Chapitre 2 : Théorème de Thalès ; Pythagore (révisions)

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1 hapitre 2 : Théorème de Thalès ; Pythagore (révisions) I. Théorème de Thalès 1/ ctivité (Polycopié donné en classe) 2/ Énoncé onfigurations de Thalès «Deux parallèles sur deux sécantes» ()//() ()//() ()//() (configurations triangles) (configuration papillon) Théorème de Thalès Si,, et,, sont alignés sur deux sécantes et si est parallèle à alors = =. Remarque : pour mieux mémoriser Les points, et du quotient Les points, et du quotient Les points,, et du quotient appartiennent à une même sécante. appartiennent à la même deuxième sécante. correspondent aux deux parallèles.

2 Exemple 1 ère configuration : WX // U ; RU et R sécantes en R : RU RW = R RX = U WX 2 ème configuration : WX // VS ; RV et RS sécantes en R : RV RW = RS RX = VS. WX 3 ème configuration : TU // SR ; VS et VR sécantes en V : VT VS =VU VR = TU. SR V T U S W (VS)//(U) et (U)//(WX) (UT)//(RS) X R 3/ Exemple à savoir refaire Une solution possible On est en présence d'une configuration de Thalès : D et KJ sont parallèles ; K et DJ sont sécantes en. Les quotients sont : D J = K = D JK (KJ)//(D) D? 5,4 cm 3,6 cm Remplaçons par les longueurs données : D J =3,6 5,4 = D 7,3 K 7,3 cm J Seule va servir : 3,6 5,4 = D 7,3 On peut trouver la longueur D grâce aux produits en croix : 5,4 D=7,3 3,6 Donc D= 7,3 3,6 4,9 cm 5,4 4/ Rappels Propriété : produits en croix a, b, c et d représentent quatre nombres non nuls. Si a b = c d alors a d=c b

3 Exemples 7 x = =4 x x= ,1 = x 4 8=0,1 x x= 8 0,1 x=80 onséquences (calcul de la 4 ème proportionnelle) a, b, c et d représentent quatre nombres non nuls. Si a b = c d alors a=bc d ; b= ad c ; c= ad b et d= bc a. II. Théorème de Pythagore (rappels de 4 ème ème ) Le côté en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse : c'est le côté [ ]. Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit : [ ] et [ ]. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : + = 90 Théorème Si est rectangle en alors 2 = 2 2. utrement dit : «Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit». Exemples IJH rectangle en H : IJ 2 =HI 2 HJ 2 VE rectangle en V : E 2 =V 2 VE 2 Exemple type On considère un triangle rectangle en tel que : =10cm et =5cm. Fais une figure à main levée et trouve la valeur manquante. est rectangle, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore : 2 = = = =75 = 75 8,7 cm (arrondi au millimètre)

4 III. Réciproque du théorème de Thalès l'oral 1/ ctivité 2/ L'énoncé Réciproque du théorème de Thalès Si = et si les points,, et,, sont alignés dans un même ordre alors les droites et sont parallèles. Exemple type (exercice 28 p 232) On calcule les quotients séparément : = = 2 5 =0,4 = 2,4 6 =0,4 On remarque que = On parle de l'alignement des points : Les points,, et,, sont alignés dans un même ordre. On conclut en citant la réciproque de Thalès : D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles.

5 IV. Rappels sur le théorème la réciproque de Pythagore Si EFG est un triangle tel que EF=4,5 cm ; EG=7,5 cm et FG=6 cm, on peut essayer de voir s'il est rectangle ou non. E On calcule séparément EG²=7,5²=56,25 EF²+FG²=4,5²+6²=56,25 On remarque que... EG²=EF²+FG² 4,5 cm F 6 cm EG= 7,5 cm G On conclut en citant la bonne propriété D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F. V. Pythagore, Thalès : lequel choisir? onfigurations Théorème de Pythagore Deux perpendiculaires et une sécante ou bien un triangle rectangle Théorème de Thalès Deux parallèles et deux sécantes ou bien un petit et un grand triangle Figures associées quoi ça sert calculer une longueur si on en connaît au moins deux calculer une longueur si on en connaît au moins trois Points importants de la rédaction Triangle rectangle Théorème Pythagore Égalité de Pythagore alculs Résultat avec l'unité Deux sécantes et deux parallèles Théorème de Thalès Quotients de longueurs alculs Résultat avec l'unité

6 onfiguration quoi ça sert ombien de longueur faut-il? Points importants de la rédaction Réciproque du théorème de Pythagore Un triangle à priori quelconque ou bien trois sécantes démontrer que deux droites sont perpendiculaire ou qu'un triangle est rectangle Trois longueur, en général, les côté d'un triangle alculer séparément On remarque une égalité de carrés de longueur Réciproque de Pythagore Triangle rectangle en... Réciproque du théorème de Thalès Deux sécantes et deux autres droites démontrer que deux droites sont parallèles Quatre longueurs, en général sur les deux sécantes alculer séparément On remarque une égalité de quotients de longueur ; on a des points alignés dans un même ordre Réciproque de Thalès Droites parallèles Rappel Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un des côtés est un diamètre alors il est rectangle.