Cours de gestion financière (M1)

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1 Cours de gestion financière (M1) Séance du 2 octobre 2015 Beta et risque de marché, MEDAF S&P500 vs high beta stocks 1

2 Séance du 2 octobre 2015 Beta et risque de marché, MEDAF 2 Partie 2 : Médaf, relation entre rentabilité attendue et risque L équation fondamentale La «Security Market Line» (SML) Pourquoi seul le risque de marché est rémunéré? Exercice : l offre agrégée de risques spécifiques est nulle Différence entre SML et CML Exercice : Médaf pour un portefeuille de titres Exercice : Médaf pour les portefeuilles sur la CML Les ratios de Sharpe et de Treynor, l alpha de Jensen

3 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) 3 Relation entre rentabilité attendue d un titre et son risque Le Médaf sert pour l évaluation des entreprises Rentabilité attendue par les actionnaires Evaluation d une entreprise lors d opérations de croissance externe ou de cessions Détermine le taux d actualisation des cash-flows futurs Le Médaf détermine les choix d investissement TRI cible, taux d actualisation pour la VAN

4 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) 4 EE ii = RR ff + ββ ii EE MM RR ff EE ii : Rentabilité attendue du titre i RR ff taux d intérêt sans risque ββ ii : Beta du titre i EE MM : espérance de rentabilité du portefeuille de marché EE MM RR ff : prime de risque

5 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) 5 Ei = Rf + i EM Rf β ( ) taux sans risque β du titre i prime de risque Prime de risque : écart entre la rentabilité du portefeuille de marché EE MM = EE RR MM et le taux sans risque RR ff Dans l équation EE ii = RR ff + ββ ii EE MM RR ff, ββ ii est le seul terme qui dépend du titre i.

6 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) 6 Ei = Rf + i EM Rf β ( ) taux sans risque β du titre i prime de risque E = R + βσ i f i M risque de marché E M σ R M prix de marché du risque f Pente de la CML

7 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) 7 Décomposition du risque d un titre σ = β σ + Var ε i i M i risque total risque de marché risque spécifique E = R + βσ i f i M risque de marché E M σ R M prix de marché du risque f Seul le risque de marché est rémunéré

8 8 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) /Security Market Line (SML) On se place dans un plan où le beta des portefeuilles est porté en abscisse Pour la CML, c est l écart-type des rentabilités L espérance des rentabilités en ordonnées Security Market Line Espérance de rentabilité ( ) E = R + β E R i f i M f Pente de la SML = EE MM RR ff Actif sans risque Portefeuille de marché Beta des portefeuilles de titres

9 Pourquoi seul le risque de marché est-il rémunéré? 9 Partons de la décomposition des rentabilités RR ii = EE ii + ββ ii RR MM EE MM + εε ii Où ββ ii RR MM est associé au risque de marché et εε ii est le risque spécifique Une première approche consiste à supposer que le risque spécifique est «diversifiable» Si les εε ii ne sont pas corrélés entre eux, si leur variance est constante et si les différents titres sont équipondérés, la variance du risque spécifique du portefeuille tend vers 0 Quand le nombre de titres tend vers l infini Ce risque pouvant être éliminé par les investisseurs, il n est demandé aucune prime de rentabilité pour ce risque

10 Pourquoi seul le risque de marché est-il rémunéré? Suite L espérance de rentabilité du portefeuille RR ii = EE ii + ββ ii RR MM EE MM + εε ii Est donc identique à celle du portefeuille RR ii = EE ii + ββ ii RR MM EE MM Ce second portefeuille est colinéaire au portefeuille de marché Comme tous les portefeuilles situés sur la CML et combinant portefeuille de marché et actif sans risque Voir transparent suivant On sait que pour un portefeuille sur la CML : EE ii = RR ff + EE MM RR FF σσ MM σσ ii 10

11 Pourquoi seul le risque de marché est-il rémunéré? 11 Suite EE ii = RR ff + EE MM RR FF σσ MM σσ ii Comme RR ii = EE ii + ββ ii RR MM EE MM, σσ ii = ββ ii σσ MM Ce qui donne la relation annoncée EE ii = RR ff + ββ ii EE MM RR ff Seul le beta du titre, ββ ii et pas la volatilité de la rentabilité σσ ii détermine l espérance de rentabilité EE ii Le raisonnement précédent a deux faiblesses Premièrement, on suppose que les risques spécifiques sont pas (peu) corrélés entre eux Exemple de Peugeot et de Renault : ce n est pas le cas

