Question 1 Algèbre de Boole (6 pts 20 minutes) Sachant que A, B, C et D sont des variables booléennes.

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1 ELE1300 Automne Examen intra 1/13 Question 1 Algèbre de Boole (6 pts 20 minutes) Sachant que A, B, C et D sont des variables booléennes. a) En utilisant exclusivement l algèbre booléenne, démontrez en justifiant chaque étape que : A B + B C + A B C = ( A + B ) (A+ B +C) (A+B+ C ) En distribuant le membre de droite, il vient : ( A + B ) (A+ B +C) = A (A+ B +C) + B (A+ B +C) = A A + A B + A C + B A+ B B + B C = A B + A C + B (A+1+C) = A B + A C + B ( A B + A C + B )(A+B+ C ) = A B C + A CB + B A + B C = ( A +1) B C + A BC +A B = B C + A BC +A B b) En utilisant la décomposition de Shannon (sug. sur la variable B), démontrez que : ( B D + BC + A B) (AB C ) = B+D B =0) (D) 0 = D B=1) (C + A ) (A C ) = 1 Or (C + A ) est le complément de (A C ) (par De Morgan) B=1) 1 = 1 Les décompositions de Shannon des deux membres sont donc bien identiques : B D + B

2 ELE1300 Automne Examen intra 2/13 c) En utilisant une technique de votre choix, démontrez que la fonction F suivante est constante : F = (A ABC AB C A B C A B C ) ABC, AB C, A B C et A B C sont des mintermes donc un seul peut être vrai à la fois. Le XOR se comporte donc comme le OR et il vient : F = A (ABC + AB C + A B C + A B C ) F = A (A (BC + B C + B C + B C )) F = A (A (B(C + C ) + B (C+ C ))) F = A (A (B+ B )) F = A (A) F = 0 Question 2 Analyse et synthèse de circuits (8 pts 40 minutes) L implantation d une fonction logique Z relativement complexe repose sur un XOR de deux autres fonctions F X et F Y comme indiqué sur le schéma suivant :

3 ELE1300 Automne Examen intra 3/13 1) La fonction F X est spécifiée par sa table de vérité : A B C D Fx Trouver l expression disjonctive simplifiée de X au moyen de la table de Karnaugh. Évaluez son coût minimal et dessinez votre meilleur circuit X = /B/D + ACD + BCD Dessinez le circuit ci-dessous Cout = = 15

4 ELE1300 Automne Examen intra 4/13 2) La fonction F Y a déjà été réalisée par un apprenti. Elle fonctionne bien mais le patron prétend que le circuit coûte trop cher pour rien. Faites l analyse de cette fonction et proposez votre meilleur circuit en comparant les versions disjonctive et conjonctive. a) Faites l analyse de la fonction A B C D Fy AB/CD

5 ELE1300 Automne Examen intra 5/13 b) Déterminez sa forme disjonctive optimale Y =/B/C/D + BC/D + /A/BCD CD AB Coût = = 17 c) Déterminez sa forme conjonctive optimale Y = (/B+C)(/B+/D)(/A+/D)(C+/D)(B+/C+D) Cout = = 22 d) Votre patron vous demande de porter un regard critique sur la première implantation de F Y. Qu allez-vous lui dire? 1) Pour une forme conjonctive, il aurait fallu utiliser des portes inverseuses (NOR) 2) La forme proposée était sous optimale (A+C+/D) vs. (C+/D) 3) La forme disjonctive est préférable (avec des NAND)

6 ELE1300 Automne Examen intra 6/13 3) Sachant que finalement, seule la valeur de Z importe, proposez votre meilleur circuit pour implanter Z(A,B,C,D) Z = C AB/CD Z Coût 0 Dessinez le circuit optimisé. Un simple fil!

