Chapitre 4.5 Le moment d inertie par intégration

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Jean-Baptiste Duval
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la contibution e toutes les asses infinitésiales en effectuant une soation.

1 Chapite. e oent inetie pa intégation Découpage une ensité e asse Pou évalue l inetie un objet non ponctuel, il faut écoupe l objet en plusieus volues infinitésiaux e asse et calcule l inetie totale povenant e la contibution e toutes les asses infinitésiales en effectuant une soation. Voici quelques foes e écoupage infinitésial féqueent eployées : En D : Densité linéaie [ ] Tige : = λ x λ x λ = kg/ et = λ Tige cylinique : = λ θ En D : Densité sufacique [ ] = kg/ Caé : = σ x y σ et = σ A Caé cylinique : = σ θ Caé sphéique: = σ sin ( θ y σ x En D : Densité voluique [ ] = kg/ Cube : = ρ xy z y ρ et = ρ V Cube cylinique : = ρ θ z Cube sphéique : = ρ sin ( θ z ρ x eaque : x, y, z [.. ] et [.. ] θ [.. ] [.. ] θ : ongitue θ : Axe paallèle à x : Axe paallèle à z : Colatitue «otation plan xy» «otation +z à z» Ce écoupage s effectue ans le systèe xyz qui pote le no e cooonnée catésienne. Ce écoupage s effectue ans le systèe θz qui pote le no e cooonnée cylinique. Ce écoupage s effectue ans le systèe θφ qui pote le no e cooonnée sphéique. éféence : Mac Séguin, Physique XX Volue A Page Note e cous éigée pa : Sion Vézina

2 Moent inetie un cops selon l z e oent inetie un cops pa appot à l z e otation peut ête évaluée en écoupant le cops en un nobe infini e oceaux infinitésiaux e asse et en aitionnant tous les oents inetie povenant e tous ces oceaux e asse : = = où : Moent inetie total u cops ( kg : Distance ans le plan xy ente l z et ( : Moceau infinitésial e asse (kg z x y z e otation Situation : e oent inetie une tige. Une tige hoogène e asse et e longueu toune autou un pepeniculaie à elle-êe qui passe pa une e ses extéités (voi schéa ci-conte. On ésie utilise le calcul intégal pou onte que son oent inetie est onnée pa : = Évaluons la ensité linéaie λ e asse e la tige, puisqu elle est unifoe : λ = Découpons note tige en oceau e tige infinitésiale e lageu x et epésentons la esue u oent inetie à l aie e note systèe x sachant que l oigine est située su l e otation : Moent inetie infinitésial : et = = λ x = x x ( x Posons note intégale afin aitionne toutes les ineties povenant e tous les situés su la tige ente la cooonnée x = et x = : = = (eplace = = ( x ( x λ (eplace = x et = λ x = λ x x (Factoise la constante λ éféence : Mac Séguin, Physique XX Volue A Page Note e cous éigée pa : Sion Vézina

3 Posons les bones e l intégale ente x = et x = : = λ x x = λ x x (Bones : x = x= x n x = λ ( x x = + C n + ( ( = λ (Évalue l intégale = (eplace λ = = (Siplifie Situation : e oent inetie un isque. Un isque ince et hoogène e asse et e ayon toune autou un, pepeniculaie à son plan, qui passe pa son cente (voi schéa ci-conte. On ésie utilise le calcul intégal pou onte que son oent inetie est onnée pa : = Évaluons la ensité sufacique σ e asse u isque, puisqu elle est unifoe : σ = σ = où A A = Découpons note isque en oceau e caé cylinique infinitésial (cooonnée cylinique θ e lageu et e longueu θ et epésentons la esue u oent inetie à l aie e note systèe θ sachant que l oigine est située au cente u isque : Moent inetie infinitésial : et = = σ θ = θ ( θ ( a éféence : Mac Séguin, Physique XX Volue A Page Note e cous éigée pa : Sion Vézina

Posons note intégale afin aitionne toutes les ineties povenant e tous les situés su le isque ente la cooonnée = et = puis ente la cooonnée θ = et θ = : = = (eplace = = ( ( σ θ (eplace = et = σ θ = σ

