LIMITES DE FONCTIONS

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1 LIITES DE FCTIS ) LIITE E ET E A ) LIITE IFIIE E ET E Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a ; [ où a est un réel. Intuitivement, dire que f a pour ite en, sinifie que lorsque prend des valeurs de plus en plus randes vers, «les nombres correspondants finissent par être aussi rands que l on veut». n note : = d Lorsque prend des valeurs de plus en plus rande, la courbe finit par se situer au dessus de n importe quelle droite horizontale. De manière plus mathématique (moins intuitive ) : Tout intervalle de la forme ] ; [ finit par contenir toutes les valeurs. n écrit aussi : Pour tout réel 0, il eiste un réel m tel que, si m, alors ] ; [ n dit aussi que la fonction f tend vers quand tend vers. Eemples à connaître : =, ² =, 3 =, = n définit de la même façon f = Les nombres f deviennent néatifs et de plus en plus rands en valeur absolue f = f = Dans la pratique, on peut utiliser la remarque suivante : Dans ces deu cas, f est définie sur un intervalle de la forme ] ; b ] = f B ) LIITE FIIE E ET E ET ASYPTTE HRIZTALE Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a ; [ où a est un réel et soit L un réel donné. Intuitivement, dire que f a pour ite L en, sinifie que lorsque prend des valeurs de plus en plus randes vers, «les nombres correspondants viennent s accumuler autour de L». n note : f =L n dit que la droite d équation y = L est asymptote horizontale à la courbe en. Lorsque prend des valeurs de plus en plus randes, la distance tend vers 0. La courbe se rapproche sans cesse de la droite d équation y= L. L De manière plus mathématique (moins intuitive ) : Tout intervalle ouvert contenant L finit par contenir toutes toutes les valeurs. n écrit aussi : Pour tout 0 (aussi petit qu il soit) il eiste un réel m tel que, si m, alors ]L ; L [. - ites de fonctions - auteur : Pierre Lu - pae / 5 -

2 n définit de la même façon : = L f est définie sur un intervalle de la forme ] ; b ] Eemples à connaître : = 0, =0 2, La courbe représentant la fonction comme asymptote en et en. =0 3, = 0 =0, La distance tend vers 0 quand tend vers. La droite d équation y = L est asymptote horizontale à la courbe en. 2 =0, 3 =0 admet l ae des abscisses comme asymptote en ; les trois autres courbes admettent cet ae Une fonction n a pas forcément une ite finie ou infinie quand tend vers. ( Par eemple sin, cos ) L C ) ASYPTTE BLIQUE Soit a ( a 0) et b deu réels et C la courbe représentant une fonction f dans un repère. Dire que la droite d équation y = a b est asymptote oblique à C en (respectivement en ) revient à dire que : f a b =0 (respectivement f a b =0 ) Une fonction peut avoir une ite infinie lorsque tend vers ou vers sans que sa courbe possède une asymptote. (c est le cas de la fonction carrée) La distance tend vers 0 quand tend vers. 2 ) LIITE E a (avec a réel) Lorsque que l on définit la ite d une fonction f en un réel a, on considère que : a D f ou a est une borne de D f A ) LIITE IFIIE E a ET ASYPTTE VERTICALE Soit f une fonction. Intuitivement, dire que f a pour ite en a, sinifie que lorsque prend des valeurs de plus en plus proches de a, «les nombres correspondants finissent par être aussi rands que l on veut». n note : f = n définit de la même façon f = a a n dit que la droite d équation = a est asymptote verticale à la courbe. Lorsque prend des valeurs de plus en plus proches de a, la courbe Cf finit par se situer au dessus (et en dessous pour la deuième fiure) de n importe quelle droite horizontale. Il arrive souvent qu on soit amené à définir des ites «d un seul côté de a». aturellement, on introduit les notions de ite à droite en a et de ite à auche en a et on note : + Eemples : et =, + =, ou encore + f et f a a 2 =, a a + 2 =, 3 =, = 3 = + Les courbes représentant ces fonctions admettent l ae des ordonnées comme asymptote verticale. f a Dans ce cas + = = - ites de fonctions - auteur : Pierre Lu - pae 2 / 5 -

