tels que (c IG. I B ; B M. B = 44. ( M A+ MB+ M. A = 0 Exercice est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan. d est une droite passant par A et coupant en deux points P et Q. Le but du problème est d établir la propriété suivante : A P Q d Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle en deux points P et Q, le produit scalaire AP. AQ est constant. 1. Soit P le point diamétralement opposé à P. Montrer que AP. AQ = AP. AP. 2. Montrer que AP. AP = AO 2 r 2 3. onclure. Remarque. On appelle cette quantité la puissance d un point par rapport à un cercle. O Exercice [AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm. 1. Montrer que pour tout point M du plan : M A 2 MB 2 = 2 I M. AB 2. Trouver et représenter l ensemble des points M du plan tels que : M A 2 MB 2 = 14. Exercice ABD est un tétraèdre régulier de côté a. I est le milieu du côté [AB] et J est le milieu du côté [D]. 1. alculer (en fonction de a les produits scalaires suivants : AB. A et AB. D A. 2. alculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB. D. 3. alculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB. I J Exercice Le but de cet exercice est de démontrer, à l aide du produit scalaire, que les hauteurs d un triangle sont concourantes. Soit AB un triangle. On note A, B et les projetés orthogonaux respectifs de A, B et sur (B, (A et (AB. On note H = (BB (. 1. Que valent les produits scalaires suivants : B H. A et H. AB? 2. alculer AH. B. 3. onclure. 58

7 Première S Exercices Exercice AB D est un rectangle de longueur L et de largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (A. A D K L H B l 1. alculer HK en fonction des longueurs des côtés L et l. (On pourra évaluer de deux manières le produit scalaire A. BD. 2. omment choisir L et l pour avoir A = 2HK? Exprimer alors l aire du parallélogramme B HDK en fonction de l aire du rectangle ABD. Exercice À quelle condition sur les points A, B et a-t-on : ( AB+ A 2= (AB+A 2? Exercice ABD est un losange de sens direct et de centre O On donne A = 10 et BD = alculer AB. AD. 2. On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB. alculer AP. David ROBERT 59