Les aérosols dans le poumon

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1 Les aérosols dans le poumon L. Boudin, C. Grandmont et A. Moussa CMLA, ENS Cachan 10 juillet 2008 A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

2 Plan de la présentation 1 Contexte 2 Modélisation Mathématique Modèle Mise en équation 3 Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Retour au problème initial 4 Implémentations Numériques 5 Perspectives A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

3 Plan de la présentation Contexte 1 Contexte 2 Modélisation Mathématique Modèle Mise en équation 3 Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Retour au problème initial 4 Implémentations Numériques 5 Perspectives A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

4 Contexte Fonctionnement du poumon Division de l arbre bronchique en trois zones selon les générations : : Navier-Stokes incompressible : Stokes : Diffusion Structure d arbre = importante surface d échange gazeux. Thèses sur la modélisation du poumon : B. Mauroy, A. Soualah. A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

5 Motivations, objectifs Contexte Motivations : administration de soins thérapeutiques, effets de la pollution. Objectifs des biomécaniciens : Localisation des zones de dépôts et quantification en fonction de la taille des particules. Modélisation : Deux points de vues 1 Modèles courants : action du fluide sur l aérosol sans rétroaction. 2 Chigier et al., Baranger et al. : prise en compte d une rétroaction. A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

10 Modélisation Mathématique Plan de la présentation 1 Contexte 2 Modélisation Mathématique Modèle Mise en équation 3 Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Retour au problème initial 4 Implémentations Numériques 5 Perspectives A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

11 Modélisation Mathématique Modèle Air : Navier-Stokes incompressible, densité constante, adhésion à la paroi. Aérosol : équation de Vlasov f (t, x, ξ) : fonction de densité de particule. Hypothèse : Pas de collision, pas de gravitation, particules absorbées par la paroi (Boudin, Weynans, 2008) Accélération A(t, x) = ξ u(t,x) τ fournie par le fluide, force de traînée en réponse. Domaine fixe. A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

14 Modélisation Mathématique Mise en équation Le couplage Vlasov/Navier-Stokes : (VNS) Vlasov : t f + x (ξf ) + ξ (Af ) = 0 Navier-Stokes : :=F s { }}{ t u + (u x )u + x p = (f A)(t, x, ξ)dξ + x u ξ R 3 div x (u) = 0 A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

15 Plan de la présentation Résultat Mathématique 1 Contexte 2 Modélisation Mathématique Modèle Mise en équation 3 Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Retour au problème initial 4 Implémentations Numériques 5 Perspectives A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

16 Théorème Résultat Mathématique Généralisation d un résultat de Hamdache sur l existence de Vlasov/Stokes : Théorème : On se place dans le cas d un ( domaine fixe ) et on considère le système (VNS). Notons X := L 1 x,ξ (1 + ξ 2 )dxdξ. Pour des données initiales vérifiant f 0 L x,ξ X et u 0 Hdiv 1, ce système admet des solutions (faibles), périodiques en espace et appartenant aux espaces suivants : f L t,x,ξ L t (X) u L t (L 2 x) L 2 t (H 1 div) C 0 t (H 1 div ) A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

17 Système approché Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché On remplace le système précédent par un système approché : t f + x (f ξ) + ξ ((u ϕ ξ)f ) = 0 (VNSA) t u + (u ϕ x )β(u) + x p = F s γ + x u div x (u) = 0 où on a tronqué les grandes vitesses de la force du spray : F s γ = (f A)(t, x, ξ)dξ ξ C γ A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

18 Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Construction d une suite de solutions approchées On procède par récurrence. On part de u 0 := (u 0 θ) et on définit f 0 par la méhode des caractéristiques. On définit u 1 par l équation de Stokes. On réitère le procédé grâce au schéma : t f n + x (f n ξ) + ξ ((u n ϕ ξ)f n ) = 0 (VNSA n ) t u n+1 + (u n ϕ x )β(u n ) + x p n+1 = F n γ + x u n+1 div x (u n+1 ) = 0 A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

19 Estimations a priori Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Contrôle de (f n ) par le principe du maximum : sup t [0,T ] n N sup f n (t) f 0 e 3T Lemme de Gronwall discret pour des inéquations du types : t t a n+1 (t) C 1 + C 2 a n (s)ds + C 3 a n+1 (s)ds 0 utilisé pour obtenir un contrôle de (u n ) dans L t (L 2 x) et L 2 t (Hdiv 1 ) : [ ] 1 d u n+1 2 dx + 1 u n+1 2 dx C 1 + C 2 u n 2 dx + C 3 u n+1 2 dx 2 dt C 2 C C C 0 A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