12 Pourquoi seul le risque de marché est-il rémunéré? Démonstration intuitive (suite) Le raisonnement précédent a deux faiblesses Même en l absence de corrélation, les risques spécifiques ne disparaissent que pour des portefeuilles comportant une infinité d actifs Or le MEDAF vaut même pour un petit nombre d actifs On peut améliorer le raisonnement intuitif en revenant à l équilibre des marchés financiers À l équilibre les investisseurs ne demandent que de l actif sans risque et du portefeuille de marché La demande de risque spécifique est nulle Par ailleurs, l offre agrégée de risques spécifiques est nulle 12

13 Exercice : l offre agrégée de risques spécifiques est nulle Montrer que l offre agrégée de risques spécifiques XX ii εε ii = 0 Les XX ii correspondent aux poids des titres i dans le portefeuille de marché Correction succincte (aux constantes près), RR ii = ββ ii RR MM + εε ii, RR MM = XX ii RR ii D où RR MM = XX ii ββ ii RR MM + XX ii εε ii Comme CCCCCC RR MM, XX ii εε ii = 00, XX ii ββ ii = 11 D où XX ii εε ii = 00 On remarque que l équation XX ii εε ii = 00 montre que le risque spécifique est plus que «diversifié» au niveau agrégé, il n existe tout simplement pas. 13

14 CML et SML (Security Market Line) Rappel : portefeuilles sur la CML La CML représentée à droite est dans un plan (écart-type, espérance) E P Idée de la démonstration rigoureuse : La courbe bleue représente les portefeuilles combinant le titre i et le portefeuille de marché E M E i M Frontière efficiente des actifs risqués Portefeuilles combinant i et M Les courbes bleues et rouges sont tangentes en M Voir transparents complémentaires en annexe R f σ i σ M Titre i σ P 14

15 CML et Security Market Line (SML) À l équilibre, tous les titres et tous les portefeuilles de titres devraient être situés sur la SML Les betas sont représentés sur l axe des abscisses Espérance de rentabilité EE ii = RR ff + ββ ii EE MM RR ff Security Market Line EE ii Actif sans risque Portefeuille de marché Beta des portefeuilles de titres β i

16 CML et SML : Récapitulatif Pour les portefeuilles situés sur la CML uniquement Ceux qui combinent actif sans risque et portefeuille de marché EE PP = RR ff + EE MM RR FF σσ σσ PP MM Pour tous les titres et tous les portefeuilles EE ii = RR ff + ββ ii EE MM RR ff 16

17 Exercice : Médaf pour un portefeuille de titres Rentabilité d un portefeuille de titres RR PP = XXRR XX RR 22 EE PP = XXEE XX EE 22 Linéarité de l espérance MEDAF appliqué aux titres 1 et 2 : D où : ( ), β ( ) E = R + β E R E = R + E R 1 f 1 M f 2 f 2 M f ( β ( )) ( ) ( ) 1 1 β2 ( ) ( β ( ) )( ) 1 1 β2 E = X R + E R + X R + E R P f M f f M f E = R + X + X E R P f M f Ceci est cohérent avec ββ PP = XXββ XX ββ 11 Voir transparents sur la décomposition du risque 17

18 Exercice : Médaf pour les portefeuilles sur la CML Les portefeuilles sur la CML sont constitués d actif sans risque et de portefeuille de marché en quantité positive. R = XR + 1 X R, 1 X 0 ( ) P F M Remarques : RR PP = αα PP + ββ PP RR MM + εε PP Le risque spécifique au portefeuille R P est nul : εε PP = 00 Beta du portefeuille : ββ PP = 11 XX σ =Var R = Var ( 1 X) R = ( 1 X) σ σ = ( 1 X) σ Lien entre espérance et écart-type des rentabilités pour les portefeuilles sur la CML EM R F EP = RF + σ P σ M E = R + 1 X E R = R + β E R P P M M P M ( ) ( ) ( ) P F M F F P M F On retrouve directement la relation entre espérance et beta (SML) 18

19 19 La théorie du marché du capital mesures de performance Michael Jensen Alpha de Jensen α ( ) = E R β E R J i i f i M f Si αα ii JJ > 00, titre i sous-évalué. Devrait être acheté Alpha de Jensen positif Alpha de Jensen négatif L alpha de Jensen est une mesure de la distance à la SML

20 La théorie du marché du capital mesures de performance 20 Indice de Treynor maximal pour les portefeuilles efficients E A β A R f Jack L. Treynor E B E A E B β B R f

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