Trinômes du second degré:

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1 Trinômes du second degré: O Introduction I Discriminant: II Résolution d'une équation du second degré : factorisation du trinôme ax + x + c III UTILISATION Procédure : IV étude du signe de f(x : V somme et produit des deux racines d'un trinôme: Huerga 000 -

2 0 Introduction : Un trinôme du second degré peut s'écrire sous la forme ax + x + c On appelle racine du trinôme tout nomre solution de l'équation du second degré ax +x+c = 0 Pour résoudre une équation du second degré ou une inéquation du second degré ou ien pour factoriser un trinôme du second degré on ddooiitt eenn pprreemmiieerr (si les solutions ne sont pas visiles directement calculer un nomre appelé le discriminant du polynôme (noté < "delta", tel que < = -4ac I Discriminant: Des que l'on effectue des calculs sur un trinôme du second degré un nomre très important doit être calculé il est appelé "delta", sa notation est la lettre grecque "delta" (on la notera <, sa notation est Ce nomre vaut, dans un trinôme de la forme ax +x+c : < = -4ac C'est en calculant ce nomre que nous pourrons déterminer le nomre et la valeur des racines de ce trinôme ainsi que son signe ou sa forme factorisée II Résolution d'une équation du second degré : factorisation du trinôme ax + x + c. Si <> 0, l' équation ax + x + c = 0 a deux solutions ( le polynôme a deux racines qui sont : x =( - - /a et x =(-+ / a le trinôme est alors factorisale et sa factorisation est : ax + x + c = a ( x - x ( x - x. Si <= 0 l' équation ax + x + c = 0 a une solution unique, (le trinôme admet une racine dite doule qui est x = x = a Le trinôme est alors factorisale et sa factorisation est : ax + x + c = a ( x - x ( x - x = a ( x - a ² 3. SI < < 0 le trinôme n'a pas de racines donc l'équation ax + x + c = 0 n'a pas de solutions et le polynôme ax + x + c n'est pas factorisale Huerga 000 -

3 III UTILISATION Procédure : Exemple : Soit à résoudre 5x² - x - = 0 - On identifie a,, c dans l expression. Ici a= 5, = -, c = - (attention aux signes - On calcule : = 4ac donc ici = ( - ² - 4 (5 (- = + 0 = Ici >0 - On identifie le cadre dans lequel on se trouve en fonction du signe de - On en conclu sur l existence et la valeur éventuelle des racines (solutions de l équation Ici >0 donc l équation admet deux racines distinctes qui sont : x = + a et x = a donc et ( 5 ( ( 5 ( x = + donc x = + 0 = 0 = x = donc x = 0 0 = 0 = - On conclue : conclusion l équation 5x² - x - = 0 admet deux racines distinctes qui sont : x = et 5 x = 5 Exemple : Suivons plus rapidement cette démarche. 3 Huerga Résoudre l équation 8 x² - x + = 0 a = 8, = -, c =. Calculons ; = ² - 4a c Donc = ( -² - 4 (8 ( = 3-3 = 4. Donc le discriminant est positif l équation admet deux solutions distinctes qui sont : x = + a et x = a Calculons x = = = et x = 4 4 = = Conclusion : l équation 8 x² - x + = 0 admet S = ; comme ensemle solution. 4 4

4 Exemple 3 : Résoudre l équation 8 x² - 5x + = 0 a = 8, = -5, c =. Calculons ; = ² - 4a c Donc = ( -5² - 4 (8 ( = 5-3 = - 7 Le discriminant est ici négatif donc l équation n admet aucune solution réelle Conclusion l ensemle solution est vide ( on note S= Autres exemples d utilisation : Factoriser si c est possile : P(x = x² +7x +4 Ici a =, = 7, c =4 Calculons le discriminant = 4ac donc = 7² = 49 - = 33: donc le discriminant est strictement positif le polynôme est alors factorisale et P(x = a x + x donc P(x = a x x 7 33 a a et on a fini! Résoudre l'équation : x -x-8=0 x -x-8=0 ici dans l'expression ax +x+c = 0 on a : a=, = -, c=-8 Calculons le discriminant < <= - 4 * * (-8 = 4-4 * (-8 = 3 Le trinôme a donc deux racines : (-(- - 3 / = - (-(- + 3 / = 4 le trinôme a deux racines - et 4. Exercices : Factoriser si c est possile les polynômes suivants : Px= - 3x² + 5x + 4 P(x = x² -x +7 P(x = x² -4 x + 4 P(x = x² + x + 7 réponse réponse réponse réponse Réponses : Px= - 3x² + 5x + 4 P(x = x² -x +7 P(x = x² -4 x P(x = x² + x Huerga 000 -

5 = = 73 donc positf P est factorisale et P(x = -3( x ( x = 4-5 = - 5 donc est négatif P n est pas factorisale + 4 = = 0 donc = 0 P est factorisale et P(x = ( x - ² = - 5 = - 55 donc est négatif P n est pas factorisale P(x = -3( x (x IV étude du signe de f(x : Trois cas vont donc se présenter dans la recherche du signe de P(x (donc dans la résolution d inéquations du second degré. - Si < 0 le polynôme n est pas factorisale et est du signe de a partout l étude du signe est finie. - Si =0 le polynôme P(x est factorisale et sa forme factorisée est : P(x = a ( x x Etudions le signe de la forme factorisée, ( x x n est nul que si x = x pour sa valeur racine où x est la solution doule de l équation P(x=0 est un carré donc toujours positif et = a donc le signe de P(x est celui de a partout et ne s annule que - Si 0 le polynôme P(x est factorisale et sa forme factorisée est P(x = a( x x ( x x où x et x sont les solutions de l équation P(x=0 Etudions le signe de la forme factorisée, Pour étudier son signe il nous faut étudier le signe de ( x x ( x x le prolème que nous rencontrons pour l étude due ce signe est que nous ne savons pas laquelle des deux racines est la plus grande pour pouvoir utiliser le taleau de signes. Nous noterons x" la plus petite des deux racines et x' la plus grande. le produit peut alors s écrire x x' x x" P(x = a ( ( Construisons le taleau de signe du produit ( x x' ( x x " puis celui de P(x x x" x' + ( x x' ( x x" Prod a signe de a ax²+x+ c signe de a 0 signe opposé de a 0 signe de a 5 Huerga 000 -