4 Posons note intégale afin aitionne toutes les ineties povenant e tous les situés su le isque ente la cooonnée = et = puis ente la cooonnée θ = et θ = : = = (eplace = = ( ( σ θ (eplace = et = σ θ = σ θ (Factoise la constante σ = σ = θ = = θ θ = (Bones : = et θ = = σ θ (Factoise constante pou intégale su θ σ [ θ ] = n x (ésoue pou θ : x x = + C n + = σ (( ( = (Évalue l intégale su θ = = σ (Factoise constante pou intégale su = n x = σ (ésoue pou : x x + C = n + ( ( = σ (Évalue l intégale su = (eplaceσ = = (Siplifie Situation A : e oent inetie une sphèe. Une sphèe hoogène e asse et e ayon s toune autou un qui passe pa son cente (voi schéa ci-conte. On ésie utilise le calcul intégal pou onte que son oent inetie est onnée pa : = s s éféence : Mac Séguin, Physique XX Volue A Page Note e cous éigée pa : Sion Vézina

5 Évaluons la ensité voluique ρ e asse e la sphèe, puisqu elle est unifoe : ρ = V ρ = ( A = / / ρ = (Siplification Découpons note sphèe en oceau e cube sphéique infinitésial (cooonnée sphéique θ e côté, sin( θ et et epésentons la esue u oent inetie à l aie e note systèe θ sachant que l oigine est située au cente e la sphèe. Consiéons que note sphèe toune autou e l z : Moent inetie infinitésial : = sin et = ρ ( θ = sin( appel : θ : otation plan xy : otation esuée pa l z z ( ( a x( θ ( a Posons note intégale afin aitionne toutes les ineties povenant e tous les situés su la sphèe ente la cooonnée = et = s, ente la cooonnée θ = et θ = puis ente la cooonnée = et = : = = (eplace = ( = ( sin( ρ sin( θ (eplace sin( s ρ sin ( θ = θ = = = et = (Bones es intégales s ( = ρ θ sin (Factoise ans les intégales = θ = = Utilisons la table intégale suivante pou évalue l intégale su : sin ( x x = ( cos( x 9cos( x éféence : Mac Séguin, Physique XX Volue A Page Note e cous éigée pa : Sion Vézina

6 Nous obtenons le ésultat suivant pou l intégale su : = ( = sin (ntégale à évalue ( ( ( = cos 9 cos (Applique la table intégale = [ cos( ] [ ( ] 9 cos (Sépae tees à évalue 9 (Évalue l intégale = ( cos( cos( ( cos( cos( 9 = (( ( ( ( ( ( cos( = cos( et ( 8 = + (Calcul = (Calcul evenons à note intégale initiale et évaluons l inetie totale : s ( = ρ θ sin (Expession pécéente = θ = = cos = s ρ = θ (ésultat intégale su = θ = s = ρ θ (Factoise /, sépae intégale = θ = s ρ [ θ ] n x = (ésoue su et θ : x x = + C n + s (Évalue l intégale = ρ ( s = (eplace ρ = = s (Siplifie éféence : Mac Séguin, Physique XX Volue A Page 6 Note e cous éigée pa : Sion Vézina

7 Execice Execice A : e oent inetie un anneau. Un anneau ince et hoogène e asse et e ayon toune autou un, pepeniculaie à son plan, qui passe pa son cente (voi schéa ci-conte. Monte que son oent inetie est onnée pa : = Solution Execice A : e oent inetie un anneau. Densité linéaie : λ = λ = où = Moent inetie infinitésial : = et = λ θ = Vue en pespective M Calcul : = = = λ θ (eplace = et = λ θ θ = = λ θ (Factoise constantes θ = [ θ ] = λ (ésoue l intégale = λ ( ( ( (Évalue l intégale = λ (éécitue = (eplace λ = = (Siplifie éféence : Mac Séguin, Physique XX Volue A Page 7 Note e cous éigée pa : Sion Vézina

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