Fonctions usuelles Limites

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1 Fonctions usuelles Limites I) Généralités Dans tout ce cours, I désignera un intervalle de Y (intervalle ouvert, fermé, semi-ouvert ). Si I = [a, b], on appellera I un segment de Y. On considère la fonction f allant de I dans Y telle que pour tout de I, il eiste un unique réel y tel que y = f(). On appelle graphe de f et on note C f les couples (, f()) quand parcours I. On appelle domaine de définition de f l ensemble noté D f qui représente l ensemble de de I tel que f() Y. II) Limites de fonction 1) Définition Soit f une fonction de I dans Y et a I et l Y. On dit que f admet une limite l quand tends vers a si : ε > 0, α > 0 / I, a α f ( ) l ε On écrira : lim f ( ) = l ou f ( ) l a a

2 Remarque : a α a α a + α ], [ a α a α a + α 2) Propriétés des limites Lemme : Soit f une fonction de I dans Y et a Y. Si la limite de f() quand tend vers a eiste alors elle est unique. Si pour tout de I, f() est positif ou nul et si la limite de f() quand tend vers a eiste alors la limite de f() est positive ou nulle. Si la limite de f() quand tend vers a eiste et est non nulle alors il eiste un α > 0 tel que pour tout de ]a α, a + α[ entraîne que f() 0. Autrement dit : lim f ( ) eiste la limite est unique a I, f ( ) 0 lim f ( ) 0 lim f ( ) eiste a a lim f ( ) eiste a α > 0 / ] a α, a + α[, f ( ) 0 lim f ( ) 0 a (Démonstrations par l absurde) Corollaire : Soit f une fonction de I dans Y et a I tel que la limite de f() quand tend vers a soit non nulle alors la fonction 1/f() est bien définie sur ]a α, a + α[

3 Définition : Soit f une fonction de I dans Y et a I. On dit que f est continue en a si et seulement si la limite de f() quand tends vers a eiste et vaut f(a). f continue en a lim f ( ) = f ( a ) a Théorème d encadrement (des gendarmes) : Soit f, g et h trois fonctions et a I. On suppose que I, f ( ) g( ) h( ) et que lim f ( ) = lim h( ) alors la limite de g() quand tend vers a a a eiste et vaut lim g( ) = lim f ( ) = lim h( ) a a a Remarque : l = ± lim f ( ) n'eiste pas l R, ε > 0 / α > 0, I a a α et f ( ) l > ε Il eiste aussi une autre méthode pour montrer qu une limite n eiste pas. Il suffit de trouver deu suites ( n ) et (y n ) telles que : n y n pour tout n V a et y a n n n + n + lim f ( n) lim f ( yn) n a yn a Définition : Soit f une fonction de I dans Y et a I. On dit que f admet une limite à gauche de a : lim f ( ) ε > 0, α > 0 / I, a α < a f ( ) l ε a

4 On dit que f admet une limite à droite de a : lim f ( ) ε > 0, α > 0 / I, a < a + α f ( ) l ε + a Lemme : lim f ( ) = l R lim f ( ) = lim f ( ) + a a a Définition : On dit que f admet une limite l quand tend vers + si : ε > 0, b > 0 / > b f ( ) l ε On dit que f tend vers + quand tends vers a si : A > 0, α > 0 / I, a α f ( ) A On dit que f tend vers quand tends vers + si : A < 0, b > 0 / > b f ( ) A Propriétés : [ ] lim f ( ) + g( ) = lim f ( ) + lim g( ) a a a [ ] lim f ( ) g( ) = lim f ( ) lim g( ) a a a f ( ) lim f ( ) a lim, si lim g( ) 0 a g( ) = lim g( ) a a

5 III) Formes indéterminées 1) Définitions Les formes indéterminées sont les suivantes : 0 0,,,,1 0 Si tend vers a, les formes indéterminées se ramènent à 0/0 Si tend vers, les formes indéterminées se ramènent à / Rappel : a > 0, R, a = e ln( a) ( ) f ( ) > 0, I, f ( ) = e g ( ) g ( )ln( f ( )) Remarque : 1 se ramène à la forme indéterminée 0 Remarques : 1) Si tend vers et si on a une forme indéterminée de la forme / ou 0/0 alors ce sont les croissances comparées qui nous aident. 2) Si tend vers a et si on a une forme indéterminée de la forme 0/0 alors ce sont les propriétés fines du numérateur et du dénominateur au voisinage de a qui nous aident et la clé est la dérivée dans ce cas. Limites à connaître :

