Limites de fonctions, cours, première S

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Michelle Gravel
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1 Limites de fonctions, cours, première S F.Gudon 0 juin 2009 Tble des mtières Limites nies à l'inni 2 2 Limites innies à l'inni 3 3 Limites en un réel 3 4 Addition et multipliction de ites 5 4. Addition Multipliction Cs des ites à l'inni des fonctions polynômes ou rtionnelles

2 Limites nies à l'inni Soit f une fonction dénie sur un intervlle [; + [ où R. Soit l un réel. f dmet pour ite l en + (resp. ) si pour tout intervlle contennt l, il eiste un réel 0 tel que pour tous les réels supérieurs à 0 (resp. pour tous les réels inférieurs à 0 ), f() pprtient à cet intervlle. On note lors f() = l (resp. f() = l). On dit ussi que f() tend vers l qund tend vers + (resp. tend vers ). = 0 Pour tout entier nturel non nul k, = 0 = 0 2 = 0 2 k = 0 et k = 0 Soit l R et soit C l courbe représenttive d'une fonction f dns un repère. On dit que l droite d'éqution y = l est symptote horizontle à l courbe C en + (resp. ) si f() = l (resp. f() = l. Eemples : = 0 et et en. = 0 donc l droite d'éqution y = 0 est symptote à l'hyperbole en + http: // mthsfg. net. free. fr 2

3 2 Limites innies à l'inni f dmet pour ite + en + (resp. en en + ) si pour tout intervlle ]M; + [ (resp. ] ; M]) où M est un réel, il eiste un réel 0 tel que pour tous les réels supérieurs à 0, f() ]M; + [ (resp. f() ] ; M]). On note lors f() = + (resp. f() = ). On dit ussi que f() tend vers + (resp. tend vers ) qund tend vers +. Remrque : On dénit de même les ites en. Propriétés : Pour tout entier nturel k non nul, k = + = 2 = + 3 = = + Soient et b deu réels vec 0. C est l courbe représentnt une fonction f dns un repère. L droite d'éqution y = + b est symptote oblique à l courbe C en + (resp. ) si (resp. (f() ( + b)) = 0 (f() ( + b)) = 0) http: // mthsfg. net. free. fr 3

4 3 Limites en un réel On conidère dns ce prgrphe une fonction f dénie sur un ensemble D f et D f où est l'etrémité d'un intervlle de D f. f dmet pour ite à droite l R (resp. + ) en si pour tout intervlle ]u; v[ contennt l il eiste un réel 0 > tel que pour tout ]; 0 [ on f() ]u; v[ (resp. si pour tout intervlle ]u; + [, il eiste 0 tel que pour tout ]; 0 [ on f() ]u; + [). On note lors > f() = l (resp. > f() = + ). f dmet pour ite à guche l R (resp. + ) en si pour tout intervlle ]u; v[ contennt l, il eiste un réel 0 < tel que pour tout ] 0 ; [ on f() ]u; v[ (resp. si pour tout intervlle ]u; + [, il eiste 0 tel que pour tout ] 0 ; [ on f() ]u; + [). On note lors < f() = l (resp. < f() = + ). Eemple : 0 > = + 0 < = Soit un réel, C l courbe représenttive d'une fonction f dns un repère. On dit que l droite d'éqution = est symptote verticle à C si l ite à droite ou l ite à guche de f en est + ou. Soit f une fonction telle que f = g où g et h sont deu utres fonctions. h Si g tend vers une ite non nulle et h tend vers 0 en un réel, lors f tend vers l'inni, le signe restnt à déterminer. Eemple : + = 2 > > = 0+ + = 2 < < = 0 http: // mthsfg. net. free. fr 4

5 donc + > = + + < = D'où l droite d'éqution = est symptote verticle à l courbe C. 4 Addition et multipliction de ites 4. Addition 4.2 Multipliction f() l R l R l R + + g() l R + + (f + g)() l + l + + indéterminée f() l R l R + 0 g() l R (fg)() ll + indéterminée 4.3 Cs des ites à l'inni des fonctions polynômes ou rtionnelles Soit f une fonction polynôme dénie pr f() = n n pour tout réel vec n 0 et n entier. Alors s ite en l'inni (+ ou ) est celle de son monôme de plus hut degré n n. Preuve : On le montre pour tendnt vers +, l démonstrtion restnt l même pour tendnt vers. On écrit f() = n ( 0 + n n + n n ). On constte que 0 = 0, n = 0, n..., n = 0. Comme n 0 et que n tend vers +, l ite en + est bien donnée pr l ite de n n. En + et en, l ite de l fonction rtionnelle f dénie pr f() = nn + n n b p p +b p p +...+b 0 vec n 0 et b p 0 est donnée pr l ite de nn b p. p Preuve : On écrit f() = n n n p n + 0 b p+ b p b +b 0 et on risonne comme dns l démonstrtion précédente. http: // mthsfg. net. free. fr 5

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