7 ELE1300 Automne Examen intra 7/13 Question 3 Circuits usuels (6 pts 30 minutes) Considérez la fonction F décrite par sa table de vérité ci-dessous. A B C F Remarque : En entrée, vous avez toujours accès aux variables et à leurs inverses. 1) Vous devez réaliser la fonction F à l aide d un multiplexeur à une seule variable de sélection (MUX 2 à 1). Essayez de réduire le circuit sur chacune des variables A, B et C et indiquez si la décomposition permet une implantation avec seulement une porte NAND supplémentaire. 2) Proposez une implémentation de la même fonction au moyen d un décodeur 3 à 8 et en employant une porte OR :

8 ELE1300 Automne Examen intra 8/13 3) Proposez une implémentation de la même fonction F au moyen d un décodeur 2 à 4 et d une porte NOR à 2 entrées: Question 4 Conception de circuit (5 pts 30 minutes) Vous devez réaliser un jeu de roche-papier-ciseau numérique. Il y a donc deux joueurs A et B qui disposent chacun d un interrupteur à trois positions qui encode le choix sur deux bits, selon l encodage suivant, pour chacun des joueurs (A 1 A 0 ) et (B 1 B 0 ) 00 : Roche 01 : Papier 10 : Ciseaux Le système a deux lumières (sorties) S A et S B. La roche l emporte sur le ciseau. Le ciseau l emporte sur le papier et le papier l emporte sur la roche. Donc, par exemple, si A 1 A 0 = 01 (Papier) et B 1 B 0 = 10 (Ciseau), c est le joueur B qui l emporte et la lampe B s allume (S A = 0 et S B = 1). En cas d égalité, aucune lumière ne s allume. Proposez votre meilleur circuit (le moins couteux) pour réaliser la fonction demandée. Vous devez remplir la table de vérité ci-dessous. A 1 A 0 B 1 B 0 S A S B

9 ELE1300 Automne Examen intra 9/13 Dessinez votre meilleur circuit ci-dessous : SA = B1/A1/A0 + A0/B1/B0 +A1B0 SB = B0/A1/A0 + A1/B1/B0 +A0B1

10 ELE1300 Automne Examen intra 10/13 Question 5 - Quine-McCluskey (5 pts 30 minutes) Soit la fonction logique F(,,, )= m(1, 3, 10, 11, 12, 14) + δ(0, 4, 5, 8), où δ donne les minterms facultatifs. 1) Retranscrire les maxterms de la fonction F(,,, ) sous forme binaire en soulignant les maxterms facultatifs: F(,,, ) = Vous pouvez au besoin vous aider de la table suivante : a b C d F

11 ELE1300 Automne Examen intra 11/13 2) Procéder par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(a, b, c, d) et identifier les impliqués premiers X0 0XX X00 01XX 0100 X000 X1X X10 010X 01X0 100X 01X1 X X 1X01 X111 11X1 Impliqués premiers sous forme binaire : X X 1X01 0XX0 01XX X1X10 ; 0x01 ; 111x ; x1x1

12 ELE1300 Automne Examen intra 12/13 3) Utiliser la table suivante pour identifier les impliqués essentiels de F(a, b, c, d) X f 100X * g 1X01 * * 0XX0 (*) * 01XX * * X1X1 * * (*) Impliqués essentiels : 0XX0 X1X11 4) Utilisez la méthode de Petrick simplifiée (après élimination des impliqués essentiels) pour trouver toutes les solutions. Écrivez chaque solution sous sa forme algébrique (conjonctive) et donnez son coût minimal. Indiquez la solution retenue. Équation de Petrick : f+g, soit deux solutions : (A+D) (/B+/D) (/A+B+C) : coût = = 14 (A+D) (/B+/D) (/A+C+/D) : coût = = 14 5) Confirmez votre résultat en utilisant une table de Karnaugh :

13 ELE1300 Automne Examen intra 13/13 Question 6 Bonus Cette question est facultative. Toutefois, la réussir montrerait que vous maitrisez la matière à un niveau supérieur à ce qui est normalement attendu de vous et nous permettrait de le prendre en note à votre avantage. Le circuit logique implémentant la fonction logique F de 10 entrées est constitué d un additionneur à 10 entrées, suivi d un comparateur à la constante 2. La fonction F est donc vraie si et seulement si le nombre de ses entrées vraies est supérieur à 2. Combien de maxtermes y a-t-il dans cette fonction? Le nombre de maxtermes correspond au nombre de points pour lesquels la fonction est fausse, soit toutes les combinaisons dont la somme est inférieure ou égale à 2. 1) Toutes les entrées à zéro (1 possibilité) 2) Une seule entrée à 1 (10 possibilités) 3) Deux entrées à 1 (45 possibilités) Total : 56 maxtermes Bon travail!