6 Exemples :. Résoudre 3x² + 5x Calculons le discriminant du polynôme P(x = 3x² + 5x + 3 = 4ac donc ici = 5-4 (3( 3 = 7 donc le polynôme admet deux racines distinctes qui sont : x 5 7 x = = + et x a = 5 7 donc ici x = + et a la plus petite des deux est ici x d où le polynôme étant du signe de a (c est à dire positif à l extérieur de ses racines les solutions de l inéquation proposée sont à l intérieur des racines ornes comprises car l inéquation est au sens large. conclusion : 3x² + 5x x ; La présentation n est ien sur pas unique, on aurait aussi pu présenter ceci : x x x + ax²+x+c signe de a 0 signe opposé 0 signe de a de a 3x² + 5x Donc l ensemle solution de 3x² + 5x se situe entre ses racines, racines comprises donc S = ;. Huerga Résoudre - 3x² + 5x -3 > 0 Calculons le discriminant du polynôme P(x = - 3x² + 5x -3 = 4ac donc ici = 5-3 = - 9 donc le discriminant est strictement négatif, le polynôme n a donc pas de racine, et est de signe constant celui de a d après le théorème précédent. Le polynôme est donc de signe strictement négatif partout donc l ensemle solution à l inéquation est vide? Il n y a aucune solution réelle à cette inéquation. Résumé signe d'un polynôme du second degré

7 * Si < > 0, f(x est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a entre les racines * Si < = 0, f(x est du signe de a pour tout réel différent de a * Si < <0, f(x est du signe de a pour tout réel. Exercices : Résoudre 5x² + 4x + >0 3x² +4x - <0 3x²+ x+ <0 -x² +5x -7 0 Solutions page suivante 7 Huerga 000 -

8 5x² + 4x + >0 3x² +4x - <0 3x²+ x+ <0 -x² +5x -7 0 Tout nomre est solution S= + pas de solution tout nomre est 0 0 ; solution. 3 3 V somme et produit des deux racines d'un trinôme:. Elément de simplification des calculs, somme et produit des racines.. Soit P(x =ax² + x + c avec a 0 = 4ac plaçons nous dans le cas du discriminant positif ou nul est rappel ; 0 le polynôme P(x est factorisale et sa forme factorisée P(x = a( x x ( x x où x et x sont les solutions de l équation P(x=0 Développons cette dernière expression : P(x = a( x x ( x x = a x axx axx + xx = ax a( x+ x x+ axx Donc P(x= = ax a( x + x x + axx or P(x = ax² + x + c pour tout x réel donc par identification des coefficients nous otenons : a = a = a( x + x c = axx donc x+ x= et xx = c a a On peut en conclure qu un polynôme du second degré admettant des racines a des coefficients qui s écrivent en fonction de la somme et du produit de ses racines. Si on note S la somme des racines c est à dire S= x+ x et P le produit de ses racines c est à dire P= xx Le polynôme P(x = ax² + x + c peut s écrire P(x = ax² - as x + a P où encore P(x = a ( x² - Sx + P où S et P sont la somme et le produit des racines de P(x. Conclusion : Soit P(x =ax² + x + c avec a 0 Si 0 le polynôme P(x est factorisale et sa forme factorisée est P(x = a( x x ( x x Soit S la somme de ses racines et P le produit de ses racines alors : S= x + x = a et P= xx = c a 8 Huerga 000 -

9 Px = a ( x² - Sx + P Première conséquence de ce théorème si l on connaît une racine d un polynôme on sait calculer l autre de manière directe Exemple: soit P(x = 3x²-x- Calculer P(, puis factoriser ce polynôme. Réponse : P(= = 0 donc est racine du polynôme (c est une solution de l équation P(x = 0 donc P(x admet une racine son discriminant est donc forcement positif ou nul, cherchons l autre racine notons les x et x"= on sait que P= xx ' "= c donc x = donc x = a 3 3 Le polynôme admet donc deux racines distinctes et se factorise sous la forme x x' x x" P(x= a( ( P(x = 3 ( x - ( x + 3 commentaire cette méthode nous a permis d éviter de calculer le discriminant... Deuxième conséquence de ce théorème Il permet de résoudre les prolèmes (nomreux en particulier en physique et en mathématiques commerciales de recherche de nomres connaissant leur somme et leur produit. Exemple : Soit deux nomres x et xy tels que x + y = 5 et xy = - trouver x et y supposons que ces deux nomres soient les racines d une équation du second degré alors S = 5 et P= - Ces nomres sont donc solutions des équations a (x² - Sx + P = 0 où a est non nul. On peut ien sur choisir a = Il nous reste alors à résoudre l équation x² - 5x - = 0 = 5 +4 = 49 donc cette équation admet deux solutions qui sont : 5 49 x = = = et x = = = les nomres cherchés sont donc et -. 9 Huerga 000 -