3 B ) LIITE FIIE E a n a déjà vu la notion de ite finie en zéro dans le chapitre sur la dérivation en S. La notion de ite finie en a est identique Soit f une fonction telle que a soit dans son ensemble de définition Df ou soit une borne de Df et soit L un réel donné. Intuitivement, dire que f a pour ite L en a, sinifie que lorsque prend des valeurs de plus en plus proches de a «les nombres correspondants viennent s accumuler autour de L». n note : f = L De manière plus mathématique (moins intuitive ) : Tout intervalle ouvert contenant L finit par contenir toutes les valeurs. n écrit aussi : Pour tout 0 (aussi petit qu il soit) les nombres finissent par se situer dans l intervalle ]L ; L [. n admet que si une fonction f est définie en a et si f admet une ite finie en a, alors : f = f a C est le cas, en tout point de l ensemble de définition, des fonctions polynômes, rationnelles et trionométriques, de la fonction racine carrée et des composées de ces fonctions. Cette remarque nous permet de déterminer rapidement la ite d une telle fonction en tout point de son ensemble de définition. Eemples : sin 3 4 =sin 3, 2 3= Attention : Comme nous le verrons en eercice, toutes les fonctions n admettent pas forcément une ite finie en tout point de leur ensemble de définition. (la ite à droite et la ite à auche peuvent être différentes ) 3 ) PÉRATI SUR LES LIITES Ces opérations sont identiques à celles déjà vues avec les suites. Les théorèmes qui suivent, présentés sous forme de tableau sont admis. Pour la plupart d entre eu, ils sont naturels mais comme souvent en math, il y a quelques cas particuliers. Par convention et pour simplifier : on note f et les ites de f et de, toutes les deu en a, en ou en on note par un point d interroation (?) les cas où il n y a pas de conclusion énérale. n dit qu il s ait de cas de formes indéterminées. Ces cas nécessiteront une étude particulière chaque fois qu ils se présenteront. Limite de k f ( où k est un réel donné ) f L kf ( avec k 0 ) kl kf ( avec k 0 ) kl Eemple : Soit la fonction définie sur R * par : 2 2. n a = 2 f avec f : Comme 2 0 et 2 =, on en déduit que = Limite de f f L L L L f L L? Eemple : Soit la fonction h définie sur R + * par h : 2 2 n a h= f avec f : et : 2 2 Comme f = et =0, on en déduit que h = - ites de fonctions - auteur : Pierre Lu - pae 3 / 5 -

4 Limite de f f L 0 L f L L? Eemple : Soit la fonction h définie sur R + par h : 2 n a h= f avec f : 2 et : Comme =2 et =0, on en déduit que h = 0 Limite de f f L L ou ou L 0 0 L L 0 L 0 L 0 L 0 0 en restant 0 en restant 0 en restant 0 en restant 0 positive néative positive néative f L 0?? L ' Cas où la ite de n est pas nulle Cas où la ite de est nulle «0 en restant néative ou positive» sinifie que arde un sine constant au voisinae de a, en ou en suivant les cas. n note =0 + pour indiquer que tend vers 0 en restant positive. n note = 0 - pour indiquer que tend vers 0 en restant néative. Eemple : Soit la fonction h définie sur R * + par h : 2 4 n a h= f ou f : 2 4 et : Comme = 4 et = 0 +, on en déduit que h = ) LIITE D'UE FCTI CPS ÉE Propriété : admise Soit f, et h trois fonctions telles que = h. Chacune des lettres a, b et c désine soit un réel, soit, soit. Si h =b et si =c, alors f =c b Dans la pratique, on cherche d'abord la ite b de h en a, puis la ite de en b. Preuve intuitive : cas où a, b et c sont des réels. n a h =b. Ainsi, lorsque tend vers a, les nombres h se rapprochent de b. Posons h = X. n a alors = X. Lorsque les nombres X tendent vers b, alors les nombres X se rapprochent de c, puisque =c b. n en déduit que h =c Eemple : Soit = Calculer f Posons X = n a alors = X X = et X X =. n en déduit que f =. Le procédé est identique pour une suite définie par u n = v n. (par eemple la suite définie par u n = 2 n 2 3 n 5) - ites de fonctions - auteur : Pierre Lu - pae 4 / 5 -

5 5 ) THÉRÈES DE CPARAIS A ) THÉRÈE DES GEDARES Théorème des endarmes ou théorème d'encadrement : admis Soit f, et h trois fonctions définies sur un intervalle ]b ; [ où b est un réel et soit L un réel donné. Si pour tout ]b ; [, f h et = h = L, alors, f =L Ce théorème reste valable pour des ites en et en un réel a. Il suffit dans les hypothèses de modifier le domaine de validité des inéalités. Eemple : Soit = cos. Calculer f Pour tout R + *, on a : cos, donc cos. r = =0. D'après le théorème des endarmes, on déduit que f =0 Propriété : B ) CPARAIS À L'IFII Soit f et deu fonctions définies sur un intervalle ]b ; [ où b est un réel. Si pour tout ]b ; [ f et si Si pour tout ]b ; [ et si Preuve : non eiible =, alors =, alors f = f = Ce théorème reste valable pour des ites en. Soit 0. =, il eiste donc un réel m tel que, si m, alors ] ; [. r f. n en déduit que, si m, alors ] ; [. Ce résultat est vrai pour tout réel 0. Donc f = Le deuième résultat se démontre de la même façon. Eemple : Soit = sin. Calculer f Pour tout R, on a : sin, donc sin r =. n en déduit que f = - ites de fonctions - auteur : Pierre Lu - pae 5 / 5 -