6 ln(1 + ) e 1 lim = 1 lim = sin( ) cos( ) 1 lim = 1 lim = tan( ) ln( ) lim = 1 lim = Autres limites utiles : sin( ) 1 lim 0 3 = 6 cos( ) 1 1 lim 0 2 = 2 tan( ) 1 lim 0 3 = 3 2) Méthodes de résolutions des FI «0/0» et «/» Cas «0 / 0» : Première méthode Soit f une fonction de I dans Y dérivable en a I. Alors on a : f ( ) f ( a) lim = f '( a) a a Cette méthode ne marche que si on a un au dénominateur. Cas «0 / 0» : Deuième méthode Soit f et g deu fonctions de I dans Y dérivables en a I. On a :

7 f ( ) f ( a) f '( a) lim = si f '( a) 0 ou g '( a) 0 a g( ) g( a) g '( a) Cas «0 / 0» : Troisième méthode, règle de l Hospital Soit f et g deu fonctions de I dans Y dérivables en a I ainsi que toutes les dérivées de f et g au point a. On a : f ( ) f ( a) f '( a) lim = si f '( a) 0 ou g '( a) 0 a g( ) g( a) g '( a) Si f (a) = g (a) = 0 alors, f ( ) f ( a) f ''( a) lim = si f ''( a) 0 ou g ''( a) 0 a g( ) g( a) g ''( a) Si f (a) = g (a) = 0 alors, (3) f ( ) f ( a) f ( a) (3) (3) lim = si f ( a) 0 ou g ( a) 0 a (3) g( ) g( a) g ( a) Et ainsi de suite Cas «/» Pour lever l indétermination, «/» quand tends vers, on factorise les termes dominants à l infini et on simplifie. On peut aussi utiliser les croissances comparées des fonctions usuelles. En plus l infini, c est l eponentielle qui domine les fonctions puissances qui elle-même dominent les fonctions logarithmes. e lim = + n > 0 + n n lim = + n > 0 + ln( )

8 IV) Fonctions usuelles 1) La fonction «valeur absolue» Soit un réel si 0 = si 0 Une valeur absolue est toujours positive ou nulle. = λ = λ Graphe de la fonction : 2) La fonction «partie entière» Soit un réel

9 = n + α, n Z, 0 α < 1 On définie la fonction partie entière E() telle que : R, E( ) = n Z Propriétés de E() : R, E( + 1) = E( ) + 1 [ [ n, n + 1, E( ) = n R, 1 < E( ) Limites de E() : lim E( ) = n 1 n lim E( ) n + = n E() est discontinue en tout point n relatif. Graphe de la fonction :

10 3) La fonction «mantisse» On définie la fonction mantisse m() telle que : R, m( ) = α = E( ), 0 α = m( ) < 1 Propriétés : R, m( + 1) = m( ) m() est 1 Périodique. [ [ 0,1, m( ) = Limites de m() : lim m( ) = 1 n lim m( ) = 0 n + C est également une fonction discontinue. Graphe de la fonction :

11 4) La fonction «eponentielle» et «logarithme» R, e > 0 lim e = 0 lim + e 0 e = 1 = + R = 2 + y y (, y), e e. e 2 y (, y) R, e = R, e = 1 e e e La dérivée de ep est elle-même. Elle est donc toujours positive. Donc ep est une fonction strictement croissante et elle réalise une bijection de R ] 0, + [ La fonction inverse de ep est ln. On l obtient en faisant la symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice. Elle est définie de ] 0,+ [ R. > = ln( ) 0, e R, ln( e ) = La fonction logarithme népérien est strictement croissante car sa dérivée vaut 1/ pour tout positif. y

12 lim ln( ) = 0 lim ln( ) + + ln(1) = 0 = + (, y) > 0, ln( y) = ln( ) + ln( y) (, y) > 0, ln = ln( ) ln( y) y 1 > 0, ln = ln( ) 5) Les fonctions trigonométriques Ces fonctions ont été étudiées dans ce cours : tions_usuelles1.pdf Pour les courbes : 1_Fonction_usuelles1.pdf