20 Estimations a priori Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Contrôle de (f n ) par le principe du maximum : sup t [0,T ] n N sup f n (t) f 0 e 3T Lemme de Gronwall discret pour des inéquations du types : t t a n+1 (t) C 1 + C 2 a n (s)ds + C 3 a n+1 (s)ds 0 utilisé pour obtenir un contrôle de (u n ) dans L t (L 2 x) et L 2 t (Hdiv 1 ) : [ ] 1 d u n+1 2 dx + 1 u n+1 2 dx C 1 + C 2 u n 2 dx + C 3 u n+1 2 dx 2 dt C 2 C C C 0 A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

21 Résultat Mathématique Convergence du schéma itératif Existence de solutions pour un système approché Étude de l accroissement w n := u n+1 u n. Cet accroissement est le terme général d une suite convergente dans L ( ) [0, T ]; L 2 (C). Convergence de (u n ) dans cet espace. Convergence de (f n ) dans L ([0, T ] C). Les limites sont solutions du problème approché : t f + x (f ξ) + ξ ((u ϕ ξ)f ) = 0 (VNSA) t u + (u ϕ x )β(u) + x p = F s γ + x u div x (u) = 0 A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

22 Résultat Mathématique Convergence du schéma itératif Existence de solutions pour un système approché Étude de l accroissement w n := u n+1 u n. Cet accroissement est le terme général d une suite convergente dans L ( ) [0, T ]; L 2 (C). Convergence de (u n ) dans cet espace. Convergence de (f n ) dans L ([0, T ] C). Les limites sont solutions du problème approché : t f + x (f ξ) + ξ ((u ϕ ξ)f ) = 0 (VNSA) t u + (u ϕ x )β(u) + x p = F s γ + x u div x (u) = 0 A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

23 Résultat Mathématique Retour au problème initial Existence locale On considère des suites ϕ m δ, β m Id and γ m 1. On a obtenu l existence de solutions aux problèmes : t f m + x (f m ξ) + ξ ((u m ϕ m ξ)f m ) = 0 (VNSA m ) t u m + (u m ϕ m x )β m (u m ) + x p m = F s γ m + xu m div x (u m ) = 0 MAIS le passage à la limite ne peut s obtenir que sur un intervalle local [0, T ] A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

24 Résultat Mathématique Retour au problème initial Existence locale On considère des suites ϕ m δ, β m Id and γ m 1. On a obtenu l existence de solutions aux problèmes : t f m + x (f m ξ) + ξ ((u m ϕ m ξ)f m ) = 0 (VNSA m ) t u m + (u m ϕ m x )β m (u m ) + x p m = F s γ m + xu m div x (u m ) = 0 MAIS le passage à la limite ne peut s obtenir que sur un intervalle local [0, T ] A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

25 Du local au global Résultat Mathématique Retour au problème initial T ne dépend que du moment d ordre 2 de f et de la norme de u dans L 2 t (H 1 div ). Contrôle de ces quantités dans [0, T ]. Les solutions locales sont continues en temps (à valeurs dans de "gros" espaces). = Existence de solution sur tout l intervalle [0, T ]. A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

29 Implémentations Numériques Plan de la présentation 1 Contexte 2 Modélisation Mathématique Modèle Mise en équation 3 Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Retour au problème initial 4 Implémentations Numériques 5 Perspectives A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

30 La classe Particles Implémentations Numériques Méthode particulaire : f approchée par une combinaison linéaire positive de masses de Dirac, transportée par l équation de Vlasov. Attributs : données physiques des particules : position, vitesse, rayon, densité. Méthodes : timeadvanceparticle, findelement.. A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

31 Implémentations Numériques Couplage ALE/Particules À chaque pas de temps : Déplacement du maillage (extension harmonique). Boucle sur les particules : Calcul de l accélération de traînée (locale) de la particule (interpolation des valeurs aux noeuds). Alimentation de la force de traînée (globale) par les quatre sommets de la maille dans laquelle est la particule. Localisation de la particule dans le maillage. Mise à jour des positions et vitesses de la particule. Calcul de la vitesse du fluide dans le nouveau maillage. A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

35 Plan de la présentation Perspectives 1 Contexte 2 Modélisation Mathématique Modèle Mise en équation 3 Résultat Mathématique Existence de solutions pour un système approché Retour au problème initial 4 Implémentations Numériques 5 Perspectives A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21

36 Perspectives Numérique : Validation du modèle : évaluation de l action de l aérosol sur le fluide. Comparaison avec des résultats numériques 3D, et les résultats 2D (L. Boudin, C. Grandmont, M. Thiriet) et expérimentaux sur un domaine in vitro (Inserm U618 de Tours). Optimisation du rayon des particules. Analyse mathématique : extension au domaine mobile, étude du comportement en temps long de la solution. A. Moussa (CMLA, ENS Cachan) Les aérosols dans le poumon 10 juillet / 21