Rappels et compléments d algèbre linéaire

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1 Rappels et compléments d algèbre linéaire Table des matières 1 Somme et somme directe de p sous-espaces vectoriels de la somme de plusieurs sous-espaces vectoriels de E Somme directe de p sous-espaces vectoriels Dimension d une somme directe de p sous-espaces vectoriels Caractérisation de sommes directes par concaténation des bases Base de E adaptée à une décomposition de E en somme directe Projecteurs et symétries. 3 3 Sous-espace stable par un endomorphisme. 4 4 Changement de base Matrice d un endomorphisme dans une base Matrice de passage de vers Formule de changement de base Matrices semblables Trace Trace d une matrice carrée Propriétés Invariance de la trace par changement de base

2 Dans ce chapitre, E est un espace vectoriel sur ( = ou ). 1 Somme et somme directe de p sous-espaces vectoriels. 1.1 de la somme de plusieurs sous-espaces vectoriels de E. Soit (F 1,..., F p ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme des sous-espaces F 1,..., F p, le sous-espace vectoriel de E : F F p = x E x 1,... x p F1 F p / x = x x p Autrement dit, tout vecteur de la somme se «décompose» en la somme (pas nécessairement unique) de vecteurs dont chacun est dans l un des sous-espaces. 1.2 Somme directe de p sous-espaces vectoriels. La somme F F p est dite directe si et seulement si : x F F p,! x 1,... x p F1 F p / x = x x p et on note alors cette somme F 1 F p. Autrement dit, pour tout vecteur de la somme, la «décomposition» est unique. : Caractérisation de la somme directe Soit (F 1,..., F p ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : 1. la somme F F p est directe, 2. pour tout x 1,..., x p F1 F p, si x x p = 0 alors x 1 = = x p = 0, 1.3 Dimension d une somme directe de p sous-espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension finie. Soit (F 1,..., F p ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. On suppose que la somme F F p est directe, alors dim F 1 F p = dim(f1 ) + + dim(f p ). 1.4 Caractérisation de sommes directes par concaténation des bases.. On suppose que E est de dimension finie. Soit (F 1,..., F p ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. Pour tout i 1, p, on considère une base i de F i. La somme F F p est directe si et seulement si la concaténation des bases 1,..., p est une famille libre de E. 2

3 1.5 Base de E adaptée à une décomposition de E en somme directe. On suppose que E est de dimension finie. Soit (F 1,..., F p ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. On suppose que : F 1 F p = E. Pour tout i 1, p, on considère une base i de F i. Alors = 1 p est une base de E. On dit que est une base de E adaptée à la décomposition en somme directe : F 1 F p = E 2 Projecteurs et symétries. Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel sur ( = ou ). E n est pas supposé être de dimension finie. Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. E = F G On appelle projecteur sur F de direction G l application : p : E E x = y + z p( x) = y y F, z G Propriétés Soit E = F G. Soit p le projecteur sur F de direction G. Alors : p (E) Ker(p) = G Im(p) = Ker (p Id E ) = F p p = p. : Caractérisation des projecteurs Soit u (E). Alors : u est un projecteur de E si et seulement si u 2 = u. Dans ce cas Ker u Im u = E et u est le projecteur sur Im u de direction Ker u. Exercice 1 Soit E un -espace vectoriel de dimension 3. Soit = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E. Soit f l endomorphisme de E ayant pour matrice M = dans la base. 1. Montrer que f est un projecteur. 2. Déterminer ses éléments caractéristiques. (c est-à-dire son image et son noyau) Exercice 2 On fixe A [X ]. On suppose que deg A= n ; On considère l application Φ qui à un polynôme P [X ] associe le reste de la division euclidienne de P par A. 1. Montrer que Φ est un projecteur. 2. Déterminer ses éléments caractéristiques. (c est-à-dire son image et son noyau) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. E = F G On appelle symétrie par rapport à F parallélement à G l application : s : E E x = y + z s( x) = y z y F, z G 3

4 Remarque Soit E = F G. Soit s la symétrie par rapport à F parallélement à G et p le projecteur sur F de direction G. Alors : s = 2p Id E. Propriétés Soit E = F G. Soit s la symétrie par rapport à F parallélement à G. Alors : s (E) F = Ker(s Id E ) G = Ker (s + Id E ) s s = Id E. : Caractérisation des symétries Soit u (E). Alors : u est une symétrie de E si et seulement si u 2 = Id E. Dans ce cas Ker (u Id E ) Ker (u + Id E ) = E et u est la symétrie par rapport à Ker (u Id E ) parallélement à Ker (u + Id E ). 3 Sous-espace stable par un endomorphisme. Soit u (E) et F un sous-espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u si seulement si : c est à dire si et seulement si : u(f) F x F, u ( x) F : Endomorphisme induit sur un sous-espace stable Soit u (E) et F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Alors, l application : u : F F x u ( x) est un endomorphisme de F. On l appelle endomorphisme induit par u sur le sous-espace stable F. Propriétés Soit (u, v) ( (E)) 2. Si F est stable par u et v alors il est stable par u v. Soit u (E). Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. On suppose que (e 1,..., e p ) est une base de F. Alors : F est stable par u i [1, p ], u(e i ) F. Exercice 3 Soit (u, v) ( (E)) 2 vérifiant u v = v u. Montrer que Im v et Ker v sont stables par u. 4 Changement de base. Désormais E est un -espace vectoriel de dimension n. 4.1 Matrice d un endomorphisme dans une base. Soit = ( e 1,..., e n ) une base de E. On appelle matrice de l endomorphisme u (E) dans la base la matrice : α 1,1... α 1,n Mat (u) =.. n() α n,1... α n,n dont les colonnes sont les coordonnées dans la base des images par u des vecteurs de la base, 4

5 c est à dire que : n j 1, n, u( e j ) = α i,j e i i=1 Propriété L application u (E) Mat (u) n () est un isomorphisme de -espaces vectoriels c est à dire que : (λ, µ) 2, (u, v) (E) 2, Mat (λu + µv) = λmat (u) + µmat (v) A n (),!u (E) / A = Mat (u) dim( (E)) = dim( n ()) = n 2 = dim(e) 2 Exercice 4 n est un entier naturel non nul. On définit, l application qui à un polynôme P de n [X ] associe le polynôme réel (P) vérifiant, pour tout réel x, (P)(x) = P(x + 1) P(x). On pose F 0 = 1 et pour tout k [1, n ] F k = 1 X (X 1) (X k + 1). k! 1. Montrer que est un endomorphisme de n [X ]. 2. est-il un automorphisme de n [X ]? 3. Montrer que la famille (F 0,..., F n ) est une base de n [X ]. 4. Pour tout k [0, n ] calculer (F k ). En déduire la matrice de dans la base (F 0,..., F n ). 5. Déterminer Ker. Montrer que Im = n 1 [X ]. Exercice 5 Soit E un -espace vectoriel de dimension 3. Soit = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E. Soit P le plan de E d équation x = y dans la base et D la droite vectorielle dirigée par e Montrer que P D = E. 2. Écrire la matrice dans la base du projecteur sur P de direction D. Exercice 6 question courte ESCP Soit E l ensemble des endomorphismes f de n [X ] tels que pour tout polynôme P, deg f (P) deg P. Montrer que E est un -espace vectoriel et déterminer sa dimension. : Lien entre les opérations matricielles et le calcul de l image par un endomorphisme Soit u (E) et A = Mat (u). Soit X la matrice colonne des coordonnées d un vecteur x E dans la base. Alors Y = AX est la matrice colonne des coordonnées de y = u( x) dans la base. Propriété Si u (E) et v (E) alors : En conséquence, si u (E) alors : y = u( x ) Y = AX Mat (u v) = Mat (u) Mat (v) k, Mat (u k ) = Mat (u) k. si u (E) alors : Mat (u 1 ) = Mat (u) 1. 5

6 4.2 Matrice de passage de vers. On appelle matrice de passage de la base vers, la matrice P, dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de exprimées dans la base. P, = [p i,j ] 1i,jn avec e j = n p i,j e i. Propriété Soit x E. On note X la matrice colonne des coordonnées du vecteur x dans la base de E. On note X la matrice colonne des coordonnées du vecteur x dans la base de E. Alors X = P, X Toute matrice de passage d une base de E vers une autre base de E est inversible et i=1 P 1, = P, 4.3 Formule de changement de base. u (E) Mat (u) = P 1, Mat (u) P, 4.4 Matrices semblables. Deux matrices A et B carrées sont semblables s il existe une matrice inversible P telle que B = P 1 AP. A et B peuvent être interprétées comme les matrices d un même endomorphisme dans des bases différentes. Exercice 7 Soit E un -espace vectoriel de dimension 3. Soit = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E. Soit u l endomorphisme de E ayant pour matrice M = dans la base. 1. Montrer que f est une symétrie. 2. Déterminer ses éléments caractéristiques. 3. Déterminer une base de E telle que Mat (u) = où = Expliquer pourquoi M et sont deux matrices semblables. 6

7 5 Trace. 5.1 Trace d une matrice carrée. La trace de la matrice A = (a i,j ) 1i,jn n () est la la somme de ses coefficients diagonaux. 5.2 Propriétés. Tr(A) = : Linéarité de la trace. L application de n () vers qui à une matrice associe sa trace est une forme linéaire. En d autres termes : (A, B) n () n (), (λ, β) 2 Tr(λA + βb) = λtr(a) + βtr(b) Exercice 8 E = n () ; déterminer la dimension de H = {A E/Tr(A) = 0}. Exercice 9 1. Montrer que (A, B) n () 2, Tr(AB) = Tr(BA) 2. Peut-on trouver deux matrices A et B de n () vérifiant AB BA = I n? 5.3 Invariance de la trace par changement de base. Deux matrices semblables ont la même trace. En d autres termes : Pour toute matrice A de n () et toute matrice P de n () inversible, on a : n i=1 a i,i Tr(A) = Tr(P 1 AP). Exercice 10 E est un espace vectoriel sur de dimension n. 1. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace. 2. Pour f (E), justifier la notation Tr(f ). 3. Soit p un projecteur de E. Montrer que : Tr(p) = rg p. 7